Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

4Gravitasi Semesta dan Berat

Jatuhkanlah sebuah apel: apel itu jatuh. Bulan, enam puluh jari-jari Bumi di atas sana, tampaknya tidak pernah jatuh. Wawasan besar Newton adalah bahwa Bulan sedang jatuh — kira-kira 1.4 milimeter tiap sekon, tepat sebanyak yang diramalkan tarikan yang melemah menurut kuadrat jaraknya. Satu rumus, dengan satu tetapan semesta, mengatur apel, Bulan, pasang surut dan planet. Jilid pertama melukiskan gravitasi dengan kata-kata; bab ini mengukurnya.

4.1 Hukum gravitasi semesta

Definisi 4.1 (Gaya gravitasi)

Dua benda apa pun saling menarik, dari bahan apa pun keduanya terbuat dan seberapa jauh pun keduanya terpisah. Tarikan itulah gaya gravitasi, dan gejalanya disebut gravitasi. Gaya itu tidak memerlukan sentuhan, tidak memerlukan tali dan tidak memerlukan medium, dan gaya itu bersifat timbal balik: masing-masing benda menarik benda yang lain.

Teorema 4.2 (Hukum gravitasi semesta)

Dua benda bermassa $m_1$ dan $m_2$ (dalam $\mathrm{kg}$ ), yang pusatnya terpisah sejauh $d$ (dalam $\mathrm{m}$ ), saling menarik dengan dua gaya yang terarah sepanjang garis penghubung kedua pusatnya, masing-masing menuju benda yang lain, dan besarnya sama, yaitu

F = G\,\frac{m_1 m_2}{d^2} \qquad \text{(dalam $\mathrm{N}$)},

dengan $G$ adalah tetapan yang sama bagi setiap pasang benda di alam semesta.

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

Catatan 4.3 (Dari mana hukum ini datang)

Newton menyaring hukum ini dari gerak planet yang teramati (hukum Kepler); penurunannya yang jujur dikerjakan pada jilid Tahun ke-1. Bab 27 sudah akan memakai hukum ini untuk satelit dan planet.

Definisi 4.4 (Tetapan gravitasi)

Tetapan

G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}

disebut tetapan gravitasi. Nilainya yang teramat kecil adalah alasan mengapa gravitasi antara benda sehari-hari tidak terasa: hanya apabila sekurang-kurangnya satu massanya berukuran astronomi barulah $G m_1 m_2 / d^2$ berarti sesuatu.

Dua gaya sebuah pasangan gravitasi: sepanjang garis penghubung pusatnya, menuju benda yang lain, dengan besar yang sama sekalipun massanya jauh berbeda, F = G m_1 m_2 / d2. — Dua gaya sebuah pasangan gravitasi: sepanjang garis penghubung pusatnya, menuju benda yang lain, dengan besar yang *sama* sekalipun massanya jauh berbeda, $F = G m_1 m_2 / d^2$ .

Catatan 4.5 (Membaca rumusnya)

Ada empat ciri yang patut diperhatikan.

Timbal balik dan sama besar. Bumi menarikmu dengan beratmu — dan kamu menarik Bumi dengan gaya yang persis sama. (Bumi hanya menanggapinya lebih sedikit: massanya sekitar $10^{23}$ kali lebih besar.)
Kebalikan kuadrat. Menggandakan $d$ membagi gayanya dengan $4$ ; menjauh sepuluh kali lipat membaginya dengan $100$ .
Jarak antara pusat. Untuk benda berbentuk bola — bintang, planet, peluru meriam — $d$ diukur dari pusat ke pusat, bukan dari permukaan ke permukaan.
Kedua massa berperan. Menggandakan salah satu massanya menggandakan gayanya; rumusnya setangkup dalam $m_1$ dan $m_2$ .

Contoh 4.6 (Dua sahabat)

Dua sahabat bermassa $70\,\mathrm{kg}$ berdiri dengan pusatnya terpisah $1.0\,\mathrm{m}$ :

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{70 \times 70}{1.0^2} \approx 3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}.

Berat masing-masing sahabat itu sekitar $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — dua miliar kali lebih besar. Tarikan timbal balik mereka nyata, tetapi mustahil dirasakan.

Contoh 4.7 (Bumi menahan Bulan)

Dengan $m_1 = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ (Bumi), $m_2 = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ (Bulan) dan $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ :

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

Dan Bulan menarik Bumi kembali dengan $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ yang sama — tarikan yang dijawab lautan dua kali sehari, sebagai pasang surut.

Metode 4.8 (Menghitung gaya gravitasi)

Ubahlah massanya ke kilogram dan jarak pusat ke pusatnya ke meter.
Terapkan $F = G m_1 m_2 / d^2$ .
Periksalah pangkat sepuluhnya terpisah dari angkanya, seperti pada Bab 1: gaya gravitasi berkisar dari $10^{-7}$ newton (dua orang yang terpisah satu meter) sampai $10^{22}$ newton (Matahari pada Bumi), sehingga eksponen yang salah tempat mudah tertangkap.

4.2 Berat dan kuat medan gravitasi

Definisi 4.9 (Berat)

Berat $\vect P$ sebuah benda di permukaan sebuah benda langit (planet, bulan, …) adalah gaya gravitasi yang dikerjakan benda langit itu padanya. Berat menunjuk ke pusat benda langit tersebut — arah yang kita sebut vertikal — dan diukur dalam newton.

Proposisi 4.10 (Berat di permukaan sebuah benda langit)

Di permukaan benda langit berbentuk bola yang bermassa $M$ dan berjari-jari $R$ , sebuah benda bermassa $m$ memiliki berat

P = m\,g, \qquad\text{dengan}\qquad g = \frac{G M}{R^2}

yang hanya bergantung pada benda langitnya, bukan pada bendanya.

Bukti. Pusat bendanya dan pusat benda langitnya terpisah sejauh $R$ , sehingga hukum gravitasi semesta (Teorema 4.2) memberikan $P = G M m / R^2 = m \times \left(G M / R^2\right)$ . Kurungan itu sama bagi setiap benda di permukaannya: sebutlah ia $g$ . ∎

Definisi 4.11 (Kuat medan gravitasi)

Besaran $g = G M / R^2$ , dalam newton per kilogram, disebut kuat medan gravitasi di permukaan benda langit itu: benda langit tersebut menarik tiap kilogram dengan $g$ newton. Di Bumi, $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Contoh 4.12 (Menghitung $g$ )

Untuk Bumi ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ):

g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^{6})^2} = \frac{3.98 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

Untuk Bulan ( $M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ , $R = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) perhitungan yang sama memberikan $g_{\text{Bulan}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — enam kali lebih kecil: massa Bulan jauh lebih ringan, dan ukurannya yang lebih kecil tidak menutupi kekurangan itu. Untuk Mars, $g_{\text{Mars}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Kuat medan gravitasi di permukaan empat dunia: sekantong gula 1\, kg yang sama beratnya 1.6\, N di Bulan dan 25\, N di Jupiter. — Kuat medan gravitasi di permukaan empat dunia: sekantong gula $1\,\mathrm{kg}$ yang sama beratnya $1.6\,\mathrm{N}$ di Bulan dan $25\,\mathrm{N}$ di Jupiter.

“Bawah” adalah gagasan yang setempat: di setiap titik bola Bumi vektor beratnya menunjuk ke pusat O. Dua pejalan di dua kutub yang berhadapan sama-sama berdiri tegak — kaki mereka saling berhadapan. — “Bawah” adalah gagasan yang setempat: di setiap titik bola Bumi vektor beratnya menunjuk ke pusat $O$ . Dua pejalan di dua kutub yang berhadapan sama-sama berdiri tegak — kaki mereka saling berhadapan.

Catatan 4.13 (Mengapa antariksawan memantul-mantul)

Seorang antariksawan bermassa $120\,\mathrm{kg}$ (tubuh beserta pakaiannya) beratnya $120 \times 9.81 \approx 1180\,\mathrm{N}$ di Bumi tetapi hanya $120 \times 1.62 \approx 194\,\mathrm{N}$ di Bulan. Otot yang terlatih di bawah $1180\,\mathrm{N}$ tiba-tiba memikul seperenam bebannya: dari sinilah lahir langkah melompat yang lambat dan tersohor di Bulan itu. Massanya — dan bersamanya usaha yang diperlukan untuk berhenti atau berbelok — tidak berubah, dan itulah sebabnya antariksawan di Bulan begitu sering terjatuh.

4.3 Massa atau berat? Neraca dan neraca pegas

Bahasa sehari-hari mengatakan sekarung tepung “beratnya tiga kilo”. Fisika membelah kalimat itu menjadi dua.

Catatan 4.14 (Massa bukan berat)

Massa $m$ mengukur banyaknya materi, dalam kilogram. Massa adalah sifat bendanya sendiri: sama di Bumi, di Bulan, atau ketika melayang di ruang angkasa yang jauh.
Berat $P = mg$ adalah sebuah gaya, dalam newton, yang dikerjakan oleh sebuah benda langit pada bendanya. Berat berubah dari benda langit ke benda langit mengikuti $g$ — dan memudar jauh dari setiap benda langit.

Mencampuradukkan keduanya tidak berbahaya di pasar dan berakibat fatal di dalam soal fisika: kilogram bukan satuan gaya.

Metode 4.15 (Neraca dan neraca pegas)

Neraca lengan membandingkan bendanya dengan massa baku: berat kedua piringnya berskala dengan $g$ yang sama, sehingga perbandingannya mengukur massa — putusan yang sama di benda langit mana pun.
Neraca pegas mengukur gaya yang meregangkan pegasnya: alat itu membaca berat, dalam newton, dan bacaannya berubah dari benda langit ke benda langit. Untuk memperoleh kembali massanya, bagilah dengan kuat medan setempat: $m = P/g$ .

Contoh 4.16 (Tepung di Bulan)

Sekarung tepung $3.0\,\mathrm{kg}$ setimbang dengan massa baku $3.0\,\mathrm{kg}$ di Bumi dan di Bulan. Sebaliknya, neraca pegas membaca $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ di Bumi dan $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ di Bulan. Pedagang yang menjual “per newton” di Bulan akan menyerahkan tepung enam kali lipat — perdagangan, seperti ilmu, berjalan di atas massa.

4.4 Jatuh mengitari Bumi: meriam Newton

Lemparkanlah sebuah batu mendatar: gravitasi melengkungkan lintasannya menjadi busur dan batu itu mendarat beberapa meter jauhnya. Lemparkanlah lebih cepat: batu itu mendarat lebih jauh. Percobaan pikiran Newton mendorong gagasan itu sampai batasnya. Bumi berbentuk bulat, dan permukaannya turun sekitar $5\,\mathrm{m}$ di bawah garis mendatar untuk setiap $8\,\mathrm{km}$ yang ditempuh; benda yang jatuh bebas turun $4.9\,\mathrm{m}$ pada sekon pertamanya (Bab 26 akan menetapkannya). Jadi peluru yang menyerempet Bumi pada $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ jatuh persis secepat tanah melengkung menjauh: peluru itu jatuh selamanya tanpa pernah mendarat.

Definisi 4.17 (Satelit dan orbit)

Satelit sebuah benda langit adalah benda yang jatuh mengitari benda langit itu tanpa pernah mencapai permukaannya; lintasan yang diulanginya disebut orbit.

Meriam Newton: ditembakkan makin lama makin cepat dari puncak gunung, bolanya mendarat makin lama makin jauh — sampai, pada sekitar 7.9\, km/ s, tanah melengkung menjauh secepat bolanya jatuh, dan bola itu pun mengorbit. — Meriam Newton: ditembakkan makin lama makin cepat dari puncak gunung, bolanya mendarat makin lama makin jauh — sampai, pada sekitar $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , tanah melengkung menjauh secepat bolanya jatuh, dan bola itu pun mengorbit.

Catatan 4.18 (Bulan adalah batu yang sedang jatuh)

Bulan adalah satelit alami Bumi: ia jatuh ke arah kita sekitar $1.4\,\mathrm{mm}$ tiap sekon, dan gerak menyampingnya membawanya berkeliling sebelum ia sempat mendekat (Latihan 4.15 mengajakmu mengulang pemeriksaan Newton sendiri atas angka ini). Antariksawan di stasiun yang mengorbit berada dalam jatuh bebas yang sama dengan wahananya — itulah, dan bukan ketiadaan gravitasi, sebabnya mereka melayang. Gravitasi membentuk setiap lintasan, dari busur batu sampai elips planet; kisah orbit yang terhitung dituturkan pada Bab 27.

Notasi 4.19 (Kartu data)

Kecuali jika sebuah latihan menyatakan lain, pakailah $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ dan:

	massa ( $\mathrm{kg}$ )	jari-jari ( $\mathrm{m}$ )	$g$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ )
Bumi	$5.97 \times 10^{24}$	$6.37 \times 10^{6}$	9.81
Bulan	$7.35 \times 10^{22}$	$1.74 \times 10^{6}$	1.62
Mars	$6.42 \times 10^{23}$	$3.39 \times 10^{6}$	3.73
Matahari	$1.99 \times 10^{30}$	—	—

Jarak Bumi–Bulan: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ; jarak Bumi–Matahari: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (pusat ke pusat).

4.5 Latihan

Latihan 4.1 ★

Dua penari bermassa $60\,\mathrm{kg}$ saling berpegangan dengan pusatnya terpisah $0.80\,\mathrm{m}$ .

Hitunglah tarikan gravitasi timbal balik keduanya.
Bandingkan dengan berat seekor nyamuk $2.5\,\mathrm{mg}$ .

Solusi

Solusi Latihan 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 60}{0.80^2} = \dfrac{2.40 \times 10^{-7}}{0.64} \approx 3.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .

2. Berat nyamuk itu $P = 2.5 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ — sekitar $65$ kali lebih besar daripada tarikan timbal balik kedua penari itu. Gravitasi antara dua orang lebih lemah daripada berat seekor nyamuk.

Latihan 4.2 ★

Seorang pelajar bermassa $55\,\mathrm{kg}$ .

Hitunglah beratnya di Bumi.
Ia pergi ke Bulan. Berapa massanya dan berapa beratnya di sana?

Solusi

Solusi Latihan 4.2.

1. $P = mg = 55 \times 9.81 \approx 5.4 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ .

2. Massanya tidak berubah: $55\,\mathrm{kg}$ (banyaknya materi tetap sama). Beratnya menjadi $P = 55 \times 1.62 \approx 89\,\mathrm{N}$ — enam kali lebih kecil.

Latihan 4.3 ★

Dari kartu data, hitunglah kembali kuat medan gravitasi di permukaan Mars.
Sebuah penjelajah bermassa $900\,\mathrm{kg}$ dikirim ke sana. Hitunglah beratnya di Mars dan beratnya di Bumi.

Solusi

Solusi Latihan 4.3.

1. $g_{\text{Mars}} = \dfrac{G M}{R^2} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.28 \times 10^{13}}{1.15 \times 10^{13}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

2. Di Mars: $P = 900 \times 3.73 \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . Di Bumi: $P = 900 \times 9.81 \approx 8.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — penjelajah itu sekitar $2.6$ kali lebih ringan di Mars, dengan massa yang sama.

Latihan 4.4 ★

Dengan memakai kartu data, hitunglah gaya yang dikerjakan Bumi pada Bulan. Berapa gaya yang dikerjakan Bulan pada Bumi?

Solusi

Solusi Latihan 4.4.

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} = \frac{2.93 \times 10^{37}}{1.47 \times 10^{17}} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

Bulan mengerjakan gaya yang sama besarnya pada Bumi, yaitu $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ , dengan arah berlawanan: gravitasi bersifat timbal balik.

Latihan 4.5 ★

Dua benda saling menarik dengan gaya $F_0$ . Menjadi berapa gayanya apabila:

jarak antara pusatnya digandakan;
jaraknya dijadikan setengah;
kedua massanya digandakan (jaraknya tetap);
salah satu massanya dijadikan tiga kali lipat dan jaraknya juga dijadikan tiga kali lipat?

Solusi

Solusi Latihan 4.5.

1. Jaraknya digandakan: $d^2$ dikalikan $4$ , sehingga $F = F_0/4$ .

2. Jaraknya dijadikan setengah: $F = 4F_0$ .

3. Kedua massanya digandakan: $m_1 m_2$ dikalikan $4$ , sehingga $F = 4F_0$ .

4. Pembilangnya $\times 3$ , penyebutnya $\times 9$ : $F = F_0/3$ .

Latihan 4.6 ★★

Dua kapal tanker raksasa bermuatan, masing-masing $5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ , ditambatkan dengan pusatnya terpisah $100\,\mathrm{m}$ .

Hitunglah tarikan gravitasi timbal balik keduanya.
Massa berapa yang beratnya sama dengan gaya itu di Bumi?
Gayanya besar secara mengejutkan — namun kedua tanker itu sama sekali tidak menunjukkan tanda hendak saling mendekat. Hitunglah percepatan $a = F/m$ yang diberikannya kepada satu tanker, lalu berikan ulasanmu.

Solusi

Solusi Latihan 4.6.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{(5.0 \times 10^{8})^2}{100^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2.5 \times 10^{17}}{1.0 \times 10^{4}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

2. $m = F/g = 1667/9.81 \approx 1.7 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$ : kedua kapal itu saling menarik dengan berat sebuah sepeda motor besar.

3. $a = F/m = 1.7 \times 10^{3}/5.0 \times 10^{8} \approx 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Sekalipun tanpa penghalang, kedua tanker itu memerlukan sekitar lima hari untuk mencapai kecepatan orang berjalan; pada kenyataannya hambatan air dan tambatannya menenggelamkan tarikan itu sama sekali.

Latihan 4.7 ★★

Sebuah toko di Bulan menjual sekantong beras $3.0\,\mathrm{kg}$ .

Apa yang ditunjukkan neraca lengan dan neraca pegas untuk kantong ini di Bumi? Dan di Bulan?
Seorang pembeli membayar untuk “ $3.0\,\mathrm{kg}$ ”. Alat manakah yang menjamin urusan yang adil di dunia mana pun, dan mengapa?

Solusi

Solusi Latihan 4.7.

1. Neraca lengan menunjukkan $3.0\,\mathrm{kg}$ di kedua dunia: kantong dan massa bakunya sama-sama mengalami pembagian berat dengan faktor yang sama, sehingga perbandingannya tidak berubah. Neraca pegas membaca beratnya: $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ di Bumi, $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ di Bulan.

2. Neraca lengan: ia mengukur massa, dan massa itulah yang dibeli pembelinya. Neraca pegas yang ditera dalam “kilogram” di Bumi akan membaca $4.9/9.81 \approx 0.50\,\mathrm{kg}$ untuk kantong yang sama di Bulan — pemilik tokonya akan memberikan enam kantong dengan harga satu.

Latihan 4.8 ★★

Stasiun antariksa internasional terbang pada ketinggian $400\,\mathrm{km}$ .

Hitunglah kuat medan gravitasi Bumi pada ketinggian itu. (Hati-hati: berapa jaraknya ke pusat Bumi?)
Nyatakan sebagai persentase nilainya di permukaan.
Antariksawan di dalamnya melayang. Damaikan kenyataan itu dengan jawabanmu.

Solusi

Solusi Latihan 4.8.

1. Jarak ke pusatnya: $d = R + h = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Lalu $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^{6})^2} = \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.69\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

2. $8.69/9.81 \approx 89\%$ dari nilainya di permukaan.

3. Di ketinggian itu gravitasinya nyaris sekuat di permukaan: antariksawan melayang karena stasiunnya dan segala isinya jatuh bersama-sama mengitari Bumi (jatuh bebas), bukan karena gravitasinya lenyap.

Latihan 4.9 ★★

Di permukaan Venus, $g = 8.87\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ , dan jari-jari planet itu $6.05 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Simpulkan massa Venus dan bandingkan dengan massa Bumi.

Solusi

Solusi Latihan 4.9.

Dari $g = GM/R^2$ ,

M = \frac{g R^2}{G} = \frac{8.87 \times (6.05 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}} = \frac{3.25 \times 10^{14}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 4.87 \times 10^{24}\,\mathrm{kg},

yaitu sekitar $0.8$ kali massa Bumi — Venus nyaris kembaran Bumi dalam ukuran dan massa.

Latihan 4.10 ★★

Hitunglah gaya yang dikerjakan Matahari pada $1.0\,\mathrm{kg}$ air laut, lalu gaya yang dikerjakan Bulan pada kilogram yang sama.
Matahari menarik lebih kuat — dengan faktor berapa?
Namun Bulanlah yang menguasai pasang surut. Pasang surut digerakkan bukan oleh tarikannya sendiri melainkan oleh selisih antara tarikan pada sisi Bumi yang dekat dan yang jauh. Jelaskan, tanpa menghitung, mengapa Bulan yang dekat dapat mengalahkan Matahari yang jauh menurut ukuran itu.

Solusi

Solusi Latihan 4.10.

1. Matahari:

F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(1.496 \times 10^{11})^2} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}.

Bulan:

F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}.

2. Matahari menarik sekitar $5.9 \times 10^{-3}/3.3 \times 10^{-5} \approx 180$ kali lebih kuat.

3. Diameter Bumi merupakan bagian yang jauh lebih besar dari jarak Bumi–Bulan ( $\approx 3\%$ ) daripada dari jarak Bumi–Matahari ( $\approx 0.01\%$ ), sehingga tarikan Bulan berubah jauh lebih banyak dari sisi yang dekat ke sisi yang jauh pada bola Bumi. Pasang surut hidup dari selisih itu — dan di situlah Bulan menang.

Latihan 4.11 ★★

Sebuah planet bermassa dua kali massa Bumi dan berjari-jari dua kali jari-jari Bumi. Nyatakan kuat medan di permukaannya dalam $g$ milik Bumi, lalu dalam $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .
Jari-jari berapa yang diperlukan sebuah planet bermassa sama dengan Bumi agar kuat medan di permukaannya menjadi $2g$ ?

Solusi

Solusi Latihan 4.11.

1. $g' = \dfrac{G (2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4}\,\dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{g}{2} \approx 4.9\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : jari-jari yang digandakan mengalahkan massa yang digandakan.

2. Kita memerlukan $\dfrac{GM}{R'^2} = 2\,\dfrac{GM}{R^2}$ , sehingga $R'^2 = R^2/2$ dan $R' = R/\sqrt{2} \approx 4.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — sekitar $4500\,\mathrm{km}$ .

Latihan 4.12 ★★★

Di suatu tempat pada garis Bumi–Bulan, kedua tarikan pada sebuah wahana antariksa saling meniadakan. Misalkan $x$ adalah jarak dari pusat Bumi ke titik itu dan $D$ adalah jarak Bumi–Bulan.

Tunjukkan bahwa di titik itu $\left(\dfrac{x}{D - x}\right)^{2} = \dfrac{M_{\text{Bumi}}}{M_{\text{Bulan}}}$ .
Simpulkan $x$ . Berapa bagian dari perjalanan ke Bulan itu?

Solusi

Solusi Latihan 4.12.

1. Tarikan per kilogramnya sama: $\dfrac{G M_{\text{Bumi}}}{x^2} = \dfrac{G M_{\text{Bulan}}}{(D-x)^2}$ . Dengan perkalian silang dan pembagian oleh $G$ : $\left(\dfrac{x}{D-x}\right)^2 = \dfrac{M_{\text{Bumi}}}{M_{\text{Bulan}}}$ .

2. $\dfrac{x}{D-x} = \sqrt{\dfrac{5.97 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}} = \sqrt{81.2} \approx 9.0$ , sehingga $x = 9.0\,(D - x)$ , yaitu $x = \dfrac{9.0}{10.0}\,D \approx 0.90 \times 3.84 \times 10^{8} \approx 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . Titik setimbangnya berada pada $90\%$ perjalanan menuju Bulan: tarikan Bumi menguasai hampir seluruh perjalanan itu.

Latihan 4.13 ★★★

Meriam Newton, dengan angka. Sebuah peluru menyerempet Bumi secara mendatar dengan laju $v$ .

Setelah menempuh $x = 8.0\,\mathrm{km}$ secara mendatar, Bumi yang bulat sudah “turun menjauh” sejauh $h$ yang memenuhi $(R + h)^2 = R^2 + x^2$ . Dengan memakai $(R + h)^2 \approx R^2 + 2Rh$ untuk $h$ yang kecil, tunjukkan bahwa $h \approx x^2 / (2R)$ lalu hitunglah $h$ .
Benda yang jatuh bebas turun $4.9\,\mathrm{m}$ pada sekon pertamanya. Bandingkan dengan $h$ lalu simpulkan laju yang membuat peluru itu tidak pernah mendarat.
Hitunglah lama satu orbit penuh pada laju itu, sambil menyerempet permukaan.

Solusi

Solusi Latihan 4.13.

1. Dijabarkan: $R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + x^2$ ; karena $h$ sangat kecil dibandingkan $R$ , buanglah $h^2$ : $2Rh \approx x^2$ , sehingga $h \approx \dfrac{x^2}{2R} = \dfrac{(8.0 \times 10^{3})^2}{2 \times 6.37 \times 10^{6}} = \dfrac{6.4 \times 10^{7}}{1.27 \times 10^{7}} \approx 5.0\,\mathrm{m}$ .

2. Dalam satu sekon peluru itu jatuh $4.9\,\mathrm{m}$ — hampir persis sebesar $5.0\,\mathrm{m}$ yang ditinggalkan tanah sepanjang $8.0\,\mathrm{km}$ . Jadi pada $v \approx 8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ jatuhnya tidak pernah menyusul tanahnya: peluru itu mengorbit.

3. $T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi \times 6.37 \times 10^{6}}{8.0 \times 10^{3}} \approx 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{min}$ — dekat dengan sekitar $90\,\mathrm{min}$ milik satelit orbit rendah yang sebenarnya, yang terbang sedikit lebih tinggi.

Latihan 4.14 ★★★

Sebuah bintang neutron memampatkan $M = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ (1.4 kali massa Matahari) ke dalam jari-jari $12\,\mathrm{km}$ .

Hitunglah kuat medan gravitasi di permukaannya.
Berapa berat manusia $70\,\mathrm{kg}$ di sana? Bandingkan dengan beratnya di Bumi.
Berapa berat sebutir pasir $1.0\,\mathrm{mg}$ di sana? Massa berapa yang memiliki berat sebesar itu di Bumi?

Solusi

Solusi Latihan 4.14.

1. $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30}} {(1.2 \times 10^{4})^2} = \dfrac{1.87 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^{8}} \approx 1.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.$

2. $P = 70 \times 1.3 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{13}\,\mathrm{N}$ , berbanding $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ di Bumi: sekitar $1.3 \times 10^{11}$ kali lebih besar. Tidak ada bangunan yang tersusun dari atom sanggup bertahan berdiri di sana.

3. $P = 1.0 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{12} \approx 1.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ . Di Bumi itu adalah berat $m = 1.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ — sebutir pasir yang seberat lokomotif seratus ton.

Latihan 4.15 ★★★

Uji Bulan yang dilakukan Newton (1666). Jari-jari orbit Bulan kira-kira $60$ jari-jari Bumi.

Dengan faktor berapa tarikan Bumi per kilogram lebih lemah di Bulan daripada di permukaan Bumi, jika gravitasi mengikuti kebalikan kuadrat?
Di dekat permukaan, benda yang jatuh turun $4.9\,\mathrm{m}$ pada sekon pertamanya. Seberapa jauh Bulan seharusnya jatuh ke arah Bumi tiap sekon?
Periksalah dengan orbitnya: Bulan menempuh lingkarannya yang berjari-jari $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ dalam $T = 27.3$ hari. Hitunglah lajunya $v$ , jarak $x$ yang ditempuhnya dalam satu sekon, lalu jatuhnya $h \approx x^2/(2d)$ (seperti pada Latihan 4.13).
Bandingkan jawaban pertanyaan 2 dan 3, lalu nyatakan apa yang disimpulkan Newton.

Solusi

Solusi Latihan 4.15.

1. Jaraknya $60$ kali lebih besar, sehingga tarikan per kilogramnya $60^2 = 3600$ kali lebih lemah.

2. Jatuhnya dalam satu sekon berskala dengan cara yang sama: $4.9/3600 \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ — sekitar $1.4\,\mathrm{mm}$ .

3. $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , sehingga $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dan $x = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ dalam satu sekon. Jatuhnya adalah $h \approx \dfrac{x^2}{2d} = \dfrac{(1.02 \times 10^{3})^2}{2 \times 3.84 \times 10^{8}} \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ .

4. Kedua bilangan itu sesuai: tiap sekon Bulan jatuh ke arah Bumi persis sebanyak yang diramalkan gravitasi berkebalikan kuadrat yang ditera pada sebuah apel yang jatuh. Newton menyimpulkan bahwa gaya yang menahan Bulan adalah gaya yang menjatuhkan apel — gravitasi bersifat semesta.

4.6 Soal: Menimbang Bumi

Soal 4.1

Soal akhir pekan — dari dua bola timbal di sebuah gudang sampai ke massa Bumi lalu massa Matahari: apa gunanya satu tetapan kecil yang diukur sekali saja

Pada tahun 1798 Henry Cavendish menggantungkan sebatang ringan yang membawa dua bola timbal kecil pada seutas kawat tipis, mendekatkan dua bola timbal besar, lalu mengukur puntiran kawat yang nyaris tidak ada. Surat kabar mengatakan ia telah menimbang Bumi — dan mereka benar: begitu $G$ diketahui, $g$ dan jari-jari Bumi sendiri menyerahkan massanya, dan orbit tahunan Bumi menyerahkan massa Matahari. Soal ini menelusuri kembali seluruh rantai itu. Pakailah kartu data di sepanjang soal.

Bagian I — Gaya yang paling lemah.

Besi Menara Eiffel bermassa sekitar $7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ . Seorang pelancong bermassa $55\,\mathrm{kg}$ berdiri $100\,\mathrm{m}$ dari pusat massanya. Hitunglah tarikan menara itu pada si pelancong.
Bandingkan dengan berat sebutir pasir $1.0\,\mathrm{mg}$ .
Latihan kesebandingan: apa yang terjadi pada gaya gravitasi apabila (a) jaraknya dikalikan $10$ ; (b) kedua massanya dikalikan $1000$ ; (c) kedua massanya dan jaraknya dikalikan $1000$ ?
Hitunglah tarikan Bumi pada benda $1.00\,\mathrm{kg}$ di permukaannya, dari $M$ , $R$ dan $G$ . Nama dan lambang sehari-hari apa yang dibawa bilangan ini?
Gravitasi jauh merupakan interaksi terlemah yang pernah kamu temui — namun gravitasilah yang menjalankan alam semesta. Jelaskan dalam satu atau dua kalimat mengapa tarikan Bumi padamu mengalahkan tarikan tetanggamu.

Bagian II — Neraca Cavendish. Di dalam neraca puntir itu, sebuah bola besar bermassa $m_1 = 158\,\mathrm{kg}$ menarik bola kecil bermassa $m_2 = 0.73\,\mathrm{kg}$ ; pusat keduanya terpisah $d = 0.23\,\mathrm{m}$ .

Dengan nilai $G$ yang modern, hitunglah gaya antara kedua bola itu.
Hitunglah berat bola kecilnya dan nisbah kedua gayanya. Mengapa Cavendish memerlukan kawat puntir dan bukan neraca biasa?
Puntiran yang diukur Cavendish bersesuaian (dalam satuan modern) dengan $F = 1.47 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ . Simpulkan nilai $G$ miliknya dan bandingkan dengan nilai masa kini.
Dengan $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ dan $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , simpulkan massa Bumi. (Inilah langkah yang dirayakan surat kabar itu.)
Simpulkan massa jenis rata-rata Bumi $\rho = M / V$ , dengan $V = \frac43 \pi R^3$ . Batuan permukaan bermassa jenis sekitar $2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : apa yang diungkapkan perbandingan itu tentang bagian dalam Bumi yang jauh di bawah?

Bagian III — Dunia yang lain.

Dari kartu data, hitunglah kembali kuat medan di permukaan Bulan.
Di Bumi, tolakan kaki yang baik mengangkat pusat massamu sejauh $0.50\,\mathrm{m}$ . Untuk tolakan yang sama, tinggi yang dicapai berbanding terbalik dengan $g$ (sebagaimana akan dibenarkan bab energi, Bab 9). Setinggi apa lompatan yang sama membawamu di Bulan?
Merkurius: $M = 3.30 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 2.44 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Hitunglah kuat medan di permukaannya dan bandingkan dengan Mars. Merkurius jauh lebih kecil daripada Mars — bagaimana kedua nilainya bisa sedemikian dekat?
Pada ketinggian berapa di atas permukaan Bumi kuat medannya turun menjadi setengah nilainya di permukaan?
Pada jarak berapa dari pusat Bumi tarikan Bumi per kilogram turun sampai nilai permukaan Bulan, yaitu $1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ? Nyatakan dalam jari-jari Bumi.

Bagian IV — Menimbang Matahari. Bumi menempuh orbit yang hampir berbentuk lingkaran berjari-jari $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ dalam satu tahun, $T = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ . Terimalah sebagai diketahui (hal ini dibuktikan pada Bab 27) bahwa benda pada lintasan lingkaran berjari-jari $d$ dengan laju $v$ memerlukan tarikan sebesar $v^2/d$ newton per kilogram menuju pusatnya.

Hitunglah laju orbit Bumi $v$ .
Simpulkan tarikan per kilogram yang dikerjakan Matahari pada Bumi.
Tarikan itu juga sama dengan $G M_{\text{Matahari}} / d^2$ . Simpulkan massa Matahari.
Berapa banyak Bumi itu? Bandingkan $M_{\text{Matahari}}$ dengan $M_{\text{Bumi}}$ .
Penutup. Bola-bola Cavendish, Bumi, Matahari: satu tetapan $G$ melayani ketiganya. Nyatakan dalam satu kalimat apa yang dibelikan kata semesta pada “gravitasi semesta” kepada kita di dalam soal ini.

Solusi

Solusi Soal 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7.3 \times 10^{6} \times 55}{100^2} \approx 2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ .

2. Butir pasir itu beratnya $1.0 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 9.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ : seluruh Menara Eiffel menarik si pelancong sekitar $3.7$ kali lebih lemah daripada berat sebutir pasir.

3. (a) Jaraknya $\times 10$ : gayanya dibagi $100$ . (b) Kedua massanya $\times 1000$ : gayanya dikalikan $10^6$ . (c) Massanya $\times 1000$ dan jaraknya $\times 1000$ : $10^6 / 10^6$ — gayanya tidak berubah.

4. $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 1.00}{(6.37 \times 10^{6})^2} \approx 9.81\,\mathrm{N}$ : berat satu kilogram — inilah tepatnya kuat medan $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

5. Gravitasi lemah per kilogram tetapi hanya pernah menarik, sehingga tarikan seluruh $5.97 \times 10^{24}$ kilogram Bumi bertambah pada arah yang sama — dan massa berukuran astronomi mengalahkan massa seorang tetangga dengan dua puluh dua pangkat sepuluh.

6. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{158 \times 0.73}{0.23^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{115.3}{0.0529} \approx 1.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .

7. Bola kecil itu beratnya $0.73 \times 9.81 \approx 7.2\,\mathrm{N}$ — sekitar $5 \times 10^{7}$ kali tarikan yang hendak dideteksi. Tidak ada neraca berpiring yang sanggup memisahkan satu bagian dari lima puluh juta; kawat puntir yang halus, yang terpuntir secara kasatmata di bawah momen gaya berukuran nanonewton, sanggup melakukannya.

8. $G = \dfrac{F d^2}{m_1 m_2} = \dfrac{1.47 \times 10^{-7} \times 0.0529}{115.3} \approx 6.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ — meleset sekitar $1\%$ dari nilai modern $6.67 \times 10^{-11}$ , dari sebuah gudang kayu pada tahun 1798. 9. Dari $g = G M / R^2$ :

M = \frac{g R^2}{G} = \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.

Enam juta miliar miliar kilogram: Bumi, tertimbang.

10. $V = \frac43 \pi R^3 = \frac43 \pi (6.37 \times 10^{6})^3 \approx 1.08 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$ , sehingga $\rho = 5.97 \times 10^{24}/1.08 \times 10^{21} \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — dua kali massa jenis batuan permukaan. Bagian dalamnya tentu menyembunyikan sesuatu yang jauh lebih rapat daripada granit: Bumi memiliki inti yang berat, yaitu inti besi.

11. $g_{\text{Bulan}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(1.74 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.90 \times 10^{12}} {3.03 \times 10^{12}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

12. Tingginya $\propto 1/g$ : $h = 0.50 \times \dfrac{9.81}{1.62} \approx 3.0\,\mathrm{m}$ — lompatan di tempat yang melewati ring bola basket, dalam gerak lambat.

13. $g_{\text{Merkurius}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 3.30 \times 10^{23}}{(2.44 \times 10^{6})^2} = \dfrac{2.20 \times 10^{13}} {5.95 \times 10^{12}} \approx 3.70\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — hampir persis sama dengan $3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ milik Mars. Massa Merkurius lebih kecil, tetapi jari-jarinya yang lebih kecil ( $R^2$ yang lebih kecil di penyebut) mengimbanginya: Merkurius adalah dunia yang jauh lebih rapat.

14. Kuat medan setengahnya menuntut $(R + h)^2 = 2 R^2$ , sehingga $R + h = R\sqrt{2}$ dan $h = (\sqrt{2} - 1) R \approx 0.414 \times 6.37 \times 10^{6} \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — sekitar $2600\,\mathrm{km}$ di atas permukaan.

15. $\dfrac{G M_{\text{Bumi}}}{d^2} = 1.62$ memberikan $d = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{1.62}} = \sqrt{2.46 \times 10^{14}} \approx 1.57 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 2.5$ jari-jari Bumi. Hanya dari satu setengah jari-jari di atas tanah, tarikan Bumi tidak lebih kuat daripada tarikan di permukaan Bulan.

16. $v = \dfrac{2\pi d}{T} = \dfrac{2\pi \times 1.496 \times 10^{11}}{3.156 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — tiga puluh kilometer tiap sekon.

17. $\dfrac{v^2}{d} = \dfrac{(2.98 \times 10^{4})^2}{1.496 \times 10^{11}} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : Matahari menarik tiap kilogram Bumi dengan sekitar enam milinewton.

18. $\dfrac{G M_{\text{Matahari}}}{d^2} = \dfrac{v^2}{d}$ memberikan

M_{\text{Matahari}} = \frac{v^2 d}{G} = \frac{8.87 \times 10^{8} \times 1.496 \times 10^{11}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}.

19. $\dfrac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} \approx 3.3 \times 10^{5}$ : Matahari setara sepertiga juta Bumi.

20. Karena $G$ yang sama mengatur setiap pasang massa, mengukurnya sekali saja antara dua bola timbal di sebuah gudang memungkinkan kita menimbang mula-mula planet di bawah kaki kita, lalu bintang yang kita orbiti — itulah harga kata semesta.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium