Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

30Sirkuit RC dan RL

Tekanlah tombol rana kamera setengah jalan: dengung tipis menanjak selama dua sekon, sebuah lampu menyala hijau — baru setelah itu lampu kilatnya menyala, menumpahkan dalam semilisekon apa yang dikumpulkannya selama dua sekon. Bab ini menemui dua komponen yang memberi sirkuit sebuah ingatan dan sebuah jam — kapasitor dan kumparan — serta persamaan diferensial pertama dalam fisika, yang dapat diperiksa dengan turunan tahun ini.

30.1 Kapasitor

Definisi 30.1 (Kapasitor dan kapasitansi)

Kapasitor adalah sepasang keping logam yang berhadapan dan dipisahkan oleh penyekat yang tipis. Ketika dikawatkan ke sumber, kepingnya mengambil muatan yang berlawanan $+q$ dan $-q$ — medan listrik memenuhi celahnya (Bab 14) — dan tegangan $u$ di antara kepingnya sebanding dengan muatan yang tersimpannya:

q = C\,u .

Tetapan $C$ adalah kapasitansi, dalam farad ( $\mathrm{F}$ ): $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ .

Contoh 30.2 (Orde besaran)

Satu farad itu raksasa — satu coulomb terparkir tiap volt. Keramik pada sirkuit radio: $\mathrm{pF}$ sampai $\mathrm{nF}$ ; elektrolit pada catu daya dan lampu kilat: $\text{µ}\mathrm{F}$ sampai $\mathrm{mF}$ ; superkapasitor: ribuan farad.

Proposisi 30.3 (Arus yang masuk ke kapasitor)

Arus yang tiba pada keping kapasitor adalah laju pertumbuhan muatannya:

i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,

dengan huruf kecil menandai besaran yang berubah menurut waktu ( $U$ , $I$ tetap mantap, Bab 12).

Bukti. Arus adalah muatan yang diserahkan tiap sekon (Definisi 12.1): pada selang yang menyusut, $i$ adalah turunan $q$ ; dan $q = Cu$ dengan $C$ yang tetap memberikan $C\,du/dt$ . ∎

Catatan 30.4 (Dua akibatnya)

Jika $u$ tetap, $i = 0$ : kapasitor yang bermuatan tidak melewatkan arus tetap. Dan $u$ tidak pernah dapat meloncat — loncatan akan menuntut arus tak hingga: tegangan kapasitor adalah ingatan sirkuitnya.

30.2 Mengisi kapasitor: sirkuit RC

Satu simpal — sumber $\mathcal{E}$ (Definisi 12.18), sakelar, resistor, kapasitor kosong: tutuplah $K$ pada $t = 0$ .

Sirkuit pengisian RC: menutup K membiarkan sumbernya mendorong muatan melalui R ke keping C. — Sirkuit pengisian RC: menutup $K$ membiarkan sumbernya mendorong muatan melalui $R$ ke keping $C$ .

Teorema 30.5 (Hukum pengisian sirkuit RC)

Setelah sakelarnya tertutup, tegangan kapasitornya menaati, lalu menyusul dari $u(0) = 0$ :

RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E}, \qquad u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC .

Bukti. Tegangan sepanjang simpalnya berjumlah (Proposisi 12.4): $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ pada setiap saat; sulihkanlah $i = C\,du/dt$ (Proposisi 30.3). Kini periksalah calonnya: $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ , sehingga $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) = \mathcal{E}$ , yang benar untuk semua $t$ ; dan $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$ . Bahwa tidak ada kurva lain yang cocok dengan persamaannya dan awalnya dibuktikan pada pelajaran matematika tahun ini tentang persamaan diferensial. ∎

Definisi 30.6 (Tetapan waktu)

Tetapan waktu sebuah sirkuit RC adalah $\tau = RC$ . Satuannya: $\Omega \times \mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — irama milik sirkuitnya sendiri.

Metode 30.7 (Membaca $\tau$ pada kurvanya)

Tiga bacaan yang setara, langsung dari grafiknya:

garis singgung di titik asalnya: $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , sehingga garis singgung awalnya mencapai asimtotnya pada $t = \tau$ ;
63%: $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx 0.63\,\mathcal{E}$ ;
95%: $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — terisi, untuk keperluan praktisnya ( $5\tau$ : $99\%$ ).

Proposisi 30.8 (Pengosongan)

Kapasitor yang terisi sampai $U_0$ lalu ditutup pada resistor $R$ saja menaati $RC\,du/dt + u = 0$ dan menyusul

u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC

— $37\%$ tersisa pada $\tau$ , $5\%$ pada $3\tau$ .

Bukti. Hukum simpal yang sama, tanpa sumbernya; penyulihan lagi: $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$ , dengan $u(0) = U_0$ . ∎

Pengisian (biru, dari u = 0 menuju E) dan pengosongan (merah, dari U_0 = E). Kedua garis singgung awalnya menemui asimtotnya pada t =; 63\% rampung pada , 95\% pada 3. — Pengisian (biru, dari $u = 0$ menuju $\mathcal{E}$ ) dan pengosongan (merah, dari $U_0 = \mathcal{E}$ ). Kedua garis singgung awalnya menemui asimtotnya pada $t = \tau$ ; $63\%$ rampung pada $\tau$ , $95\%$ pada $3\tau$ .

Contoh 30.9 (Angka sebuah lampu kilat)

Sebuah lampu kilat foto mengisi $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ melalui $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ : $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ , sehingga lampu “siap” — yang dikawatkan agar menyala pada $95\%$ — menunggu $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$ : dengung yang menggantung itu. Ketika ditembakkan melalui tabung kilatnya yang hanya $0.50\,\Omega$ , kapasitor yang sama mengosong dengan $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$ : dua ribu kali lebih cepat keluar daripada masuk.

30.3 Kumparan: induktansi dan sirkuit RL

Definisi 30.10 (Induktor dan induktansi)

Induktor adalah gulungan kawat: arusnya menembus lilitannya sendiri dengan medan magnet (Bab 15); setiap kali arus itu berubah, sebuah tegangan muncul pada kumparannya:

u = L\,\frac{di}{dt} .

Tetapan $L$ adalah induktansi, dalam henry ( $\mathrm{H}$ ): $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 30.11 (Kumparan melawan perubahan)

Mengapa arus yang berubah menghasilkan tegangan — induksi — diturunkan pada jilid universitasnya; di sini kita menerima hukumnya beserta wataknya: kumparannya melawan perubahan arusnya. Kembar cermin: $u$ sebuah kapasitor tidak dapat meloncat, $i$ sebuah kumparan tidak dapat meloncat.

Sirkuit RL: setelah K tertutup, kumparannya hanya membiarkan arusnya menanjak pada iramanya sendiri = L/R. — Sirkuit RL: setelah $K$ tertutup, kumparannya hanya membiarkan arusnya menanjak pada iramanya sendiri $\tau = L/R$ .

Proposisi 30.12 (Kenaikan arus pada sirkuit RL)

Menutup sakelarnya pada sumber $\mathcal{E}$ , resistor $R$ dan kumparan $L$ yang terangkai seri memberikan $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$ , yaitu

\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R}, \qquad\text{yang diselesaikan oleh}\quad i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R} .

Bukti. Hukum simpalnya lagi; dan inilah persamaan yang sama seperti pada Teorema 30.5 dengan $u \to i$ , $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$ , $RC \to L/R$ — penyulihan yang sama memeriksa penyelesaiannya, dan setiap bacaan pada Metode 30.7 berpindah ke sini. ∎

Contoh 30.13 (Sebuah elektromagnet terbangun)

Kumparan sebuah relai, $L = 0.30\,\mathrm{H}$ dan $R = 6.0\,\Omega$ , pada catu $12\,\mathrm{V}$ : arus akhirnya $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$ , pada irama $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — terjaga dalam $3\tau \approx 0.15\,\mathrm{s}$ .

Catatan 30.14 (Bunga api saat dibuka)

Bukalah sakelar pada kumparan yang sedang hidup dan $i$ harus runtuh ke nol dalam pecahan milisekon: $di/dt$ menjadi raksasa dan $u = L\,di/dt$ mencapai ratusan atau ribuan volt — bunga api meloncati sentuhannya. Kumparan pengapian sebuah mobil melakukannya dengan sengaja, ribuan kali tiap menit.

30.4 Energi yang tersimpan

Proposisi 30.15 (Energi di kapasitor, energi di kumparan)

Kapasitor $C$ yang terisi sampai tegangan $u$ dan kumparan $L$ yang membawa arus $i$ menyimpan

E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C}, \qquad E_L = \tfrac12\,L i^2 .

Bukti. Mendaratkan muatan kecil $dq$ pada keping yang sudah bertegangan $u$ berongkos $u\,dq$ (Definisi 12.3); dengan menumpuk ongkosnya, jumlahnya adalah luas di bawah garis $u = q/C$ — segitiga di bawah ini — sehingga $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$ . Segitiga yang sama untuk kumparannya (menaikkan $i$ sebesar $di$ berongkos $Li\,di$ ) memberikan $E_L = \tfrac12 Li^2$ . ∎

Tiap irisan dq berongkos u\,dq; seluruh muatannya berongkos luas segitiganya E_C = 1/2 q_0 u_0 — coulomb yang lebih awal naik pada tegangan yang rendah. — Tiap irisan $dq$ berongkos $u\,dq$ ; seluruh muatannya berongkos luas segitiganya $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — coulomb yang lebih awal naik pada tegangan yang rendah.

Contoh 30.16 (Orde besaran energinya)

Kapasitor lampu kilat pada Contoh 30.9: $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ . Sebuah superkapasitor $3000\,\mathrm{F}$ pada $2.7\,\mathrm{V}$ : $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — setara sebuah baterai AA. Kumparan $10\,\mathrm{mH}$ pada $10\,\mathrm{A}$ : $0.50\,\mathrm{J}$ . Kurang daripada yang disimpan baterai — tetapi dapat dilepas dalam semilisekon.

Catatan 30.17 (Untuk apa kedua penyimpan waktu itu)

Masuk lambat, keluar cepat menyalakan lampu kilat kamera dan defibrilator. Tundaan $\tau = RC$ menjalankan sirkuit pewaktu: penyapu kaca berselang, suar berkedip, lampu tangga. Kapasitor yang dipasang melintangi catu menghaluskan tegangannya ( $u$ tidak dapat meloncat); kumparan seri menghaluskan arusnya ( $i$ tidak dapat meloncat). Dan kumparan beserta kapasitor bersama-sama membentuk osilator (Bab 31).

30.5 Latihan

Latihan 30.1 ★

Sebuah kapasitor $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ diisi sampai $12\,\mathrm{V}$ : berapa muatan yang dipegangnya? Tegangan berapa yang akan meletakkan $2.0\,\mathrm{mC}$ pada $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 30.1.

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$ ; $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$ .

Latihan 30.2 ★

Bagikanlah $47\,\mathrm{pF}$ , $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ dan $10\,\mathrm{F}$ di antara sebuah penghalus catu daya, sebuah penala radio dan sebuah superkapasitor; hitunglah energi yang terakhir itu pada $2.7\,\mathrm{V}$ .

Solusi

Solusi Latihan 30.2.

$47\,\mathrm{pF}$ : penala radio; $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ : penghalus; $10\,\mathrm{F}$ : superkapasitor. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$ .

Latihan 30.3 ★

Tegangan pada kapasitor $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ menanjak mantap dari $0$ sampai $5.0\,\mathrm{V}$ dalam $10\,\mathrm{ms}$ : berapa arus yang mengalir masuk? Berapa arusnya sekali tegangannya diam, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 30.3.

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 = 0.11\,\mathrm{A}$ . Selanjutnya $i = C\,du/dt = 0$ : kapasitor yang bermuatan adalah sirkuit terbuka — tanpa arus tetap.

Latihan 30.4 ★

Hitunglah $\tau$ untuk $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ , lalu untuk $L = 0.10\,\mathrm{H}$ , $R = 50\,\Omega$ . Periksalah, satuan demi satuan, bahwa kedua gabungannya bersatuan sekon.

Solusi

Solusi Latihan 30.4.

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$ ; $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$ . $\Omega\,\mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ ; $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$ .

Latihan 30.5 ★

Sebuah kapasitor terisi menuju $6.0\,\mathrm{V}$ , melewati $3.8\,\mathrm{V}$ pada $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . Bacalah tetapan waktunya; kapan pengisiannya $95\%$ rampung?

Solusi

Solusi Latihan 30.5.

$3.8/6.0 = 0.63$ , sehingga $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$ ; $95\%$ pada $3\tau = 6.0\,\mathrm{s}$ .

Latihan 30.6 ★★

Sebuah sirkuit RC: $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ , $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Hitunglah $\tau$ , $u(\tau)$ , $u(3\tau)$ , dan arus pada saat sakelarnya tertutup.

Solusi

Solusi Latihan 30.6.

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$ ; $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$ ; $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ (kapasitornya kosong: seluruh $\mathcal{E}$ berada pada $R$ ).

Latihan 30.7 ★★

Periksalah dengan penyulihan bahwa $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ memenuhi $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ ; apa yang disandikan nilainya pada $t = 0$ dan limitnya untuk $t$ yang besar secara fisis?

Solusi

Solusi Latihan 30.7.

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ , sehingga $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ . $u(0) = 0$ : kapasitornya bermula kosong; $u \to \mathcal{E}$ : terisi penuh, arusnya sudah berhenti.

Latihan 30.8 ★★

Sebuah kapasitor $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ yang terisi sampai $12\,\mathrm{V}$ mengosong melalui $47\,\mathrm{k}\Omega$ : hitunglah $\tau$ , $u(\tau)$ , dan waktu bagi $u$ untuk turun di bawah $0.60\,\mathrm{V}$ .

Solusi

Solusi Latihan 30.8.

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$ ; $0.60\,\mathrm{V}$ adalah $5\%$ , yang tercapai pada $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$ .

Latihan 30.9 ★★

Arus pada kumparan $0.50\,\mathrm{H}$ menanjak mantap dari $0$ sampai $2.0\,\mathrm{A}$ dalam $40\,\mathrm{ms}$ : tegangan berapa yang muncul padanya? Dengan $u = L\,di/dt$ , mengapa membuka sakelar pada kumparan menimbulkan bunga api, bukan menutupnya?

Solusi

Solusi Latihan 30.9.

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$ . Saat menutupnya, $i$ menanjak pada irama sirkuitnya sendiri, $di/dt$ bersahaja; saat membukanya $i$ dipaksa ke nol hampir seketika, $di/dt$ menjadi raksasa dan $u$ mencapai nilai yang memercikkan bunga api.

Latihan 30.10 ★★

Relai pada Contoh 30.13: periksalah dengan penyulihan bahwa $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ memenuhi $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$ , lalu hitunglah $i(\tau)$ dan $i(3\tau)$ .

Solusi

Solusi Latihan 30.10.

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$ , sehingga $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}$ . $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$ ; $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$ .

Latihan 30.11 ★★

Tunjukkan bahwa $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , lalu perolehlah bahwa garis singgung di titik asalnya menemui asimtotnya pada $t = \tau$ . Pada kurva terekam yang memberikan $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$ , dengan $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ : carilah $C$ .

Solusi

Solusi Latihan 30.11.

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ , sehingga $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ : garis singgungnya $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ mencapai $\mathcal{E}$ pada $t = \tau$ . $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

Latihan 30.12 ★★★

Urutkanlah menurut energi yang tersimpannya, dengan menghitung masing-masingnya: superkapasitor $3000\,\mathrm{F}$ pada $2.7\,\mathrm{V}$ ; kapasitor lampu kilat, $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ pada $300\,\mathrm{V}$ ; kumparan $10\,\mathrm{mH}$ pada $10\,\mathrm{A}$ ; sebuah baterai AA ( $E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ). Apa yang ditawarkan ketiga yang pertama dan tidak dapat ditawarkan baterainya?

Solusi

Solusi Latihan 30.12.

Superkapasitornya $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; lampu kilatnya $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ ; kumparannya $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$ . Baterainya ( $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ) $>$ superkapasitor $\gg$ lampu kilat $\gg$ kumparan — tetapi ketiganya dapat menumpahkan energinya dalam beberapa milisekon: dayanya, bukan energinya.

Latihan 30.13 ★★★

Sebuah pewaktu lampu tangga menyala selama $u < 0.63\,\mathcal{E}$ pada kapasitor pengisiannya, lalu padam pada $t = \tau$ . Rancanglah lampunya agar bertahan $5.0\,\mathrm{s}$ dengan $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ : berapa $R$ ? Untuk ambang $0.50\,\mathcal{E}$ , tunjukkan bahwa tundaannya $\tau \ln 2$ lalu hitunglah.

Solusi

Solusi Latihan 30.13.

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$ , sehingga $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$ . $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ memberikan $e^{-t/\tau} = 0.50$ , $t = \tau\ln 2 \approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$ .

Latihan 30.14 ★★★

Sebuah kapasitor $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ menghaluskan sebuah catu: di antara pengisian ulangnya, ia sendirian menyuapi beban yang menarik $0.50\,\mathrm{A}$ selama $10\,\mathrm{ms}$ . Dari $i = C\,du/dt$ , hitunglah lendutan tegangannya, lalu kapasitansi yang menjaganya di bawah $0.50\,\mathrm{V}$ .

Solusi

Solusi Latihan 30.14.

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx 2.3\,\mathrm{V}$ . Dibutuhkan $C \geq i\,\Delta t/\Delta u = 5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$ .

Latihan 30.15 ★★★

Sebuah kumparan pengapian, $L = 0.80\,\mathrm{H}$ , membawa $2.0\,\mathrm{A}$ ketika pemutusnya memotongnya dalam sekitar $1.0\,\mathrm{ms}$ . Taksirlah tegangan kumparannya selama pemotongan itu dan energi bunga apinya; mengapa pemutusan yang lambat tidak memberikan bunga api?

Solusi

Solusi Latihan 30.15.

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} = 1.6\,\mathrm{kV}$ ; $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 = 1.6\,\mathrm{J}$ . Jika dipotong perlahan, $di/dt$ tetap kecil dan $u$ tetap beberapa volt: tanpa bunga api.

30.6 Soal: Lampu kilat kamera

Soal 30.1

Soal akhir pekan — lampu kilat kamera: dengung dua sekon, semilisekon kemuliaan, dan sepupunya yang terpasang di dinding yang menghidupkan kembali jantung — satu eksponensial menjalankan semuanya

Sebuah lampu kilat ringkas menyimpan energi di dalam kapasitor $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ , yang diisi melalui $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ dari sebuah pengubah yang dimodelkan sebagai sumber ideal $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$ ; lampu “siap” menyala pada $95\%$ tegangan penuhnya. Ketika ditembakkan, kapasitornya hanya melihat tabung kilatnya, $R_f = 0.50\,\Omega$ . Datanya: sebuah sel AA menyerahkan $1.5\,\mathrm{V}$ dan $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ ; $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

Bagian I — Wadah simpanannya.

Hitunglah muatan pada kapasitornya pada $300\,\mathrm{V}$ .
Berapa muatan dasar banyaknya itu?
Hitunglah energi yang tersimpannya $E_C$ .
Sel AA-nya memegang $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ , jadi sekitar $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Berapa kali energi kapasitornya nilai itu?
Lalu mengapa harus bersusah payah dengan kapasitornya? Satu kalimat, dengan kata “daya”.

Bagian II — Menanti hijaunya.

Tulislah hukum simpalnya lalu ubahlah menjadi persamaan diferensial untuk $u(t)$ .
Periksalah dengan penyulihan bahwa $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ menyelesaikannya, bermula dari $u(0) = 0$ .
Hitunglah tetapan waktunya $\tau$ .
Setelah waktu berapa lampu siapnya menyala hijau, dan pada tegangan berapa? Kenalilah dengung dua sekonnya.
Hitunglah arus pengisian awalnya; mengapa arus itu lalu meredup hilang?

Bagian III — Semilisekon kemuliaan.

Tulislah hukum pengosongannya $u(t)$ melalui tabungnya lalu hitunglah tetapan waktu barunya $\tau'$ .
Hitunglah arus puncak melalui tabungnya.
Hitunglah daya puncaknya; bandingkan dengan ceret $2.2\,\mathrm{kW}$ .
Dengan menganggap kilatnya usai pada $3\tau'$ , sebutkan lamanya dan daya rata-ratanya.
Bentuklah nisbah waktu pengisiannya terhadap waktu kilatnya: kapasitor yang sama, muatan yang sama — apa yang berubah, dan itu menjadikan kapasitor sebuah tangki energi, atau sebuah tuas daya?

Bagian IV — Sepupunya di dinding. Sebuah defibrilator harus menyerahkan $E_C = 200\,\mathrm{J}$ pada $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$ ; dada dan pelatnya menyajikan sekitar $50\,\Omega$ .

Hitunglah kapasitansi yang dibutuhkannya.
Hitunglah muatan yang tersimpannya.
Hitunglah tetapan waktu dan lama kejutannya ( $3\tau$ ); bandingkan dengan lampu kilatnya.
Hitunglah arus puncak dan daya puncak pada pasiennya.
Sirkuit pengisian ulangnya harus membuat alatnya siap ( $95\%$ ) dalam $6.0\,\mathrm{s}$ : carilah hambatan pengisian yang dibutuhkannya dan arus pengisian awalnya — angka yang akan dipesan perancangnya.

Solusi

Solusi Soal 30.1.

1. $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$ .

2. $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$ .

3. $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ .

4. $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ kali.

5. Selnya menyimpan berlimpah tetapi menyerahkannya perlahan; kapasitornya mengubah energi yang bersahaja menjadi daya yang raksasa.

6. $\mathcal{E} = Ri + u$ dengan $i = C\,du/dt$ : $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ .

7. $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ : $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ untuk semua $t$ , dan $u(0) = 0$ .

8. $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ .

9. Pada $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$ , $u = 0.95 \times 300 = 285\,\mathrm{V}$ — dengung dua sekonnya.

10. $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$ ; sembari $u$ menanjak, sisanya $\mathcal{E} - u$ pada $R$ menyusut, sehingga $i = (\mathcal{E}-u)/R$ meredup hilang.

11. $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ dengan $\tau' = R_f C = 0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$ .

12. $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$ .

13. $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — sekitar $80$ ceret sekaligus.

14. Lamanya $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$ ; daya rata-ratanya $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$ .

15. $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$ . Hanya hambatannya yang berubah ( $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ saat masuk, $0.50\,\Omega$ saat keluar): sebuah tuas daya.

16. $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} = 180\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

17. $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx 0.27\,\mathrm{C}$ .

18. $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$ , lamanya $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — sekitar dua puluh kali lampu kilatnya.

19. $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$ ; $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$ .

20. $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ memberikan $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$ , sehingga $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ dan $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — siap dalam enam sekon, dengan sepersepuluh ampere.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium