كيف تجذب الأرض تفاحة لا تلمسها قط؟ لقد سمّى نيوتن نفسه التأثير عن بعد “سخفًا عظيمًا” حتى إنه رفض الدفاع عنه. أما الجواب الحديث: فكتلة، أو شحنة، تعدّل الفضاء حولها — أي تنشئ مجالًا — ويستجيب كل ما يوضع هناك للمجال في موضعه هو. ونبني المثالين الكبيرين جنبًا إلى جنب، حتى يصير التماثل تطابقًا في الصورة.
14.1 من التأثير عن بعد إلى المجال
تعريف 14.1(المجال)
المجال يسند إلى كل نقطة من الفضاء متجهة. و المنبع (شحنة أو كتلة) ينشئ مجاله في كل مكان حوله، سواء وُجد هناك ما يحسّه أم لا؛ ثم يحسّ جسم اختبار قوةً يحدّدها المجال في موضعه هو وحده. وهذه الصورة ذات الخطوتين تحلّ محلّ التأثير عن بعد.
ملاحظة 14.2
المجال ليس حيلة محاسبية: فهو يحمل طاقة، وتنتقل التغيرات في المنبع إلى الخارج خلاله بسرعة منتهية — والضوء نفسه مجال منتقل كهذا (الفصل 22). وندرس هنا مجالات لا تتغير مع الزمن.
14.2 المجال الكهربائي
تعريف 14.3(المجال الكهربائي)
إذا أحسّت شحنة اختبار صغيرة q موضوعة في نقطة Mقوة كهربائية F، فإن المجال الكهربائي عند M هو
E=qF(بوحدة N/C، وتُكتب أيضًا V/m).
ولا يتوقف E إلا على المنابع وعلى M، لا على شحنة الاختبار: فمضاعفة q تضاعف F، ويبقى الخارج على حاله.
قضية 14.4(القوة على شحنة)
الشحنة q الموضوعة حيث المجالE تحسّ القوةF=qE: أي في جهة E إذا كان q>0، وعكس E إذا كان q<0، وشدتها F=∣q∣E.
برهان. أعِد ترتيب التعريف؛ وقاعدة الإشارة جبر مضاعفٍ سالب. ∎
مثال 14.5(قراءة مجال)
شحنة اختبار q=2.0×10−8C عند M تحسّ قوة قدرها 6.0×10−4N متجهة شرقًا. فالمجال عند M هو E=6.0×10−4/2.0×10−8=3.0×104N/C، متجهًا شرقًا؛ والشحنة q′=−1.0×10−8C الموضوعة في النقطة نفسها تحسّ F=1.0×10−8×3.0×104=3.0×10−4N — متجهة غربًا.
قضية 14.6(مجال شحنة نقطية)
الشحنة النقطية Q تنشئ، على المسافة d، مجالًا على المستقيم الواصل بين الشحنة والنقطة — مبتعدًا عن Q إذا كان Q>0، ونحوها إذا كان Q<0 — وشدته
E=kd2∣Q∣,k=8.99×109Nm2/C2.
برهان. يعطي قانون كولوم (الفصل 13) القوةَ على شحنة اختبار q على المسافة d: شدتها k∣qQ∣/d2، على المستقيم الواصل، نافرة في حالة الإشارتين المتماثلتين. اقسم على q و طبّق القضية 14.4. ∎
مثال 14.7(كرة مشحونة)
كرة فان دي غراف تحمل Q=5.0×10−7C (والكرة المشحونة الصغيرة تعمل عمل شحنة نقطية في مركزها). وعند d=0.50m:
E=8.99×109×5.0×10−7/0.502≈1.8×104N/C,
متجهًا قطريًّا بعيدًا عن الكرة. وعند 1.0m يكون قد هبط إلى ربع ذلك: فقانون 1/d2 الذي للقوة يبقى في المجال.
تعريف 14.8(خطوط المجال)
خط المجال منحنٍ مماسّ للمجال في كل نقطة، وعليه سهم يعطي جهة المجال. وثلاث قواعد:
تغادر الشحن الموجبة وتصل إلى الشحن السالبة؛
وحيث تتزاحم الخطوط يكون المجال قويًّا، وحيث تتباعد يكون ضعيفًا؛
ولا يتقاطع خطان أبدًا: فللمجال جهة واحدة في كل نقطة.
خطوط مجال شحنة نقطية: قطريًّا خارجة من +، وداخلة إلى −؛ والتزاحم قرب الشحنة يصوّر نموّ المجال وفق 1/d2.
14.3 المجال المنتظم في مكثّفة
تعريف 14.9(المكثّفة ذات الصفيحتين المتوازيتين)
صفيحتان معدنيتان متوازيتان متقابلتان، متقاربتان وتحملان شحنتين متعاكستين، تشكّلان مكثّفة. وبين الصفيحتين يكون المجالمنتظمًا: أي بالشدة والجهة نفسيهما في كل مكان — عموديًّا على الصفيحتين، من الصفيحة الموجبة إلى السالبة.
قضية 14.10(المجال بين الصفيحتين)
إذا كان التوتر بين الصفيحتين (الفصل 12) هو U والمسافة بينهما d، فإن شدة المجال بينهما
E=dU(بوحدة V/m).
برهان.نقبله في هذا المستوى.∎
ملاحظة 14.11
يُشتقّ الانتظام والعلاقة E=U/d اشتقاقًا أمينًا في مجلد السنة الأولى؛ و الصيغة تفسّر الوحدةV/m. والفجوات الرقيقة تصنع مجالات قوية: إذ إنّ 100V عبر مِلّيمتر تعطي أصلًا 105V/m.
مثال 14.12(توجيه حزمة إلكترونات)
في راسم الاهتزاز، تمرّ الحزمة بين صفيحتين حيث U=100V وd=5.0mm: فيكون E=100/5.0×10−3=2.0×104V/m، ويحسّ كل إلكترون F=1.60×10−19×2.0×104=3.2×10−15N نحو الصفيحة الموجبة — أي 4×1014 ضعف وزنه البالغ 8.9×10−30N، فتنحرف الحزمة انحرافًا مرئيًّا (أما المسار المنحني فشأن الفصل 25).
المجال المنتظم في مكثّفة: خطوط متوازية متساوية التباعد من الصفيحة + إلى الصفيحة −، حيث E=U/d؛ فتُدفع الشحنة الموجبة في جهة المجال، والسالبة عكسه.
14.4 مجال الجاذبية
تعريف 14.13(مجال الجاذبية)
إذا أحسّت كتلة اختبار m موضوعة في نقطة قوة جاذبية (أي وزنًا) P، فإن مجال الجاذبية هناك هو
g=mP(بوحدة N/kg),
وعكسًا P=mg. وقد أدخل فصل سابق العدد g؛ أما g فتضيف الجهة التي يبدأ حجر مسقَط بالتحرك فيها.
قضية 14.14(مجال الأرض)
على المسافة d من مركز الأرض (وكتلتها M)، يتجه مجال الجاذبية نحو المركز وشدته
g=Gd2M,G=6.67×10−11Nm2/kg2.
برهان. تعطي الجاذبية الكونية (الفصل 4) القوةَ على كتلة اختبار m: شدتها GMm/d2، نحو المركز؛ فاقسم على m. وعند السطح يكون d=R وهذا هو g=GM/R2≈9.81N/kg في الفصل السابق. ∎
مثال 14.15(المجال حيث يعيش القمر)
عند مسافة القمر d=3.84×108m:
g=6.67×10−11×5.97×1024/(3.84×108)2≈2.7×10−3N/kg.
فمجال الأرض لا يتوقف أبدًا — إنما يخفّ وفق 1/d2؛ وهو المجال الذي يمسك القمر على مداره.
ملاحظة 14.16(منتظم قرب السطح)
فوق مختبر أو حتى فوق جبل، لا تكاد d تتغير أمام R=6.37×106m، ومن ثم يكون gمنتظمًا بدقة عالية: خطوط عمودية، و9.81N/kg ثابتة — فمجال الأرض يبدو كمجالالمكثّفة، تمامًا كما تبدو الأرض الكروية مسطحة من حديقة.
مجال جاذبية الأرض: قطري، متجه نحو المركز، وشدته GM/d2 — أي الصورة الطبق الأصل لمجال شحنة نقطية سالبة.
وكل صيغة في اليمين تصير صيغة اليسار بالقاموس q↔m، E↔g، k↔G.
ملاحظة 14.17(أين ينكسر التماثل)
تأتي الشحنة بإشارتين؛ والكتلة بإشارة واحدة. ولذلك يمكن إلغاء المجالات الكهربائية: فالشحن المعادة ترتيبها في صندوق معدني تمحو أي مجال خارجي في داخله (وهو قفص فاراداي — ولهذا يقتل المصعد إشارة هاتفك)، والمادة بالجملة، بتوازن + و−، صامتة كهربائيًّا. أما الجاذبية فلا تُحجب ولا تُعادَل: فكل كيلوغرام يضيف جذبه — ولهذا تحكم القوة الأضعف بمقدار 1039 (التمرين 14.10) الكون على المقاييس الكبيرة.
14.6 تمارين
تمرين 14.1★
شحنة اختبار q=2.0×10−6C في نقطة M تحسّ قوة قدرها 5.0×10−3N متجهة شمالًا. أعطِ المجال عند M (شدته و جهته)، ثم القوة على q′=−4.0×10−6C الموضوعة عند M.
حل
حل التمرين 14.1.
E=5.0×10−3/2.0×10−6=2.5×103N/C، متجهًا شمالًا. وعلى q′: F=4.0×10−6×2.5×103=1.0×10−2N، متجهة جنوبًا (q′<0).
على المريخ، يزن مسبار كتلته 250kg مقدار 930N. احسب مجال سطح المريخ gالمريخ، ثم وزن رائد فضاء كتلته 80kg هناك.
حل
حل التمرين 14.4.
gالمريخ=P/m=930/250=3.7N/kg. ورائد الفضاء: P=80×3.72≈3.0×102N (أي نحو 780N على الأرض).
تمرين 14.5★
صحيح أم خطأ، مع سبب واحد لكلٍّ: (أ) يجوز أن يتقاطع خطا مجال حيث يكون المجال قويًّا؛ (ب) تغادر خطوط المجال الشحن السالبة و تصل إلى الموجبة؛ (ج) تزاحم خطوط المجال يدلّ على مجال قوي.
حل
حل التمرين 14.5.
(أ) خطأ: فللمجال جهة واحدة في كل نقطة، ومن ثم لا تتقاطع الخطوط أبدًا. (ب) خطأ: بل تغادر + وتصل إلى −. (ج) صحيح: فالتزاحم يشفّر الشدة.
تمرين 14.6★★
تدور محطة الفضاء الدولية على ارتفاع 420km (R=6.37×106m، M=5.97×1024kg).
احسب g عند المحطة؛ وأيّ جزء من القيمة السطحية هو؟
يطفو روّاد الفضاء. وفّق بين ذلك وجوابك في جملة واحدة.
حل
حل التمرين 14.6.
1.d=6.37×106+4.2×105=6.79×106m، ومنه g=6.67×10−11×5.97×1024/(6.79×106)2≈8.6N/kg — أي 88% من القيمة السطحية.
2. يطفون لأن المحطة والرائد يسقطان معًا (سقوطًا حرًّا)، لا لأن الجاذبية غائبة.
تمرين 14.7★★
أيّ شدة مجال توازن وزن إلكترون (me=9.11×10−31kg)؟ قارنها بشدة 2.0×104V/m في المثال 14.12؛ واستنتج بشأن مكانة الجاذبية في فيزياء الإلكترون.
حل
حل التمرين 14.7.
E=meg/e=9.11×10−31×9.81/1.60×10−19≈5.6×10−11V/m: أي أضعف نحو 4×1014 مرة من مجالراسم الاهتزاز. فالجاذبية مهمَلة تمامًا في فيزياء الإلكترون.
تمرين 14.8★★
تطفو حبة غبار كتلتها 2.0×10−6kg ساكنةً بين صفيحتين أفقيتين تفصل بينهما 2.0cm وبينهما توترU=5.0kV.
شحنتان +Q و+4Q تفصل بينهما 30cm. فأين على القطعة الواصلة بينهما ينعدم المجال الكلي؟ واشرح أولًا لماذا يجب أن تقع النقطة بينهما، أقرب إلى الأصغر منهما.
حل
حل التمرين 14.9.
خارج القطعة يتجه المجالان في الجهة نفسها؛ وبينهما يتعاكسان — ويقتضي التوازن أن تكون النقطة أقرب إلى المنبع الأضعف +Q. وبأخذ x مسافةً إلى +Q: kQ/x2=4kQ/(0.30−x)2، ومنه 0.30−x=2x وx=0.10m من +Q.
تمرين 14.10★★
في ذرة هيدروجين، يفصل بين البروتون (mp=1.67×10−27kg، وشحنته +e) والإلكترون (me=9.11×10−31kg، وشحنته −e) مقدار d=5.3×10−11m. احسب القوتين الكهربائية و الثقالية بينهما، ونسبتهما.
عند نقطة M، ينشئ منبع وحده مجالًا قدره 300N/C متجهًا شرقًا؛ وينشئ ثانٍ مجالًا قدره 400N/C متجهًا شمالًا. والمجالات تتجمع متجهاتٍ: أعطِ المجال الكلي عند M (شدته وجهته)، ثم القوة على q=−2.0×10−6C الموضوعة هناك.
حل
حل التمرين 14.11.
E=3002+4002=500N/C، بزاوية tan−1(400/300)≈53∘ شمال الشرق. وعلى q<0: F=2.0×10−6×500=1.0×10−3N، عكس المجال — أي 53∘ جنوب الغرب.
تمرين 14.12★★★
على أي ارتفاع يهبط مجال الأرض إلى نصف قيمته السطحية؟ وعلى الارتفاع h=R، إلى أي جزء؟
حل
حل التمرين 14.12.
يعطي GM/(R+h)2=21GM/R2 العلاقة R+h=R2، ومنه h=(2−1)R≈2.6×106m (أي نحو 2600km). وعند h=R، d=2R: أي ربع القيمة السطحية.
تمرين 14.13★★★
شحنتان قدر كلٍّ منهما 2.0nC تقعان عند A وB، وتفصل بينهما 6.0cm. والنقطة M على الواسط العمودي للقطعة [AB]، على بعد 4.0cm من منتصفها.
احسب المسافة AM، ثم شدة المجال الذي تنشئه كل شحنة عند M.
اجمع المجالين متجهين (مستعملًا التناظر) وأعطِ المجال الكلي عند M، شدةً وجهةً.
حل
حل التمرين 14.13.
1.AM=3.02+4.02=5.0cm؛ وتنشئ كل شحنة E1=8.99×109×2.0×10−9/0.0502≈7.2×103N/C.
2. تتلاشى المركّبتان على AB بالتناظر؛ ويسهم كل مجال بالمقدار E1×4/5 على الواسط، بعيدًا عن القطعة: E=2×7.19×103×0.80≈1.2×104N/C، متجهًا على الواسط، بعيدًا عن [AB].
تمرين 14.14★★★
اشرح، باستعمال إشارتي الشحنة، كيف تلغي الشحن الحرة في صندوق معدني مجالًا كهربائيًّا خارجيًّا في كل موضع داخله — ولماذا لا يقدر أي ترتيب للكتل على فعل ذلك في الجاذبية. وأيّ مكوّن مستحيل يقتضيه درع ثقالي؟
حل
حل التمرين 14.14.
تتحرك الشحن الحرة في الصندوق تحت المجال الخارجي: فتتراكم + على وجه، و− على الآخر، وتنشئ هذه الشحن المزاحة مجالًا داخليًّا يعاكس الخارجي. وتظل تتحرك حتى ينعدم المجال الكلي في الداخل تمامًا — فيحدث التوازن. أما الجاذبية فلا تعرض إلا إشارة واحدة للمنبع: فكل كتلة تضيف مجالًا جاذبًا، ولا شيء يعاكسه. والدرع الثقالي كان سيحتاج كتلة سالبة، وهي غير موجودة.
تمرين 14.15★★★
كرة صغيرة (m=0.50g، q=2.0×10−7C) معلّقة بخيط في مجال منتظم أفقي E=1.0×104V/m. وفي السكون، يصنع الخيط زاوية θ مع العمودي.
مسألة نهاية الأسبوع — وزن شحنة الإلكترون: قطيرة زيت تُركن في الهواء بين صفيحتين تكشف أن الشحنة تأتي بخطوات غير قابلة للقسمة قدرها 1.60×10−19كولوم
سنة 1909 رشّ روبرت ميليكان قطيرات زيت بين الصفيحتين الأفقيتين لمكثّفة. وبضبط التوتر حتى تتعلّق قطيرة مختارة بلا حركة — فتوازن القوة الكهربائية الوزنَ تمامًا — استطاع أن يزن شحنتها. وكتلة قطيرتنا m=4.90×10−15kg (مقيسة من سقوطها البطيء والمجال مطفأ؛ ونأخذها مسلَّمة)؛ وتفصل بين الصفيحتين d=8.0mm، والصفيحة العليا موجبة؛ وشحنة القطيرة سالبة.
الجزء I — المسرح.
صِف المجال بين الصفيحتين؛ وماذا يشتري لنا “الانتظام”؟
من أجل U=800V، احسب E.
وفي أي جهة تكون القوة الكهربائية على القطيرة؟ ولماذا وجب أن تكون الصفيحة العليا هي الموجبة؟
بيّن أن الخمس جميعها مضاعفات صحيحة لمقدار واحد؛ وأعطِ قيمته.
وبين توازنين متتاليين، بكم تتغير الشحنة؟ فسّر ذلك.
اشرح لماذا لا تقدر هذه القطيرة على التعلّق ساكنةً عند U=700V أبدًا، مهما طال الضبط بصبر.
كرّر ميليكان ذلك على مئات القطيرات: فكانت كل شحنة مقيسة مضاعفًا صحيحًا للقيمة نفسها. اذكر الاستنتاج، وسمِّ المقدار المقيس.
الجزء IV — لماذا لا يوجد ميليكان ثقالي.
في قاموس هذا الفصل، ما الذي يقوم بأدوار q وE وqE في توازن الجزء II؟
وهل تقدر كتلة فوق الرأس أن تمسك القطيرة مرفوعة بدل ذلك؟ احسب مجال كرة رصاص كتلتها 1000kg على ارتفاع 1.0m فوق القطيرة، والقوة على القطيرة، وقارنها بوزنها.
يحتاج التوازن جذبًا صاعدًا قويًّا بما يكفي لمصارعة الأرض كلها. فلماذا تقدر صفيحة مشحونة على توفيره ولا يقدر أي ترتيب للكتل؟
وكتلة القطيرة تتغير هي أيضًا بخطوات (فجزيء زيت واحد نحو 5×10−25kg). قارن القفزات النسبية في m وفي ∣q∣ حين يهبط إلكترون واحد، واستنتج: لماذا يرى هذا التوازن ذرات الكهرباء ولا يرى جزيئات الزيت؟ وبيت القصيد: الشحنة مكمَّاة، وذرّتها e=1.60×10−19C.
حل
حل المسألة 14.1.
1. منتظم، عمودي على الصفيحتين، متجه إلى أسفل (من الصفيحة العليا + إلى السفلى −)؛ والانتظام يعني أن القوة على القطيرة هي نفسها أينما انجرفت. 2.E=U/d=800/8.0×10−3=1.0×105V/m. 3. الشحنة سالبة، ومن ثم تكون القوةعكسE: أي إلى أعلى. ولا يتجه E إلى أسفل ولا تصارع القوة الكهربائية الوزنَ إلا والصفيحة + في الأعلى. 4.P=mg=4.90×10−15×9.81≈4.8×10−14N. 5.∣q∣E=mg. 6.∣q∣=mg/E=mgd/U. 7.∣q∣=4.81×10−14×8.0×10−3/800≈4.8×10−19C. 8.n=4.8×10−19/1.60×10−19=3 إلكترونًا زائدًا. 9. تكبر E، ومنه ∣q∣E>mg: فتتجه القوة المحصّلة إلى أعلى. 10. من ∣q∣U/d=mg، نجد U=mgd/∣q∣ — أي متناسبًا عكسًا مع الشحنة. 11.∣q∣=mgd/U=3.85×10−16/1200≈3.2×10−19C=2e: أي انخفاضًا من 3e، فقد فقدت القطيرة إلكترونًا. 12.∣q∣=3.85×10−16/U: 3.2×10−19C، 4.8×10−19C، 6.4×10−19C، 8.0×10−19C، 9.6×10−19C. 13. هي 2e,3e,4e,5e,6e حيث e=1.60×10−19C. 14. كل خطوة تغيّر ∣q∣ بمقدار 1.6×10−19C بالضبط: أي أن إلكترونًا واحدًا يهبط في كل مرة. 15. كان سيقتضي ذلك ∣q∣=3.85×10−16/700≈5.5×10−19C=3.4e — وهو ليس عددًا صحيحًا من الإلكترونات، فلا دفقة إشعاع تقدر أن تنتجه أبدًا. 16. الشحنة مكمَّاة: فهي تأتي مضاعفات صحيحة للشحنة الأوليةe=1.60×10−19C — وهو المقدار الذي قاسه ميليكان. 17.q↔m، E↔g، و ∣q∣E↔mg: أي الوزن نفسه. 18.gالكرة=GM/d2=6.67×10−11×1000/1.02=6.7×10−8N/kg؛ والقوة على القطيرة 4.90×10−15×6.7×10−8≈3.3×10−22N — أي أصغر نحو 1.5×108 مرة من وزنها. فالأمر ميؤوس منه. 19. لأن G صغير جدًّا، فلا يقدر على منافسة جذب الأرض إلا كتلة بحجم كوكب فوق الرأس — ولا كتلة تنفر. أما k الهائل وإشارتا الشحنة فيتيحان لصفيحة على طاولة أن تغلب الكوكب في أي من الجهتين. 20. الإلكترون الواحد: Δ∣q∣/∣q∣=e/3e≈33%؛ وجزيء الزيت الواحد: Δm/m=5×10−25/4.90×10−15≈10−10. فسُلّم الشحنة يحرّك توتر التوازن مئات الفولطات؛ وسُلّم الكتلة غير مرئي عند أي توتر. ولذلك يفرّق هذا التوازن ذرة الكهرباء — e=1.60×10−19C — بينما تتشوّش جزيئات الزيت في اتصال.
