18الطاقة الميكانيكية وانحفاظها

حل التمرين 18.1.

(أ) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$. (ب) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. (ج) $\times 4$؛ $\times 9$ — أي التربيع.

حل التمرين 18.2.

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. ولا: فالمرجع يزيح القيمتين بالقدر نفسه. ولا: فلا يدخل إلا فرق الارتفاع.

حل التمرين 18.3.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. و$mgh = \tfrac12 mv^2$: فتتلاشى الكتلة.

حل التمرين 18.4.

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 = -3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$؛ $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

حل التمرين 18.5.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وترتفع عائدةً إلى $8.0\,\mathrm{cm}$ (بالانحفاظ).

حل التمرين 18.6.

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$: أي نحو ستمئة ألف رصاصة. و$h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — أي أن سرعته هو كانت ستقدر على رفع القطار $400$ مترًا.

حل التمرين 18.7.

السرعة نفسها $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (فلا يدخل إلا الهبوط). أما الزحلوقة الحادّة فتفوز في الزمن: إذ تبلغ السرعة العالية أبكر ومسارها أقصر.

حل التمرين 18.8.

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$. وعند $4.0\,\mathrm{m}$: $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — وهي نفسها في الاتجاهين: إذ إنّ $E_m$ تتوقف على الارتفاع لا على جهة الانتقال.

حل التمرين 18.9.

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وهي أصغر في الواقع: فمقاومة الهواء تبدّد جزءًا من $E_m$.

حل التمرين 18.10.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times 6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$؛ $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$. وتذهب حرارةً، في الزلاجتين وفي الثلج.

حل التمرين 18.11.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وترتفع إلى $15\,\mathrm{cm}$ مرة أخرى. فالوتد يغيّر المسار (دائرة أضيق)، لا الطاقة: فالارتفاعات والسرعات لا تُمسّ.

حل التمرين 18.12.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وترتفع ارتفاعات الصعود تناسبًا مع $E_m$، ومنه $\times 0.9$ في كل عبور: $2.25$، $2.03$، $1.82$، $1.64$، $1.48$، $1.33$، $1.20$، $1.08$، $0.97$ — فأول ما يقلّ عن $1.0\,\mathrm{m}$ هو العبور $9$.

حل التمرين 18.13.

الطاقة الابتدائية $E_m = \tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ نفسها مهما تكن الزاوية، ومن ثم تكون سرعة الأرض $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx 33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. أما الزاوية فتثبّت اتجاه سرعة الهبوط، وزمن الطيران، والمدى — لا سرعة الهبوط.

حل التمرين 18.14.

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times 800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$، ومنه $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). والجزء المبدَّد: $52000/94176 \approx 55\%$.

حل التمرين 18.15.

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$: $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$. والمسترجَع: $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — أي نحو $1.4 \times 10^{5}$ بيت مدة يوم.