Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

20Mechanische golven

Zaterdagavond, een vol stadion: een rimpeling van opstaande toeschouwers raast in minder dan een minuut de tribunes rond, en toch verlaat niemand zijn stoel. De kring van een kiezelsteen steekt de vijver over terwijl de kurk alleen op en neer danst. Dit hoofdstuk bestudeert de reiziger zelf — de golf — en de vier getallen die haar temmen: snelheid, vertraging, periode en golflengte — genoeg om een aardbeving van een strook papier af te lezen.

20.1 De verstoring reist, het midden blijft

Definitie 20.1 (Mechanische golf)

Een mechanische golf is een verstoring die zich door een stoffelijk midden voortplant — touw, water, lucht, gesteente — en die energie draagt zonder materie te vervoeren: elk stukje van het midden zwaait even ter plaatse heen en weer, geeft de beweging door en komt weer tot rust.

Voorbeeld 20.2 (Geen vervoer van materie)

Bij de stadiongolf is het “midden” de menigte: wat reist is de daad van het opstaan, terwijl elke toeschouwer zijn stoel houdt. Op de vijver groeit de kring, maar een drijvende kurk danst alleen op en neer.

Definitie 20.3 (Transversale en longitudinale golven)

Een golf is transversaal wanneer het midden loodrecht op de voortplanting beweegt: een bult snelt langs een aangetikt touw terwijl elk punt alleen op en neer gaat. Ze is longitudinaal wanneer het midden langs de voortplanting beweegt: een zone van samengedrukte windingen reist door een aangeduwde veer, terwijl elke winding ter plaatse heen en weer zwaait.

Transversaal (touw): het midden beweegt loodrecht op de voortplanting. Longitudinaal (veer): verdichtingen reizen, windingen zwaaien ter plaatse.

Opmerking 20.4 (Geluid is longitudinaal)

Geluid is de longitudinale golf bij uitstek: samengedrukte lucht — hogere druk (Hoofdstuk 7) — reist van de bron naar het trommelvlies; Hoofdstuk 21 is eraan gewijd. Aardbevingen sturen beide soorten uit: P-golven drukken het gesteente samen, S-golven schudden het zijwaarts.

20.2 Snelheid en vertraging

Definitie 20.5 (Voortplantingssnelheid)

De voortplantingssnelheid van een golf is de afstand die de verstoring aflegt, gedeeld door de tijd die dat kost: $v = d/t$ . Het is de snelheid van de reizende vorm, niet die van het midden.

Een puls op een touw, twee keer gefotografeerd: de top is 2.4\, m opgeschoven in 0.30\, s, dus v = 8.0\, m/ s — de vorm reist, het touw blijft. — Een puls op een touw, twee keer gefotografeerd: de top is $2.4\,\mathrm{m}$ opgeschoven in $0.30\,\mathrm{s}$ , dus $v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — de vorm reist, het touw blijft.

Propositie 20.6 (Het midden bepaalt de snelheid)

Voor kleine verstoringen hangt de voortplantingssnelheid alleen van het midden af, niet van de vorm of de grootte van de verstoring. Op een gespannen touw groeit $v$ met de spankracht en daalt ze met de massa per meter: strak en licht is snel, slap en zwaar is traag.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 20.7 (Waar de formule staat)

De exacte snelheidsformule voor het touw wordt afgeleid in het volume van bachelorjaar 1; dit jaar volstaan de experimentele feiten hierboven.

Voorbeeld 20.8 (Geluidssnelheden)

Geluid reist met $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in lucht, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in water en $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in staal — hoe stijver, hoe sneller. Vandaar het oor op de rails uit de westerns: het staal kondigt de trein het eerst aan.

Definitie 20.9 (Vertraging)

Een golf met snelheid $v$ bereikt een punt op afstand $d$ na de vertraging $\tau = d/v$ : twee punten op afstand $d$ herhalen dezelfde beweging, waarbij het verste $\tau$ achterloopt — de afstandsmeting met echo’s uit Hoofdstuk 8, achterstevoren gelezen.

Propositie 20.10 (Superpositie zonder wisselwerking)

Waar twee golven elkaar overlappen, is de uitwijking van het midden op elk ogenblik de som van de uitwijkingen die elk afzonderlijk zou veroorzaken; na het kruisen loopt elke golf onveranderd door — afgeleid in het volume van bachelorjaar 2 uit de lineariteit van de bewegingsvergelijkingen.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 20.11 (Kruisende pulsen)

Stuur vanaf elk uiteinde van een touw een bult omhoog: waar ze elkaar ontmoeten, rijst het touw even tot de som van de twee hoogten; daarna komen er twee ongeschonden bulten uit — zoals twee kruisende gesprekken elk hun eigen luisteraar bereiken.

20.3 Periodieke golven: de dubbele periodiciteit

Definitie 20.12 (Periodieke golf)

Wanneer de bron haar beweging herhaalt met periode $T$ en frequentie $f = 1/T$ (Hoofdstuk 8), voedt ze het midden met een periodieke golf: elk punt herhaalt zijn eigen beweging met periode $T$ , en elk loopt op zijn buren achter met de vertraging van de looptijd.

Definitie 20.13 (Golflengte)

Een momentopname van een periodieke golf toont een patroon dat zich in de ruimte herhaalt; de ruimtelijke periode ervan — van top tot top — is de golflengte $\lambda$ , in meter. Een periodieke golf is dubbel periodiek: met periode $T$ in de tijd in elk punt, en met periode $\lambda$ in de ruimte op elk ogenblik.

Stelling 20.14 (De golfbetrekking)

Een periodieke golf met snelheid $v$ , periode $T$ en frequentie $f$ heeft golflengte $\lambda = v\,T = v/f$ .

Bewijs. In één periode schuift het patroon $v\,T$ naar voren; maar de bron — en daarmee elk punt — is dan terug in haar begintoestand, dus valt het opgeschoven patroon samen met het oorspronkelijke: de herhalingsafstand is $v\,T$ . ∎

Twee keer dezelfde sinus: de momentopname herhaalt zich om de in de ruimte, het signaal in één punt om de T in de tijd; = v\,T. — Twee keer dezelfde sinus: de momentopname herhaalt zich om de $\lambda$ in de ruimte, het signaal in één punt om de $T$ in de tijd; $\lambda = v\,T$ .

Opmerking 20.15 (De frequentie hoort bij de bron)

Bij de overgang van het ene midden naar het andere — geluid van lucht naar water — behoudt een golf haar frequentie, die de bron oplegt, terwijl haar snelheid verandert; volgens $\lambda = v/f$ verandert de golflengte mee.

Voorbeeld 20.16 (Kamertoon a, in lucht en onder water)

De kamertoon a van $440\,\mathrm{Hz}$ uit Hoofdstuk 8 heeft golflengte $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ in lucht en $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ in water: dezelfde noot, uitgerekt door het snellere midden.

Definitie 20.17 (In fase, in tegenfase)

Twee punten die een geheel aantal golflengten uit elkaar liggen, $d = k\lambda$ , bewegen op elk ogenblik gelijk: ze zijn in fase. Punten op afstand $d = (k + \tfrac12)\lambda$ bewegen altijd tegengesteld — top tegen dal: ze zijn in tegenfase.

Methode 20.18 (De dubbele periodiciteit aflezen)

Lees op een opname $y(t)$ in een vast punt $T$ af, van top tot top; dan is $f = 1/T$ .
Lees op een momentopname $y(x)$ op een vast ogenblik $\lambda$ af, van top tot top.
Leid $v = \lambda/T = \lambda f$ af; toets die aan een rechtstreekse tijdmeting $v = d/\tau$ wanneer je die hebt.
Verwar de twee grafieken nooit: op de ene as staan seconden, op de andere meters.

20.4 Golffronten en verzwakking

Definitie 20.19 (Golffront)

Een golffront is een lijn (of vlak) van punten die de golf op hetzelfde ogenblik bereikt — een topkam op de vijver. Vanuit een puntbron zijn de golffronten uitdijende cirkels; ver van elke bron zijn ze vrijwel recht. De golf plant zich loodrecht op haar golffronten voort, met opeenvolgende toppen $\lambda$ uit elkaar.

Definitie 20.20 (Verzwakking)

De afname van de amplitude van een golf tijdens haar voortplanting is haar verzwakking. Twee oorzaken tellen op: de energie van een cirkelvormig golffront wordt over een steeds langere kam verdeeld, en het midden absorbeert onderweg een beetje. Rechte golffronten ontsnappen aan de eerste oorzaak — en zo kan de deining van een verre storm een oceaan oversteken.

Cirkelvormige golffronten, één golflengte uit elkaar, doven uit doordat de energie over steeds langere kammen wordt verdeeld; rechte fronten (rechts) doven traag uit.

20.5 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

Een stadiongolf legt de ring van $320\,\mathrm{m}$ rond de tribunes af in $40\,\mathrm{s}$ . (a) Bereken haar snelheid. (b) Reist er een toeschouwer rond de ring? Wat wel? (c) Elke toeschouwer staat $1.5\,\mathrm{s}$ na zijn buurman op $12\,\mathrm{m}$ afstand op: ga na of dat klopt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

(a) $v = 320/40 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Geen enkele toeschouwer beweegt langs de ring: de verstoring (de daad van het opstaan) reist, de menigte niet. (c) $12/1.5 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — dat klopt.

Oefening 20.2 ★

Transversaal of longitudinaal? (a) een puls op een touw dat op en neer wordt geschud; (b) een verdichting die door een veer wordt gestuurd; (c) geluid in lucht; (d) een rimpeling op een vijver (het oppervlak danst verticaal, de kring reist horizontaal); (e) seismische P-golven (die samendrukken langs de looprichting) en S-golven (die zijwaarts schudden).

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

(a) transversaal; (b) longitudinaal; (c) longitudinaal; (d) transversaal; (e) P longitudinaal, S transversaal.

Oefening 20.3 ★

De donder bereikt je $4.0\,\mathrm{s}$ na de flits. (a) Hoever weg sloeg de bliksem in ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )? (b) Een duiker hoort dezelfde vertraging tussen een flits en een knal onder water ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): hoever weg zit die bron? (c) Wat moet je weten voordat je een vertraging in een afstand omzet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

(a) $d = 340 \times 4.0 \approx 1.4\,\mathrm{km}$ . (b) $1500 \times 4.0 = 6.0\,\mathrm{km}$ . (c) De voortplantingssnelheid in het doorkruiste midden.

Oefening 20.4 ★

Bereken de golflengte van een geluid van $440\,\mathrm{Hz}$ in lucht en in water. Wanneer het geluid van lucht naar water oversteekt, welke van $f$ , $v$ en $\lambda$ veranderen er, en welke blijft vast?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

$\lambda = v/f$ : $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ in lucht en $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ in water. De frequentie blijft vast (de bron legt haar op); $v$ en $\lambda$ veranderen allebei.

Oefening 20.5 ★

Op een vijver liggen naburige rimpeltoppen $12\,\mathrm{cm}$ uit elkaar en schuiven de kringen op met $0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bepaal de golflengte, de periode en de frequentie van de golf.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

$\lambda = 12\,\mathrm{cm}$ ; $T = \lambda/v = 0.12/0.30 = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $f = 1/T = 2.5\,\mathrm{Hz}$ .

Oefening 20.6 ★★

Een puls op een lang touw wordt twee keer gefotografeerd, met $0.30\,\mathrm{s}$ ertussen: de top zit op $x = 1.0\,\mathrm{m}$ en daarna op $3.4\,\mathrm{m}$ . (a) Wat is de snelheid? (b) Wanneer bereikt de puls de muur op $x = 7.0\,\mathrm{m}$ ? (c) Er zit een lintje geknoopt op $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : hoe beweegt dat wanneer de puls passeert?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

(a) $v = 2.4/0.30 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Vanaf de eerste foto heeft de top nog $6.0\,\mathrm{m}$ te gaan: $t = 6.0/8.0 = 0.75\,\mathrm{s}$ daarna. (c) Het lintje gaat omhoog en weer omlaag, zuiver dwars op de voortplanting, en blijft op $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : het touw reist niet mee.

Oefening 20.7 ★★

Twee pulsen omhoog, met hoogten $3.0\,\mathrm{cm}$ en $2.0\,\mathrm{cm}$ , reizen elk met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar elkaar toe, met de toppen $4.0\,\mathrm{m}$ uit elkaar. (a) Wanneer vallen de toppen samen? (b) Hoe hoog is het touw dan maximaal? (c) Idem als de kleine puls omlaag wijst. (d) Hoe ziet het touw er vlak daarna uit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

(a) Naderingssnelheid $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , gat $4.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ . (b) Superpositie: $3.0 + 2.0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ . (c) $3.0 - 2.0 = 1.0\,\mathrm{cm}$ . (d) Er komen twee ongeschonden pulsen uit die onveranderd doorlopen, alsof ze elkaar nooit hadden ontmoet.

Oefening 20.8 ★★

(a) Twee waslijnen staan onder dezelfde spanning; door elk wordt een puls gestuurd. Welke is sneller: de dunne of de dikke? Waarom? (b) Een gitarist spant een snaar aan: wat gebeurt er met de golfsnelheid? (c) Reist de puls sneller als je twee keer zo hard aantikt (een hogere puls)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

(a) De dunne: minder massa per meter bij gelijke spanning geeft een snellere golf. (b) Ze neemt toe (grotere spankracht). (c) Nee: de snelheid hangt alleen van het midden af, niet van de grootte van de puls.

Oefening 20.9 ★★

Een werker slaat op een rail $1.8\,\mathrm{km}$ verderop; jij luistert met één oor op het staal. Bereken de aankomsttijden door de rail ( $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en door de lucht ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), en het gat tussen de twee knallen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

Rail: $1800/5900 \approx 0.31\,\mathrm{s}$ ; lucht: $1800/340 \approx 5.3\,\mathrm{s}$ ; gat $\approx 5.0\,\mathrm{s}$ .

Oefening 20.10 ★★

Een touw draagt een periodieke golf met golflengte $24\,\mathrm{cm}$ . In fase, in tegenfase, of geen van beide, voor puntafstanden van (a) $48\,\mathrm{cm}$ ; (b) $12\,\mathrm{cm}$ ; (c) $36\,\mathrm{cm}$ ; (d) $30\,\mathrm{cm}$ ; (e) $6.0\,\mathrm{cm}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

Met $\lambda = 24\,\mathrm{cm}$ : (a) $2\lambda$ , in fase; (b) $\lambda/2$ , in tegenfase; (c) $\tfrac32\lambda$ , in tegenfase; (d) $1.25\lambda$ , geen van beide; (e) $\lambda/4$ , geen van beide.

Oefening 20.11 ★★

Een aardbeving stuurt P-golven met $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en S-golven met $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ uit, allebei met periode $2.0\,\mathrm{s}$ . Bereken beide golflengten, vergelijk ze met een gebouw, en verklaar waarom een hele wijk vrijwel gelijktijdig op en neer gaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.11.

$\lambda_P = 6.0 \times 2.0 = 12\,\mathrm{km}$ ; $\lambda_S = 3.5 \times 2.0 = 7.0\,\mathrm{km}$ — honderden keren de afmeting van een gebouw. Punten die veel dichter bij elkaar liggen dan $\lambda$ zijn vrijwel in fase, dus beweegt de hele wijk samen.

Oefening 20.12 ★★★

Een opname van de waterhoogte bij een boei toont toppen om de $0.50\,\mathrm{s}$ ; een luchtfoto toont toppen op $0.75\,\mathrm{m}$ afstand. (a) Bepaal $T$ en $f$ . (b) Bepaal $\lambda$ . (c) Leid de snelheid af. (d) De boei zit op $t = 0$ op een top: wanneer weer? (e) Is een punt op $1.875\,\mathrm{m}$ in fase met de boei, in tegenfase, of geen van beide?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.12.

(a) $T = 0.50\,\mathrm{s}$ , $f = 2.0\,\mathrm{Hz}$ . (b) $\lambda = 0.75\,\mathrm{m}$ . (c) $v = \lambda/T = 0.75/0.50 = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) Op $t = T = 0.50\,\mathrm{s}$ . (e) $1.875/0.75 = 2.5$ golflengten $= (2 + \tfrac12)\lambda$ : in tegenfase.

Oefening 20.13 ★★★

Een verankerde boei maakt $10$ volledige trillingen in $80\,\mathrm{s}$ op een regelmatige deining waarvan de toppen $120\,\mathrm{m}$ uit elkaar liggen. (a) Bepaal de periode en de frequentie. (b) Bepaal de snelheid van de deining, in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) Hoe lang doet een top die nu bij de boei is erover om het strand op $900\,\mathrm{m}$ te bereiken? (d) Drijft de boei ermee naar de kust?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.13.

(a) $T = 80/10 = 8.0\,\mathrm{s}$ , $f = 0.125\,\mathrm{Hz}$ . (b) $v = \lambda/T = 120/8.0 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) $t = 900/15 = 60\,\mathrm{s}$ . (d) Nee: golven vervoeren geen materie — de verankerde boei danst alleen op en neer.

Oefening 20.14 ★★★

Twee identieke pulsen, de ene omhoog en de andere omlaag, reizen elk met $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar elkaar toe, met hun middens $6.0\,\mathrm{m}$ uit elkaar. (a) Wanneer vallen hun middens samen, en hoe ziet het touw er dan uit? (b) Is het touw dan in rust? Waar is de energie gebleven? (c) Wat gebeurt er daarna? (d) Waarom betekent “even helemaal vlak” niet “er is niets”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.14.

(a) Ze naderen met $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ over $6.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ ; de tegengestelde uitwijkingen heffen elkaar op — het touw is even helemaal vlak. (b) Nee: de punten ervan bewegen (de dwarse snelheden tellen op in plaats van elkaar op te heffen); de energie is volledig kinetisch. (c) De twee pulsen duiken weer op en lopen onveranderd door. (d) Het vlakke touw draagt snelheid, en dus energie: de golf zit op dat ogenblik opgeslagen in beweging, niet in vorm.

Oefening 20.15 ★★★

De rimpeling van een kiezelsteen breidt zich uit over een stille vijver. (a) Bereken de lengte van de topkam bij $r = 0.50\,\mathrm{m}$ en $r = 8.0\,\mathrm{m}$ ; met welke factor groeit ze? (b) De energie van de kam blijft ruwweg behouden: wat gebeurt er met de energie per meter, en met de amplitude? (c) Waarom verzwakt een deining met een recht front veel minder? (d) En de stadiongolf, helemaal niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.15.

(a) $2\pi r$ : $3.1\,\mathrm{m}$ en $50\,\mathrm{m}$ — $\times 16$ . (b) De energie per meter daalt met $16$ , dus zakt de amplitude (de energie groeit met de amplitude). (c) Rechte fronten worden niet langer: alleen de absorptie blijft over. (d) Het midden is actief: elke toeschouwer staat op zijn eigen spierenergie op en voedt de golf steeds opnieuw.

20.6 Probleem: Een seismogram lezen

Probleem 20.1

Weekendopgave — een seismogram lezen: twee golven racen weg uit een gebroken breuk, drie cirkels prikken het epicentrum vast, en een trage derde golf geeft een kustlijn haar waarschuwing

Nachtdienst op een seismologisch observatorium. Om 09:14:32 springt de naald van station A op: eerst scherpe snelle trillingen, daarna tragere, bredere uitslagen. Ergens is gesteente gebroken; twee golven racen door de aardkorst naar buiten: P-golven, verdichtingen met $v_P = 6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , en S-golven, een zijwaartse schudding met $v_S = 3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Deel I — Twee golven, één klok.

Deel P- en S-golven op grond van de beschrijvingen hierboven in als transversaal of longitudinaal.
Welke golf komt op elk station het eerst aan? Bereken de looptijden van beide over $d = 120\,\mathrm{km}$ .
Toon aan dat het gat tussen de aankomsten van P en S gelijk is aan $\Delta t = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ , en bereken het voor $d = 120\,\mathrm{km}$ .
Leid de afstandsregel van de seismoloog $d = \dfrac{v_P\,v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t$ af en toon aan dat de coëfficiënt ongeveer $8.4\,\mathrm{km}$ per seconde gat bedraagt.
Waarom groeit het gat met de afstand — en waarom is dat een geschenk voor een station dat het begin van de beving niet heeft gezien?

Deel II — Cirkels op de kaart.

Station A meet $\Delta t_A = 25\,\mathrm{s}$ . Hoever ligt het epicentrum van A?
Leg uit waarom die ene aflezing het epicentrum op een cirkel legt en niet op een punt.
De stations B en C meten $\Delta t_B = 15\,\mathrm{s}$ en $\Delta t_C = 32\,\mathrm{s}$ : wat zijn hun afstanden tot het epicentrum?
Leg uit hoe de drie cirkels samen het epicentrum vastprikken.
De P-golf bereikte A om 09:14:32. Bereken haar looptijd vanaf het epicentrum, en het tijdstip waarop de beving begon.

Deel III — De golf die de oceaan oversteekt. De drie cirkels snijden elkaar voor de kust: de breuk brak onder de zeebodem en zette de waterkolom in beweging. Lange golven op diep water reizen met een snelheid die door de diepte wordt bepaald — ongeveer $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op de open oceaan, ongeveer $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vlak bij een strand (hier aangenomen; de formule wordt afgeleid in het volume van bachelorjaar 1). Een haven ligt $D = 600\,\mathrm{km}$ van het epicentrum.

Zet $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ om naar $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en noem een voertuig met een vergelijkbare kruissnelheid.
Hoe lang doet de tsunami erover om de haven te bereiken?
De seismometer van de haven voelt eerst de P-golf. Na hoeveel tijd? Als het alarm op dat ogenblik afgaat, hoeveel waarschuwingstijd krijgt de kust dan vóór de tsunami?
Op zee is de periode van de tsunami ongeveer $15\,\mathrm{min}$ . Bereken haar golflengte daar, en leg uit waarom een schip haar niet opmerkt.
Dicht bij het strand zakt de snelheid tot $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terwijl de periode vastligt. Bereken de nieuwe golflengte. Wat moet er met de golf gebeuren nu ze zich opeenhoopt?

Deel IV — Energie, en het rapport. Een zware beving maakt in de orde van $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ vrij, die door de golven wordt weggedragen.

Bereken de lengte van een cirkelvormig golffront op $10\,\mathrm{km}$ van het epicentrum, en daarna op $210\,\mathrm{km}$ ; met welke factor is het gegroeid?
Leid daaruit af waarom het schudden met de afstand afneemt zelfs in een verliesvrije aardkorst — en noem de tweede oorzaak die een echte korst eraan toevoegt.
Een vloeistof kan geen schuifspanning verdragen. Stations aan de overkant registreren de P-golf maar geen S-golf: wat verraadt dat over de kern van de Aarde?
De hogesnelheidstrein uit het energiehoofdstuk van vorig jaar (Hoofdstuk 18) draagt ongeveer $1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ kinetische energie: hoeveel van zulke treinen is $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ waard?
Het rapport, in twee zinnen: waar en wanneer vond de beving plaats, en hoeveel waarschuwing kreeg de haven? Geef de drie getallen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. P drukt samen langs de looprichting: longitudinaal; S schudt zijwaarts: transversaal.

2. P, de snelste, komt overal het eerst aan. $t_P = 120/6.0 = 20\,\mathrm{s}$ ; $t_S = 120/3.5 \approx 34\,\mathrm{s}$ .

3. $\Delta t = d/v_S - d/v_P = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ ; voor $120\,\mathrm{km}$ : $34.3 - 20 \approx 14\,\mathrm{s}$ .

4. Los op naar $d$ : $d = \dfrac{v_P v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t = \dfrac{6.0 \times 3.5}{2.5}\,\Delta t = 8.4\,\mathrm{km}$ per seconde gat.

5. $\Delta t \propto d$ : de eigen opname van één station geeft zijn afstand tot het epicentrum zonder dat het begintijdstip bekend hoeft te zijn.

6. $d_A = 8.4 \times 25 = 2.1 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

7. Het gat geeft een afstand, geen richting: het epicentrum ligt ergens op de cirkel met straal $d_A$ om A.

8. $d_B = 8.4 \times 15 = 1.3 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ ; $d_C = 8.4 \times 32 \approx 2.7 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

9. Twee cirkels snijden elkaar in twee punten; de derde kiest er één uit: het gemeenschappelijke snijpunt is het epicentrum.

10. $t_P = 210/6.0 = 35\,\mathrm{s}$ : de beving begon om $09{:}14{:}32 - 35\,\mathrm{s} = 09{:}13{:}57$ .

11. $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 720\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — een verkeersvliegtuig op kruishoogte.

12. $t = 6.0 \times 10^{5}/200 = 3.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{min}$ .

13. $t_P = 600/6.0 = 100\,\mathrm{s}$ . Waarschuwingstijd: $3000 - 100 = 2.9 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 48\,\mathrm{min}$ .

14. $\lambda = vT = 200 \times 900 = 1.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m} = 180\,\mathrm{km}$ : een meter of zo stijging uitgesmeerd over $180\,\mathrm{km}$ — het schip klimt in enkele minuten over een onmerkbare helling.

15. $\lambda = 10 \times 900 = 9.0\,\mathrm{km}$ : de golf hoopt zich twintigvoudig op, haar energie propt zich in een kortere lengte, dus moet haar hoogte groeien — de tsunami steigert bij de kust.

16. $2\pi r$ : $63\,\mathrm{km}$ , daarna $\approx 1.3 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ — $\times 21$ .

17. Dezelfde energie wordt over een $21$ keer langer front verdeeld, dus zakt de amplitude zelfs in een verliesvrije korst; een echte korst voegt er absorptie aan toe.

18. S-golven, transversale schuifgolven, kunnen niet door een vloeistof: de schaduw van de S-golven laat zien dat de (buiten)kern vloeibaar is.

19. $1 \times 10^{15}/1.5 \times 10^{9} \approx 6.7 \times 10^{5}$ : ongeveer zevenhonderdduizend treinen op volle snelheid.

20. De beving vond plaats om $09{:}13{:}57$ , voor de kust op het snijpunt van de drie cirkels, $210\,\mathrm{km}$ van station A. Het P-golfalarm van de haven ging $100\,\mathrm{s}$ na het begin af, ongeveer $48\,\mathrm{min}$ voordat de tsunami arriveerde.