Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

23Efek Doppler

Sebuah ambulans mendekat dengan sirene meraung, lalu melintas — dan pada saat itu juga nadanya meluncur turun secara kasatindra, padahal pengemudinya tidak menyentuh apa pun. Sirenenya jujur; gelombangnyalah yang tidak: geraknya memerasnya di depan dan meregangkannya di belakang. Bab ini mengukur perasan itu, lalu menunggangi gagasan yang sama dari sirene sampai pistol radar, sampai darah di dalam pembuluh nadi, dan sampai ke sebuah planet yang dibocorkan oleh goyangan pada cahaya bintang.

23.1 Efeknya

Definisi 23.1 (Efek Doppler)

Efek Doppler adalah perubahan frekuensi terima sebuah gelombang ketika sumber dan penerimanya bergerak relatif satu sama lain: frekuensi terima $f'$ lebih besar daripada frekuensi pancar $f$ selama keduanya saling mendekat, lebih kecil selama keduanya saling menjauh, dan sama dengan $f$ hanya selama jaraknya sejenak berhenti berubah.

Catatan 23.2 (Tinggi nada, bukan kenyaringan)

Ada dua hal yang berubah ketika ambulansnya melintas. Kenyaringannya membesar lalu memudar karena gelombangnya menyebar bersama jaraknya (Bab 21); tinggi nadanya bergeser karena laju mendekat atau menjauhnya, dan turun mendadak pada saat melintas. Kenyaringan berkata “seberapa jauh”; tinggi nada berkata “seberapa cepat”.

23.2 Sumber yang bergerak: muka gelombang yang berdesakan

Gambaran kuncinya: begitu sebuah puncak meninggalkan sumbernya, mediumlah yang memilikinya. Tiap puncaknya melebar sebagai lingkaran dengan laju gelombang $v$ (Bab 20), berpusat di titik tempat puncak itu dipancarkan — mediumnya tidak tahu dan tidak peduli bahwa sumbernya sudah berpindah.

Proposisi 23.3 (Sumber yang bergerak)

Sebuah sumber memancarkan puncak dengan periode $T$ (frekuensinya $f = 1/T$ ) selagi bergerak pada garis lurus dengan laju $v_s < v$ menembus medium yang gelombangnya merambat dengan laju $v$ . Seorang pengamat yang diam di dalam mediumnya menerima

\lambda' = (v \mp v_s)\,T, \qquad f' = f\,\frac{v}{v \mp v_s},

dengan tanda atas untuk sumber yang mendekat dan tanda bawah untuk sumber yang menjauh.

Bukti. Di antara dua puncak, puncak yang pertama maju $vT$ sementara sumbernya maju $v_s T$ . Di depan, puncak yang kedua karena itu dipancarkan $v_s T$ lebih dekat ke yang pertama, sehingga $\lambda' = (v - v_s)T$ ; di belakang, $v_s T$ yang sama justru ditambahkan. Puncaknya lalu menyapu melewati pengamat yang diam dengan laju mediumnya $v$ , satu tiap $\lambda'/v$ sekon, sehingga $f' = v/\lambda' = f v/(v \mp v_s)$ . ∎

Muka gelombang sebuah sumber yang bergerak ke kanan: tiap lingkarannya berpusat di titik tempat lingkaran itu dipancarkan (titik kelabu), sehingga puncaknya berdesakan di depan, ' = (v - v_s)T, dan meregang di belakang, ' = (v + v_s)T. — Muka gelombang sebuah sumber yang bergerak ke kanan: tiap lingkarannya berpusat di titik tempat lingkaran itu dipancarkan (titik kelabu), sehingga puncaknya berdesakan di depan, $\lambda' = (v - v_s)T$ , dan meregang di belakang, $\lambda' = (v + v_s)T$ .

Contoh 23.4 (Ambulansnya, dalam angka)

Sebuah sirene pada $f = 700\,\mathrm{Hz}$ mendekat dengan $v_s = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; ambillah $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di udara (Bab 21). Ketika mendekat: $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ ; ketika menjauh: $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . Lintasannya menurunkan nadanya sebesar $104\,\mathrm{Hz}$ — nisbahnya $\approx 1.16$ , sekitar dua setengah seminada, dan tidak mungkin salah dengar oleh telinga mana pun.

Catatan 23.5 (Apa yang tidak diubah geraknya)

Gelombangnya tetap merambat dengan $v$ : mediumnyalah yang menetapkan lajunya (Bab 20). Gerak sumbernya memeras panjang gelombang, tidak pernah memeras laju. Dan perasannya memiliki batas: ketika $v_s \to v$ , puncak di depannya bertumpuk satu sama lain dan $f' \to \infty$ — yaitu kemacetan muka gelombang yang diseret pesawat supersonik sebagai gelombang kejut.

23.3 Pengamat yang bergerak, dan jalan pintas gerak lambat

Proposisi 23.6 (Pengamat yang bergerak)

Seorang pengamat bergerak dengan laju $v_o$ lurus menuju (atau menjauhi) sebuah sumber yang diam di dalam mediumnya. Frekuensi terimanya adalah

f' = f\left(1 \pm \frac{v_o}{v}\right) \quad (+\ \text{mendekat},\ -\ \text{menjauh}).

Bukti. Pola gelombangnya sendiri tidak terganggu: puncak yang berjarak $\lambda = vT$ merambat dengan $v$ . Pengamat yang berlari ke arahnya menemui puncaknya dengan laju relatif $v + v_o$ , satu tiap $\lambda/(v + v_o)$ sekon: $f' = (v + v_o)/\lambda = f(1 + v_o/v)$ . Ketika berlari menjauh, lajunya $v - v_o$ . ∎

Definisi 23.7 (Kecepatan radial)

Kecepatan radial $v_r$ sebuah sumber terhadap seorang pengamat adalah komponen kecepatan relatifnya sepanjang garis penghubung keduanya — yaitu laju menyusut atau tumbuhnya jarak itu. Hanya komponen inilah yang menggeser frekuensinya; gerak melintang terhadap garis pandangnya tidak memberikan pergeseran pada orde ini.

Proposisi 23.8 (Gerak lambat: satu rumus untuk semuanya)

Ketika laju radialnya kecil, $v_r \ll v$ , tidak lagi berarti siapa yang bergerak:

\frac{\Delta f}{f} = \frac{f' - f}{f} \approx +\frac{v_r}{v} \ \text{(mendekat)}, \qquad \frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{v_r}{v} \ \text{(menjauh)}.

Bukti. Rumus pengamatnya sudah tepat berbentuk $1 \pm v_o/v$ . Untuk sumbernya, tulislah $x = v_s/v$ : kesamaan $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$ menunjukkan bahwa $f'/f$ berbeda dari $1 + x$ oleh suku berorde $x^2$ — untuk $x = 0.1$ , koreksi $1\%$ pada pergeseran $10\%$ . Sampai orde pertama, keempat rumusnya melebur menjadi $1 \pm v_r/v$ . ∎

Frekuensi yang terdengar ketika sirene 440\, Hz melintas dengan 15\, m/ s, 8\, m dari mikrofonnya: dataran pada fv/(v v_s), dan f yang sebenarnya (garis titik-titik) dilintasi pada dasarnya pada saat terdekat, ketika geraknya murni melintang. — Frekuensi yang terdengar ketika sirene $440\,\mathrm{Hz}$ melintas dengan $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $8\,\mathrm{m}$ dari mikrofonnya: dataran pada $fv/(v \mp v_s)$ , dan $f$ yang sebenarnya (garis titik-titik) dilintasi pada dasarnya pada saat terdekat, ketika geraknya murni melintang.

Metode 23.9 (Membaca sebuah lintasan)

Rekaman sebuah sumber yang melintas menampilkan dua dataran: $f_1$ (saat mendekat) dan $f_2$ (saat menjauh). Maka

f = \frac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}, \qquad v_s = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}.

Memang $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - v_s^2}$ dan $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,v_s}{v^2 - v_s^2}$ : bagilah untuk memperoleh $v_s$ , lalu hitunglah $2f_1 f_2/(f_1 + f_2)$ untuk memperoleh $f$ . Dua bacaan frekuensi menghasilkan tinggi nada yang sebenarnya sekaligus lajunya — tanpa pencatat waktu, tanpa penggaris.

23.4 Gema yang mengukur laju

Pantulkanlah sebuah gelombang dari sasaran yang bergerak dan efek Doppler menyerang dua kali.

Proposisi 23.10 (Pemantulan menggandakan pergeserannya)

Sebuah gelombang berfrekuensi $f$ dikirimkan ke pemantul yang mendekat lurus dengan laju $u \ll v$ . Gemanya kembali dengan

f' = f\,\frac{v + u}{v - u}, \qquad \text{sehingga} \qquad \Delta f \approx \frac{2u}{v}\,f .

Bukti. Ada dua pergeseran yang berturutan. Sebagai pengamat yang bergerak, pemantulnya menerima $f(1 + u/v)$ ; ketika memancarkan kembali apa yang diterimanya, pemantul itu kini menjadi sumber yang bergerak, sehingga gemanya tiba pada $f' = f(1 + u/v)/(1 - u/v) \approx f(1 + 2u/v)$ untuk $u \ll v$ . ∎

Contoh 23.11 (Pistol radar)

Sebuah radar lalu lintas memancarkan gelombang mikro pada $f = 24.15\,\mathrm{GHz}$ ( $v = c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) lalu menumpangkan gemanya pada gelombang yang keluar; layangannya (Bab 21) langsung memperdengarkan $\Delta f = 2uf/c \approx 161\,\mathrm{Hz}$ tiap $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ laju mobilnya — sebuah frekuensi audio yang sepele diukur, yang dipahat dari pembawa $24\,\mathrm{GHz}$ . Faktor $2$ -nya tidak boleh dilewatkan: melupakannya memuji setiap pengemudi dua kali lipat.

Contoh 23.12 (Ultrasonografi Doppler)

Sebuah penduga kedokteran mengirimkan ultrasonik $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ ke dalam pembuluh nadi ( $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di dalam jaringan); sel darah merahnya memantulkannya. Darah pada $u = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ mengembalikan $\Delta f = 2 \times 0.50 \times 5.0 \times 10^{6}/1540 \approx 3.2\,\mathrm{kHz}$ — sebuah layangan yang terdengar: dokter jantungnya benar-benar mendengar darahnya bertambah cepat pada tiap detak jantung, lalu mengukur $u$ dari $\Delta f$ .

23.5 Doppler pada cahaya bintang

Cahaya adalah gelombang (Bab 22), yang spektrumnya bergaris tajam pada panjang gelombang yang ditetapkan tiap unsur kimianya (Bab 2) — sebuah penggaris tertera laboratorium yang tercetak pada setiap bintang.

Definisi 23.13 (Pergeseran merah dan pergeseran biru)

Ketika garis spektrum sebuah sumber muncul pada panjang gelombang yang lebih panjang daripada di laboratorium, spektrumnya dikatakan bergeser merah; ketika garisnya muncul lebih pendek, spektrumnya bergeser biru — yaitu bergeser ke ujung merah atau ke ujung biru spektrum tampaknya.

Proposisi 23.14 (Pergeseran Doppler cahaya)

Untuk sumber yang menjauh dengan laju radial $v_r \ll c$ , setiap panjang gelombangnya teramati teregang sebesar

\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_r}{c} \quad \text{(pergeseran merah)},

dan termampatkan sebanyak itu pula, $\Delta\lambda/\lambda \approx -v_r/c$ , untuk sumber yang mendekat (pergeseran biru).

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 23.15 (Di mana rumusnya yang jujur bersemayam)

Cahaya tidak memerlukan medium, sehingga penurunan untuk bunyi tidak dapat disalin — tidak ada “diam di dalam mediumnya”. Rumus yang tepat datang dari kerelatifan khusus, nanti pada tahun ini juga (Bab 35); koreksinya berorde $(v_r/c)^2$ , yang dapat diabaikan untuk pesawat, bintang dan galaksi yang dekat. Di bawah ini kita memakai rumus gerak lambatnya dengan hati yang tenang.

Garis hidrogen yang sama pada tiga spektrum: pada 656.30\, nm di laboratorium, bergeser biru untuk bintang yang mendekat, bergeser merah untuk bintang yang menjauh. Pergeserannya, yang dibaca terhadap acuan bergaris putus-putus, memberikan kecepatan radialnya. — Garis hidrogen yang sama pada tiga spektrum: pada $656.30\,\mathrm{nm}$ di laboratorium, bergeser biru untuk bintang yang mendekat, bergeser merah untuk bintang yang menjauh. Pergeserannya, yang dibaca terhadap acuan bergaris putus-putus, memberikan kecepatan radialnya.

Contoh 23.16 (Menakar larinya sebuah bintang)

Pada spektrum bintang terang Vega, garis hidrogen yang panjang gelombang laboratoriumnya $656.30\,\mathrm{nm}$ terukur pada $656.27\,\mathrm{nm}$ : $\Delta\lambda = -0.03\,\mathrm{nm}$ , yaitu pergeseran biru, sehingga Vega mendekat dengan $v_r = c\,|\Delta\lambda|/\lambda \approx 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — $14\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , yang terbaca dari pergeseran satu bagian dari dua puluh ribu.

Contoh 23.17 (Bintang yang bergoyang: bintang ganda dan planet luar surya)

Ketika dua bintang saling mengorbit, garisnya berayun secara periodik antara biru dan merah — itulah bintang ganda spektroskopik, yang orbitnya terukur tanpa pernah memisahkan pasangannya. Sebuah planet melakukan hal yang sama pada bintangnya, secara samar: keduanya mengitari pusat massa bersamanya, sehingga kecepatan radial bintangnya berayun sebesar beberapa puluh $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — yaitu pergeseran $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-7}$ . Mendeteksinya adalah cara ditemukannya planet pertama di sekeliling bintang serupa Matahari; soal akhir pekannya mengulang penemuan itu, lengkap dengan angkanya.

Catatan 23.18 (Pergeseran merah galaksi)

Spektrum galaksi yang jauh semuanya bergeser merah, dan makin jauh galaksinya, makin besar pergeserannya: jarak di alam semesta sedang teregang. Untuk galaksi yang dekat, $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ membaca laju menjauhnya; untuk yang terjauh, pergeserannya melampaui apa yang sanggup ditangani rumus gerak lambat secara jujur, dan pembukuannya diangkat kembali mulai dari Bab 35 dan pada jilid perguruan tinggi.

23.6 Latihan

Latihan 23.1 ★

Sirene mobil pemadam kebakaran memancar pada $700\,\mathrm{Hz}$ dan melaju $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Hitunglah frekuensi yang didengar pejalan kaki (a) di depannya; (b) di belakangnya. (c) Apa yang didengar pengemudinya?

Solusi

Solusi Latihan 23.1.

(a) $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ . (b) $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . (c) $700\,\mathrm{Hz}$ : pengemudi dan sirenenya bergerak bersama, sehingga jaraknya tidak pernah berubah.

Latihan 23.2 ★

Seorang teman mengaku: “nadanya turun ketika ambulansnya pergi karena bunyinya melemah bersama jaraknya.” Uraikanlah kedua efek yang dicampuradukkannya, lalu nyatakan masing-masing bergantung pada apa.

Solusi

Solusi Latihan 23.2.

Kenyaringannya memudar karena gelombangnya menyebar — hal itu bergantung pada jaraknya. Tinggi nadanya turun dari saat mendekat ke saat menjauh — itulah efek Doppler, yang bergantung pada seberapa cepat jaraknya berubah. Dua efek yang saling bebas.

Latihan 23.3 ★

Seorang pengendara sepeda melaju $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lurus menuju sirene diam yang memancar pada $700\,\mathrm{Hz}$ . Frekuensi berapa yang didengarnya? Dan ketika mengayuh lurus menjauh? Rumus yang mana yang berlaku, dan mengapa bukan rumus sumber yang bergerak?

Solusi

Solusi Latihan 23.3.

Pengamat yang bergerak: $f' = 700\,(1 + 6.0/340) \approx 712\,\mathrm{Hz}$ ; ketika mengayuh menjauh, $700\,(1 - 6.0/340) \approx 688\,\mathrm{Hz}$ . Sirenenya diam di dalam udaranya, sehingga pola gelombangnya tidak terganggu; hanya pengamatnya yang berlari menembusnya.

Latihan 23.4 ★

Klakson kereta memancar pada $400\,\mathrm{Hz}$ selagi keretanya melaju $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Hitunglah panjang gelombangnya di depan keretanya, di belakangnya, dan ketika diam. Pengamat yang mana yang menerima yang mana?

Solusi

Solusi Latihan 23.4.

Di depan: $\lambda' = 310/400 = 0.775\,\mathrm{m}$ ; di belakang: $370/400 = 0.925\,\mathrm{m}$ ; ketika diam: $340/400 = 0.85\,\mathrm{m}$ . Panjang gelombang yang pendek sampai kepada siapa pun yang didekati keretanya, yang panjang kepada siapa pun yang ditinggalkannya.

Latihan 23.5 ★

Sebuah telepon yang memainkan nada $440\,\mathrm{Hz}$ dibawa seorang pelari dengan $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Pakailah rumus gerak lambat untuk menaksir pergeseran yang didengar orang yang didekati pelari itu. Bandingkan dengan satu seminada (sekitar $6\%$ pada frekuensinya): apakah seorang pemusik akan menyadarinya?

Solusi

Solusi Latihan 23.5.

$\Delta f/f \approx 5.0/340 \approx 1.5\%$ : $\Delta f \approx 6.5\,\mathrm{Hz}$ , sehingga sekitar $446\,\mathrm{Hz}$ — seperempat seminada. Seorang pemusik baru pas menyadarinya.

Latihan 23.6 ★★

Seekor kelelawar terbang $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lurus ke sebuah dinding sambil memancar pada $50.0\,\mathrm{kHz}$ . Tunjukkan bahwa gema yang didengarnya kembali pada $f' = f(v + v_b)/(v - v_b)$ , lalu hitunglah $f'$ dan pergeserannya. Mengapa ini rumus pistol radar yang menyamar?

Solusi

Solusi Latihan 23.6.

Dindingnya menerima $f\,v/(v - v_b)$ (sumber yang bergerak); kelelawarnya, sebagai pengamat yang bergerak mendekati gemanya, mendengar $(1 + v_b/v)$ kali nilai itu: $f' = f(v + v_b)/(v - v_b) = 50.0 \times 346/334 \approx 51.8\,\mathrm{kHz}$ , yaitu pergeseran $+1.8\,\mathrm{kHz}$ . Inilah pergeseran ganda pistol radar dengan peran pemancar dan pemantulnya bertukar: hanya laju pendekatannya yang berperan.

Latihan 23.7 ★★

Sebuah pistol radar pada $24.15\,\mathrm{GHz}$ mengukur layangan $4.0\,\mathrm{kHz}$ dari mobil yang mendekat. Tentukan laju mobilnya dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Layangan berapa yang akan diberikan mobil yang lajunya tepat $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 23.7.

$u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 4000/(2 \times 24.15 \times 10^{9}) \approx 24.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Pada $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $\Delta f = 2 \times 13.9 \times 24.15 \times 10^{9}/3.00 \times 10^{8} \approx 2.2\,\mathrm{kHz}$ .

Latihan 23.8 ★★

Sebuah penduga ultrasonik Doppler $5.0\,\mathrm{MHz}$ yang dibidikkan sepanjang pembuluh nadi ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di dalam jaringan) mendengar layangan $2.6\,\mathrm{kHz}$ . Tentukan laju darahnya. Mengapa penduganya harus dimiringkan sepanjang alirannya dan bukan tegak lurus terhadapnya?

Solusi

Solusi Latihan 23.8.

$u = v\,\Delta f/(2f) = 1540 \times 2600/1.0 \times 10^{7} \approx 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Aliran yang tegak lurus memiliki kecepatan radial nol, sehingga sama sekali tidak ada pergeserannya.

Latihan 23.9 ★★

Ambillah $f = 1000\,\mathrm{Hz}$ , $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan laju pendekatan $34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Hitunglah $f'$ secara tepat ketika (a) sumbernya yang bergerak, (b) pengamatnya yang bergerak. Bandingkan keduanya dengan ramalan gerak lambat $f(1 + v_r/v)$ lalu jelaskan besarnya ketidaksesuaiannya.

Solusi

Solusi Latihan 23.9.

(a) Sumbernya: $f' = 1000 \times 340/306 \approx 1111\,\mathrm{Hz}$ . (b) Pengamatnya: $f' = 1000 \times 1.1 = 1100\,\mathrm{Hz}$ . Gerak lambatnya meramalkan $1100\,\mathrm{Hz}$ : tepat untuk pengamatnya, dan kurang $11\,\mathrm{Hz}$ untuk sumbernya — yaitu koreksi berorde $x^2$ , sebesar $1\%$ dari $f$ untuk $x = 0.1$ .

Latihan 23.10 ★★

Rekaman sebuah skuter yang melintasi mikrofon menampilkan dataran pada $465\,\mathrm{Hz}$ dan $415\,\mathrm{Hz}$ . Dengan memakai Metode 23.9, tentukan frekuensi klakson yang sebenarnya dan laju skuternya dalam $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Mengapa frekuensi yang sebenarnya bukan rata-rata keduanya?

Solusi

Solusi Latihan 23.10.

$f = 2 \times 465 \times 415/880 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ ; $v_s = 340 \times 50/880 \approx 19.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Nilai $f$ yang sebenarnya adalah rata-rata harmonisnya: mendekat menaikkan frekuensinya lebih banyak daripada menjauh menurunkannya, sehingga $f$ berada di bawah rata-rata hitungnya ( $440\,\mathrm{Hz}$ ).

Latihan 23.11 ★★

Pada spektrum sebuah bintang, garis hidrogen yang panjang gelombang laboratoriumnya $656.3\,\mathrm{nm}$ teramati pada $656.5\,\mathrm{nm}$ . Pergeseran merah atau biru? Hitunglah kecepatan radial bintang itu beserta arahnya.

Solusi

Solusi Latihan 23.11.

Panjang gelombangnya lebih panjang: pergeseran merah, dan bintangnya menjauh. $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda = 3.00 \times 10^{8} \times 0.2/656.3 \approx 9.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Latihan 23.12 ★★★

Sebuah bintang bergoyang dengan $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ karena sebuah planet yang tidak terlihat. Hitunglah amplitudo ayunan panjang gelombang garis $500\,\mathrm{nm}$ , sebagai sebuah panjang dan sebagai bagian dari $\lambda$ . Sebagai orde besar: mengapa perburuan planet harus menunggu spektrograf yang mantap sampai satu bagian dari $10^{7}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 23.12.

$\Delta\lambda = \lambda K/c = 500 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 9.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ ; $\Delta\lambda/\lambda = 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.8 \times 10^{-7}$ . Seluruh isyaratnya hanya dua bagian dari sepuluh juta: spektrograf yang hanyut lebih dari $10^{-7}$ akan menguburnya.

Latihan 23.13 ★★★

Setiap garis pada spektrum sebuah galaksi ditemukan teregang sebesar $2.4\%$ . Hitunglah laju menjauhnya. Para astronom menemukan bahwa laju semacam itu tumbuh sebanding dengan jaraknya, untuk setiap arah langitnya: gambaran apa yang disarankan hal ini? Apakah rumus gerak lambatnya masih dapat dipercaya di sini?

Solusi

Solusi Latihan 23.13.

$v_r = 0.024\,c \approx 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Laju yang sebanding dengan jaraknya, dan sama pada setiap arahnya: semua jaraknya teregang secara seragam — alam semesta yang memuai tanpa pusat yang istimewa. Pada $2.4\%$ , koreksinya berorde $(v_r/c)^2 \approx 6 \times 10^{-4}$ : masih dapat dipercaya.

Latihan 23.14 ★★★

Matahari berputar: satu tepi cakramnya mendekati kita dengan sekitar $2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ sementara tepi yang lain menjauh sama cepatnya. Apa yang dilakukan hal itu terhadap garis $656.3\,\mathrm{nm}$ pada cahaya dari seluruh cakramnya — menggesernya atau melebarkannya? Hitunglah pengaruhnya dalam $\mathrm{nm}$ .

Solusi

Solusi Latihan 23.14.

Kedua tepinya bergeser ke arah yang berlawanan, sehingga garis rata-rata cakramnya melebar, bukan bergeser: lebar penuhnya $2\lambda v/c = 2 \times 656.3 \times 2.0 \times 10^{3}/3.00 \times 10^{8} \approx 8.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ (yaitu sekitar $\pm4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ ).

Latihan 23.15 ★★★

Sebuah mobil polisi dengan $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan sirene $700\,\mathrm{Hz}$ mengejar truk yang melaju $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada arah yang sama. (a) Benarkan $f' = f(v - v_o)/(v - v_s)$ bagi pengemudi truknya. (b) Hitunglah $f'$ . (c) Tunjukkan bahwa jika truknya menyamai laju mobil polisinya, pergeserannya akan lenyap, lalu jelaskan mengapa memang seharusnya demikian.

Solusi

Solusi Latihan 23.15.

(a) Di depan mobilnya, puncaknya berjarak $(v - v_s)T$ ; truknya melarikan diri dengan $v_o$ lalu menemuinya dengan laju relatif $v - v_o$ : $f' = (v - v_o)/\bigl((v - v_s)T\bigr) = f(v - v_o)/(v - v_s)$ . (b) $f' = 700 \times 310/300 \approx 723\,\mathrm{Hz}$ . (c) Dengan $v_o = v_s$ diperoleh $f' = f$ : jaraknya tetap, dan jarak yang tidak berubah berarti tidak ada pergeseran Doppler, menurut definisinya.

23.7 Soal: Perburuan sebuah planet luar surya

Soal 23.1

Soal akhir pekan — perburuan sebuah planet luar surya: sebuah klakson kereta menera telinganya, sebuah pistol radar melatih pergeseran gandanya, dan pada Minggu malam spektrum sebuah bintang, yang bergoyang sebesar satu bagian dari lima juta, sudah menimbang sebuah planet yang belum pernah dilihat siapa pun

Sebuah klub astronomi menghabiskan akhir pekannya pada satu gagasan — pergeseran Doppler — yang dilatih di Bumi, lalu dibidikkan ke bintang serupa Matahari. Datanya: $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ untuk bunyi di udara, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; bintangnya bermassa $M = 2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ . Diterima, dari mekanika orbit lingkaran (Bab 27): sebuah planet bermassa $m$ pada orbit lingkaran berjari-jari $r$ memiliki periode dan laju yang diberikan oleh $r^3 = \frac{G M P^2}{4\pi^2}$ dan $V = \frac{2\pi r}{P}$ , dan bintangnya, yang mengitari pusat massa bersamanya, bergoyang dengan laju $K = \frac{m}{M}\,V$ .

Bagian I — Jumat: perlintasan kereta. Sebuah kereta melintas dengan laju tetap sambil membunyikan klaksonnya; sebuah telepon merekam $f_1 = 471\,\mathrm{Hz}$ selagi kereta itu mendekat, dan $f_2 = 411\,\mathrm{Hz}$ sesudah kereta itu melintas.

Jelaskan, dengan gambaran muka gelombang yang berdesakan, mengapa $f_1 > f_2$ padahal klaksonnya tidak pernah berubah.
Tulislah kedua persamaan yang mengaitkan $f_1$ , $f_2$ dengan frekuensi yang sebenarnya $f$ dan laju keretanya $u$ .
Tunjukkan bahwa $u = v\,\dfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$ lalu hitunglah nilainya dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Tunjukkan bahwa $f = \dfrac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}$ lalu hitunglah nilainya. Mengapa $f$ sedikit di bawah rata-rata $f_1$ dan $f_2$ ?
Hitunglah panjang gelombangnya di depan dan di belakang keretanya, serta panjang gelombang ketika diam.

Bagian II — Sabtu: pistol radar. Sebuah patroli lalu lintas memperagakan radarnya: $f = 24.125\,\mathrm{GHz}$ , dan pistolnya membaca layangan antara gelombang yang keluar dan gemanya.

Jelaskan mengapa gema sebuah mobil yang bergerak tergeser dua kali — sebutkan peran yang dimainkan mobilnya pada tiap pergeserannya.
Tunjukkan bahwa untuk mobil berlaju $u \ll c$ layangannya $\Delta f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .
Sebuah mobil mengembalikan $\Delta f = 3.55\,\mathrm{kHz}$ : hitunglah $u$ .
Ubahlah ke $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ lalu bandingkan dengan batas $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ yang terpasang di sana.
Berapa hertz layangan yang sepadan dengan $1\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ? Berikan ulasanmu: apa yang membuat pergeseran relatif sekecil itu pada gelombang $24\,\mathrm{GHz}$ mudah diukur?

Bagian III — Minggu: bintang yang bergoyang. Klub itu mengunduh kecepatan radial terukur sebuah bintang serupa Matahari, malam demi malam, yang tergambar di bawah ini.

Kecepatan radial bintang itu sepanjang dua belas malam: sinusoid yang bersih — tanda tangan sebuah benda pada orbit lingkaran yang dilihat dari sisinya.

Apa yang sebenarnya diukur, malam demi malam, pada spektrum bintangnya? Nyatakan hubungan yang dipakai untuk mengubahnya menjadi $v_r$ .
Bacalah amplitudo $K$ dan periode $P$ goyangannya dari kurvanya.
Hitunglah ayunan $\Delta\lambda$ yang sepadan untuk garis $550\,\mathrm{nm}$ , dan $\Delta\lambda/\lambda$ . Bandingkan dengan Bagian I: seberapa jauh lebih sulit pengukuran ini daripada pengukuran keretanya?
Mengapa sebuah planet yang tidak terlihat sanggup membuat bintangnya bergoyang sama sekali? Apa yang ditunjukkan bentuk sinusoidnya tentang orbitnya?
Mengapa cara ini hanya mengukur bagian radial gerak bintangnya, dan apa yang akan terlihat jika orbitnya menghadap tegak lurus kepada kita?

Bagian IV — Minggu malam: menimbang yang tak terlihat. Ambillah orbitnya berbentuk lingkaran dan dilihat dari sisinya, sehingga $K$ adalah laju orbit bintangnya seluruhnya.

Dari $P$ dan hubungan yang diterima $r^3 = G M P^2/(4\pi^2)$ , hitunglah jari-jari orbit planetnya $r$ . Bandingkan dengan jarak Bumi–Matahari, $1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ .
Hitunglah laju orbit planetnya $V = 2\pi r/P$ .
Dari $K = (m/M)\,V$ , hitunglah massa planetnya $m$ .
Bandingkan $m$ dengan Jupiter ( $1.9 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ ) dan dengan Bumi ( $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ), serta $r$ dengan jarak Matahari–Merkurius ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). Dunia semacam apa ini?
Jika orbitnya miring dan tidak dilihat dari sisinya, apakah massa yang sebenarnya lebih besar atau lebih kecil daripada nilaimu? Simpulkan dalam satu kalimat: apa yang baru saja diserahkan pergeseran berkala sebesar satu bagian dari lima juta?

Solusi

Solusi Soal 23.1.

1. Tiap puncaknya melebar dari titik tempat puncak itu dipancarkan: puncaknya berdesakan di depan klakson yang bergerak dan meregang di belakangnya, sehingga telepon yang didekatinya menemuinya lebih cepat ( $f_1$ ) daripada telepon yang ditinggalkannya ( $f_2$ ).

2. $f_1 = f\,\dfrac{v}{v - u}$ , $f_2 = f\,\dfrac{v}{v + u}$ .

3. $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,u}{v^2 - u^2}$ dan $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - u^2}$ ; dengan membaginya, $u = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2} = 340 \times 60/882 \approx 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

4. $\dfrac{2f_1 f_2}{f_1 + f_2} = f$ (faktor bersamanya saling menghapus): $f = 2 \times 471 \times 411/882 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ — yaitu rata-rata harmonisnya, di bawah rata-rata $441\,\mathrm{Hz}$ karena mendekat menaikkan $f$ lebih banyak daripada menjauh memotongnya.

5. Di depan: $(v - u)/f = 316.9/439 \approx 0.72\,\mathrm{m}$ ; di belakang: $363.1/439 \approx 0.83\,\mathrm{m}$ ; ketika diam: $340/439 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ .

6. Sekali sebagai pengamat yang bergerak ketika menerima gelombangnya, dan sekali sebagai sumber yang bergerak ketika memancarkan kembali apa yang diterimanya.

7. $f' = f\,(1 + u/c)/(1 - u/c) \approx f(1 + 2u/c)$ , sehingga $\Delta f = f' - f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .

8. $u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 3550/(2 \times 24.125 \times 10^{9}) \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

9. $22.1 \times 3.6 \approx 79\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : tepat di bawah batas $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

10. $\Delta f = 2f/(3.6\,c) \approx 45\,\mathrm{Hz}$ tiap $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Melayangkan gemanya terhadap gelombang yang dipancarkan hanya menyisakan selisihnya: sebuah frekuensi audio yang sepele dicacah, walaupun nilainya hanya bagian $10^{-7}$ dari pembawanya.

11. Panjang gelombang garis spektrum yang sudah dikenal, malam demi malam; lalu $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ .

12. $K = 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 4.2\,\mathrm{hari}$ .

13. $\Delta\lambda = 550 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda/\lambda \approx 1.8 \times 10^{-7}$ — satu bagian dari lima juta, sekitar $4 \times 10^{5}$ kali lebih kecil daripada pergeseran $7\%$ milik keretanya.

14. Bintang dan planetnya saling menarik sama kuat, sehingga keduanya mengorbit pusat massa bersamanya: bintangnya tidak dapat berdiri diam. Nilai $v_r$ yang sinusoidal adalah gerak melingkar beraturan yang dilihat dari sisinya — yaitu orbit lingkaran.

15. Hanya komponen sepanjang garis pandangnya yang mengubah jarak bintang–Bumi, dan karena itu mengubah panjang gelombangnya. Jika dilihat tegak lurus, $v_r = 0$ setiap saat: sama sekali tidak ada isyaratnya.

16. $P = 3.63 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times (3.63 \times 10^{5})^2/(4\pi^2) \approx 4.4 \times 10^{29}$ , sehingga $r \approx 7.6 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ — sekitar $1/20$ jarak Bumi–Matahari.

17. $V = 2\pi r/P = 2\pi \times 7.6 \times 10^{9}/3.63 \times 10^{5} \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

18. $m = M K/V = 2.0 \times 10^{30} \times 55/1.3 \times 10^{5} \approx 8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ .

19. Sekitar $0.4$ massa Jupiter ( $\approx 140$ kali Bumi), yang mengorbit $8$ kali lebih dekat daripada Merkurius: sebuah raksasa gas yang terpanggang di dekat bintangnya — sebuah “Jupiter panas”.

20. Kemiringan menyembunyikan sebagian geraknya: $K$ yang terukur hanya bagian radialnya, sehingga massa yang sebenarnya lebih besar — $8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ adalah nilai terkecilnya. Pergeseran berkala sebesar satu bagian dari lima juta baru saja menyerahkan orbit, laju, dan massa terkecil sebuah planet yang belum pernah dilihat siapa pun.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium