Physics · Boek 2 · Grades 10–12

Natuurkunde bovenbouw

Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

13De fundamentele wisselwerkingen

Wrijf een ballon over je haar en hij pikt snippers papier op — en verslaat daarmee, met een paar vierkante centimeter rubber, de zwaartekracht van de hele planeet. Die makkelijke overwinning verklaart waarom atomen bijeenblijven en waarom zware kernen uiteindelijk uiteenvallen (Hoofdstuk 19). Het heelal draait op precies vier wisselwerkingen; dit hoofdstuk maakt kennis met ze, weegt ze tegen elkaar af en wijst elk haar eigen verdieping toe.

13.1 Materie van quark tot melkwegstelsel

Definitie 13.1 (De ladder van de structuur)

Materie is in verdiepingen gebouwd, elk opgetrokken uit de verdieping eronder: drie quarks (puntvormig, kleiner dan 10−18 m10^{-18}\,\mathrm{m}) binden tot een nucleon — een proton of een neutron van ongeveer 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}; nucleonen pakken zich samen tot een kern (10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} tot 10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m}); een kern met haar elektronenwolk is een atoom (10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m}); atomen binden tot moleculen en kristallen (vanaf 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m}), die zich samenvoegen tot alledaagse voorwerpen (1 m1\,\mathrm{m}), planeten (107 m10^{7}\,\mathrm{m}), planetenstelsels (1011 m10^{11}\,\mathrm{m}), melkwegstelsels (1021 m10^{21}\,\mathrm{m}) en het waarneembare heelal (1026 m10^{26}\,\mathrm{m}).

Definitie 13.2 (De vier wisselwerkingen)

Een fundamentele wisselwerking is een kracht die niet tot andere krachten te herleiden is; er zijn er precies vier: de gravitatie, de elektromagnetische wisselwerking, de sterke wisselwerking en de zwakke wisselwerking.

Opmerking 13.3

De verdiepingen worden door leegte gescheiden: een atoom is 10510^{5} keer zo breed als zijn kern — vergroot de kern tot een knikker van 1 cm1\,\mathrm{cm} en de elektronenwolk meet een kilometer. Iets moet die ijle verdiepingen bijeenhouden, en de zwaartekracht is dat vrijwel nooit.

De ladder van de structuur op een as van machten van tien: vierenveertig decaden scheiden het quark van het waarneembare heelal. Afmetingen in meter.
De ladder van de structuur op een as van machten van tien: vierenveertig decaden scheiden het quark van het waarneembare heelal. Afmetingen in meter.

13.2 Elektrische lading

Definitie 13.4 (Elektrische lading)

Elektrische lading is de eigenschap van materie waarop de elektromagnetische wisselwerking aangrijpt, zoals massa de eigenschap is waarop de gravitatie aangrijpt. Ze wordt gemeten in coulomb (C\mathrm{C}) en bestaat in twee tekens, positief en negatief, die elkaar bij optellen opheffen; gelijke ladingen stoten elkaar af, ongelijke trekken elkaar aan.

Definitie 13.5 (Elementaire lading)

Lading is korrelig: elke waargenomen lading is een geheel veelvoud van de elementaire lading e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. Het proton draagt +e+e, het elektron −e-e, het neutron 00; een lading qq bevat N=∣q∣/eN = \abs{q}/e elementaire ladingen.

Propositie 13.6 (Behoud van lading)

De totale lading van een geïsoleerd systeem verandert nooit: lading wordt niet geschapen en niet vernietigd, alleen overgedragen — in de praktijk door elektronen, de lichtste dragers.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 13.7

Er is nooit een schending waargenomen; de diepe reden, een symmetrie van het elektromagnetisme, komt in de universitaire volumes aan bod.

Definitie 13.8 (Laden door wrijving en door contact)

Twee isolatoren over elkaar wrijven rukt elektronen van de ene los en op de andere, zodat er tegengestelde ladingen van gelijke grootte achterblijven (laden door wrijving); een geladen voorwerp tegen een neutraal houden verdeelt de lading (laden door contact). Alleen elektronen bewegen; de totale lading blijft behouden.

Voorbeeld 13.9 (Elektronen tellen)

Een ballon die over haar is gewreven, krijgt q=−1.6×10−8 Cq = -1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}: hij heeft N=1.6×10−8/1.6×10−19=1.0×1011N = 1.6 \times 10^{-8} / 1.6 \times 10^{-19} = 1.0 \times 10^{11} elektronen gewonnen, en het haar blijft achter met precies +1.6×10−8 C+1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}.

13.3 De wet van Coulomb

Stelling 13.10 (Wet van Coulomb)

Twee puntladingen q1q_1 en q2q_2 op een afstand dd oefenen op elkaar krachten uit langs hun verbindingslijn, van gelijke grootte en tegengestelde richting — afstotend bij gelijke tekens, aantrekkend bij ongelijke — met

F=k ∣q1q2∣d2,k=8.99×109 N m2/C2.F = k\,\frac{\abs{q_1 q_2}}{d^{2}}, \qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 13.11

Coulomb stelde de wet in 1785 vast door de verdraaiing van een dunne torsiedraad te meten; waarom de exponent precies 22 is, wordt in de universitaire volumes beantwoord.

Gelijke ladingen stoten elkaar af (links), ongelijke trekken elkaar aan (rechts); de twee krachten hebben altijd dezelfde grootte en tegengestelde richting. Gelijke ladingen stoten elkaar af (links), ongelijke trekken elkaar aan (rechts); de twee krachten hebben altijd dezelfde grootte en tegengestelde richting.
Gelijke ladingen stoten elkaar af (links), ongelijke trekken elkaar aan (rechts); de twee krachten hebben altijd dezelfde grootte en tegengestelde richting.

Opmerking 13.12 (Een formele tweelingzus van de gravitatie)

De wet van Coulomb is, symbool voor symbool, de wet van de algemene gravitatie (Hoofdstuk 4) met ladingen in plaats van massa’s:

bronmassa mmlading qq
wetF=G m1m2d2F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^2}F=k ∣q1q2∣d2F = k\,\dfrac{\abs{q_1 q_2}}{d^2}
[1.5ex] constanteG=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}k=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}
tekenaltijd aantrekkendaantrekkend of afstotend

De twee verschillen sturen alles wat volgt: de elektriciteit is overweldigend sterker, en zij alleen kan zichzelf opheffen.

Voorbeeld 13.13 (Twee protonen, beide krachten tegelijk)

Twee protonen (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}) liggen d=1.0×10−15 md = 1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} uit elkaar — buren in een kern. Elektrische afstoting:

FE=8.99×109×(1.60×10−19)2(1.0×10−15)2≈2.3×102 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times \frac{(1.60 \times 10^{-19})^{2}}{(1.0 \times 10^{-15})^{2}} \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}

— het gewicht van een koffer van 23 kg23\,\mathrm{kg}, gedragen door een deeltje van 10−2710^{-27} kilogram. Gravitatie-aantrekking: FG=6.67×10−11×(1.67×10−27)2/(1.0×10−15)2≈1.9×10−34 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^{2} / (1.0 \times 10^{-15})^{2} \approx 1.9 \times 10^{-34}\,\mathrm{N}. De verhouding FE/FG=ke2/(Gmp2)≈1.2×1036F_E / F_G = k e^{2} / (G m_p^{2}) \approx 1.2 \times 10^{36} hangt niet van de afstand af (d2d^{2} valt weg): tussen elementaire deeltjes is de zwaartekracht 103610^{36} keer te zwak om mee te tellen — op elke afstand.

13.4 De sterke en de zwakke wisselwerking

Het voorbeeld laat een schandaal achter: een heliumkern bevat twee protonen die elkaar met tientallen newton afstoten — en toch bestaat helium.

Definitie 13.14 (De sterke wisselwerking)

De sterke wisselwerking bindt quarks tot nucleonen en nucleonen tot kernen. Op 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} is ze aantrekkend en veel sterker dan de elektrische afstoting (duizenden newton tussen nucleonen); voorbij een paar keer 10−1510^{-15} meter verdwijnt ze: haar dracht is ongeveer 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. Ze grijpt protonen en neutronen even hard vast en trekt zich van lading niets aan.

Het touwtrekken in een kern: op 10-15 m verslaat de sterke aantrekking (duizenden newton) de elektrische afstoting.
Het touwtrekken in een kern: op 10−1510^{-15} m verslaat de sterke aantrekking (duizenden newton) de elektrische afstoting.

Opmerking 13.15 (Waarom kernen bestaan — en waarom zware het begeven)

De twee krachten in de kern schalen verschillend. De sterke lijm heeft een korte dracht: een nucleon bindt alleen zijn paar buren binnen 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. De elektrische afstoting reikt ver: elk proton duwt op elk ander proton. Naarmate kernen groeien, stapelt de afstoting zich sneller op dan de lijm: zware kernen hebben extra neutronen nodig (lijm zonder lading), en voorbij ongeveer 8080 protonen helpt zelfs dat niet meer — de zwaarste kernen leven op geleende tijd (Hoofdstuk 19).

Definitie 13.16 (De zwakke wisselwerking)

De zwakke wisselwerking, met een nog kortere dracht, laat een neutron in een proton veranderen (en omgekeerd): zij drijft de β\beta-radioactiviteit uit Hoofdstuk 19 aan.

13.5 Wie welke verdieping regeert

Methode 13.17 (Een schaal doorlichten)

Om te bepalen welke wisselwerking een structuur met afmeting dd regeert, kijk je naar dracht en opheffing:

  1. d≤10−14 md \leq 10^{-14}\,\mathrm{m}: de sterke wisselwerking regeert — ze verslaat de elektrische afstoting, en de zwaartekracht ligt er 103610^{36} naast.
  2. van atomen tot bergen (10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} tot 104 m10^{4}\,\mathrm{m}): de sterke kracht is buiten dracht; de elektromagnetische wisselwerking regeert — bindingen, samenhang, wrijving, contact.
  3. planeten en groter (d≥106 md \geq 10^{6}\,\mathrm{m}): materie is tot in fantastische nauwkeurigheid neutraal, dus heft de elektriciteit zichzelf op; massa heeft één teken en telt altijd op — de gravitatie regeert de hemel.

De zwakke wisselwerking bezet geen enkele verdieping: ze bindt niets, maar beslecht omzettingen (β\beta-verval).

Wie waar regeert: sterk voor kernen, elektromagnetisch van atomen tot bergen, gravitatie voor planeten en groter. Afmetingen in meter.
Wie waar regeert: sterk voor kernen, elektromagnetisch van atomen tot bergen, gravitatie voor planeten en groter. Afmetingen in meter.

13.6 Oefeningen

Oefening 13.1 ★

Geef van elke afmeting de ordegrootte en de verdieping van de ladder: proton 1.7×10−15 m1.7 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}; watermolecuul 2.8×10−10 m2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}; zandkorrel 2×10−4 m2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}; Aarde 1.3×107 m1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}; Melkweg 9.5×1020 m9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.1.

Proton: 10−1510^{-15} (verdieping van de nucleonen); watermolecuul: 10−1010^{-10} (verdieping van de moleculen — losse moleculen liggen op atomaire afmetingen); zandkorrel: 10−410^{-4} (alledaagse materie); Aarde: 10710^{7} (planeet); Melkweg: 102110^{21} (melkwegstelsel). Alles in meter.

Oefening 13.2 ★

Een ballon die over haar is gewreven, draagt q=−4.8×10−9 Cq = -4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}. Heeft hij elektronen gewonnen of verloren, en hoeveel? Welke lading heeft het haar daarna, en welke wet zegt dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.2.

Negatieve lading: hij heeft N=4.8×10−9/1.6×10−19=3.0×1010N = 4.8 \times 10^{-9}/1.6 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{10} elektronen gewonnen. Het haar draagt +4.8×10−9 C+4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}, wegens het behoud van lading (Propositie 13.6).

Oefening 13.3 ★

De ladingen q1=2.0×10−6 Cq_1 = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} en q2=−3.0×10−6 Cq_2 = -3.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} liggen 30 cm30\,\mathrm{cm} uit elkaar. Bereken de kracht; aantrekkend of afstotend? Vergelijk de kracht op q1q_1 met die op q2q_2.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.3.

F=8.99×109×2.0×10−6×3.0×10−60.302=5.39×10−20.090≈0.60 NF = 8.99 \times 10^{9} \times \dfrac{2.0 \times 10^{-6} \times 3.0 \times 10^{-6}}{0.30^2} = \dfrac{5.39 \times 10^{-2}}{0.090} \approx 0.60\,\mathrm{N}, aantrekkend (ongelijke tekens). De twee krachten hebben dezelfde grootte en tegengestelde richting.

Oefening 13.4 ★

Twee ladingen trekken elkaar aan met een kracht F0F_0. Wat wordt die als: de afstand verdubbelt; de afstand door 33 wordt gedeeld; één lading verdubbelt; beide ladingen en de afstand verdubbelen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.4.

F0/4F_0/4; 9F09F_0; 2F02F_0; F0F_0 (teller ×4\times 4, noemer ×4\times 4).

Oefening 13.5 ★

Noem de wisselwerking die verantwoordelijk is voor: (a) de Maan die om de Aarde draait; (b) de samenhang van een zoutkristal; (c) de samenhang van een heliumkern; (d) het β\beta-verval van koolstof-14; (e) de ballon uit Oefening 13.2 die aan een muur blijft plakken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.5.

(a) gravitatie; (b) elektromagnetisch; (c) sterk; (d) zwak; (e) elektromagnetisch.

Oefening 13.6 ★★

De twee protonen van een heliumkern liggen d=2.0×10−15 md = 2.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} uit elkaar (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}). Bereken hun elektrische afstoting, hun gravitatie-aantrekking en de verhouding. Wat houdt de kern heel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.6.

FE=8.99×109×(1.60×10−19)2/(2.0×10−15)2=2.30×10−28/4.0×10−30≈58 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2/(2.0 \times 10^{-15})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/4.0 \times 10^{-30} \approx 58\,\mathrm{N}; FG=6.67×10−11×(1.67×10−27)2/4.0×10−30≈4.7×10−35 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/4.0 \times 10^{-30} \approx 4.7 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}. Verhouding FE/FG≈1.2×1036F_E/F_G \approx 1.2 \times 10^{36}. De sterke wisselwerking houdt de kern bijeen; de zwaartekracht doet niet mee.

Oefening 13.7 ★★

In een waterstofatoom zit het elektron (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}) op d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} van het proton (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}). Bereken de elektrische en de gravitatiekracht ertussen en hun verhouding. Wat houdt atomen bijeen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.7.

FE=2.30×10−28/(5.3×10−11)2=2.30×10−28/2.81×10−21≈8.2×10−8 NF_E = 2.30 \times 10^{-28}/(5.3 \times 10^{-11})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/2.81 \times 10^{-21} \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}; FG=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/2.81×10−21≈3.6×10−47 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31} / 2.81 \times 10^{-21} \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}. Verhouding ≈2.3×1039\approx 2.3 \times 10^{39}: de elektromagnetische wisselwerking houdt atomen bijeen.

Oefening 13.8 ★★

Bol A draagt qA=8.0×10−9 Cq_A = 8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}; een identieke bol B is neutraal. Ze worden tegen elkaar gehouden en daarna tot 10 cm10\,\mathrm{cm} uit elkaar gezet. Welke lading draagt elk (controleer het behoud van lading)? Bereken de kracht ertussen — aantrekkend of afstotend?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.8.

Door het contact wordt de lading verdeeld: qA=qB=4.0×10−9 Cq_A = q_B = 4.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C} (samen nog altijd 8.0×10−9 C8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}). Daarna is F=8.99×109×(4.0×10−9)2/0.102=1.4×10−5 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (4.0 \times 10^{-9})^2/0.10^2 = 1.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}, afstotend (gelijke tekens).

Oefening 13.9 ★★

Twee gelijke ladingen q=1.0×10−6 Cq = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} stoten elkaar af met 0.90 N0.90\,\mathrm{N}: hoever liggen ze uit elkaar? Waar zakt de kracht tot 0.10 N0.10\,\mathrm{N}?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.9.

d=kq2/F=8.99×109×1.0×10−12/0.90≈0.10 md = \sqrt{k q^2/F} = \sqrt{8.99 \times 10^{9} \times 1.0 \times 10^{-12}/0.90} \approx 0.10\,\mathrm{m}. Een 99 keer kleinere kracht vergt een 33 keer grotere afstand: d=0.30 md = 0.30\,\mathrm{m}.

Oefening 13.10 ★★

Twee protonen in naburige moleculen liggen d=1.0×10−10 md = 1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} uit elkaar. Bereken hun elektrische afstoting. Wat draagt de sterke wisselwerking op deze afstand bij? Welke wisselwerking bindt moleculen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.10.

F=2.30×10−28/(1.0×10−10)2=2.3×10−8 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.0 \times 10^{-10})^2 = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}. De sterke wisselwerking draagt niets bij: 10−1010^{-10} m is 10510^{5} keer haar dracht. Moleculen worden gebonden door de elektromagnetische wisselwerking.

Oefening 13.11 ★★

Elk van twee muntstukken bevat ongeveer 102310^{23} elektronen. Verplaats één elektron op een miljoen van het ene naar het andere en zet de munten 1.0 m1.0\,\mathrm{m} uit elkaar. Bereken de lading van elke munt en daarna de kracht. Aan het gewicht van welke massa is die gelijk? Trek je conclusie over de neutraliteit van alledaagse materie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.11.

q=1023/106×1.6×10−19=1.6×10−2 Cq = 10^{23}/10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{C} op elke munt. F=8.99×109×(1.6×10−2)2/1.02≈2.3×106 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-2})^2/1.0^2 \approx 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N} — het gewicht van 2.3×106/9.81≈2.3×105 kg2.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 2.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}, een volgeladen goederentrein, uit één miljoenste van de elektronen. Alledaagse materie moet (en blijkt) veel nauwkeuriger dan één deel op een miljoen neutraal te zijn.

Oefening 13.12 ★★★

Een uraniumkern heeft een diameter van 1.4×10−14 m1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} en 9292 protonen. Bereken de afstoting tussen twee protonen aan weerszijden. Kan de sterke wisselwerking dit paar binden — en waarom niet? Hoeveel elkaar afstotende protonenparen zijn er? Waarom hebben zware kernen extra neutronen nodig, en waarom kunnen zelfs neutronen ze voorbij een bepaalde grootte niet meer redden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.12.

F=2.30×10−28/(1.4×10−14)2=2.30×10−28/1.96×10−28≈1.2 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/1.96 \times 10^{-28} \approx 1.2\,\mathrm{N} — op deze schaal nog altijd enorm. Nee: ze liggen 1414 keer de sterke dracht uit elkaar; elk is alleen aan zijn naaste buren gelijmd. Paren: 92×912=4186\frac{92 \times 91}{2} = 4186, die alle op elke afstand afstoten, terwijl de lijm niet met de grootte meegroeit. Neutronen voegen aantrekking zonder afstoting toe en verdunnen de protonen; maar de afstoting groeit met het kwadraat van het aantal protonen en de lijm alleen met het aantal buren, zodat voorbij ongeveer 8080 protonen geen enkele neutronenbegroting de boeken sluitend krijgt — zulke kernen vervallen (Hoofdstuk 19).

Oefening 13.13 ★★★

Twee bolletjes met massa 1.0 g1.0\,\mathrm{g} hangen aan draden van 50 cm50\,\mathrm{cm} die aan hetzelfde punt zijn vastgemaakt. Krijgen ze dezelfde lading qq, dan komen ze 6.0 cm6.0\,\mathrm{cm} uit elkaar tot rust. Elk bolletje is in evenwicht onder zijn gewicht, de spankracht van de draad en de elektrische kracht: toon aan dat F=mgtan⁡θF = mg\tan\theta (θ\theta: de hoek van de draad met de verticaal) en dat hier tan⁡θ≈0.060\tan\theta \approx 0.060. Bereken FF, daarna qq, en daarna het aantal verplaatste elementaire ladingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.13.

Evenwicht: verticaal Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = mg, horizontaal Tsin⁡θ=FT\sin\theta = F, dus F=mgtan⁡θF = mg\tan\theta. Hier is sin⁡θ=3.0/50=0.060\sin\theta = 3.0/50 = 0.060, en voor kleine hoeken tan⁡θ≈sin⁡θ=0.060\tan\theta \approx \sin\theta = 0.060. Dan is F=1.0×10−3×9.81×0.060≈5.9×10−4 NF = 1.0 \times 10^{-3} \times 9.81 \times 0.060 \approx 5.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}; q=dF/k=0.060×5.9×10−4/8.99×109≈1.54×10−8 Cq = d\sqrt{F/k} = 0.060 \times \sqrt{5.9 \times 10^{-4}/8.99 \times 10^{9}} \approx 1.54 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}; N=1.54×10−8/1.6×10−19≈9.6×1010N = 1.54 \times 10^{-8}/1.6 \times 10^{-19} \approx 9.6 \times 10^{10} elementaire ladingen.

Oefening 13.14 ★★★

Gegevens: ME=5.97×1024 kgM_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}, MM=7.35×1022 kgM_M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}, afstand Aarde–Maan d=3.84×108 md = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}. Bereken de gravitatiekracht tussen Aarde en Maan. De zwaartekracht wordt uitgeschakeld: welke ladingen +Q+Q op de Aarde en −Q-Q op de Maan houden dezelfde aantrekking in stand? Hoeveel elektronen is QQ, en hoeveel wegen die (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg})? Becommentarieer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.14.

F=6.67×10−11×5.97×1024×7.35×1022/(3.84×108)2=2.93×1037/1.47×1017≈2.0×1020 NF = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22} / (3.84 \times 10^{8})^2 = 2.93 \times 10^{37}/1.47 \times 10^{17} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}. Stel kQ2/d2=FkQ^2/d^2 = F: Q=dF/k=3.84×108×2.0×1020/8.99×109≈5.7×1013 CQ = d\sqrt{F/k} = 3.84 \times 10^{8} \times \sqrt{2.0 \times 10^{20}/8.99 \times 10^{9}} \approx 5.7 \times 10^{13}\,\mathrm{C}. Dat zijn N=5.7×1013/1.6×10−19≈3.6×1032N = 5.7 \times 10^{13}/1.6 \times 10^{-19} \approx 3.6 \times 10^{32} elektronen, met massa 3.6×1032×9.11×10−31≈3.2×102 kg3.6 \times 10^{32} \times 9.11 \times 10^{-31} \approx 3.2 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}: een paar honderd kilogram elektronen zou het werk van 7.35×1022 kg7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg} Maan kunnen doen — de kracht van de elektriciteit en de zwakte van de zwaartekracht in één getal.

Oefening 13.15 ★★★

In een zoutkristal liggen Na+^{+}- en Cl−^{-}-ionen (met ladingen ±e\pm e) d=2.8×10−10 md = 2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} uit elkaar; een Cl−^{-}-ion heeft massa 5.9×10−26 kg5.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}. Bereken de kracht tussen naburige ionen en het gewicht van een Cl−^{-}-ion; geef de verhouding. Leg daarna uit hoe de zwaartekracht op grote schaal toch wint — geen berg komt boven 104 m10^{4}\,\mathrm{m} uit — terwijl elke binding haar met vijftien ordegrootten verslaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 13.15.

F=2.30×10−28/(2.8×10−10)2=2.30×10−28/7.84×10−20≈2.9×10−9 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(2.8 \times 10^{-10})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/7.84 \times 10^{-20} \approx 2.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}; gewicht P=5.9×10−26×9.81≈5.8×10−25 NP = 5.9 \times 10^{-26} \times 9.81 \approx 5.8 \times 10^{-25}\,\mathrm{N}; verhouding F/P≈5×1015F/P \approx 5 \times 10^{15}. Elke binding heeft een vaste sterkte, maar het gewicht groeit met de hele massa erboven: stapel gesteente op en de last op de onderste laag groeit onbegrensd terwijl haar bindingen dat niet doen. Rond 104 m10^{4}\,\mathrm{m} gesteente verplettert de last de elektrische bindingen — de zwaartekracht wint niet door kracht per deeltje, maar doordat ze optelt zodra de lading zichzelf opheft.

13.7 Probleem: De doorlichting van de vier krachten

Probleem 13.1

Weekendopgave — waarom de wereld niet instort en niet uiteenvliegt: de vier wisselwerkingen verdieping voor verdieping doorgelicht, tot en met de neutraliteit van materie op twee delen in 101810^{18}

Atomen imploderen niet, kernen houden meestal stand, de Maan stort niet neer en ontsnapt niet; deze opgave zoekt uit wie de eer verdient. Gegevens: e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, k=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}, G=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}, mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}, ME=5.97×1024 kgM_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}, MM=7.35×1022 kgM_M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}, afstand Aarde–Maan 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}.

Deel I — De ladder.

  1. Noem de verdiepingen van de ladder van quark tot melkwegstelsel, met telkens één ordegrootte van afmeting.
  2. Schaalmodel: de kern wordt een knikker van 1 cm1\,\mathrm{cm}; hoe breed is het atoom dan?
  3. Welk deel van het volume van een atoom neemt zijn kern in?
  4. Een haar is 70 µm70\,\text{µ}\mathrm{m} dik. Hoeveel atomen liggen erover?
  5. Hoeveel machten van tien liggen er tussen de bovengrens van het quark (10−18 m10^{-18}\,\mathrm{m}) en een melkwegstelsel (1021 m10^{21}\,\mathrm{m})?

Deel II — De elektrische verdieping.

  1. In een waterstofatoom zit het elektron op d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} van het proton: bereken de elektrische kracht ertussen.
  2. Bereken de gravitatiekracht ertussen en de verhouding van de twee. Welke van beide houdt het atoom bijeen?
  3. Wat verandert er als de zwaartekracht binnen atomen wordt uitgeschakeld? En als de elektriciteit dat wordt?
  4. Waarom zijn de “contactkrachten” van het dagelijks leven — de vloer die tegen je voeten duwt, de wrijving — vermomd elektromagnetisch?
  5. Elk van twee muntstukken bevat ongeveer 102310^{23} elektronen. Verplaats één elektron op een miljard van het ene naar het andere en zet ze 1.0 m1.0\,\mathrm{m} uit elkaar: bereken de ladingen en de kracht. Conclusie?
  6. Welke wisselwerking regeert de verdiepingen van 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} tot 104 m10^{4}\,\mathrm{m}, en waarom doet de sterke wisselwerking niet mee?

Deel III — De kernverdieping.

  1. Twee protonen liggen 1.0×10−15 m1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} uit elkaar in een kern: bereken hun elektrische afstoting.
  2. Welke versnelling zou die kracht een ongeremd proton geven? Vergelijk met gg.
  3. Noem de drie eigenschappen die de sterke wisselwerking nodig heeft om te verklaren waarom kernen bestaan, waarom ook neutronen worden vastgegrepen, en waarom kernen zo klein blijven.
  4. Bereken in een uraniumkern (diameter 1.4×10−14 m1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}, 9292 protonen) de afstoting tussen twee protonen aan weerszijden. Kan de sterke wisselwerking dat paar rechtstreeks binden? Leg uit waarom de afstoting wint naarmate kernen groeien, en waar de neutronen voor dienen.
  5. In één zin, zoals beloofd: wat doet de zwakke wisselwerking?

Deel IV — De astronomische verdieping, en het vonnis.

  1. Bereken de gravitatiekracht tussen de Aarde en de Maan.
  2. De Aarde bevat ongeveer 1.8×10511.8 \times 10^{51} protonen (en evenveel elektronen), de Maan ongeveer 2.2×10492.2 \times 10^{49}. Welk deel ff van de protonlading van elk lichaam zou, niet-opgeheven, de elektrische kracht gelijk maken aan de gravitatiekracht?
  3. Waarom regeert de gravitatie, de zwakkeling uit vraag 7, de sterrenkunde? Twee redenen.
  4. Vonnis — één zin per verdieping (kern, atoom tot berg, planeet en groter): wat houdt haar bijeen? Beantwoord daarna de titel: waarom stort de wereld niet in en vliegt ze niet uiteen?
Oplossing

Oplossing van Probleem 13.1.

1. Quark <10−18 m< 10^{-18}\,\mathrm{m}; nucleon 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}; kern 10−1510^{-15}–10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m}; atoom 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m}; molecuul 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m}; alledaags voorwerp 1 m1\,\mathrm{m}; planeet 107 m10^{7}\,\mathrm{m}; planetenstelsel 1011 m10^{11}\,\mathrm{m}; melkwegstelsel 1021 m10^{21}\,\mathrm{m}.

2. Schaalfactor 10510^{5}: het atoom is 1 cm×105=1 km1\,\mathrm{cm} \times 10^{5} = 1\,\mathrm{km} breed.

3. (10−15/10−10)3=10−15(10^{-15}/10^{-10})^3 = 10^{-15}: materie is voor 99.999 999 999 999 9 %99.999\,999\,999\,999\,9\,\% leeg.

4. 7×10−5/10−10=7×1057 \times 10^{-5}/10^{-10} = 7 \times 10^{5} atomen — ongeveer een miljoen over de breedte van één haar.

5. Van 10−1810^{-18} tot 102110^{21}: 3939 machten van tien.

6. FE=8.99×109×(1.60×10−19)2/(5.3×10−11)2≈8.2×10−8 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}.

7. FG=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/(5.3×10−11)2≈3.6×10−47 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31}/(5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}; verhouding FE/FG≈2.3×1039F_E/F_G \approx 2.3 \times 10^{39}. De elektriciteit houdt het atoom bijeen; de zwaartekracht kijkt toe.

8. Zonder zwaartekracht: er verandert niets meetbaars (ze ligt er 103910^{39} onder). Zonder elektriciteit: geen atomen, geen moleculen, helemaal geen materie.

9. “Contact” is de elektrische afstoting tussen de elektronenwolken van atomen die tot ongeveer 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} bij elkaar zijn gebracht: niets raakt ooit iets aan. De normaalkracht van de vloer en de wrijving zijn de wet van Coulomb in het groot.

10. q=1023×10−9×1.6×10−19=1.6×10−5 Cq = 10^{23} \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{C} per munt; F=8.99×109×(1.6×10−5)2≈2.3 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-5})^2 \approx 2.3\,\mathrm{N} — een duidelijk zichtbare kracht uit één elektron op een miljard. Alledaagse materie is veel nauwkeuriger dan 10−910^{-9} neutraal.

11. De elektromagnetische wisselwerking. De sterke kracht is buiten dracht voorbij ongeveer 10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m} — 10410^{4} keer kleiner dan één atoom.

12. F=8.99×109×(1.60×10−19)2/(1.0×10−15)2≈2.3×102 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (1.0 \times 10^{-15})^2 \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}.

13. a=F/mp=230/1.67×10−27≈1.4×1029 m/s2a = F/m_p = 230/1.67 \times 10^{-27} \approx 1.4 \times 10^{29}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, ongeveer 1.4×10281.4 \times 10^{28} maal gg: geen alledaagse kracht komt er in de buurt.

14. Sterker dan 230 N230\,\mathrm{N} op 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} (kernen bestaan); even hard werkend op protonen en neutronen, blind voor lading (neutronen worden ook vastgehouden); een dracht van ongeveer 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} (kernen blijven klein — de lijm reikt niet verder).

15. F=2.30×10−28/(1.4×10−14)2≈1.2 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 \approx 1.2\,\mathrm{N}. Nee: 1414 keer de dracht. De afstoting werkt over alle 92×912=4186\frac{92\times91}{2} = 4186 protonenparen; de lijm bindt alleen naaste buren, dus komt groei de afstoting ten goede. Neutronen voegen lijm en ruimte toe zonder afstoting toe te voegen — tot voorbij ongeveer 8080 protonen geen enkel mengsel meer in evenwicht is en de kern vervalt.

16. De zwakke wisselwerking verandert een neutron in een proton (en omgekeerd) en veroorzaakt zo het β\beta-verval — ze zet om; ze bindt nooit.

17. F=6.67×10−11×5.97×1024×7.35×1022/(3.84×108)2≈2.0×1020 NF = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}/(3.84 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

18. QE=1.8×1051×1.6×10−19=2.9×1032 CQ_E = 1.8 \times 10^{51} \times 1.6 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^{32}\,\mathrm{C}, QM=3.5×1030 CQ_M = 3.5 \times 10^{30}\,\mathrm{C}. Gelijke krachten betekent f2 k QEQM=GMEMMf^2\,k\,Q_E Q_M = G M_E M_M:

f=2.93×10378.99×109×2.9×1032×3.5×1030=3.2×10−36≈1.8×10−18:f = \sqrt{\frac{2.93 \times 10^{37}}{8.99 \times 10^{9} \times 2.9 \times 10^{32} \times 3.5 \times 10^{30}}} = \sqrt{3.2 \times 10^{-36}} \approx 1.8 \times 10^{-18} :

een onbalans van twee delen op 101810^{18} zou de zwaartekracht opheffen.

19. Lading bestaat in twee tekens en heft zichzelf op (vraag 18 laat zien hoe volmaakt), zodat de sterkere kracht zichzelf op grote schaal uitschakelt; massa heeft één teken, telt eeuwig op, en niets schermt haar af.

20. Kern: de sterke wisselwerking overtroeft op 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} de afstoting tussen de protonen. Atoom tot berg: de elektromagnetische wisselwerking bindt elektronen aan kernen en atomen aan elkaar. Planeet en groter: de gravitatie, onbestreden zodra de lading zich opheft, houdt planeten, omloopbanen en melkwegstelsels vast. De wereld stort niet in doordat elke verdieping wordt geschraagd door een bindmiddel dat stijver is dan de last, en vliegt niet uiteen doordat materie tot op ongeveer 10−1810^{-18} neutraal is — zodat op elke schaal precies één kracht de leiding heeft, en aantrekkend is waar dat moet.