Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

12Elektrische schakelingen en vermogen

Zet een schakelaar om: een lamp gaat branden, doordat een generator vele kilometers verderop lading door een koperen lus in je muur rondduwt. Eerdere jaren brachten de schakeling in kaart — stroomsterkte, spanning, de wet van Ohm. Dit hoofdstuk opent haar opnieuw, met het grootboek van Hoofdstuk 9: wat de meter in rekening brengt, waarom dunne draden gloeien, waarom het hoogspanningsnet op $400\,\mathrm{kV}$ draait.

12.1 Lading in beweging

Definitie 12.1 (Stroomsterkte en de coulomb)

Een elektrische stroom is een geordende stroom van lading (in een metaal: elektronen). Zijn sterkte $I$ , in ampère ( $\mathrm{A}$ ), is de lading die per seconde door een doorsnede van de draad gaat: een constante stroom $I$ die een tijd $t$ loopt, vervoert de lading

q = I\,t ,

in coulomb ( $\mathrm{C}$ ), met $1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . De elementaire lading is $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . De stroomsterkte wordt gemeten met een ampèremeter, in serie geschakeld.

Voorbeeld 12.2 (Bliksem tegen telefoon)

Een blikseminslag voert zo’n $3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ gedurende ongeveer $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $q = 3.0\times10^{4} \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{C}$ . Je telefoon, op $2.0\,\mathrm{A}$ , verplaatst dezelfde lading om de $1.5$ seconde.

Definitie 12.3 (Spanning en de volt)

De spanning $U$ tussen twee punten van een schakeling, in volt ( $\mathrm{V}$ ), is de energie die per eenheid lading wordt uitgewisseld bij het afleggen van de weg ertussen: $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{C}$ , dus wisselt een lading $q$ die een component onder spanning $U$ doorkruist er de energie $E = qU$ mee uit. Een voltmeter, parallel geschakeld, meet haar.

Propositie 12.4 (Wetten van de schakeling)

In een schakeling die in een stationaire toestand werkt, geldt:

de knooppuntregel: de stromen die in een knooppunt aankomen tellen op tot de stromen die eruit vertrekken;
de serieregel: spanningen langs een weg tellen op: $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$ ;
de parallelregel: twee takken tussen dezelfde twee punten staan onder dezelfde spanning.

Bewijs. In een stationaire toestand hoopt lading zich nergens op, dus stroomt eruit wat er een knooppunt in stroomt. De energie per coulomb telt op langs een weg en hangt alleen van de eindpunten af — niet van de tak die ertussen wordt genomen. ∎

12.2 De wet van Ohm en netwerken van weerstanden

Definitie 12.5 (Weerstand)

De weerstand van een geleider is de verhouding $R = U/I$ van de spanning erover tot de stroomsterkte erdoor, gemeten in ohm ( $\Omega$ ): $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

Propositie 12.6 (Wet van Ohm)

Voor een metalen geleider op vaste temperatuur is $R$ constant: spanning en stroomsterkte zijn evenredig,

U = R\,I .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 12.7

Een experimentele wet, geen universele: een diode, de gloeidraad van een lamp of je eigen huid gehoorzamen er niet aan. Waarom metalen dat wel doen, wordt in de universitaire volumes afgeleid.

Propositie 12.8 (Weerstanden in serie en parallel)

Twee weerstanden in serie zijn gelijkwaardig aan één weerstand $R_{\text{s}} = R_1 + R_2$ ; twee parallel aan één weerstand $R_{\text{p}}$ gegeven door

\frac{1}{R_{\text{p}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} , \qquad\text{dus}\quad R_{\text{p}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < \min(R_1, R_2) .

Bewijs. In serie: dezelfde $I$ doorkruist beide en de spanningen tellen op (Propositie 12.4), dus $U = (R_1 + R_2)\,I$ . Parallel: beide staan onder dezelfde $U$ en de stromen tellen op, dus $I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$ . ∎

In serie (links): één stroom, de spanningen tellen op. Parallel (rechts): één spanning, de stromen tellen op.

Voorbeeld 12.9 (Vervangingsweerstand)

$R_1 = 100\,\Omega$ en $R_2 = 150\,\Omega$ : in serie $250\,\Omega$ ; parallel $\frac{100 \times 150}{250} = 60\,\Omega$ — kleiner dan elk van beide: de stroom krijgt een tweede weg.

12.3 Energie en vermogen in een schakeling

Propositie 12.10 (Elektrisch vermogen)

Een component onder spanning $U$ waar een stroom $I$ doorheen gaat, ontvangt energie met het tempo

P = U\,I , \qquad\text{dus}\quad E = U\,I\,t \ \text{in een tijd } t .

Bewijs. In een tijd $t$ doorkruist de lading $q = It$ de component (Definitie 12.1) en draagt elke coulomb er $U$ joule aan over (Definitie 12.3): $E = qU = UIt$ . ∎

Propositie 12.11 (Vermogen in een weerstand)

Een weerstand $R$ waar een stroom $I$ doorheen gaat, zet

P = R\,I^2 = \frac{U^2}{R}

om in warmte.

Bewijs. Vul de wet van Ohm in $P = UI$ in: $P = (RI)I = RI^2 = U(U/R) = U^2/R$ . ∎

Voorbeeld 12.12 (Een typeplaatje lezen)

Een waterkoker met het opschrift “ $230\,\mathrm{V}$ – $2200\,\mathrm{W}$ ” trekt $I = P/U = 2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ en heeft weerstand $R = U^2/P = 230^2/2200 = 24\,\Omega$ . In $150\,\mathrm{s}$ verbruikt hij $E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 0.09\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — ongeveer twee cent.

Opmerking 12.13 (Joules en kilowattuur)

De meter telt kilowattuur (Definitie 9.17): $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . Joules zijn de eenheid van de natuurkundige; kilowattuur bepalen de prijs op de rekening.

Vermogens van apparaten op een logaritmische as: alles wat verwarmt (rood) leeft een factor tien boven alles wat rekent of schijnt (blauw).

12.4 Het joule-effect: van broodrooster tot hoogspanningsmast

Definitie 12.14 (Joule-effect)

Het omzetten $P = RI^2$ van elektrische energie in warmte in elke weerstand heet het joule-effect. Kachels, waterkokers, broodroosters en ouderwetse gloeilampen zijn met opzet weerstanden; een zekering is een dunne draad die zo is afgeregeld dat hij smelt — en de schakeling verbreekt — zodra de stroom zijn nominale waarde overschrijdt.

Voorbeeld 12.15 (Waarom masten hoog staan)

Een dorp heeft $P = 100\,\mathrm{kW}$ nodig door een lijn met weerstand $R_\ell = 5.0\,\Omega$ . Geleverd op $U = 500\,\mathrm{V}$ : $I = P/U = 200\,\mathrm{A}$ en de lijn verspilt $R_\ell I^2 = 200\,\mathrm{kW}$ — twee keer de levering: absurd. Op $U = 20\,\mathrm{kV}$ : $I = 5.0\,\mathrm{A}$ en $R_\ell I^2 = 125\,\mathrm{W}$ . Veertig keer minder stroom, $1600$ keer minder verlies.

De levering uit : U verhogen bij vaste P = UI krimpt I, en het verlies daalt met I2. — De levering uit Voorbeeld 12.15: $U$ verhogen bij vaste $P = UI$ krimpt $I$ , en het verlies daalt met $I^2$ .

Opmerking 12.16 (De ijzeren regel van het net)

Bij vast geleverd vermogen $P = UI$ daalt het lijnverlies $R_\ell I^2 = R_\ell P^2/U^2$ met het kwadraat van de transportspanning. Vandaar: omhoog transformeren ( $400\,\mathrm{kV}$ ) om te reizen, omlaag ( $230\,\mathrm{V}$ ) om mee te leven.

Opmerking 12.17 (Veiligheid in huis)

Een lijn van $230\,\mathrm{V}$ met een zekering van $16\,\mathrm{A}$ levert hoogstens $230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ : twee waterkokers tegelijk laten de zekering smelten — met opzet de dunste, zwakste schakel, veel goedkoper dan brand in de muur.

12.5 Echte batterijen: elektromotorische spanning

Definitie 12.18 (Emk en inwendige weerstand)

Een batterij zet chemische energie om in elektrische. Haar elektromotorische spanning (emk) $\mathcal{E}$ , in volt, is de energie die ze aan elke coulomb meegeeft die haar doorkruist; haar inwendige weerstand $r$ verantwoordt het joule-effect in haar eigen chemie. Model: een ideale bron $\mathcal{E}$ in serie met $r$ (met de sierlijke $\mathcal{E}$ : $E$ is de energie).

Propositie 12.19 (Klemspanning)

Een batterij die een stroom $I$ levert, toont aan haar klemmen

U = \mathcal{E} - r\,I .

Bewijs. De chemie levert $\mathcal{E}I$ , de inwendige weerstand eet $rI^2$ op, de schakeling ontvangt $UI$ : het behoud van energie (Hoofdstuk 9) geeft $UI = \mathcal{E}I - rI^2$ . ∎

Voorbeeld 12.20 (Een batterij onder belasting)

Een batterij ( $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ , $r = 1.0\,\Omega$ ) voedt een lampje met weerstand $R = 8.0\,\Omega$ . De lus voldoet aan $\mathcal{E} = rI + RI$ , dus $I = \mathcal{E}/(R + r) = 1.0\,\mathrm{A}$ en $U = 9.0 - 1.0 \times 1.0 = 8.0\,\mathrm{V}$ : het lampje ontvangt $8.0\,\mathrm{W}$ terwijl de batterij $1.0\,\mathrm{W}$ verspilt aan zichzelf opwarmen.

Ontlaadkarakteristiek van de batterij uit : de meetpunten liggen op de rechte U = E - rI, met richtingscoëfficiënt -r = -1.0\, V/ A. — Ontlaadkarakteristiek van de batterij uit Voorbeeld 12.20: de meetpunten liggen op de rechte $U = \mathcal{E} - rI$ , met richtingscoëfficiënt $-r = -1.0\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

Opmerking 12.21 (Verbruikers)

Een motor of een batterij die wordt opgeladen, laat de omzetting achterstevoren lopen: hij neemt op onder $U = \mathcal{E}' + r'I$ , zet $\mathcal{E}'I$ om in beweging of chemie en verliest $r'I^2$ . Bronnen duwen, verbruikers duwen terug.

Voorbeeld 12.22 (Rendement van een batterij)

Het rendement (Definitie 9.12) van de ontlading hierboven: nuttig $UI = 8.0\,\mathrm{W}$ van de $\mathcal{E}I = 9.0\,\mathrm{W}$ , dus $\eta = U/\mathcal{E} = 8/9 \approx 0.89$ — en het zakt naarmate de stroom stijgt: batterijen die hard werken, worden heet.

12.6 Oefeningen

Oefening 12.1 ★

Een telefoonaccu laadt $90\,\mathrm{min}$ lang met een constante $2.0\,\mathrm{A}$ . Welke lading gaat er door de kabel, in coulomb? Hoeveel elementaire ladingen zijn dat ( $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.1.

$q = It = 2.0 \times 90 \times 60 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ . Aantal elementaire ladingen: $q/e = 1.08\times10^{4}/1.6\times10^{-19} \approx 6.8 \times 10^{22}$ .

Oefening 12.2 ★

Een weerstand van $220\,\Omega$ staat onder $12\,\mathrm{V}$ : welke stroom loopt er? Een verwarmingselement trekt $0.50\,\mathrm{A}$ bij $230\,\mathrm{V}$ : welke weerstand?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.2.

$I = U/R = 12/220 = 0.055\,\mathrm{A} = 55\,\mathrm{mA}$ ; $R = U/I = 230/0.50 = 460\,\Omega$ .

Oefening 12.3 ★

Bereken de vervangingsweerstand van $R_1 = 120\,\Omega$ en $R_2 = 60\,\Omega$ in serie en daarna parallel. Welke is kleiner dan beide afzonderlijk, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.3.

In serie: $120 + 60 = 180\,\Omega$ . Parallel: $\frac{120 \times 60}{180} = 40\,\Omega$ — kleiner dan beide: dezelfde spanning, maar de stroom krijgt een tweede weg, dus meer totale stroom en minder weerstand.

Oefening 12.4 ★

Een reisstrijkijzer trekt $8.7\,\mathrm{A}$ bij $230\,\mathrm{V}$ . Bereken zijn vermogen en daarna de energie die het in $4.0\,\mathrm{min}$ verbruikt, in joule en in kilowattuur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.4.

$P = UI = 230 \times 8.7 = 2.0\,\mathrm{kW}$ . In $t = 240\,\mathrm{s}$ : $E = Pt = 2000 \times 240 = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 4.8\times10^{5}/3.6 \times10^{6} \approx 0.13\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Oefening 12.5 ★

Een laptoplader levert $60\,\mathrm{W}$ gedurende $5.0\,\mathrm{h}$ per dag: welke energie per dag in kilowattuur en in joule, en welke kosten bij $0.25$ euro per $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.5.

$E = 60 \times 5.0 = 300\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.30\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 0.30 \times 3.6\times10^{6} = 1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . Kosten: $0.30 \times 0.25 = 0.075$ euro per dag.

Oefening 12.6 ★★

Een elektrische kachel is aangeduid als $1200\,\mathrm{W}$ bij $230\,\mathrm{V}$ .

Bereken zijn weerstand en de stroom die hij trekt.
Aangesloten (met dezelfde weerstand) op een net van $115\,\mathrm{V}$ : welk vermogen levert hij dan? Waarom niet de helft?

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.6.

1. $R = U^2/P = 230^2/1200 = 44\,\Omega$ ; $I = P/U = 1200/230 = 5.2\,\mathrm{A}$ .

2. $P' = U'^2/R = 115^2/44.1 = 300\,\mathrm{W}$ : een kwart, niet de helft, want $U$ halveren halveert ook $I$ , en $P = UI \propto U^2$ .

Oefening 12.7 ★★

$R_1 = 40\,\Omega$ en $R_2 = 20\,\Omega$ staan in serie onder $12\,\mathrm{V}$ . Bereken de stroom, de spanning over elke weerstand en het vermogen dat elk omzet; ga na dat de vermogens optellen tot $UI$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.7.

$R_{\text{s}} = 60\,\Omega$ , dus $I = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ . $U_1 = R_1 I = 8.0\,\mathrm{V}$ , $U_2 = 4.0\,\mathrm{V}$ (samen $12\,\mathrm{V}$ ); $P_1 = U_1 I = 1.6\,\mathrm{W}$ , $P_2 = 0.8\,\mathrm{W}$ : samen $2.4\,\mathrm{W}$ $= UI = 12 \times 0.20$ , zoals het hoort.

Oefening 12.8 ★★

$R_1 = 60\,\Omega$ en $R_2 = 30\,\Omega$ staan parallel onder $12\,\mathrm{V}$ . Bereken de stroom in elke tak, de totale stroom en de vervangingsweerstand op twee manieren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.8.

$I_1 = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ , $I_2 = 12/30 = 0.40\,\mathrm{A}$ , samen $I = 0.60\,\mathrm{A}$ . Vervangingsweerstand: $R = U/I = 12/0.60 = 20\,\Omega$ , en inderdaad $\frac{60 \times 30}{60 + 30} = 20\,\Omega$ .

Oefening 12.9 ★★

Een batterij levert $U = 5.5\,\mathrm{V}$ bij $I = 0.50\,\mathrm{A}$ en $U = 4.0\,\mathrm{V}$ bij $I = 2.0\,\mathrm{A}$ . Bepaal haar emk $\mathcal{E}$ en haar inwendige weerstand $r$ , en daarna de kortsluitstroom $\mathcal{E}/r$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.9.

$\mathcal{E} - 0.50\,r = 5.5$ en $\mathcal{E} - 2.0\,r = 4.0$ ; aftrekken geeft $1.5\,r = 1.5$ , dus $r = 1.0\,\Omega$ en $\mathcal{E} = 6.0\,\mathrm{V}$ . Kortsluiting: $\mathcal{E}/r = 6.0\,\mathrm{A}$ .

Oefening 12.10 ★★

Een keukengroep van $230\,\mathrm{V}$ is beveiligd met een zekering van $16\,\mathrm{A}$ . Een waterkoker van $2.2\,\mathrm{kW}$ en een broodrooster van $1.0\,\mathrm{kW}$ draaien samen: houdt de zekering het? Iemand zet er een kachel van $1.5\,\mathrm{kW}$ bij: toon aan dat de zekering doorslaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.10.

Waterkoker $2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ , broodrooster $1000/230 = 4.3\,\mathrm{A}$ : samen $13.9\,\mathrm{A}$ $< 16\,\mathrm{A}$ , de zekering houdt het. Kachel $1500/230 = 6.5\,\mathrm{A}$ : samen $20.4\,\mathrm{A}$ $> 16\,\mathrm{A}$ , hij slaat door (of, wat hetzelfde is, $4.7\,\mathrm{kW} > 230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ ).

Oefening 12.11 ★★

Een werkplaats heeft $10\,\mathrm{kW}$ nodig door een voedingskabel met weerstand $2.0\,\Omega$ . Bereken de stroom en het jouleverlies als het vermogen wordt geleverd op $200\,\mathrm{V}$ , en daarna op $4.0\,\mathrm{kV}$ . Vergelijk de twee verliezen en verklaar de verhouding.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.11.

Bij $200\,\mathrm{V}$ : $I = 10^4/200 = 50\,\mathrm{A}$ , verlies $RI^2 = 2.0 \times 50^2 = 5.0\,\mathrm{kW}$ — de helft van de levering. Bij $4.0\,\mathrm{kV}$ : $I = 2.5\,\mathrm{A}$ , verlies $2.0 \times 2.5^2 = 12.5\,\mathrm{W}$ . Verhouding $400 = 20^2$ : twintig keer de spanning betekent twintig keer minder stroom, en het verlies gaat met $I^2$ .

Oefening 12.12 ★★★

Noem, met telkens alle drie de gelijke weerstanden van $60\,\Omega$ , elke verschillende vervangingsweerstand (serie, parallel, gemengd); bereken ze alle.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.12.

Vier schakelingen: alle drie in serie, $3 \times 60 = 180\,\Omega$ ; alle drie parallel, $60/3 = 20\,\Omega$ ; één in serie met twee parallel, $60 + 30 = 90\,\Omega$ ; één parallel met twee in serie, $\frac{60 \times 120}{180} = 40\,\Omega$ .

Oefening 12.13 ★★★

Een batterij ( $\mathcal{E} = 4.5\,\mathrm{V}$ , $r = 1.5\,\Omega$ ) voedt een weerstand $R = 6.0\,\Omega$ .

Bereken $I$ , $U$ , het nuttige vermogen in $R$ , het vermogen dat in $r$ verloren gaat, en het rendement.
Toon aan dat het vermogen dat een instelbare $R$ ontvangt, $P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2$ , het grootst is wanneer $R = r$ (aanwijzing: $(R+r)^2/R = (R-r)^2/R + 4r$ ), en bereken dat maximum.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.13.

1. $I = \mathcal{E}/(R + r) = 4.5/7.5 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; $U = RI = 3.6\,\mathrm{V}$ ; nuttig $P = UI = 2.2\,\mathrm{W}$ ; verloren $rI^2 = 1.5 \times 0.60^2 = 0.54\,\mathrm{W}$ ; $\eta = U/\mathcal{E} = 3.6/4.5 = 0.80$ .

2. Met de aanwijzing is $P = \mathcal{E}^2 \big/ \big[(R - r)^2/R + 4r\big]$ ; de uitdrukking tussen haken is het kleinst ( $= 4r$ ) precies wanneer $R = r$ , dus $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r) = 4.5^2/6.0 = 3.4\,\mathrm{W}$ .

Oefening 12.14 ★★★

Een waterkoker van $2.2\,\mathrm{kW}$ met rendement $0.90$ brengt $1.0\,\mathrm{kg}$ water van $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ aan de kook (water verwarmen kost $4180\,\mathrm{J}$ per kilogram per graad). Bereken de benodigde warmte, de opgenomen elektrische energie, de verwarmingstijd en de kosten bij $0.25$ euro per $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.14.

Warmte: $Q = 1.0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Elektrisch: $E = Q/0.90 = 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Tijd: $t = E/P = 3.7\times10^{5}/2200 \approx 170\,\mathrm{s}$ , geen drie minuten. Kosten: $3.7\times10^{5}/3.6\times10^{6} \approx 0.10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , ongeveer $2.6$ cent.

Oefening 12.15 ★★★

Een auto-accu: $\mathcal{E} = 12.7\,\mathrm{V}$ , $r = 0.020\,\Omega$ , capaciteit $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ .

Zet de capaciteit om naar coulomb en schat de opgeslagen energie ( $E \approx \mathcal{E} q$ ) in joule en in kilowattuur.
De startmotor trekt $150\,\mathrm{A}$ : bereken de klemspanning, het geleverde vermogen en het vermogen dat inwendig verloren gaat.
Leg uit waarom de koplampen dimmen terwijl de motor wordt aangeslingerd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 12.15.

1. $q = 60 \times 3600 = 2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ ; $E \approx \mathcal{E}q = 12.7 \times 2.16\times10^{5} = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J} \approx 0.76\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

2. $U = 12.7 - 0.020 \times 150 = 9.7\,\mathrm{V}$ ; geleverd $UI = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; inwendig verloren $rI^2 = 0.020 \times 150^2 = 450\,\mathrm{W}$ .

3. De koplampen staan over de klemmen: tijdens het starten zakt de klemspanning van $12.7$ naar $9.7\,\mathrm{V}$ , dus krijgen ze minder vermogen en dimmen ze.

12.7 Probleem: Van de stuwdam tot het broodrooster

Probleem 12.1

Weekendopgave — de reis van duizend kilometer van één kilowattuur, van vallend water tot bruinend brood, met de volledige rekening van de tocht

Een stuwdam in de bergen houdt water $200\,\mathrm{m}$ boven zijn turbines, die $50\,\mathrm{m}^{3}$ — $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ — per seconde verzwelgen; turbine en generator zetten om met rendement $0.90$ . Door een lijn met totale weerstand $R_\ell = 32\,\Omega$ ( $1000\,\mathrm{km}$ heen en terug) voedt de centrale een stad, waar je broodrooster van $900\,\mathrm{W}$ op $230\,\mathrm{V}$ staat te wachten. De generator levert $20\,\mathrm{kV}$ ; transformatoren (elk met rendement $0.99$ ) zetten de spanning naar believen om. Elektriciteit kost $0.25$ euro per $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Deel I — Bij de stuwdam.

Hoeveel potentiële energie maakt het vallende water elke seconde vrij? Leid het vermogen af dat voor de turbines beschikbaar is.
Welk elektrisch vermogen verlaat de generator?
Bij $20\,\mathrm{kV}$ rechtstreeks van de generator: welke stroom loopt er?
Bereken het jouleverlies $R_\ell I^2$ bij die stroom en vergelijk het met wat de centrale levert. Trek je conclusie.
Het vermogen van de stad $P = UI$ ligt vast door de vraag. Wat is de enige manier om $I$ te verkleinen, en welk apparaat doet dat?

Deel II — Op de lijn.

Een transformator, voor deze vraag verliesvrij, brengt de $88\,\mathrm{MW}$ omhoog naar $400\,\mathrm{kV}$ : welke stroom loopt er nu?
Bereken het nieuwe lijnverlies, in megawatt.
Welk deel van wat de centrale levert, gaat in de lijn verloren?
Toon aan dat het verloren deel gelijk is aan $R_\ell P/U^2$ , en ga na dat dit de factor tussen vraag 4 en vraag 7 verklaart.
Bereken het spanningsverlies $R_\ell I$ over de lijn bij $400\,\mathrm{kV}$ . Klopt dat met vraag 8?

Deel III — In de keuken.

Zet $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ om naar joule; wat vermenigvuldigt de meter?
Bereken de stroom en de weerstand van het broodrooster bij $230\,\mathrm{V}$ .
Drie minuten roosteren: de energie in joule en in kilowattuur, en de prijs ervan.
Het broodrooster zet $RI^2$ om: leg in één zin uit waarom dezelfde formule op de lijn het verlies is en in de keuken het product.
Het broodrooster deelt een zekering van $16\,\mathrm{A}$ met een waterkoker van $2.2\,\mathrm{kW}$ : houdt de zekering het? Er komt een kachel van $2.0\,\mathrm{kW}$ bij: en nu?

Deel IV — De doorlichting.

De huisbedrading zelf, met weerstand $0.05\,\Omega$ , voert de $13.5\,\mathrm{A}$ uit vraag 15: bereken het verlies en welk deel dat is van de ruwweg $3.1\,\mathrm{kW}$ die wordt geleverd.
Rijg de rendementen aaneen (turbine–generator, optransformeren, lijn, aftransformeren, huisbedrading) tot één totaalrendement van het net.
Hoeveel kilogram (en hoeveel kubieke meter) stuwwater moet er vallen om één kilowattuur bij je broodrooster te krijgen?
Bereken het verloren deel $R_\ell P/U^2$ uit vraag 9 bij $U = 20\,\mathrm{kV}$ . Wat betekent een waarde boven $1$ ?
De clou — de prijs van de afstand: zeg in twee zinnen wat één geroosterd kilowattuur de berg kost, welk deel onderweg sneuvelt, en welke ene truc de reis mogelijk maakt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 12.1.

1. Elke seconde: $E_p = mgh = 5.0\times10^{4} \times 9.81 \times 200 = 9.8 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ : het beschikbare vermogen is $98\,\mathrm{MW}$ .

2. $0.90 \times 98 = 88\,\mathrm{MW}$ .

3. $I = P/U = 8.8\times10^{7}/2.0\times10^{4} = 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}$ .

4. $R_\ell I^2 = 32 \times (4.4\times10^{3})^2 \approx 6.2 \times 10^{8}\,\mathrm{W} = 620\,\mathrm{MW}$ — zeven keer wat de centrale levert: transporteren op $20\,\mathrm{kV}$ is onmogelijk.

5. Bij vaste $P = UI$ krimpt alleen $U$ verhogen de stroom $I$ : een transformator.

6. $I = 8.8\times10^{7}/4.0\times10^{5} = 220\,\mathrm{A}$ .

7. $R_\ell I^2 = 32 \times 220^2 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

8. $1.6/88 \approx 0.018$ : ongeveer $1.8\%$ .

9. Het verloren deel is $R_\ell I^2/P = R_\ell (P/U)^2/P = R_\ell P/U^2 \propto 1/U^2$ : van $20\,\mathrm{kV}$ naar $400\,\mathrm{kV}$ daalt het met $20^2 = 400$ , en inderdaad is $620\,\mathrm{MW}/400 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

10. $R_\ell I = 32 \times 220 \approx 7.1\,\mathrm{kV}$ : $1.8\%$ van $400\,\mathrm{kV}$ , hetzelfde deel als in vraag 8, want $R_\ell I/U = R_\ell I^2/UI$ .

11. $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ : de meter vermenigvuldigt het opgenomen vermogen met de tijd dat het wordt opgenomen, en telt op.

12. $I = 900/230 = 3.9\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 230^2/900 \approx 59\,\Omega$ .

13. $E = 900 \times 180 = 1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 0.045\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ : ongeveer $1.1$ cent.

14. De natuurkunde van $RI^2$ is identiek; alleen het doel verschilt — op de lijn is de warmte ongewenst, in het broodrooster is de warmte het product.

15. $3.9 + 9.6 = 13.5\,\mathrm{A} < 16\,\mathrm{A}$ : hij houdt het. Kachel $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ : samen $22.2\,\mathrm{A} > 16\,\mathrm{A}$ , de zekering slaat door.

16. $0.05 \times 13.5^2 = 9.1\,\mathrm{W}$ : $9.1/3100 \approx 0.3\%$ van het geleverde vermogen — verwaarloosbaar over korte draden.

17. $\eta = 0.90 \times 0.99 \times 0.982 \times 0.99 \times 0.997 \approx 0.86$ .

18. Eén geroosterd kilowattuur vergt stroomopwaarts $3.6\times10^{6}/0.86 \approx 4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ : $m = E/(gh) = 4.2\times10^{6}/(9.81 \times 200) \approx 2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , ongeveer $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ water.

19. $R_\ell P/U^2 = 32 \times 8.8\times10^{7}/(2.0\times 10^{4})^2 \approx 7$ . Een “deel” boven $1$ betekent dat de lijn meer zou omzetten dan ze vervoert: de levering kan bij die spanning eenvoudigweg niet plaatsvinden.

20. Eén geroosterd kilowattuur kost de berg ongeveer twee ton — $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ — water dat $200\,\mathrm{m}$ valt, en zo’n $14\%$ van de energie sneuvelt onderweg, vooral in turbines en transformatoren (nog geen $2\%$ over $1000\,\mathrm{km}$ lijn). De ene truc die de reis mogelijk maakt is de transformator: optransformeren naar $400\,\mathrm{kV}$ deelt de stroom door $20$ en het jouleverlies door $400$ .