Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

27Satelit dan Gerak Planet

Antena parabola di balkon terpaku mati, namun sepanjang hari ia menatap satu titik langit yang tetap, $36\,000\,\mathrm{km}$ di atas; stasiun antariksa melintasi langit petang dalam hitungan menit; serombongan jam terbang memberi tahu telepon genggammu di mana kamu berdiri. Tidak satu pun mesin ini menyalakan penggerak: semuanya sekadar jatuh. Bab ini menghitung secepat apa dan setinggi apa masing-masing harus jatuh — lalu menimbang planet dengan hukum yang sama.

27.1 Jatuh mengelilingi Bumi

Semuanya bertumpu pada hukum yang telah diukur sebelumnya (Bab 4): Bumi, bermassa $M$ , menarik sebuah satelit bermassa $m$ yang pusatnya berjarak $r$ dari pusat Bumi dengan gaya yang terarah ke pusat Bumi, sebesar

F = G\,\frac{m M}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.

Perhatikanlah apa itu $r$ : jarak antarpusat. Satelit pada ketinggian $h$ memiliki $r = R + h$ , dengan $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ jari-jari Bumi — melupakan $R$ itu adalah kekeliruan klasik pada bab ini.

Catatan 27.1 (Meriam Newton, ditinjau kembali)

Ditembakkan mendatar, sebutir peluru meriam mendarat; lebih cepat, ia mendarat lebih jauh; pada laju yang tepat tanahnya melengkung menjauh persis secepat pelurunya jatuh, dan jatuhnya menutup pada dirinya sendiri: sebuah orbit. Satelit tidak memerlukan penggerak — hanya laju ke samping yang tepat.

Meriam Newton: ditembakkan kian cepat, pelurunya mendarat kian jauh (jingga); pada sekitar 7.9\, km/ s jatuhnya menyamai kelengkungan Bumi dan ia mengorbit (biru); lebih cepat lagi, ia lepas (merah). — Meriam Newton: ditembakkan kian cepat, pelurunya mendarat kian jauh (jingga); pada sekitar $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ jatuhnya menyamai kelengkungan Bumi dan ia mengorbit (biru); lebih cepat lagi, ia lepas (merah).

27.2 Orbit lingkaran: satu laju, satu periode

Teorema 27.2 (Laju orbit)

Sebuah satelit pada orbit lingkaran beraturan berjari-jari $r$ mengelilingi benda bermassa $M$ bergerak dengan laju

v = \sqrt{\frac{G M}{r}},

yang tidak bergantung pada massa satelitnya.

Bukti. Gravitasi adalah satu-satunya gaya, sehingga hukum kedua Newton (Teorema 25.5) berbunyi $m\vect a = \vect F$ ; proyeksikanlah pada kerangka Frenet (Definisi 24.13). Gayanya membidik pusatnya: komponen tangensialnya nol, sehingga lajunya tetap; komponen normalnya adalah seluruh $GmM/r^2$ , dan gerak melingkar memiliki $a_n = v^2/r$ (Teorema 24.12). Karena itu $m v^2/r = GmM/r^2$ , dan — dengan $m$ yang saling meniadakan — $v^2 = GM/r$ . ∎

Seluruh mekanisme sebuah orbit: kecepatannya menyinggung, gayanya menuju pusatnya — gravitasi tidak pernah memperlambat satelitnya, ia hanya membelokkan lintasannya, selamanya.

Proposisi 27.3 (Periode orbit)

Satelitnya merampungkan orbitnya dalam periode

T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}.

Bukti. Satu putaran adalah keliling $2\pi r$ pada laju tetap; sisipkanlah $v = \sqrt{GM/r}$ : $T = 2\pi r\sqrt{r/(GM)} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ . ∎

Baik $v$ maupun $T$ tidak memuat $m$ : sebuah sekrup yang terlepas dari stasiun antariksa mengorbit persis di sampingnya. Dan keduanya menurun bersama $r$ : kian tinggi orbitnya, kian lambat satelitnya, dalam laju ( $v \propto 1/\sqrt r$ ) dan dalam sudut ( $T \propto r^{3/2}$ ).

Contoh 27.4 (Stasiun antariksa)

Stasiun Antariksa Internasional terbang pada ketinggian $h \approx 400\,\mathrm{km}$ , sehingga $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ; dengan $GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ , $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.7 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $T = 2\pi r/v \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ : satu putaran planetnya tiap satu setengah jam, sekitar enam belas matahari terbit sehari bagi antariksawannya.

Contoh 27.5 (Bulan jatuh seperti apelnya)

Bulan, pada $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , mengorbit dalam $T = 27.3\,\mathrm{d} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , sehingga $v = 2\pi r/T \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $a = v^2/r \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — persis $g/60^2$ , dan Bulan terletak $60$ jari-jari Bumi jauhnya: tarikan yang menjatuhkan apelnya membelokkan Bulan, yang dilemahkan kebalikan kuadratnya. Tiap sekon Bulan “jatuh” sekitar $1.4\,\mathrm{mm}$ ke arah kita, sedangkan kilometer ke sampingnya membawanya berkeliling — pemeriksaan yang dilakukan Newton pada 1666.

27.3 Hukum-hukum Kepler

Newton tidak menerka kebalikan kuadratnya: ia menyaringnya dari tiga keteraturan yang disuling Johannes Kepler, antara 1609 dan 1619, dari dua puluh tahun kedudukan planet yang diamati Tycho Brahe dengan mata telanjang — data terbaik dunia sebelum teleskop.

Definisi 27.6 (Elips)

Elips adalah himpunan titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap, yaitu fokus, bernilai tetap; setengah garis tengah terpanjangnya adalah setengah sumbu panjang $a$ , dan lingkaran adalah keadaan ketika kedua fokusnya menyatu. Titik orbit planet yang terdekat dan terjauh dari Matahari adalah perihelion dan aphelion.

Teorema 27.7 (Hukum-hukum Kepler)

Untuk planet yang mengorbit Matahari (bermassa $M$ ):

tiap orbitnya berupa elips dengan Matahari pada salah satu fokusnya;
ruas Matahari–planet menyapu luas yang sama dalam waktu yang sama;
nisbah kuadrat periode terhadap pangkat tiga setengah sumbu panjangnya sama bagi semua planet: $T^2/a^3 = 4\pi^2/(G M)$ .

Hukum yang sama mengatur keluarga satelit mana pun mengelilingi benda pusat mana pun, dengan $M$ massa pusatnya.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 27.8 (Apa yang dapat kita buktikan tahun ini)

Untuk orbit lingkaran hukum ketiganya milik kita: dengan mengkuadratkan Proposisi 27.3 diperoleh $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ — satu tetapan bagi tiap satelit dengan pusat yang sama. Bahwa elips, luas yang sama dan $a$ yang umum menyusul dari kebalikan kuadratnya ditunjukkan, dengan kalkulus yang lebih banyak, pada jilid Tahun ke-1. Sementara itu hukum keduanya dapat dibaca: planetnya bergerak paling cepat di perihelion, tempat ruas sapuannya yang pendek harus bergegas.

Hukum kedua Kepler: dalam satu bulan di dekat perihelion P planetnya menyapu juring yang pendek dan gemuk; di dekat aphelion A, juring yang panjang dan kurus — luasnya sama: ia bergegas saat dekat, berlambat saat jauh. — Hukum kedua Kepler: dalam satu bulan di dekat perihelion $P$ planetnya menyapu juring yang pendek dan gemuk; di dekat aphelion $A$ , juring yang panjang dan kurus — luasnya sama: ia bergegas saat dekat, berlambat saat jauh.

Kedelapan planet pada sumbu log–log: sebuah garis lurus berkemiringan 3/2, yaitu T2 a3 — hukum ketiga Kepler, yang dalam satuan ini (satuan astronomi, tahun) berbunyi sederhana T2 = a3. — Kedelapan planet pada sumbu log–log: sebuah garis lurus berkemiringan $3/2$ , yaitu $T^2 \propto a^3$ — hukum ketiga Kepler, yang dalam satuan ini (satuan astronomi, tahun) berbunyi sederhana $T^2 = a^3$ .

27.4 Orbit yang bekerja

Definisi 27.9 (Orbit geostasioner)

Sebuah satelit disebut geostasioner apabila ia menggantung di atas satu titik tanah yang tetap. Orbitnya haruslah lingkaran, khatulistiwa, dan berperiode satu hari sideris, $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ( $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4\,\mathrm{s}$ ): waktu yang dibutuhkan Bumi untuk berputar sekali terhadap bintang. (Hari $24\,\mathrm{h}$ itu terhadap Matahari, dan ke arahnya Bumi juga maju satu derajat sehari.)

Contoh 27.10 (Ketinggian geostasionernya)

Hukum ketiga Kepler, dibaca mundur, menentukan jari-jarinya: $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = \left(3.98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2/4\pi^2\right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — suatu ketinggian $h = r - R \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ , yang ditempuh pada $v = 2\pi r/T \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Setiap penerus sinyal yang “menggantung diam” terletak pada satu lingkaran ini di atas khatulistiwa — tidak ada yang lain.

Contoh 27.11 (Rombongan satelit navigasi)

Sistem navigasi satelit menerbangkan sekitar tiga puluh satelit pada $r \approx 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (ketinggian $\approx 20\,200\,\mathrm{km}$ ), tempat Proposisi 27.3 memberikan $T \approx 4.32 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : setengah hari sideris, sehingga tiap satelitnya menyusuri kembali jejak tanahnya tiap hari. Penerimamu membandingkan waktu tiba sinyal jamnya terhadap orbit yang dikenal sampai ke meter.

Metode 27.12 (Menimbang sebuah dunia dari satelitnya)

Untuk mengukur massa sebuah planet atau bintang: carilah satelit mana pun miliknya (sebuah bulan, sebuah wahana, sebuah planet), ukurlah jari-jari orbitnya $r$ dan periodenya $T$ , lalu balikkanlah hukum ketiganya:

M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}.

Ini hanya menimbang benda pusatnya — massa satelitnya sudah saling meniadakan pada Teorema 27.2. Setiap massa pada kartu datanya diperoleh dengan cara ini: Bumi dari Bulan, Matahari dari orbit Bumi sendiri.

Catatan 27.13 (Kian tinggi kian lambat — tetapi kian mahal)

Karena $v = \sqrt{GM/r}$ , Bulan merangkak pada $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ sementara stasiunnya melesat pada $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Namun orbit yang lebih tinggi justru lebih mahal: menanjak melawan gravitasi menyimpan energi potensial (perhitungannya dilunasi pada Bab 29), dan tambahan $E_p$ mengalahkan susutnya $E_k$ . Karena itu roket membakar ke depan untuk mencapai orbit yang lebih tinggi dan lebih lambat — dan satelit yang direm udara tipis membelit turun lalu bertambah cepat.

Catatan 27.14 (Kartu data)

Kecuali disebutkan lain: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; Bumi: $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , hari sideris $86\,164\,\mathrm{s}$ ; orbit Bulan: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ; Matahari: $M = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; jarak Bumi–Matahari $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; satu tahun $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ; Mars: $M = 6.42 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 3.39 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

27.5 Latihan

Latihan 27.1 ★

Sebuah satelit $1000\,\mathrm{kg}$ berada di landasan peluncurannya, lalu terbang pada ketinggian $400\,\mathrm{km}$ . Hitunglah tarikan Bumi di kedua tempatnya: berapa persen yang bertahan di ketinggian — dan mengapa penghuninya melayang?

Solusi

Solusi Latihan 27.1.

Di landasannya: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx 9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . Pada $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — masih $89\%$ nilai di tanahnya. Para penghuninya melayang karena mereka jatuh bersama stasiunnya, bukan karena gravitasinya lenyap.

Latihan 27.2 ★

Untuk satelit (khayalan) yang menyerempet permukaan Bumi ( $r = R$ ), hitunglah laju orbit dan periodenya. Bandingkanlah dengan peluru meriam Newton (Catatan 27.1).

Solusi

Solusi Latihan 27.2.

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 84\,\mathrm{min}$ . Persis $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ milik peluru meriamnya: orbit yang menyerempet itu adalah tembakan Newton.

Latihan 27.3 ★

Sebuah satelit dipindahkan dari orbit lingkaran berjari-jari $r$ ke orbit berjari-jari $2r$ . Dengan faktor berapa laju dan periodenya berubah? Apakah jawabannya bergantung pada massanya?

Solusi

Solusi Latihan 27.3.

$v \propto 1/\sqrt{r}$ : dibagi $\sqrt 2 \approx 1.41$ . $T \propto r^{3/2}$ : dikalikan $2^{3/2} \approx 2.8$ . Tidak satu pun memuat $m$ : tidak.

Latihan 27.4 ★

Ulangi angka stasiunnya: dari $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , hitunglah $v$ , $T$ , dan banyaknya orbit yang dirampungkan dalam $24\,\mathrm{h}$ .

Solusi

Solusi Latihan 27.4.

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ ; $86\,400/5546 \approx 15.6$ orbit tiap hari.

Latihan 27.5 ★

Nyatakan ketiga hukum Kepler. Di sebelah mana pada elipsnya yang sangat memanjang sebuah komet paling cepat, dan hukum mana yang mengatakannya? Apakah periode sebuah satelit bergantung pada massanya sendiri?

Solusi

Solusi Latihan 27.5.

Elips dengan Matahari pada salah satu fokusnya; luas yang sama dalam waktu yang sama; $T^2/a^3$ serupa bagi semua planet. Paling cepat di perihelion, menurut hukum keduanya (ruas sapuan yang pendek harus menyapu cepat). Tidak: massa satelitnya saling meniadakan — hanya massa pusatnya yang masuk.

Latihan 27.6 ★★

Timbanglah Bumi: dari jari-jari orbit dan periode Bulan (kartu datanya), hitunglah massa Bumi lalu bandingkan dengan nilai pada kartunya.

Solusi

Solusi Latihan 27.6.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 2.24 \times 10^{27}/371 \approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — dalam selisih $1\%$ dari $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ .

Latihan 27.7 ★★

Sebuah perusahaan mengusulkan satelit yang menggantung tetap di atas Paris (lintang $49^\circ$ utara). Dari arah gravitasinya, jelaskan mengapa setiap orbit lingkaran berpusat di pusat Bumi; simpulkan bahwa usulnya mustahil. Di mana satelit dapat menggantung?

Solusi

Solusi Latihan 27.7.

Gravitasi menunjuk ke pusat Bumi, dan pada gerak melingkar gaya totalnya menunjuk ke pusat lingkarannya: kedua pusat itu berimpit. Sebuah lingkaran di atas garis lintang Paris berpusat pada sumbunya, bukan pada pusat Bumi — mustahil. Menggantung diam hanya berhasil di tempat garis lintangnya berupa lingkaran besar yang berpusat di pusatnya: di atas khatulistiwa.

Latihan 27.8 ★★

Phobos mengelilingi Mars pada $r = 9.38 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ dalam $T = 7\,\mathrm{h} 39\,\mathrm{min}$ . Perolehlah massa Mars; bandingkan dengan kartu datanya.

Solusi

Solusi Latihan 27.8.

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — Mars pada kartu datanya.

Latihan 27.9 ★★

Mars mengorbit Matahari pada $a = 2.279 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ dalam $687\,\mathrm{d}$ . Hitunglah $T^2/a^3$ untuk Mars dan untuk Bumi (kartu datanya), periksalah hukum ketiga Kepler, lalu perolehlah massa Matahari.

Solusi

Solusi Latihan 27.9.

Bumi: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ . Mars: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — sama, seperti yang dituntut hukum ketiganya. Selanjutnya $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19}) \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Latihan 27.10 ★★

Uji Bulan Newton: dari kartu datanya, hitunglah laju Bulan dan percepatan sentripetalnya $a = v^2/r$ . Tunjukkan bahwa nilainya $g/60^2$ , lalu sebutkan mengapa itu meyakinkan Newton bahwa satu hukum mengatur apel dan Bulan.

Solusi

Solusi Latihan 27.10.

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/r = 2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Bulan terletak $60$ jari-jari Bumi jauhnya, dan jatuhnya $60^2$ kali lebih lemah daripada jatuh apelnya: persis kebalikan kuadratnya — satu hukum bagi keduanya.

Latihan 27.11 ★★

Dalam satuan Matahari (satuan astronomi, tahun) hukum ketiga Kepler berbunyi $T^2 = a^3$ : garis lurus pada grafik log–log dalam bab ini. Tempatkanlah padanya asteroid Ceres, $a = 2.77\,\mathrm{au}$ , dan komet Halley, $a = 17.8\,\mathrm{au}$ : hitunglah kedua periodenya. Halley terakhir melewati perihelion pada 1986 — kapan ia dinanti kembali?

Solusi

Solusi Latihan 27.11.

Ceres: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{tahun}$ . Halley: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{tahun}$ , sehingga perihelion berikutnya sekitar $1986 + 75 \approx 2061$ .

Latihan 27.12 ★★★

Udara tipis menyapu stasiunnya, namun lajunya justru bertambah sembari ketinggiannya susut. Hitunglah $v$ pada ketinggian $400\,\mathrm{km}$ dan $350\,\mathrm{km}$ , lalu selesaikanlah kemelutnya: gesekan memperlambat benda — dari mana datangnya tambahan laju itu?

Solusi

Solusi Latihan 27.12.

Pada $400\,\mathrm{km}$ : $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; pada $350\,\mathrm{km}$ ( $r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ): $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Gesekannya memang menguras energi mekanik — orbitnya menyusut; tetapi dalam perjalanan turunnya kerja gravitasi lebih daripada melunasi susutnya laju akibat hambatannya: $E_m$ turun sementara $E_k$ naik.

Latihan 27.13 ★★★

Sebuah teleskop menemukan planet luar surya yang mengelilingi bintangnya pada $r = 7.48 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ tiap $3.50\,\mathrm{d}$ . Timbanglah bintangnya, dalam kilogram dan dalam satuan Matahari. Massa yang mana — bintangnya atau planetnya — yang tidak dapat diperoleh dengan cara ini, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 27.13.

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 1.65 \times 10^{31}/6.10 \approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ kali Matahari. Massa planetnya tidak terjangkau: massa itu sudah saling meniadakan dari persamaan orbitnya.

Latihan 27.14 ★★★

Pemukim Mars menginginkan penerus sinyal “areostasioner” di atas pangkalannya. Mars berputar terhadap bintang dalam $24\,\mathrm{h}$ $37\,\mathrm{min}$ : hitunglah jari-jari orbit dan ketinggiannya di atas permukaan Mars (kartu datanya).

Solusi

Solusi Latihan 27.14.

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ : $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$ , sehingga $r \approx 2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ dan $h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 17\,000\,\mathrm{km}$ di atas tanah Mars.

Latihan 27.15 ★★★

Komet Halley melewati perihelion pada $r_p = 8.77 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ sambil bergerak pada $54.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; aphelionnya pada $r_a = 5.25 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ . Di kedua ujungnya kecepatannya tegak lurus ruas Matahari–komet, dan hukum kedua Kepler lalu memaksa $r_p v_p = r_a v_a$ (segitiga sapuan yang sama luas $\tfrac12 r v\,\Delta t$ ). Perolehlah laju aphelionnya lalu berilah ulasan tentang nisbahnya.

Solusi

Solusi Latihan 27.15.

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} / 5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Karena $r_a/r_p \approx 60$ , kometnya $60$ kali lebih jauh dan $60$ kali lebih lambat: ia menghabiskan puluhan tahun berlambat di kegelapan dan beberapa pekan melesat melewati Matahari.

27.6 Soal: Sebuah tempat duduk di atas khatulistiwa

Soal 27.1

Soal akhir pekan — menempatkan satelit di atas khatulistiwa: mengapa satu-satunya tempat parkir di langit adalah lingkaran $35\,800\,\mathrm{km}$ di atas, bagaimana perbandingannya dengan stasiun yang melesat di bawahnya, dan bagaimana hukum yang sama menimbang Yupiter sambil lalu

Sebuah perusahaan telekomunikasi menginginkan penerus sinyal yang tidak pernah harus dikejar antena tanahnya yang sekali dipaku: satelit geostasioner. Kamulah penganalisis misinya; pakailah kartu datanya. Untuk Bagian IV: Io, bulan Yupiter, mengorbit pada $r = 4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ dalam $T = 1.77\,\mathrm{d}$ , dan Yupiter berputar terhadap bintang dalam $9\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ .

Bagian I — Aturan menggantung diam.

Satelitnya harus tetap berada di atas satu titik tanah yang tetap. Berapa periodenya — dan mengapa hari sideris $86\,164\,\mathrm{s}$ dan bukan $24\,\mathrm{h}$ ?
Pada gerak melingkar gaya totalnya menunjuk ke pusat lingkarannya; di sini satu-satunya gayanya adalah gravitasi. Perolehlah bahwa pusat setiap orbit lingkaran adalah pusat Bumi.
Sebuah lingkaran yang menggantung di atas lintang Paris akan berpusat pada sumbu Bumi, di sebelah utara pusatnya. Simpulkanlah: pada bidang mana orbit geostasioner harus terletak?
Tulislah hukum kedua Newton pada kerangka Frenet untuk orbit lingkaran berjari-jari $r$ lalu turunkanlah $v = \sqrt{GM/r}$ .
Perolehlah $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ lalu tulislah kembali sebagai hukum ketiga Kepler $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

Bagian II — Satu-satunya lingkaran yang berhasil.

Selesaikanlah hukum ketiganya untuk $r$ lalu hitunglah jari-jari geostasionernya.
Perolehlah ketinggiannya di atas tanah.
Hitunglah laju orbitnya dari $v = 2\pi r/T$ .
Periksalah terhadap $v = \sqrt{GM/r}$ .
Satelit perusahaan itu bermassa $4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ; milik pesaingnya bermassa dua kali lipat. Bandingkanlah jari-jari geostasionernya, lalu sebutkan apa yang diubah tambahan massa itu saat peluncurannya.

Bagian III — Stasiun di bawahnya.

Stasiun antariksa terbang pada $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : hitunglah lajunya.
Hitunglah periodenya, dalam sekon dan menit.
Berapa orbit yang dirampungkannya dalam $24\,\mathrm{h}$ — kira-kira berapa matahari terbit yang disaksikan antariksawannya tiap hari?
Hitunglah nisbah jari-jarinya $r_{\text{geo}}/r_{\text{sta}}$ , lalu periksalah bahwa nisbah periodenya adalah bilangan itu berpangkat $3/2$ , sebagaimana dituntut hukum ketiga Kepler.
Satelit mana yang bergerak lebih cepat, dan mana yang menuntut lebih banyak energi tiap kilogram untuk ditempatkan? Rukunkanlah keduanya dalam satu kalimat.

Bagian IV — Menimbang Yupiter sambil lalu.

Dari hukum ketiga Kepler yang diterapkan pada Io, nyatakan massa Yupiter $M_J$ dalam $G$ , $r$ dan $T$ .
Hitunglah $M_J$ .
Berapa kali massa Bumi nilainya? Kira-kira berapa bagian massa Matahari?
Sebuah penerus sinyal “yovistasioner” hendaknya menggantung di atas satu titik awan Yupiter: hitunglah jari-jari orbitnya; bandingkan dengan milik Io.
Laporkanlah kepada direksinya, dua kalimat: ketinggian tempat perusahaannya harus memarkir penerus isyaratnya, dan massa Yupiter yang diserahkan hukum yang sama persis itu secara cuma-cuma.

Solusi

Solusi Soal 27.1.

1. $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ : tanahnya berputar bersama Bumi terhadap bintang sekali tiap hari sideris; hari $24\,\mathrm{h}$ menambahkan satu derajat tiap hari yang ditempuh Bumi mengelilingi Matahari.

2. Gaya total pada gerak melingkar membidik pusat lingkarannya; satu-satunya gaya, yaitu gravitasi, membidik pusat Bumi: kedua pusatnya adalah titik yang sama.

3. Lingkaran yang menggantung di atas Paris akan berpusat pada sumbunya di sebelah utara pusatnya — tersingkir oleh nomor 2. Orbitnya harus terletak pada bidang khatulistiwa.

4. Komponen normal hukum kedua Newton: $m v^2/r = GmM/r^2$ , sehingga $v = \sqrt{GM/r}$ ( $m$ saling meniadakan).

5. $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ ; dengan mengkuadratkannya, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

6. $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = (7.49 \times 10^{22})^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .

7. $h = r - R = 4.22 \times 10^{7} - 6.37 \times 10^{6} \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ .

8. $v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

9. $\sqrt{3.98 \times 10^{14}/4.22 \times 10^{7}} \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — consistent.

10. Jari-jarinya serupa: massanya sudah saling meniadakan pada nomor 4. Satelit yang lebih berat hanya mengubah ongkos peluncurannya — lebih banyak bahan bakar untuk orbit yang sama.

11. $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

12. $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92.4\,\mathrm{min}$ .

13. $86\,400/5546 \approx 15.6$ orbit: sekitar $16$ matahari terbit tiap hari.

14. $r_{\text{geo}}/r_{\text{sta}} = 4.22 \times 10^{7}/6.77 \times 10^{6} = 6.23$ ; $6.23^{3/2} \approx 15.5 = 86\,164/5546$ — hukum ketiga Kepler, yang terbukti seketika.

15. Stasiunnya lebih cepat ( $7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ lawan $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), namun yang geostasioner menuntut lebih banyak energi tiap kilogram: tanjakan energi potensialnya mengalahkan susutnya lajunya.

16. $M_J = 4\pi^2 r^3/(G T^2)$ .

17. $T = 1.529 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $M_J = 2.97 \times 10^{27}/1.56 \approx 1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ .

18. $1.90 \times 10^{27}/5.97 \times 10^{24} \approx 318$ kali Bumi — dan sekitar $1/1000$ massa Matahari.

19. $T_J = 3.576 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = GM_J T_J^2/(4\pi^2) = 4.11 \times 10^{24}$ , $r \approx 1.60 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ — Io, pada $4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , terbang $2.6$ kali lebih tinggi lalu melayang melintasi langit Yupiter.

20. Parkirlah penerus isyaratnya pada lingkaran khatulistiwa berketinggian $35\,800\,\mathrm{km}$ , tempat ia melaju pada $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dan tidak pernah meninggalkan bidikan antenanya; dan hukum yang sama, yang diberi bulan milik Io, menimbang Yupiter pada $1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ — $318$ kali Bumi — secara cuma-cuma.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium