26السقوط الحر وحركة المقذوفات

حل التمرين 26.1.

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$؛ $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

حل التمرين 26.2.

لا هواء على القمر: فكلاهما في سقوط حرّ، ويعطي $m\vect a = m\vect g$ $\vect a = \vect g$ لأي كتلة. أما على الأرض فمقاومة الهواء على الريشة مقاربة لوزنها الضئيل: فتركب سرعة حدية قدرها نحو $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بينما لا تكاد المطرقة تلاحظ الهواء.

حل التمرين 26.3.

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$، $1.4$، $4.5\,\mathrm{s}$؛ $v = gt = 4.4$، $14$، $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وتنمو الأزمنة مثل $\sqrt h$: إذ إنّ $\times 100$ في الارتفاع لا تعطي إلا $\times 10$ في الزمن.

حل التمرين 26.4.

$h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ عند $t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$؛ والعودة عند $3.06\,\mathrm{s}$، بسرعة $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ مرة أخرى (بالتناظر).

حل التمرين 26.5.

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$؛ $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$. ولا: فزمن السقوط يخصّ الحركة الشاقولية وحدها (بالاستقلال).

حل التمرين 26.6.

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ و$(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ تشتركان في المدى؛ و$45{}^{\circ}$ تفوز. والأشدّ انحدارًا من الزوج المتتامّ يطير أطول: إذ إنّ $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ ينمو مع $\alpha$.

حل التمرين 26.7.

يعطي $4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$؛ $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. وبالطاقة: $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — وهو نفسه.

حل التمرين 26.8.

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$؛ $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$؛ $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$.

حل التمرين 26.9.

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$. والمهمَل: أن مركز الكتلة يقلع عاليًا (لأن الجسم ممدود) ويهبط منخفضًا وأبعد إلى الأمام (لأن الساقين تُقذفان أمامه)، وأن الواثب ليس نقطة — فالمترات $1.7\,\mathrm{m}$ الناقصة تسكن في تلك الهندسة، لا في القطع المكافئ.

حل التمرين 26.10.

معًا: فلكلتيهما $v_y(0) = 0$، ومن ثم $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$ نفسه؛ وتهبط المطلَقة على بعد $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$. وهو يختبر استقلال الحركتين الأفقية والشاقولية.

حل التمرين 26.11.

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) = \sin(2\alpha)$: فالمدى $R$ نفسه. وهنا $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 = 9.81 \times 50/625 = 0.785$: أي $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ أو $64.1{}^{\circ}$.

حل التمرين 26.12.

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ (عند $45{}^{\circ}$)؛ $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (شاقوليًّا إلى أعلى). و$\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$: $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ أو $65.0{}^{\circ}$.

حل التمرين 26.13.

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2} {2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$: فتتجاوز السياج $4.0\,\mathrm{m}$ بنحو $1.4\,\mathrm{m}$.

حل التمرين 26.14.

(أ) توازن المقاومة الوزنَ: $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$. (ب) يصعد $v(t)$ بميل يتناقص باستمرار ويستوي عند $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) في الخلاء: $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أي عشرين ضعف السرعة الحقيقية $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — فقطرات المطر تقضي سقوطها كله تقريبًا عند سرعتها الحدية.

حل التمرين 26.15.

عند $t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ يكون السهم على الارتفاع $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$، وهو بالضبط ارتفاع القرد الساقط $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$. فكلاهما يتدلى $\tfrac12 gt^2$ تحت موضعه بلا جاذبية — فيلتقيان مهما تكن $v_0$.