Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

25Hukum-Hukum Newton

Selundupkanlah sebuah timbangan badan ke dalam lift. Ketika kabinnya menarik ke atas, jarumnya membaca tiga kilogram lebih berat; menjelang puncaknya jarumnya membaca lebih ringan; di antara keduanya, kebenaran yang polos — tidak ada yang berubah di dalamnya kecuali geraknya. Bab ini menyatakan ketiga hukum di balik jarum itu lalu menempanya menjadi cara kerja yang menjalankan seluruh mekanika: pilihlah sistemnya, gambarlah gayanya, proyeksikanlah $\sum \vect F = m\vect a$ .

25.1 Momentum, dan hukum pertama yang dibuat tepat

Definisi 25.1 (Momentum)

Momentum sebuah benda bermassa $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) yang bergerak dengan kecepatan $\vect v$ adalah vektor

\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):

kecepatannya, yang ditimbang oleh massanya; untuk sebuah sistem, jumlah vektor atas bagian-bagiannya.

Definisi 25.2 (Kerangka acuan inersial)

Kerangka acuan inersial adalah kerangka yang di dalamnya setiap benda terpencil — tanpa gaya, atau dengan gaya yang saling meniadakan — bergerak lurus dengan kecepatan tetap (Bab 6). Tanah adalah salah satunya dengan ketelitian yang sangat baik, begitu pula kabin mana pun yang bergerak lurus beraturan di atasnya; kereta yang mengerem atau komidi putar yang berbelok bukanlah kerangka inersial: di sana, barang bawaan yang lepas berpercepatan tanpa didorong.

Teorema 25.3 (Hukum pertama Newton)

Di dalam kerangka inersial, momentum sebuah sistem terpencil tidak berubah: $\vect p$ tetap, yaitu $d\vect p/dt = \vect 0$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 25.4 (Kelembaman, yang dipertajam dua kali)

Asas kelembaman dari Bab 6, yang ditingkatkan dua kali: ia menyebutkan di mana ia berlaku — ia menakrifkan kerangka inersial sebagai kerangka tempat ia berlaku — dan ia menjaga sebuah vektor, $m\vect v$ , yang pembukuannya berbuah di penghujung bab ini.

25.2 Hukum kedua Newton

Teorema 25.5 (Hukum kedua Newton)

Di dalam kerangka inersial, gaya total pada sebuah benda sama dengan laju perubahan momentumnya; untuk massa yang tetap, karena $\vect p = m\vect v$ ,

\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 25.6 (Sebuah hukum alam, dan satuannya)

Tidak ada buktinya: inilah hukum alam, yang ditimbang terhadap percobaan selama tiga abad. Tahun lalu (Bab 16) memberikan bayangannya, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$ ; turunannya (Bab 24) membuatnya tepat pada setiap saat — rinciannya yang halus menunggu pada jilid Tahun ke-1. Gaya memperoleh satuan, $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; dan sebuah benda yang hanya menanggung beratnya menaati $m\vect a = m\vect g$ : setiap massa jatuh dengan $\vect a = \vect g$ , dan $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — kedua bacaan itu satu.

Contoh 25.7 (Gaya rata-rata, tanpa perlu rinciannya)

Sebuah mobil $1300\,\mathrm{kg}$ bergerak dari diam ke $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) dalam $8.0\,\mathrm{s}$ : apa pun ceritanya saat demi saat, gaya total rata-ratanya adalah $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — momentum mengubah pertanyaan tentang gaya menjadi pembukuan sebelum dan sesudahnya.

25.3 Hukum ketiga Newton

Teorema 25.8 (Hukum ketiga Newton)

Jika sebuah benda $A$ mengerjakan gaya $\vect F_{A \to B}$ pada benda $B$ , maka $B$ mengerjakan pada $A$ gaya $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$ : segaris kerja, sama besar, berlawanan arah — pada setiap saat, apa pun geraknya, secara bersentuhan maupun dari kejauhan.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Contoh 25.9 (Buku, meja, dan Bumi)

Sebuah buku terletak di atas meja: dua interaksi, dua pasangan. Gravitasi: Bumi menarik bukunya ke bawah ( $\vect P$ ), bukunya menarik Bumi ke atas. Sentuhan: mejanya mendorong bukunya ke atas ( $\vect N$ ), bukunya menekan mejanya ke bawah. Berjalan pun sama saja: doronglah tanahnya ke belakang; reaksinya adalah satu-satunya gaya yang melajukanmu ke depan.

Satu buku, dua interaksi, empat anak panah: pasangan gravitasinya (Bumi menarik bukunya, bukunya menarik Bumi) dan pasangan sentuhannya (mejanya mendorong bukunya, bukunya menekan mejanya). P dan N bukan pasangan: keduanya bekerja pada buku yang sama — dan saling meniadakan hanya karena percepatannya nol. — Satu buku, dua interaksi, empat anak panah: pasangan gravitasinya (Bumi menarik bukunya, bukunya menarik Bumi) dan pasangan sentuhannya (mejanya mendorong bukunya, bukunya menekan mejanya). $\vect P$ dan $\vect N$ *bukan* pasangan: keduanya bekerja pada buku yang sama — dan saling meniadakan hanya karena percepatannya nol.

25.4 Cara kerjanya: pilih, gambar, proyeksikan

Metode 25.10 (Menyelesaikan soal dinamika)

Sistem: sebutkan benda (atau himpunan benda) yang ditelaah.
Kerangka: pilihlah kerangka inersial dan sumbu yang cocok dengan geraknya — sumbu sepanjang lerengnya, atau kerangka Frenet untuk kurva (Bab 24).
Daftar: sebutkan setiap gayanya — beratnya, lalu satu gaya tiap sentuhan, tidak ada yang lain — lalu gambarlah diagram benda bebasnya: satu titik, satu anak panah tiap gaya.
Proyeksikan: tulislah $\sum \vect F = m\vect a$ , lalu proyeksikan pada tiap sumbunya.
Selesaikan lalu periksalah: satuannya, tandanya, kasus batasnya ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …).

Definisi 25.11 (Gaya normal dan gesekan)

Sebuah permukaan bekerja pada benda melalui dua komponen: gaya normal $\vect N$ , yang tegak lurus permukaannya, dan gesekan $\vect f$ , yang menyinggungnya. Percobaan memberikan hukum gesekannya: selama bendanya belum tergelincir, gesekan statisnya menyesuaikan diri sampai sebuah langit-langit, $f_s \leq \mu_s N$ ; sekali tergelincir, gesekan kinetisnya adalah $f_k = \mu_k N$ , melawan gelincirnya. Koefisien gesekan $\mu_s$ dan $\mu_k$ ( $\mu_k \leq \mu_s$ ) hanya bergantung pada kedua bahannya.

Contoh 25.12 (Bidang miring, dua kali)

Sebuah balok meluncur menuruni lereng bersudut $\alpha$ ; sumbunya: $x$ menuruni lerengnya, $y$ tegak lurus. Pada $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . Pada $x$ , tanpa gesekan: $ma = mg\sin\alpha$ , sehingga $a = g\sin\alpha$ — tanpa massa; pada $\alpha = 30^\circ$ , $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Dengan gesekan kinetis: $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$ ; untuk $\mu_k = 0.20$ , $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Dan baloknya tetap diam pada mulanya hanya selama gesekan statis yang dibutuhkannya muat di bawah langit-langitnya: $\tan\alpha \leq \mu_s$ .

Diagram benda bebas pada bidang miring: berat P, gaya normal N, gesekan f menaiki lerengnya untuk balok yang meluncur turun. Sumbu sepanjang dan tegak lurus lerengnya memecah P menjadi mg dan mg (bergaris putus-putus). — Diagram benda bebas pada bidang miring: berat $\vect P$ , gaya normal $\vect N$ , gesekan $\vect f$ menaiki lerengnya untuk balok yang meluncur turun. Sumbu sepanjang dan tegak lurus lerengnya memecah $\vect P$ menjadi $mg\sin\alpha$ dan $mg\cos\alpha$ (bergaris putus-putus).

Definisi 25.13 (Berat semu)

Berat semu sebuah benda adalah gaya normal antara benda itu dan penopangnya — yang dibaca timbangan di bawahnya.

Contoh 25.14 (Lift)

Seorang penumpang $70\,\mathrm{kg}$ berdiri di atas timbangan di dalam lift yang percepatan tegaknya $a_z$ (ke atas positif): $N - mg = ma_z$ , sehingga $N = m(g + a_z)$ . Menarik ke atas pada $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $792\,\mathrm{N}$ , berat; mengerem menjelang puncaknya: $582\,\mathrm{N}$ , ringan; melaju tetap: $mg = 687\,\mathrm{N}$ — hukum pertamanya; jatuh bebas, $a_z = -g$ : $N = 0$ , tanpa bobot di atas timbangan.

Contoh 25.15 (Dua balok dan sebuah katrol)

Sebuah balok $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ di atas meja tanpa gesekan diikat dengan tali ringan, melewati katrol ideal, ke balok yang menggantung $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . Talinya meneruskan tegangan $T$ yang sama di kedua ujungnya; kedua baloknya berbagi satu besar percepatan $a$ . Satu hukum kedua untuk masing-masingnya, sepanjang tiap geraknya: $m_1 a = T$ dan $m_2 a = m_2 g - T$ , sehingga $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ dan $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — lebih kecil daripada $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$ , sebagaimana seharusnya agar $m_2$ berpercepatan ke bawah.

Dua balok, satu tali ringan, satu katrol ideal: tegangan T yang sama menarik kedua ujungnya, kedua baloknya berbagi satu besar percepatan — satu hukum kedua untuk masing-masingnya, dua persamaan, dua anu. — Dua balok, satu tali ringan, satu katrol ideal: tegangan $T$ yang sama menarik kedua ujungnya, kedua baloknya berbagi satu besar percepatan — satu hukum kedua untuk masing-masingnya, dua persamaan, dua anu.

Contoh 25.16 (Tikungan yang datar)

Sebuah mobil bermassa $m$ menempuh tikungan datar berjari-jari $R$ pada laju tetap $v$ . Di dalam kerangka Frenet (Bab 24) percepatannya murni normal, $a_N = v^2/R$ , membidik pusatnya. Secara tegak, $N = mg$ ; secara mendatar, satu-satunya gaya sentripetal yang tersedia adalah gesekan statis jalan pada bannya: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$ , sehingga $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$ , berapa pun massanya. Untuk $R = 90\,\mathrm{m}$ , jalan kering ( $\mu_s = 0.70$ ): $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); di atas es langit-langitnya runtuh — Latihan 25.13 memiringkan jalannya; Latihan 25.10 mengayunkan proyeksi yang sama pada seutas kawat.

Sebuah mobil di tikungan yang datar pada laju tetap: dari atas (kiri) kecepatannya menyinggung dan gaya totalnya membidik pusatnya; dari belakang (kanan) N mengimbangi P, dan gesekan statis jalan ke sampingnya adalah seluruh gaya sentripetalnya. — Sebuah mobil di tikungan yang datar pada laju tetap: dari atas (kiri) kecepatannya menyinggung dan gaya totalnya membidik pusatnya; dari belakang (kanan) $\vect N$ mengimbangi $\vect P$ , dan gesekan statis jalan ke sampingnya adalah seluruh gaya sentripetalnya.

25.5 Sistem terpencil: momentumnya kekal

Proposisi 25.17 (Kekekalan momentum)

Untuk dua benda yang gaya luarnya lenyap atau saling meniadakan, momentum totalnya $\vect p_1 + \vect p_2$ tetap, apa pun gaya yang keduanya kerjakan satu sama lain.

Bukti. Jumlahkanlah kedua hukum keduanya: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} + \vect F_{\text{luar}}$ : pasangan dalamnya saling meniadakan menurut hukum ketiga, dan $\vect F_{\text{luar}} = \vect 0$ menurut andaiannya. ∎

Contoh 25.18 (Hentakan balik)

Seorang peluncur es $60\,\mathrm{kg}$ yang diam di atas es licin melemparkan bola medisin $4.0\,\mathrm{kg}$ secara mendatar pada $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Sebelumnya: $\vect p = \vect 0$ ; sesudahnya: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$ , sehingga $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ia melayang ke belakang. Tidak ada yang mendorongnya dari luar: bolanya yang mendorong (hukum ketiga), dan pembukuannya tetap nol.

Catatan 25.19 (Bagaimana roket mendorong ketiadaan)

Roket adalah mesin pelempar massa. Tiap sekon mesinnya melontarkan segumpal gas ke belakang; gasnya membawa pergi momentum ke belakang, sehingga roketnya memperoleh sebanyak itu ke depan — gaya dorong yang mantap, kira-kira massa yang dilontarkan tiap sekon dikalikan laju lontarannya. Roketnya mendorong gas buangannya sendiri, bukan udara: ia bekerja paling baik di ruang hampa.

25.6 Latihan

Latihan 25.1 ★

Hitunglah momentum (a) seorang pelari cepat $70\,\mathrm{kg}$ pada $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (b) mobil $1300\,\mathrm{kg}$ pada $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (c) peluru $8.0\,\mathrm{g}$ pada $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Urutkanlah ketiganya. Mengapa yang paling cepat menempati urutan terakhir?

Solusi

Solusi Latihan 25.1.

(a) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Mobil $>$ pelari $>$ peluru: lima orde besaran massa lebih daripada yang mampu dibeli lajunya.

Latihan 25.2 ★

Seorang penumpang $70\,\mathrm{kg}$ berdiri di atas timbangan di dalam lift. Apa bacaannya ketika kabinnya (a) berpercepatan ke atas $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; (b) menanjak tetap $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (c) berpercepatan ke bawah $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ? Hukum mana yang menyelesaikan (b)?

Solusi

Solusi Latihan 25.2.

$N = m(g + a_z)$ : (a) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$ ; (b) $a_z = 0$ , sehingga $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — hukum pertamanya: kecepatannya tetap, gayanya saling meniadakan; (c) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$ .

Latihan 25.3 ★

Sebuah balok dilepaskan pada lereng tanpa gesekan bersudut $30^\circ$ . Hitunglah percepatannya, lalu lajunya setelah meluncur $3.0\,\mathrm{m}$ . Ke mana massanya pergi?

Solusi

Solusi Latihan 25.3.

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Massanya saling meniadakan antara $ma$ dan $mg\sin\alpha$ .

Latihan 25.4 ★

Sebuah bola tenis $58\,\mathrm{g}$ datang pada $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lalu dikembalikan sepanjang garis yang sama pada $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; sentuhannya berlangsung $5.0\,\mathrm{ms}$ . Hitunglah perubahan momentumnya dan gaya rata-rata senarnya; bandingkanlah gaya itu dengan berat bolanya.

Solusi

Solusi Latihan 25.4.

Berbaliknya: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — sekitar $800$ kali berat $0.57\,\mathrm{N}$ bolanya, dan itulah sebabnya gravitasi diabaikan selama sentuhannya.

Latihan 25.5 ★

Sebuah buku terletak di atas meja. Sebutkan kedua gaya yang bekerja pada bukunya dan, untuk masing-masingnya, pasangan aksi–reaksinya (benda yang mana? arah yang mana?). Mengapa berat bukunya dan dorongan mejanya bukan pasangan satu sama lain?

Solusi

Solusi Latihan 25.5.

Berat (Bumi pada bukunya, ke bawah): pasangannya = bukunya menarik Bumi, ke atas. Gaya normal (mejanya pada bukunya, ke atas): pasangannya = bukunya menekan mejanya, ke bawah. Berat dan gaya normal bekerja pada benda yang sama dan tergolong dua interaksi yang berbeda — sama besar di sini hanya karena $\vect a = \vect 0$ .

Latihan 25.6 ★★

Sebuah peti $50\,\mathrm{kg}$ terletak di atas lantai mendatar, $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ . (a) Dorongan mendatar berapa yang tepat menggerakkannya? (b) Jika dorongan itu dipertahankan, berapa percepatannya? (c) Dorongan berapa yang mempertahankan geraknya pada kecepatan tetap?

Solusi

Solusi Latihan 25.6.

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$ . (a) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$ . (b) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$ .

Latihan 25.7 ★★

Peti yang sama diletakkan pada landaian yang dapat diatur ( $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ ). (a) Pada sudut berapa peti itu mulai tergelincir? (b) Pada $30^\circ$ , hitunglah percepatannya. (c) Sekali bergerak pada sudut (a), apakah peti itu terus berpercepatan? Mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 25.7.

(a) Tergelincir ketika $\tan\alpha > \mu_s$ : $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$ . (b) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Ya: sekali tergelincir, gesekannya turun ke $\mu_k < \mu_s$ , sehingga $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$ .

Latihan 25.8 ★★

Sebuah balok $3.0\,\mathrm{kg}$ di atas meja tanpa gesekan diikat melewati katrol ideal ke balok $2.0\,\mathrm{kg}$ yang menggantung. Hitunglah percepatan dan tegangannya. Mengapa tegangannya harus keluar lebih kecil daripada berat yang menggantung itu?

Solusi

Solusi Latihan 25.8.

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$ . Balok yang menggantung berpercepatan ke bawah, sehingga gaya total padanya menunjuk ke bawah: $T$ harus di bawah $m_2 g$ .

Latihan 25.9 ★★

Sebuah tikungan berjari-jari $50\,\mathrm{m}$ berpermukaan datar. Hitunglah laju terbesar sebuah mobil untuk $\mu_s = 0.70$ (kering) dan $0.40$ (basah), dalam $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Mengapa jawabannya berlaku bagi skuter dan truk sekaligus?

Solusi

Solusi Latihan 25.9.

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$ : kering $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; basah $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Baik $mv^2/R$ maupun $\mu_s mg$ membawa $m$ : massanya saling meniadakan.

Latihan 25.10 ★★

Sebuah bandul $0.30\,\mathrm{kg}$ pada kawat $1.2\,\mathrm{m}$ melukis lingkaran mendatar, kawatnya menahan sudut tetap $25^\circ$ terhadap arah tegak (bandul kerucut). Proyeksikanlah hukum keduanya secara tegak, lalu sepanjang jari-jarinya: hitunglah tegangan dan lajunya.

Solusi

Solusi Latihan 25.10.

Secara tegak: $T\cos\theta = mg$ , sehingga $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$ . Jari-jarinya $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$ ; secara radial: $T\sin\theta = mv^2/R$ , sehingga $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Latihan 25.11 ★★

Sebuah paket $5.0\,\mathrm{kg}$ menumpang timbangan di dalam lift barang; bacaannya:

tahap	$0\text{ to }2\,\mathrm{s}$	$2\text{ to }8\,\mathrm{s}$	$8\text{ to }10\,\mathrm{s}$
timbangan ( $\mathrm{N}$ )	54.0	49.0	44.1

Hitunglah percepatan pada tiap tahapnya lalu lukiskan satu perjalanan yang mungkin. Mungkinkah liftnya bergerak turun sepanjang waktu itu?

Solusi

Solusi Latihan 25.11.

$a_z = (N - mg)/m$ dengan $mg = 49.05\,\mathrm{N}$ : $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $0$ , $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Misalnya perjalanan naik: bertambah cepat, melaju tetap, mengerem. Ya: jika masuk dalam keadaan sudah menurun, bacaan yang sama berarti mengerem, melaju tetap, lalu bertambah cepat lagi ke bawah — timbangannya membaca percepatan, bukan kecepatan.

Latihan 25.12 ★★★

Seorang peluncur es $60\,\mathrm{kg}$ yang diam di atas es licin melemparkan bola $4.0\,\mathrm{kg}$ secara mendatar. (a) Bolanya lepas pada $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap tanah: berapa laju hentakan baliknya? (b) $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ itu kini terukur terhadap dirinya: hitunglah kembali kedua lajunya. (c) Gaya mana yang mendorongnya ke belakang?

Solusi

Solusi Latihan 25.12.

(a) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$ : $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Bolanya pada $8.0 + V$ terhadap tanah: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$ , sehingga $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan bolanya melesat pada $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) Dorongan bolanya pada tangannya — pasangan hukum ketiga bagi lemparannya sendiri.

Latihan 25.13 ★★★

Sebuah tikungan jalan raya berjari-jari $80\,\mathrm{m}$ dirancang untuk $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tanpa bantuan gesekan. Tunjukkan bahwa jalannya harus dimiringkan pada sudut $\theta$ yang diberikan oleh $\tan\theta = v^2/(gR)$ lalu hitunglah sudutnya. Apa yang harus dikerjakan gesekannya bagi mobil yang menempuh tikungan itu lebih lambat — atau lebih cepat?

Solusi

Solusi Latihan 25.13.

Tanpa gesekan: $N\cos\theta = mg$ (tegak) dan $N\sin\theta = mv^2/R$ (radial); dengan membaginya, $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$ : $\theta \approx 27^\circ$ . Lebih lambat: mobilnya cenderung merosot menuruni kemiringannya, gesekannya harus menunjuk menaiki lerengnya; lebih cepat: sebaliknya.

Latihan 25.14 ★★★

Mesin sebuah roket melontarkan $250\,\mathrm{kg}$ gas tiap sekon pada $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Berapa momentum yang pergi tiap sekon — gaya dorong berapa yang dikembalikan gasnya? (b) Roketnya bermassa $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ saat penyalaan: berapa beratnya? berapa percepatan lepas landasnya? (c) Mengapa mesinnya bekerja sama baiknya di ruang hampa?

Solusi

Solusi Latihan 25.14.

(a) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tiap sekon: gaya dorongnya $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ . (b) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ ; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Roketnya mendorong gas buangannya sendiri (hukum ketiga), bukan udaranya.

Latihan 25.15 ★★★

Sebuah balok $4.0\,\mathrm{kg}$ di atas meja ( $\mu_s = 0.35$ , $\mu_k = 0.25$ ) diikat melewati katrol ideal ke massa yang menggantung $m_2$ . (a) Berapa $m_2$ terkecil yang memulai geraknya? (b) Untuk $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$ , hitunglah percepatan dan tegangannya. (c) Periksalah bahwa $\mu_k = 0$ memulihkan rumus tanpa gesekan pada Latihan 25.8.

Solusi

Solusi Latihan 25.15.

(a) $m_2 g > \mu_s m_1 g$ : $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$ . (b) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$ . (c) $\mu_k = 0$ memberikan $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$ : rumus pada Latihan 25.8.

25.7 Soal: Kereta gantung

Soal 25.1

Soal akhir pekan — mengesahkan kereta gantung: tegangan yang dituntut lerengnya saat diam, tambahan saat bertolak, kelegaan di atas menaranya, harga sebuah pemberhentian darurat — dan satu bilangan yang boleh dijanjikan papan di dalam kabinnya

Sebuah kereta gantung gunung — kabin beserta keretanya, bermassa kosong $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — berjalan pada kabel jalur yang miring $\alpha = 30^\circ$ , ditarik oleh kabel penghela yang sejajar lerengnya dengan tegangan $\vect T$ . Gesekan gelindingnya diabaikan; lantai kabinnya tetap mendatar sepanjang waktu. Kabinnya memuat $25$ penumpang bermassa rata-rata $80\,\mathrm{kg}$ ; kamulah insinyur yang mengesahkannya. Kecuali disebutkan lain, kabinnya penuh: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ .

Bagian I — Diam di lerengnya.

Pilihlah sistemnya; sebutkan mengapa kerangka gunungnya memadai sebagai kerangka inersial; daftarlah ketiga gayanya, beserta arahnya.
Hukum mana yang mengatur penantiannya? Proyeksikanlah hukum itu sepanjang dan tegak lurus lerengnya untuk menyatakan $T$ dan gaya normal $N$ kabel jalurnya.
Hitunglah $T$ dan $N$ .
Hitunglah kembali $T$ untuk kabin yang kosong. Mengapa $T$ sebanding dengan massa totalnya?
Kabel penghelanya putus, remnya lepas: tunjukkan bahwa percepatan meluncurnya adalah $g \sin\alpha$ , bermuatan maupun kosong, lalu hitunglah.

Bagian II — Bertolak. Derek penggulungnya melajukan kabin yang penuh dengan $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ menaiki lerengnya sampai melaju tetap pada $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Nyatakan lalu hitunglah tegangan $T'$ selama tahap ini.
Berapa bagian tambahan tegangan saat bertolak di atas nilainya saat diam?
Berapa lama tahap itu berlangsung, dan sepanjang jarak berapa?
Seorang penumpang $80\,\mathrm{kg}$ berdiri di lantai yang mendatar. Proyeksikanlah hukum keduanya secara tegak untuk menyatakan lalu menghitung berat semunya; bandingkanlah dengan $mg$ .
Gaya mana yang melajukannya secara mendatar, dan seberapa besar? Mengapa penumpangnya condong?

Bagian III — Di atas menaranya. Pada $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ yang tetap, kabel jalurnya melengkung di atas menara penopang sepanjang busur lingkaran tegak berjari-jari $R = 40\,\mathrm{m}$ ; di puncaknya kecepatannya mendatar.

Di dalam kerangka Frenet pada puncaknya (Bab 24), sebutkan kedua komponen percepatannya, beserta nilainya.
Proyeksikanlah hukum keduanya sepanjang normalnya untuk menyatakan lalu menghitung gaya normal $N'$ kabelnya pada keretanya.
Pertanyaan yang sama untuk berat semu penumpangnya di puncaknya: berapa bagian ia menjadi lebih ringan?
Pada laju berapa $N'$ akan lenyap? Bandingkanlah dengan laju lajunya lalu berilah ulasan.
Gaya apa yang dikerjakan keretanya pada kabelnya di atas menara itu — hukum mana yang mengatakannya, dengan besar dan arah yang mana?

Bagian IV — Pengereman, sebuah lompatan, dan papannya.

Pada bentangan mendatar saat tiba, sebuah pemberhentian darurat membawa kabin yang penuh dari $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sampai diam dalam $1.5\,\mathrm{s}$ : bacalah $\sum \vect F = d\vect p/dt$ sebagai rata-rata sepanjang pemberhentian itu untuk menghitung gaya pengeremannya.
Gaya mendatar berapa yang harus menghentikan penumpang $80\,\mathrm{kg}$ , dan dapatkah gesekan statis sepatu–lantai ( $\mu_s = 0.40$ ) memasoknya? Simpulkanlah.
Di peronnya, remnya lepas, kabin yang kosong menggantung bebas dan diam; penumpang yang terakhir ( $80\,\mathrm{kg}$ ) melompat turun secara mendatar pada $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap kabinnya. Hitunglah laju hentakan balik kabinnya dan laju penumpangnya terhadap tanah.
Dalam satu kalimat: alat pendorong mana yang hidup dari asas hentakan balik ini, dan apa yang menetapkan gaya dorongnya?
Pengesahan. Kabel penghelanya putus pada $100\,\mathrm{kN}$ ; peraturannya membatasi tegangan kerjanya pada seperlima nilai itu. Tunjukkan bahwa keadaan terburuk yang ditemui di atas adalah saat bertolak, perolehlah massa total terbesarnya, lalu cetaklah papannya: berapa penumpang $80\,\mathrm{kg}$ yang boleh menumpang? Periksalah faktor keselamatannya.

Solusi

Solusi Soal 25.1.

1. Sistemnya: kabin $+$ kereta ( $+$ penumpangnya). Gunungnya terpaku pada tanah, inersial dengan ketelitian yang sangat baik. Gayanya: berat $M\vect g$ (ke bawah), gaya normal $\vect N$ kabel jalurnya (tegak lurus kabelnya), tegangan penghela $\vect T$ (menaiki lerengnya).

2. Saat diam, hukum pertamanya: $\sum \vect F = \vect 0$ . Sepanjang lerengnya: $T = Mg\sin\alpha$ ; tegak lurus: $N = Mg\cos\alpha$ .

3. $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$ ; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$ .

4. Kosong: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$ . Setiap gaya dalam keseimbangannya sebanding dengan $M$ , sehingga $T$ pun demikian.

5. Sepanjang lerengnya, $Ma = Mg\sin\alpha$ : $M$ saling meniadakan, $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ menuruni lerengnya.

6. $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 = 22.0\,\mathrm{kN}$ .

7. $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$ .

8. $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$ ; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$ .

9. Komponen tegak $\vect a$ : $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , sehingga $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ terhadap $mg = 785\,\mathrm{N}$ : $3\%$ lebih berat.

10. Gesekan statis lantainya, mendatar: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$ . Dengan condong, dorongan gabungan lantainya melewati pusat massanya, sehingga tidak menjungkalkannya.

11. $a_T = dv/dt = 0$ (lajunya tetap); $a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , membidik pusatnya — lurus ke bawah di puncaknya.

12. Sumbu normalnya (ke bawah positif): $Mg - N' = Mv^2/R$ , sehingga $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$ .

13. $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$ : lebih ringan sebesar $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$ .

14. $N' = 0$ pada $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — lebih dari tiga kali laju lajunya: keretanya menumpang kabelnya dengan sisa yang lapang.

15. Hukum ketiga Newton: $35.6\,\mathrm{kN}$ , menekan ke bawah pada kabelnya (jadi pada menaranya) — sedikit kurang daripada beratnya saat diam, yang diringankan oleh lintasan yang melengkung itu.

16. $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 = 16\,\mathrm{kN}$ , berlawanan dengan geraknya ( $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

17. $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$ ; langit-langitnya $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$ : kakinya saja akan tergelincir — peganglah pegangannya.

18. $0 = M_0 V + m(v_{\text{rel}} + V)$ : $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; penumpangnya bergerak pada $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap tanah.

19. Roketnya: gaya dorongnya ditetapkan oleh massa yang dilontarkan tiap sekon dikalikan laju lontarannya terhadap roket itu.

20. Tegangan terbesar yang ditemui adalah saat bertolak, $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (saat diam memberikan $Mg\sin\alpha$ , di puncaknya bahkan lebih kecil). Batasnya: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$ , sehingga $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ : muatannya $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , yaitu $20$ penumpang $80\,\mathrm{kg}$ (bukan $25$ ). Papannya: 20 orang; lalu $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$ , faktor keselamatannya $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$ .

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium