Fisika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

29Usaha dan Energi Mekanik

Jatuhkanlah sebutir kelereng ke dalam mangkuk salad: ia menukik, melampaui dasarnya, menanjak sampai ketinggian awalnya, ragu sejenak, lalu berbalik — dan setiap pembalikannya dapat diramalkan dari satu kurva (tampang mangkuknya) dan satu garis mendatar (energi kelerengnya), tanpa satu pun persamaan gerak diselesaikan. Tahun lalu memberi harga pada gaya di garis lurus (Bab 17) lalu menimbang energi kinetik terhadap energi potensial (Bab 18); tahun ini pembukuannya berlaku di mana saja: lintasan yang melengkung, pegas, bentang alam sekali pandang.

29.1 Usaha sepanjang lintasan mana pun

Definisi 29.1 (Usaha sepanjang lintasan)

Misalkan gaya $\vect F$ bekerja pada benda yang bergerak sepanjang lintasan mana pun dari $A$ ke $B$ : potonglah lintasannya menjadi perpindahan $\vect{\dd\ell}$ yang begitu pendek sehingga masing-masing lurus dan $\vect F$ hampir tidak berubah sepanjangnya. Tiap langkahnya memperoleh usaha kecil $\scal{F}{\dd\ell} = F\,\dd\ell\cos\theta$ (Bab 17), dan usaha sepanjang lintasan adalah jumlahnya, $W_{AB}(\vect F) = \sum \scal{F}{\dd\ell}$ — yang pada lintasan lurus dengan gaya tetap menyusut menjadi $F \times AB \times \cos\theta$ tahun lalu.

Lintasan yang melengkung adalah garis patah yang tersusun dari banyak langkah pendek: tiap memperoleh F\,; usahanya adalah jumlahnya. — Lintasan yang melengkung adalah garis patah yang tersusun dari banyak langkah pendek: tiap $\vect{\dd\ell}$ memperoleh $F\,\dd\ell\cos\theta$ ; usahanya adalah jumlahnya.

Proposisi 29.2 (Usaha berat, lintasan mana pun)

Sepanjang lintasan mana pun dari $A$ (berketinggian $z_A$ ) ke $B$ (berketinggian $z_B$ ), berat sebuah massa $m$ mengerjakan usaha $W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B)$ : penurunannya yang masuk, tidak pernah rutenya.

Bukti. Tiap langkah pendeknya menyumbang $mg \times (\text{penurunan kecil})$ (perhitungan ruas lurus tahun lalu); penurunannya berlipat teleskopik menjadi $z_A - z_B$ . Keadaan melengkungnya, yang saat itu diterima saja, kini terserahkan. ∎

Definisi 29.3 (Gaya konservatif dan tak konservatif)

Sebuah gaya disebut konservatif apabila usahanya antara dua titik sama sepanjang setiap lintasan (nol pada setiap perjalanan pulang pergi), dan tak konservatif sebaliknya. Berat dan gaya pegas (bagian berikutnya): konservatif. Gesekan gelincir tidak: karena berlawanan dengan geraknya, ia mengerjakan $W = -fL$ pada lintasan sepanjang $L$ — pungutan tiap meter, yang tidak pernah dikembalikan.

Contoh 29.4 (Dua jalan setapak ke pondoknya)

Seorang pendaki $75\,\mathrm{kg}$ menanjak $300\,\mathrm{m}$ melalui jalan curam sepanjang $800\,\mathrm{m}$ atau $2.4\,\mathrm{km}$ jalan berkelok. Beratnya memungut $-75 \times 9.81 \times 300 \approx -2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ pada keduanya; gaya gesekan $30\,\mathrm{N}$ memungut $-2.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ pada yang satu, $-7.2 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ pada yang lain. Beratnya mengembalikan pungutannya saat menurun; tagihan gesekannya lenyap menjadi kalor, pada kedua arahnya.

29.2 Energi potensial

Definisi 29.5 (Energi potensial)

Pada setiap gaya konservatif dilekatkan sebuah energi potensial $E_p$ , yaitu bilangan yang hanya bergantung pada kedudukannya, yang ditakrifkan oleh $W_{AB} = E_p(A) - E_p(B)$ : usaha yang diserahkan adalah energi potensial yang dibelanjakan. Dengan menetapkan $E_p = 0$ pada titik acuan pilihan, nilainya tertetapkan di mana-mana; pilihan itu menggeser semua nilainya sebesar tetapan yang saling meniadakan pada setiap selisihnya. Untuk beratnya ini memulihkan $E_p = mgz$ tahun lalu, yang kini berlaku sepanjang lintasan mana pun. Gesekan tidak dapat memiliki $E_p$ : tagihan yang bergantung pada rutenya bukanlah selisih bilangan di kedua ujungnya — hanya gaya konservatif yang menyimpan secara terambil kembali, tepat seperti yang dilestarikan namanya.

Proposisi 29.6 (Energi potensial elastis)

Pegas berkekakuan $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) yang teregang atau termampat sebesar $x$ menarik kembali dengan gaya $F = kx$ (Bab 28); usaha yang diserahkannya saat kembali ke keadaan diamnya — yaitu energi potensial elastisnya — adalah $E_p = \tfrac12\, k x^2$ .

Bukti. Gaya pemulihnya bekerja sepanjang geraknya, sehingga $\sum F\,\dd\ell$ adalah luas di bawah grafik $F$ – $x$ : sebuah segitiga beralas $x$ dan bertinggi $kx$ , yang luasnya $\tfrac12 x \times kx$ . Gayanya pada tiap reganganya sama saat pergi dan saat kembali: usahanya tertetapkan oleh kedua ujungnya, gaya pegasnya konservatif, dan $E_p$ tertakrif dengan baik. ∎

Gaya pegasnya tumbuh bersama regangannya; energi yang tersimpan adalah luas di bawah garisnya: sebuah segitiga, 1/2 × x × kx. — Gaya pegasnya tumbuh bersama regangannya; energi yang tersimpan adalah luas di bawah garisnya: sebuah segitiga, $\tfrac12 \times x \times kx$ .

29.3 Kedua teorema energinya

Teorema 29.7 (Teorema energi kinetik)

Untuk gerak apa pun sebuah benda bermassa $m$ dari $A$ ke $B$ — melengkung, melingkar penuh, tiga dimensi —

\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

dengan jumlahnya melingkupi semua gaya yang bekerja pada bendanya.

Bukti. Karena $v^2 = \scal{v}{v}$ , kaidah hasil kali pada matematika tahun ini memberikan turunan $v^2$ sebagai $2\,\scal{a}{v}$ , sehingga $\dd E_k/\dd t = m\,\scal{a}{v} = \scal{F_{\text{tot}}}{v}$ menurut hukum kedua Newton (Bab 25). Dalam $\dd t$ yang singkat bendanya berpindah $\vect{\dd\ell} = \vect v\,\dd t$ : $E_k$ memperoleh usaha kecil pada Definisi 29.1; menjumlahkan langkahnya berarti menjumlahkan usahanya — pernyataan yang tahun lalu diterima saja, kini diperoleh penuh. ∎

Proposisi 29.8 (Daya sesaat)

Pada setiap saat sebuah gaya $\vect F$ pada benda berkecepatan $\vect v$ menyerahkan daya $P = \scal{F}{v} = Fv\cos\theta$ , dan $\dd E_k/\dd t$ adalah jumlah daya semua gayanya: rumus kecepatan tetap tahun lalu, yang tepat pada tiap saat gerak apa pun.

Bukti. Bacalah dari bukti sebelumnya: tiap gayanya memasok $\scal{F}{\dd\ell} = \scal{F}{v}\,\dd t$ ke dalam $E_k$ selama $\dd t$ . ∎

Teorema 29.9 (Teorema energi mekanik)

Misalkan $E_m = E_k + E_p$ , dengan $E_p$ menghimpun energi potensial semua gaya konservatif yang bekerja. Maka, sepanjang lintasan mana pun,

\Delta E_m = W_{AB}(\text{gaya tak konservatif}),

dan $E_m$ kekal setiap kali gaya tak konservatifnya tidak mengerjakan usaha.

Bukti. Pecahlah teorema energi kinetiknya: $\Delta E_k = W_{\text{kons}} + W_{\text{nk}} = -\Delta E_p + W_{\text{nk}}$ ; pindahkanlah $\Delta E_p$ ke ruas lain. ∎

Contoh 29.10 (Bandulnya, kali ini dengan jujur)

Sebutir beban bandul pada kawat sepanjang $L = 2.5\,\mathrm{m}$ dilepaskan dari keadaan diam pada $45{}^{\circ}$ dari garis tegak. Tegangannya, yang tegak lurus geraknya, tak berdaya; beratnya konservatif: $E_m$ kekal pada busur yang melengkung itu, yang tahun lalu hanya dapat diperiksa. Bebannya bermula $h = L(1 - \cos45{}^{\circ}) = 0.73\,\mathrm{m}$ di atas, sehingga di dasarnya $v = \sqrt{2gh} \approx 3.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Metode 29.11 (Memeriksa neraca energi gerak apa pun)

Pilihlah sistemnya lalu daftarlah gaya yang bekerja padanya.
Pilahlah: tegak lurus geraknya $\to$ tanpa usaha; konservatif $\to$ sebuah $E_p$ di dalam $E_m$ ; sisanya $\to$ $W_{\text{nk}}$ (gesekan gelincir: $-fL$ , dengan $L$ panjang lintasannya).
Tulislah $\Delta E_m = W_{\text{nk}}$ antara titik datanya dan titik pertanyaannya; lalu selesaikan. Energi menjawab “secepat apa, setinggi apa”; hanya waktu dan percepatan yang membutuhkan hukum Newton.

29.4 Diagram energi

Definisi 29.12 (Diagram energi, titik balik)

Untuk gerak sepanjang satu sumbu $x$ dengan $E_m$ yang kekal, diagram energi melukiskan kurva $E_p(x)$ dan garis mendatar $E_m$ . Karena $E_k = E_m - E_p \geq 0$ , geraknya terkurung pada tempat kurvanya terletak di bawah garisnya; celah antara keduanya adalah $E_k$ , yang terbaca langsung. Pada titik balik, tempat kurvanya bertemu garisnya, $v = 0$ dan geraknya berbalik.

Sebuah diagram energi, yang dibaca tanpa menyelesaikan apa pun: dengan energi E_m bendanya berosilasi antara x_1 dan x_2, paling cepat di tempat celahnya paling besar; dengan E_m' ia merayap melewati bukitnya lalu lolos. — Sebuah diagram energi, yang dibaca tanpa menyelesaikan apa pun: dengan energi $E_m$ bendanya berosilasi antara $x_1$ dan $x_2$ , paling cepat di tempat celahnya paling besar; dengan $E_m'$ ia merayap melewati bukitnya lalu lolos.

Proposisi 29.13 (Gaya dari bentang alamnya; kesetimbangannya)

Gaya konservatif sepanjang $x$ adalah minus kemiringan $E_p$ : $F = -\,\dd E_p/\dd x$ — ia menunjuk menuruni bukit pada diagramnya, dan lenyap di tempat garis singgungnya mendatar: sebuah kesetimbangan. Titik minimum $E_p$ bersifat mantap — benda yang disimpangkan didorong kembali, seperti bola di lembah; titik maksimum bersifat goyah — bendanya didorong menjauh, seperti bola di puncak bukit.

Bukti. Pada langkah kecil $\dd x$ gayanya mengerjakan $F\,\dd x = E_p(x) - E_p(x + \dd x) = -\dd E_p$ ; bagilah dengan $\dd x$ . Arah menurun di kedua sisi sebuah lembah menunjuk kembali ke dalam; di sekitar puncak bukit, ke luar. ∎

Catatan 29.14 (Osilasi dan pelolosan)

Osilasi kecil pada Bab 28 bersemayam di dasar lembah $E_p$ . Dan jauh dari Bumi gravitasinya melemah: kurva $E_p(r)$ menanjak kian lambat menuju sebuah langit-langit yang berhingga (luas di bawah grafik gaya yang menyusut itu berhingga). Roket yang $E_m$ -nya mencapai langit-langitnya tidak pernah menemui titik balik: ia lolos — sekitar $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dari tanah (Latihan 29.13); di bawah itu ia terikat. Langit-langitnya sendiri dihitung pada jilid Tahun ke-1.

Contoh 29.15 (Lingkaran maut)

Sebutir kelereng yang dilepaskan dari ketinggian $H$ meluncur masuk ke lingkaran tegak berjari-jari $R$ . Dinamika melingkarnya (Bab 25) menuntut $v_{\text{atas}}^2 \geq gR$ di puncaknya — data yang dipinjam soal lintasan luncur tahun lalu, kini milik kita. Kekekalan dari keadaan diam pada $H$ sampai ke puncaknya (setinggi $2R$ ) memberikan $v_{\text{atas}}^2 = 2g(H - 2R)$ , sehingga $H \geq \tfrac52 R$ : setengah jari-jari di atas puncak lingkarannya, berapa pun massanya — sedikit lebih tinggi di dunia yang sesungguhnya, yang bergesekan.

Lingkaran maut: titik lepasnya terletak setengah jari-jari di atas puncaknya, sehingga sisa E_k-nya menjaga kelerengnya tetap tertekan (v_ atas2 = gR). — Lingkaran maut: titik lepasnya terletak setengah jari-jari di atas puncaknya, sehingga sisa $E_k$ -nya menjaga kelerengnya tetap tertekan ( $v_{\text{atas}}^2 = gR$ ).

29.5 Latihan

Latihan 29.1 ★

Sebuah pegas berkekakuan $k = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ diregangkan sebesar $5.0\,\mathrm{cm}$ . Hitunglah energi yang tersimpannya; menjadi berapa nilainya jika regangannya digandakan? Berapa ongkos $5.0\,\mathrm{cm}$ yang kedua itu?

Solusi

Solusi Latihan 29.1.

$E_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}$ . Dengan regangan yang digandakan: $\times 4$ , yaitu $1.0\,\mathrm{J}$ . $5.0\,\mathrm{cm}$ yang kedua itu sendiri berongkos $1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J}$ — gayanya di sana lebih besar.

Latihan 29.2 ★

Sebuah pesawat nirawak $0.90\,\mathrm{kg}$ terbang berkelana dari teras di $z = 12\,\mathrm{m}$ ke balkon di $z = 30\,\mathrm{m}$ . Berapa usaha beratnya? Sepanjang tanjakan lurusnya? Pada perjalanan pulang perginya?

Solusi

Solusi Latihan 29.2.

$W = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx -1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J}$ , apa pun rutenya — sama saja pada tanjakan yang lurus. Perjalanan pulang perginya: $0\,\mathrm{J}$ (gaya konservatif).

Latihan 29.3 ★

Konservatif, tak konservatif, atau tanpa usaha? Berikan alasannya dari lintasannya: (a) beratnya; (b) gaya pegasnya; (c) gesekan gelincirnya; (d) gaya normal pada peti yang meluncur; (e) hambatan udaranya.

Solusi

Solusi Latihan 29.3.

(a), (b) konservatif: usahanya tertetapkan oleh kedua ujungnya (penurunan ketinggian; regangan). (c), (e) tak konservatif: $-fL$ dan hambatannya memungut tiap meter yang ditempuh. (d) tanpa usaha: selalu tegak lurus geraknya.

Latihan 29.4 ★

Sebuah bandul sepanjang $2.0\,\mathrm{m}$ dilepaskan dari keadaan diam pada $60{}^{\circ}$ dari garis tegak. Carilah lajunya di titik terendahnya. Mengapa tegangan kawatnya tidak pernah masuk ke dalam neracanya?

Solusi

Solusi Latihan 29.4.

$h = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tegangannya tegak lurus geraknya pada setiap saat: dayanya nol, usahanya nol.

Latihan 29.5 ★

Seorang pesepeda melaju $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di jalan datar, menyerahkan $250\,\mathrm{W}$ : berapa gaya penghambat seluruhnya yang dilawannya? Ketika menanjak pada $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dengan daya yang sama: gaya berapa yang diatasinya?

Solusi

Solusi Latihan 29.5.

$F = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}$ . Pada $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N}$ (sebagian besar komponen gravitasi lerengnya).

Latihan 29.6 ★★

Pegas sebuah peluncur mainan ( $k = 450\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) dimampatkan sebesar $8.0\,\mathrm{cm}$ di belakang panah $20\,\mathrm{g}$ . Carilah energi yang tersimpan, laju luncurnya, dan ketinggian yang dicapainya jika ditembakkan lurus ke atas (tanpa udara).

Solusi

Solusi Latihan 29.6.

$E_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $h = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}$ .

Latihan 29.7 ★★

Sambil meregangkan seutas karet gelang, seorang siswa mengukur $F = 0$ , $3.0$ , $7.0$ , $12.0$ , $18.0\,\mathrm{N}$ pada $x = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0$ , $8.0\,\mathrm{cm}$ . Taksirlah energi yang tersimpannya dengan luas trapesium; bandingkan dengan $\tfrac12 kx^2$ , dengan mengambil $k = F/x$ di ujungnya. Mengapa keduanya berbeda?

Solusi

Solusi Latihan 29.7.

Trapesiumnya (langkah $2.0\,\mathrm{cm}$ ): $(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) = 0.62\,\mathrm{J}$ . Model garis lurusnya: $k = 18.0/0.080 = 225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}$ . Kurva terukurnya melendut di bawah garis lurusnya pada $x$ yang kecil, sehingga luas sejatinya lebih kecil.

Latihan 29.8 ★★

Seorang peluncur seluncur $55\,\mathrm{kg}$ bermula dari keadaan diam, turun $8.0\,\mathrm{m}$ sepanjang lintasan melengkung $25\,\mathrm{m}$ , lalu tiba pada $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Berapa energi mekanik yang hilang? Berapa gaya gesekan rata-ratanya? Mengapa bentuk persis lintasannya tidak penting?

Solusi

Solusi Latihan 29.8.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times 8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}$ . Beratnya konservatif, gaya normalnya tanpa usaha: hanya penurunan dan panjang lintasannya yang masuk, bukan bentuknya.

Latihan 29.9 ★★

Sebuah lintasan kelereng memiliki lingkaran berjari-jari $20\,\mathrm{cm}$ . Carilah ketinggian lepas terkecilnya (dari keadaan diam, tanpa gesekan). Dilepaskan dari $60\,\mathrm{cm}$ : berapa lajunya di puncak lingkarannya, dan berapa nisbah $v_{\text{atas}}^2/(gR)$ ? Mengapa lintasan yang sesungguhnya harus diluncurkan dari tempat yang lebih tinggi lagi?

Solusi

Solusi Latihan 29.9.

$H_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}$ . Dari $60\,\mathrm{cm}$ : $v_{\text{atas}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dan $v_{\text{atas}}^2/(gR) = 2.0$ — dua kali nilai terkecilnya. Gesekannya menyerok energi sepanjang jalan, sehingga lintasan yang sesungguhnya membutuhkan ketinggian tambahan.

Latihan 29.10 ★★

Sebutir manik $100\,\mathrm{g}$ meluncur tanpa gesekan sepanjang sebuah sumbu, dengan $E_p(x) = 8.0\,x^2$ (dalam joule, $x$ dalam meter) dan $E_m = 2.0\,\mathrm{J}$ . Di mana titik baliknya? Berapa laju terbesarnya? Gerak macam apa ini?

Solusi

Solusi Latihan 29.10.

Titik baliknya: $8.0\,x^2 = 2.0$ , $x = \pm0.50\,\mathrm{m}$ . Laju terbesarnya pada $x = 0$ : $v = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Sebuah osilasi maju mundur di dalam sumur parabolik — $E_p$ osilator pegas–massanya persis berbentuk begini.

Latihan 29.11 ★★

Sebuah mobil $1200\,\mathrm{kg}$ pada $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dihentikan oleh pegas penyangganya yang berkekakuan $k = 6.0 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Carilah pemampatan terbesarnya. Pada $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : mengapa bukan empat kali lipat, padahal energinya melipatempat?

Solusi

Solusi Latihan 29.11.

$\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2$ : $x = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}$ . Pada $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $18\,\mathrm{cm}$ — dua kali, bukan empat kali: energinya melipatempat, tetapi $E_p$ tumbuh seperti $x^2$ , sehingga $x$ hanya berlipat dua.

Latihan 29.12 ★★★

Sebuah kereta $0.50\,\mathrm{kg}$ menggelinding pada lintasan yang $E_p(x)$ -nya memiliki puncak bukit $6.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 0$ ) dan lembah $2.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 1.5\,\mathrm{m}$ ). (a) Tiba dari kiri dengan $E_m = 5.0\,\mathrm{J}$ : apakah keretanya lewat? Jika tidak, apa yang terjadi? (b) Dengan $E_m = 7.0\,\mathrm{J}$ : berapa lajunya di puncak bukit dan di lembahnya? (c) Di mana kesetimbangannya?

Solusi

Solusi Latihan 29.12.

(a) $E_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}$ : keretanya tidak dapat lewat; ia berhenti di lerengnya tempat $E_p = 5.0\,\mathrm{J}$ lalu menggelinding kembali. (b) Puncak bukitnya: $E_k = 1.0\,\mathrm{J}$ , $v = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; lembahnya: $E_k = 5.0\,\mathrm{J}$ , $v \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $x = 0$ : goyah (maksimum); $x = 1.5\,\mathrm{m}$ : mantap (minimum).

Latihan 29.13 ★★★

Dengan menerima bahwa menghela massa $m$ dari tanah sampai sejauh apa pun berongkos $mgR_E$ , $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (luas berhingga di bawah grafik gravitasi yang melemah itu), hitunglah laju lepas dari Bumi. Mengapa sama saja bagi wahana dan bagi kerikil? Dan bagaimana peluncuran tepat di bawahnya?

Solusi

Solusi Latihan 29.13.

$\tfrac12 mv^2 = mgR_E$ : $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Tiap sukunya sebanding dengan $m$ : wahana dan kerikil sama saja. Tepat di bawahnya, peluncurannya masih menanjak amat jauh, menemui titik balik, lalu jatuh kembali: terikat.

Latihan 29.14 ★★★

Sebuah kereta luncur $250\,\mathrm{g}$ berosilasi pada pegas ( $k = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) beramplitudo $6.0\,\mathrm{cm}$ (Bab 28). Berapa energi seluruhnya? Berapa laju terbesarnya? Di kedudukan mana $E_k = E_p$ ?

Solusi

Solusi Latihan 29.14.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx 0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k = E_p$ di tempat $\tfrac12 kx^2 = E_m/2$ : $x = \pm A/\sqrt 2 \approx \pm4.2\,\mathrm{cm}$ .

Latihan 29.15 ★★★

Seorang pelompat galah berlari cepat pada $9.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Taksirlah ketinggian yang diperoleh pusat massanya jika galahnya mengubah seluruh energi kinetiknya, dan mistar yang terlewati (pusat massanya bermula $1.0\,\mathrm{m}$ di atas). Rekornya sekitar $6.3\,\mathrm{m}$ : apa yang tertangkap taksirannya, dan apa yang ditinggalkannya?

Solusi

Solusi Latihan 29.15.

$h = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}$ ; mistarnya $\approx 4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}$ . Rekornya lebih tinggi: pelompatnya menambahkan usaha dengan lengan dan kakinya pada galah yang melentur. Namun taksiran energinya menetapkan skalanya — tidak ada lompatan pelari cepat yang akan mencapai $10\,\mathrm{m}$ .

29.6 Soal: Lompat ski

Soal 29.1

Soal akhir pekan — lompat ski: sebuah landasan luncur yang diperiksa neracanya oleh pengukur laju, sebuah penerbangan jatuh bebas, ilmu ukur yang lembut dari pendaratan yang curam, dan menara yang harus dibeli perancangnya sekali gesekannya menagih

Seorang pelompat ski Olimpiade ( $m = 70\,\mathrm{kg}$ , termasuk skinya) bermula dari keadaan diam di gerbang $H = 45\,\mathrm{m}$ di atas meja lepas landasnya, meluncur $L = 90\,\mathrm{m}$ di landasan luncur yang melengkung, lalu lepas dari mejanya secara mendatar; pengukur laju di sana membaca $v_0 = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Titik pendaratannya terletak $h = 40\,\mathrm{m}$ lebih rendah, pada lereng $35{}^{\circ}$ . Bagian II dan III mengabaikan hambatan udara.

Bagian I — Landasan luncurnya.

Ramalkanlah laju lepas landas tanpa gesekannya; mengapa lengkungan landasan luncurnya tidak penting?
Dengan acuan di mejanya: hitunglah $E_m$ di gerbangnya dan saat lepas landasnya.
Hitunglah $\Delta E_m$ ; teorema mana yang menyebutkan pelakunya, dan siapa?
Perolehlah gaya penghambat rata-ratanya (salju ditambah udara) sepanjang lintasannya.
Berapa bagian $E_m$ yang hilang? Mengapa skinya dilapisi lilin dan tubuhnya membungkuk?

Bagian II — Penerbangannya.

Hanya beratnya yang bekerja saat terbang: gerak mana pada Bab 26 ini? Berapa komponen kecepatannya saat mendarat?
Berapa laju pendaratannya, dua kali: dari komponennya, dan dari kekekalan $E_m$ . Berapa dalam $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Hitunglah waktu terbangnya dan jarak mendatar yang diterbanginya.
Pelompat yang sesungguhnya menunggangi udara bagaikan sayap, terbang jauh lebih jauh: dapatkah udara menaikkan laju pendaratannya? Berilah alasan dengan teorema energi mekaniknya.

Bagian III — Pendaratannya.

Hitunglah sudut kecepatan pendaratannya di bawah garis mendatar.
Uraikanlah kecepatan itu menjadi komponen sejajar dan tegak lurus lerengnya.
Kakinya hanya menyerap bagian yang tegak lurusnya: hitunglah energi kinetik itu; bandingkan dengan energi seluruhnya.
Tanah yang datar akan menyerap semuanya: setara dengan penurunan tegak berapakah tiap pendaratannya ( $h_{\text{ek}} = v_\perp^2/2g$ , atau $v^2/2g$ )?
Satu kalimat: mengapa bukit pendaratannya curam dan melengkung?

Bagian IV — Menara perancangnya. Bukit yang lebih kecil hanya membutuhkan lepas landas pada $v_0' = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; landasan luncurnya yang lurus menurun pada $35{}^{\circ}$ , sehingga tinggi gerbang $H'$ berarti panjang lintasan $H'/\sin35{}^{\circ}$ ; dengan hambatan $80\,\mathrm{N}$ yang sama.

Hitunglah tinggi gerbang yang akan dibangun perancang tanpa gesekan.
Tulislah teorema energi mekaniknya, dari gerbang ke meja, untuk $H'$ .
Selesaikanlah untuk $H'$ .
Berapa persen gesekannya menaikkan menaranya?
Massanya tidak lagi saling meniadakan: hitunglah kembali $H'$ untuk pelompat $60\,\mathrm{kg}$ . Siapa yang membutuhkan menara lebih tinggi, dan mengapa?
Kesimpulannya: menara yang diumumkan, dan bagian gesekan di dalamnya.

Solusi

Solusi Soal 29.1.

1. $v = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \approx 29.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : beratnya konservatif, gaya normalnya tanpa usaha — tampangnya gugur dari perhitungan.

2. Gerbangnya: $E_m = mgH = 70 \times 9.81 \times 45 \approx 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Lepas landasnya: $E_m = \tfrac12 \times 70 \times 26^2 \approx 2.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ .

3. $\Delta E_m \approx -7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; teorema energi mekaniknya menagihkannya kepada gaya tak konservatifnya: gesekan saljunya dan hambatan udaranya.

4. $f = 7.2 \times 10^{3}/90 \approx 80\,\mathrm{N}$ .

5. $7.2 \times 10^{3}/3.09 \times 10^{4} \approx 23\%$ . Lilinnya menurunkan $f$ , membungkuk menurunkan hambatannya: keduanya menyusutkan $fL$ , satu-satunya suku yang dapat ditawar.

6. Jatuh bebas dengan kecepatan awal yang mendatar — sebuah gerak proyektil. $v_x = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = \sqrt{2 \times 9.81 \times 40} \approx 28.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

7. $v = \sqrt{26^2 + 28.0^2} = \sqrt{1461} \approx 38.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dengan energi: $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{676 + 785}$ — serupa. Sekitar $138\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. $t = v_y/g = 28.0/9.81 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0 t \approx 74\,\mathrm{m}$ .

9. Tidak. Gaya angkatnya tegak lurus kecepatannya (tanpa usaha) dan hambatannya melawannya (usaha negatif): $\Delta E_m \leq 0$ , sehingga laju pendaratan yang sesungguhnya hanya dapat menjadi lebih kecil — udaranya memanjangkan penerbangannya, bukan menyuapinya.

10. $\alpha = \arctan(28.0/26) \approx 47{}^{\circ}$ di bawah garis mendatarnya.

11. Sudutnya terhadap lerengnya: $47 - 35 = 12{}^{\circ}$ . $v_\parallel = 38.2\cos12{}^{\circ} \approx 37.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_\perp = 38.2\sin12{}^{\circ} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

12. Yang terserap: $\tfrac12 \times 70 \times 7.9^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ , terhadap $\tfrac12 \times 70 \times 38.2^2 \approx 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ seluruhnya: sekitar $4\%$ .

13. $h_{\text{ek}} = 7.9^2/19.62 \approx 3.2\,\mathrm{m}$ — lompatan berani dari sebuah tembok. Datar: $38.2^2/19.62 \approx 74\,\mathrm{m}$ — tidak terselamatkan.

14. Lereng yang sejajar dengan lintasan terbangnya menjaga $v_\perp$ tetap kecil, sehingga kakinya menyerap beberapa meter, bukan seluruh gunung energi kinetiknya.

15. $H'_0 = v_0'^2/2g = 576/19.62 \approx 29.4\,\mathrm{m}$ .

16. $mgH' - f\,\dfrac{H'}{\sin35{}^{\circ}} = \tfrac12 m v_0'^2$ .

17. $H' = \dfrac{\tfrac12 \times 70 \times 576} {686.7 - 80/0.574} = \dfrac{20\,160}{547} \approx 37\,\mathrm{m}$ .

18. $36.8/29.4 \approx 1.25$ : tambahan sebesar $25\%$ .

19. Untuk $60\,\mathrm{kg}$ : $H' = 17\,280/(588.6 - 139.5) \approx 38.5\,\mathrm{m}$ . Pelompat yang lebih ringan membutuhkan menara yang lebih tinggi: tagihan gesekannya $fL$ sama saja, tetapi anggaran energinya $mgH'$ lebih kecil.

20. Umumkanlah menara $37\,\mathrm{m}$ untuk lepas landas $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — lalu akuilah bahwa seperempatnya, sekitar $7\,\mathrm{m}$ beton, adalah tambahan yang dipungut gesekan atas impian tanpa gesekan itu.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 393 istilah di glosarium