Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

31Osilasi Listrik Bebas: RLC

Putarlah tombol berat sebuah radio loteng dan stasiunnya berbaris melewati jarumnya: sebuah suara, biola, desis, lalu sebuah suara lagi. Di balik papannya tidak ada motor dan tidak ada komputer — sebuah kumparan, sebuah kapasitor yang kepingnya bersilang dan diputar tombolnya, dan seuntai kawat antena. Bab ini menyambungkan kedua tangki energi bab lalu (Bab 30) kepala ke kepala lalu menemukan bandul tercepat yang pernah dibangun: muatan yang berayun maju mundur, sampai jutaan kali tiap sekon, pada irama yang dipilih tombolnya.

31.1 Bandul listrik: sirkuit LC

Isilah kapasitor $C$ sampai tegangan $U_0$ — kepingnya lalu memegang $\pm Q_0$ dengan $Q_0 = C U_0$ — lalu pada $t = 0$ sambungkanlah ke kumparan ideal $L$ , yang hambatannya nol. Tidak ada sumber di mana pun pada simpalnya: apa pun yang terjadi berikutnya, sirkuitnya melakukannya sendiri.

Sirkuit LC: sebuah kapasitor yang terisi sampai Q_0, sebuah sakelar, sebuah kumparan ideal. Menutup K membiarkan muatannya tumpah melalui kumparannya — dan kumparannya, yang membenci perubahan, tidak akan membiarkannya berhenti. — Sirkuit LC: sebuah kapasitor yang terisi sampai $Q_0$ , sebuah sakelar, sebuah kumparan ideal. Menutup $K$ membiarkan muatannya tumpah melalui kumparannya — dan kumparannya, yang membenci perubahan, tidak akan membiarkannya berhenti.

Proposisi 31.1 (Persamaan LC)

Pada simpal LC yang ideal muatan $q(t)$ keping atasnya menaati

L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0, \qquad\text{yaitu}\qquad \frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .

Bukti. Sepanjang simpalnya tegangannya berjumlah nol (Proposisi 12.4): $u_L + u_C = 0$ . Kapasitornya memberikan $u_C = q/C$ dan kumparannya $u_L = L\,di/dt$ (Definisi 30.10), dengan $i = dq/dt$ menghitung muatan yang tiba pada keping atasnya (Proposisi 30.3); sulihkanlah. ∎

Teorema 31.2 (Osilasi bebas sirkuit LC)

Dilepaskan pada $t = 0$ dengan $q(0) = Q_0$ dan $i(0) = 0$ , sirkuitnya berosilasi:

q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{LC},

dengan arus puncak $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ .

Bukti. Periksalah dengan penyulihan. Dengan menurunkannya, $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — yaitu $i(t)$ yang disebutkan — dan sekali lagi $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$ , yang sama dengan $-q/(LC)$ tepat ketika $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , yaitu $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . Dan $q(0) = Q_0$ , $i(0) = 0$ . Bahwa tidak ada fungsi lain yang cocok dengan persamaannya dan awalnya diterima saja, persis seperti pada pegasnya (Catatan 28.9). ∎

Definisi 31.3 (Periode dan frekuensi alami)

Periode alami sebuah sirkuit LC adalah $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ; frekuensi alaminya adalah

f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .

Pemeriksaan dimensinya: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ dan $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , sehingga $LC$ membawa $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ adalah waktu, sebagaimana seharusnya.

Contoh 31.4 (Angka yang pertama)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ dengan $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ : $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ , sehingga $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ dan $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — sebuah nada yang terdengar. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ dengan $C = 100\,\mathrm{pF}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — sebuah frekuensi radio. Hanya hasil kali $LC$ yang menetapkan iramanya.

Catatan 31.5 (Terpaut seperempat periode)

Arusnya terpaut seperempat periode fasenya dari muatannya: $i = 0$ ketika $q = \pm Q_0$ (kepingnya penuh, alirannya berbalik) dan $i = \pm I_0$ ketika $q = 0$ (kepingnya kosong, alirannya deras penuh) — persis seperti bandul, yang diam di ujungnya dan tercepat di dasarnya.

Muatan dan arus sirkuit LC yang bebas: arusnya memuncak tiap kali muatannya melintasi nol, terpaut seperempat periode.

31.2 Waltz energinya

Proposisi 31.6 (Kekekalan energi yang tersimpan)

Pada sirkuit LC yang ideal energi yang tersimpan seluruhnya (Proposisi 30.15)

E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2 \;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2

bernilai tetap: seluruhnya di kapasitornya ketika $q = \pm Q_0$ , seluruhnya di kumparannya ketika $i = \pm I_0$ .

Bukti. Turunkanlah: $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ menurut Proposisi 31.1. Nilainya dibaca pada $t = 0$ (seluruhnya kapasitor), dan sekali lagi pada saat seluruhnya arus $q = 0$ — dari situ $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$ , yang memulihkan $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ hanya dengan energi. ∎

Satu periode waltznya: energinya berpindah dari kepingnya ke kumparannya lalu kembali dua kali tiap periode, dengan jumlahnya terpaku pada Q_02/2C — persis gambar osilator pegas–massanya, yang dilabeli ulang. — Satu periode waltznya: energinya berpindah dari kepingnya ke kumparannya lalu kembali dua kali tiap periode, dengan jumlahnya terpaku pada $Q_0^2/2C$ — persis gambar osilator pegas–massanya, yang dilabeli ulang.

Contoh 31.7 (Waltznya, yang terukur)

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ yang terisi sampai $U_0 = 10\,\mathrm{V}$ , disambungkan ke $L = 10\,\mathrm{mH}$ : energinya $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ , periodenya $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , dan arus puncak $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ yang tercapai seperempat periode ( $0.16\,\mathrm{ms}$ ) setelah sakelarnya menutup.

31.3 Sirkuit yang sesungguhnya: osilasi teredam

Setiap kumparan yang sesungguhnya digulung dari kawat yang berhambatan: simpal yang jujur adalah sirkuit RLC seri, dan hambatannya memungut waltznya.

Definisi 31.8 (Rezim pseudoperiodik dan aperiodik)

Pada sirkuit RLC seri resistornya melesapkan energi lewat pemanasan Joule (Bab 12): osilasi bebasnya menjadi teredam. Dua rezim, yang terbaca pada osiloskop:

pseudoperiodik ( $R$ kecil): sirkuitnya masih berosilasi di dalam selubung yang menyusut, dengan waktu pengulangan — yaitu pseudoperiode — yang dekat dengan $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ apabila peredamannya ringan;
aperiodik ( $R$ besar): muatannya merayap kembali ke nol tanpa pernah melampauinya — tanpa osilasi sama sekali.

Persis cerminan osilator mekanik yang teredam (Definisi 28.12).

Dua nasib sirkuit RLC yang sesungguhnya: osilasi yang meredup di dalam selubung eksponensial (bergaris putus-putus), atau rayapan ke nol tanpa osilasi. Ketika teredam ringan, pseudoperiodenya tetap T_0. — Dua nasib sirkuit RLC yang sesungguhnya: osilasi yang meredup di dalam selubung eksponensial (bergaris putus-putus), atau rayapan ke nol tanpa osilasi. Ketika teredam ringan, pseudoperiodenya tetap $\approx T_0$ .

Catatan 31.9 (Memelihara osilasinya)

Untuk menjaga amplitudonya tetap hidup, suapilah sirkuitnya tepat sebanyak energi yang dibakar hambatannya, sekali tiap daur dan selaras dengan ayunannya: sebuah penguat melakukan bagi simpal RLC apa yang dilakukan dorongan kaitan bagi bandulnya (Bab 28). Setiap arloji kuarsa dan setiap pemancar radio adalah osilator terpelihara semacam itu, yang berjalan pada frekuensi alaminya $f_0$ .

31.4 Kembaran mekaniknya

Proposisi 31.10 (Kamus listrik–mekanik)

Persamaan LC adalah persamaan pegas–massa (Proposisi 28.8) kata demi kata:

sirkuit LC		kereta luncur pegas–massa
[2pt] muatan $q$	$\longleftrightarrow$	kedudukan $x$
arus $i = dq/dt$	$\longleftrightarrow$	kecepatan $v = dx/dt$
induktansi $L$	$\longleftrightarrow$	massa $m$
kebalikan kapasitansi $1/C$	$\longleftrightarrow$	kekakuan $k$
hambatan $R$	$\longleftrightarrow$	gesekan
$L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$	$\longleftrightarrow$	$m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$
[2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$	$\longleftrightarrow$	$T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$
[2pt] $E_C = q^2/2C$	$\longleftrightarrow$	$E_p = \tfrac12 kx^2$
$E_L = \tfrac12 Li^2$	$\longleftrightarrow$	$E_k = \tfrac12 mv^2$

Persamaan yang sama, penyelesaian yang sama: setiap hasil tentang salah satu osilatornya seketika beralih ke bahasa yang lain.

Bukti. Bandingkanlah Proposisi 31.1 dengan $m\,d^2x/dt^2 = -kx$ : dengan menyulihkan $q \to x$ , $L \to m$ , $1/C \to k$ yang satu berubah menjadi yang lain, dan $LC \to m/k$ mengubah $2\pi\sqrt{LC}$ menjadi $2\pi\sqrt{m/k}$ . ∎

Contoh 31.11 (Menala radio)

Antenanya menyuapkan bisikan setiap stasiun ke dalam simpal LC, tetapi hanya yang memancar di dekat $f_0$ yang mendorong selaras lalu menumpuk — resonansi (Definisi 28.13). Tombolnya memutar keping sebuah kapasitor variabel: mengubah $C$ menggeser $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , dan jarumnya menyerahkan satu stasiun kepada telinganya pada satu waktu. Di sisi pemancarnya, sebuah osilator terpelihara (Catatan 31.9) menetapkan frekuensi siarannya; di dalam arloji, sebutir hablur kuarsa — kembaran mekanik yang kekakuannya memesona — memainkan peran yang sama.

31.5 Latihan

Latihan 31.1 ★

Hitunglah $T_0$ dan $f_0$ untuk (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{pF}$ . Dengan faktor berapa frekuensinya berbeda?

Solusi

Solusi Latihan 31.1.

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ . (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — berselisih faktor $\sqrt{10^5} \approx 316$ .

Latihan 31.2 ★

Dengan $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ dan $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , tunjukkan satuan demi satuan bahwa $\sqrt{LC}$ adalah waktu. Mengapa $2\pi$ itu tidak mengubah apa pun?

Solusi

Solusi Latihan 31.2.

$LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$ , sehingga $\sqrt{LC}$ bersatuan sekon. $2\pi$ adalah bilangan murni — tanpa dimensi untuk diubah.

Latihan 31.3 ★

Sebuah kapasitor $470\,\mathrm{nF}$ diisi sampai $6.0\,\mathrm{V}$ . Hitunglah $Q_0$ dan energi yang tersimpannya; lukiskanlah, tanpa perhitungan, apa yang menyusul ketika kapasitor itu disambungkan ke kumparan yang ideal.

Solusi

Solusi Latihan 31.3.

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 = \tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$ . Muatannya berosilasi pada $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , arusnya terpaut seperempat periode fasenya, energinya berpindah antara kepingnya dan kumparannya, dengan jumlahnya tetap.

Latihan 31.4 ★

Sebuah sirkuit LC menyusul $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ dalam mikrocoulomb, dengan $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$ . Bacalah $Q_0$ ; hitunglah $f_0$ , $q(T_0/2)$ , $i(0)$ , dan arus puncaknya $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$ .

Solusi

Solusi Latihan 31.4.

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$ ; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $i(0) = 0$ (kosinusnya mendatar pada $t=0$ ); $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$ .

Latihan 31.5 ★

Pada saat mana dalam daurnya energinya seluruhnya berada di kapasitornya? Seluruhnya di kumparannya? Apa padanan mekanik tiap saat itu bagi sebuah bandul?

Solusi

Solusi Latihan 31.5.

Seluruhnya di kapasitornya ketika $q = \pm Q_0$ , $i = 0$ ( $t = 0$ , $T_0/2$ , $T_0$ , …): ujung ayunan bandulnya. Seluruhnya di kumparannya ketika $q = 0$ , $i = \pm I_0$ ( $t = T_0/4$ , $3T_0/4$ , …): titik terendah dan tercepat bandulnya.

Latihan 31.6 ★★

Periksalah dengan penyulihan bahwa $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ memenuhi $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ tepat ketika $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Solusi

Solusi Latihan 31.6.

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$ , sehingga $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ untuk semua $t$ tepat ketika $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , yaitu $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Latihan 31.7 ★★

Sebuah stasiun gelombang panjang memancar pada $198\,\mathrm{kHz}$ . Dengan $C = 220\,\mathrm{pF}$ , induktansi berapa yang menalanya?

Solusi

Solusi Latihan 31.7.

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times (1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$ .

Latihan 31.8 ★★

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ yang terisi sampai $10\,\mathrm{V}$ mengosong ke dalam $L = 10\,\mathrm{mH}$ . Hitunglah energi yang tersimpannya, arus puncaknya (dengan kekekalan energi), dan saat arus itu pertama kali tercapai.

Solusi

Solusi Latihan 31.8.

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 LI_0^2 = E$ memberikan $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$ , yang pertama kali tercapai pada $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx 0.16\,\mathrm{ms}$ .

Latihan 31.9 ★★

Jelaskan mengapa $E_C$ dan $E_L$ berosilasi pada frekuensi $2f_0$ , bukan $f_0$ . Tunjukkan bahwa pada $t = T_0/8$ (bermula dari $q = Q_0$ ) energinya terbagi tepat separuh.

Solusi

Solusi Latihan 31.9.

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$ , dan $\cos^2$ berulang tiap setengah putaran: dua kali pengisian kapasitornya tiap periode, sehingga $2f_0$ . Pada $t = T_0/8$ fasenya $\pi/4$ : $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$ , sehingga $E_C = E_L = E/2$ .

Latihan 31.10 ★★

Pada osilogram sebuah sirkuit RLC yang teredam ringan, puncak berturut-turutnya membaca $4.0\,\mathrm{V}$ lalu $3.0\,\mathrm{V}$ . Dengan menganggap nisbahnya tetap tetap, ramalkanlah puncak keenam setelah yang $4.0\,\mathrm{V}$ itu. Berapa bagian energinya yang bertahan tiap pseudoperiode? Apa yang dapat kamu katakan tentang pseudoperiodenya sendiri?

Solusi

Solusi Latihan 31.10.

Nisbahnya $3.0/4.0 = 0.75$ tiap pseudoperiode: puncak keenamnya $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . Energinya $\propto$ kuadrat amplitudonya: $0.75^2 \approx 56\%$ bertahan tiap periode. Pseudoperiodenya tetap $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : peredaman ringan menyusutkan amplitudonya, hampir tidak iramanya.

Latihan 31.11 ★★

Sebuah sirkuit LC memiliki $L = 0.50\,\mathrm{H}$ dan $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Hitunglah $T_0$ ; lalu, dengan kamusnya (Proposisi 31.10), carilah kekakuan $k$ yang memberi kereta luncur $0.50\,\mathrm{kg}$ periode yang sama, lalu periksalah.

Solusi

Solusi Latihan 31.11.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$ . Kamusnya: $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; periksalah $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — $20\,\mathrm{ms}$ yang sama.

Latihan 31.12 ★★★

Sebuah penala memakai $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ dan kapasitor variabel yang menyapu $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$ . Hitunglah kedua frekuensi ujungnya. Tunjukkan bahwa $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , sehingga sepuluh kali lipat pada $C$ hanya memberikan $\sqrt{10} \approx 3.2$ pada frekuensinya.

Solusi

Solusi Latihan 31.12.

$C = 500\,\mathrm{pF}$ : $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ ; $C = 50\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$ . Pada $L$ yang tetap, $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ : $C$ sepuluh kali lipat, hanya $\sqrt{10} \approx 3.2$ pada $f_0$ — seperti yang ditemukan.

Latihan 31.13 ★★★

Sebuah kumparan yang sesungguhnya membuat sirkuitnya kehilangan $5.0\%$ energinya tiap pseudoperiode. Setelah berapa periode energinya menyusut separuh? Berapa amplitudonya saat itu, sebagai bagian dari awalnya? Pada $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$ , berapa lama itu dalam mikrosekon?

Solusi

Solusi Latihan 31.13.

$0.95^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$ , jadi sekitar $14$ periode. Amplitudonya $\propto \sqrt{E}$ : turun sampai $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ nilai awalnya. Pada $1.0\,\mathrm{MHz}$ , $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : sekitar $14\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Latihan 31.14 ★★★

Sebuah osilator arloji menyimpan $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ dan kehilangan $2.0\%$ darinya tiap daur pada $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ . Daya rata-rata berapa yang harus dipasok sirkuit pemeliharanya? Mengapa dorongannya harus tiba selaras dengan osilasinya?

Solusi

Solusi Latihan 31.14.

Susutnya tiap daur $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ , pada $32\,768$ daur tiap sekon: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11} \approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — di bawah semikrowatt, bertahun-tahun dengan sebuah sel kancing. Harus selaras, sebab hanya dorongan pada fase yang tepat yang menambahkan energi (resonansi); jika tidak selaras ia akan mengerem ayunannya.

Latihan 31.15 ★★★

Setelah tiap tepi sebuah sinyal persegi, kabel seorang pelaku percobaan “berdenting” pada $25\,\mathrm{MHz}$ ; induktansi sasarnya sekitar $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ . Taksirlah kapasitansi sasar yang bertanggung jawab. Ke rezim mana sebuah resistor seri kecil yang ditambahkan seharusnya mendorong sirkuitnya, dan mengapa itu menyembuhkan dentingnya?

Solusi

Solusi Latihan 31.15.

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times (2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$ . Resistornya seharusnya mendorong simpalnya ke rezim aperiodik: muatannya lalu mengendap tanpa melampaui — tanpa osilasi, tanpa dentingan.

31.6 Soal: Membangun radio kristal

Soal 31.1

Soal akhir pekan — membangun radio kristal: satu kumparan, satu kapasitor variabel, sebuah dioda dan sebuah telinga — tanpa baterai, tanpa penguat, dan warta petang tiba dengan energi gelombangnya sendiri

Sebuah perkakas dari loteng kakek: sebuah kumparan $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ yang digulung pada tabung kardus, sebuah kapasitor variabel yang kepingnya berputar dari $20\,\mathrm{pF}$ sampai $480\,\mathrm{pF}$ , sebuah dioda kristal, sebuah telinga, dan $20\,\mathrm{m}$ kawat antena. Stasiun yang hendak ditangkap memancar antara $530\,\mathrm{kHz}$ dan $1700\,\mathrm{kHz}$ .

Bagian I — Simpal penalanya.

Kapasitornya, yang sudah terisi, dibiarkan mengosong ke dalam kumparannya: tulislah hukum simpalnya lalu ubahlah menjadi persamaan diferensial untuk $q(t)$ .
Periksalah dengan penyulihan bahwa $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ menyelesaikannya, asalkan $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
Periksalah dengan analisis dimensi bahwa $\sqrt{LC}$ adalah waktu.
Dengan tombolnya di $C = 330\,\mathrm{pF}$ : hitunglah $T_0$ dan $f_0$ . Apakah simpalnya tertala di dalam pitanya?
Carilah kapasitansi yang menala tepat pada $1.00\,\mathrm{MHz}$ .

Bagian II — Kapasitor variabelnya.

Hitunglah kapasitansi yang dibutuhkan untuk $530\,\mathrm{kHz}$ .
Hitunglah kapasitansi yang dibutuhkan untuk $1700\,\mathrm{kHz}$ .
Hitunglah kedua frekuensi yang sungguh dicapai kapasitor $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ milik perkakas itu. Apakah ia meliputi seluruh pitanya?
Tunjukkan bahwa $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ pada $L$ yang tetap; dengan faktor berapa $C$ harus berubah untuk menggandakan $f_0$ ?
Kepingnya membuka secara linear, sehingga $C$ turun mantap sembari tombolnya berputar. Jelaskan mengapa stasiunnya lalu berdesakan di salah satu ujung tombolnya — dan ujung yang mana.

Bagian III — Energi dan peredamannya. Tertala pada $1.00\,\mathrm{MHz}$ ( $C = 127\,\mathrm{pF}$ ), antenanya sesaat mengisi kapasitornya sampai $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$ .

Hitunglah muatan $Q_0$ dan energi yang tersimpannya $E$ .
Hitunglah arus puncaknya $I_0$ , dengan kekekalan energi.
Hambatan kumparannya melesapkan $4.0\%$ energi yang tersimpannya tiap daur: setelah berapa daur energinya menyusut separuh?
Berapa lama itu dalam mikrosekon? Mengapa “dentingan” ini sendirian tidak dapat memainkan warta petangnya?
Jelaskan mengapa gelombang yang tiba menjaga simpalnya tetap berayun hanya ketika tertala pada stasiun itu — dan apa yang memelihara osilasinya di pemancarnya (Catatan 31.9).

Bagian IV — Kembaran mekaniknya.

Dengan kamusnya (Proposisi 31.10) beserta kereta luncur bermassa $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ , hitunglah kekakuan $k$ pegas yang menyamai sirkuit yang tertala itu.
Sebuah pegas mobil yang kaku memiliki $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Berilah ulasan: dapatkah sistem pegas–massa di atas meja berosilasi pada megahertz?
Pertahankanlah $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ yang wajar sebagai gantinya: massa berapa yang berosilasi pada $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
Benda nyata apa yang merupakan osilator mekanik seringan bulu dan sekaku itu, dan di mana kamu menemuinya lebih awal tahun ini (Bab 28)?
Lembar spesifikasinya, satu kalimat: pita yang disapu radiomu, kapasitansi yang memilih $1.00\,\mathrm{MHz}$ , berapa lama satu dentingan bertahan, dan apa yang tetap memainkan wartanya.

Solusi

Solusi Soal 31.1.

1. Hukum simpalnya: $u_L + u_C = 0$ , dengan $u_C = q/C$ , $u_L = L\,di/dt$ , $i = dq/dt$ : $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ .

2. $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$ , sehingga persamaannya berbunyi $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ , yang benar untuk semua $t$ tepat ketika $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

3. $LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ adalah waktu.

4. $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7} \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — di dalam $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$ .

5. $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times 1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$ .

6. Rumus yang sama pada $530\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 451\,\mathrm{pF}$ .

7. Pada $1700\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 44\,\mathrm{pF}$ .

8. $C = 480\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$ ; $C = 20\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — seluruh pitanya, dengan sisa di kedua ujungnya.

9. $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ ; menggandakan $f_0$ menuntut membagi $C$ dengan $4$ .

10. Karena $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , langkah $C$ yang sama menggeser $f_0$ perlahan pada $C$ yang besar dan cepat pada $C$ yang kecil: jarak tertentu antarstasiun lalu hanya menuntut sedikit putaran tombolnya — stasiunnya berdesakan di ujung yang berfrekuensi tinggi ( $C$ rendah).

11. $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ .

12. $\tfrac12 LI_0^2 = E$ : $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$ .

13. $0.96^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert \approx 17$ daur.

14. Pada $1.00\,\mathrm{MHz}$ , $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : dentingannya menyusut separuh dalam sekitar $17\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Satu dentingan mati dalam beberapa mikrosekon; musiknya menuntut simpalnya disuapi terus-menerus.

15. Gelombangnya mendorong jutaan kali tiap sekon; hanya ketika frekuensinya menyamai $f_0$ dorongannya tiba selaras lalu membangun ayunannya — resonansi; stasiun yang tidak tertala mendorong sama seringnya melawan maupun searah dengannya. Di pemancarnya, sebuah penguat mengembalikan energi yang terlesap tiap daur: sebuah osilator terpelihara.

16. $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $k = m/(LC) = 0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

17. Sekitar $10^8$ kali pegas mobilnya: tidak ada sistem pegas–massa di atas meja yang mencapai megahertz — kekakuan dan massa sehari-hari terlalu lamban.

18. $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100} {(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — beberapa nanogram, sebutir debu.

19. Sebutir hablur kuarsa: sekeping seringan bulu dan amat kaku yang bernyanyi pada frekuensi alaminya — penyimpan waktu yang ditemui lebih awal tahun ini.

20. Dengan $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ dan $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ simpalnya menyapu sekitar $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$ , meliputi pitanya; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ memilih $1.00\,\mathrm{MHz}$ ; jika dibiarkan sendiri dentingannya menyusut separuh dalam $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$ , tetapi gelombang milik stasiunnya, yang beresonansi selaras, menyuapi kembali simpalnya — wartanya bermain dengan energi gelombangnya sendiri.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium