Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

28Osilator Mekanik dan Pengukuran Waktu

Sebuah jam bandul berdetak: tiap detaknya adalah bandul kuningan yang melintasi garis tegak, terulang lima belas juta kali sejak Tahun Baru. Sekeping kuarsa di dalam arlojimu melentur $32\,768$ kali tiap sekon; sebutir atom sesium berdengung sembilan miliar kali lebih cepat. Segala sesuatu yang berayun dapat menyimpan waktu: bab ini mengikuti ayunannya, dari Huygens sampai ke satelitnya.

28.1 Osilasi bebas

Definisi 28.1 (Osilator, periode, frekuensi, amplitudo)

Osilator mekanik adalah sistem yang, ketika disimpangkan dari kedudukan setimbang yang mantap lalu dilepaskan, berayun maju mundur di sekitarnya: inilah osilasi bebas. Geraknya berulang setelah periode $T_0$ ( $\mathrm{s}$ ); frekuensinya $f_0 = 1/T_0$ ( $\mathrm{Hz}$ , Bab 20); amplitudo adalah simpangan terbesarnya.

Contoh 28.2 (Sekebun osilator)

Ayunan taman bermain: $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$ . Senar A sebuah gitar: $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Sebuah hablur kuarsa: $32\,768\,\mathrm{Hz}$ . Osilasi sesium yang menakrifkan sekon: sekitar $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ . Sepuluh orde besaran, satu tugas: menghitung.

28.2 Bandul sederhana

Definisi 28.3 (Bandul sederhana)

Bandul sederhana: sebutir beban kecil bermassa $m$ pada kawat tak mulur sepanjang $L$ yang massanya terabaikan, berayun di dalam bidang tegak. Dari kedua gaya pada bebannya (Bab 25), tegangannya tegak lurus terhadap geraknya, sedangkan komponen beratnya sepanjang lintasannya menunjuk kembali ke arah titik terendahnya: beratnya adalah gaya pemulih, yang melawan simpangannya.

Gaya pada bebannya: tegangan T tegak lurus terhadap geraknya; bagian tangensial P_t beratnya selalu menunjuk kembali ke garis tegaknya — gaya pemulihnya. — Gaya pada bebannya: tegangan $\vect T$ tegak lurus terhadap geraknya; bagian tangensial $\vect{P_t}$ beratnya selalu menunjuk kembali ke garis tegaknya — gaya pemulihnya.

Proposisi 28.4 (Periode bandul sederhana)

Untuk amplitudo yang kecil (di bawah sekitar $15^\circ$ ), periodenya adalah

T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Periodenya tidak bergantung pada massa bebannya maupun — selama sudutnya tetap kecil — pada amplitudonya: ayunan yang kecil bersifat isokron, semuanya menghabiskan waktu yang sama.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 28.5 (Analisis dimensi, dan tempat $2\pi$ bersemayam)

Rumusnya dapat diterka. Dari $m$ ( $\mathrm{kg}$ ), $L$ ( $\mathrm{m}$ ) dan $g$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ), satu-satunya gabungan yang bersatuan waktu adalah $\sqrt{L/g}$ — dan massanya tidak mungkin masuk, sebab tidak ada data lain yang membawa kilogram untuk meniadakannya. Dimensi tidak dapat memberikan bilangan murni di depannya: $2\pi$ itu datang dari penyelesaian persamaan geraknya, yang dikerjakan pada jilid Tahun ke-1. Syarat sudut kecilnya pun bukan pilihan: pada $30^\circ$ periode sejatinya $2\%$ lebih lama, dan keisokronannya gugur.

Contoh 28.6 (Bandul sesekon)

Panjang berapa yang berdetak sesekon, $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ , satu detak tiap arahnya? Dengan menyelesaikannya, $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times 2.00^2/4\pi^2 \approx 0.994\,\mathrm{m}$ . Hampir semeter: jam bandul menjulang karena sekon itu panjang.

28.3 Osilator pegas–massa

Definisi 28.7 (Gaya pemulih sebuah pegas)

Sebuah kereta luncur bermassa $m$ meluncur pada rel mendatar tanpa gesekan, terikat pada pegas berkekakuan $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ). Misalkan $x$ simpangannya dari kesetimbangannya. Ketika teregang atau termampat, pegasnya menarik atau mendorong keretanya kembali dengan gaya $F = -kx$ : sebanding dengan simpangannya dan berlawanan dengannya — sebuah gaya pemulih lagi, kini yang dipasok kekenyalannya.

Proposisi 28.8 (Persamaan gerak dan penyelesaiannya)

Hukum kedua Newton sepanjang relnya (Bab 25) memberikan $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ , yaitu $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}\,x$ . Berapa pun tetapan $A$ dan $\varphi$ ,

x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},

memenuhi persamaan ini: osilasi berperiode $T_0$ , yang bebas dari amplitudonya.

Bukti. Dengan menurunkannya, $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi)$ ; sekali lagi, $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) = -(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$ , yang sama dengan $-(k/m)\,x$ tepat ketika $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ . ∎

Catatan 28.9 (Segala gerak yang ada)

Bahwa setiap gerak keretanya merupakan salah satu fungsi ini diterima saja, dan dibuktikan pada jilid Tahun ke-1. Dan tidak ada $g$ pada $2\pi\sqrt{m/k}$ : yang lebih kaku berayun lebih cepat, yang lebih berat lebih lambat, sama saja di Bulan.

Definisi 28.10 (Amplitudo dan fase)

Pada $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ tetapan positif $A$ adalah amplitudonya — ujung-ujungnya $x = \pm A$ — dan $2\pi t/T_0 + \varphi$ adalah fasenya, yang tumbuh sebesar $2\pi$ tiap periode; fase awal $\varphi$ mencatat awalnya: dilepaskan dari keadaan diam pada $x = A$ , $\varphi = 0$ . Sebagai contoh $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ pada $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ memberikan $T_0 = 2\pi\sqrt{0.20/20} = 0.63\,\mathrm{s}$ ; ditarik sampai $5.0\,\mathrm{cm}$ lalu dilepaskan, $x(t) = 5.0\cos(2\pi t/0.63)$ dalam sentimeter.

28.4 Energi, peredaman, resonansi

Proposisi 28.11 (Energi osilatornya)

Pegas yang teregang sebesar $x$ menyimpan energi potensial elastis $E_p = \tfrac12 kx^2$ (yang dibenarkan pada Bab 29). Selama osilasi tanpa gesekan energi mekaniknya

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2

bernilai tetap: seluruhnya elastis di ujung-ujungnya, seluruhnya kinetik di kesetimbangannya. Bandulnya memainkan duet yang sama antara $E_k$ dan $E_p$ gravitasi (Bab 18).

Bukti. Dengan $v = \frac{dx}{dt}$ , turunan $E_m$ adalah $mv\frac{dv}{dt} + kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ menurut persamaan geraknya; nilai $\tfrac12 kA^2$ dibaca di salah satu ujungnya. ∎

Satu periode, dilepaskan dari x = A: energinya berpindah dua kali dari elastis ke kinetik lalu kembali, dengan jumlahnya terpaku pada 1/2 kA2. — Satu periode, dilepaskan dari $x = A$ : energinya berpindah dua kali dari elastis ke kinetik lalu kembali, dengan jumlahnya terpaku pada $\tfrac12 kA^2$ .

Definisi 28.12 (Osilasi teredam)

Gesekan menguras energi mekanik dari setiap osilator yang sesungguhnya: osilasi bebasnya menjadi teredam. Di bawah peredaman yang ringan sistemnya masih berosilasi, dengan amplitudo yang meredup tetapi waktu pengulangan yang hampir tidak berubah, yaitu pseudoperiode, yang dekat dengan $T_0$ ; di bawah peredaman yang berat (madu) sistemnya merayap kembali ke kesetimbangannya tanpa pernah melampauinya; energinya, yang sebanding dengan kuadrat amplitudonya, meluruh menjadi kalor.

Osilasi tak teredam dan osilasi teredam ringan: periodenya hampir sama (2.0\, s di sini), dengan amplitudo teredamnya meredup di dalam selubung eksponensial yang menyusut (bergaris putus-putus). — Osilasi tak teredam dan osilasi teredam ringan: periodenya hampir sama ( $2.0\,\mathrm{s}$ di sini), dengan amplitudo teredamnya meredup di dalam selubung eksponensial yang menyusut (bergaris putus-putus).

Definisi 28.13 (Osilasi paksa dan resonansi)

Doronglah sebuah osilator secara berkala — osilasi paksa — dan setelah peralihan yang singkat ia berosilasi pada frekuensi pemaksanya $f$ , bukan pada frekuensinya sendiri. Amplitudonya memuncak ketika $f$ mendekati frekuensi alami $f_0$ osilator bebasnya: inilah resonansi, ketika tiap dorongan tiba selaras dengan geraknya, memasok energi tiap daur; kian ringan peredamannya, kian tinggi dan kian tajam puncaknya.

Lengkung resonansi: amplitudo paksanya terhadap frekuensi pemaksanya. Di dekat f = f_0 tanggapannya menjulang, kian tinggi kian ringan peredamannya. — Lengkung resonansi: amplitudo paksanya terhadap frekuensi pemaksanya. Di dekat $f = f_0$ tanggapannya menjulang, kian tinggi kian ringan peredamannya.

Contoh 28.14 (Resonansi yang membangun dan yang merusak)

Orang tua yang mendorong ayunan mendorong pada frekuensi ayunan itu sendiri — resonansi yang dipekerjakan. Pada $2000$ Jembatan Milenium yang baru di London berayun mencemaskan ketika langkah orang banyak terkunci pada frekuensi alami di dekat $1\,\mathrm{Hz}$ ; jembatan itu ditutup dua tahun untuk dipasangi peredam. Setiap arloji kuarsa menjaga hablurnya tetap bernyanyi dengan memaksanya pada resonansi, $32\,768\,\mathrm{Hz}$ .

28.5 Mengukur waktu

Metode 28.15 (Mengukur waktu sebuah periode)

Jangan pernah mengukur satu osilasi saja: jalankanlah pengukur waktunya saat bebannya melintasi garis tegak (paling cepat, paling mudah ditimbang), hitunglah $N = 50$ osilasi, lalu bagilah dengan $N$ — galat tanggapan $0.2\,\mathrm{s}$ menjadi $4\,\mathrm{ms}$ pada $T_0$ . Ulangilah, lalu bandingkan kedua jalannya.

Contoh 28.16 (Tiga abad detak)

Huygens membangun jam bandul yang pertama pada $1657$ : keisokronannya membawa jam dari selisih seperempat jam tiap hari menjadi beberapa sekon, dan bandul yang terimbangi sampai ke pecahan sekon tiap hari. Arloji tangan kuarsa ( $1969$ ) menukar batangnya dengan hablur yang melentur pada $32\,768\,\mathrm{Hz}$ : persepuluh sekon tiap bulan. Sejak $1967$ sekon itu sendiri ditakrifkan oleh osilasi atom: lamanya $9\,192\,631\,770$ periode radiasi gelombang mikro dari sebuah transisi dalam sesium-133 (Bab 34). Jam sesium yang terbaik menyimpang satu sekon dalam seratus juta tahun.

Catatan 28.17 (Mengapa mengejar nanosekon)

Penerima GPS menemukan kedudukannya dengan mengukur waktu sinyal radio dari satelitnya; cahaya menempuh $30\,\mathrm{cm}$ tiap nanosekon, sehingga galat jam sebesar satu mikrosekon menyalahtempatkanmu sejauh $300\,\mathrm{m}$ . Karena itu satelitnya membawa jam atom — dan pada ketelitian itu laju sebuah jam bergantung pada secepat apa ia bergerak dan setinggi apa ia berada, pengaruh yang kita temui pada Bab 35.

28.6 Latihan

Latihan 28.1 ★

(a) Hitunglah periode dan frekuensi bandul sederhana sepanjang $1.00\,\mathrm{m}$ . (b) Panjangnya dilipatempatkan: apa yang terjadi pada periodenya?

Solusi

Solusi Latihan 28.1.

(a) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ . (b) $T_0 \propto \sqrt{L}$ : periodenya menjadi dua kali lipat.

Latihan 28.2 ★

Jantung yang sedang beristirahat berdenyut $72$ kali tiap menit; sayap seekor capung pada $30\,\mathrm{Hz}$ . Sebutkan frekuensi dan periode jantungnya, serta periode sayapnya; kata mana pada bab ini yang menamai kenaikan dada terbesar tiap denyutnya?

Solusi

Solusi Latihan 28.2.

Jantungnya: $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.83\,\mathrm{s}$ . Sayapnya: $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$ . Kenaikan dadanya adalah amplitudo.

Latihan 28.3 ★

Sebuah kereta luncur $0.10\,\mathrm{kg}$ menumpang pegas $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : hitunglah $T_0$ dan $f_0$ . Apa yang dilakukan penggandaan massanya terhadap periodenya?

Solusi

Solusi Latihan 28.3.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$ , $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$ . Dengan menggandakan $m$ : $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$ .

Latihan 28.4 ★

Puncak berturut-turut sebuah osilator teredam: $2.0$ , $1.5$ , $1.13$ , $0.85\,\mathrm{cm}$ pada $t = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0\,\mathrm{s}$ . Bacalah pseudoperiodenya; tunjukkan bahwa amplitudonya turun dengan faktor yang tetap tiap periode; ramalkanlah puncak berikutnya.

Solusi

Solusi Latihan 28.4.

Pseudoperiodenya $2.0\,\mathrm{s}$ . Nisbahnya $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13 = 0.75$ tiap periode; puncak berikutnya $0.85 \times 0.75 \approx 0.64\,\mathrm{cm}$ .

Latihan 28.5 ★

Seorang antariksawan membawa sebuah bandul dan sebuah osilator pegas–massa ke Bulan ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Dengan faktor berapa masing-masing periodenya berubah? Jelaskanlah.

Solusi

Solusi Latihan 28.5.

Bandulnya: $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ , sehingga $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ (lebih lambat). Pegas–massanya: tidak berubah — tidak ada $g$ pada $2\pi\sqrt{m/k}$ .

Latihan 28.6 ★★

(a) Periksalah bahwa $\sqrt{L/g}$ berdimensi waktu. (b) Mengapa tidak ada rumus $T_0$ yang tersusun dari $m$ , $L$ , $g$ yang boleh memuat massanya? (c) Mungkinkah alasan ini menghasilkan $2\pi$ itu?

Solusi

Solusi Latihan 28.6.

(a) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$ ; akar kuadratnya adalah waktu. (b) Kilogramnya hanya muncul pada $m$ : tidak ada lain yang dapat meniadakannya, sehingga $m$ tidak mungkin masuk. (c) Tidak pernah: bilangan murni seperti $2\pi$ tak terlihat oleh dimensi.

Latihan 28.7 ★★

Periksalah dengan menurunkannya dua kali bahwa $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ memenuhi $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ jika dan hanya jika $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Solusi

Solusi Latihan 28.7.

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$ , sehingga $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$ . Kesamaannya dengan $-(k/m)x$ untuk semua $t$ berlaku tepat ketika $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ , yaitu $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Latihan 28.8 ★★

Sebuah pegas berkekakuan $40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ membawa kereta luncur $0.20\,\mathrm{kg}$ beramplitudo $3.0\,\mathrm{cm}$ . Hitunglah energi mekaniknya dan laju terbesarnya. Di mana lajunya terbesar? Di mana nol?

Solusi

Solusi Latihan 28.8.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 = 1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} = 0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — pada $x = 0$ ; nol di ujung-ujungnya $x = \pm A$ .

Latihan 28.9 ★★

(a) Hitunglah panjang bandul sesekon ( $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ ). (b) Panjangnya bertambah $1.0\%$ : dengan $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ , carilah perubahan nisbi $T_0$ dan galat hariannya.

Solusi

Solusi Latihan 28.9.

(a) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$ . (b) $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$ : $86400 \times 0.005 \approx 4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — tujuh menit lambat tiap hari.

Latihan 28.10 ★★

Sebuah osilator teredam ringan kehilangan $5.0\%$ energinya tiap periode. (a) Berapa penurunan amplitudonya tiap periode? (b) Berapa periode untuk kehilangan setengah energinya? (c) Apakah pseudoperiodenya jauh dari $T_0$ ?

Solusi

Solusi Latihan 28.10.

(a) $A \propto \sqrt{E}$ : $\sqrt{0.95} \approx 0.975$ , turun $2.5\%$ . (b) $0.95^n = 0.5$ : $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ periode. (c) Tidak: untuk peredaman ringan nilainya tetap dalam pecahan persen dari $T_0$ .

Latihan 28.11 ★★

Jelaskan dengan lengkung resonansinya: (a) mengapa mendorong ayunan hanya berhasil pada iramanya sendiri; (b) mengapa serdadu memutus langkah seragamnya di atas jembatan penyeberangan; (c) mengapa mesin cuci bergetar hebat pada satu laju tertentu saat memulai putaran cepatnya.

Solusi

Solusi Latihan 28.11.

(a) Pada $f_0$ tiap dorongannya tiba selaras lalu menambahkan energi; di luar puncaknya, dorongannya berganti-ganti membantu dan menghambat. (b) Berbaris seragam merupakan pemaksaan berkala; di dekat $f_0$ jembatannya hal itu akan menaiki puncak resonansinya. (c) Tabungnya menyapu melewati frekuensi alami rangkanya saat memulai putaran cepatnya: resonansi sesaat, lalu lewat puncaknya.

Latihan 28.12 ★★★

Sebuah jam bandul, yang tepat di permukaan laut, dipindahkan ke observatorium tempat $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (a) Menjadi cepat atau lambat? Berapa sekon tiap hari? (b) Berapa banyak bandulnya yang $0.994\,\mathrm{m}$ itu harus dipendekkan?

Solusi

Solusi Latihan 28.12.

(a) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ : lambat, sebesar $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$ , yaitu $\approx 132\,\mathrm{s}$ tiap hari. (b) $L \propto g$ pada $T_0$ yang tetap: pendekkanlah sebesar $0.994 \times 0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ .

Latihan 28.13 ★★★

Sebuah kereta luncur $0.20\,\mathrm{kg}$ menaati $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$ , dengan $A = 4.0\,\mathrm{cm}$ , $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$ . Hitunglah laju terbesarnya, percepatan terbesarnya, kekakuan $k$ dan energi mekaniknya.

Solusi

Solusi Latihan 28.13.

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $k = m(2\pi/T_0)^2 = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ .

Latihan 28.14 ★★★

Untuk mengukur $g$ : sebuah bandul dengan $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ menempuh $20$ osilasi dalam $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$ . Hitunglah $g$ dan ketakpastian nisbinya (jumlahkan ketakpastian $L$ dan $T_0^2$ ); apakah hasilnya sesuai dengan $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 28.14.

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$ ; $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2 \times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Ketakpastiannya $\approx 0.2\% + 2 \times 0.5\% = 1.2\%$ , yaitu $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : selangnya memuat $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — sesuai.

Latihan 28.15 ★★★

Bandingkanlah penyimpan waktu menurut simpangan nisbinya (galat terhadap waktu yang berlalu): jam bandul yang kehilangan $10\,\mathrm{s}$ tiap hari, arloji kuarsa $0.5\,\mathrm{s}$ tiap bulan, jam sesium $1\,\mathrm{s}$ tiap seratus juta tahun: hitunglah ketiga nisbahnya. Sebuah jam GPS yang keliru sebesar $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : berapa galat kedudukannya? Keluarga mana yang dibutuhkan GPS?

Solusi

Solusi Latihan 28.15.

Bandulnya $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$ ; kuarsanya $0.5/2.6 \times 10^{6} \approx 1.9 \times 10^{-7}$ ; sesiumnya $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ . Galat $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ berarti $1000 \times 30\,\mathrm{cm} = 300\,\mathrm{m}$ kedudukan: GPS membutuhkan keluarga atomnya.

28.7 Soal: Meja kerja tukang jam

Soal 28.1

Soal akhir pekan — meja kerja tukang jam: sebuah jam dinding yang dikembalikan ke waktunya — lima puluh ayunan yang diukur, sebatang kuningan yang memuai saat kemarau, dorongan berbisik dari kaitannya, seorang penantang kuarsa — dengan putusan yang dijatuhkan dalam sekon tiap bulan

Sebuah jam dinding berbandul tiba di meja kerjanya dalam keadaan “berjalan keliru”. Perlakukanlah batang kuningan dan beban beratnya sebagai bandul sederhana berpanjang efektif $L$ , dengan massa bebannya $m = 1.2\,\mathrm{kg}$ ; rodagiginya menghitung tiap osilasi penuh sebagai tepat $2.000\,\mathrm{s}$ .

Bagian I — Mengukur denyut jamnya.

Mengapa mengukur waktu $50$ osilasi dan bukan satu? Taksirlah galat yang tersisa pada $T_0$ jika waktu tanggapanmu $0.2\,\mathrm{s}$ .
Pengukur waktunya membaca $99.4\,\mathrm{s}$ untuk $50$ osilasi: berapa periodenya?
Perolehlah panjang efektif bandulnya saat ini.
Panjang berapa yang akan memberikan tepat $2.000\,\mathrm{s}$ ? Haruskah mur penyetelnya menaikkan atau menurunkan bebannya, dan sebanyak apa?
Tanpa disetel, apakah jamnya cepat atau lambat, berapa sekon tiap hari?
Kepekaannya terhadap $g$ : berapa periodenya di Bulan ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )? Berapa galat hariannya di observatorium tempat $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

Bagian II — Kelesuan kemarau. Kuningan memuai: pemanasan $\Delta\theta$ meregangkan batangnya menjadi $L' = L\,(1 + \lambda\, \Delta\theta)$ , $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ tiap kelvin. Jamnya disetel pada $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Hitunglah $\Delta L$ untuk ruangan kemarau pada $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
Dengan $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ , tunjukkan bahwa $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ .
Hitunglah $\Delta T_0/T_0$ dan galat harian kemaraunya: cepat atau lambat?
Pertanyaan yang sama untuk lorong berhawa dingin pada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
Jam presisi zaman dahulu memakai bandul “panggangan” yang memadukan batang kuningan dengan batang baja (yang memuai kira-kira separuhnya) dalam arah yang berselang-seling. Jelaskan bagaimana ini dapat menahan lajunya.

Bagian III — Dorongan berbisik. Dengan kaitannya dilepaskan, ayunannya, yang dimulai pada amplitudo $\theta_m = 2.00^\circ$ , menyusut separuh amplitudonya dalam $280\,\mathrm{s}$ ; saat bertugas, dorongan mungil dari kaitannya tiap periode menjaga $\theta_m$ tetap.

Berapa periode yang dihabiskan penyusutan separuhnya itu?
Di ujungnya bebannya telah menanjak $h = L(1 - \cos\theta_m) \approx L\,\theta_m^2/2$ (dalam radian): perolehlah $E_m = \tfrac12 m g L\,\theta_m^2$ lalu hitunglah (Bab 18).
Energinya sebanding dengan kuadrat amplitudonya: berapa bagian $E_m$ yang hilang tiap periode?
Perolehlah energi tiap dorongannya, dan daya rata-rata yang dibutuhkan.
Beban penggeraknya $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ turun sejauh $h = 1.0\,\mathrm{m}$ tiap pekan: cukupkah energi itu, pada dayaguna berapa?

Bagian IV — Penantang kuarsanya. Sebuah gerak kuarsa berosilasi pada $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ dan menyimpang sekitar $0.3\,\mathrm{s}$ tiap bulan; bandul yang dipulihkan masih menyimpang $0.5\,\mathrm{s}$ tiap hari.

Hitunglah periode kuarsanya. Tunjukkan bahwa $32\,768 = 2^{15}$ : mengapa pangkat dua justru yang diinginkan sirkuit sebuah arloji?
Hitunglah simpangan nisbi kuarsanya dan bandul yang dipulihkan itu, lalu masing-masing dalam sekon tiap bulan. Siapa yang menang, dengan faktor berapa?
Baku sesium — $9\,192\,631\,770$ periode membentuk satu sekon — menyimpang $1\,\mathrm{s}$ tiap seratus juta tahun: berapa simpangan nisbinya? Berapa orde besaran di bawah kuarsanya, dan mengapa GPS menuntutnya?
Putusannya, satu kalimat beserta angkanya: apa yang diperoleh jam yang dipulihkan itu di dindingnya, dan siapa yang kini memiliki sekon?

Solusi

Solusi Soal 28.1.

1. Galat tanggapan $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ itu dibagi $50$ : sekitar $4\,\mathrm{ms}$ pada $T_0$ .

2. $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$ .

3. $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx 0.982\,\mathrm{m}$ .

4. $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (bandul sesekonnya): turunkanlah bebannya, memanjangkannya sebesar $\approx 1.2\,\mathrm{cm}$ .

5. Terlalu pendek, jadi terlalu gesit: cepat, sebesar $(2.000 - 1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ menit tiap hari.

6. Bulan: $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — tak terpakai. Observatoriumnya: $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 = 5.1 \times 10^{-4}$ : kehilangan $\approx 44\,\mathrm{s}$ tiap hari.

7. $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx 0.1\,\mathrm{mm}$ .

8. $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} = T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12 \lambda\Delta\theta)$ .

9. $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 = 4.8 \times 10^{-5}$ : $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx 4.1\,\mathrm{s}$ tiap hari, lambat (batangnya memanjang, periodenya memanjang).

10. $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$ : $\Delta T_0/T_0 = -9.5 \times 10^{-5}$ , memperoleh $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ tiap hari.

11. Baja dan kuningan memuai berbeda; digantung dalam arah yang berselang-seling, batang kuningannya menurunkan bebannya sementara batang bajanya menaikkannya. Diukur agar kedua pergeserannya saling meniadakan, panjang efektifnya — dan lajunya — bertahan melewati musimnya.

12. $280/2.000 = 140$ periode.

13. $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$ : $E_m = \tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2 \approx 7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$ .

14. Tiap periode amplitudonya menyusut sebesar $2^{-1/140} \approx 0.9951$ , energinya sebesar $0.9951^2 \approx 0.990$ : sekitar $1.0\%$ $E_m$ tiap periode.

15. Dorongannya $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} = 7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; dayanya $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — puluhan mikrowatt.

16. Sepekan adalah $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ periode, yang menuntut $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5} \approx 21\,\mathrm{J}$ ; bebannya memasok $Mgh = 2.5 \times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$ : cukup, pada dayaguna $21/24.5 \approx 88\%$ .

17. $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ . $32\,768 = 2^{15}$ : lima belas tingkat pembagi dua mengubah sinyal hablurnya menjadi detak $1\,\mathrm{Hz}$ yang tepat.

18. Kuarsanya: $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$ . Bandulnya: $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$ , yaitu $\approx 15\,\mathrm{s}$ tiap bulan. Kuarsanya menang dengan faktor $\approx 50$ .

19. $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ : sembilan orde besaran di bawah kuarsanya. GPS mengukur waktu isyaratnya sampai nanosekon — masing-masing $30\,\mathrm{cm}$ perjalanan cahaya — sehingga hanya jam atom yang memadai.

20. Setelah dipulihkan, jam dindingnya bertahan pada $\pm15\,\mathrm{s}$ tiap bulan terhadap $\pm0.3\,\mathrm{s}$ milik kuarsanya: simpanlah ia demi loncengnya, percayalah kuarsanya demi keretanya — dan sekon itu sendiri kini milik atom sesium.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium