Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

27Satellieten en de beweging van de planeten

De schotel op het balkon zit vastgeschroefd en staart toch de hele dag naar één vast punt van de hemel, $36\,000\,\mathrm{km}$ hoog; het ruimtestation steekt de avondhemel in minuten over; een zwerm vliegende klokken vertelt je telefoon waar je staat. Geen van die machines heeft een motor draaien: ze vallen allemaal gewoon. Dit hoofdstuk rekent uit hoe snel en hoe hoog elk daarvan moet vallen — en weegt met dezelfde wet planeten.

27.1 Vallen rond de Aarde

Alles rust op de wet die we eerder hebben opgemeten (Hoofdstuk 4): de Aarde, met massa $M$ , trekt aan een satelliet met massa $m$ waarvan het middelpunt op een afstand $r$ van het hare ligt, met een kracht naar het middelpunt van de Aarde en met grootte

F = G\,\frac{m M}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.

Let op wat $r$ is: de afstand tussen de middelpunten. Een satelliet op hoogte $h$ heeft $r = R + h$ , met $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ de straal van de Aarde — de $R$ vergeten is de klassieke blunder van dit hoofdstuk.

Opmerking 27.1 (Het kanon van Newton, opnieuw)

Horizontaal afgeschoten landt een kanonskogel; sneller landt hij verder; bij de juiste snelheid kromt de grond precies even snel weg als de kogel valt, en sluit de val zich: een omloopbaan. Een satelliet heeft geen motor nodig — alleen de juiste snelheid opzij.

Het kanon van Newton: steeds sneller afgeschoten landt de kogel verder (oranje); bij ongeveer 7.9\, km/ s volgt zijn val de kromming van de Aarde en komt hij in een omloopbaan (blauw); nog sneller ontsnapt hij (rood). — Het kanon van Newton: steeds sneller afgeschoten landt de kogel verder (oranje); bij ongeveer $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ volgt zijn val de kromming van de Aarde en komt hij in een omloopbaan (blauw); nog sneller ontsnapt hij (rood).

27.2 De cirkelvormige omloopbaan: één snelheid, één omlooptijd

Stelling 27.2 (Baansnelheid)

Een satelliet in een eenparige cirkelvormige omloopbaan met straal $r$ om een lichaam met massa $M$ beweegt met de snelheid

v = \sqrt{\frac{G M}{r}},

die niet van de massa van de satelliet afhangt.

Bewijs. De gravitatie is de enige kracht, dus luidt de tweede wet van Newton (Stelling 25.5) $m\vect a = \vect F$ ; projecteer die op het frenetstelsel (Definitie 24.13). De kracht mikt op het middelpunt: haar tangentiële component is nul, dus is de snelheid constant; haar normale component is de volle $GmM/r^2$ , en bij een cirkelbeweging is $a_n = v^2/r$ (Stelling 24.12). Dus $m v^2/r = GmM/r^2$ , en — $m$ valt weg — $v^2 = GM/r$ . ∎

Het hele mechanisme van een omloopbaan: de snelheid raakt de baan, de kracht wijst naar het middelpunt — de gravitatie remt de satelliet nooit af, ze buigt alleen zijn weg, voor altijd.

Propositie 27.3 (Omlooptijd van een satelliet)

De satelliet doorloopt zijn omloopbaan in de omlooptijd

T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}.

Bewijs. Eén ronde is de omtrek $2\pi r$ bij constante snelheid; vul $v = \sqrt{GM/r}$ in: $T = 2\pi r\sqrt{r/(GM)} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ . ∎

Noch $v$ noch $T$ bevat $m$ : een schroefje dat van het ruimtestation loskomt, draait er gewoon naast mee. En beide dalen met $r$ : hoe hoger de omloopbaan, hoe trager de satelliet, in snelheid ( $v \propto 1/\sqrt r$ ) en in hoek ( $T \propto r^{3/2}$ ).

Voorbeeld 27.4 (Het ruimtestation)

Het internationale ruimtestation vliegt op hoogte $h \approx 400\,\mathrm{km}$ , dus $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ; met $GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ is $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.7 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $T = 2\pi r/v \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ : elke anderhalf uur een ronde om de planeet, en zo’n zestien zonsopgangen per dag voor de astronauten.

Voorbeeld 27.5 (De Maan valt zoals de appel)

De Maan, op $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , draait rond in $T = 27.3\,\mathrm{d} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , dus $v = 2\pi r/T \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $a = v^2/r \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — precies $g/60^2$ , en de Maan staat $60$ aardstralen ver: de aantrekking die de appel laat vallen buigt de Maan, verdund door het omgekeerde kwadraat. Elke seconde “valt” de Maan ongeveer $1.4\,\mathrm{mm}$ naar ons toe, terwijl haar kilometer opzij haar eromheen draagt — de controle die Newton in 1666 uitvoerde.

27.3 De wetten van Kepler

Newton heeft het omgekeerde kwadraat niet geraden: hij haalde het uit drie regelmatigheden die Johannes Kepler tussen 1609 en 1619 destilleerde uit twintig jaar planeetposities die Tycho Brahe met het blote oog had gemeten — de beste gegevens van de wereld vóór de telescoop.

Definitie 27.6 (Ellips)

Een ellips is de verzameling punten waarvan de afstanden tot twee vaste punten, de brandpunten, een constante som hebben; de helft van haar langste middellijn is de halve lange as $a$ , en een cirkel is het geval waarin de brandpunten samenvallen. De punten van de omloopbaan van een planeet die het dichtst bij en het verst van de Zon liggen, zijn haar perihelium en aphelium.

Stelling 27.7 (Wetten van Kepler)

Voor de planeten die om de Zon (massa $M$ ) draaien:

elke omloopbaan is een ellips met de Zon in één brandpunt;
het lijnstuk Zon–planeet bestrijkt gelijke oppervlakken in gelijke tijden;
de verhouding van het kwadraat van de omlooptijd tot de derde macht van de halve lange as is voor alle planeten dezelfde: $T^2/a^3 = 4\pi^2/(G M)$ .

Dezelfde wetten regeren elke familie satellieten om elk centraal lichaam, met $M$ de centrale massa.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 27.8 (Wat we dit jaar kunnen bewijzen)

Voor een cirkelvormige omloopbaan is de derde wet van ons: kwadrateer Propositie 27.3 en je krijgt $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ — één constante voor elke satelliet van hetzelfde middelpunt. Dat ellipsen, gelijke oppervlakken en de algemene $a$ uit het omgekeerde kwadraat volgen, wordt met meer analyse in het volume van bachelorjaar 1 aangetoond. Ondertussen laat de tweede wet zich lezen: de planeet gaat het snelst in het perihelium, waar het korte lijnstuk zich moet haasten.

De tweede wet van Kepler: in één maand bij het perihelium P bestrijkt de planeet een korte, dikke sector; bij het aphelium A een lange, dunne — gelijke oppervlakken: ze haast zich als ze dichtbij is en treuzelt als ze ver weg is. — De tweede wet van Kepler: in één maand bij het perihelium $P$ bestrijkt de planeet een korte, dikke sector; bij het aphelium $A$ een lange, dunne — gelijke oppervlakken: ze haast zich als ze dichtbij is en treuzelt als ze ver weg is.

De acht planeten op log–log-assen: een rechte met helling 3/2, oftewel T2 a3 — de derde wet van Kepler, die in deze eenheden (astronomische eenheden, jaren) eenvoudig T2 = a3 luidt. — De acht planeten op log–log-assen: een rechte met helling $3/2$ , oftewel $T^2 \propto a^3$ — de derde wet van Kepler, die in deze eenheden (astronomische eenheden, jaren) eenvoudig $T^2 = a^3$ luidt.

27.4 Omloopbanen aan het werk

Definitie 27.9 (Geostationaire baan)

Een satelliet beschrijft een geostationaire baan wanneer hij boven één vast punt van de grond blijft hangen. Zijn omloopbaan moet cirkelvormig zijn, in het vlak van de evenaar liggen, en een omlooptijd van één siderische dag hebben, $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ( $23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4\,\mathrm{s}$ ): de tijd die de Aarde nodig heeft om één keer om haar as te draaien ten opzichte van de sterren. (De dag van $24\,\mathrm{h}$ is ten opzichte van de Zon, waarheen de Aarde per dag ook nog een graad opschuift.)

Voorbeeld 27.10 (De geostationaire hoogte)

De derde wet van Kepler, achterstevoren gelezen, legt de straal vast: $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = \left(3.98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2/4\pi^2\right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — een hoogte $h = r - R \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ , doorlopen met $v = 2\pi r/T \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Elke relais die “stil hangt” zit op deze ene cirkel boven de evenaar — een andere is er niet.

Voorbeeld 27.11 (De navigatiezwerm)

Satellietnavigatiesystemen laten een dertigtal satellieten vliegen op $r \approx 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (hoogte $\approx 20\,200\,\mathrm{km}$ ), waar Propositie 27.3 $T \approx 4.32 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ geeft: een halve siderische dag, zodat elke satelliet zijn spoor over de grond dagelijks overdoet. Je ontvanger vergelijkt de aankomsttijden van hun kloksignalen met omloopbanen die tot op meters bekend zijn.

Methode 27.12 (Een wereld wegen aan zijn satelliet)

Om de massa van een planeet of een ster te meten: zoek er een willekeurige satelliet bij (een maan, een sonde, een planeet), meet de straal $r$ en de omlooptijd $T$ van zijn omloopbaan, en keer de derde wet om:

M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}.

Dit weegt alleen het centrale lichaam — de massa van de satelliet viel weg in Stelling 27.2. Elke massa op de gegevenskaart is zo verkregen: de Aarde uit de Maan, de Zon uit de omloopbaan van de Aarde zelf.

Opmerking 27.13 (Hoger is trager — maar duurder)

Omdat $v = \sqrt{GM/r}$ , kruipt de Maan met $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ terwijl het station met $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ raast. Toch is de hogere omloopbaan de duurdere: klimmen tegen de gravitatie in slaat potentiële energie op (de rekening wordt in Hoofdstuk 29 vereffend), en de winst aan $E_p$ weegt zwaarder dan het verlies aan $E_k$ . Daarom brandt een raket vooruit om een hogere, tragere omloopbaan te bereiken — en spiraalt een satelliet die door ijle lucht wordt afgeremd omlaag, en gaat daarbij sneller.

Opmerking 27.14 (Gegevenskaart)

Tenzij anders vermeld: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; Aarde: $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , siderische dag $86\,164\,\mathrm{s}$ ; omloopbaan van de Maan: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , $T = 27.3\,\mathrm{d}$ ; Zon: $M = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; afstand Aarde–Zon $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; één jaar $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ; Mars: $M = 6.42 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 3.39 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

27.5 Oefeningen

Oefening 27.1 ★

Een satelliet van $1000\,\mathrm{kg}$ staat op het lanceerplatform en vliegt daarna op hoogte $400\,\mathrm{km}$ . Bereken de aantrekking van de Aarde op beide plaatsen: welk percentage blijft er in de ruimte over — en waarom zweven de inzittenden dan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.1.

Op het platform: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx 9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . Op $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — nog altijd $89\%$ van de waarde op de grond. De inzittenden zweven omdat ze samen met het station vallen, niet omdat de gravitatie weg is.

Oefening 27.2 ★

Bereken voor een (theoretische) satelliet die rakelings over het aardoppervlak scheert ( $r = R$ ) de baansnelheid en de omlooptijd. Vergelijk met de kanonskogel van Newton (Opmerking 27.1).

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.2.

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 84\,\mathrm{min}$ . Precies de $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ van de kanonskogel: een scherende omloopbaan is het schot van Newton.

Oefening 27.3 ★

Een satelliet wordt van een cirkelvormige omloopbaan met straal $r$ naar een met straal $2r$ gebracht. Met welke factor veranderen zijn snelheid en zijn omlooptijd? Hangen de antwoorden van zijn massa af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.3.

$v \propto 1/\sqrt{r}$ : gedeeld door $\sqrt 2 \approx 1.41$ . $T \propto r^{3/2}$ : vermenigvuldigd met $2^{3/2} \approx 2.8$ . Geen van beide bevat $m$ : nee.

Oefening 27.4 ★

Doe de getallen van het station over: bereken uit $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ de waarden van $v$ en $T$ , en het aantal omloopbanen dat het in $24\,\mathrm{h}$ aflegt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.4.

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$ ; $86\,400/5546 \approx 15.6$ omloopbanen per dag.

Oefening 27.5 ★

Formuleer de drie wetten van Kepler. Waar op zijn zeer uitgerekte ellips gaat een komeet het snelst, en welke wet zegt dat? Hangt de omlooptijd van een satelliet van zijn eigen massa af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.5.

Ellipsen met de Zon in een brandpunt; gelijke oppervlakken in gelijke tijden; $T^2/a^3$ gelijk voor alle planeten. Het snelst in het perihelium, volgens de tweede wet (het korte lijnstuk moet snel bestrijken). Nee: de massa van de satelliet valt weg — alleen de centrale massa doet mee.

Oefening 27.6 ★★

Weeg de Aarde: bereken uit de straal en de omlooptijd van de Maan (gegevenskaart) de massa van de Aarde en vergelijk met de waarde op de kaart.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.6.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 2.24 \times 10^{27}/371 \approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — tot op $1\%$ de $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ van de kaart.

Oefening 27.7 ★★

Een bedrijf stelt een satelliet voor die permanent boven Parijs (breedtegraad $49^\circ$ noord) blijft hangen. Leg met de richting van de gravitatie uit waarom elke cirkelvormige omloopbaan het middelpunt van de Aarde als middelpunt heeft; concludeer dat het voorstel onmogelijk is. Waar kan een satelliet blijven hangen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.7.

De gravitatie wijst naar het middelpunt van de Aarde, en bij een cirkelbeweging wijst de resulterende kracht naar het middelpunt van de cirkel: die twee middelpunten vallen samen. Een cirkel boven de breedtecirkel van Parijs heeft zijn middelpunt op de as, niet in het middelpunt van de Aarde — onmogelijk. Stilhangen lukt alleen waar de breedtecirkel een grote cirkel om het middelpunt is: boven de evenaar.

Oefening 27.8 ★★

Phobos draait om Mars op $r = 9.38 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ in $T = 7\,\mathrm{h} 39\,\mathrm{min}$ . Leid de massa van Mars af; vergelijk met de gegevenskaart.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.8.

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — de Mars van de gegevenskaart.

Oefening 27.9 ★★

Mars draait om de Zon op $a = 2.279 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ in $687\,\mathrm{d}$ . Bereken $T^2/a^3$ voor Mars en voor de Aarde (gegevenskaart), controleer de derde wet van Kepler, en leid de massa van de Zon af.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.9.

Aarde: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ . Mars: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — gelijk, zoals de derde wet eist. Dan is $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19}) \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

Oefening 27.10 ★★

De maantoets van Newton: bereken uit de gegevenskaart de snelheid van de Maan en haar middelpuntzoekende versnelling $a = v^2/r$ . Toon aan dat die gelijk is aan $g/60^2$ , en zeg waarom dat Newton ervan overtuigde dat één wet over appel en Maan regeert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.10.

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/r = 2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . De Maan staat $60$ aardstralen ver en haar val is $60^2$ keer zwakker dan die van de appel: precies het omgekeerde kwadraat — één wet voor beide.

Oefening 27.11 ★★

In eenheden van de Zon (astronomische eenheden, jaren) luidt de derde wet van Kepler $T^2 = a^3$ : de rechte van de log–log-grafiek uit de cursus. Zet er de planetoïde Ceres op, $a = 2.77\,\mathrm{au}$ , en de komeet van Halley, $a = 17.8\,\mathrm{au}$ : bereken beide omlooptijden. Halley kwam voor het laatst in 1986 door het perihelium — wanneer wordt hij terugverwacht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.11.

Ceres: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{jaar}$ . Halley: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{jaar}$ , dus het volgende perihelium rond $1986 + 75 \approx 2061$ .

Oefening 27.12 ★★★

IJle lucht strijkt langs het station, en toch neemt zijn snelheid toe naarmate het hoogte verliest. Bereken $v$ op de hoogten $400\,\mathrm{km}$ en $350\,\mathrm{km}$ , en los daarna de paradox op: wrijving remt dingen af — waar komt de extra snelheid vandaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.12.

Op $400\,\mathrm{km}$ : $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; op $350\,\mathrm{km}$ ( $r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ): $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De wrijving tapt wel degelijk mechanische energie af — de omloopbaan krimpt; maar onderweg naar beneden vergoedt de arbeid van de gravitatie meer dan het snelheidsverlies aan de luchtweerstand: $E_m$ daalt terwijl $E_k$ stijgt.

Oefening 27.13 ★★★

Een telescoop vindt een exoplaneet die elke $3.50\,\mathrm{d}$ om haar ster draait op $r = 7.48 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ . Weeg de ster, in kilogram en in zonsmassa’s. Welke massa — die van de ster of die van de planeet — valt zo niet te krijgen, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.13.

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) = 1.65 \times 10^{31}/6.10 \approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ zonsmassa’s. De massa van de planeet blijft buiten bereik: die viel weg uit de vergelijkingen van de omloopbaan.

Oefening 27.14 ★★★

Kolonisten op Mars willen een “areostationair” relais boven hun basis. Mars draait ten opzichte van de sterren in $24\,\mathrm{h}$ $37\,\mathrm{min}$ om haar as: bereken de straal van de omloopbaan en de hoogte boven het marsoppervlak (gegevenskaart).

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.14.

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$ : $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$ , dus $r \approx 2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ en $h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 17\,000\,\mathrm{km}$ boven de grond van Mars.

Oefening 27.15 ★★★

De komeet van Halley passeert het perihelium op $r_p = 8.77 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ met $54.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ; het aphelium ligt op $r_a = 5.25 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ . In beide uitersten staat de snelheid loodrecht op het lijnstuk Zon–komeet, en de tweede wet van Kepler dwingt dan $r_p v_p = r_a v_a$ af (gelijke bestreken driehoeken met oppervlakte $\tfrac12 r v\,\Delta t$ ). Leid de snelheid in het aphelium af en becommentarieer de verhouding.

Oplossing

Oplossing van Oefening 27.15.

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} / 5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Omdat $r_a/r_p \approx 60$ , staat de komeet $60$ keer verder en gaat hij $60$ keer trager: hij treuzelt decennialang in het donker en sprint in enkele weken langs de Zon.

27.6 Probleem: Een plaats boven de evenaar

Probleem 27.1

Weekendopgave — een satelliet boven de evenaar zetten: waarom de enige parkeerplaats aan de hemel een cirkel op $35\,800\,\mathrm{km}$ hoogte is, hoe die zich verhoudt tot het station dat eronder voorbijraast, en hoe dezelfde wet onderweg Jupiter weegt

Een telecombedrijf wil een relais waar zijn schotels, eenmaal vastgeschroefd, nooit achteraan hoeven te jagen: een geostationaire satelliet. Jij bent de missieanalist; gebruik de gegevenskaart. Voor deel IV: de maan Io van Jupiter draait op $r = 4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ in $T = 1.77\,\mathrm{d}$ , en Jupiter draait ten opzichte van de sterren in $9\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ om haar as.

Deel I — De regels van het stilhangen.

De satelliet moet boven één vast punt van de grond blijven. Wat moet zijn omlooptijd zijn — en waarom de siderische dag van $86\,164\,\mathrm{s}$ en niet $24\,\mathrm{h}$ ?
Bij een cirkelbeweging wijst de resulterende kracht naar het middelpunt van de cirkel; hier is de gravitatie de enige kracht. Leid af dat het middelpunt van elke cirkelvormige omloopbaan het middelpunt van de Aarde is.
Een cirkel die boven de breedtegraad van Parijs hangt, zou zijn middelpunt op de as van de Aarde hebben, ten noorden van het middelpunt. Concludeer: in welk vlak moet een geostationaire baan liggen?
Schrijf de tweede wet van Newton in het frenetstelsel op voor een cirkelvormige omloopbaan met straal $r$ en leid $v = \sqrt{GM/r}$ af.
Leid $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ af en herschrijf die als de derde wet van Kepler, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

Deel II — De ene cirkel die werkt.

Los de derde wet op naar $r$ en bereken de geostationaire straal.
Leid daaruit de hoogte boven de grond af.
Bereken de baansnelheid uit $v = 2\pi r/T$ .
Controleer die met $v = \sqrt{GM/r}$ .
De satelliet van het bedrijf heeft massa $4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ; die van een concurrent weegt het dubbele. Vergelijk hun geostationaire stralen, en zeg wat de extra massa bij de lancering verandert.

Deel III — Het station eronder.

Het ruimtestation vliegt op $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : bereken zijn snelheid.
Bereken zijn omlooptijd, in seconden en in minuten.
Hoeveel omloopbanen legt het in $24\,\mathrm{h}$ af — ongeveer hoeveel zonsopgangen zien de astronauten per dag?
Bereken de verhouding van de stralen $r_{\text{geo}}/r_{\text{ISS}}$ , en ga na dat de verhouding van de omlooptijden dat getal tot de macht $3/2$ is, zoals de derde wet van Kepler eist.
Welke satelliet gaat sneller, en welke kostte meer energie per kilogram om op zijn plaats te krijgen? Verzoen de twee in één zin.

Deel IV — Jupiter er en passant bij wegen.

Druk met de derde wet van Kepler, toegepast op Io, de massa $M_J$ van Jupiter uit in $G$ , $r$ en $T$ .
Bereken $M_J$ .
Hoeveel aardmassa’s is dat? Ruwweg welke fractie van de massa van de Zon?
Een “joviestationair” relais zou boven één punt van de wolken van Jupiter moeten hangen: bereken de straal van zijn omloopbaan; vergelijk met die van Io.
Rapporteer aan de directie, in twee zinnen: de hoogte waar het bedrijf zijn relais moet parkeren, en de massa van Jupiter die dezelfde wet er gratis bij heeft geleverd.

Oplossing

Oplossing van Probleem 27.1.

1. $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ : de grond draait met de Aarde mee, één keer per siderische dag ten opzichte van de sterren; de dag van $24\,\mathrm{h}$ telt er de graad per dag bij die de Aarde om de Zon opschuift.

2. De resulterende kracht van een cirkelbeweging mikt op het middelpunt van de cirkel; de enige kracht, de gravitatie, mikt op het middelpunt van de Aarde: die twee middelpunten zijn hetzelfde punt.

3. Een cirkel die boven Parijs hangt zou zijn middelpunt op de as hebben, ten noorden van het middelpunt — uitgesloten door 2. De omloopbaan moet in het vlak van de evenaar liggen.

4. Normale component van de tweede wet van Newton: $m v^2/r = GmM/r^2$ , dus $v = \sqrt{GM/r}$ ( $m$ valt weg).

5. $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ ; kwadrateren geeft $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

6. $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} = (7.49 \times 10^{22})^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .

7. $h = r - R = 4.22 \times 10^{7} - 6.37 \times 10^{6} \approx 3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$ .

8. $v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

9. $\sqrt{3.98 \times 10^{14}/4.22 \times 10^{7}} \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — in overeenstemming.

10. Dezelfde straal: de massa viel weg in 4. De zwaardere satelliet verandert alleen de rekening van de lancering — meer brandstof voor dezelfde omloopbaan.

11. $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

12. $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92.4\,\mathrm{min}$ .

13. $86\,400/5546 \approx 15.6$ omloopbanen: ongeveer $16$ zonsopgangen per dag.

14. $r_{\text{geo}}/r_{\text{ISS}} = 4.22 \times 10^{7}/6.77 \times 10^{6} = 6.23$ ; $6.23^{3/2} \approx 15.5 = 86\,164/5546$ — de derde wet van Kepler, ter plekke geverifieerd.

15. Het station gaat sneller ( $7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tegen $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), en toch kostte de geostationaire meer energie per kilogram: de klim in potentiële energie weegt zwaarder dan het verlies aan snelheid.

16. $M_J = 4\pi^2 r^3/(G T^2)$ .

17. $T = 1.529 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $M_J = 2.97 \times 10^{27}/1.56 \approx 1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ .

18. $1.90 \times 10^{27}/5.97 \times 10^{24} \approx 318$ aardmassa’s — en ongeveer $1/1000$ van de Zon.

19. $T_J = 3.576 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = GM_J T_J^2/(4\pi^2) = 4.11 \times 10^{24}$ , $r \approx 1.60 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ — Io, op $4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , vliegt $2.6$ keer hoger en drijft dus over de hemel van Jupiter.

20. Parkeer het relais op de cirkel boven de evenaar op hoogte $35\,800\,\mathrm{km}$ , waar het met $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ meedraait en nooit uit het vizier van de schotel loopt; en dezelfde wet leverde, gevoed met de maand van Io, Jupiter gratis op $1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ — $318$ aardmassa’s.