Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

26Jatuh Bebas dan Gerak Proyektil

Setiap semburan selang taman melukis kurva yang sama di udara. Begitu pula bola basket yang melengkung menuju ringnya, seorang pelompat jauh, sebutir peluru meriam: benda apa pun yang diserahkan kepada beratnya. Bab ini memperoleh kurva itu — sebuah parabola — dari hukum kedua Newton dalam dua baris kalkulus, membaca puncaknya, waktu terbangnya dan jangkauannya dari persamaannya, lalu membiarkan udaranya kembali masuk untuk melihat apa yang dirusaknya.

26.1 Jatuh bebas

Definisi 26.1 (Jatuh bebas)

Sebuah benda berada dalam jatuh bebas apabila satu-satunya gaya yang bekerja padanya adalah beratnya $\vect P = m\vect g$ : tanpa penopang, tanpa tali, hambatan udaranya terabaikan. Batu yang dijatuhkan atau bola yang sudah lepas dari tangan berada, dengan ketelitian yang baik, dalam jatuh bebas — “jatuh” mencakup naiknya juga.

Teorema 26.2 (Hukum jatuh bebas Galileo)

Dalam jatuh bebas, semua benda berbagi percepatan yang sama, berapa pun massanya:

\vect a = \vect g, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},

yang terarah lurus ke bawah: kuat medan $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ pada Bab 4 dalam busananya yang lain, $\mathrm{N}/\mathrm{kg} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Bukti. Hukum kedua Newton (Bab 25) dengan beratnya sebagai satu-satunya gaya: $m\vect a = m\vect g$ , dan massanya saling meniadakan. Palu dan bulu berbeda hanya karena udaranya. ∎

Proposisi 26.3 (Jatuh tegak dari keadaan diam)

Dijatuhkan dari keadaan diam, dengan kedalaman jatuh $h$ dihitung ke bawah dari titik lepasnya, sebuah benda dalam jatuh bebas menaati

a = g, \qquad v = g t, \qquad h = \tfrac12\, g t^2 .

Bukti. $v(t)$ adalah antiturunan dari tetapan $a = g$ yang lenyap pada $t = 0$ (Bab 24); $h(t)$ antiturunan dari $v = gt$ yang lenyap pada $t = 0$ . ∎

Contoh 26.4 (Orde besaran)

Setelah $1$ , $2$ , $3$ sekon jatuh bebas: $v = 9.8$ , $19.6$ , $29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $35$ , $71$ , $106\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) dan $h = 4.9$ , $19.6$ , $44.1\,\mathrm{m}$ . Dari atap setinggi $30\,\mathrm{m}$ : $t = \sqrt{2h/g} \approx 2.5\,\mathrm{s}$ , tiba pada $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $\approx 87\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Waktunya tumbuh seperti $\sqrt h$ — dan lewat beberapa sekon udaranya menolak tetap terabaikan (bagian terakhir).

Contoh 26.5 (Lemparan tegak)

Dilempar lurus ke atas pada $v_0$ , sumbu $Oy$ ke atas dari tangannya: kedua antiturunan yang sama memberikan $v = v_0 - gt$ dan $y = v_0 t - \tfrac12 gt^2$ . Puncaknya, tempat $v = 0$ , tercapai pada $t = v_0/g$ , dengan tinggi $h = v_0^2/2g$ — jawaban energi $v_0 = \sqrt{2gh}$ pada Bab 18 yang dijalankan mundur; dilempar ke bawah, $v_0$ berganti tanda. Untuk $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : puncaknya $11.5\,\mathrm{m}$ pada $1.53\,\mathrm{s}$ , kembali pada $3.06\,\mathrm{s}$ , pada $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

26.2 Proyektil: satu hukum, dua antiturunan

Definisi 26.6 (Proyektil)

Proyektil adalah benda yang diluncurkan dengan kecepatan $\vect v_0$ lalu ditinggalkan dalam jatuh bebas. Sumbunya di titik luncurnya: $Ox$ mendatar di dalam bidang tegak $\vect v_0$ , $Oy$ tegak ke atas; sudut lontar $\alpha$ milik $\vect v_0$ di atas garis mendatar menetapkan koordinatnya $(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha)$ .

Teorema 26.7 (Persamaan geraknya)

Sebuah proyektil yang diluncurkan dari titik asalnya dengan laju $v_0$ dan sudut $\alpha$ memiliki $\vect a = (0,\,-g)$ pada setiap saat, sehingga

\vect v(t) = \bigl(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha - g t\bigr), \qquad \begin{cases} x(t) = v_0\cos\alpha\; t,\\[2pt] y(t) = v_0\sin\alpha\; t - \tfrac12\, g t^2 . \end{cases}

Bukti. Hukum kedua Newton memberikan $\vect a = \vect g = (0,-g)$ . Antiturunannya sumbu demi sumbu: $\vect v(t)$ dari $\vect a$ dengan nilai awal $(v_0\cos\alpha,\, v_0\sin\alpha)$ , lalu kedudukannya dari $\vect v$ , dari $(0,0)$ . ∎

Proposisi 26.8 (Kebebasan kedua geraknya)

Gerak mendatarnya beraturan — $v_x$ tidak pernah berubah — dan gerak tegaknya persis lemparan tegak pada bagian sebelumnya: tidak ada persamaan yang menyebutkan koordinat milik yang lain. Khususnya, bola yang ditembakkan mendatar dan bola yang dijatuhkan pada saat yang sama dari ketinggian yang sama tetap sejajar satu sama lain — keduanya mendarat bersamaan.

Bukti. Pada Teorema 26.7, $x(t)$ hanya melibatkan $v_0\cos\alpha$ , $y(t)$ hanya $v_0\sin\alpha$ dan $g$ ; kedua bolanya memiliki $v_y(0) = 0$ , sehingga keduanya menaati $h = \tfrac12 gt^2$ . ∎

Satu bola dijatuhkan, satu ditembakkan mendatar pada saat yang sama: pada tiap waktu t_1, t_2, t_3 ketinggiannya sama — laju tidak menunda apa pun. — Satu bola dijatuhkan, satu ditembakkan mendatar pada saat yang sama: pada tiap waktu $t_1$ , $t_2$ , $t_3$ ketinggiannya sama — laju tidak menunda apa pun.

Catatan 26.9 (Monyet yang jatuh)

Seorang penjaga kebun binatang membidikkan panah bius tepat ke arah seekor monyet, yang melepaskan dahannya saat tembakannya. Langkah yang keliru: panah dan monyetnya masing-masing turun $\tfrac12 gt^2$ di bawah kedudukan tanpa-gravitasinya — garis bidiknya, dahannya — sehingga keduanya bertemu persis, berapa pun laju panahnya (Latihan 26.15).

26.3 Parabolanya, dibaca selengkapnya

Teorema 26.10 (Lintasannya)

Dengan melenyapkan $t$ antara $x(t)$ dan $y(t)$ : lintasan sebuah proyektil ( $0 \leq \alpha < 90{}^{\circ}$ ) adalah parabola yang terbuka ke bawah

y = x\tan\alpha \;-\; \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\, x^2 .

Bukti. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ , yang disulihkan ke dalam $y(t)$ pada Teorema 26.7. ∎

Kecepatannya sepanjang penerbangannya: v_x tidak pernah berubah; v_y menyusut, lenyap di puncaknya, lalu berbalik — anak panahnya condong, parabolanya mengikuti. — Kecepatannya sepanjang penerbangannya: $\vect v_x$ tidak pernah berubah; $\vect v_y$ menyusut, lenyap di puncaknya, lalu berbalik — anak panahnya condong, parabolanya mengikuti.

Definisi 26.11 (Jangkauan)

Untuk proyektil di atas tanah yang rata, jangkauan $R$ adalah jarak mendatar yang ditempuhnya ketika ia kembali ke ketinggian luncurnya; waktu terbang $t_f$ adalah lama perjalanan itu.

Proposisi 26.12 (Puncak, waktu terbang, jangkauan)

Di atas tanah yang rata, dengan $0 < \alpha < 90{}^{\circ}$ :

t_f = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad h_{\text{puncak}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g} \ \ \text{tercapai pada } t_f/2, \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.

Jangkauannya terbesar pada $\alpha = 45{}^{\circ}$ , tempat $R = v_0^2/g$ ; sudut yang berpelurus $\alpha$ dan $90{}^{\circ} - \alpha$ memberikan jangkauan yang sama.

Bukti. $y = 0$ memberikan $t\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 gt) = 0$ : saat luncurnya, dan $t_f$ . Puncaknya, $v_y = 0$ , terletak pada $t = v_0\sin\alpha/g = t_f/2$ ; sulihkanlah ke dalam $y(t)$ . Selanjutnya $R = x(t_f) = 2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ . Sinusnya memuncak pada $2\alpha = 90{}^{\circ}$ , dan $\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$ . ∎

Laju luncur yang sama v_0 = 10\, m/ s, lima sudut: 45 melempar paling jauh; pasangan (15,75) dan (30,60) mendarat bersamaan — yang satu datar dan cepat, yang lain tinggi dan lambat. — Laju luncur yang sama $v_0 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , lima sudut: $45{}^{\circ}$ melempar paling jauh; pasangan ( $15{}^{\circ}$ , $75{}^{\circ}$ ) dan ( $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ ) mendarat bersamaan — yang satu datar dan cepat, yang lain tinggi dan lambat.

Contoh 26.13 (Tendangan gawang)

Seorang penjaga gawang menendang pada $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 45{}^{\circ}$ : $R = 25^2/9.81 \approx 64\,\mathrm{m}$ ; tendangan yang sesungguhnya mendarat lebih dekat, sekitar $55\,\mathrm{m}$ — potongan yang diambil udaranya.

Metode 26.14 (Pembukuan proyektil)

Sumbunya di titik luncurnya, $Ox$ mendatar, $Oy$ ke atas; koordinat $\vect v_0$ .
Periksalah jatuh bebasnya (hanya beratnya): maka $\vect a = (0,-g)$ ; antiturunannya dua kali, syarat awalnya tiap kali.
Pertanyaan tentang sebuah tempat: lenyapkanlah $t$ (lintasannya). Tentang sebuah saat: pertahankanlah $t$ .
Kamusnya: puncaknya $\Leftrightarrow v_y = 0$ ; ketinggian luncurnya $\Leftrightarrow y = 0$ ; dinding di $d \Leftrightarrow x = d$ ; lantai sedalam $\ell$ di bawahnya $\Leftrightarrow y = -\ell$ .
Kewarasannya: penerbangannya setangkup terhadap puncaknya; $R \leq v_0^2/g$ ; udaranya selamanya hanya memendekkan.

26.4 Apa yang diubah udaranya

Definisi 26.15 (Laju terminal)

Hambatan udara melawan kecepatannya dan tumbuh bersama lajunya. Karena itu benda yang jatuh berpercepatan hanya sampai hambatannya mengimbangi beratnya; sejak saat itu $\vect a = \vect 0$ : benda itu jatuh pada laju terminal yang tetap.

Contoh 26.16 (Orde besaran terminalnya)

Penerjun payung yang terbentang: sekitar $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Setetes hujan: sekitar $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — di ruang hampa, jatuh $2000\,\mathrm{m}$ akan mengantarkannya pada $\sqrt{2gh} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Sehelai bulu: sekitar $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , yang tercapai dalam beberapa sentimeter — itulah rahasia kelambatannya: ia menghabiskan seluruh jatuhnya pada laju terminal; palunya tidak pernah mendekati laju terminalnya sendiri.

Catatan 26.17 (Balistik yang sesungguhnya)

Hambatan udara mendorong melawan kecepatannya sepanjang penerbangannya: jangkauannya memendek, puncaknya merendah, dan ketangkupannya patah — turunnya lebih curam daripada naiknya, tembakan yang jauh terlihat kurang daripada parabolanya. Perlakuan yang jujur dan berbilang adalah persamaan diferensial yang diselesaikan pada jilid Tahun ke-1; tahun ini, parabolanya adalah model yang tepat bagi proyektil yang padat dan cukup cepat — bola basket pada $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , bukan bola golf pada $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Peluncuran yang sama, dengan dan tanpa udara: hambatannya memangkas jangkauan dan puncaknya lalu mendaratkan proyektilnya lebih curam daripada saat ia lepas landas — ketangkupan parabolanya adalah korban yang pertama.

26.5 Latihan

Latihan 26.1 ★

Sebuah batu yang dijatuhkan dari jembatan mengenai airnya $2.0\,\mathrm{s}$ kemudian: berapa tinggi jembatannya, dan berapa laju tumbukannya dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 26.1.

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Latihan 26.2 ★

Di Bulan, seorang antariksawan menjatuhkan palu dan bulu bersama-sama: keduanya mendarat bersamaan. Mengapa — dan mengapa bulunya kalah telak di Bumi?

Solusi

Solusi Latihan 26.2.

Tidak ada udara di Bulan: keduanya dalam jatuh bebas, $m\vect a = m\vect g$ memberikan $\vect a = \vect g$ untuk massa berapa pun. Di Bumi, hambatan udara pada bulunya sebanding dengan beratnya yang mungil: bulunya melayang pada laju terminal sekitar $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sementara palunya hampir tidak merasakan udaranya.

Latihan 26.3 ★

Dengan mengabaikan udaranya, hitunglah waktu jatuh dan laju tibanya dari $1.0\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ , $100\,\mathrm{m}$ . Bagaimana waktunya tumbuh bersama ketinggiannya?

Solusi

Solusi Latihan 26.3.

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$ , $1.4$ , $4.5\,\mathrm{s}$ ; $v = gt = 4.4$ , $14$ , $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Waktunya tumbuh seperti $\sqrt h$ : $\times 100$ pada ketinggiannya hanya $\times 10$ pada waktunya.

Latihan 26.4 ★

Sebuah bola dilempar lurus ke atas pada $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : berapa tinggi dan waktu puncaknya, waktu seluruhnya sampai kembali ke tangan, dan laju kembalinya?

Solusi

Solusi Latihan 26.4.

$h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ pada $t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$ ; kembali pada $3.06\,\mathrm{s}$ , pada $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lagi (ketangkupannya).

Latihan 26.5 ★

Sebutir kelereng menggelinding lepas dari meja setinggi $0.80\,\mathrm{m}$ pada $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Carilah waktu jatuhnya dan jarak mendaratnya dari tepi meja. Apakah waktu jatuhnya bergantung pada laju kelerengnya?

Solusi

Solusi Latihan 26.5.

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$ . Tidak: waktu jatuhnya milik gerak tegaknya saja (kebebasannya).

Latihan 26.6 ★★

Dari gambar lima sudut pada bab ini: pasangan sudut lontar yang mana yang berbagi jangkauannya, dan sudut mana yang menang? Untuk jangkauan di bawah yang terbesar, mana di antara kedua sudut yang mungkin itu yang terbang lebih lama? Berikan alasannya dengan $t_f$ .

Solusi

Solusi Latihan 26.6.

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ dan $(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ berbagi jangkauannya; $45{}^{\circ}$ menang. Yang lebih curam dari sepasang sudut berpelurus terbang lebih lama: $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ tumbuh bersama $\alpha$ .

Latihan 26.7 ★★

Dari balkon setinggi $20\,\mathrm{m}$ sebuah bola dilempar lurus ke bawah pada $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Carilah waktunya sampai ke tanah dan laju tumbukannya; periksalah yang terakhir itu dengan neraca energi (Bab 18).

Solusi

Solusi Latihan 26.7.

$4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ memberikan $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$ ; $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Dengan energi: $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — sama saja.

Latihan 26.8 ★★

Sebuah proyektil lepas dari tanah yang rata pada $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 30{}^{\circ}$ : berapa waktu terbang, tinggi puncak, dan jangkauannya?

Solusi

Solusi Latihan 26.8.

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ ; $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$ ; $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ .

Latihan 26.9 ★★

Modelkanlah seorang pelompat jauh sebagai proyektil: lepas landas pada $10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 20{}^{\circ}$ . Hitunglah jangkauannya; juaranya melompat hampir $9\,\mathrm{m}$ — sebutkan dua bahan yang ditinggalkan model titiknya.

Solusi

Solusi Latihan 26.9.

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$ . Yang ditinggalkan: pusat massanya lepas landas tinggi (bendanya terbentang) lalu mendarat rendah dan jauh ke depan (kakinya dilempar ke muka), dan pelompatnya bukanlah titik — $1.7\,\mathrm{m}$ yang hilang itu bersemayam pada ilmu ukurnya, bukan pada parabolanya.

Latihan 26.10 ★★

Pada $1.2\,\mathrm{m}$ di atas tanah yang rata, satu peluru dijatuhkan dan satu peluru yang serupa ditembakkan mendatar pada $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Mana yang mendarat lebih dahulu? Hitunglah waktu jatuhnya dan jarak mendarat peluru yang ditembakkan itu. Asas apa yang sedang diuji?

Solusi

Solusi Latihan 26.10.

Bersamaan: keduanya memiliki $v_y(0) = 0$ , sehingga waktunya sama $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$ ; yang ditembakkan mendarat $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ jauhnya. Yang diuji adalah kebebasan gerak mendatar dan gerak tegaknya.

Latihan 26.11 ★★

Tunjukkan secara aljabar bahwa $\alpha$ dan $90{}^{\circ} - \alpha$ berbagi jangkauannya, lalu carilah kedua sudut yang mendaratkan proyektil $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sejauh $50\,\mathrm{m}$ .

Solusi

Solusi Latihan 26.11.

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) = \sin(2\alpha)$ : $R$ yang sama. Di sini $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 = 9.81 \times 50/625 = 0.785$ : $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ atau $64.1{}^{\circ}$ .

Latihan 26.12 ★★★

Air lepas dari selang taman pada $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : berapa capaian mendatar terjauhnya? berapa ketinggian tegak tertingginya? berapa kedua sudut mulutnya yang menyirami petak bunga sejauh $5.0\,\mathrm{m}$ ?

Solusi

Solusi Latihan 26.12.

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ (pada $45{}^{\circ}$ ); $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (lurus ke atas). $\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$ : $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ atau $65.0{}^{\circ}$ .

Latihan 26.13 ★★★

Sebuah bola ditendang dari tanah pada $18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 35{}^{\circ}$ , ke arah pagar tanaman setinggi $4.0\,\mathrm{m}$ sejauh $15\,\mathrm{m}$ . Dengan persamaan lintasannya, putuskanlah apakah bolanya melewatinya, dan seberapa jauh.

Solusi

Solusi Latihan 26.13.

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2} {2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$ : bolanya melewati pagar $4.0\,\mathrm{m}$ itu sekitar $1.4\,\mathrm{m}$ .

Latihan 26.14 ★★★

Seorang penerjun payung $80\,\mathrm{kg}$ jatuh terbentang pada laju terminal $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Berapa gaya hambatannya? (b) Sketsalah bentuk $v(t)$ sejak lompatannya. (c) Setetes hujan jatuh dari $2.0\,\mathrm{km}$ : berapa laju tibanya di ruang hampa dibandingkan $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ yang sesungguhnya?

Solusi

Solusi Latihan 26.14.

(a) Hambatannya mengimbangi beratnya: $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ . (b) $v(t)$ menanjak dengan kemiringan yang kian mengecil lalu mendatar pada $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) Di ruang hampa: $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dua puluh kali $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ yang sesungguhnya — tetes hujan menghabiskan hampir seluruh jatuhnya pada laju terminal.

Latihan 26.15 ★★★

Monyet yang jatuh, dibuktikan: sebuah panah bius lepas dari titik asalnya tepat membidik seekor monyet pada jarak $D$ dan tinggi $H$ ( $\tan\alpha = H/D$ ), yang melepaskan dahannya pada $t = 0$ . Tunjukkan bahwa ketika panahnya mencapai $x = D$ ketinggiannya sama dengan ketinggian monyetnya — berapa pun $v_0$ .

Solusi

Solusi Latihan 26.15.

Pada $t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ panahnya berada pada ketinggian $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$ , persis $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$ milik monyet yang jatuh itu. Keduanya menggantung $\tfrac12 gt^2$ di bawah tempat tanpa-gravitasinya — keduanya bertemu untuk $v_0$ berapa pun.

26.6 Soal: Tembakan bola basket di detik terakhir

Soal 26.1

Soal akhir pekan — tembakan bola basket di detik terakhir: sebuah lemparan bebas yang dibedah anak panah demi anak panah, ujung jari yang terlewati beberapa sentimeter, lemparan sepanjang lapangan yang ditimbang terhadap kemampuan sebuah lengan, sebuah umpan lambung melewati papan pantul — dan sebuah putusan tentang tembakan yang paling teatrikal dalam olahraga

Ring bola basket adalah cincin mendatar $3.05\,\mathrm{m}$ di atas lantainya; Nora melepaskan setiap tembakannya pada $2.00\,\mathrm{m}$ , sehingga dengan sumbu di titik lepasnya ( $Ox$ mendatar ke arah ringnya, $Oy$ ke atas) pusat cincinnya terletak $1.05\,\mathrm{m}$ di atas titik asalnya. Udaranya diabaikan kecuali bila disebutkan.

Bagian I — Lemparan bebasnya. Nora menembak dari $d = 4.20\,\mathrm{m}$ (mendatar) dengan sudut lontar $\alpha = 50{}^{\circ}$ .

Gaya apa yang bekerja setelah bolanya lepas? Sebutkan $\vect a$ , beserta hukum yang dipakainya.
Turunkanlah koordinat $\vect v(t)$ .
Turunkanlah $x(t)$ dan $y(t)$ .
Lenyapkanlah $t$ untuk memperoleh lintasannya $y(x)$ .
Bolanya harus melewati pusat cincinnya, $y(d) = 1.05\,\mathrm{m}$ : selesaikanlah untuk $v_0$ , dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Bagian II — Melewati ujung jari, masuk ke cincinnya.

Berapa lama bolanya mencapai ringnya?
Carilah waktu dan tinggi puncaknya; periksalah bahwa bolanya sudah menurun di ringnya.
Seorang pemain bertahan $0.90\,\mathrm{m}$ di depan Nora menjulurkan ujung jarinya sampai $2.60\,\mathrm{m}$ . Seberapa jauh bolanya melewatinya?
Hitunglah $v_x$ dan $v_y$ di ringnya, lajunya di sana, dan sudut kecepatannya di bawah garis mendatar.
Mengapa bolanya harus tiba dalam keadaan menurun — dan mengapa curam?

Bagian III — Lemparan sepanjang lapangan. Bel hampir berbunyi, Nora berada $26.0\,\mathrm{m}$ dari ring seberangnya.

Kenaikan $1.05\,\mathrm{m}$ itu kecil terhadap $26.0\,\mathrm{m}$ : berikan alasan bagi model tanah yang rata, lalu turunkanlah waktu terbangnya dari $y(t_f) = 0$ .
Perolehlah $R = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ dan sudut jangkauan terbesarnya.
Hitunglah $v_0$ yang dibutuhkan untuk menempuh $26.0\,\mathrm{m}$ pada $\alpha = 45{}^{\circ}$ .
Pemain yang kuat mampu melontarkan bola basket pada sekitar $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Berapa jangkauan terbesarnya — apakah tembakan itu terjangkau oleh manusia?
Pada $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , carilah kedua sudut yang mendaratkan bolanya sejauh $26.0\,\mathrm{m}$ , beserta waktu terbangnya: dengan $2.0\,\mathrm{s}$ tersisa di jamnya, yang mana yang mendahului belnya?

Bagian IV — Umpan lambung melewati papan pantulnya. Dari belakang garis dasarnya Nora melambungkan bolanya: lepas $6.0\,\mathrm{m}$ dari pusat cincinnya, $\alpha = 75{}^{\circ}$ ; bidang papannya memotong tembakannya $0.45\,\mathrm{m}$ sebelum pusat cincinnya, dengan tepi atas $3.95\,\mathrm{m}$ di atas lantainya.

Carilah $v_0$ yang menjatuhkan bolanya melewati pusat cincinnya.
Hitunglah ketinggian bolanya pada bidang papannya ( $x = 5.55\,\mathrm{m}$ ): apakah bolanya melewati tepi atasnya, dan seberapa jauh?
Carilah tinggi puncak dan waktu terbangnya — mengapa penontonnya menyukainya?
Secara kualitatif, apa yang diubah hambatan udara pada ketiga tembakan ini, dan yang mana yang paling terancam olehnya?
Putusan tembakan di detik terakhir, dua kalimat: bandingkanlah laju yang dituntut lemparan sepanjang lapangan itu dengan yang dipasok sebuah lengan, sebutkan selisihnya, lalu putuskanlah — mungkin atau mitos?

Solusi

Solusi Soal 26.1.

1. Hanya beratnya (udaranya diabaikan); hukum kedua Newton: $m\vect a = m\vect g$ , sehingga $\vect a = (0,\,-g)$ .

2. $v_x = v_0\cos\alpha$ , $v_y = v_0\sin\alpha - gt$ .

3. $x = v_0\cos\alpha\, t$ , $y = v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 gt^2$ .

4. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ : $y = x\tan\alpha - g x^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ .

5. $v_0^2 = \dfrac{g d^2}{2\cos^2\alpha\,(d\tan\alpha - 1.05)} = \dfrac{173.0}{0.826 \times 3.96} = 52.9$ : $v_0 = 7.28\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 26\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

6. $t = d/(v_0\cos\alpha) = 4.20/4.68 = 0.90\,\mathrm{s}$ .

7. Puncaknya pada $t = v_0\sin\alpha/g = 0.57\,\mathrm{s}$ , dengan tinggi $2.00 + (v_0\sin\alpha)^2/2g = 2.00 + 1.58 = 3.58\,\mathrm{m}$ ; $0.57 < 0.90$ : sudah menurun di ringnya.

8. $y(0.90) = 0.90\tan50{}^{\circ} - 0.182 = 0.89\,\mathrm{m}$ di atas titik lepasnya, yaitu $2.89\,\mathrm{m}$ di atas lantainya: $0.29\,\mathrm{m}$ di atas ujung jarinya.

9. $v_x = 4.68\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = 5.57 - 9.81 \times 0.90 = -3.24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v = 5.69\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , pada $\arctan(3.24/4.68) = 34.7{}^{\circ}$ di bawah garis mendatarnya.

10. Ringnya berupa cincin mendatar: bolanya harus melintasi bidangnya dari atas. Kian curam masuknya, kian besar bukaan cincinnya tampak sepanjang kecepatannya — kian lapang sisa untuk keliru.

11. $1.05/26.0 = 4\%$ : terabaikan. $y(t_f) = 0$ memberikan $t_f\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 g t_f) = 0$ , sehingga $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ .

12. $R = v_0\cos\alpha\, t_f = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ ; terbesar pada $\alpha = 45{}^{\circ}$ .

13. $v_0 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 26.0} = 16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

14. $R_{\max} = 17.5^2/9.81 = 31.2\,\mathrm{m} > 26.0\,\mathrm{m}$ : terjangkau, dengan sisa jangkauan $5\,\mathrm{m}$ .

15. $\sin(2\alpha) = 255.1/306.3 = 0.833$ : $\alpha = 28.2{}^{\circ}$ atau $61.8{}^{\circ}$ ; waktu terbangnya $2v_0\sin\alpha/g = 1.69\,\mathrm{s}$ dan $3.14\,\mathrm{s}$ . Hanya tembakan yang datar itu yang mendahului bel $2.0\,\mathrm{s}$ .

16. $v_0^2 = \dfrac{9.81 \times 36}{2\cos^275{}^{\circ}\, (6.0\tan75{}^{\circ} - 1.05)} = \dfrac{353.2}{2.86} = 123.5$ : $v_0 = 11.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

17. $y(5.55) = 5.55\tan75{}^{\circ} - 18.26 = 2.45\,\mathrm{m}$ di atas titik lepasnya, yaitu $4.45\,\mathrm{m}$ di atas lantainya: $0.50\,\mathrm{m}$ di atas tepi atas papannya.

18. Puncaknya $2.00 + (11.1\sin75{}^{\circ})^2/2g \approx 7.9\,\mathrm{m}$ ; penerbangannya $6.0/(11.1\cos75{}^{\circ}) = 2.1\,\mathrm{s}$ — dua sekon penuh dengan bolanya menggantung $8\,\mathrm{m}$ di atas.

19. Hambatan udara memendekkan setiap tembakan lalu mencuramkan turunnya; pengaruhnya tumbuh bersama lajunya, sehingga lemparan sepanjang lapangan $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ itu yang paling menderita — jangkauan sesungguhnya kurang beberapa meter dari $31\,\mathrm{m}$ , memakan sisanya.

20. Putusan tembakan di detik terakhir: tembakan $26.0\,\mathrm{m}$ itu menuntut $16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sementara sebuah lengan memasok sekitar $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , sisa jangkauan $5\,\mathrm{m}$ ( $\approx 20\%$ ) yang dipangkas hambatan udara tetapi tidak dihapusnya. Mungkin — dan itulah tepatnya sebabnya, beberapa kali tiap musim, bolanya masuk.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium