Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

24Kinematika pada Dua Dimensi

Amatilah sebuah mobil menempuh bundaran dengan tetap $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : jarum penunjuknya tidak pernah bergerak, namun setiap penumpang merasa tertarik ke samping — geraknya sedang berubah, dan yang berubah bukanlah lajunya. Satu bilangan tiap saat tidak lagi memadai: gerak di dalam bidang memerlukan anak panah. Bab ini melengkapi sebuah titik yang bergerak dengan tiga anak panah — posisi, kecepatan, percepatan — yang dirangkai turunan, lalu membaca seluruh keluarga geraknya dari ilmu ukurnya.

24.1 Vektor posisi

Gerak hanya ada terhadap kerangka acuan yang disebutkan — sebuah benda tegar beserta jam (Bab 5). Yang baru tahun ini adalah ketepatannya: lekatkanlah pada kerangkanya sebuah titik asal $O$ beserta dua sumbu berskala yang saling tegak lurus, $Ox$ dan $Oy$ , lalu catatlah letak titiknya pada setiap saat, sebagai sepasang fungsi.

Definisi 24.1 (Vektor posisi)

Di dalam kerangka yang dilengkapi titik asal $O$ dan sumbu $Ox$ , $Oy$ , vektor posisi sebuah titik bergerak $M$ pada saat $t$ adalah $\vect{OM}(t)$ , yang berkoordinat $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$ : dua fungsi waktu, satu untuk tiap sumbunya. Kurva yang dilukis $M$ ketika $t$ berjalan adalah lintasannya.

24.2 Vektor kecepatan

Definisi 24.2 (Vektor kecepatan)

Sepanjang selang yang singkat, titiknya berpindah sebesar $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$ ; bagilah dengan $\Delta t$ lalu biarkan selangnya menyusut: inilah turunan pada pelajaran matematikamu, yang diterapkan pada tiap koordinatnya. Vektor kecepatan $M$ adalah turunan vektor posisinya, $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$ , dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Normanya $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ disebut kelajuan — satu bilangan yang ditunjukkan alat pengukur laju.

Contoh 24.3 (Sebuah pesawat nirawak terbang mendatar)

Sebuah pesawat nirawak terbang dengan $x(t) = 4.0\,t$ dan $y(t) = 3.0\,t$ (dalam meter dan sekon): lintasannya garis $y = \tfrac34 x$ , kecepatannya $\vect v = (4.0, 3.0)$ pada setiap saat, dan lajunya $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , yang tetap.

Proposisi 24.4 (Menyinggung lintasannya)

Pada setiap saat, $\vect v(t)$ menyinggung lintasannya di kedudukan $M$ saat itu, dan menunjuk ke arah perjalanannya.

Bukti. Perpindahannya merupakan tali busur lintasannya; ketika $\Delta t$ menyusut, arah tali busurnya menjadi arah garis singgungnya. ∎

24.3 Vektor percepatan

Definisi 24.5 (Vektor percepatan)

Vektor percepatan $M$ adalah turunan vektor kecepatannya, $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) = \bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$ , dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : seberapa cepat, dan ke arah mana, vektor kecepatannya sedang berubah.

Catatan 24.6 (Berpercepatan tanpa bertambah cepat)

$\vect a \neq \vect 0$ setiap kali vektor kecepatannya berubah — baik panjangnya maupun arahnya: mobil yang mengerem berpercepatan (ke belakang); mobil yang berbelok dengan laju tetap berpercepatan (ke samping). Inilah besaran yang dikendalikan gaya (Bab 16 dan 25).

Metode 24.7 (Membaca sebuah kronofotografi)

Sebuah kronofotografi merekam kedudukan $M_0, M_1, M_2, \dots$ sebuah titik yang bergerak pada selang waktu yang sama $\Delta t$ .

Jarak antartitiknya membaca lajunya: jaraknya sama berarti lajunya tetap; melebar berarti bertambah cepat; merapat berarti melambat.
Kecepatan di $M_i$ adalah tali busur setangkupnya, $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ , yang digambar di $M_i$ dan menyinggung lintasan titik-titiknya.
Untuk percepatan di $M_i$ : salinlah $\vect v_{i-1}$ dan $\vect v_{i+1}$ ke $M_i$ , lalu gambarlah $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ ujung ke ujung; maka $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

Kronofotografi sebuah bola yang dilemparkan: v_2 dan v_4, yang dibangun dari tali busurnya, disalin ke M_3; selisihnya v menyerahkan a — tegak, ke bawah. — Kronofotografi sebuah bola yang dilemparkan: $\vect v_2$ dan $\vect v_4$ , yang dibangun dari tali busurnya, disalin ke $M_3$ ; selisihnya $\Delta\vect v$ menyerahkan $\vect a$ — tegak, ke bawah.

24.4 Gerak lurus

Sepanjang sebuah garis lurus, satu sumbu sudah memadai: $x(t)$ , $v(t) = x'(t)$ , $a(t) = v'(t)$ , yang semuanya bilangan bertanda.

Definisi 24.8 (Gerak lurus beraturan)

Sebuah gerak disebut lurus beraturan apabila $\vect v$ merupakan vektor yang tetap: lintasannya lurus, lajunya tetap, dan $\vect a = \vect 0$ . Maka $x(t) = v\,t + x_0$ .

Proposisi 24.9 (Gerak lurus berubah beraturan)

Jika sebuah titik bergerak sepanjang $Ox$ dengan percepatan $a$ yang tetap, dan bermula pada $t = 0$ dari kedudukan $x_0$ dengan kecepatan $v_0$ , maka

v(t) = a\,t + v_0, \qquad x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .

Bukti. $v$ adalah antiturunan dari tetapan $a$ : $v(t) = a t + C$ , dan $t = 0$ memaksa $C = v_0$ . Selanjutnya $x$ adalah antiturunan dari $a t + v_0$ : $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$ , dengan $C' = x_0$ . ∎

Gerak lurus berubah beraturan (a = 2.0\, m/ s2, v_0 = 1.0\, m/ s, x_0 = 0): tiap grafiknya merupakan turunan grafik di atasnya — sebuah parabola, kemiringannya, dan kemiringan kemiringannya. — Gerak lurus berubah beraturan ( $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $x_0 = 0$ ): tiap grafiknya merupakan turunan grafik di atasnya — sebuah parabola, kemiringannya, dan kemiringan kemiringannya.

Contoh 24.10 (Jarak pengereman)

Sebuah mobil berlaju $v_0$ mengerem dengan perlambatan tetap $a$ (percepatannya $-a$ ). Mobil itu berhenti ketika $v(t) = -a t + v_0 = 0$ , yaitu pada $t_s = v_0/a$ , setelah menempuh $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$ . Kuadratnya adalah tajuk berita keselamatan jalan: menggandakan lajunya melipatempatkan jarak pengeremannya — dengan $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $16\,\mathrm{m}$ dari $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , dan $64\,\mathrm{m}$ dari $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

24.5 Gerak melingkar beraturan dan kerangka Frenet

Definisi 24.11 (Gerak melingkar beraturan)

Sebuah gerak disebut melingkar beraturan apabila lintasannya berupa lingkaran berjari-jari $R$ dan lajunya $v$ tetap. Lama satu putarannya disebut periode $T$ , dan frekuensi $f = 1/T$ (dalam $\mathrm{Hz}$ ) adalah banyaknya putaran tiap sekon: $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$ .

Lajunya tetap — namun kecepatannya berputar: berarti ada percepatan. Ke arah mana, dan seberapa besar?

Teorema 24.12 (Percepatan sentripetal)

Pada gerak melingkar beraturan berjari-jari $R$ dan berlaju $v$ , percepatannya — yang disebut sentripetal — menunjuk dari titik yang bergerak menuju pusat lingkarannya, dengan norma yang tetap

a = \frac{v^2}{R}.

Bukti. Pusatkanlah sumbunya di pusat lingkarannya lalu ambillah $\omega = v/R$ , sehingga busur $v t$ mengapit sudut $\omega t$ : kedudukannya $x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ . Dengan menurunkannya, $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$ , yang normanya tetap $R\omega = v$ ; dengan menurunkannya sekali lagi, $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$ : berlawanan dengan vektor posisinya — yaitu menuju pusatnya — dengan norma $\omega^2 R = v^2/R$ . ∎

Gerak melingkar beraturan: v menyinggung lingkarannya, dengan panjang yang tetap; a membidik pusatnya, dengan panjang tetap v2/R — selamanya memutar kecepatannya tanpa pernah meregangkannya. — Gerak melingkar beraturan: $\vect v$ menyinggung lingkarannya, dengan panjang yang tetap; $\vect a$ membidik pusatnya, dengan panjang tetap $v^2/R$ — selamanya memutar kecepatannya tanpa pernah meregangkannya.

Definisi 24.13 (Kerangka Frenet)

Kerangka Frenet pada kedudukan saat ini sebuah titik pada lintasan yang melengkung adalah pasangan vektor satuan yang saling tegak lurus $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$ : $\vect{u_t}$ menyinggung lintasannya, searah geraknya; $\vect{u_n}$ normal, menuju pusat lingkaran berjari-jari $R$ yang paling cocok dengan kurvanya di sana.

Proposisi 24.14 (Percepatan pada kerangka Frenet)

Sepanjang lintasan bidang mana pun yang jari-jari setempatnya $R$ dan ditempuh dengan laju $v(t)$ ,

\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n}, \qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}:

percepatan tangensial $a_t$ mengubah lajunya; percepatan normal $a_n$ memutar kecepatannya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 24.15 (Di mana buktinya bersemayam)

Kita sudah membuktikan kedua ujungnya: $a_t$ murni pada sebuah garis (Proposisi 24.9), dan $a_n$ murni pada sebuah lingkaran (Teorema 24.12); penguraian yang umum diturunkan pada jilid Tahun ke-1.

Contoh 24.16 (Mengerem memasuki tikungan)

Sebuah mobil memasuki tikungan berjari-jari $R = 50\,\mathrm{m}$ pada $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ selagi mengerem dengan $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , sehingga $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , yang menunjuk ke belakang sekaligus ke dalam tikungannya. Bannya harus memasok keduanya sekaligus — dan itulah sebabnya pembalap mengerem sebelum tikungannya.

24.6 Latihan

Latihan 24.1 ★

Untuk $x(t) = 3.0\,t$ , $y(t) = 4.0\,t$ (dalam meter dan sekon), sebutkan $\vect v$ , lajunya, lintasannya, dan golongan geraknya.

Solusi

Solusi Latihan 24.1.

$\vect v = (3.0, 4.0)$ , tetap; lajunya $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Lintasannya: garis $y = \tfrac43 x$ . Vektor kecepatannya tetap: gerak lurus beraturan.

Latihan 24.2 ★

Pada sebuah kronofotografi yang diambil tiap $0.10\,\mathrm{s}$ , titiknya terletak pada satu garis, dengan jarak yang sama $0.35\,\mathrm{m}$ . Kenali geraknya lalu hitunglah lajunya. Apa yang akan ditunjukkan jarak yang melebar?

Solusi

Solusi Latihan 24.2.

Garis lurus, jaraknya sama: lurus beraturan; $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Jarak yang melebar akan berarti lajunya sedang bertambah.

Latihan 24.3 ★

Untuk $x(t) = 2.0\,t^2$ sepanjang $Ox$ (dalam meter dan sekon), turunkanlah $v(t)$ dan $a(t)$ , sebutkan golongan geraknya, lalu hitunglah lajunya pada $t = 3.0\,\mathrm{s}$ .

Solusi

Solusi Latihan 24.3.

$v(t) = 4.0\,t$ , $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : percepatannya tetap, lurus berubah beraturan. $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Latihan 24.4 ★

Sebuah kuda komidi putar menempuh lingkaran berjari-jari $4.5\,\mathrm{m}$ , satu putaran tiap $8.0\,\mathrm{s}$ : hitunglah frekuensinya, lajunya, dan percepatannya (norma dan arahnya).

Solusi

Solusi Latihan 24.4.

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$ ; $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , yang menunjuk ke arah sumbu komidi putarnya.

Latihan 24.5 ★

Sebuah grafik $v(t)$ menanjak lurus dari $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $t = 0$ ke $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $t = 4.0\,\mathrm{s}$ . Bacalah percepatannya, lalu jarak yang ditempuhnya (luas di bawah grafiknya).

Solusi

Solusi Latihan 24.5.

Kemiringannya: $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Luasnya (trapesium): $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$ .

Latihan 24.6 ★★

Sebuah kereta cepat menempuh tikungan berjari-jari $6.0\,\mathrm{km}$ pada $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Hitunglah $a_n$ lalu bandingkan dengan $g$ ; mengapa jalur kereta cepat harus menghindari tikungan yang tajam, sekalipun tikungan itu dimiringkan dengan sempurna?

Solusi

Solusi Latihan 24.6.

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.13\,g$ . Karena $a_n = v^2/R$ , $v$ yang besar menuntut $R$ yang raksasa agar percepatan ke sampingnya (dan gaya pada jalur serta penumpangnya) tetap wajar — memiringkan jalurnya mengubah siapa yang memasoknya, bukan besarnya.

Latihan 24.7 ★★

Sebuah troli pada rel yang lurus memiliki $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ (dalam meter dan sekon). Tentukan $v(t)$ dan $a$ , saat dan kedudukan berbaliknya, lalu lukiskan geraknya sebelum dan sesudah saat itu.

Solusi

Solusi Latihan 24.7.

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$ ; $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , tetap. Berbaliknya pada $v = 0$ : $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ , di $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$ . Sebelumnya: maju, melambat; sesudahnya: mundur, bertambah cepat — berubah beraturan sepanjang waktu.

Latihan 24.8 ★★

Sebuah kronofotografi sepanjang sebuah garis, tiap $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$ , memberikan $x = 0$ , $0.10$ , $0.28$ , $0.54$ , $0.88\,\mathrm{m}$ . Taksirlah kecepatannya pada ketiga titik di dalamnya (Metode 24.7), lalu percepatannya; simpulkan.

Solusi

Solusi Latihan 24.8.

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Kecepatannya bertambah $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tiap $0.20\,\mathrm{s}$ : $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , tetap — lurus berubah beraturan.

Latihan 24.9 ★★

Bulan mengorbit Bumi pada lingkaran yang hampir sempurna berjari-jari $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ dalam $27.3\,\mathrm{d}$ . Hitunglah lajunya dan percepatan sentripetalnya; bandingkan percepatan itu dengan $g$ , dengan mengetahui bahwa Bulan berjarak sekitar $60$ jari-jari Bumi (Bab 4).

Solusi

Solusi Latihan 24.9.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Perbandingannya: $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — gravitasi, yang diencerkan sebagai kebalikan kuadrat jaraknya (Bab 4), tepat menerangkan berbeloknya Bulan.

Latihan 24.10 ★★

Tabung mesin cuci berjari-jari $25\,\mathrm{cm}$ berputar $1200$ putaran tiap menit. Hitunglah $f$ , $T$ , laju tepinya, dan percepatan tepinya dalam kelipatan $g$ . Mengapa cuciannya tetap tertahan sementara airnya pergi?

Solusi

Solusi Latihan 24.10.

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.050\,\mathrm{s}$ ; $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$ . Dinding tabungnya memasok $a_n$ untuk cuciannya; melalui lubangnya tidak ada yang mendorong airnya ke dalam, sehingga airnya terlempar menyinggung.

Latihan 24.11 ★★

Sebuah mobil pada $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ mengerem dengan $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ yang tetap: hitunglah waktu berhentinya dan jarak pengeremannya, lalu sketsalah $v(t)$ .

Solusi

Solusi Latihan 24.11.

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$ . Grafiknya: sebuah ruas lurus dari $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ turun ke $0$ pada $t_s$ .

Latihan 24.12 ★★★

Untuk $x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ : hitunglah $\vect v$ ; periksalah bahwa lajunya tetap $R\omega$ dan $\vect v \perp \vect{OM}$ ; hitunglah $\vect a$ , tunjukkan bahwa nilainya $-\omega^2\,\vect{OM}$ , lalu perolehlah kembali $a = v^2/R$ .

Solusi

Solusi Latihan 24.12.

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$ , yang normanya tetap $R\omega$ ; hasil kali titiknya dengan $\vect{OM}$ lenyap, sehingga tegak lurus jari-jarinya, jadi menyinggung. Dengan menurunkannya sekali lagi, $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$ : menuju $O$ , dengan norma $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$ .

Latihan 24.13 ★★★

Sebuah sepeda motor memasuki tikungan berjari-jari $80\,\mathrm{m}$ pada $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sambil mengerem $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Hitunglah $a_t$ , $a_n$ , norma $\vect a$ dan sudutnya terhadap arah geraknya. Bannya mencengkeram sampai $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ seluruhnya: apakah pengendaranya masih di dalam batas itu?

Solusi

Solusi Latihan 24.13.

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (ke belakang), $a_n = 20^2/80 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; sudutnya terhadap arah geraknya: $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ ( $63^\circ$ dari arah lurus ke belakang). $5.6 < 7.0$ : masih tercengkeram, dengan sisa yang tipis.

Latihan 24.14 ★★★

Sebuah kereta bawah tanah bertambah cepat dari keadaan diam dengan $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ sampai $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , melaju tetap selama $40\,\mathrm{s}$ , lalu mengerem $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ sampai berhenti. Hitunglah lama dan panjang tiap tahapnya, jarak seluruhnya, dan kelajuan rata-ratanya. Sketsalah $v(t)$ lalu periksalah jaraknya sebagai sebuah luas.

Solusi

Solusi Latihan 24.14.

Bertolaknya: $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$ , $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$ . Melaju tetap: $40\,\mathrm{s}$ , $800\,\mathrm{m}$ . Mengeremnya: $t_3 = 20/1.5 \approx 13\,\mathrm{s}$ , $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$ . Seluruhnya: $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ dalam $70\,\mathrm{s}$ ; rata-ratanya $1100/70 \approx 16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). $v(t)$ berupa trapesium yang luasnya, $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$ , memeriksa jumlahnya.

Latihan 24.15 ★★★

Sebuah satelit geostasioner mengitari pusat Bumi pada jari-jari $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ dengan periode $86\,164\,\mathrm{s}$ . Hitunglah lajunya dan percepatan sentripetalnya. Apa yang memasoknya, dan mengapa satelit itu menggantung di atas satu titik khatulistiwa yang tetap (Bab 27)?

Solusi

Solusi Latihan 24.15.

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Gravitasi Bumi pada jarak itu memasoknya; periodenya sama dengan periode putaran Bumi, sehingga satelit dan tanahnya berputar bersama dan satelit itu menggantung di atas satu titik khatulistiwa (Bab 27).

24.7 Soal: Laporan kecelakaan

Soal 24.1

Soal akhir pekan — laporan kecelakaan: rekaman kamera dasbor yang dibaca bingkai demi bingkai, hukum pengereman yang disusun ulang dari bekas ban, sebuah bundaran yang bersaksi tentang cengkeraman, dan sebuah putusan dalam kilometer per jam

Sebuah mobil menabrak van yang keluar dari jalan samping; tidak ada yang terluka, tetapi perusahaan asuransinya berselisih. Penyidiknya memiliki rekaman kamera dari atas (satu bingkai tiap $0.50\,\mathrm{s}$ ), bekas ban yang terukur, dan kamera dasbor mobilnya. Batas kecepatannya $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Bagian I — Membaca rekamannya. Bingkai sebelum ada tanggapan apa pun memberikan, sepanjang jalan yang lurus:

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.00	0.50	1.00	1.50	2.00
$x$ ( $\mathrm{m}$ )	0.0	9.0	18.0	27.0	36.0

Mengapa laporannya harus lebih dahulu menyebutkan kerangka dan sumbunya? Yang mana yang dipakai di sini?
Hitunglah kecepatan rata-rata pada masing-masing keempat selangnya.
Golongan gerak apa ini? Berikan alasannya dari tabelnya.
Sebutkan laju mobilnya $v_0$ dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Berapa percepatannya selama dua sekon itu?

Bagian II — Bekas bannya. Uji ban pada aspal kering ini memberikan perlambatan pengereman tetap $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; bekas bannya sepanjang $d_b = 27\,\mathrm{m}$ . Ambillah $t = 0$ , $x = 0$ pada saat pengeremannya bermula, dengan laju $v_B$ yang belum diketahui.

Dengan antiturunan, tulislah $v(t)$ dan $x(t)$ selama pengeremannya.
Nyatakan waktu berhentinya $t_s$ ; tunjukkan bahwa $d_b = v_B^2/(2a)$ .
Simpulkan $v_B$ dari bekas bannya. Sesuaikah dengan Bagian I?
Waktu tanggapnya $1.0\,\mathrm{s}$ : hitunglah jarak tanggapnya dan jarak berhentinya seluruhnya.
Jelaskan, dari pertanyaan 7, mengapa menggandakan lajunya melipatempatkan jarak pengeremannya; hitunglah $d_b$ pada tepat $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Bagian III — Bundarannya bersaksi. Sebelumnya, kamera dasbornya menunjukkan mobil itu menempuh lajur bundaran berjari-jari $R = 12.5\,\mathrm{m}$ dengan laju tetap, seperempat putaran dalam $2.5\,\mathrm{s}$ . Jalannya dapat memasok paling banyak $a_n = \mu g$ , dengan $\mu = 0.70$ .

Lajunya tetap di sana — apakah kecepatannya juga? Apakah mobilnya berpercepatan? Jelaskan.
Hitunglah laju mobilnya di bundaran itu.
Hitunglah percepatan sentripetalnya (norma dan arahnya).
Hitunglah laju terbesar tanpa tergelincir. Apakah mobilnya masih di dalam batas itu?
Sebutkan periode dan frekuensi satu putaran penuh pada laju itu.

Bagian IV — Putusannya. Vannya muncul $D = 41\,\mathrm{m}$ di depan mobilnya pada saat pengemudinya mulai menanggapi.

Sebanyak apa, dalam $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dan dalam persen, laju sebelum pengeremannya melampaui batasnya?
Hitunglah laju mobilnya pada saat menabrak.
Ulangi perhitungan berhentinya pada tepat $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (dengan tanggapan dan pengereman yang sama): apakah mobilnya berhenti, dan dengan sisa jarak berapa?
Berikan rumus umum jarak berhentinya $d(v)$ ; mengapa lajunya masuk dua kali — sekali secara linear dan sekali secara kuadrat?
Putusannya, satu kalimat beserta angkanya: laju berapa yang ditempuh pengemudinya, dan apakah kecelakaannya akan terjadi pada batas kecepatannya?

Solusi

Solusi Soal 24.1.

1. Gerak bersifat nisbi (Bab 5): setiap kedudukan dan kecepatan harus menyebutkan kerangkanya. Di sini: kerangka tanah (jalannya), $x$ sepanjang jalannya dari kedudukan bingkai pertama.

2. Tiap selangnya: $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — empat nilai yang sama.

3. Jalannya lurus, perpindahannya sama dalam waktu yang sama: gerak lurus beraturan.

4. $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

5. $\vect a = \vect 0$ .

6. $v(t) = -a\,t + v_B$ ; $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$ .

7. $v(t_s) = 0$ memberikan $t_s = v_B/a$ ; selanjutnya $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$ .

8. $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} = \sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — tepat laju terekamnya: pengemudinya tidak pernah melambat sebelum mengerem.

9. Tanggapannya: $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$ ; seluruhnya $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$ .

10. $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$ : menggandakan $v_B$ melipatkan $d_b$ dengan $4$ . Pada $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$ .

11. Lajunya tetap tetapi arah kecepatannya berbelok: $\vect v$ tidaklah tetap, sehingga mobilnya berpercepatan.

12. Seperempat putarannya: $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

13. $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , menuju pusat bundarannya.

14. $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{6.87 \times 12.5} \approx 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). $7.9 < 9.3$ : masih tercengkeram — sesuai dengan lajur yang bersih, tanpa bekas tergelincir.

15. $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s}; f = 0.10\,\mathrm{Hz}$ .

16. $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ di atasnya — sekitar $30\%$ melampaui batasnya.

17. Pengeremannya bekerja sepanjang $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$ : $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$ , sehingga $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ saat menabrak.

18. Pada $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 = 13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} < 41\,\mathrm{m}$ — mobilnya berhenti $11\,\mathrm{m}$ sebelum vannya.

19. $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$ : sekali secara linear (tanggapannya menempuh $v t_r$ sebelum remnya bekerja), sekali secara kuadrat (bagian kinetiknya $v^2/(2a)$ ) — itulah sebabnya kelebihan yang sedang pun berongkos tak sebanding.

20. Kamera dasbor dan bekas bannya sepakat: $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ di kawasan $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; pada batas kecepatannya mobil itu akan berhenti $11\,\mathrm{m}$ sebelum vannya — kecelakaannya adalah kelebihan $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ itu.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium