Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

17Usaha sebuah Gaya

Doronglah sebuah lemari pakaian melintasi ruangan dan kamu sudah melakukan usaha; doronglah sebuah dinding sepanjang sore dan, apa pun laporan ototmu, fisika menghitungnya nol. Usaha adalah apa yang diserahkan sebuah gaya sepanjang sebuah gerak — yaitu energi yang sedang berpindah (Bab 9), yang dibayar dalam joule. Bab ini menghargai gaya pada Bab 16 — tarikan bersudut, berat, gesekan — lalu mencatat laju pembayarannya: daya.

17.1 Usaha sebuah gaya tetap

Definisi 17.1 (Usaha sebuah gaya tetap)

Sebuah gaya tetap $\vect F$ yang dikerjakan pada benda yang bergerak sepanjang ruas garis lurus dari $A$ ke $B$ melakukan usaha

W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta ,

dengan $F$ adalah besar gayanya (dalam $\mathrm{N}$ ), $AB$ panjang perpindahannya (dalam $\mathrm{m}$ ) dan $\theta$ sudut antara $\vect F$ dan $\vect{AB}$ . Usaha diukur dalam joule ( $\mathrm{J}$ ): satu joule adalah usaha gaya satu newton sepanjang satu meter pada arahnya sendiri.

Catatan 17.2

$F \times AB \times \cos\theta$ tepat sama dengan hasil kali skalar $\vect F \cdot \vect{AB}$ pada jilid matematika tahun ini. Hanya komponen $F\cos\theta$ yang searah geraknya yang menghasilkan sesuatu.

Hanya proyeksi F gaya itu pada perpindahannya yang melakukan usaha: W_AB( F) = F × AB ×. — Hanya proyeksi $F\cos\theta$ gaya itu pada perpindahannya yang melakukan usaha: $W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta$ .

Contoh 17.3 (Koper pada tali seret)

Seorang pelancong menyeret koper sejauh $300\,\mathrm{m}$ melintasi terminal, dengan talinya ditarik $F = 40\,\mathrm{N}$ pada $\theta = 50{}^{\circ}$ terhadap lantainya: $W = 40 \times 300 \times \cos50{}^{\circ} \approx 7.7\,\mathrm{kJ}$ . Jika ditarik mendatar ( $\theta = 0$ ), gaya yang sama akan menyerahkan $12\,\mathrm{kJ}$ : sepertiga tarikannya tidak mengangkat apa-apa.

Definisi 17.4 (Usaha pendorong, penghambat, dan nol)

Tanda $\cos\theta$ memilah setiap gaya ke dalam tiga golongan:

$\theta < 90{}^{\circ}$ : $W > 0$ , usahanya bersifat pendorong — gayanya menyuapkan energi ke dalam geraknya;
$\theta = 90{}^{\circ}$ : $W = 0$ , gayanya sama sekali tidak melakukan usaha, sebesar apa pun ia;
$\theta > 90{}^{\circ}$ : $W < 0$ , usahanya bersifat penghambat — gayanya menguras energi. Kasus murninya adalah rem pada $180{}^{\circ}$ : $800\,\mathrm{N}$ sepanjang $45\,\mathrm{m}$ mengambil $800 \times 45 \times (-1) = -36\,\mathrm{kJ}$ dari sebuah mobil, lalu memindahkannya ke cakram yang panas.

Ketiga golongannya — pendorong, nol, penghambat — menurut sudut antara gaya dan perpindahannya (anak panah merah).

17.2 Usaha oleh berat

Proposisi 17.5 (Usaha oleh berat)

Ketika sebuah benda bermassa $m$ berpindah dari $A$ (ketinggian $z_A$ ) ke $B$ (ketinggian $z_B$ ) melalui lintasan apa pun yang tersusun dari ruas garis lurus, beratnya $\vect P$ melakukan usaha

W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) = \pm\, mgh ,

dengan $h = \abs{z_A - z_B}$ adalah selisih ketinggiannya: $+mgh$ ketika turun, $-mgh$ ketika naik — hanya selisihnya yang berperan, bukan rutenya.

Bukti. Pada satu ruas garis lurus $AB$ , beratnya (yang besarnya $mg$ , lurus ke bawah) membentuk sudut $\theta$ dengan $\vect{AB}$ , dan $AB\cos\theta$ tepat sama dengan proyeksi perpindahannya pada arah tegak ke bawah: $z_A - z_B$ . Karena itu $W = mg \times AB\cos\theta = mg\,(z_A - z_B)$ . Sepanjang rangkaian ruas garisnya, usahanya berjumlah dan selisih ketinggiannya saling meniadakan: $mg(z_A - z_C) + mg(z_C - z_B) = mg(z_A - z_B)$ . ∎

Proposisi 17.6 (Lintasan apa pun)

Rumus yang sama berlaku sepanjang lintasan melengkung apa pun dari $A$ ke $B$ .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 17.7

Masuk akal — sebuah lengkung sedekat yang kita kehendaki dengan garis patah yang tersusun dari banyak ruas pendek — tetapi menjujurkan “sedekat yang kita kehendaki” adalah kalkulus, yang dikerjakan pada Bab 29.

Lurus (biru) atau berkelana (hijau), setiap lintasan dari A ke B turun sebesar h yang sama: beratnya melakukan +mgh pada keduanya. — Lurus (biru) atau berkelana (hijau), setiap lintasan dari $A$ ke $B$ turun sebesar $h$ yang sama: beratnya melakukan $+mgh$ pada keduanya.

Contoh 17.8 (Pendaki)

Seorang pendaki $78\,\mathrm{kg}$ (beserta ranselnya) mendaki $450\,\mathrm{m}$ , lewat jalur mana pun: $W(\vect P) = -78 \times 9.81 \times 450 \approx -344\,\mathrm{kJ}$ , dan tepat $+344\,\mathrm{kJ}$ ketika turun kembali, seberapa pun berkeloknya.

17.3 Usaha oleh gesekan

Proposisi 17.9 (Usaha oleh gesekan peluncuran)

Sebuah gaya gesek yang besarnya tetap $f$ , yang pada setiap saat berlawanan dengan geraknya, melakukan usaha $W = -fL$ sepanjang lintasan yang panjang seluruhnya $L$ : selalu menghambat, dan sebanding dengan panjang lintasan yang ditempuh — bukan dengan perpindahannya.

Bukti. Tiap potongan lurus yang pendek memiliki gayanya pada $180{}^{\circ}$ terhadap geraknya, sehingga menyumbang $-f \times (\text{panjangnya})$ ; potongannya berjumlah menjadi $-fL$ . Lintasan yang melengkung dicincang menjadi potongan pendek dengan cara yang sama, dan limitnya diterima seperti pada beratnya (Catatan 17.7). ∎

Catatan 17.10 (Gesekan melawan berat: pemisah yang besar)

Usaha oleh berat melupakan lintasannya; usaha oleh gesekan adalah retribusi tiap meter. Pada perjalanan pulang pergi, beratnya berjumlah nol — apa yang diambilnya saat mendaki dikembalikannya saat menuruni — sedangkan gesekannya menagih $-fL$ pada tiap penggalnya dan tidak mengembalikan apa pun: usaha oleh berat dapat disimpan dan diperoleh kembali (energi potensial, Bab 18), sedangkan usaha oleh gesekan hilang sebagai kalor.

Contoh 17.11 (Pergi dan kembali)

Sebuah peti meluncur $5.0\,\mathrm{m}$ melintasi lantai lalu $5.0\,\mathrm{m}$ kembali, melawan $f = 60\,\mathrm{N}$ : gesekannya melakukan $-60 \times 10 = -600\,\mathrm{J}$ walaupun peti itu berakhir di tempat ia bermula. Berat dan gaya normalnya, yang tegak lurus geraknya: nol sepanjang perjalanan.

Catatan 17.12 (Bagaimana dengan pegas?)

Sebuah pegas menarik makin kuat ketika ia makin diregangkan: gayanya tidak tetap dan Definisi 17.1 tidak berlaku. Usahanya berarti mencincang regangannya menjadi langkah yang sangat kecil lalu menjumlahkannya — yaitu kalkulus, yang diserahkan pada Bab 29.

17.4 Daya

Definisi 17.13 (Daya)

Yang disebut daya sebuah gaya adalah laju gaya itu melakukan usaha, $P = W/\Delta t$ , dalam watt ( $\mathrm{W} = \mathrm{J}/\mathrm{s}$ ) — watt yang sama seperti pada Bab 12. Satuan sebelum SI masih bertahan pada lencana mesin: daya kuda, $1\,\mathrm{hp} = 736\,\mathrm{W}$ .

Proposisi 17.14 (Daya pada kecepatan tetap)

Jika bendanya bergerak dengan kelajuan tetap $v$ , gaya tetap $\vect F$ yang bersudut $\theta$ terhadap geraknya menyerahkan daya $P = F v \cos\theta$ — khususnya $P = Fv$ untuk gaya yang searah geraknya.

Bukti. Dalam waktu $\Delta t$ bendanya menempuh $d = v\,\Delta t$ , sehingga $W = F \times v\,\Delta t \times \cos\theta$ ; bagilah dengan $\Delta t$ . ∎

Contoh 17.15 (Derek)

Sebuah derek mengangkat palet $600\,\mathrm{kg}$ dengan laju tetap $0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : gaya kabelnya sama dengan beratnya, $mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ , sehingga $P = Fv = 5890 \times 0.90 \approx 5.3\,\mathrm{kW} \approx 7.2\,\mathrm{hp}$ — setara tujuh ekor kuda di dalam kotak baja.

Metode 17.16 (Mendaki dengan gaya yang lebih kecil: berkelok)

Untuk menaikkan sebuah beban setinggi $h$ dengan gaya yang terbatas:

Tagihannya sudah tertetapkan: menurut Proposisi 17.5, rute mana pun ke puncaknya berharga usaha sebesar $mgh$ .
Panjangkanlah lintasannya: pada lereng sepanjang $L$ , gaya yang diperlukan (dengan laju tetap, gesekannya dikesampingkan) adalah $F = mgh/L$ — gandakan panjangnya, separuhkan gayanya.
Bayarlah biaya tambahannya: gesekan menagih tiap meter (Proposisi 17.9), dan menambahkan $fL$ .

Jalan gunung berkelok demi langkah 2: tinggi yang sama, gaya yang lebih kecil, usaha yang sama.

Menarik 1200\, kg setinggi h = 300\, m: hasil kali F × L = mgh = 3.53\, MJ sudah tertetapkan, sehingga jalannya menukar panjang dengan gaya (lihat ). — Menarik $1200\,\mathrm{kg}$ setinggi $h = 300\,\mathrm{m}$ : hasil kali $F \times L = mgh = 3.53\,\mathrm{MJ}$ sudah tertetapkan, sehingga jalannya menukar panjang dengan gaya (lihat Latihan 17.12).

17.5 Latihan

Latihan 17.1 ★

Sebuah gaya tetap $F = 40\,\mathrm{N}$ bekerja sepanjang perpindahan lurus $50\,\mathrm{m}$ : hitunglah usahanya untuk $\theta = 0{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ dan $120{}^{\circ}$ .

Solusi

Solusi Latihan 17.1.

$W = 40 \times 50 \times \cos\theta$ : $+2000\,\mathrm{J}$ ; $+1000\,\mathrm{J}$ ; $0$ ; $-1000\,\mathrm{J}$ .

Latihan 17.2 ★

Sebuah kotak perkakas $12\,\mathrm{kg}$ diturunkan $2.5\,\mathrm{m}$ dari sebuah van, lalu kemudian dinaikkan kembali. Berapa usaha oleh beratnya pada masing-masing kasus?

Solusi

Solusi Latihan 17.2.

$mgh = 12 \times 9.81 \times 2.5 = 294\,\mathrm{J}$ : ketika diturunkan, $+294\,\mathrm{J}$ (beratnya searah turunnya); ketika dinaikkan, $-294\,\mathrm{J}$ .

Latihan 17.3 ★

Pendorong, penghambat, atau nol? (a) berat sebuah apel yang jatuh; (b) berat sebuah bola yang naik; (c) gaya normal pada kotak yang meluncur; (d) gesekan pada sepeda yang mengerem; (e) tegangan tali pada bandul yang berayun.

Solusi

Solusi Latihan 17.3.

(a) pendorong; (b) penghambat; (c) nol (tegak lurus); (d) penghambat; (e) nol — tegangan talinya selalu tegak lurus terhadap gerak bandulnya.

Latihan 17.4 ★

Sebuah derek mengangkat $600\,\mathrm{kg}$ setinggi $25\,\mathrm{m}$ dengan laju tetap. Berapa usaha oleh gaya pengangkatnya dan usaha oleh beratnya? Berapa jumlah keduanya, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 17.4.

Laju tetap: gaya pengangkatnya $= mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ , sehingga $W_{\text{angkat}} = 5886 \times 25 \approx +147\,\mathrm{kJ}$ dan $W(\vect P) = -147\,\mathrm{kJ}$ . Jumlahnya nol: pada kecepatan tetap gayanya setimbang (Bab 16), sehingga usahanya saling menghapus.

Latihan 17.5 ★

Motor sebuah eskalator melakukan usaha $90\,\mathrm{kJ}$ tiap menit. Berapa dayanya dalam watt? Dan dalam daya kuda?

Solusi

Solusi Latihan 17.5.

$P = 9.0 \times 10^{4}/60 = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; $1500/736 \approx 2.0\,\mathrm{hp}$ .

Latihan 17.6 ★★

Sebuah kereta luncur ditarik $200\,\mathrm{m}$ oleh tali bertegangan $120\,\mathrm{N}$ pada $30{}^{\circ}$ di atas saljunya; gesekannya $45\,\mathrm{N}$ . Berapa usaha oleh masing-masing dari keempat gayanya (tali, gesekan, berat, normal) dan berapa jumlahnya?

Solusi

Solusi Latihan 17.6.

Talinya: $120 \times 200 \times \cos30{}^{\circ} \approx +20.8\,\mathrm{kJ}$ ; gesekannya: $-45 \times 200 = -9.0\,\mathrm{kJ}$ ; berat dan gaya normalnya, yang tegak lurus: $0$ . Seluruhnya $+11.8\,\mathrm{kJ}$ : kereta luncur itu bertambah cepat.

Latihan 17.7 ★★

Seorang pengendara sepeda melaju dengan tetap $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ melawan hambatan seluruhnya $18\,\mathrm{N}$ . Berapa daya yang diserahkannya? Berapa usaha yang dilakukannya dalam satu jam?

Solusi

Solusi Latihan 17.7.

$v = 25/3.6 = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $P = Fv = 18 \times 6.94 \approx 125\,\mathrm{W}$ . Dalam satu jam, $W = P\,\Delta t = 125 \times 3600 = 450\,\mathrm{kJ}$ (setara dengan $18 \times 25\,000\,\mathrm{m}$ ).

Latihan 17.8 ★★

Seorang pemain ski $65\,\mathrm{kg}$ menuruni ketinggian $120\,\mathrm{m}$ , melalui lereng curam $800\,\mathrm{m}$ atau jalur landai $1500\,\mathrm{m}$ ; gesekan pada papan skinya $30\,\mathrm{N}$ pada keduanya. Berapa usaha oleh beratnya dan usaha oleh gesekannya pada tiap rute? Usaha yang mana yang peduli pada rutenya?

Solusi

Solusi Latihan 17.8.

Beratnya, pada kedua rute: $+65 \times 9.81 \times 120 \approx +76.5\,\mathrm{kJ}$ (hanya selisih ketinggiannya). Gesekannya: $-30 \times 800 = -24\,\mathrm{kJ}$ pada lerengnya, $-30 \times 1500 = -45\,\mathrm{kJ}$ pada jalurnya. Hanya gesekannya yang peduli pada rutenya.

Latihan 17.9 ★★

Sebuah kotak $20\,\mathrm{kg}$ didorong $4.0\,\mathrm{m}$ menaiki bidang miring $25{}^{\circ}$ dengan laju tetap, melawan gesekan $30\,\mathrm{N}$ . Hitunglah usaha oleh beratnya dan usaha oleh gesekannya, lalu (dari laju yang tetap itu) usaha dan besar dorongannya, sejajar bidang miringnya.

Solusi

Solusi Latihan 17.9.

Kenaikannya $h = 4.0\sin25{}^{\circ} = 1.69\,\mathrm{m}$ : $W(\vect P) = -20 \times 9.81 \times 1.69 \approx -332\,\mathrm{J}$ ; $W_f = -30 \times 4.0 = -120\,\mathrm{J}$ . Karena lajunya tetap, usaha seluruhnya nol, sehingga $W_{\text{dorong}} = +452\,\mathrm{J}$ dan $F = 452/4.0 \approx 113\,\mathrm{N}$ .

Latihan 17.10 ★★

Sebuah mobil melaju tetap $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dengan mesinnya menyerahkan $50\,\mathrm{kW}$ ke rodanya. Gaya penghambat seluruhnya berapa yang dilawannya?

Solusi

Solusi Latihan 17.10.

$v = 130/3.6 = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; karena lajunya tetap, $F = P/v = 5.0 \times 10^{4}/36.1 \approx 1.4\,\mathrm{kN}$ .

Latihan 17.11 ★★

Seekor kuda kanal menarik tongkang dengan $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dengan tali bertegangan $800\,\mathrm{N}$ yang membentuk $20{}^{\circ}$ terhadap jalan seretnya. Hitunglah daya kudanya, dalam watt dan dalam daya kuda. Berikan ulasanmu.

Solusi

Solusi Latihan 17.11.

$P = Fv\cos\theta = 800 \times 1.0 \times \cos20{}^{\circ} \approx 752\,\mathrm{W}$ ; dalam daya kuda, $752/736 \approx 1.02$ — hampir persis yang sanggup ditahan seekor kuda yang kuat, yaitu perbandingan yang dipakai Watt ketika membangun satuannya.

Latihan 17.12 ★★★

Sebuah mobil $1200\,\mathrm{kg}$ mendaki $h = 300\,\mathrm{m}$ menuju sebuah celah gunung, melalui jalur lurus bertanjakan $20\%$ atau jalan berkelok bertanjakan $6\%$ (tanjakan $= \sin\alpha$ ). Dengan mengabaikan gesekan, pada laju tetap, hitunglah panjangnya, gaya yang diperlukan sepanjang lerengnya, dan usahanya untuk tiap rute. Simpulkan dalam satu kalimat.

Solusi

Solusi Latihan 17.12.

Panjangnya $L = h/\text{tanjakan}$ : $1500\,\mathrm{m}$ dan $5000\,\mathrm{m}$ . Gayanya $F = mg \times \text{tanjakan}$ : $1200 \times 9.81 \times 0.20 \approx 2.35\,\mathrm{kN}$ dan $0.71\,\mathrm{kN}$ . Usahanya $FL$ : $2354 \times 1500 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ dan $706 \times 5000 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ — keduanya sama dengan $mgh$ : jalannya menukar gaya dengan panjang, tidak pernah dengan usaha.

Latihan 17.13 ★★★

Sebuah derek gulung menaikkan $250\,\mathrm{kg}$ genting setinggi $15\,\mathrm{m}$ pada perancah dengan laju tetap $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Hitunglah usaha oleh gaya kabelnya, lamanya, daya mekanisnya (dua kali: $W/\Delta t$ dan $Fv$ ), dan daya listrik yang ditariknya pada efisiensi motor $70\%$ .

Solusi

Solusi Latihan 17.13.

$F = mg = 2.45 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ ; $W = 2453 \times 15 \approx 36.8\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta t = 15/0.40 = 37.5\,\mathrm{s}$ ; $P = 36800/37.5 \approx 981\,\mathrm{W} = 2453 \times 0.40$ ( $Fv$ sesuai); daya listriknya: $981/0.70 \approx 1.4\,\mathrm{kW}$ .

Latihan 17.14 ★★★

Sebuah lemari pakaian digeser melawan gesekan $f = 140\,\mathrm{N}$ dari satu sudut ruangan ke sudut yang berseberangan: lurus sepanjang diagonal $6.0\,\mathrm{m}$ , atau $3.6\,\mathrm{m}$ lalu $4.8\,\mathrm{m}$ menyusuri dindingnya. Berapa usaha oleh gesekannya pada tiap rute, lalu pada perjalanan pulang pergi lewat diagonalnya? Apa yang dilakukan beratnya pada perjalanan pulang pergi itu, dan perbedaan mendalam apa antara kedua gaya itu yang tersingkap di sini?

Solusi

Solusi Latihan 17.14.

Diagonalnya: $-140 \times 6.0 = -840\,\mathrm{J}$ ; dindingnya: $-140 \times 8.4 \approx -1.18\,\mathrm{kJ}$ ; pulang perginya: $-140 \times 12 = -1.68\,\mathrm{kJ}$ . Beratnya melakukan nol pada perjalanan pulang pergi itu (tidak ada selisih ketinggian). Usaha oleh gesekan bergantung pada lintasannya dan tidak pernah mengembalikan; usaha oleh berat hanya bergantung pada kedua ujungnya (Catatan 17.10).

Latihan 17.15 ★★★

Seorang pengendara sepeda ( $80\,\mathrm{kg}$ beserta sepedanya) mendaki sebuah celah gunung: $600\,\mathrm{m}$ ketinggian sepanjang $12\,\mathrm{km}$ jalan, dengan tetap $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , melawan $14\,\mathrm{N}$ hambatan udara dan hambatan gelinding. Hitunglah usaha yang dipasoknya melawan gravitasi, melawan gesekan, dan seluruhnya; lamanya pendakian; serta daya rata-ratanya, dalam watt dan dalam daya kuda.

Solusi

Solusi Latihan 17.15.

Melawan gravitasi: $80 \times 9.81 \times 600 \approx 471\,\mathrm{kJ}$ ; melawan gesekan: $14 \times 12000 = 168\,\mathrm{kJ}$ ; seluruhnya $639\,\mathrm{kJ}$ . $v = 4.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sehingga $\Delta t = 12000/4.17 = 2880\,\mathrm{s} = 48\,\mathrm{min}$ dan $P = 6.39 \times 10^{5}/2880 \approx 222\,\mathrm{W} \approx 0.30\,\mathrm{hp}$ — seorang amatir yang kuat, sepertiga ekor kuda.

17.6 Soal: Sehari bersama pengangkut barang

Soal 17.1

Soal akhir pekan — fisika membayar tiap joule: sehari menggeser, mengerek dan menempuh tikungan tajam, yang berakhir dengan penemuan yang merendahkan hati tentang pendapat sebuah ketel terhadap kerja keras yang jujur

Sebuah regu pengangkut barang mengosongkan sebuah gudang, menaikkan muatannya ke sebuah rumah susun di lantai tiga, lalu mengemudikan vannya ke sebuah desa di puncak bukit. Setiap pekerjaannya dihargai dalam joule; ketel dapurlah yang akan mengaudit hari itu. Kotaknya: $30\,\mathrm{kg}$ .

Bagian I — Melintasi lantai gudang. Sebuah kotak didorong dengan gaya mendatar $F = 110\,\mathrm{N}$ sepanjang $d = 8.0\,\mathrm{m}$ ; gesekan peluncurannya $f = 95\,\mathrm{N}$ .

Hitunglah usaha oleh dorongannya.
Hitunglah usaha oleh gesekannya, oleh beratnya, dan oleh gaya normalnya (berikan alasan bagi yang bernilai nol).
Berapa usaha seluruhnya pada kotak itu, dan apa arti tandanya (kotak itu bermula dalam keadaan diam)? Dorongan berapa yang menjaga lajunya tetap (Bab 16)?
Sudut yang jauh dapat dicapai sepanjang diagonal $10.0\,\mathrm{m}$ atau menyusuri dua dinding ( $6.0\,\mathrm{m}$ lalu $8.0\,\mathrm{m}$ ). Berapa usaha oleh gesekannya pada tiap rute?
Pada perjalanan pulang pergi lewat diagonalnya (pergi dan kembali), hitunglah usaha oleh gesekannya dan usaha oleh beratnya. Gaya yang mana yang mengembalikan?

Bagian II — Naik ke lantai tiga ( $h = 9.0\,\mathrm{m}$ ).

Hitunglah usaha oleh berat sebuah kotak yang dinaikkan ke rumah susun itu. Usaha berapa yang sekurang-kurangnya harus dipasok regunya?
Ketika dipanggul menaiki tangga oleh pengangkut $70\,\mathrm{kg}$ , gravitasi menagih pengangkut dan kotaknya: berapa usaha seluruhnya melawan gravitasi, dan berapa bagiannya yang sungguh dibelanjakan untuk kotaknya?
Sebuah bidang miring untuk troli panjangnya $30\,\mathrm{m}$ untuk kenaikan $9.0\,\mathrm{m}$ yang sama, dengan gesekan gelinding $40\,\mathrm{N}$ . Pada laju tetap, hitunglah dorongan yang diperlukan sepanjang bidang miringnya dan usahanya.
Bandingkan bidang miringnya dengan pengerekan tegak lurus: gaya yang diperlukan, usaha yang dilakukan. Apa yang dibelikan bidang miring itu, dan dengan harga berapa?
Sebuah pengerek bertali dan berkatrol menaikkan kotaknya dengan $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Berapa lamanya dan berapa daya mekanisnya?
Perolehlah kembali daya itu sebagai $P = Fv$ . Motor pengereknya berefisiensi $60\%$ : berapa daya listrik yang ditariknya?

Bagian III — Jalan yang berkelok. Van yang bermuatan ( $3500\,\mathrm{kg}$ ) harus mencapai sebuah desa $240\,\mathrm{m}$ di atas lembahnya: jalur lurus, $1.0\,\mathrm{km}$ bertanjakan $24\%$ , atau jalan beraspal, $8.0\,\mathrm{km}$ bertanjakan $3.0\%$ (tanjakan $= \sin\alpha$ ).

Periksalah bahwa kedua rutenya mendaki $240\,\mathrm{m}$ yang sama.
Pada laju tetap dan dengan mengabaikan gesekan, hitunglah gaya penggerak yang diperlukan sepanjang tiap rutenya.
Berapa usaha oleh gaya penggeraknya pada tiap rute? Bandingkan dengan $mgh$ .
Hambatan gelindingnya $400\,\mathrm{N}$ pada keduanya: hitunglah usaha tambahannya pada tiap rute. Berapa harga kenyamanan jalan yang berkelok itu?
Pada $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , hitunglah daya mesin yang diperlukan pada tiap rute (dalam $\mathrm{kW}$ dan $\mathrm{hp}$ ). Mengapa jalan berkelok?

Bagian IV — Buku besar hari itu.

Regunya menggeser $60$ kotak melintasi lantai (dengan dorongan pada pertanyaan 1) lalu mengerek seluruh $60$ kotak itu setinggi $9.0\,\mathrm{m}$ (pertanyaan 6). Berapa usaha mekanis seluruhnya yang diserahkan kepada kotaknya?
Tambahkan tubuh si pemanggul tangga sendiri: $20$ perjalanan naik dengan $70\,\mathrm{kg}$ (pengembalian saat menuruni jatuh ke lutut yang panas, bukan ke buku besarnya). Berapa jumlah seluruhnya untuk hari itu?
Regunya bekerja $8.0$ jam: berapa daya mekanis rata-ratanya? Berapa lama ketel $2.0\,\mathrm{kW}$ membelanjakan energi yang sama?
Penutup: dalam dua kalimat, nyatakan apa yang dibayar joule — dan apa yang tidak dibayarnya (dinding yang didorong sepanjang sore, kotak yang ditahan tak bergerak) — serta mengapa pengangkut barang memiliki derek gulung, bidang miring dan jalan berkelok, dan bukan otot yang lebih besar.

Solusi

Solusi Soal 17.1.

1. $W = 110 \times 8.0 = +880\,\mathrm{J}$ .

2. Gesekannya: $-95 \times 8.0 = -760\,\mathrm{J}$ . Berat dan gaya normalnya tegak lurus geraknya: masing-masing nol.

3. Seluruhnya $+120\,\mathrm{J}$ : usaha pendorong bersihnya, sehingga kotak itu bertambah cepat. Dorongan $95\,\mathrm{N}$ mengimbangi gesekannya — gaya totalnya nol, lajunya tetap, dan usaha seluruhnya nol.

4. Diagonalnya: $-95 \times 10.0 = -950\,\mathrm{J}$ ; dindingnya: $-95 \times 14.0 = -1.33\,\mathrm{kJ}$ : gesekan menagih tiap meter.

5. Gesekannya: $-95 \times 20.0 = -1.9\,\mathrm{kJ}$ ; beratnya: $0$ (tidak ada selisih ketinggian). Hanya beratnya yang mengembalikan.

6. $W(\vect P) = -30 \times 9.81 \times 9.0 = -2.65\,\mathrm{kJ}$ ; regunya sekurang-kurangnya harus memasok $+2.65\,\mathrm{kJ}$ .

7. $(70 + 30) \times 9.81 \times 9.0 = 8.83\,\mathrm{kJ}$ ; bagian milik kotaknya $2.65/8.83 \approx 30\%$ — memanggul sebagian besar berarti mengangkut diri sendiri.

8. $\sin\alpha = 9.0/30 = 0.30$ : $F = mg\sin\alpha + f = 88.3 + 40 = 128\,\mathrm{N}$ ; $W = 128 \times 30 = 3.85\,\mathrm{kJ}$ ( $= 2.65 + 1.2$ ).

9. Pengerekan tegak lurus: $F = mg = 294\,\mathrm{N}$ , $W = 2.65\,\mathrm{kJ}$ . Bidang miringnya membelikan gaya yang lebih kecil ( $128$ berbanding $294\,\mathrm{N}$ ) dengan harga usaha yang lebih besar: retribusi gesekan sebesar $1.2\,\mathrm{kJ}$ .

10. $\Delta t = 9.0/0.50 = 18\,\mathrm{s}$ ; $P = 2649/18 \approx 147\,\mathrm{W}$ .

11. $P = Fv = 294 \times 0.50 = 147\,\mathrm{W}$ — sama. Daya listriknya: $147/0.60 \approx 245\,\mathrm{W}$ .

12. $1000 \times 0.24 = 240\,\mathrm{m}$ dan $8000 \times 0.030 = 240\,\mathrm{m}$ : puncak yang sama.

13. $F = mg \times \text{tanjakan}$ : pada jalurnya $3500 \times 9.81 \times 0.24 \approx 8.2\,\mathrm{kN}$ ; pada jalannya $\approx 1.0\,\mathrm{kN}$ .

14. $8240 \times 1000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ dan $1030 \times 8000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ — keduanya $= mgh = 3500 \times 9.81 \times 240$ .

15. Hambatan gelindingnya: $400 \times 1000 = 0.40\,\mathrm{MJ}$ berbanding $400 \times 8000 = 3.2\,\mathrm{MJ}$ : kenyamanan jalan yang landai itu berharga $2.8\,\mathrm{MJ}$ gesekan tambahan.

16. $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Jalannya: $(1030 + 400) \times 10 = 14.3\,\mathrm{kW} \approx 19\,\mathrm{hp}$ ; jalurnya: $(8240 + 400) \times 10 = 86.4\,\mathrm{kW} \approx 117\,\mathrm{hp}$ — di luar jangkauan sebuah van bermuatan. Jalan berkelok agar mesin (dan ban) yang sederhana sanggup mendaki: usaha yang sama, disebar tipis.

17. Tiap kotaknya: $880 + 2649 = 3.53\,\mathrm{kJ}$ ; untuk $60$ kotak, $60 \times 3529 \approx 212\,\mathrm{kJ}$ .

18. Tangganya: $20 \times 70 \times 9.81 \times 9.0 \approx 124\,\mathrm{kJ}$ . Jumlah seluruhnya untuk hari itu $\approx 336\,\mathrm{kJ} = 0.34\,\mathrm{MJ}$ .

19. $P = 3.36 \times 10^{5}/28800 \approx 12\,\mathrm{W}$ . Ketelnya: $3.36 \times 10^{5}/2000 = 168\,\mathrm{s}$ — kurang dari tiga menit untuk kerja keras sehari penuh.

20. Joule membayar gaya yang diserahkan sepanjang sebuah gerak — dan tidak membayar apa pun untuk dinding yang didorong atau kotak yang ditahan, seletih apa pun rasanya (otot membakar energi kimia bahkan ketika usaha mekanisnya nol). Karena keluaran daya manusia hanya beberapa puluh watt, para pengangkut barang membiarkan mesin membentuk ulang gayanya — derek gulung, bidang miring, jalan berkelok — sementara tagihan $mgh$ tidak pernah berubah.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium