Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

9Energie: vormen en behoud

Een rijdende auto, een opgeladen telefoon, een hete oven en een geheven hamer delen één eigenschap: elk kan iets laten gebeuren. De natuurkunde meet dat vermogen met één getal — de energie — en voert de boekhouding onder één ijzeren regel: het totaal verandert nooit, het verplaatst zich alleen en verkleedt zich. Dit hoofdstuk opent het grootboek: de vormen die energie aanneemt, de ketens waarlangs ze reist, en wat je voor een kilowattuur koopt.

9.1 Energie: de gemeenschappelijke munt

Definitie 9.1 (Energie en de joule)

Energie meet het vermogen van een systeem om veranderingen teweeg te brengen: materie in beweging zetten, optillen, verwarmen, laten oplichten. De eenheid is de joule ( $\mathrm{J}$ ). Opgeslagen, overgedragen, omgezet — elke tak van de natuurkunde rekent in deze ene munt.

Definitie 9.2 (Kinetische energie)

Een lichaam met massa $m$ (in $\mathrm{kg}$ ) dat met snelheid $v$ (in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) beweegt, draagt de kinetische energie $E_k = \tfrac12\, m v^2$ : de massa verdubbelen verdubbelt haar, de snelheid verdubbelen verviervoudigt haar.

Voorbeeld 9.3 (Auto tegen voetganger)

Een auto van $1300\,\mathrm{kg}$ met $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ draagt $E_k = \tfrac12 \times 1300 \times 27.8^2 \approx 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; een voetganger van $70\,\mathrm{kg}$ met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ draagt $\tfrac12 \times 70 \times 1.5^2 \approx 79\,\mathrm{J}$ — zesduizend keer minder. Snelheid is duur: het kwadraat zorgt daarvoor.

Definitie 9.4 (Potentiële energie in het zwaarteveld)

Een lichaam met massa $m$ op hoogte $h$ (in $\mathrm{m}$ ) boven een gekozen referentieniveau slaat de potentiële energie $E_p = m g h$ op, met $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — geldig vlak bij de grond, waar $g$ in de praktijk constant is. Alleen verschillen in hoogte tellen: het niveau waarop $E_p = 0$ kies je vrij.

Voorbeeld 9.5 (Watertoren)

Elke kubieke meter water ( $1000\,\mathrm{kg}$ ) die $30\,\mathrm{m}$ hoog in een watertoren is opgeslagen, bevat $1000 \times 9.81 \times 30 \approx 2.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — ongeveer zes tiende van de kinetische energie van de auto hierboven. Steden leggen energie boven hun hoofd aan.

Definitie 9.6 (De andere vormen)

Energie schuilt ook in minder zichtbare vermommingen: thermische energie, de wanordelijke beweging van de moleculen van een lichaam (hoe heter, hoe meer); chemische energie, opgeslagen in moleculaire bindingen — voedsel, hout, benzine, batterijen; elektrische energie, door stromen van centrale naar stopcontact gedragen; stralingsenergie, door licht gedragen, zelfs door lege ruimte — zo bereikt de energie van de Zon ons; kernenergie, opgeslagen binnen in atoomkernen en vrijgemaakt in sterren (Hoofdstuk 33).

9.2 Overdrachten en omzettingsketens

Definitie 9.7 (Overdracht, omzetting, keten)

Een energieoverdracht verplaatst energie tussen systemen — reservoirs; een energieomzetting verandert haar vorm. Een apparaat dat een van beide doet (turbine, motor, lamp, spier) is een omzetter. Een omzettingsketen brengt de reis in beeld: vakjes voor reservoirs en vormen, pijlen met opschrift voor de overdrachten.

Omzettingsketen van een waterkrachtcentrale: de vakjes zijn reservoirs, de pijlen overdrachten — elke echte pijl lekt warmte.

Methode 9.8 (Een omzettingsketen tekenen)

Bepaal het beginreservoir en de beginvorm (wat wordt verbruikt?).
Volg de energie van omzetter naar omzetter: één pijl per overdracht, met de vorm benoemd in elk vakje.
Zet bij elke echte omzetter een warmtepijl — er lekt altijd energie weg als warmte (wrijving, draden, uitlaat).

Een slinger doorloopt de eenvoudigste keten van allemaal — alles potentieel op het hoogste punt van de uitslag, alles kinetisch door het laagste punt (met $E_p = 0$ daar):

De begroting van de slinger op twee standen: E_p en E_k wisselen van plaats terwijl hun som (gestippeld) blijft staan. — De begroting van de slinger op twee standen: $E_p$ en $E_k$ wisselen van plaats terwijl hun som (gestippeld) blijft staan.

9.3 Behoud van energie

Stelling 9.9 (Behoud van energie)

De totale energie van een geïsoleerd systeem — een systeem dat niets met de buitenwereld uitwisselt — is constant. Energie wordt nooit geschapen en nooit vernietigd: ze verandert alleen van vorm en van plaats, en wat het ene reservoir verliest, winnen de andere, joule voor joule.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 9.10

Geen enkele proef heeft dit beginsel ooit op een fout betrapt; hier nemen we het als gegeven aan en gebruiken we het om te rekenen. Hoofdstuk 29 leidt het mechanische deel ervan ( $E_k + E_p$ ) af uit de wetten van Newton; de volledige boekhouding wacht op de universitaire volumes.

Voorbeeld 9.11 (Vrije val, in joules geprijsd)

Een bal van $2.0\,\mathrm{kg}$ valt van $10\,\mathrm{m}$ (de luchtweerstand is verwaarloosbaar): hij begint met $E_p = 2.0 \times 9.81 \times 10 \approx 196\,\mathrm{J}$ en landt met $E_k = 196\,\mathrm{J}$ , dus $v = \sqrt{2 \times 196/2.0} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Geen krachten, geen stopwatch: het behoud alleen prijst de klap.

9.4 Rendement

Definitie 9.12 (Rendement)

Een omzetter verbruikt $E_{\text{verbruikt}}$ en levert de gewenste vorm $E_{\text{nuttig}}$ ; zijn rendement is

\eta = \frac{E_{\text{nuttig}}}{E_{\text{verbruikt}}} < 1 .

Het behoud verbiedt $\eta > 1$ , en echte omzetters halen de $1$ nooit: de ontbrekende energie is niet vernietigd — ze vertrekt als warmte.

Voorbeeld 9.13 (Waar de benzine blijft)

Een kilogram benzine bevat $45\,\mathrm{MJ}$ chemische energie; een automotor zet die om met $\eta \approx 0.30$ : $13.5\,\mathrm{MJ}$ beweging, $31.5\,\mathrm{MJ}$ die de uitlaat, de radiator en de straat verwarmt. Tweederde van elke tank verwarmt de atmosfeer.

De begroting van de automotor, met pijlbreedtes op schaal: van de 45\, MJ die erin gaat, beweegt 13.5\, MJ de auto; de rest is warmte. — De begroting van de automotor, met pijlbreedtes op schaal: van de $45\,\mathrm{MJ}$ die erin gaat, beweegt $13.5\,\mathrm{MJ}$ de auto; de rest is warmte.

Opmerking 9.14 (Rendementen vermenigvuldigen)

Geketende omzetters vermenigvuldigen hun rendementen: een centrale ( $0.38$ ) die het net voedt ( $0.94$ ) dat een lader voedt ( $0.85$ ) levert $\eta = 0.38 \times 0.94 \times 0.85 \approx 0.30$ . Lange ketens zijn lekkende leidingen: elke pijl heft belasting op de stroom.

9.5 Vermogen, de watt en het kilowattuur

Definitie 9.15 (Vermogen)

Het vermogen is de snelheid waarmee energie stroomt, $P = E/t$ , gemeten in watt ( $\mathrm{W}$ ), met $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$ . Energie is een hoeveelheid, vermogen een stroom — een badkuip tegenover haar kraan.

Voorbeeld 9.16 (Waterkoker tegen mens)

Een waterkoker van $2200\,\mathrm{W}$ die $150\,\mathrm{s}$ draait, verbruikt $E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Een mens draait op ongeveer $10\,\mathrm{MJ}$ voedsel per dag, gemiddeld $1.0 \times 10^{7}/86\,400 \approx 116\,\mathrm{W}$ : je staat stationair te draaien als een felle ouderwetse gloeilamp.

Definitie 9.17 (Het kilowattuur)

Het kilowattuur ( $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ) is de energie van een stroom van $1\,\mathrm{kW}$ die één uur loopt: $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 1000 \times 3600\,\mathrm{J} = 3.6\,\mathrm{MJ}$ — de eenheid die elektriciteitsmeters tellen: vermogen in $\mathrm{kW}$ maal uren.

Voorbeeld 9.18 (De rekening lezen)

Een rekening is een aftrekking en een vermenigvuldiging: de nieuwe meterstand min de oude geeft de kilowattuur; maal de eenheidsprijs (ongeveer $0.25$ euro per $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ), plus een vast abonnement, geeft het totaal. Een kachel van $2\,\mathrm{kW}$ die elke nacht $2.5\,\mathrm{h}$ draait, verbruikt $5\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ per dag: in zijn eentje $38$ euro per maand.

Voorbeeld 9.19 (Ordegrootten)

Uit het hoofd te kennen: een appel één meter optillen, ongeveer $1\,\mathrm{J}$ ; een telefoonaccu, $10\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} \approx 4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; een kom cornflakes, $1.5\,\mathrm{MJ}$ ; je voedsel voor een dag, $10\,\mathrm{MJ}$ ; een kilogram benzine, $45\,\mathrm{MJ}$ — vrijwel precies het dagelijkse stroomverbruik van een huishouden ( $\approx 12\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ); een bliksemschicht, $5\,\mathrm{GJ}$ : honderd huishouddagen, in een flits geleverd.

Een energieladder: elke sport is een factor 100. Het dagelijks leven beslaat tien ordegrootten. — Een energieladder: elke sport is een factor $100$ . Het dagelijks leven beslaat tien ordegrootten.

9.6 Oefeningen

Oefening 9.1 ★

Een auto van $1200\,\mathrm{kg}$ rijdt $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , dus $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : bereken zijn kinetische energie. Doe het opnieuw bij $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): wat heeft $44\%$ meer snelheid met $E_k$ gedaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.1.

$E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 = 3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Bij $36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — $44\%$ meer snelheid geeft $(130/90)^2 \approx 2.1$ keer de kinetische energie: het kwadraat aan het werk.

Oefening 9.2 ★

Een wandelaar met massa $72\,\mathrm{kg}$ klimt van hoogte $1200\,\mathrm{m}$ naar $1650\,\mathrm{m}$ . Bereken de gewonnen potentiële energie, zet die om naar kilowattuur en prijs haar tegen $0.25$ euro per $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.2.

$\Delta h = 450\,\mathrm{m}$ : $E_p = 72 \times 9.81 \times 450 \approx 3.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 3.2 \times 10^{5}/3.6 \times 10^{6} \approx 0.088\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , ongeveer $0.022$ euro waard. Een dag klimmen is twee cent stroom.

Oefening 9.3 ★

Zet om: $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ naar joule; een telefoonaccu van $12\,\mathrm{W}\,\mathrm{h}$ naar kilojoule; $45\,\mathrm{MJ}$ (één kilogram benzine) naar kilowattuur; je voedseldag van $10\,\mathrm{MJ}$ naar kilowattuur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.3.

$1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ ; $12\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 12 \times 3600\,\mathrm{J} \approx 43\,\mathrm{kJ}$ ; $45\,\mathrm{MJ} = 45/3.6 = 12.5\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; $10\,\mathrm{MJ} = 10/3.6 \approx 2.8\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Oefening 9.4 ★

Een waterkoker van $2200\,\mathrm{W}$ draait $150\,\mathrm{s}$ . Bereken de verbruikte energie, in joule en in kilowattuur. Bereken daarna het gemiddelde vermogen van een mens die op $10\,\mathrm{MJ}$ per dag draait.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.4.

$E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 3.3 \times 10^{5}/3.6 \times 10^{6} \approx 0.092\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ . Mens: $P = 1.0 \times 10^{7}/86\,400 \approx 116\,\mathrm{W}$ .

Oefening 9.5 ★

Schrijf de omzettingsketen (Methode 9.8) op van: een fietsdynamo die een lamp voedt; een gasboiler; een zonnepaneel dat een telefoon oplaadt. Geef de warmtelekken aan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.5.

Dynamo: chemisch (voedsel van de fietser) $\to$ kinetisch (wiel) $\to$ elektrisch (dynamo) $\to$ straling $+$ warmte (lamp); warmte lekt weg bij de spieren, het bandcontact, de dynamo en de lamp. Gasboiler: chemisch (gas) $\to$ thermisch (water), met een lek in de rookgassen. Zonnepaneel: straling (Zon) $\to$ elektrisch (paneel) $\to$ chemisch (accu), met warmtelekken bij het paneel en de lader.

Oefening 9.6 ★★

Een motor verbrandt $2.0\,\mathrm{kg}$ benzine ( $45\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) en levert $27\,\mathrm{MJ}$ beweging. Bereken zijn rendement en de energie die als warmte vrijkomt. Waar gaat die warmte heen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.6.

Verbruikt: $2.0 \times 45 = 90\,\mathrm{MJ}$ ; $\eta = 27/90 = 0.30$ . Warmte: $90 - 27 = 63\,\mathrm{MJ}$ , door de uitlaatgassen en de radiator aan de omringende lucht afgegeven.

Oefening 9.7 ★★

Een klifduiker van $70\,\mathrm{kg}$ stapt van een klif van $20\,\mathrm{m}$ (de luchtweerstand is verwaarloosbaar). Bereken met het behoud van energie de kinetische energie bij het water en de snelheid waarmee hij erin gaat, in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.7.

$E_k = E_p = 70 \times 9.81 \times 20 \approx 1.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 13734/70} = \sqrt{392} \approx 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Oefening 9.8 ★★

Een meter stond op $41\,236\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ op 1 maart en op $41\,562\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ 30 dagen later: hoeveel energie is verbruikt, wat is het daggemiddelde, hoe hoog is de rekening bij $0.26$ euro per $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ plus $12$ euro vast, en hoe groot is het gemiddelde vermogen in watt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.8.

$41562 - 41236 = 326\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; per dag $326/30 \approx 10.9\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ . Rekening: $326 \times 0.26 + 12 = 96.76$ euro. Gemiddeld vermogen: $326\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}/720\,\mathrm{h} \approx 453\,\mathrm{W}$ .

Oefening 9.9 ★★

Een oude gloeilamp van $60\,\mathrm{W}$ zet slechts $5\%$ van haar verbruik om in licht; een led geeft hetzelfde licht met $9\,\mathrm{W}$ . Bereken het lichtvermogen van de gloeilamp en het rendement van de led; bereken daarna, bij $4\,\mathrm{h}$ per dag, het jaarverbruik van elk en de besparing tegen $0.25$ euro per $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.9.

1. Licht: $0.05 \times 60 = 3.0\,\mathrm{W}$ ; led: $\eta = 3/9 \approx 0.33$ . 2. Per jaar ( $1460\,\mathrm{h}$ ): gloeilamp $60 \times 1460 = 87.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , led $13.1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; besparing $74.5\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} \approx 19$ euro per lamp per jaar.

Oefening 9.10 ★★

Een stuwdam laat $150\,\mathrm{m}^{3}$ water ( $1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ ) per seconde over een val van $40\,\mathrm{m}$ zakken. Bereken de potentiële energie die elke seconde vrijkomt — het beschikbare vermogen — en daarna het elektrische vermogen bij $\eta = 0.90$ , en hoeveel huishoudens met een gemiddelde van $525\,\mathrm{W}$ daarmee bediend worden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.10.

1. $P = 1.5 \times 10^{5} \times 9.81 \times 40 \approx 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{W} = 59\,\mathrm{MW}$ . 2. $0.90 \times 59 \approx 53\,\mathrm{MW}$ ; $5.3 \times 10^{7}/525 \approx 1.0 \times 10^{5}$ huishoudens.

Oefening 9.11 ★★

Een slinger van $0.20\,\mathrm{kg}$ wordt $5.0\,\mathrm{cm}$ boven zijn laagste punt losgelaten: bereken zijn snelheid daar. Na een paar minuten hangt hij stil: waar is zijn energie gebleven, en waarom is dat niet in strijd met Stelling 9.9?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.11.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.050} \approx 0.99\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (de massa valt weg: $\tfrac12 m v^2 = mgh$ ). De begin- $E_p$ van $0.20 \times 9.81 \times 0.050 \approx 0.098\,\mathrm{J}$ eindigt als thermische energie in de lucht en het draaipunt: de slinger is niet geïsoleerd, en het totaal — uitslag plus warmte — blijft precies behouden.

Oefening 9.12 ★★★

Een kolencentrale ( $\eta_1 = 0.38$ ), het net ( $\eta_2 = 0.94$ ) en een lader ( $\eta_3 = 0.85$ ) laden een telefoonaccu van $12\,\mathrm{W}\,\mathrm{h}$ op. Bereken het totale rendement; de chemische energie die in de centrale wordt verbruikt, in $\mathrm{W}\,\mathrm{h}$ en in kilojoule; en de kolen ( $25\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) per oplaadbeurt, en daarna per jaar bij dagelijks opladen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.12.

1. $\eta = 0.38 \times 0.94 \times 0.85 \approx 0.304$ ; verbruikt $12/0.304 \approx 39.5\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 39.5 \times 3600 \approx 142\,\mathrm{kJ}$ . 2. $1.42 \times 10^{5}/2.5 \times 10^{7} \approx 5.7\,\mathrm{g}$ kolen per oplaadbeurt; $\times 365 \approx 2.1\,\mathrm{kg}$ per jaar.

Oefening 9.13 ★★★

Een bliksemschicht draagt ongeveer $5\,\mathrm{GJ}$ . Zet dat om naar kilowattuur en naar dagen van een huishouden dat $12.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ per dag gebruikt. De schicht wordt in ongeveer $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ geleverd: bereken het vermogen, vergelijk het met het gemiddelde elektrische vermogen van de mensheid ( $3\,\mathrm{TW}$ ), en leg uit waarom niemand bliksem oogst.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.13.

1. $5 \times 10^{9}/3.6 \times 10^{6} \approx 1400\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; $1400/12.6 \approx 110$ dagen. 2. $P = 5 \times 10^{9}/1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{13}\,\mathrm{W} = 50\,\mathrm{TW}$ — zeventien keer het gemiddelde elektrische vermogen van de mensheid, gedurende $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ , op een onvoorspelbare plek. Bliksem is veel vermogen maar weinig energie, nutteloos snel geleverd: geen enkele omzetter neemt zo’n piek aan.

Oefening 9.14 ★★★

Een auto van $1300\,\mathrm{kg}$ remt van $110\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $30.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) tot stilstand. Bereken de kinetische energie die verloren gaat; welke vorm neemt ze aan, en waar? Een elektrische auto wint $60\%$ ervan terug in haar accu: hoeveel energie per stop, en hoeveel stops zijn er nodig om één kilowattuur te vullen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.14.

1. $E_k = \tfrac12 \times 1300 \times 30.6^2 \approx 6.1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ , omgezet in thermische energie in de remschijven en remblokken (en daarna in de lucht). 2. $0.60 \times 6.1 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ per stop; $3.6 \times 10^{6}/3.7 \times 10^{5} \approx 10$ stops per kilowattuur.

Oefening 9.15 ★★★

Een fietser en fiets (samen $85\,\mathrm{kg}$ ) beklimmen een bergpas en winnen $1200\,\mathrm{m}$ hoogte; spieren zetten voedsel om met $\eta \approx 0.25$ . Bereken de mechanische energie van de klim, de voedselenergie die daarvoor nodig is, het equivalent in kommen cornflakes van $1.5\,\mathrm{MJ}$ , en de massa benzine ( $45\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ) die dezelfde energie bevat. Becommentarieer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 9.15.

$E_p = 85 \times 9.81 \times 1200 \approx 1.0\,\mathrm{MJ}$ ; voedsel: $1.0/0.25 = 4.0\,\mathrm{MJ}$ , dus $4.0/1.5 \approx 2.7$ kommen cornflakes — of $4.0/45 \approx 0.09\,\mathrm{kg}$ benzine. Een hele ochtend eerlijk zwoegen past in een koffiekopje brandstof: chemische energie is absurd geconcentreerd.

9.7 Probleem: Een huis een dag lang van energie voorzien

Probleem 9.1

Weekendopgave — van kom cornflakes tot panelen op het dak: een volledige energiedoorlichting van één gewone dag thuis, en wat een joule kost naargelang wie hem verkoopt

Op een gewone dinsdag gaat een gezin op zoek naar waar zijn elektriciteit blijft, gewapend met dit hoofdstuk, de meter in de gang en de achterkant van de rekening. Het oordeel van vanavond: hun dag komt overeen met één kilogram benzine, zestien vierkante meter zonneschijn — of vijf fietsers die dag en nacht doortrappen.

Deel I — De doorlichting. De inventaris van de dag: koelkast $100\,\mathrm{W}$ gedurende $24\,\mathrm{h}$ ; boiler $2400\,\mathrm{W}$ gedurende $2.5\,\mathrm{h}$ ; oven $2000\,\mathrm{W}$ gedurende $1.0\,\mathrm{h}$ ; wasmachine $500\,\mathrm{W}$ gedurende $2.0\,\mathrm{h}$ ; verlichting $60\,\mathrm{W}$ gedurende $5.0\,\mathrm{h}$ ; schermen $150\,\mathrm{W}$ gedurende $6.0\,\mathrm{h}$ .

Bereken de energie van elk apparaat voor die dag, in $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .
Tel de dag op in kilowattuur en daarna in megajoule; vergelijk met één kilogram benzine ( $45\,\mathrm{MJ}$ ).
Bereken het gemiddelde vermogen van het huis over de $24\,\mathrm{h}$ ; welk deel van een draaiende waterkoker is dat?
Welk apparaat is in zijn eentje het grootst? Bereken het dagtotaal opnieuw als de boiler maar $1.25\,\mathrm{h}$ had gedraaid.
Sluimerlampjes trekken permanent $15\,\mathrm{W}$ : hoeveel energie per dag, welk aandeel van het totaal, en welke jaarkosten bij $0.25$ euro per $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ?

Deel II — De rekening.

In 30 dagen liep de meter van $56\,214\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ naar $56\,604\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ : hoeveel verbruik, en klopt het daggemiddelde met de doorlichting?
Bereken de rekening: $0.25$ euro per $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ plus een vast abonnement van $14$ euro.
Wat kost een megajoule van het net? En uit benzine, tegen $1.80$ euro per liter die $34\,\mathrm{MJ}$ bevat?
Een kom cornflakes van $1.5\,\mathrm{MJ}$ kost ongeveer $0.50$ euro: wat is de prijs per megajoule? Rangschik de drie verkopers van joules.

Deel III — Het dak.

Vol zonlicht levert ongeveer $1000\,\mathrm{W}$ per vierkante meter; panelen zetten dat om met $\eta = 0.20$ : welk elektrisch vermogen geeft $1\,\mathrm{m}^{2}$ in de volle zon?
De streek haalt gemiddeld het equivalent van $4.0\,\mathrm{h}$ volle zon per dag: wat is de dagopbrengst van $1\,\mathrm{m}^{2}$ ?
Welke paneeloppervlakte dekt de dag van $12.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ van het gezin? Het zuiddak biedt $20\,\mathrm{m}^{2}$ : past dat?
In december zakt het equivalent tot $1.5\,\mathrm{h}$ : hoeveel produceren de panelen dan, welk aandeel van de behoefte is dat, en wat vult het gat?
Het maken van de panelen kostte ongeveer $700\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ per vierkante meter: hoe lang duurt de energetische terugverdientijd, uitgaande van vraag 11?

Deel IV — De kom cornflakes.

Een fiets met generator levert $100\,\mathrm{W}$ elektriciteit: hoeveel uur trappen levert $12.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ op — hoeveel mensen die $24\,\mathrm{h}$ onafgebroken trappen?
Spieren draaien op $\eta \approx 0.25$ : hoeveel voedselenergie zit er achter die $12.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , in megajoule en in kommen cornflakes?
Wat kost de dag op de pedalen (kommen tegen $0.50$ euro), vergeleken met wat het net voor dezelfde dag rekent?
Met hoeveel huisdagen komt een bliksemschicht van $5\,\mathrm{GJ}$ overeen? Waarom kan hij, gegeven zijn duur van $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ , het huis toch niet voeden?
Joules gaan nooit verloren, en toch worden joules van het net, uit benzine en uit voedsel voor heel verschillende prijzen verkocht: waar betaal je eigenlijk voor?
Slot: geef het oordeel over de dag in één zin — één kilogram benzine, zestien vierkante meter zonnig dak of vijf fietsers rond de klok — en noem de twee grootheden (één voorraad, één stroom) die je nooit meer zult verwarren.

Oplossing

Oplossing van Probleem 9.1.

1. Koelkast $0.1 \times 24 = 2.4\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; boiler $2.4 \times 2.5 = 6.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; oven $2.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; wasmachine $1.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; verlichting $0.3\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; schermen $0.9\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ . 2. Totaal $12.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ $= 12.6 \times 3.6 \approx 45\,\mathrm{MJ}$ : één kilogram benzine, tot op de joule. 3. $12\,600\,\mathrm{W}\,\mathrm{h}/24\,\mathrm{h} = 525\,\mathrm{W}$ — het huis draait stationair op een kwart waterkoker. 4. De boiler ( $6.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , bijna de helft). Bij $1.25\,\mathrm{h}$ : boiler $3.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , totaal $9.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ . 5. $15 \times 24 = 0.36\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ per dag, ongeveer $2.8\%$ van het gemeten totaal; per jaar $0.36 \times 365 \approx 131\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} \approx 33$ euro — voor lampjes waar niemand naar kijkt. 6. $56604 - 56214 = 390\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; $390/30 = 13.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ per dag: de $12.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ van de doorlichting plus de $0.36\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ sluimerverbruik — bevestigd. 7. $390 \times 0.25 + 14 = 111.50$ euro. 8. Net: $0.25/3.6 \approx 0.07$ euro per megajoule. Benzine: $1.80/34 \approx 0.05$ euro per megajoule. 9. Kom cornflakes: $0.50/1.5 \approx 0.33$ euro per megajoule — vijf keer het net. Goedkoopste eerst: benzine, het net, en op grote afstand het voedsel. 10. $0.20 \times 1000 = 200\,\mathrm{W}$ per vierkante meter. 11. $200 \times 4.0 = 800\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.80\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ per vierkante meter per dag. 12. $12.6/0.80 = 15.75 \approx 16\,\mathrm{m}^{2}$ : dat past op het dak van $20\,\mathrm{m}^{2}$ . 13. $16 \times 0.2 \times 1.5 = 4.8\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ : ongeveer $38\%$ van de behoefte; het net (of een accu die in betere maanden is geladen) moet de rest leveren. 14. Eén vierkante meter levert $0.80 \times 365 \approx 292\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ per jaar; terugverdientijd $700/292 \approx 2.4$ jaar — kort tegenover een levensduur van 25 jaar. 15. $12.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}/0.1\,\mathrm{kW} = 126\,\mathrm{h}$ : meer dan vijf mensen ( $126/24 = 5.25$ ) die dag en nacht trappen. 16. Voedsel $= 12.6/0.25 = 50.4\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} \approx 181\,\mathrm{MJ}$ , dus $181/1.5 \approx 121$ kommen cornflakes. 17. $121 \times 0.50 \approx 60$ euro, tegenover $12.6 \times 0.25 \approx 3.15$ euro van het net: trapvermogen kost ongeveer $19$ keer zoveel — en dan zijn de fietsers nog niet betaald. 18. $5000/45 \approx 110$ huisdagen. Maar $5 \times 10^{9}/1 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ gedurende $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ , op een willekeurige plek: geen omzetter en geen accu kan uit die brandslang drinken. Een huis heeft een gestage stroom van $525\,\mathrm{W}$ nodig, geen piek. 19. Niet voor de joules — die blijven behouden en zijn identiek. Je betaalt voor hun vorm en beschikbaarheid: energie die geconcentreerd, opslagbaar en op afroep beschikbaar is, kost de hele omzettingsketen die haar zo gemaakt heeft. 20. Eén gezinsdag $= 12.6\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} \approx 45\,\mathrm{MJ}$ : één kilogram benzine, zestien vierkante meter zonnig dak of vijf fietsers rond de klok. De voorraad is de energie (joule, kilowattuur); de stroom is het vermogen (watt) — de badkuip en de kraan, nooit meer te verwarren.