Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

18Energi Mekanik dan Kekekalannya

Sebuah kereta luncur pasar malam tidak lagi bermesin setelah bukit pertamanya: setiap putaran, setiap semburan laju sesudahnya dibelanjakan dari rekening yang dibuka ketika naik. Bab ini mengubah pembukuannya menjadi dua bilangan — energi kinetik dan energi potensial — serta satu aturan: selama hanya berat yang melakukan usaha, jumlah keduanya tidak berubah. Gesekan adalah biayanya; kita akan belajar membacanya dari bukunya.

18.1 Energi kinetik

Definisi 18.1 (Energi kinetik)

Sebuah benda bermassa $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) yang bergerak dengan laju $v$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) membawa energi kinetik

E_k = \tfrac12\, m v^2 .

Pemeriksaan satuannya: $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} = \mathrm{J}$ — joule, seperti setiap energi (Bab 9).

Contoh 18.2 (Orde besar)

seorang pejalan kaki, $70\,\mathrm{kg}$ pada $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 1.4^2 \approx 69\,\mathrm{J}$ ;
sebuah mobil, $1300\,\mathrm{kg}$ pada $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ;
sebuah kereta cepat, $m = 3.85 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ , pada $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ;
sebutir peluru senapan, $8.0\,\mathrm{g}$ pada $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 2.6\,\mathrm{kJ}$ .

Tujuh orde besar memisahkan langkah santai dari keretanya. Dan $E_k$ tumbuh seperti kuadrat lajunya: pada $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ mobil itu membawa $4$ kali energi yang dimilikinya pada $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — empat kali yang harus dibuang remnya.

18.2 Teorema energi kinetik

Teorema 18.3 (Teorema energi kinetik)

Untuk benda bermassa $m$ yang bergerak sepanjang garis lurus dari $A$ ke $B$ , perubahan energi kinetiknya sama dengan usaha seluruhnya (Bab 17) yang diterimanya:

\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

dengan jumlahannya meliputi semua gaya yang bekerja pada benda itu. Pernyataan itu meluas ke gerak sepanjang lintasan apa pun, yang juga kita terima di sini.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 18.4 (Jatuh bebas, diperiksa bingkai demi bingkai)

Sebuah bola $0.200\,\mathrm{kg}$ dijatuhkan lalu direkam; bingkainya memberikan:

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.10	0.20	0.30	0.40
tinggi jatuh $h$ ( $\mathrm{m}$ )	0.049	0.196	0.441	0.785
laju $v$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )	0.98	1.96	2.94	3.92
$E_k = \tfrac12 mv^2$ ( $\mathrm{J}$ )	0.096	0.384	0.864	1.54
$W = mgh$ ( $\mathrm{J}$ )	0.096	0.385	0.865	1.54

Bermula dari $E_k = 0$ , pada tiap bingkainya $E_k$ sepadan dengan usaha $mgh$ oleh beratnya: $\Delta E_k = W(\vect P)$ , yaitu $v^2 = 2gh$ — teoremanya, terbukti sampai ketelitian bacaannya.

Catatan 18.5 (Di mana buktinya bersemayam)

Pernyataan umumnya — yang berlaku sepanjang lintasan apa pun, bukan hanya garis lurus — mengikuti dari hukum kedua Newton beserta sedikit kalkulus, yang keduanya datang kemudian di dalam buku ini (Bab 25 dan 29); sampai saat itu pemeriksaan jatuh bebasnyalah jaminan kita, dan kita menerima versi lintasan melengkungnya lalu memakainya dengan bebas.

18.3 Energi potensial gravitasi

Definisi 18.6 (Energi potensial gravitasi)

Sebuah benda bermassa $m$ pada ketinggian $z$ , yang diukur ke atas dari aras acuan yang dipilih dengan $z = 0$ , menyimpan energi potensial gravitasi

E_p = m g z, \qquad g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

Catatan 18.7 (Hanya selisihnya yang berperan)

Berpindah dari $A$ ke $B$ mengubah $E_p$ sebesar $mg(z_B - z_A) = -W_{AB}(\vect P)$ : kebalikan usaha oleh beratnya (Bab 17). Aras acuannya bebas dipilih — lantai, permukaan laut, atas meja — dan menggesernya menggeser $E_p$ di mana pun dengan sebuah tetapan yang hilang pada setiap selisih. Letakkanlah aras itu di tempat yang angkanya paling sederhana, dan jangan memindahkannya di tengah soal.

Contoh 18.8 (Buku di rak)

Sebuah buku $1.2\,\mathrm{kg}$ terletak $1.8\,\mathrm{m}$ di atas lantai, yang lantainya sendiri $9.0\,\mathrm{m}$ di atas jalan. Dengan acuan pada lantainya: $E_p = 1.2 \times 9.81 \times 1.8 \approx 21\,\mathrm{J}$ ; dengan acuan pada jalannya: $E_p \approx 127\,\mathrm{J}$ . Jatuh ke lantainya melepaskan $21\,\mathrm{J}$ pada kedua rekening itu.

18.4 Energi mekanik dan kekekalannya

Definisi 18.9 (Energi mekanik)

Energi mekanik sebuah benda adalah

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + m g z .

Teorema 18.10 (Kekekalan energi mekanik)

Jika satu-satunya gaya yang melakukan usaha pada sebuah benda adalah beratnya (tanpa gesekan; gaya yang lain, seperti gaya normal dari lintasan tanpa gesekan, tegak lurus geraknya), maka $E_m$ bersifat kekal: untuk dua titik $A$ , $B$ mana pun pada geraknya,

\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B .

Bukti. Menurut teorema energi kinetik, $E_k(B) - E_k(A) = W_{AB}(\vect P) = mg(z_A - z_B) = E_p(A) - E_p(B)$ : apa yang diperoleh $E_k$ dilepaskan $E_p$ . ∎

Contoh 18.11 (Seluncuran air)

Seorang anak bermula dalam keadaan diam di puncak seluncuran tanpa gesekan setinggi $h = 3.2\,\mathrm{m}$ . Dengan acuan pada dasarnya: $mgh = \tfrac12 mv^2$ , sehingga $v = \sqrt{2gh} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $29\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) — berapa pun massanya dan apa pun bentuk seluncurannya: lurus, melengkung atau berpilin, hanya selisih ketinggiannya yang masuk hitungan.

Contoh 18.12 (Bandul)

Sebuah bandul ditarik ke samping sampai naik $h = 12\,\mathrm{cm}$ di atas titik terendahnya, lalu dilepaskan. Pada kedua ujungnya $v = 0$ ; di dasarnya seluruh $mgh$ menjadi kinetik, $v = \sqrt{2gh} \approx 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; pada sisi seberangnya bandul itu naik kembali tepat setinggi $12\,\mathrm{cm}$ .

Bandul itu menukarkan E_p dengan E_k lalu kembali: seluruhnya potensial pada kedua ujungnya, seluruhnya kinetik di dasarnya, dengan kenaikan h yang sama dua kali. — Bandul itu menukarkan $E_p$ dengan $E_k$ lalu kembali: seluruhnya potensial pada kedua ujungnya, seluruhnya kinetik di dasarnya, dengan kenaikan $h$ yang sama dua kali.

Diagram batang energi sebuah kereta luncur tanpa gesekan: pada tiap kedudukan, batang E_p dan E_k bertumpuk menjadi jumlah E_m yang sama (garis putus-putus). — Diagram batang energi sebuah kereta luncur tanpa gesekan: pada tiap kedudukan, batang $E_p$ dan $E_k$ bertumpuk menjadi jumlah $E_m$ yang sama (garis putus-putus).

Contoh 18.13 (Laju pendaratan lompat ski)

Seorang peloncat ski meninggalkan papan tolaknya pada $v_A = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan mendarat $\Delta z = 40\,\mathrm{m}$ lebih rendah. Dengan mengabaikan hambatan udara, $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g\,\Delta z} = \sqrt{625 + 785} \approx 38\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — tanpa perlu mengetahui lintasan terbangnya.

Lompat ski: apa pun lengkung yang diterbanginya dari A ke B, hanya selisih ketinggian z yang masuk ke neraca energinya. — Lompat ski: apa pun lengkung yang diterbanginya dari $A$ ke $B$ , hanya selisih ketinggian $\Delta z$ yang masuk ke neraca energinya.

18.5 Disipasi oleh gesekan

Definisi 18.14 (Disipasi)

Energi yang meninggalkan rekening mekanisnya dikatakan terdisipasi: energi itu muncul kembali sebagai energi termal pada permukaan yang bergesekan dan pada udaranya. Energi seluruhnya tetap kekal (Bab 9); energi mekaniknya sendirilah yang tidak.

Proposisi 18.15 (Selisihnya mengukur gesekan)

Jika sebuah gaya gesek $\vect f$ ikut melakukan usaha sepanjang geraknya, maka

\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vect f) < 0:

kehilangan energi mekaniknya sama dengan usaha oleh gesekannya.

Bukti. Teorema energi kinetiknya kini berbunyi $\Delta E_k = W_{AB}(\vect P) + W_{AB}(\vect f) = -\Delta E_p + W_{AB}(\vect f)$ ; pindahkanlah $\Delta E_p$ ke ruas yang lain. Gesekan melawan geraknya, sehingga usahanya negatif. ∎

Contoh 18.16 (Audit kereta luncur salju)

Seorang anak beserta kereta luncurnya ( $m = 40\,\mathrm{kg}$ ) bermula dalam keadaan diam, turun $h = 5.0\,\mathrm{m}$ sepanjang $12\,\mathrm{m}$ salju, lalu tiba pada $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan bukan pada $\sqrt{2gh} \approx 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ milik keadaan tanpa gesekan. Dengan acuan pada dasarnya: $\Delta E_m = \tfrac12 \times 40 \times 7.0^2 - 40 \times 9.81 \times 5.0 = 980 - 1962 = -982\,\mathrm{J}$ . Jadi $W(\vect f) = -982\,\mathrm{J}$ sepanjang $12\,\mathrm{m}$ : gaya gesek rata-ratanya $f = 982/12 \approx 82\,\mathrm{N}$ , dan $982\,\mathrm{J}$ kehangatan pada peluncur dan saljunya.

E_m sepanjang sebuah gerak: rata tanpa gesekan, menurun dengan gesekan — turunnya pada tiap saat adalah kalor yang sudah dihasilkan sampai saat itu. — $E_m$ sepanjang sebuah gerak: rata tanpa gesekan, menurun dengan gesekan — turunnya pada tiap saat adalah kalor yang sudah dihasilkan sampai saat itu.

Metode 18.17 (Pembukuan energi)

Pilihlah sebuah aras acuan lalu pertahankan; namailah $A$ (datanya) dan $B$ (pertanyaannya).
Tulislah $E_m = \tfrac12 mv^2 + mgz$ di $A$ dan di $B$ .
Tanpa gesekan: $E_m(A) = E_m(B)$ ; selesaikan — biasanya $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g(z_A - z_B)}$ .
Dengan gesekan: $E_m(B) - E_m(A) = -f\ell$ ( $\ell$ = panjang lintasannya); selesaikan untuk yang belum diketahui.
Periksalah: batang $E_k$ / $E_p$ bertumpuk menjadi $E_m$ , yang rata kecuali jika ada gesekan.

18.6 Latihan

Latihan 18.1 ★

Hitunglah energi kinetik (a) sebuah skuter beserta pengendaranya $90\,\mathrm{kg}$ pada $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (b) sebuah mobil $1200\,\mathrm{kg}$ pada $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) Dengan faktor berapa $E_k$ berubah ketika lajunya digandakan? Dan ketika lajunya menjadi tiga kali lipat?

Solusi

Solusi Latihan 18.1.

(a) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ . (b) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . (c) $\times 4$ ; $\times 9$ — karena kuadratnya.

Latihan 18.2 ★

Seorang pendaki $75\,\mathrm{kg}$ memperoleh ketinggian $850\,\mathrm{m}$ . Hitunglah pertambahan energi potensialnya. Apakah nilainya bergantung pada aras acuannya? Pada rutenya?

Solusi

Solusi Latihan 18.2.

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Tidak: aras acuannya menggeser kedua nilainya sama banyak. Tidak juga: hanya selisih ketinggiannya yang masuk hitungan.

Latihan 18.3 ★

Sebuah pot bunga jatuh $20\,\mathrm{m}$ dari balkon. Dengan mengabaikan hambatan udara, tentukan lajunya saat mencapai tanah dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Ke mana massanya pergi?

Solusi

Solusi Latihan 18.3.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Karena $mgh = \tfrac12 mv^2$ : massanya saling menghapus.

Latihan 18.4 ★

Sebuah mobil $1200\,\mathrm{kg}$ mengerem dari $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sampai berhenti dalam $50\,\mathrm{m}$ . Pakailah teorema energi kinetik untuk menemukan usaha oleh remnya, lalu gaya pengereman rata-ratanya.

Solusi

Solusi Latihan 18.4.

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 = -3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

Latihan 18.5 ★

Sebuah bandul dilepaskan $8.0\,\mathrm{cm}$ di atas titik terendahnya. Tentukan lajunya di dasarnya dan tinggi yang dicapainya di sisi seberangnya.

Solusi

Solusi Latihan 18.5.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; bandul itu naik kembali sampai $8.0\,\mathrm{cm}$ (kekekalannya).

Latihan 18.6 ★★

Dengan memakai Contoh 18.2: dengan faktor berapa energi kinetik keretanya melampaui energi kinetik pelurunya? Setinggi apa $E_k$ miliknya sendiri dapat mengangkat kereta itu ( $h = v^2/2g$ )?

Solusi

Solusi Latihan 18.6.

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$ : sekitar enam ratus ribu peluru. $h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — lajunya sendiri dapat mengangkat kereta itu setinggi $400$ meter.

Latihan 18.7 ★★

Dua seluncuran tanpa gesekan turun dari peron $3.0\,\mathrm{m}$ yang sama, yang satu lurus dan curam, yang lain panjang dan berkelok. Bandingkan laju tibanya (hitunglah keduanya) dan waktu tibanya (tanpa perhitungan).

Solusi

Solusi Latihan 18.7.

Lajunya sama, yaitu $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (hanya selisih ketinggiannya yang masuk hitungan). Seluncuran yang curam menang dalam waktu: ia mencapai laju tinggi lebih cepat dan lintasannya lebih pendek.

Latihan 18.8 ★★

Sebuah bola dilemparkan lurus ke atas dengan $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tentukan tinggi terbesar yang dicapainya, lalu lajunya pada $4.0\,\mathrm{m}$ — ketika naik dan ketika turun.

Solusi

Solusi Latihan 18.8.

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$ . Pada $4.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — sama pada kedua arahnya: $E_m$ bergantung pada ketinggiannya, bukan pada arah perjalanannya.

Latihan 18.9 ★★

Seorang peloncat ski meninggalkan papan tolaknya pada $23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan mendarat $35\,\mathrm{m}$ lebih rendah. Ramalkan laju pendaratannya tanpa hambatan udara; apakah nilai yang sebenarnya lebih besar atau lebih kecil, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 18.9.

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Pada kenyataannya lebih kecil: hambatan udara mendisipasikan sebagian $E_m$ .

Latihan 18.10 ★★

Sebuah kereta luncur $45\,\mathrm{kg}$ bermula dalam keadaan diam, turun $6.0\,\mathrm{m}$ sepanjang $15\,\mathrm{m}$ lereng, lalu tiba pada $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tentukan energi mekanik yang hilang, lalu gaya gesek rata-ratanya. Ke mana energinya pergi?

Solusi

Solusi Latihan 18.10.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times 6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$ . Energinya menjadi kalor, pada peluncur dan saljunya.

Latihan 18.11 ★★

Pasak Galileo: sebuah bandul yang dilepaskan $15\,\mathrm{cm}$ di atas titik terendahnya menemui sebuah pasak yang menghalangi paruh atas talinya pada kedudukan tegaknya. Tentukan lajunya di dasarnya dan kenaikannya di balik pasak itu; apa yang diubah pasak itu, dan apa yang tidak?

Solusi

Solusi Latihan 18.11.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; bandul itu naik lagi sampai $15\,\mathrm{cm}$ . Pasaknya mengubah lintasannya (lingkaran yang lebih rapat), bukan energinya: ketinggian dan lajunya tidak tersentuh.

Latihan 18.12 ★★★

Seorang peluncur papan turun ke dalam separuh pipa dari $2.5\,\mathrm{m}$ ; tiap penyeberangannya (sisi ke sisi) mendisipasikan $10\%$ energi mekaniknya. Tentukan lajunya di dasar penurunan pertamanya, lalu — dengan menghitung tinggi kenaikannya yang berturut-turut — penyeberangan pertama yang berakhir di bawah $1.0\,\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 18.12.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tinggi kenaikannya berskala dengan $E_m$ , sehingga $\times 0.9$ tiap penyeberangan: $2.25$ , $2.03$ , $1.82$ , $1.64$ , $1.48$ , $1.33$ , $1.20$ , $1.08$ , $0.97$ — pertama kali di bawah $1.0\,\mathrm{m}$ pada penyeberangan ke- $9$ .

Latihan 18.13 ★★★

Dari puncak tebing $45\,\mathrm{m}$ , sebuah batu dilemparkan dengan $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ke atas, mendatar, atau pada sudut berapa pun. Tunjukkan bahwa laju pendaratannya sama pada semua kasusnya lalu hitunglah nilainya. Lalu apa yang memang bergantung pada sudutnya?

Solusi

Solusi Latihan 18.13.

Energi awalnya $E_m = \tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ sama berapa pun sudutnya, sehingga laju di tanahnya adalah $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx 33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Sudutnya menetapkan arah kecepatan pendaratannya, lama terbangnya dan jangkauannya — bukan laju pendaratannya.

Latihan 18.14 ★★★

Seorang pemain ski menuruni bukit dengan massa $80\,\mathrm{kg}$ , bermula dalam keadaan diam dan turun $120\,\mathrm{m}$ sepanjang lintasan $800\,\mathrm{m}$ , melawan gaya gesek tetap $65\,\mathrm{N}$ . Tentukan laju tibanya dan bagian $E_m$ yang terdisipasi.

Solusi

Solusi Latihan 18.14.

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times 800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ , sehingga $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Bagian yang terdisipasi: $52000/94176 \approx 55\%$ .

Latihan 18.15 ★★★

Sebuah pembangkit penyimpanan pompa menaikkan $V = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ air ( $1000\,\mathrm{kg}$ tiap $\mathrm{m}^{3}$ ) setinggi $300\,\mathrm{m}$ . Hitunglah energi yang tersimpan dalam joule dan dalam $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; jika diturbinkan kembali pada efisiensi $85\%$ (Bab 9), berapa rumah yang menarik $10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ tiap hari yang dapat dipasoknya selama satu hari?

Solusi

Solusi Latihan 18.15.

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ : $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ . Yang diperoleh kembali: $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — sekitar $1.4 \times 10^{5}$ rumah selama satu hari.

18.7 Soal: Merancang putarannya

Soal 18.1

Soal akhir pekan — audit energi sebuah kereta luncur pasar malam: tinggi peluncuran yang dituntut putarannya, laju yang dijanjikannya, gesekan yang diakui dua pengindra, rem yang menutup rekeningnya — seluruh wahananya bergantung pada satu bilangan

Sebuah rangkaian kereta bermassa $m = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ dilepaskan dalam keadaan diam dari bukit peluncuran setinggi $H$ lalu meluncur tanpa mesin menembus putaran lingkaran tegak berjari-jari $R = 8.0\,\mathrm{m}$ yang puncaknya berada pada ketinggian $2R$ . Telaah gerak melingkar (tahun depan) memasok satu data yang kita pinjam: pada puncak putarannya, keretanya baru menekan relnya apabila $v_{\text{puncak}}^2 \geq gR$ . Bagian I dan II mengabaikan gesekan.

Bagian I — Bukit yang dituntut putarannya.

Hitunglah laju aman terkecil di puncak putarannya.
Dengan tanah sebagai aras acuannya: hitunglah energi mekanik keretanya di puncak putaran pada laju terkecil itu.
Simpulkan $H_{\min}$ lalu tunjukkan bahwa $H_{\min} = 5R/2$ — tanpa massa, tanpa $g$ .
Timnya mengambil $H = 24\,\mathrm{m}$ : hitunglah laju yang sebenarnya di puncak putarannya dan nisbah $v_{\text{puncak}}^2/(gR)$ .
Ke mana $m$ pergi? Mengapa rancangannya cocok baik untuk kereta yang penuh maupun yang kosong?

Bagian II — Apa yang dijanjikan tingginya ( $H = 24\,\mathrm{m}$ ).

Berapa lajunya di dasar putarannya ( $z = 0$ ), dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Berapa lajunya di sisi putarannya ( $z = R$ )?
Hitunglah $E_p$ dan $E_k$ pada peluncurannya, di dasar, di sisi dan di puncak putarannya; periksalah bahwa tiap pasangnya berjumlah $mgH$ .
Sebuah gundukan punuk unta $12\,\mathrm{m}$ menyusul putarannya: berapa lajunya di puncak gundukan itu?
Berikan rumus umum $v(z)$ ; di mana wahana itu paling cepat, dan di mana paling lambat?

Bagian III — Audit gesekannya. Dua pengindra pada ketinggian yang sama $z = 2.0\,\mathrm{m}$ , yang terpisah $60\,\mathrm{m}$ rel, membaca $v_1 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lalu $v_2 = 19.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Hitunglah perubahan energi mekanik antara kedua pengindranya. Apa yang membuat penempatan pada ketinggian yang sama itu cerdik?
Simpulkan usaha oleh gesekannya dan gaya gesek rata-ratanya.
Ke mana energi yang hilang itu pergi? Sebutkan bentuknya dan tempatnya.
Berapa bagian $E_m$ keretanya yang hilang tiap $60\,\mathrm{m}$ ? Mengapa $H_{\min}$ yang telanjang akan berbahaya di dunia nyata yang bergesekan?
Sekitar $90\,\mathrm{m}$ rel memisahkan peluncurannya dari puncak putarannya: taksirlah $E_m$ di sana; apakah kelebihan pada pertanyaan 4 masih menyelamatkan putarannya?

Bagian IV — Menutup rekeningnya. Pengindra terakhir, pada pintu masuk lintasan pengereman mendatar yang lurus ( $z = 0$ ), membaca $18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Hitunglah energi kinetik keretanya di sana.
Remnya harus menghentikannya dalam $d = 45\,\mathrm{m}$ : hitunglah gaya pengereman (tetap) yang diperlukan.
Pemeriksaan kenyamanannya: hitunglah perlambatannya $a = F/m$ ; bandingkan dengan $g$ .
Berapa energi yang didisipasikan gesekan rel sepanjang seluruh wahananya? Periksalah bahwa gesekan $+$ rem $= mgH$ , sampai ke joulenya.
Puncak ceritanya, dalam satu kalimat: bilangan tunggal yang mana yang menetapkan keamanan putarannya, setiap lajunya, tagihan gesekannya dan gaya remnya — dan berapa harga mengabaikan gesekan?

Solusi

Solusi Soal 18.1.

1. $v_{\text{puncak}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 8.0} \approx 8.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $E_m = mg\,(2R) + \tfrac12 m gR = 3.14 \times 10^{5} + 7.8 \times 10^{4} \approx 3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ .

3. $mgH_{\min} = E_m$ memberikan $H_{\min} = 20\,\mathrm{m}$ ; secara aljabar $H_{\min} = 2R + \frac{gR}{2g} = \frac{5R}{2}$ .

4. $v_{\text{puncak}} = \sqrt{2g(H - 2R)} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_{\text{puncak}}^2/(gR) = 2.0$ — dua kali nilai terkecilnya.

5. Setiap energinya sebanding dengan $m$ , sehingga $m$ saling menghapus: lajunya sama dan keamanannya sama, penuh atau kosong.

6. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 24} \approx 21.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 78\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

7. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 8.0)} \approx 17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

8. $mgH = 4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Pasangan $(E_p, E_k)$ : pada peluncurannya $(4.71 \times 10^{5}, 0)$ ; di dasarnya $(0, 4.71 \times 10^{5})$ ; di sisinya $(1.57 \times 10^{5}, 3.14 \times 10^{5})$ ; di puncaknya $(3.14 \times 10^{5}, 1.57 \times 10^{5})$ — tiap pasangnya berjumlah $4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ .

9. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 12)} \approx 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

10. $v(z) = \sqrt{2g(H - z)}$ : paling cepat di titik terendah relnya, paling lambat di puncak putarannya.

11. Ketinggiannya sama, sehingga $\Delta E_p = 0$ dan $\Delta E_m = \Delta E_k = \tfrac12 \times 2000 \times (19.2^2 - 20.4^2) \approx -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : penempatannya membuat selisihnya murni kinetik, yang cukup dibaca dari dua pengukur laju.

12. $W(\vect f) = -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; $f = 4.75 \times 10^{4}/60 \approx 7.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ .

13. Menjadi energi termal, pada rodanya, relnya dan udaranya.

14. $E_m$ pada pengindra pertamanya: $4.16 \times 10^{5} + 3.9 \times 10^{4} = 4.55 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; kehilangannya $4.75 \times 10^{4}/4.55 \times 10^{5} \approx 10\%$ tiap $60\,\mathrm{m}$ . Pada $H_{\min}$ , puncak putarannya tercapai tepat pada $\sqrt{gR}$ ; kehilangan berapa pun menjatuhkannya di bawah laju amannya.

15. Karena kehilangan $\approx 10\%$ tiap $60\,\mathrm{m}$ , sekitar $15\%$ dari $mgH$ ( $\approx 7.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ) sudah lenyap: $E_m \approx 4.00 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ , masih di atas $3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ yang dituntut — aman, dengan kelebihan hanya $2\%$ . Kelebihan tadi bukan kemewahan.

16. $E_k = \tfrac12 \times 2000 \times 18.0^2 = 3.24 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ .

17. $F = 3.24 \times 10^{5}/45 = 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

18. $a = 7200/2000 = 3.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.37\,g$ : tegas tetapi masih nyaman.

19. Gesekan relnya: $mgH - 3.24 \times 10^{5} = 470\,880 - 324\,000 = 1.47 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Auditnya: $1.47 \times 10^{5} + 3.24 \times 10^{5} = 4.71 \times 10^{5} = mgH$ — setiap joulenya terhitung.

20. Tinggi peluncuran $H = 24\,\mathrm{m}$ menetapkan keamanan putarannya, setiap lajunya $\sqrt{2g(H - z)}$ , tagihan gesekannya dan gaya remnya; harga mengabaikan gesekan adalah kelebihannya — yaitu $4\,\mathrm{m}$ bukit yang diam-diam dilahap dunia yang bergesekan.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium