Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

5Gerak Relatif

Seorang penumpang berjalan santai ke arah depan kereta cepat sambil membawa kopi, dengan langkah orang berjalan biasa. Seorang pengamat di tepi rel mencatat penumpang yang sama pada lebih dari $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Kedua pengukuran itu benar. Tidak satu pun merupakan “sang” kelajuan penumpang itu, sebab hal semacam itu tidak ada: gerak bukanlah sifat sebuah benda semata, melainkan sifat sebuah benda beserta sudut pandang yang dipilih untuk melukiskannya. Bab ini menepatkan sudut pandang itu — dan mengajarimu memilih sudut pandang yang baik.

5.1 Gerak bersifat relatif

Definisi 5.1 (Kerangka acuan)

Kerangka acuan adalah sebuah benda tegar — tanah, sebuah gerbong kereta, Bumi seutuhnya — yang menjadi acuan pencatatan kedudukan, beserta sebuah jam untuk menandai waktunya. Sebuah benda dikatakan diam di dalam sebuah kerangka apabila kedudukannya di dalam kerangka itu tidak berubah terhadap waktu; jika tidak, benda itu bergerak di dalam kerangka tersebut.

Definisi 5.2 (Lintasan)

Lintasan sebuah benda di dalam kerangka acuan tertentu adalah kurva yang dibentuk oleh kedudukannya yang berturut-turut di dalam kerangka itu: garis lurus, lingkaran, sebuah busur… Lintasan baru bermakna setelah kerangkanya disebutkan.

Contoh 5.3 (Pejalan di dalam kereta)

Sebuah kereta melaju $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ terhadap tanah, sementara seorang penumpang berjalan ke depan dengan $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ terhadap keretanya.

Di dalam kerangka kereta: penumpang itu bergerak $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ menyusuri lorongnya; kursinya diam; pepohonan di luar melesat mundur dengan $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Di dalam kerangka tanah: kursinya bergerak $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , penumpangnya $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , dan pepohonannya diam.

Pemandangan yang sama, dua kerangka, dua pemerian yang sama sekali berbeda — dan tidak ada percobaan yang dikerjakan di dalam kereta itu yang dapat menyatakan salah satunya “yang sungguhan”.

Proposisi 5.4 (Kerelatifan gerak)

Keadaan diam atau bergeraknya sebuah benda, lintasannya, dan lajunya semuanya bergantung pada kerangka acuan yang dipilih untuk melukiskannya.

Bukti. Satu contoh sudah menuntaskan tiap pernyataan itu. Penumpang yang duduk pada Contoh 5.3 diam di dalam kerangka kereta dan bergerak $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ di dalam kerangka tanah (keadaan diam dan lajunya bergantung pada kerangkanya). Untuk lintasannya, amatilah pentil pada roda sepeda: pengamat yang mengendarai sepeda itu melihat pentilnya melukis lingkaran mengelilingi porosnya, sedangkan pengamat yang berdiri di jalan melihatnya melukis rangkaian lengkungan (kurva yang disebut sikloid) — lihat gambar di bawah. ∎

Pentil yang sama, dua kerangka: sebuah lingkaran bagi pengendara sepeda, sebuah sikloid — rangkaian lengkungan — bagi pengamat di jalan.

Catatan 5.5

Perhatikanlah apa yang tidak berubah pada kedua gambar itu: pentilnya, rodanya, fisikanya. Hanya pemeriannya yang berubah. Bertanya “apakah pentil itu sungguh bergerak melingkar?” sama saja dengan bertanya apakah sebuah gunung “sungguh” berada di sebelah kiri: jawabannya bergantung pada tempatmu berdiri.

5.2 Kelajuan rata-rata

Definisi 5.6 (Kelajuan rata-rata)

Kelajuan rata-rata sebuah benda, di dalam kerangka acuan tertentu, adalah jarak $d$ yang ditempuhnya di dalam kerangka itu dibagi waktu tempuhnya $t$ :

v = \frac{d}{t} .

Dengan $d$ dalam meter dan $t$ dalam sekon, $v$ dinyatakan dalam meter per sekon ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); kehidupan sehari-hari lebih menyukai kilometer per jam ( $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

Metode 5.7 (Mengubah m/s menjadi km/h dan sebaliknya)

Satu kilometer adalah $1000\,\mathrm{m}$ dan satu jam adalah $3600\,\mathrm{s}$ , sehingga $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ :

dari $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ke $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : kalikan dengan $3.6$ ;
dari $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ke $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : bagilah dengan $3.6$ .

Pemeriksaan kewajaran: angka dalam $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ selalu lebih besar di antara keduanya.

Contoh 5.8 (Beberapa kelajuan yang patut diingat)

Jalan cepat: $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 5.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Mobil kota pada $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $54 / 3.6 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — sekitar $15\,\mathrm{m}$ ditempuh tiap sekon, patut diingat sebelum melangkah turun dari trotoar. Bunyi di udara: $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Contoh 5.9 (Pendakian dengan istirahat)

Seorang pendaki menempuh $12\,\mathrm{km}$ dalam $2\,\mathrm{h}$ perjalanan, lalu beristirahat $1\,\mathrm{h}$ , lalu menempuh $6\,\mathrm{km}$ dalam $1.5\,\mathrm{h}$ terakhir. Kelajuan rata-rata sepanjang perjalanan itu:

v = \frac{d}{t} = \frac{12 + 6}{2 + 1 + 1.5} = \frac{18\,\mathrm{km}}{4.5\,\mathrm{h}} = 4.0\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Rata-ratanya memperhitungkan seluruh waktu yang berlalu, termasuk istirahatnya — dan umumnya ia bukan rata-rata dari kelajuan tiap penggalnya.

5.3 Memilih kerangka: tanah, geosentrik, heliosentrik

Karena setiap kerangka sah, kita memilih kerangka yang membuat gerak yang kita perhatikan tampak paling sederhana. Tiga pilihan sudah mencakup hampir seluruh fisika di dalam buku ini.

Definisi 5.10 (Tiga kerangka baku)

Kerangka tanah (atau kerangka laboratorium) terpaut pada permukaan Bumi di tempat percobaannya berlangsung. Inilah kerangka yang tepat untuk gerak sehari-hari: benda jatuh, kendaraan, olahraga, meja laboratorium.
Kerangka geosentrik berpusat di Bumi tetapi tidak ikut berputar bersamanya (arahnya menunjuk bintang-bintang yang jauh). Inilah kerangka yang tepat untuk Bulan dan untuk satelit buatan, yang mengorbit Bumi seutuhnya dan tidak menghiraukan perputaran hariannya.
Kerangka heliosentrik berpusat di Matahari, dengan arah yang lagi-lagi tertambat pada bintang-bintang yang jauh. Inilah kerangka yang tepat untuk planet: masing-masing lalu menempuh orbit yang sederhana dan hampir berbentuk lingkaran.

Tiga kerangka yang bersarang: tanah berputar bersama Bumi, kerangka geosentrik ikut Bumi tanpa berputar, kerangka heliosentrik menonton seluruh tariannya dari Matahari.

Metode 5.11 (Memilih kerangka)

Sebutkanlah benda yang geraknya hendak kamu lukiskan, lalu pilihlah kerangka yang membuat gerak itu paling sederhana:

gerak di dekat permukaan Bumi, yang berlangsung beberapa menit — kerangka tanah;
orbit mengelilingi Bumi (Bulan, satelit) — kerangka geosentrik;
orbit mengelilingi Matahari (planet, komet) — kerangka heliosentrik.

Sebutkanlah selalu pilihanmu sebelum melukiskan sebuah gerak: lintasan atau kelajuan yang disebutkan tanpa kerangkanya tidak bermakna (Proposisi 5.4).

Catatan 5.12 (Siapa yang benar, Ptolemaios atau Copernicus?)

“Matahari terbit di timur” dan “Bumi berputar ke arah timur” adalah pengamatan yang sama yang dilaporkan dalam dua kerangka — yang pertama dalam kerangka tanah, tempat Matahari menyapu langit, yang kedua dalam kerangka geosentrik, tempat pengamatnya terbawa mengelilingi sumbu Bumi. Berabad-abad lamanya kerangkanya sendirilah yang menjadi medan pertempuran: pemerian Ptolemaios yang berpusat di Bumi mengikuti langit dengan tepat tetapi memerlukan lingkaran di atas lingkaran untuk menyusuri planet, sedangkan pemerian yang berpusat di Matahari, yang dihidupkan kembali Copernicus pada tahun 1543, menjadikan tiap planet hampir sebuah lingkaran sederhana dan menjelaskan lengkung mundur Mars yang aneh itu semata-mata sebagai akibat pemilihan kerangka — Bumi yang menyalip planet yang lebih lambat. Putusan modernnya bukanlah bahwa satu kerangka benar dan yang lain salah, melainkan bahwa keduanya tidak sama-sama praktis; ukuran yang lebih dalam untuk lebih menyukai kerangka tertentu (kerangka lembam) tiba bersama asas kelembaman pada Bab 6.

5.4 Memadukan gerak sepanjang satu garis

Apa yang menghubungkan $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ milik si pejalan (kerangka kereta) dengan $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (kerangka tanah)? Sepanjang satu garis, jawabannya adalah penjumlahan biasa.

Proposisi 5.13 (Perpaduan kelajuan pada satu dimensi)

Misalkan sebuah benda bergerak sepanjang sebuah garis di atas tumpuan yang bergerak (jalur berjalan, kereta, air yang mengalir), dan tumpuan itu sendiri meluncur sepanjang garis yang sama terhadap tanah. Dengan memilih arah positif pada garis itu dan menghitung kelajuan beserta tandanya,

v_{\text{benda/tanah}} \;=\; v_{\text{benda/tumpuan}} \;+\; v_{\text{tumpuan/tanah}} .

Dengan kata-kata: kelajuan yang searah dijumlahkan; kelajuan yang berlawanan arah dikurangkan.

Bukti. Selama satu sekon, tumpuannya membawa bendanya sejauh $v_{\text{tumpuan/tanah}}$ meter sepanjang garis itu, dan bendanya maju sejauh $v_{\text{benda/tumpuan}}$ meter sepanjang tumpuannya. Kedua perpindahan itu terjadi sepanjang garis yang sama, sehingga perpindahan seluruhnya terhadap tanah selama sekon itu adalah jumlah aljabar keduanya — dan itulah lajunya terhadap tanah. ∎

Contoh 5.14 (Jalur berjalan)

Jalur berjalan di bandara bergerak $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Seorang pelancong berjalan di atasnya dengan $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap sabuknya, searah gerak sabuk: lajunya terhadap tanah $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Berjalan berlawanan arah dengan langkah yang sama: $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , masih (pelan-pelan) maju melawan sabuknya. Berdiri diam di atas sabuknya: $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap tanah, $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap sabuknya — diam sekaligus bergerak, di dalam dua kerangka yang berbeda.

Perpaduan satu dimensi: anak panahnya digambar sesuai skala, dan anak panah kerangka tanah adalah jumlah kedua anak panah lainnya.

Catatan 5.15 (Dua arah sekaligus)

Apabila kedua geraknya tidak sepanjang garis yang sama — sebuah perahu yang membidik lurus menyeberangi sungai sementara arusnya mendorongnya ke hilir — masing-masing gerak berjalan sendiri-sendiri, dan kecepatannya berpadu sebagai anak panah yang disusun ujung ke pangkal, persis seperti vektor pada jilid matematika. Perahu itu tetap mencapai seberang dalam waktu yang ditentukan kelajuan menyeberangnya saja, tetapi ia mendarat di hilir titik bidikannya, dan lintasannya dalam kerangka tanah adalah garis lurus yang miring. Perlakuan vektor yang lengkap datang pada bab berikutnya; di sini kita hanya membaca gambarnya.

Sebuah perahu yang menuju lurus menyeberangi sungai: dalam kerangka air ia menyeberang lurus; dalam kerangka tanah ia menempuh garis putus-putus yang miring, hanyut ke hilir sambil menyeberang.

5.5 Latihan

Latihan 5.1 ★

Seorang penumpang tertidur di dalam kereta yang melaju $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Nyatakan apakah penumpang itu diam atau bergerak, dan dengan laju berapa, terhadap: gerbongnya; tanah; sebatang pohon di tepi rel; kereta dari arah berlawanan yang melaju $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Lalu lukiskan gerak pohon itu di dalam kerangka kereta si penumpang.

Solusi

Solusi Latihan 5.1.

Terhadap gerbongnya: diam. Terhadap tanah dan terhadap pohonnya: bergerak dengan $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Terhadap kereta dari arah berlawanan: kelajuan yang berlawanan arah dijumlahkan, $100 + 100 = 200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Di dalam kerangka kereta si penumpang, pohon itu bergerak mundur dengan $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ sepanjang garis lurus.

Latihan 5.2 ★

Ubahlah: $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dan $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ menjadi $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ menjadi $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Periksalah tiap jawaban dengan aturan kewajaran pada Metode 5.7.

Solusi

Solusi Latihan 5.2.

$72 / 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $108 / 3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $25 \times 3.6 = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $340 \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Pada tiap pasangan, angka $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ adalah yang lebih besar, sebagaimana dituntut aturan kewajarannya.

Latihan 5.3 ★

Seorang pengendara sepeda menempuh $36\,\mathrm{km}$ dalam $1\,\mathrm{h}$ $30\,\mathrm{min}$ ; seorang pelari cepat menempuh $100\,\mathrm{m}$ dalam $10.0\,\mathrm{s}$ . Hitunglah kedua kelajuan rata-ratanya dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan dalam $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Siapa yang lebih cepat, dan apakah jawabannya mengejutkanmu?

Solusi

Solusi Latihan 5.3.

Pengendara sepeda: $v = \frac{36\,\mathrm{km}}{1.5\,\mathrm{h}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 24/3.6 \approx 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Pelari cepat: $v = \frac{100\,\mathrm{m}}{10.0\,\mathrm{s}} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Si pelari satu setengah kali lebih cepat — tetapi hanya selama sepuluh sekon, sementara pengendara sepeda menahan langkahnya selama satu setengah jam. Kelajuan rata-rata baru adil dibandingkan pada rentang waktu yang sebanding.

Latihan 5.4 ★

Sebuah jalur berjalan bergerak $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Seorang pelancong berjalan $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap sabuknya. Sebutkan laju pelancong itu terhadap tanah ketika berjalan searah sabuknya, ketika melawannya, dan ketika berdiri diam di atas sabuknya.

Solusi

Solusi Latihan 5.4.

Searah: $1.4 + 0.9 = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Melawan sabuknya: $1.4 - 0.9 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Berdiri diam di atas sabuknya: $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ milik sabuk itu sendiri.

Latihan 5.5 ★

Untuk setiap gerak berikut, pilihlah kerangka yang paling praktis di antara kerangka tanah, geosentrik dan heliosentrik, lalu berikan alasannya dalam satu kalimat: sebuah pena yang dijatuhkan di dalam kereta yang berjalan (tambahan: ada kerangka yang bahkan lebih baik); orbit stasiun antariksa internasional; satu tahun Mars; lari cepat $100\,\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 5.5.

Pena yang dijatuhkan: kerangka tanah dapat dipakai, tetapi kerangka kereta lebih baik lagi — di dalamnya pena itu sekadar jatuh lurus ke bawah. Stasiun antariksa: kerangka geosentrik (ia mengorbit Bumi seutuhnya, tanpa menghiraukan perputarannya). Tahun Mars: kerangka heliosentrik (Mars menempuh lingkaran hampir sempurna mengelilingi Matahari). Lari cepat: kerangka tanah (garis mulai, garis akhir dan pencatat waktunya semua tertambat pada tanah).

Latihan 5.6 ★★

Sebuah kereta melaju $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Seorang penumpang berjalan ke depan dengan $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap keretanya.

Ubahlah laju keretanya ke $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , lalu sebutkan laju penumpang itu terhadap tanah, ketika berjalan ke depan dan ketika berjalan ke belakang.
Gerbongnya sepanjang $60\,\mathrm{m}$ . Berapa lama perjalanan ke depan itu, dan sejauh apa penumpang itu berpindah terhadap tanah selama perjalanan tersebut?

Solusi

Solusi Latihan 5.6.

1. $108/3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ke arah depan: $30 + 1.5 = 31.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; ke arah belakang: $30 - 1.5 = 28.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. Terhadap keretanya, penumpang itu menempuh $60\,\mathrm{m}$ dengan $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t = 60/1.5 = 40\,\mathrm{s}$ . Terhadap tanah, penumpang itu menempuh $31.5 \times 40 = 1260\,\mathrm{m}$ — yaitu $1200\,\mathrm{m}$ yang dibawa keretanya ditambah $60\,\mathrm{m}$ yang dijalaninya, sebagaimana diramalkan aturan perpaduannya.

Latihan 5.7 ★★

Laju sebuah perahu di air yang tenang adalah $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; sebuah sungai mengalir $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Perahu itu menempuh $420\,\mathrm{m}$ ke hilir, berputar arah, lalu kembali.

Hitunglah laju perahu itu terhadap tepian pada tiap penggalnya, dan lama tiap penggalnya.
Hitunglah kelajuan rata-rata sepanjang perjalanan pulang pergi itu. Mengapa nilainya kurang dari $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , padahal arusnya membantu pada satu penggal persis sebanyak ia menghambat pada penggal yang lain?

Solusi

Solusi Latihan 5.7.

1. Ke hilir: $5.0 + 2.0 = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sehingga $t_1 = 420/7.0 = 60\,\mathrm{s}$ . Ke hulu: $5.0 - 2.0 = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sehingga $t_2 = 420/3.0 = 140\,\mathrm{s}$ .

2. Kelajuan rata-ratanya: $v = \frac{840}{60 + 140} = \frac{840}{200} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bantuan dan hambatan arusnya sama dalam kelajuan tetapi tidak sama dalam waktu: perahu itu menghabiskan $140\,\mathrm{s}$ dalam keadaan diperlambat dan hanya $60\,\mathrm{s}$ dalam keadaan dibantu, sehingga penggal yang lambat menguasai rata-ratanya.

Latihan 5.8 ★★

Dua kereta berpapasan pada rel yang sejajar: kereta A (panjang $180\,\mathrm{m}$ ) pada $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , kereta B (panjang $90\,\mathrm{m}$ ) pada $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Keduanya berjalan berlawanan arah. Berapa laju B di dalam kerangka A, dan berapa lama seluruh papasannya berlangsung (dari saat kedua moncongnya bertemu sampai kedua ekornya berpisah)?
Pertanyaan yang sama jika keduanya berjalan searah.

Solusi

Solusi Latihan 5.8.

1. Berlawanan arah: di dalam kerangka A, B mendekat dengan $25 + 20 = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Papasannya selesai ketika B telah melewati panjang gabungan $180 + 90 = 270\,\mathrm{m}$ : $t = 270/45 = 6.0\,\mathrm{s}$ .

2. Searah: laju relatifnya $25 - 20 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dan $t = 270/5.0 = 54\,\mathrm{s}$ — sembilan kali lebih lama, dan itulah sebabnya menyalip truk terasa tidak berkesudahan.

Latihan 5.9 ★★

Sebuah sepeda melaju di jalan yang lurus. Lukiskan lintasan pentil bannya di dalam: kerangka pengendaranya; kerangka tanah; dan kerangka pentil itu sendiri. Lukiskan pula lintasan poros rodanya di dalam kerangka tanah. Tanpa perhitungan — sebutkan saja nama tiap kurvanya.

Solusi

Solusi Latihan 5.9.

Kerangka pengendara sepeda: sebuah lingkaran (lingkaran peleknya, berpusat di poros). Kerangka tanah: sebuah sikloid — rangkaian lengkungan, satu untuk tiap putaran roda. Kerangka pentil itu sendiri: pentilnya diam, sebuah titik tunggal. Porosnya di dalam kerangka tanah: garis lurus mendatar setinggi satu jari-jari roda.

Latihan 5.10 ★★

Panjang khatulistiwa Bumi kira-kira $40\,000\,\mathrm{km}$ , dan Bumi berputar satu kali dalam $24\,\mathrm{h}$ .

Hitunglah laju sebuah titik di khatulistiwa di dalam kerangka geosentrik, dalam $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dan dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
Jelaskan dalam satu kalimat untuk masing-masing: mengapa kita tidak merasakan laju ini, dan mengapa “Matahari terbit” dan “Bumi berputar” melaporkan pengamatan yang sama.

Solusi

Solusi Latihan 5.10.

1. $v = \frac{40\,000\,\mathrm{km}}{24\,\mathrm{h}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 1667/3.6 \approx 463\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lebih cepat daripada bunyi.

2. Kita tidak merasakannya karena segala sesuatu di sekitar kita — tanah, udara, bangunan — ikut serta dalam gerak yang persis sama, sehingga tidak ada apa pun yang bergerak terhadap kita (dan asas kelembaman, Bab 6, akan menjelaskan mengapa gerak beraturan yang dijalani bersama tidak dapat dideteksi dari dalam). “Matahari terbit” adalah laporan kerangka tanah dan “Bumi berputar” adalah laporan kerangka geosentrik untuk satu pengamatan yang sama.

Latihan 5.11 ★★

Dengan berdiri diam di atas eskalator yang bergerak, perjalanan naiknya memakan $60\,\mathrm{s}$ . Berjalan naik di eskalator yang sama ketika ia dimatikan memakan $90\,\mathrm{s}$ . Berapa lama berjalan naik di eskalator yang bergerak? (Bekerjalah dengan kelajuannya, bukan dengan waktunya.)

Solusi

Solusi Latihan 5.11.

Misalkan $L$ adalah panjang eskalatornya. Laju eskalatornya: $L/60$ ; laju berjalannya: $L/90$ . Ketika berjalan di eskalator yang bergerak, kelajuannya dijumlahkan:

v = \frac{L}{60} + \frac{L}{90} = L\left(\frac{3 + 2}{180}\right) = \frac{L}{36},

sehingga perjalanannya memakan $36\,\mathrm{s}$ . (Bukan rata-rata dari $60$ dan $90$ : kelajuan yang dijumlahkan, bukan waktunya.)

Latihan 5.12 ★★★

Seorang pengemudi menempuh jarak yang sama dua kali: berangkat pada $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , kembali pada $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Tunjukkan bahwa kelajuan rata-rata perjalanan pulang perginya adalah $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — bukan $75\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Jelaskan di mana letak kesalahan jawaban yang serampangan, lalu nyatakan penggal mana yang menguasai rata-ratanya.

Solusi

Solusi Latihan 5.12.

1. Untuk jarak $d$ pada tiap arah: $t = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} = d\,\frac{3 + 2}{180} = \frac{d}{36}$ , sehingga $v = \frac{2d}{d/36} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

2. Angka $75$ yang serampangan itu merata-ratakan kedua kelajuannya seolah-olah pengemudinya menghabiskan waktu yang sama pada masing-masing; kenyataannya jaraknyalah yang sama, sehingga penggal yang lebih lambat berlangsung lebih lama ( $\frac{d}{60} > \frac{d}{90}$ ) dan menyeret rata-ratanya ke arah $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Kelajuan rata-rata adalah jarak seluruhnya dibagi waktu seluruhnya — tidak ada yang lain.

Latihan 5.13 ★★★

Dua pengendara sepeda mulai dari jarak $35\,\mathrm{km}$ dan mengayuh saling mendekat, yang satu $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , yang lain $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Lukiskan gerak pengendara kedua di dalam kerangka pengendara pertama, lalu simpulkan kapan keduanya bertemu.
Sejauh apa masing-masing telah mengayuh pada saat bertemu?
Jika sebaliknya keduanya mengayuh searah (yang lebih cepat berada di belakang), berapa lama pengejarannya berlangsung?

Solusi

Solusi Latihan 5.13.

1. Di dalam kerangka pengendara pertama, yang kedua mendekat menyusuri garis lurus dengan $15 + 20 = 35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dari jarak $35\,\mathrm{km}$ : keduanya bertemu tepat setelah $1.0\,\mathrm{h}$ .

2. Yang pertama telah mengayuh $15 \times 1 = 15\,\mathrm{km}$ , yang kedua $20 \times 1 = 20\,\mathrm{km}$ — seluruhnya $35\,\mathrm{km}$ , sebagaimana seharusnya.

3. Searah: laju pendekatannya $20 - 15 = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , sehingga pengejarannya berlangsung $35/5 = 7\,\mathrm{h}$ .

Latihan 5.14 ★★★

Seorang perenang menyeberangi sungai selebar $60\,\mathrm{m}$ , menuju lurus ke seberang dengan $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap airnya; arusnya mengalir $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Jelaskan mengapa waktu menyeberangnya ditentukan oleh kelajuan menyeberang si perenang saja, lalu hitunglah waktunya.
Sejauh apa ke hilir perenang itu mendarat?
Dengan segitiga siku-siku, tentukan laju perenang itu di dalam kerangka tanah dan panjang lintasan yang benar-benar direnangi terhadap tanah.

Solusi

Solusi Latihan 5.14.

1. Arusnya mendorong si perenang menyusuri sungai, bukan menyeberanginya: kedua gerak itu berpadu sendiri-sendiri, dan kemajuan menuju tepian seberang tetap terjadi dengan $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tanpa menghiraukan hanyutnya. Waktu menyeberangnya: $t = 60/1.2 = 50\,\mathrm{s}$ .

2. Hanyutnya: $0.9 \times 50 = 45\,\mathrm{m}$ ke hilir.

3. Kecepatan dalam kerangka tanah adalah sisi miring segitiga siku-siku bersisi tegak $1.2$ dan $0.9$ : $v = \sqrt{1.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{2.25} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (segitiga $3$ – $4$ – $5$ yang diskalakan dengan $0.3$ ). Panjang lintasannya: $1.5 \times 50 = 75\,\mathrm{m}$ — atau langsung $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\,\mathrm{m}$ .

Latihan 5.15 ★★★

Bumi mengorbit Matahari pada lingkaran hampir sempurna berjari-jari $1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , dalam satu tahun ( $3.16 \times 10^{7}$ sekon).

Hitunglah laju Bumi di dalam kerangka heliosentrik, dalam $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
Bandingkan dengan laju perputaran khatulistiwa yang diperoleh pada Latihan 5.10.
Dilihat dari Bumi, Mars kadang-kadang tampak berhenti lalu bergeser mundur di antara bintang selama beberapa pekan. Jelaskan dalam dua kalimat, dengan kosakata bab ini, mengapa kerangka heliosentrik melarutkan kejanggalan itu.

Solusi

Solusi Latihan 5.15.

1. $v = \frac{2\pi \times 1.50 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} = \frac{9.42 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

2. $30 / 0.46 \approx 65$ : Bumi membawa kita mengelilingi Matahari sekitar enam puluh lima kali lebih cepat daripada ia memutar kita mengelilingi sumbunya.

3. Di dalam kerangka geosentrik, lintasan tampak Mars memadukan gerak orbitnya sendiri dengan gerak orbit Bumi, dan ketika Bumi yang lebih cepat menyalip Mars, paduannya berjalan mundur selama beberapa pekan. Di dalam kerangka heliosentrik kedua planet itu sekadar mengelilingi Matahari dengan laju yang tetap — “lengkung mundur” itu bukan gerak Mars melainkan buatan kerangkanya.

5.6 Soal: Jalur berjalan, sungai, dan satelit

Soal 5.1

Soal akhir pekan — jalur berjalan, sungai dan satelit: siapa yang bergerak, terhadap apa, dan laporan kelajuan terakhir bagi si pelancong yang duduk di kursi malas

Sebuah bandara, sebuah penyeberangan feri, dan sebuah titik terang yang meluncur melintasi langit senja: tiga pemandangan sehari-hari, satu pertanyaan yang diajukan tiga kali — siapa yang bergerak, terhadap apa? Tiap bagian memilih kerangkanya, menghitung, lalu menyaksikan jawabannya berubah bersama sudut pandangnya; penutupnya menjumlahkan seberapa cepat kamu bergerak saat ini juga, sambil duduk benar-benar diam.

Bagian I — Lomba di jalur berjalan. Sebuah jalur berjalan di bandara panjangnya $90\,\mathrm{m}$ dan bergerak $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Seorang pelancong berjalan $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (terhadap apa pun yang ada di bawah kakinya).

Berapa lama jalur itu membawa pelancong yang berdiri diam dari ujung ke ujung?
Berapa lama pelancong itu berjalan di atas sabuk yang bergerak, searah dengan sabuknya?
Berapa lama jika ia berjalan di samping jalur itu, di atas lantai yang diam?
Seorang pengusil berjalan melawan arah di atas sabuknya, dengan $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap sabuk itu. Berapa lajunya terhadap tanah, dan berapa lama ia sampai dari ujung jauh kembali ke pintu masuk?
Seorang anak berlari melawan arah tepat $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap sabuknya. Lukiskan gerak anak itu di dalam kerangka tanah, dan sebutkan nama alat kebugaran yang ditemukan ulang di sini.
Rangkumlah pertanyaan 1–5 dalam tabel dua lajur: laju tiap pelaku di dalam kerangka sabuk dan di dalam kerangka tanah. Lajur yang mana yang dirasakan kaki para pelancong itu?

Bagian II — Sungai. Sebuah feri menyeberangi sungai selebar $120\,\mathrm{m}$ . Lajunya terhadap air adalah $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; arusnya mengalir $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Mula-mula juru mudinya membidik lurus ke tepian seberang.

Berapa lama penyeberangannya?
Sejauh apa ke hilir feri itu mendarat?
Dengan segitiga siku-siku, hitunglah laju feri itu di dalam kerangka tanah dan panjang lintasannya dalam kerangka tanah. (Sebuah tripel bilangan yang sudah dikenal akan muncul.)
Lukiskan lintasan feri itu di dalam kerangka air dan di dalam kerangka tanah. Apa yang sama pada keduanya, dan apa yang berbeda?
Seorang perenang yang lajunya terhadap air $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ berangkat dari tepian yang sama, membidik lurus ke seberang seperti ferinya. Berapa lama penyeberangannya, dan sejauh apa ke hilir perenang itu mendarat? Hitunglah laju perenang itu dalam kerangka tanah (lagi-lagi dengan segitiga siku-siku). Mengapa perenang yang lebih lambat justru hanyut lebih jauh daripada ferinya?
Sebatang kayu hanyut melewati feri itu. Sebutkan lajunya di dalam kerangka tanah dan di dalam kerangka air. Di dalam kerangka yang mana kayu itu “bergerak”? Berikan ulasanmu.

Bagian III — Lintasan satelit. Pada waktu senja, stasiun antariksa internasional melintasi langit dalam beberapa menit. Ia mengorbit pada ketinggian $400\,\mathrm{km}$ ; jari-jari Bumi $6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , dan satu orbit memakan $5.56 \times 10^{3}\,\mathrm{s}$ (sekitar $93\,\mathrm{min}$ ).

Di dalam kerangka baku yang mana gerak stasiun itu paling sederhana? Hitunglah lajunya di dalam kerangka tersebut, dalam $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
Jelaskan dalam dua kalimat mengapa kerangka tanah melukiskan stasiun itu dengan janggal — apa yang terjadi pada jejaknya di atas permukaan Bumi antara satu orbit dan orbit berikutnya?
Bandingkan laju orbit stasiun itu dengan laju perputaran khatulistiwa ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ): dengan faktor berapa stasiun itu lebih cepat?
Sebuah satelit geostasioner mengorbit pada jari-jari $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ tepat dalam satu hari ( $8.64 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ ). Hitunglah lajunya di dalam kerangka geosentrik, lalu lukiskan geraknya di dalam kerangka tanah. Damaikan kedua jawaban itu dalam satu kalimat.
Di dalam kerangka geosentrik Bulan melukis lingkaran hampir sempurna mengelilingi Bumi dalam sekitar $27$ hari. Sketsalah dengan kata-kata lintasannya di dalam kerangka heliosentrik sepanjang beberapa bulan.

Bagian IV — Siapa yang bergerak?

“Matahari terbit di timur.” “Bumi berputar ke arah timur.” Sebutkan kerangka yang membuat tiap kalimat itu melukiskan pengamatannya, dan jelaskan mengapa tidak satu pun yang salah.
Dalam satu paragraf yang tenang: apa yang dikerjakan dengan baik oleh kerangka Ptolemaios, apa yang disederhanakan kerangka Copernicus (sebutkan lengkung mundur Mars), dan mengapa putusan modernnya berkenaan dengan kepraktisan dan bukan dengan satu kerangka yang benar?
Laporan kelajuan si pelancong berkursi malas. Kamu duduk diam di sebuah kursi malas di dekat khatulistiwa. Sebutkan lajumu di dalam kerangka tanah, di dalam kerangka geosentrik ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), dan di dalam kerangka heliosentrik ( $\approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). Lalu hitunglah jarak yang kamu tempuh di dalam kerangka heliosentrik selama film $90\,\mathrm{min}$ , dan tutuplah soal ini dengan pesan moral bab ini dalam satu kalimat.

Solusi

Solusi Soal 5.1.

1. $t = 90/1.0 = 90\,\mathrm{s}$ .

2. Laju terhadap tanah $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t = 90/2.5 = 36\,\mathrm{s}$ .

3. $t = 90/1.5 = 60\,\mathrm{s}$ .

4. $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terhadap tanah, melawan arah sabuknya: $t = 90/0.5 = 180\,\mathrm{s}$ — tiga menit penuh berjalan cepat.

5. Laju terhadap tanah $1.0 - 1.0 = 0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : anak itu berlari sekuat tenaga dan tidak beranjak ke mana-mana, diam di dalam kerangka tanah sambil berlari kencang di dalam kerangka sabuknya. Itulah sebuah ban berjalan untuk berlari.

6. Kerangka sabuk / kerangka tanah: pelancong yang berdiri $0$ / $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; pejalan searah sabuk $1.5$ / $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; pejalan di atas lantai $0.5$ (lantainya meluncur mundur di dalam kerangka sabuk) / $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; si pengusil $1.5$ / $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; anak itu $1.0$ / $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Kaki tiap pelaku merasakan lajur kerangka apa pun yang ada di bawah kakinya — lajur kerangka sabuk bagi mereka yang menumpang sabuknya, lajur kerangka tanah bagi pejalan di atas lantai: usahanya adalah laju berjalan terhadap apa yang ada di bawah kaki.

7. Kemajuan menyeberangi sungainya tetap terjadi dengan $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ apa pun yang dilakukan arusnya: $t = 120/2.0 = 60\,\mathrm{s}$ .

8. Hanyutnya: $1.5 \times 60 = 90\,\mathrm{m}$ ke hilir.

9. Laju terhadap tanah: sisi miring segitiga siku-siku bersisi tegak $2.0$ dan $1.5$ : $v = \sqrt{2.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Panjang lintasannya: $2.5 \times 60 = 150\,\mathrm{m}$ — lagi-lagi tripel $3$ – $4$ – $5$ , diskalakan menjadi $90$ – $120$ – $150$ .

10. Kerangka air: garis lurus sepanjang $120\,\mathrm{m}$ , tegak lurus tepiannya. Kerangka tanah: garis lurus juga, tetapi miring, dan panjangnya $150\,\mathrm{m}$ . Bentuknya sama (lurus), arah dan panjangnya berbeda: lintasan itu milik kerangkanya, bukan milik ferinya.

11. Kemajuan menyeberangnya terjadi dengan $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sehingga $t = 120/1.0 = 120\,\mathrm{s}$ . Hanyutnya: $1.5 \times 120 = 180\,\mathrm{m}$ — dua kali $90\,\mathrm{m}$ milik ferinya. Laju terhadap tanah: sisi miring dengan sisi tegak $1.0$ dan $1.5$ : $v = \sqrt{1.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{3.25} \approx 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Perenang yang lebih lambat memerlukan waktu dua kali lipat untuk menyeberang, sehingga arus yang sama memiliki waktu dua kali lipat untuk membawanya ke hilir.

12. Kerangka tanah: kayu itu hanyut dengan $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ milik arusnya. Kerangka air: kayu itu diam, mengapung bersama air di sekelilingnya. Apakah kayu itu “bergerak” tidak memiliki jawaban yang bebas kerangka — dan justru itulah inti bab ini.

13. Kerangka geosentrik. Jari-jari orbitnya $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , sehingga

v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \times 6.77 \times 10^{6}}{5.56 \times 10^{3}} \approx 7.65 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

14. Sementara stasiun itu menyelesaikan satu orbit, Bumi berputar di bawahnya sekitar $23^\circ$ , sehingga jejaknya di atas permukaan bergeser ke barat pada tiap lintasan. Di dalam kerangka tanah, lintasan stasiun itu berupa kurva berombak yang rumit dan tidak pernah berulang persis; di dalam kerangka geosentrik ia satu lingkaran hampir sempurna yang tetap.

15. $7.65 / 0.46 \approx 17$ : stasiun itu mengungguli khatulistiwa yang berputar kira-kira tujuh belas kali lipat, dan itulah sebabnya ia melintasi seluruh langit dalam hitungan menit.

16. $v = \frac{2\pi \times 4.22 \times 10^{7}}{8.64 \times 10^{4}} \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ di dalam kerangka geosentrik. Di dalam kerangka tanah ia diam, menggantung di atas satu titik tetap di khatulistiwa — ia mengelilingi sumbu Bumi tepat dalam waktu yang sama dengan tanahnya sendiri, sehingga kedua geraknya saling meniadakan di dalam kerangka tanah. Diam sekaligus $3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : keduanya benar, masing-masing pada kerangkanya.

17. Di dalam kerangka heliosentrik Bulan pada dasarnya menempuh orbit Bumi — lingkaran raksasa yang hampir sempurna mengelilingi Matahari — yang dilapisi goyangan lembut berdaur $27\,\mathrm{hari}$ . Pengaruh Matahari begitu menguasai sehingga lintasannya selalu melengkung ke arah Matahari; lintasan itu tidak pernah berbalik melengkung mundur.

18. “Matahari terbit” adalah laporan di dalam kerangka tanah, tempat pengamatnya diam dan Matahari menyapu langit. “Bumi berputar” adalah laporan di dalam kerangka geosentrik, tempat arah Matahari tetap dan pengamatnya terbawa ke timur mengelilingi sumbunya. Keduanya melukiskan pengamatan yang sama; masing-masing benar di dalam kerangkanya sendiri, dan Proposisi 5.4 menyatakan bahwa tidak ada pengamatan atas geraknya saja yang dapat memutuskan perkara itu.

19. Kerangka Ptolemaios yang berpusat di Bumi mengikuti gerak harian langit secara alami dan meramalkan kedudukan planet dengan cukup memadai, tetapi hanya dengan harga lingkaran di atas lingkaran (episikel) untuk menghasilkan kembali kelana tiap planet. Kerangka Copernicus yang berpusat di Matahari menjadikan tiap planet lingkaran hampir sempurna yang tetap dan mengubah lengkung mundur Mars menjadi sekadar akibat pemilihan kerangka — Bumi yang menyalip pelari yang lebih lambat di lintasan sebelah dalam. Putusan modernnya bukanlah bahwa Matahari “sungguh” diam (Matahari pun bergerak, mengelilingi pusat galaksi) melainkan bahwa kerangka adalah alat: kerangka heliosentrik membuat gerak planet jauh lebih sederhana, dan kesederhanaan, bukan kebenaran, adalah gunanya sebuah kerangka.

20. Kerangka tanah: $0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — diam di kursi malas. Kerangka geosentrik: sekitar $0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , terbawa mengelilingi sumbu Bumi. Kerangka heliosentrik: sekitar $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , terbawa mengelilingi Matahari. Selama film $90\,\mathrm{min}$ : $d = 3.0 \times 10^{4} \times 5400 \approx 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 160\,000\,\mathrm{km}$ — hampir separuh jalan menuju Bulan tanpa beranjak dari kursi malas. Pesan moralnya: gerak bukan sifat sebuah benda melainkan sifat sebuah benda beserta kerangkanya; pilihlah kerangka yang membuat ceritanya sederhana, dan sebutkanlah selalu kerangka mana yang kamu pilih.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium