Physics · الكتاب 2 · Grades 10–12

فيزياء المرحلة الثانوية

فيزياء المرحلة الثانوية · Grades 10–12

34العالم الكمومي: الفوتونات ومستويات الطاقة

يقدر مصباح حراري تحت أحمر أن يغمر جلدك طوال المساء ولا يترك فيه أثرًا؛ وعشر دقائق من ضوء شمس جبلي رقيق تترك حرقًا. والمصباح يوصّل طاقة أكبر بكثير — لكن الطاقة ليست ما يترك أثرًا في الجلد. فالضوء، كما يبيّن هذا الفصل، يصل حبيبات، ولا تجري الكيمياء إلا بحبيبة تضرب بقوة كافية: فحبيبة فوق بنفسجية واحدة تقصف رابطة لا يفعل بها مليار حبيبة تحت حمراء إلا التسخين. اتبع الحبيبات ينفتح قرن كامل: معادن تنزّ إلكترونات، وذرات تغنّي في خطوط طيفية، وإلكترونات تتداخل كالأمواج.

34.1 الضوء يصل حبيبات: الفوتون

تعريف 34.1 (الفوتون)

الضوء ذو التواتر ν\nu لا يتبادل الطاقة مع المادة إلا بحبيبات كاملة تسمّى الفوتونات، طاقة كل منها

E=hν=hcλ,h=6.63×10−34 J s,E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s},

حيث hh هو ثابت بلانك (بلانك، 1900؛ أينشتاين، 1905)، وλ\lambda طول الموجة في الخلاء. وشدة الحزمة تقيس عدد الفوتونات في الثانية؛ أما طاقة كل حبيبة فيضبطها التواتر وحده.

ترميز 34.2 (الإلكترون فولط)

تستعمل الفيزياء الذرية الإلكترون فولط، 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}: وهو الطاقة التي تكسبها شحنة أولية واحدة عابرةً 1 V1\,\mathrm{V} (الفصل 14). ومن المفيد: E (eV)≈1240/λ (nm)E \,(\mathrm{eV}) \approx 1240/\lambda\,(\mathrm{nm}).

سُلّم واحد للعائلة الكهرمغناطيسية (): طول الموجة (في الأعلى)، والطاقة لكل فوتون hc/ (بالأزرق)، من حبيبات الراديو ذات الميكرو إلكترون فولط إلى حبيبات غاما MeV ذات — ومع ذلك يصبّ مؤشّر قدره 1.0\, mW عددًا قدره 3 × 1015 حبيبة في الثانية: فضوء كل يوم يجري في سلاسة الرمل المصبوب.
سُلّم واحد للعائلة الكهرمغناطيسية (الفصل 22): طول الموجة (في الأعلى)، والطاقة لكل فوتون hc/λhc/\lambda (بالأزرق)، من حبيبات الراديو ذات الميكرو إلكترون فولط إلى حبيبات غاما MeV\mathrm{MeV} ذات الفصل 19 — ومع ذلك يصبّ مؤشّر قدره 1.0 mW1.0\,\mathrm{mW} عددًا قدره 3×10153 \times 10^{15} حبيبة في الثانية: فضوء كل يوم يجري في سلاسة الرمل المصبوب.

34.2 المفعول الكهرضوئي

سلّط ضوءًا على صفيحة معدنية نظيفة في الخلاء، فتقفز إلكترونات إلى الخارج — وهو المفعول الكهرضوئي. وقواعده كسرت الفيزياء الكلاسيكية.

قضية 34.3 (ما تبيّنه التجربة)

لكل معدن تواتر عتبي ν0\nu_0:

  1. دون ν0\nu_0، لا يغادر أي إلكترون، مهما تكن شدة الضوء؛
  2. وفوق ν0\nu_0، يبدأ الإصدار بلا تأخير، مهما يكن الضوء خافتًا؛
  3. والشدة ترفع عدد الإلكترونات في الثانية، لا طاقتها الحركية العظمى؛ والتواتر يرفع Ek,max⁡E_{k,\max}.

ولا شيء من ذلك يوافق موجة مستمرة، إذ ينبغي لأي لون أن يشحن — على مدى أشهر في ضوء خافت (التمرين 34.14) — وينبغي لشدتها أن تضبط طاقة الإلكترونات: فالتنبؤات الثلاثة كلها تفشل.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مبرهنة 34.4 (علاقة أينشتاين الكهرضوئية)

يحتاج الإلكترون على الأقل شغل الخروج W0W_0 في المعدن ليفلت من سطحه. ويُمتصّ الفوتون الواحد كاملًا في إلكترون واحد، ومن ثم

hν=W0+Ek,max⁡,ومنه ν0=W0h.h\nu = W_0 + E_{k,\max}, \qquad \text{ومنه } \nu_0 = \frac{W_0}{h}.

برهان. محاسبة الطاقة: hνh\nu داخلة، وW0W_0 منفقة على الخروج، والباقي حركي — أي hν−W0h\nu - W_0 على الأكثر، وأقل من ذلك للإلكترونات التي تبدأ أعمق. ودون ν0\nu_0 لا تقدر حبيبة واحدة أن تدفع رسم الخروج، مهما يكن عددها. ∎

تعريف 34.5 (كمون الإيقاف)

لقياس Ek,max⁡E_{k,\max}، يكبح توتر عكسي الإلكترونات (الفصل 14)؛ وكمون الإيقاف UsU_s هو أصغر توتر يلغي التيار: إذ يفشل أسرع الإلكترونات في العبور بالكاد، ومن ثم Ek,max⁡=e UsE_{k,\max} = e\,U_s.

قياس E_k, = eU_s بدلالة التواتر (في الصوديوم): أي مستقيم ميله h، يقطع المحور عند _0؛ ويكشف، ممدَّدًا (بالمتقطع)، عن -W_0 عند = 0.
قياس Ek,max⁡=eUsE_{k,\max} = eU_s بدلالة التواتر (في الصوديوم): أي مستقيم ميله hh، يقطع المحور عند ν0\nu_0؛ ويكشف، ممدَّدًا (بالمتقطع)، عن −W0-W_0 عند ν=0\nu = 0.

طريقة 34.6 (قياس ثابت بلانك)

  1. أضِئ خلية كهرضوئية عبر مرشّحات معلومة أطوال الموجات؛ واحسب كل ν=c/λ\nu = c/\lambda؛ وسجّل كل كمون إيقاف.
  2. ارسم Ek,max⁡=eUsE_{k,\max} = eU_s بدلالة ν\nu: فأينشتاين يعد بالمستقيم hν−W0h\nu - W_0.
  3. اقرأ الميل: فهو يساوي hh؛ والقاطعان يعطيان ν0\nu_0 و−W0-W_0.

34.3 مستويات الطاقة: لماذا تصدر الذرات خطوطًا

تعريف 34.7 (مستويات الطاقة)

طاقة الإلكترون المرتبط في ذرة مكمَّمة: أي محصورة في سُلّم منفصل من مستويات الطاقة E1<E2<⋯<0E_1 < E_2 < \dots < 0، معدودةً سالبةً انطلاقًا من الإلكترون الحر. وأخفض درجة هي الحالة الأساسية، وسواها الحالات المثارة؛ وبلوغ 00 هو التأيّن.

قضية 34.8 (سُلّم الهيدروجين)

مستويات الطاقة في ذرة الهيدروجين هي

En=−13.6 eVn2,n=1,2,3,…E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

ومن ثم E1=−13.6 eVE_1 = -13.6\,\mathrm{eV}، E2=−3.40 eVE_2 = -3.40\,\mathrm{eV}، E3=−1.51 eVE_3 = -1.51\,\mathrm{eV}، E4=−0.85 eVE_4 = -0.85\,\mathrm{eV}، متزاحمةً نحو 00.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 34.9 (من أين يأتي السُّلّم)

أما لماذا هذه الأعداد فميكانيك كمومي، محفوظ لمجلدات الجامعة — وكذلك صيغة دي بروي: فموجة مادة الإلكترون (التعريف 34.15 أدناه) يجب أن تنغلق على نفسها حول النواة، ولا يوافق ذلك إلا أطوال موجة معينة — فللذرة، كوتر الغيتار، مجموعة منفصلة من النغمات.

مبرهنة 34.10 (فوتون انتقال)

لا تغيّر الذرة مستواها إلا بإصدار فوتون واحد أو امتصاصه يحمل الفرق بالضبط: فالهبوط من المستوى pp إلى مستوى أخفض nn يصدر hν=Ep−Enh\nu = E_p - E_n؛ والصعود من nn إلى pp يمتصّ الطاقة نفسها.

برهان. انحفاظ الطاقة، حبيبةً حبيبة: فالفوتون هو العملة الوحيدة التي يقبلها الضوء، ودفاتر الذرة يجب أن تتوازن. ∎

ملاحظة 34.11 (تفسير الأطياف الخطية)

هذا هو الجواب الموعود به في الفصل 2: فالغاز الحارّ يصدر تواترات سُلّمه الخاص (Ep−En)/h(E_p - E_n)/h لا غير — أي رمزًا شريطيًّا من الخطوط اللامعة — والغاز البارد يسرق تلك التواترات بالضبط من الضوء الأبيض، فيطبع خطوط امتصاص داكنة مطابقة. ولكل عنصر سُلّمه الخاص، ومن ثم رمزه الشريطي الخاص — وهكذا نقرأ ضوء النجوم.

مثال 34.12 (خطوط الهيدروجين المرئية)

تقع الانتقالات المنتهية عند n=2n = 2 في المرئي. ومع E (eV)=1240/λ (nm)E \,(\mathrm{eV}) = 1240/\lambda\,(\mathrm{nm}): 3→23 \to 2: 1.89 eV1.89\,\mathrm{eV}، 656 nm656\,\mathrm{nm} (أحمر)؛ 4→24 \to 2: 2.55 eV2.55\,\mathrm{eV}، 486 nm486\,\mathrm{nm} (أزرق مخضرّ)؛ 5→25 \to 2: 2.86 eV2.86\,\mathrm{eV}، 434 nm434\,\mathrm{nm} (بنفسجي). أما الانتقالات إلى n=1n = 1 فتتجاوز 10 eV10\,\mathrm{eV}: أي فوق بنفسجية كلها.

سُلّم الهيدروجين، بالمقياس: تنتهي الخطوط المرئية كلها عند n = 2؛ والهبوط إلى الحالة الأساسية فوق بنفسجي عميق.
سُلّم الهيدروجين، بالمقياس: تنتهي الخطوط المرئية كلها عند n=2n = 2؛ والهبوط إلى الحالة الأساسية فوق بنفسجي عميق.

ملاحظة 34.13 (الليزر، في نفَس واحد)

الفوتون ذو الطاقة Ep−EnE_p - E_n بالضبط، إذا مرّ بذرة مثارة، قدر أن يحرّضها على إصدار فوتون مطابق — بالطاقة نفسها، والاتجاه نفسه، وعلى الخطى. وأبقِ عدد الذرات في الأعلى أكبر منه في الأسفل، يصر فوتون واحد انهيارًا من النسخ: أي الإصدار المستحثّ — والليزر ليس أكثر من ذلك بكثير.

34.4 أمواج المادة

قضية 34.14 (الإلكترونات تتداخل)

أرسل الإلكترونات واحدًا واحدًا عبر شقّين (الفصل 22): فيهبط كلٌّ منها نقطة حادّة واحدة — أي جسيمًا. لكن مع تراكم الآلاف، ترسم النقاط أهداب تداخل: فكل إلكترون، وحده، يمرّ موجةً عبر كلا الشقين. والبلورات تحيد حزم الإلكترونات أيضًا (دافيسون وجيرمر، 1927).

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

إلكترون واحد، ونقطة واحدة؛ وآلاف، وأهداب. وأين تهبط النقطة التالية أمر عشوائي — كتفكك نواة واحدة () — لكن الموجة تثبّت الاحتمال: فالهدب اللامع مرجَّح، والداكن لا يكاد يحدث. أي صدفة فردية يحكمها موج مضبوط: وهو قلب الفيزياء الكمومية.
إلكترون واحد، ونقطة واحدة؛ وآلاف، وأهداب. وأين تهبط النقطة التالية أمر عشوائي — كتفكك نواة واحدة (الفصل 19) — لكن الموجة تثبّت الاحتمال: فالهدب اللامع مرجَّح، والداكن لا يكاد يحدث. أي صدفة فردية يحكمها موج مضبوط: وهو قلب الفيزياء الكمومية.

تعريف 34.15 (طول موجة دي بروي)

كل جسيم كمية حركته p=mvp = mv يسافر موجة مادة ذات طول موجة دي بروي

λ=hp=hmv.\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 34.16 (لماذا لا تحيد أنت أبدًا)

الإلكترون المسرَّع عبر 100 V100\,\mathrm{V} له Ek=1.60×10−17 JE_k = 1.60 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}، p=2meEk=5.4×10−24 kg m/sp = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، ومن ثم λ≈0.12 nm\lambda \approx 0.12\,\mathrm{nm} — أي تباعد الذرات في بلورة، وهي تعمل من ثم عمل شقَّيه. أما كرة تنس كتلتها 58 g58\,\mathrm{g} بسرعة 25 m/s25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: فيكون λ=6.63×10−34/1.45≈4.6×10−34 m\lambda = 6.63\times10^{-34}/1.45 \approx 4.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{m}، أي أصغر 101910^{19} مرة من نواة — فلن يظهرها أي شقّ تُهدِّب أبدًا. وhh صغير جدًّا بحيث لا تطفو الحبيبية الكمومية إلا على مقياس الذرة.

مثال 34.17 (المجهر الإلكتروني)

يمنع الحيود تمييز تفصيل أصغر بكثير من طول الموجة المستعمل (الفصل 22): فالضوء المرئي يتوقف قرب 0.5 µm0.5\,\text{µ}\mathrm{m}. وللإلكترونات عند 10 kV10\,\mathrm{kV} المقدار λ≈12 pm\lambda \approx 12\,\mathrm{pm} — أي أقصر عشرات الآلاف من المرات: فالمجاهر الإلكترونية تصوّر الفيروسات، وآلات الخلية، حتى الذرات المفردة. وقد سلّمت موجة المادة الفيزياءَ عينًا جديدة.

34.5 تمارين

تمرين 34.1 ★

مؤشّر ليزر أخضر يصدر 1.0 mW1.0\,\mathrm{mW} عند 530 nm530\,\mathrm{nm}. احسب طاقة فوتون واحد بالجول وبالإلكترون فولط، ثم الفوتونات في الثانية.

حل

حل التمرين 34.1.

E=hc/λ=1.99×10−25/5.30×10−7=3.75×10−19 J=2.35 eVE = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.30 \times 10^{-7} = 3.75 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.35\,\mathrm{eV}. N=1.0×10−3/3.75×10−19≈2.7×1015N = 1.0 \times 10^{-3}/3.75 \times 10^{-19} \approx 2.7 \times 10^{15} فوتون في الثانية.

تمرين 34.2 ★

محطة FM تبثّ عند 100 MHz100\,\mathrm{MHz}. احسب طاقة فوتونها بوحدة eV\mathrm{eV} وقارنها بفوتون مرئي: فلماذا لا تُكتشف حبيبية الراديو؟

حل

حل التمرين 34.2.

E=hν=6.63×10−34×108=6.63×10−26 J≈4.1×10−7 eVE = h\nu = 6.63\times10^{-34} \times 10^{8} = 6.63 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \approx 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV} — أي نحو خمسة ملايين مرة أقل من فوتون مرئي. وأي إشارة راديو قابلة للكشف تتضمن من الفوتونات في الثانية ما يجعل التدفق سلسًا تمامًا.

تمرين 34.3 ★

للسيزيوم W0=1.9 eVW_0 = 1.9\,\mathrm{eV}. احسب تواتره العتبي وطول موجته العتبي. وهل يقذف ليزر أحمر عند 633 nm633\,\mathrm{nm} إلكترونات من السيزيوم — وإن كان كذلك، فبأي طاقة حركية عظمى؟

حل

حل التمرين 34.3.

ν0=W0/h=3.04×10−19/6.63×10−34≈4.6×1014 Hz\nu_0 = W_0/h = 3.04 \times 10^{-19}/6.63 \times 10^{-34} \approx 4.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}؛ λ0=c/ν0≈654 nm\lambda_0 = c/\nu_0 \approx 654\,\mathrm{nm}. وعند 633 nm633\,\mathrm{nm}، E=1240/633=1.96 eV>1.9 eVE = 1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} > 1.9\,\mathrm{eV}: نعم، بالكاد، مع Ek,max⁡≈0.06 eV≈1×10−20 JE_{k,\max} \approx 0.06\,\mathrm{eV} \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}.

تمرين 34.4 ★

باستعمال En=−13.6/n2E_n = -13.6/n^2 eV\mathrm{eV}، احسب طاقة الفوتون المصدَر في انتقال الهيدروجين 3→23 \to 2 وطول موجته. وما لونه؟

حل

حل التمرين 34.4.

E3−E2=−1.51+3.40=1.89 eVE_3 - E_2 = -1.51 + 3.40 = 1.89\,\mathrm{eV}؛ λ=1240/1.89≈656 nm\lambda = 1240/1.89 \approx 656\,\mathrm{nm}: أي الخط الأحمر.

تمرين 34.5 ★

من مخطط Ek,max⁡E_{k,\max} بدلالة ν\nu في الدرس، اقرأ التواتر العتبي للصوديوم وشغل خروجه (بوحدة eV\mathrm{eV})؛ وأيّ ثابت هو الميل؟

حل

حل التمرين 34.5.

ν0≈5.6×1014 Hz\nu_0 \approx 5.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}؛ W0=hν0≈3.7×10−19 J≈2.3 eVW_0 = h\nu_0 \approx 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 2.3\,\mathrm{eV} (وهو القاطع −W0-W_0). و الميل هو ثابت بلانك hh.

تمرين 34.6 ★★

ضوء طول موجته 400 nm400\,\mathrm{nm} يسقط على البوتاسيوم (W0=2.3 eVW_0 = 2.3\,\mathrm{eV}). احسب طاقة الفوتون، والطاقة الحركية العظمى للإلكترونات (بوحدة eV\mathrm{eV} وبالجول)، وكمون الإيقاف.

حل

حل التمرين 34.6.

E=1240/400=3.10 eVE = 1240/400 = 3.10\,\mathrm{eV}؛ Ek,max⁡=3.10−2.3=0.80 eV=1.3×10−19 JE_{k,\max} = 3.10 - 2.3 = 0.80\,\mathrm{eV} = 1.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}؛ Us=Ek,max⁡/e=0.80 VU_s = E_{k,\max}/e = 0.80\,\mathrm{V}.

تمرين 34.7 ★★

خلية كهرضوئية مضاءة فوق العتبة. فماذا يحدث (أ) للتيار، (ب) و لكمون الإيقاف، حين تتضاعف الشدة عند تواتر ثابت؟ وحين يُرفع التواتر؟ وأيّ واقعة تناقض الصورة الموجية، ولماذا؟

حل

حل التمرين 34.7.

وبمضاعفة الشدة: يتضاعف التيار (لضعف الفوتونات)، ويبقى UsU_s دون تغيير (فالطاقة لكل فوتون هي نفسها). وبرفع التواتر: يرتفع UsU_s، Ek,max⁡=hν−W0E_{k,\max} = h\nu - W_0. أما الصورة الموجية فتربط طاقة الإلكترونات بالشدة، لا بالتواتر — وهو بالضبط ما لا يُرصد.

تمرين 34.8 ★★

أيّ طاقة فوتون دنيا تؤيّن ذرة هيدروجين من حالتها الأساسية؟ ومن n=2n = 2؟ احسب طولَي الموجة العتبيين وسمِّ مجاليهما الطيفيين.

حل

حل التمرين 34.8.

من n=1n = 1: 13.6 eV13.6\,\mathrm{eV}، λ=1240/13.6≈91 nm\lambda = 1240/13.6 \approx 91\,\mathrm{nm}، أي فوق بنفسجي بعيد. ومن n=2n = 2: 3.40 eV3.40\,\mathrm{eV}، λ≈365 nm\lambda \approx 365\,\mathrm{nm}، أي فوق بنفسجي قريب.

تمرين 34.9 ★★

ضوء أبيض يعبر وعاءً من هيدروجين بارد (وكل الذرات في الحالة الأساسية). فسّر لماذا لا يظهر الطيف النافذ أي خط داكن في المرئي، بينما تظهر خطوط امتصاص بالمر في أطياف النجوم الحارّة.

حل

حل التمرين 34.9.

من الحالة الأساسية تكلّف أصغر قفزة E2−E1=10.2 eVE_2 - E_1 = 10.2\,\mathrm{eV} (122 nm122\,\mathrm{nm}): فكل خط امتصاص فوق بنفسجي، ولا شيء منه مرئي. أما في غلاف نجمي حارّ فتُبقي التصادمات بعض الذرات في n=2n = 2، ومنها يمكن أن تُمتصّ فوتونات بالمر المرئية (1.89 to 3.40 eV1.89\text{ to }3.40\,\mathrm{eV}).

تمرين 34.10 ★★

احسب طول موجة دي بروي في الحالتين: (أ) إلكترون مسرَّع عبر 100 V100\,\mathrm{V}، (ب) ذبابة كتلتها 0.10 g0.10\,\mathrm{g} بسرعة 1.0 m/s1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. وقارن كلًّا منهما بحجم ذرة (∼10−10 m\sim 10^{-10}\,\mathrm{m})؛ واستنتج.

حل

حل التمرين 34.10.

(أ) Ek=1.6×10−17 JE_k = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}، p=2meEk=5.4×10−24 kg m/sp = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، λ=h/p≈1.2×10−10 m\lambda = h/p \approx 1.2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} — أي بحجم ذرة: فالبلورات تحيده. (ب) p=1.0×10−4×1.0=1.0×10−4 kg m/sp = 1.0 \times 10^{-4} \times 1.0 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، λ≈6.6×10−30 m\lambda \approx 6.6 \times 10^{-30}\,\mathrm{m} — أي أصغر 102010^{20} مرة من ذرة: فموجة الذبابة غير مرئية إلى الأبد.

تمرين 34.11 ★★

تستجيب العين المتكيفة مع الظلام لنحو 9090 فوتون من ضوء 505 nm505\,\mathrm{nm}. احسب تلك الطاقة، وقارنها بالطاقة الحركية لبعوضة كتلتها 2.5 mg2.5\,\mathrm{mg} تطير بسرعة 0.50 m/s0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، وفسّر النسبة.

حل

حل التمرين 34.11.

فوتون واحد: 1.99×10−25/5.05×10−7=3.94×10−19 J1.99 \times 10^{-25}/5.05 \times 10^{-7} = 3.94 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}؛ وتسعون: ≈3.5×10−17 J\approx 3.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}. والبعوضة: 12×2.5×10−6×0.502=3.1×10−7 J\tfrac12 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 0.50^2 = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{J} — أي أكثر 101010^{10} مرة. فالعين تعمل في حدود مئة حبيبة من الحدّ المطلق: أي إنها عدّاد فوتونات تقريبًا.

تمرين 34.12 ★★★

خلية كهرضوئية تعطي Us=1.19 VU_s = 1.19\,\mathrm{V} عند 405 nm405\,\mathrm{nm} وUs=0.40 VU_s = 0.40\,\mathrm{V} عند 546 nm546\,\mathrm{nm}. ومن هاتين النقطتين قِس hh، ثم شغل الخروج بوحدة eV\mathrm{eV}. وأيّ معدن من هذا الفصل هو المهبط؟

حل

حل التمرين 34.12.

ν1=7.41×1014 Hz\nu_1 = 7.41 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}، ν2=5.49×1014 Hz\nu_2 = 5.49 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}؛ h=e ΔUs/Δν=1.60×10−19×0.79/1.91×1014≈6.6×10−34 J sh = e\,\Delta U_s/\Delta\nu = 1.60 \times 10^{-19} \times 0.79 / 1.91 \times 10^{14} \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}. W0=hν2−eUs,2=3.63×10−19−0.64×10−19=3.0×10−19 J≈1.9 eVW_0 = h\nu_2 - eU_{s,2} = 3.63 \times 10^{-19} - 0.64 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1.9\,\mathrm{eV}: أي السيزيوم.

تمرين 34.13 ★★★

مصباح هيدروجين يظهر خطين عند 486 nm486\,\mathrm{nm} و434 nm434\,\mathrm{nm}. حوّل كلًّا منهما إلى طاقة فوتون وعيّن الانتقالين بمطابقة فروق المستويات En=−13.6/n2E_n = -13.6/n^2 eV\mathrm{eV}.

حل

حل التمرين 34.13.

1240/486=2.55 eV=E4−E2=3.40−0.851240/486 = 2.55\,\mathrm{eV} = E_4 - E_2 = 3.40 - 0.85: أي الانتقال 4→24 \to 2. 1240/434=2.86 eV=E5−E2=3.40−0.541240/434 = 2.86\,\mathrm{eV} = E_5 - E_2 = 3.40 - 0.54: أي الانتقال 5→25 \to 2.

تمرين 34.14 ★★★

تقدير التأخير الكلاسيكي: ضوء خافت شدته 1.0×10−6 W/m21.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} يسقط على البوتاسيوم (W0=2.3 eVW_0 = 2.3\,\mathrm{eV}). فإذا جمعت ذرة الطاقة العابرة مقطعها العرضي وحدها (ونصف قطره 1.0×10−10 m1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m})، فكم من الزمن تحتاج لتجمع W0W_0؟ قارن بالتأخير المرصود (دون 10−9 s10^{-9}\,\mathrm{s}).

حل

حل التمرين 34.14.

المقطع العرضي πr2≈3.1×10−20 m2\pi r^2 \approx 3.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}، والاستطاعة المجموعة 3.1×10−26 W3.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}؛ t=3.7×10−19/3.1×10−26≈1.2×107 st = 3.7 \times 10^{-19}/3.1 \times 10^{-26} \approx 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{s} — أي أربعة أشهر، في مقابل أقل من نانوثانية مرصودة. فلا يمكن أن تُفرش الطاقة على جبهة الموجة: بل تسافر مركَّزة، حبيبات.

تمرين 34.15 ★★★

في مجهر إلكتروني تُسرَّع الإلكترونات عبر 5.0 kV5.0\,\mathrm{kV}. احسب طول موجة دي بروي لها، وقارنه بالضوء الأخضر (550 nm550\,\mathrm{nm})، وفسّر بالحيود (الفصل 22) لماذا يشتري ذلك تمييزًا.

حل

حل التمرين 34.15.

Ek=8.0×10−16 JE_k = 8.0 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}، p=2meEk=3.8×10−23 kg m/sp = \sqrt{2m_e E_k} = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، λ=h/p≈1.7×10−11 m=17 pm\lambda = h/p \approx 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 17\,\mathrm{pm} — أي أقصر نحو 3×1043 \times 10^{4} مرة من 550 nm550\,\mathrm{nm}. والحيود يطمس تفصيلًا أصغر من ∼λ\sim\lambda، ومن ثم فإن تقليص λ\lambda بعامل 10410^4 يشتري 10410^4 في التمييز.

34.6 مسألة: مختبر فيزياء اللوح الشمسي

مسألة 34.1

مسألة نهاية الأسبوع — مختبر فيزياء اللوح الشمسي: حبيبات قدرها 102110^{21} يشربها سطح في كل ثانية، وخلية كهرضوئية تقيس ثابت بلانك، ومصباح هيدروجين يُقرأ خطًّا خطًّا — نهاية أسبوع واحدة، وhh واحد

يجهّز صفّك اللوح الشمسي على سطح المدرسة نهايةَ أسبوع. والمعطيات: الشدة الشمسية الساقطة عند الظهر 1.0×103 W/m21.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}؛ وطول الموجة الشمسي المتوسط 550 nm550\,\mathrm{nm}؛ ومساحة اللوح 1.0 m21.0\,\mathrm{m}^{2}، ومردوده 20%20\%؛ واليوم يوصّل ما يعادل 5.0 h5.0\,\mathrm{h} من الشمس الكاملة.

الجزء I — محاسبة الفوتونات.

  1. احسب طاقة فوتون شمسي متوسط واحد، بالجول وبالإلكترون فولط.
  2. استنتج عدد الفوتونات التي تضرب اللوح في الثانية عند الظهر.
  3. احسب الاستطاعة الكهربائية للوح عند الظهر، ثم الطاقة المنتَجة على مدى اليوم، بوحدة kW h\mathrm{kW}\,\mathrm{h}.
  4. ويبدو تيار اللوح سلسًا تمامًا. وباستعمال السؤال 2، فسّر لماذا يكون الوصول حبيبةً حبيبة غير مرئي.
  5. ويحمل ضوء الشمس طاقة تحت حمراء أكبر من الفوق بنفسجية، ومع ذلك لا يحرق الجلد إلا الفوق بنفسجي (فالروابط ∼3 to 4 eV\sim 3\text{ to }4\,\mathrm{eV}). فسّر بالحبيبات.

الجزء II — قياس hh بالخلية الكهرضوئية في العدّة. للخلية الكهرضوئية في العدّة مهبط مجهول. وتعطي المرشّحات:

λ\lambda (nm\mathrm{nm})365405436546
UsU_s (V\mathrm{V})1.501.160.940.37
  1. ماذا يقيس كمون الإيقاف؟ اربط UsU_s وν\nu وW0W_0 وhh.
  2. حوّل أطوال الموجات الأربعة إلى تواترات (بوحدة 1014 Hz10^{14}\,\mathrm{Hz}).
  3. ولماذا ينبغي أن يعطي رسم eUseU_s بدلالة ν\nu مستقيمًا؟ تحقق من اصطفاف النقاط.
  4. من النقطتين الطرفيتين، احسب الميل: أي hh المقيس عندك.
  5. استنتج شغل خروج المهبط (eV\mathrm{eV})، وتواتره العتبي، وطول موجته العتبي.
  6. وأيّ جزء من ضوء الشمس يقدر أن يقذف إلكترونات من هذا المهبط — وأيّ نصف من الطيف عديم النفع له؟
  7. قارن hh عندك بالقيمة 6.63×10−34 J s6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}: فما الخطأ النسبي بالمئة؟

الجزء III — مصباح الهيدروجين للمعايرة. يُتحقق من سُلّم أطوال الموجات في العدّة في مقابل مصباح هيدروجين، En=−13.6/n2E_n = -13.6/n^2 eV\mathrm{eV}.

  1. احسب E2E_2 وE3E_3 وE4E_4 وE5E_5.
  2. احسب طاقات فوتونات الانتقالات 3→23 \to 2 و4→24 \to 2 و5→25 \to 2.
  3. استنتج أطوال الموجات الثلاثة وأعطِ لون كل خط.
  4. ولماذا يصدر المصباح خطوطًا لا قوس قزح مستمرًّا؟ جملة واحدة، تسمّي الفكرة المفتاح.
  5. وهل يقدر هيدروجين المصباح أن يمتصّ ضوءًا عند 500 nm500\,\mathrm{nm}؟ برّر بالسُّلّم.

الجزء IV — فحص الخلايا: موجة الإلكترون. الشقوق المجهرية في خلية تقع دون متناول 0.5 µm0.5\,\text{µ}\mathrm{m} في المجاهر الضوئية بكثير؛ والمجهر الإلكتروني الماسح في المختبر يعمل عند 10 kV10\,\mathrm{kV}.

  1. احسب سرعة الإلكترونات؛ وتحقق من بقائها دون 0.25 c0.25\,c (بالصيغة الكلاسيكية).
  2. احسب كمية حركتها وطول موجة دي بروي لها.
  3. والتمييز يتناسب مع طول الموجة: احسب المكسب على الضوء الأخضر (550 nm550\,\mathrm{nm})؛ واختم برقمَي نهاية الأسبوع — أي hh عندك وهذا المكسب.
حل

حل المسألة 34.1.

1. E=hc/λ=1.99×10−25/5.50×10−7=3.62×10−19 J=2.26 eVE = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.50 \times 10^{-7} = 3.62 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.26\,\mathrm{eV}.

2. N=1.0×103/3.62×10−19≈2.8×1021N = 1.0 \times 10^{3}/3.62 \times 10^{-19} \approx 2.8 \times 10^{21} فوتون في الثانية.

3. P=0.20×1.0×103 W=200 WP = 0.20 \times 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W} = 200\,\mathrm{W}؛ E=200×5.0=1.0 kW hE = 200 \times 5.0 = 1.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} (3.6×106 J3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}).

4. مع 102110^{21} حبيبة في الثانية، يكون الوميض الإحصائي صغيرًا صغرًا مذهلًا: فتنحلّ الحبيبية بالتوسيط إلى تيار سلس تمامًا، كما ينسكب الرمل المصبوب سريعًا انسكاب الماء.

5. يحتاج الضرر حبيبة واحدة قدرها 3 to 4 eV3\text{ to }4\,\mathrm{eV}: فحبيبات الفوق بنفسجي مؤهلة، وحبيبات التحت الأحمر (∼0.1 eV\sim 0.1\,\mathrm{eV}) ليست كذلك أبدًا — ولا تقدر الأعداد أن تحلّ محلّ اللكمة في كل حبيبة.

6. UsU_s هو التوتر العكسي الذي يوقف بالكاد أسرع الإلكترونات: eUs=Ek,max⁡=hν−W0eU_s = E_{k,\max} = h\nu - W_0.

7. ν=c/λ\nu = c/\lambda: 8.228.22، 7.417.41، 6.886.88 و5.495.49 × 1014 Hz\times\,10^{14}\,\mathrm{Hz}.

8. eUs=hν−W0eU_s = h\nu - W_0 تآلفية في ν\nu بميل hh. والميول المتتالية: (0.94−0.37)/1.39=0.41(0.94 - 0.37)/1.39 = 0.41 و (1.50−0.94)/1.34=0.42(1.50 - 0.94)/1.34 = 0.42 eV\mathrm{eV} لكل 1014 Hz10^{14}\,\mathrm{Hz} — فالنقاط الثلاث مصطفّة.

9. h=e(Us,1−Us,4)/(ν1−ν4)=1.60×10−19×1.13/2.72×1014=6.64×10−34 J sh = e(U_{s,1}-U_{s,4})/(\nu_1-\nu_4) = 1.60 \times 10^{-19} \times 1.13/2.72 \times 10^{14} = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}.

10. عند 546 nm546\,\mathrm{nm}: W0=hν−eUs=3.64×10−19−0.59×10−19=3.05×10−19 J=1.90 eVW_0 = h\nu - eU_s = 3.64 \times 10^{-19} - 0.59 \times 10^{-19} = 3.05 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.90\,\mathrm{eV}؛ ν0=W0/h=4.60×1014 Hz\nu_0 = W_0/h = 4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}؛ λ0≈653 nm\lambda_0 \approx 653\,\mathrm{nm}.

11. لا يقذف إلا λ<653 nm\lambda < 653\,\mathrm{nm}: أي المرئي من البنفسجي إلى الأحمر، والفوق بنفسجي. أما جانب التحت الأحمر كله — أي نحو نصف طاقة الشمس — فعديم النفع لهذا المهبط.

12. (6.64−6.63)/6.63≈0.2%(6.64 - 6.63)/6.63 \approx 0.2\% — أي قياس مختبر مدرسي لثابت كوني بخطأ جزئين في الألف.

13. E2=−3.40 eVE_2 = -3.40\,\mathrm{eV}، E3=−1.51 eVE_3 = -1.51\,\mathrm{eV}، E4=−0.85 eVE_4 = -0.85\,\mathrm{eV}، E5=−0.54 eVE_5 = -0.54\,\mathrm{eV}.

14. 3→23 \to 2: 1.89 eV1.89\,\mathrm{eV}؛ 4→24 \to 2: 2.55 eV2.55\,\mathrm{eV}؛ 5→25 \to 2: 2.86 eV2.86\,\mathrm{eV}.

15. λ=1240/E\lambda = 1240/E: 656 nm656\,\mathrm{nm} (أحمر)، 486 nm486\,\mathrm{nm} (أزرق مخضرّ)، 434 nm434\,\mathrm{nm} (بنفسجي).

16. طاقات الذرة مكمَّمة، ومن ثم لا تقدر أن تصدر إلا الفروق المنفصلة Ep−EnE_p - E_n: فالسُّلّم يصنع خطوطًا، لا قوس قزح.

17. لا: إذ يعني 500 nm500\,\mathrm{nm} أن 2.48 eV2.48\,\mathrm{eV}، وهي لا توافق أي فرق مستويات (فمن E2E_2 صعودًا يعطي 1.891.89، 2.552.55، 2.862.86، 3.40 eV3.40\,\mathrm{eV}؛ ومن E1E_1 يكلّف كل شيء 10.2 eV10.2\,\mathrm{eV} على الأقل) — فالغاز شفاف هناك.

18. eU=12mev2eU = \tfrac12 m_e v^2: v=2×1.60×10−19×1.0×104/9.11×10−31≈5.9×107 m/s≈0.20 cv = \sqrt{2 \times 1.60 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{4}/9.11 \times 10^{-31}} \approx 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.20\,c — فالمعالجة الكلاسيكية مقبولة.

19. p=mev=5.4×10−23 kg m/sp = m_e v = 5.4 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}؛ λ=h/p=1.2×10−11 m=12 pm\lambda = h/p = 1.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 12\,\mathrm{pm}.

20. المكسب =5.50×10−7/1.23×10−11≈4.5×104= 5.50 \times 10^{-7}/1.23 \times 10^{-11} \approx 4.5 \times 10^{4}. ورقما نهاية الأسبوع: h=6.64×10−34 J sh = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}، مقيسًا إلى 0.2%0.2\% بمرشّحات ومقياس توتر، ومجهر أحدّ بخمسة وأربعين ألف مرة لأن الإلكترونات تتموّج.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد