Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

32Peluruhan Radioaktif

Di ruang bawah tanah sebuah museum, pencacah Geiger berdetik di atas sekeping kayu dari peti mati seorang firaun. Tiap detiknya tanpa hukum: tidak ada yang mengumumkannya, tidak ada yang meramalkan yang berikutnya. Namun pada hari Jumat laboratoriumnya akan mencetak sebuah tarikh yang tepat sampai seabad. Bab ini menyelesaikan kemelutnya — bagaimana peristiwa yang sepenuhnya acak satu demi satu berjumlah, dalam triliunan, menjadi jam yang paling mantap yang kita miliki.

32.1 Tanpa hukum satu demi satu, serapi jam dalam hitungan mol

Tahun lalu (Bab 19) kita menemui inti yang tidak mantap, menyetimbangkan persamaan $\alpha$ dan $\beta$ -nya, dan melihat separuh contoh besar mana pun lenyap tiap waktu paruh $T_{1/2}$ . Yang tidak dapat kita katakan adalah kapan di antara anak tangganya — maupun mengapa proses yang acak sama sekali menepati jadwal. Kedua pertanyaan itu memiliki satu jawaban.

Definisi 32.1 (Tetapan peluruhan)

Bagi tiap nuklida yang tidak mantap ada sebuah tetapan $\lambda$ , tetapan peluruhannya (bersatuan $\mathrm{s}^{-1}$ ), sedemikian sehingga selama selang singkat $\dd t$ tiap intinya berpeluang $p = \lambda\,\dd t$ untuk meluruh — sama bagi setiap inti sejenisnya, berapa pun umurnya, dan tak tersentuh oleh suhu, tekanan atau kimianya.

Catatan 32.2 (Tanpa hukum satu-satu, tepat dalam kerumunan)

Sebuah inti yang sudah menunggu sepuluh ribu tahun sama saja peluangnya untuk meluruh pada sekon ini dengan inti yang dibuat pagi tadi: tanpa keausan, tanpa peringatan — mana yang meluruh berikutnya sungguh tak teramalkan. Kerumunan adalah perkara lain. Lemparlah $100$ keping uang: harapkanlah $50$ kepala, tetapi janganlah heran menemukan $43$ — fluktuasinya berorde $\sqrt n$ , di sini $10\%$ . Lemparlah $10^{20}$ : fluktuasi nisbinya $1/\sqrt n$ bernilai $10^{-10}$ , hasilnya pasti sampai sepuluh desimal. Segram benda memuat sekitar $10^{22}$ inti: ketanpahukumannya merata-rata menjadi kerapian jam, sebuah hukum yang tepat bagi $N(t)$ , banyaknya inti yang masih utuh pada waktu $t$ .

Dua contoh sesungguhnya berisi 20 inti menuruni anak tangganya secara tak teramalkan di sekitar kurva harapannya; semol inti akan memeluknya sampai sepuluh desimal. — Dua contoh sesungguhnya berisi $20$ inti menuruni anak tangganya secara tak teramalkan di sekitar kurva harapannya; semol inti akan memeluknya sampai sepuluh desimal.

32.2 Hukum peluruhannya

Proposisi 32.3 (Persamaan evolusinya)

Pada contoh besar berisi $N$ inti, selama $\dd t$ banyaknya berubah sebesar

\dd N = -\lambda N\,\dd t, \qquad\text{yaitu}\qquad \frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda N :

penduduknya menyusut pada laju yang sebanding dengan dirinya sendiri.

Bukti. Masing-masing dari $N$ intinya meluruh selama $\dd t$ dengan peluang $\lambda\,\dd t$ : harapan peluruhannya $N\lambda\,\dd t$ , dan untuk $N$ yang besar cacah sesungguhnya melekat pada harapannya (Catatan 32.2); tiap peluruhan membuang satu inti. ∎

Teorema 32.4 (Hukum peluruhan radioaktif)

Contoh yang memegang $N_0$ inti pada $t = 0$ memegang, pada waktu $t$ ,

N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}.

Bukti. Periksalah dengan penyulihan: $\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)\,e^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$ , dan $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ : persamaannya dan awalnya keduanya tepat. (Bahwa tidak ada fungsi lain yang cocok dibuktikan, dengan integral, pada jilid universitasnya.) ∎

Definisi 32.5 (Peluruhan eksponensial)

Besaran yang menyusul $N_0\,e^{-\lambda t}$ mengalami peluruhan eksponensial: dalam waktu yang sama, bagian yang sama hilang. Inilah persis kapasitor yang mengosong pada Bab 30, dengan $\lambda$ memainkan $1/(RC)$ : satu persamaan diferensial, dipelajari sekali, menjalankan sirkuit dan inti sekaligus.

Proposisi 32.6 (Waktu paruh)

Waktu paruh (Definisi 19.14) sebuah nuklida ditetapkan oleh tetapan peluruhannya: $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ , dan setelah $n$ waktu paruh $N = N_0/2^{\,n}$ , baik $n$ bulat maupun bukan.

Bukti. $N(T_{1/2}) = N_0/2$ menuntut $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac12$ , yaitu $\lambda T_{1/2} = \ln 2$ ; dan $N(n\,T_{1/2}) = N_0\,e^{-n\ln 2} = N_0/2^{\,n}$ untuk $n$ berapa pun: eksponensialnya menjahit anak tangganya lalu mengisi ruang di antaranya. ∎

N(t) = N_0\,e- t melewati tiap anak tangga pada tangganya — dan kini menyebutkan apa yang terjadi di antaranya. — $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ melewati tiap anak tangga pada tangganya — dan kini menyebutkan apa yang terjadi di antaranya.

Contoh 32.7 (Dua puluh pangkat sepuluh)

Dengan $1$ tahun $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ :

nuklida	$T_{1/2}$	$\lambda$ ( $\mathrm{s}^{-1}$ )
polonium-214	$1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$	$4.2 \times 10^{3}$	mata rantai uranium
teknesium-99m	$6.0$ jam	$3.2 \times 10^{-5}$	pencitraan medis
iodium-131	$8.0$ hari	$1.0 \times 10^{-6}$	obat gondok
sesium-137	$30$ tahun	$7.3 \times 10^{-10}$	jatuhan reaktor
karbon-14	$5730$ tahun	$3.8 \times 10^{-12}$	arkeologi
kalium-40	$1.25 \times 10^{9}$ tahun	$1.8 \times 10^{-17}$	penarikhan batuan
uranium-238	$4.5 \times 10^{9}$ tahun	$4.9 \times 10^{-18}$	panas dalam Bumi

Satu hukum, dua puluh pangkat sepuluh nilai $\lambda$ .

32.3 Aktivitas: menghitung detiknya

Proposisi 32.8 (Aktivitas)

Aktivitas sebuah contoh — peluruhannya tiap sekon, dalam becquerel (Definisi 19.18) — adalah

\mathcal A = \lambda N, \qquad\text{sehingga}\qquad \mathcal A(t) = \mathcal A_0 \, e^{-\lambda t}:

sebanding dengan penduduk yang bertahan, dan sama-sama eksponensial.

Bukti. $N$ inti, masing-masing berpeluang $\lambda$ tiap sekon: $\lambda N$ peluruhan tiap sekon; mengalikan Teorema 32.4 dengan $\lambda$ memberikan $\mathcal A(t) = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ . ∎

Contoh 32.9 ( $N$ raksasa, $\lambda$ mungil)

Sebuah pisang berdetik pada sekitar $15\,\mathrm{Bq}$ , tubuh manusia pada sekitar $8000\,\mathrm{Bq}$ , semeter kubik granit pada sekitar $10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (Bab 19). Di balik detik yang bersahaja itu duduk penduduk yang mahabesar: kalium-40 di dalam tubuhnya menyumbang $\mathcal A \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ dengan $\lambda = 1.8 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $N = \mathcal A/\lambda \approx 2.5 \times 10^{20}$ inti, yang darinya hanya beberapa ribu meletup tiap sekon.

Metode 32.10 (Mengukur waktu paruh)

Cacahlah peluruhannya dengan pencacah Geiger sepanjang selang yang sama berturut-turut: ini mencuplik $\mathcal A$ pada waktu yang berturut-turut.
Lukiskanlah $\ln \mathcal A$ terhadap $t$ : karena $\ln \mathcal A = \ln \mathcal A_0 - \lambda t$ , peluruhan eksponensialnya tampil sebagai garis lurus — data yang bengkok berarti hukum yang lain, atau campuran nuklida.
Bacalah $\lambda$ sebagai minus kemiringannya; $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ .

Cacahan Geiger sebuah nuklida yang berumur pendek: pada sumbu semilog eksponensialnya menjadi garis lurus; di sini kemiringannya memberikan 9.6 × 10-3\, s-1, sehingga T_1/2 72\, s. — Cacahan Geiger sebuah nuklida yang berumur pendek: pada sumbu semilog eksponensialnya menjadi garis lurus; di sini kemiringannya memberikan $\lambda \approx 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ , sehingga $T_{1/2} \approx 72\,\mathrm{s}$ .

Catatan 32.11 (Becquerel bukanlah bahaya)

Becquerel menghitung peluruhan, bukan kerusakan. Bahayanya dilacak oleh dosis dalam sievert (Bab 19), yang menimbang energi yang diendapkan tiap kilogram jaringan menurut kebengisan tiap radiasinya: sebuah pindaian teknesium $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ adalah hal biasa, becquerel yang jauh lebih sedikit dari pemancar $\alpha$ yang terhirup tidaklah demikian; mengubah $\mathrm{Bq}$ menjadi $\mathrm{Sv}$ adalah bahan universitas.

32.4 Penarikhan: membaca waktu dari sebuah nisbah

Hukum peluruhannya yang dijalankan mundur adalah sebuah jam: ukurlah bagian yang bertahan, dan eksponensialnya menyebutkan waktu yang berlalu.

Metode 32.12 (Penarikhan radiokarbon)

Semasa hidup: jaringan yang hidup bertukar karbon dengan atmosfernya lalu membawa perbandingan karbon-14-nya — satu atom dalam $10^{12}$ , yang memberikan $\mathcal A_0 = 13.6$ peluruhan tiap menit tiap gram karbon.
Kematian menjalankan jamnya: asupannya berhenti, dan perbandingannya meluruh dengan $T_{1/2} = 5730$ tahun.
Ukurlah aktivitas contohnya $\mathcal A$ tiap gram karbon; $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ terbalik menjadi $t = \frac{1}{\lambda}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A) = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

Contoh 32.13 (Sebuah tungku di dalam gua)

Arang dari tungku yang terkubur memberikan $5.0$ peluruhan tiap menit tiap gram: $\mathcal A_0/\mathcal A = 13.6/5.0 = 2.72$ , sehingga $t = 5730 \times \ln(2.72)/\ln 2 \approx 8.3 \times 10^{3}$ tahun. Apinya padam delapan ribu tahun yang lalu — kayunya sendirilah arsipnya.

Kurva penarikhannya: masuklah pada nisbah terukurnya, lalu bacalah ke bawah sampai umurnya. Titiknya adalah tungku pada : nisbahnya 0.37, umurnya 8.3 × 103 tahun. — Kurva penarikhannya: masuklah pada nisbah terukurnya, lalu bacalah ke bawah sampai umurnya. Titiknya adalah tungku pada Contoh 32.13: nisbahnya $0.37$ , umurnya $8.3 \times 10^{3}$ tahun.

Contoh 32.14 (Jam bagi batuan)

Karbon-14 membisu melewati sekitar $50\,000$ tahun; geologi menyimpan jam yang lebih lambat. Kalium–argon: kalium-40 ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ tahun) meluruh menjadi argon, gas yang lolos dari lava yang meleleh tetapi terperangkap sekali batuannya menghablur — pemadatannya menolkan jamnya. Uranium–timbal: uranium-238 mengepalai rantai peluruhan yang berakhir pada timbal-206 yang mantap (Bab 19), dan nisbah timbal terhadap uranium di dalam sebuah hablur menarikhkannya. Kedua jamnya sepakat tentang mineral yang tertua ( $\approx 4.4 \times 10^{9}$ tahun) dan, lewat meteorit, tentang umur Tata Suryanya.

Catatan 32.15 (Rantai, dan gas di ruang bawah tanah)

Antara uranium dan timbal rantainya melewati radium, lalu radon-222, sebuah gas radioaktif ( $T_{1/2} = 3.8$ hari). Lahir di dalam granit dan tanah, ia merembes ke ruang bawah tanah lalu menumpuk; anak-anaknya yang memancarkan $\alpha$ meluruh di dalam paru — dosis alami terbesar bagi kebanyakan orang, dan yang paling murah untuk dikurangi: bukalah jendela ruang bawah tanahnya.

32.5 Latihan

Latihan 32.1 ★

Iodium-131 memiliki $\lambda = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Hitunglah waktu paruhnya dalam sekon, lalu dalam hari.

Solusi

Solusi Latihan 32.1.

$T_{1/2} = \ln 2/\lambda = 0.693/1.0 \times 10^{-6} = 6.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} \approx 8.0$ hari — jam milik iodium-131.

Latihan 32.2 ★

Radon-222 memiliki $T_{1/2} = 3.8$ hari. Hitunglah $\lambda$ dalam $\mathrm{s}^{-1}$ , lalu aktivitas sebuah contoh berisi $1.0 \times 10^{10}$ inti.

Solusi

Solusi Latihan 32.2.

$T_{1/2} = 3.8 \times 86\,400 = 3.28 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ ; $\lambda = 0.693/3.28 \times 10^{5} = 2.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N = 2.1 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^{10} \approx 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$ .

Latihan 32.3 ★

Periksalah dengan penyulihan bahwa $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ memenuhi $\dd N/\dd t = -\lambda N$ dan $N(0) = N_0$ ; lalu hitunglah $N(T_{1/2})/N_0$ .

Solusi

Solusi Latihan 32.3.

$\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)e^{-\lambda t} = -\lambda N$ — persamaannya berlaku; $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ ; $N(T_{1/2})/N_0 = e^{-\lambda \ln 2/\lambda} = e^{-\ln 2} = \tfrac12$ .

Latihan 32.4 ★

Sebuah sumber sesium-137 ( $T_{1/2} = 30$ tahun) beraktivitas $4.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Bq}$ hari ini. Hitunglah aktivitasnya dalam $90$ tahun, lalu dalam $300$ tahun.

Solusi

Solusi Latihan 32.4.

$90$ tahun $= 3\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/2^3 = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$ . $300$ tahun $= 10\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/1024 \approx 3.9 \times 10^{2}\,\mathrm{Bq}$ .

Latihan 32.5 ★

Grafik semilog $\ln \mathcal A$ terhadap $t$ untuk sebuah contoh teknesium berupa garis lurus melalui $(0, 20.00)$ dan $(10\,\mathrm{jam}, 18.85)$ . Carilah $\lambda$ (dalam $\mathrm{h}^{-1}$ dan $\mathrm{s}^{-1}$ ) dan $T_{1/2}$ .

Solusi

Solusi Latihan 32.5.

Kemiringannya $= (18.85 - 20.00)/10 = -0.115$ , sehingga $\lambda = 0.115\,\mathrm{h}^{-1} = 0.115/3600 = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $T_{1/2} = 0.693/0.115 = 6.0$ jam — teknesium-99m.

Latihan 32.6 ★★

Segram radium-226 ( $T_{1/2} = 1600$ tahun; massa molar $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ): hitunglah banyaknya inti, lalu $\lambda$ , lalu aktivitasnya — satuan aktivitas yang pertama dalam sejarah, yaitu curie.

Solusi

Solusi Latihan 32.6.

$N = (1.0/226) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.7 \times 10^{21}$ ; $T_{1/2} = 1600 \times 3.156 \times 10^{7} = 5.05 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$ , sehingga $\lambda = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N \approx 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ — satu curie, yaitu aktivitas segram radium milik Marie Curie.

Latihan 32.7 ★★

Dua siswa menyegel contoh berisi $20$ dan $2.0 \times 10^{20}$ inti dari satu nuklida yang sama. Apa yang diharapkan masing-masingnya setelah satu waktu paruh? Ramalan siapa yang dapat diandalkan? (Taksirlah fluktuasi nisbi $1/\sqrt n$ untuk masing-masingnya.)

Solusi

Solusi Latihan 32.7.

Keduanya mengharapkan separuhnya tersisa: $10$ , dan $1.0 \times 10^{20}$ . Fluktuasinya $\sim 1/\sqrt{n}$ dari cacahannya: dengan $10$ peluruhan, sekitar $30\%$ — $7$ atau $13$ tidak akan mengejutkan; dengan $1.0 \times 10^{20}$ , sekitar $10^{-10}$ . Hanya contoh yang besar yang menaati hukumnya sampai ketelitian yang terukur.

Latihan 32.8 ★★

Sebuah tubuh memegang sekitar $140\,\mathrm{g}$ kalium, yang $0.012\%$ -nya adalah kalium-40 ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ tahun, massa molar $40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ). Hitunglah banyaknya inti kalium-40, lalu aktivitasnya; bandingkanlah dengan $8000\,\mathrm{Bq}$ seluruh tubuhnya.

Solusi

Solusi Latihan 32.8.

$m = 140 \times 1.2 \times 10^{-4} = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{g}$ ; $N = (0.0168/40) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.5 \times 10^{20}$ . $\lambda = 0.693/(1.25 \times 10^{9} \times 3.156 \times 10^{7}) = 1.76 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ — sekitar separuh jumlah seluruh tubuhnya (sisanya kebanyakan karbon-14).

Latihan 32.9 ★★

Seorang pasien menerima $500\,\mathrm{MBq}$ teknesium-99m ( $T_{1/2} = 6.0$ jam). Hitunglah aktivitasnya $15$ jam kemudian, lalu waktu baginya untuk turun di bawah $1\,\mathrm{MBq}$ .

Solusi

Solusi Latihan 32.9.

$\lambda = 0.693/6.0 = 0.116\,\mathrm{h}^{-1}$ . Pada $15$ jam: $\mathcal A = 500\,e^{-0.116 \times 15} = 500 \times 0.177 \approx 88\,\mathrm{MBq}$ . Di bawah $1\,\mathrm{MBq}$ : $t = \ln(500)/0.116 \approx 54\,\mathrm{jam}$ — sekitar $9$ waktu paruh.

Latihan 32.10 ★★

Arang dari sebuah lubang menunjukkan $3.4$ peluruhan tiap menit tiap gram karbon; tulang dari lubang yang lain menunjukkan $30\%$ laju semasa hidupnya ( $\mathcal A_0 = 13.6$ tiap menit tiap gram, $T_{1/2} = 5730$ tahun). Tarikhkanlah kedua contohnya.

Solusi

Solusi Latihan 32.10.

Arangnya: $3.4/13.6 = \tfrac14$ , tepat $2$ waktu paruh: $t = 1.15 \times 10^{4}$ tahun. Tulangnya: $t = 5730 \times \ln(1/0.30)/\ln 2 = 5730 \times 1.74 \approx 1.0 \times 10^{4}$ tahun.

Latihan 32.11 ★★

Sebuah ruang bawah tanah disegel dengan seangkatan radon-222 di dalamnya ( $T_{1/2} = 3.8$ hari). Setelah berapa lama aktivitas angkatan itu turun sampai $1\%$ ? Ruang bawah tanah yang sesungguhnya tetap radioaktif selama puluhan tahun: dari mana datangnya radon yang segar, dan mengapa pengudaraannya harus tetap dan bukan sekali jalan?

Solusi

Solusi Latihan 32.11.

$\lambda = 0.693/3.8 = 0.182\,\mathrm{d}^{-1}$ ; $t = \ln(100)/\lambda = 4.61/0.182 \approx 25$ hari (sekitar $6.6$ waktu paruh). Tetapi rantai uranium di dalam granit dan tanah di sekitarnya membiakkan radon terus-menerus: pengudaraan sekali jalan terurai dalam beberapa pekan, sehingga pengudaraannya harus tetap.

Latihan 32.12 ★★★

Tunjukkan dari $N = N_0 e^{-\lambda t}$ bahwa $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$ . Sebuah tulang menyisakan $5.0\%$ karbon-14 semasa hidupnya: tarikhkanlah.

Solusi

Solusi Latihan 32.12.

$N/N_0 = e^{-\lambda t}$ memberikan $\lambda t = \ln(N_0/N)$ , dan $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ memberikan $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$ . Di sini $t = 5730 \times \ln(20)/\ln 2 = 5730 \times 4.32 \approx 2.5 \times 10^{4}$ tahun.

Latihan 32.13 ★★★

Pada sebuah hablur yang tidak memerangkap argon saat pemadatannya, tiap inti kalium-40 yang meluruh meninggalkan satu atom argon di tempatnya. Tunjukkan bahwa $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ ; sebuah batuan menunjukkan nisbah $3.0$ : carilah umurnya ( $T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ tahun).

Solusi

Solusi Latihan 32.13.

$N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ dan $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$ , sehingga $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ . Dengan nisbah $3.0$ : $e^{\lambda t} = 4$ , sehingga $\lambda t = 2\ln 2$ dan $t = 2\,T_{1/2} = 2.5 \times 10^{9}$ tahun.

Latihan 32.14 ★★★

Sebuah pencacah Geiger memberikan, pada $t = 0$ , $60$ , $120$ , $180$ , $240$ sekon, laju $400$ , $225$ , $127$ , $71$ , $40$ cacahan tiap sekon. Hitunglah $\ln \mathcal A$ pada tiap waktunya, periksalah kesegarisannya, lalu perolehlah $\lambda$ dan $T_{1/2}$ .

Solusi

Solusi Latihan 32.14.

$\ln \mathcal A = 5.99$ , $5.42$ , $4.84$ , $4.26$ , $3.69$ : turun sebesar $0.57$ – $0.58$ tiap $60\,\mathrm{s}$ — segaris. Kemiringannya: $\lambda = 2.30/240 = 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $T_{1/2} = 0.693/9.6 \times 10^{-3} \approx 72\,\mathrm{s}$ .

Latihan 32.15 ★★★

Bagi sebuah inti tunggal, peluang bertahan selama $n$ waktu paruh adalah $1/2^{\,n}$ . Hitunglah peluang bahwa (a) satu inti tertentu bertahan $10$ waktu paruh; (b) seluruh $8$ inti yang diamati bertahan satu waktu paruh. (c) Dari $1000$ inti, berapa yang diharapkan setelah $3$ waktu paruh — dan dapatkah hukumnya menyebutkan yang mana? Simpulkanlah apa yang diramalkan hukumnya.

Solusi

Solusi Latihan 32.15.

(a) $2^{-10} \approx 1 \times 10^{-3}$ . (b) $(1/2)^8 = 1/256 \approx 0.4\%$ . (c) $1000/8 = 125$ yang diharapkan — tetapi hukumnya bungkam tentang yang mana: ia meramalkan penduduknya dengan tepat dan perorangannya sama sekali tidak.

32.6 Soal: Umur segala benda

Soal 32.1

Soal akhir pekan — umur segala benda: sebuah laboratorium museum menera jam karbonnya, menarikhkan sebuah arca dan sebuah papirus, mempelajari mengapa tidak ada jam yang membaca melampaui pelatnya, lalu mendorong sebuah batuan gunung api mundur semiliar tahun

Sepekan di laboratorium penarikhan sebuah museum. Datanya: jaringan yang hidup menunjukkan $\mathcal A_0 = 13.6$ peluruhan karbon-14 tiap menit tiap gram karbon; $T_{1/2} = 5730$ tahun (karbon-14), $1.25 \times 10^{9}$ tahun (kalium-40); $1$ tahun $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ; massa molar karbon $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; pencacahnya memilah sampai sekitar $0.2$ peluruhan tiap menit tiap gram.

Bagian I — Senin: menera jamnya.

Mengapa perbandingan karbon-14 tetap di dalam jaringan yang hidup, dan apa yang berubah saat kematiannya?
Hitunglah $\lambda$ untuk karbon-14 dalam $\mathrm{s}^{-1}$ .
Periksalah dengan penyulihan bahwa $N_0 e^{-\lambda t}$ menyelesaikan $\dd N/\dd t = -\lambda N$ .
Dari $\mathcal A_0$ , hitunglah banyaknya atom karbon-14 tiap gram karbon di dalam jaringan yang hidup.
Berapa atom karbon yang dipegang segram? Perolehlah perbandingan karbon-14-nya — bandingkan dengan “satu dalam $10^{12}$ ”.
Tunjukkan bahwa aktivitas terukur $\mathcal A$ menarikhkan sebuah contoh sebagai $t = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

Bagian II — Selasa: arca dan papirusnya.

Sebuah arca kayu memberikan $9.1$ peluruhan tiap menit tiap gram. Tarikhkanlah kayunya.
Peristiwa apa, tepatnya, yang ditandai tarikh itu — pemahatannya atau sesuatu yang lain? Kehati-hatian apa yang menyusul?
Sebuah papirus Mesir memberikan $10.4$ peluruhan tiap menit tiap gram. Tarikhkanlah. Masuk akalkah seorang juru tulis dua puluh dua abad yang lalu?
Aktivitasnya terukur sampai $\pm 0.2$ peluruhan tiap menit. Taksirlah ketakpastian umur papirusnya, dengan memakai $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda \mathcal A)$ .
Perkamen “kuno” seorang pedagang memberikan $13.4$ peluruhan tiap menit tiap gram. Apa putusannya?

Bagian III — Kamis: batas jamnya.

Setelah berapa waktu paruh aktivitas sebuah contoh turun di bawah $0.2$ peluruhan tiap menit tiap gram milik pencacahnya? Umur berapa itu?
Laboratorium yang terbaik mencapai sekitar sepuluh waktu paruh. Berapa cakrawala praktis penarikhan radiokarbonnya, dalam tahun?
Sebuah tulang dinosaurus berumur sekitar $6.6 \times 10^{7}$ tahun: berapa waktu paruh karbon-14 itu? Dengan memakai pertanyaan 4, setelah berapa waktu paruh bahkan tidak satu atom pun karbon-14 segram itu tersisa? Simpulkanlah tentang “menarikhkan dinosaurus dengan karbon”.
Nuklida macam apa yang justru dapat menarikhkan batuan dinosaurusnya?

Bagian IV — Jumat: batuan gunung apinya.

Argon adalah gas, kalium penghuni setia sebuah padatan: jelaskan mengapa pemadatan lava menolkan jam kalium–argonnya.
Dengan menganggap tiap inti kalium-40 yang meluruh meninggalkan satu atom argon yang terperangkap, tunjukkan bahwa $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ .
Batuan di bawah fosil museumnya menunjukkan $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = 0.60$ . Tarikhkanlah batuannya.
Dapatkah karbon-14 menarikhkan batuan ini, atau kalium–argon menarikhkan arcanya? Sebutkan jendela guna tiap jamnya dalam waktu paruh.
Laporan Jumat, satu kalimat: ketiga umur yang ditemukan pekan ini, dan satu hukum yang membaca semuanya.

Solusi

Solusi Soal 32.1.

1. Pertukaran dengan atmosfernya (makan, bernapas) menjaga perbandingannya tetap terisi pada nilai atmosfernya; kematian menghentikan asupannya dan peluruhannya mengambil alih.

2. $T_{1/2} = 5730 \times 3.156 \times 10^{7} = 1.81 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$ , sehingga $\lambda = 0.693/1.81 \times 10^{11} = 3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$ .

3. $\dd N/\dd t = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$ , dan $N(0) = N_0$ .

4. $\mathcal A_0 = 13.6/60 = 0.227\,\mathrm{Bq}$ tiap gram; $N = \mathcal A_0/\lambda = 0.227/3.8 \times 10^{-12} \approx 5.9 \times 10^{10}$ atom tiap gram.

5. $(1/12) \times 6.02 \times 10^{23} = 5.0 \times 10^{22}$ atom karbon; perbandingannya $5.9 \times 10^{10}/5.0 \times 10^{22} \approx 1.2 \times 10^{-12}$ — satu dalam $10^{12}$ , seperti yang dijanjikan.

6. $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ memberikan $\lambda t = \ln(\mathcal A_0/\mathcal A)$ , dan $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ mengubahnya menjadi $t = T_{1/2}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

7. $t = 5730 \times \ln(13.6/9.1)/\ln 2 = 5730 \times 0.580 \approx 3.3 \times 10^{3}$ tahun.

8. Kematian kayunya — penebangan pohonnya, bukan pemahatannya; arca yang dipahat dari kayu tua (atau tiruan yang dipahat dari kayu kuno) mendahului atau menyusul tarikh bahannya.

9. $t = 5730 \times \ln(13.6/10.4)/\ln 2 = 5730 \times 0.387 \approx 2.2 \times 10^{3}$ tahun — sepenuhnya sesuai dengan seorang juru tulis dua puluh dua abad yang lalu.

10. $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda\mathcal A)$ dengan $\lambda = \ln 2/5730 = 1.21 \times 10^{-4}$ tiap tahun: $\Delta t = (0.2/10.4)/1.21 \times 10^{-4} \approx 1.6 \times 10^{2}$ tahun — sebuah tarikh yang tepat sampai satu atau dua abad.

11. $t = 5730 \times \ln(13.6/13.4)/\ln 2 \approx 120$ tahun — tak terbedakan dari zaman kini di dalam ketakpastian $\pm 160$ tahun itu: perkamennya baru, “barang antik”-nya palsu.

12. $13.6/2^n < 0.2$ menuntut $2^n > 68$ : $n = 7$ waktu paruh (karena $2^7 = 128$ ), sekitar $4.0 \times 10^{4}$ tahun.

13. Sepuluh waktu paruh: sekitar $5.7 \times 10^{4}$ tahun — cakrawala praktisnya, sekitar enam puluh ribu tahun.

14. $6.6 \times 10^{7}/5730 \approx 11\,500$ waktu paruh. $5.9 \times 10^{10}$ atom milik segramnya habis setelah $2^n > 5.9 \times 10^{10}$ , yaitu $n \approx 36$ waktu paruh ( $\approx 2 \times 10^{5}$ tahun): jauh sebelum umur dinosaurusnya, tidak satu pun atom karbon-14 tersisa — tidak ada yang dapat dicacah.

15. Sebuah jam yang jauh lebih lambat: kalium-40 atau uranium-238, dengan waktu paruh bermiliar tahun.

16. Lava yang meleleh membiarkan argonnya menggelembung pergi, sehingga hablur yang baru memadat memegang kalium tetapi nol argon: nisbahnya bermula pada $0$ saat pemadatannya — jamnya ternolkan.

17. Seperti pada latihannya: $N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ , $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$ , sehingga $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ .

18. $e^{\lambda t} = 1.60$ : $t = 1.25 \times 10^{9} \times \ln(1.60)/\ln 2 = 1.25 \times 10^{9} \times 0.678 \approx 8.5 \times 10^{8}$ tahun.

19. Tidak, dua kali: pada $8.5 \times 10^{8}$ tahun karbon-14 sudah menempuh $10^5$ waktu paruh — membisu; pada $3.3 \times 10^{3}$ tahun kalium-40 baru menempuh $2.6 \times 10^{-6}$ waktu paruh — nisbah argonnya $\approx \lambda t \sim 2 \times 10^{-6}$ terlalu kecil untuk diukur. Tiap jam hanya membaca dari sekitar sepersepuluh waktu paruh sampai sekitar sepuluh.

20. Arcanya $\approx 3.3 \times 10^{3}$ tahun, papirusnya $\approx 2.2 \times 10^{3}$ tahun, batuannya $\approx 8.5 \times 10^{8}$ tahun — tiga jam, satu hukum: $N = N_0\,e^{-\lambda t}$ , yang dibaca mundur.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium