Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

34De kwantumwereld: fotonen en energieniveaus

Een infraroodlamp kan je huid een hele avond baden zonder een spoor achter te laten; tien minuten ijle bergzon levert een verbranding op. De lamp levert veel meer energie — maar energie is niet wat de huid tekent. Licht, zo laat dit hoofdstuk zien, komt in korrels aan, en alleen een korrel die hard genoeg inslaat doet chemie: één ultraviolette korrel breekt een binding die een miljard infrarode korrels alleen maar opwarmen. Volg de korrels en er gaat een eeuw open: metalen die elektronen lekken, atomen die in spectraallijnen zingen, elektronen die als golven interfereren.

34.1 Licht komt in korrels: het foton

Definitie 34.1 (Het foton)

Licht met frequentie $\nu$ wisselt alleen in hele korrels energie met materie uit; die korrels heten fotonen, elk met energie

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s},

waarin $h$ de constante van Planck is (Planck, 1900; Einstein, 1905) en $\lambda$ de golflengte in vacuüm. De intensiteit van een bundel meet het aantal fotonen per seconde; de energie van elke korrel ligt alleen door de frequentie vast.

Notatie 34.2 (De elektronvolt)

De atoomfysica gebruikt de elektronvolt, $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ : de energie die één elementaire lading wint door $1\,\mathrm{V}$ te doorlopen (Hoofdstuk 14). Handig: $E \,(\mathrm{eV}) \approx 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$ .

Eén schaal voor de elektromagnetische familie (): golflengte (boven), energie per foton hc/ (blauw), van radiokorrels van een micro-elektronvolt tot de gammakorrels van MeV uit — en toch giet een laserpen van 1.0\, mW er 3 × 1015 per seconde uit: alledaags licht stroomt zo glad als gegoten zand. — Eén schaal voor de elektromagnetische familie (Hoofdstuk 22): golflengte (boven), energie per foton $hc/\lambda$ (blauw), van radiokorrels van een micro-elektronvolt tot de gammakorrels van $\mathrm{MeV}$ uit Hoofdstuk 19 — en toch giet een laserpen van $1.0\,\mathrm{mW}$ er $3 \times 10^{15}$ per seconde uit: alledaags licht stroomt zo glad als gegoten zand.

34.2 Het foto-elektrisch effect

Schijn licht op een schoon metalen plaatje in vacuüm en er springen elektronen uit — het foto-elektrisch effect. De regels ervan braken de klassieke natuurkunde.

Propositie 34.3 (Wat het experiment laat zien)

Voor elk metaal bestaat er een drempelfrequentie $\nu_0$ :

onder $\nu_0$ vertrekt er geen enkel elektron, hoe fel het licht ook is;
boven $\nu_0$ begint de emissie zonder vertraging, hoe zwak het licht ook is;
de intensiteit verhoogt het aantal elektronen per seconde, niet hun maximale kinetische energie; de frequentie verhoogt $E_{k,\max}$ .

Niets daarvan past bij een continue golf, waarbij elke kleur zou moeten kunnen opladen — desnoods maandenlang in zwak licht (Oefening 34.14) — en waarbij de intensiteit de energie van de elektronen zou moeten vastleggen: alle drie de voorspellingen falen.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Stelling 34.4 (Foto-elektrische betrekking van Einstein)

Een elektron heeft minstens de uittreearbeid $W_0$ van het metaal nodig om het oppervlak te verlaten. Eén foton wordt in zijn geheel door één elektron opgenomen, dus

h\nu = W_0 + E_{k,\max}, \qquad \text{en dus } \nu_0 = \frac{W_0}{h}.

Bewijs. Energieboekhouding: $h\nu$ erin, $W_0$ uitgegeven aan het ontsnappen, de rest kinetisch — hoogstens $h\nu - W_0$ , en minder voor elektronen die dieper beginnen. Onder $\nu_0$ kan één korrel de uittreetol niet betalen, hoeveel het er ook zijn. ∎

Definitie 34.5 (Remspanning)

Om $E_{k,\max}$ te meten remt een tegengestelde spanning de elektronen af (Hoofdstuk 14); de remspanning $U_s$ is de kleinste spanning die de stroom opheft: de snelste elektronen halen het net niet, dus is $E_{k,\max} = e\,U_s$ .

Gemeten E_k, = eU_s tegen de frequentie (natrium): een rechte lijn met helling h, die de as in _0 snijdt; doorgetrokken (gestippeld) onthult ze -W_0 bij = 0. — Gemeten $E_{k,\max} = eU_s$ tegen de frequentie (natrium): een rechte lijn met helling $h$ , die de as in $\nu_0$ snijdt; doorgetrokken (gestippeld) onthult ze $-W_0$ bij $\nu = 0$ .

Methode 34.6 (De constante van Planck meten)

Belicht een fotocel door filters met bekende golflengten; bereken telkens $\nu = c/\lambda$ ; noteer elke remspanning.
Zet $E_{k,\max} = eU_s$ uit tegen $\nu$ : Einstein belooft de rechte $h\nu - W_0$ .
Lees de helling af: die is $h$ ; de snijpunten geven $\nu_0$ en $-W_0$ .

34.3 Energieniveaus: waarom atomen lijnen uitzenden

Definitie 34.7 (Energieniveaus)

De energie van een elektron dat in een atoom gebonden is, is gekwantiseerd: beperkt tot een discrete ladder van energieniveaus $E_1 < E_2 < \dots < 0$ , negatief geteld vanaf het vrije elektron. De laagste sport is de grondtoestand, de andere zijn aangeslagen toestanden; $0$ bereiken is ionisatie.

Propositie 34.8 (De waterstofladder)

De energieniveaus van het waterstofatoom zijn

E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots

dus $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ , samendringend naar $0$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 34.9 (Waar de ladder vandaan komt)

Waarom juist deze getallen, is kwantummechanica, bewaard voor de universitaire volumes — en zo ook de formule van De Broglie: de materiegolf van het elektron (Definitie 34.15 hieronder) moet rond de kern op zichzelf aansluiten, en alleen bepaalde golflengten passen — net als een gitaarsnaar heeft een atoom een discrete verzameling noten.

Stelling 34.10 (Foton van een overgang)

Een atoom verandert alleen van niveau door één foton uit te zenden of op te nemen dat precies het verschil draagt: vallen van niveau $p$ naar een lager niveau $n$ zendt $h\nu = E_p - E_n$ uit; klimmen van $n$ naar $p$ neemt diezelfde energie op.

Bewijs. Behoud van energie, korrel per korrel: het foton is de enige munt die licht aanneemt, en de boeken van het atoom moeten kloppen. ∎

Opmerking 34.11 (Lijnenspectra verklaard)

Hier is het antwoord dat Hoofdstuk 2 beloofde: een heet gas zendt alleen de frequenties $(E_p - E_n)/h$ van zijn eigen ladder uit — een streepjescode van heldere lijnen — en een koud gas steelt precies die frequenties uit wit licht en drukt er passende donkere absorptielijnen voor terug. Elk element heeft zijn eigen ladder en dus zijn eigen streepjescode — zo lezen we het licht van de sterren.

Voorbeeld 34.12 (De zichtbare lijnen van waterstof)

Overgangen die op $n = 2$ eindigen, vallen in het zichtbare. Met $E \,(\mathrm{eV}) = 1240/\lambda\,(\mathrm{nm})$ : $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ , $656\,\mathrm{nm}$ (rood); $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (blauwgroen); $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ , $434\,\mathrm{nm}$ (violet). Overgangen naar $n = 1$ gaan boven $10\,\mathrm{eV}$ : allemaal ultraviolet.

De waterstofladder, op schaal: de zichtbare lijnen eindigen allemaal op n = 2; de val naar de grondtoestand is diep ultraviolet. — De waterstofladder, op schaal: de zichtbare lijnen eindigen allemaal op $n = 2$ ; de val naar de grondtoestand is diep ultraviolet.

Opmerking 34.13 (Lasers, in één adem)

Een foton met precies $E_p - E_n$ dat een aangeslagen atoom passeert, kan het aanzetten om een identiek foton uit te zenden — dezelfde energie, dezelfde richting, in de pas. Houd meer atomen boven dan beneden en één foton wordt een lawine van klonen: gestimuleerde emissie — en een laser is weinig meer.

34.4 Materiegolven

Propositie 34.14 (Elektronen interfereren)

Stuur elektronen één voor één door een dubbele spleet (Hoofdstuk 22): elk landt als één scherpe stip — een deeltje. Maar naarmate er duizenden samenkomen, tekenen de stippen interferentiestrepen: elk elektron gaat in zijn eentje als een golf door beide spleten. Kristallen buigen elektronenbundels ook af (Davisson en Germer, 1927).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Eén elektron, één stip; duizenden, strepen. Waar de volgende stip landt is willekeurig — zoals het verval van één kern () — maar de golf legt de waarschijnlijkheid vast: heldere streep, waarschijnlijk; donkere, bijna nooit. Individueel toeval, geregeerd door een exacte golf: het hart van de kwantumfysica. — Eén elektron, één stip; duizenden, strepen. Waar de volgende stip landt is willekeurig — zoals het verval van één kern (Hoofdstuk 19) — maar de golf legt de *waarschijnlijkheid* vast: heldere streep, waarschijnlijk; donkere, bijna nooit. Individueel toeval, geregeerd door een exacte golf: het hart van de kwantumfysica.

Definitie 34.15 (Debroglie-golflengte)

Elk deeltje met impuls $p = mv$ reist als een materiegolf met debroglie-golflengte

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 34.16 (Waarom jij nooit buigt)

Een elektron dat door $100\,\mathrm{V}$ is versneld heeft $E_k = 1.60 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ en $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dus $\lambda \approx 0.12\,\mathrm{nm}$ — de afstand tussen de atomen in een kristal, dat daarmee zijn dubbele spleet wordt. Een tennisbal van $58\,\mathrm{g}$ met $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\lambda = 6.63\times10^{-34}/1.45 \approx 4.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{m}$ , zo’n $10^{19}$ keer kleiner dan een kern — geen enkele spleet zal hem ooit zien interfereren. $h$ is zo klein dat de kwantumkorrel alleen op de schaal van het atoom bovenkomt.

Voorbeeld 34.17 (De elektronenmicroscoop)

Buiging verbiedt het onderscheiden van detail dat veel kleiner is dan de gebruikte golflengte (Hoofdstuk 22): zichtbaar licht houdt op rond $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Elektronen bij $10\,\mathrm{kV}$ hebben $\lambda \approx 12\,\mathrm{pm}$ — tienduizenden keren korter: elektronenmicroscopen beelden virussen af, het raderwerk van cellen, zelfs losse atomen. De materiegolf gaf de natuurkunde een nieuw oog.

34.5 Oefeningen

Oefening 34.1 ★

Een groene laserpen zendt $1.0\,\mathrm{mW}$ uit op $530\,\mathrm{nm}$ . Bereken de energie van één foton in joule en in elektronvolt, en daarna het aantal fotonen per seconde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.1.

$E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.30 \times 10^{-7} = 3.75 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.35\,\mathrm{eV}$ . $N = 1.0 \times 10^{-3}/3.75 \times 10^{-19} \approx 2.7 \times 10^{15}$ fotonen per seconde.

Oefening 34.2 ★

Een fm-zender zendt uit op $100\,\mathrm{MHz}$ . Bereken de fotonenergie ervan in $\mathrm{eV}$ en vergelijk met een zichtbaar foton: waarom is de korreligheid van radio niet waar te nemen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.2.

$E = h\nu = 6.63\times10^{-34} \times 10^{8} = 6.63 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \approx 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ — ongeveer vijf miljoen keer minder dan een zichtbaar foton. Elk waarneembaar radiosignaal bevat zoveel fotonen per seconde dat de stroom volmaakt glad is.

Oefening 34.3 ★

Cesium heeft $W_0 = 1.9\,\mathrm{eV}$ . Bereken zijn drempelfrequentie en drempelgolflengte. Slaat een rode laser op $633\,\mathrm{nm}$ elektronen uit cesium los — en zo ja, met welke maximale kinetische energie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.3.

$\nu_0 = W_0/h = 3.04 \times 10^{-19}/6.63 \times 10^{-34} \approx 4.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda_0 = c/\nu_0 \approx 654\,\mathrm{nm}$ . Bij $633\,\mathrm{nm}$ is $E = 1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} > 1.9\,\mathrm{eV}$ : ja, op het nippertje, met $E_{k,\max} \approx 0.06\,\mathrm{eV} \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}$ .

Oefening 34.4 ★

Bereken met $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ de energie en de golflengte van het foton dat bij de waterstofovergang $3 \to 2$ wordt uitgezonden. Welke kleur?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.4.

$E_3 - E_2 = -1.51 + 3.40 = 1.89\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/1.89 \approx 656\,\mathrm{nm}$ : de rode lijn.

Oefening 34.5 ★

Lees uit de grafiek van $E_{k,\max}$ tegen $\nu$ uit de cursus de drempelfrequentie en de uittreearbeid van natrium af (in $\mathrm{eV}$ ); welke constante is de helling?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.5.

$\nu_0 \approx 5.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $W_0 = h\nu_0 \approx 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ (het snijpunt $-W_0$ ). De helling is de constante van Planck $h$ .

Oefening 34.6 ★★

Licht met golflengte $400\,\mathrm{nm}$ valt op kalium ( $W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$ ). Bereken de fotonenergie, de maximale kinetische energie van de elektronen (in $\mathrm{eV}$ en in joule) en de remspanning.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.6.

$E = 1240/400 = 3.10\,\mathrm{eV}$ ; $E_{k,\max} = 3.10 - 2.3 = 0.80\,\mathrm{eV} = 1.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $U_s = E_{k,\max}/e = 0.80\,\mathrm{V}$ .

Oefening 34.7 ★★

Een fotocel wordt boven de drempel belicht. Wat gebeurt er met (a) de stroom, (b) de remspanning wanneer de intensiteit bij vaste frequentie wordt verdubbeld? En wanneer de frequentie wordt verhoogd? Welk feit spreekt het golfbeeld tegen, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.7.

Intensiteit verdubbeld: de stroom verdubbelt (twee keer zoveel fotonen), de remspanning blijft gelijk (dezelfde energie per foton). Frequentie verhoogd: de remspanning stijgt, want $E_{k,\max} = h\nu - W_0$ . Het golfbeeld koppelt de energie van de elektronen aan de intensiteit en niet aan de frequentie — precies wat niet wordt waargenomen.

Oefening 34.8 ★★

Welke minimale fotonenergie ioniseert een waterstofatoom vanuit zijn grondtoestand? En vanuit $n = 2$ ? Bereken beide drempelgolflengten en noem hun spectrale gebieden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.8.

Vanuit $n = 1$ : $13.6\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/13.6 \approx 91\,\mathrm{nm}$ , ver in het ultraviolet. Vanuit $n = 2$ : $3.40\,\mathrm{eV}$ , $\lambda \approx 365\,\mathrm{nm}$ , nabij ultraviolet.

Oefening 34.9 ★★

Wit licht doorkruist een vat met koud waterstof (alle atomen in de grondtoestand). Leg uit waarom het doorgelaten spectrum geen donkere lijn in het zichtbare vertoont, terwijl er in de spectra van hete sterren wel balmer-absorptielijnen verschijnen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.9.

Vanuit de grondtoestand kost de kleinste sprong $E_2 - E_1 = 10.2\,\mathrm{eV}$ ( $122\,\mathrm{nm}$ ): elke absorptielijn is ultraviolet, geen enkele zichtbaar. In een hete steratmosfeer houden botsingen sommige atomen in $n = 2$ , van waaruit zichtbare balmerfotonen ( $1.89\text{ to }3.40\,\mathrm{eV}$ ) kunnen worden opgenomen.

Oefening 34.10 ★★

Bereken de debroglie-golflengte van (a) een elektron dat door $100\,\mathrm{V}$ is versneld, (b) een vlieg van $0.10\,\mathrm{g}$ met $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Vergelijk elk met de grootte van een atoom ( $\sim 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ); trek een conclusie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.10.

(a) $E_k = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p \approx 1.2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ — zo groot als een atoom: kristallen buigen hem af. (b) $p = 1.0 \times 10^{-4} \times 1.0 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda \approx 6.6 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}$ — $10^{20}$ keer kleiner dan een atoom: de golf van de vlieg blijft voor eeuwig onzichtbaar.

Oefening 34.11 ★★

Een aan het donker gewend oog reageert op ongeveer $90$ fotonen licht van $505\,\mathrm{nm}$ . Bereken die energie, vergelijk ze met de kinetische energie van een mug van $2.5\,\mathrm{mg}$ die met $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vliegt, en duid de verhouding.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.11.

Eén foton: $1.99 \times 10^{-25}/5.05 \times 10^{-7} = 3.94 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; negentig: $\approx 3.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ . De mug: $\tfrac12 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 0.50^2 = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}$ — $10^{10}$ keer meer. Het oog werkt tot op honderd korrels van de absolute grens: bijna een fotonenteller.

Oefening 34.12 ★★★

Een fotocel geeft $U_s = 1.19\,\mathrm{V}$ bij $405\,\mathrm{nm}$ en $U_s = 0.40\,\mathrm{V}$ bij $546\,\mathrm{nm}$ . Meet uit deze twee punten $h$ , en daarna de uittreearbeid in $\mathrm{eV}$ . Welk metaal uit dit hoofdstuk is de kathode?

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.12.

$\nu_1 = 7.41 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $\nu_2 = 5.49 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $h = e\,\Delta U_s/\Delta\nu = 1.60 \times 10^{-19} \times 0.79 / 1.91 \times 10^{14} \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ . $W_0 = h\nu_2 - eU_{s,2} = 3.63 \times 10^{-19} - 0.64 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1.9\,\mathrm{eV}$ : cesium.

Oefening 34.13 ★★★

Een waterstoflamp vertoont lijnen op $486\,\mathrm{nm}$ en $434\,\mathrm{nm}$ . Reken elk om naar een fotonenergie en identificeer de twee overgangen door ze met verschillen van de niveaus $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ te vergelijken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.13.

$1240/486 = 2.55\,\mathrm{eV} = E_4 - E_2 = 3.40 - 0.85$ : de overgang $4 \to 2$ . $1240/434 = 2.86\,\mathrm{eV} = E_5 - E_2 = 3.40 - 0.54$ : de overgang $5 \to 2$ .

Oefening 34.14 ★★★

Klassieke schatting van de vertraging: zwak licht met intensiteit $1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ valt op kalium ( $W_0 = 2.3\,\mathrm{eV}$ ). Als een atoom alleen de energie zou opvangen die door zijn doorsnede komt (straal $1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ), hoe lang zou het dan nodig hebben om $W_0$ te verzamelen? Vergelijk met de waargenomen vertraging (onder $10^{-9}\,\mathrm{s}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.14.

Doorsnede $\pi r^2 \approx 3.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ , opgevangen vermogen $3.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ ; $t = 3.7 \times 10^{-19}/3.1 \times 10^{-26} \approx 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ — vier maanden, tegenover minder dan een nanoseconde waargenomen. De energie kan niet over het golffront zijn uitgesmeerd: ze reist geconcentreerd, in korrels.

Oefening 34.15 ★★★

In een elektronenmicroscoop worden de elektronen door $5.0\,\mathrm{kV}$ versneld. Bereken hun debroglie-golflengte, vergelijk die met groen licht ( $550\,\mathrm{nm}$ ), en leg met behulp van de buiging (Hoofdstuk 22) uit waarom dat oplossend vermogen koopt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 34.15.

$E_k = 8.0 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}$ , $p = \sqrt{2m_e E_k} = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = h/p \approx 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 17\,\mathrm{pm}$ — ongeveer $3 \times 10^{4}$ keer korter dan $550\,\mathrm{nm}$ . Buiging vervaagt detail dat kleiner is dan $\sim\lambda$ , dus koopt $\lambda$ met $10^4$ verkleinen een factor $10^4$ oplossend vermogen.

34.6 Probleem: Het natuurkundelab van het zonnepaneel

Probleem 34.1

Weekendopgave — het natuurkundelab van het zonnepaneel: de $10^{21}$ korrels die een dak elke seconde opdrinkt, een fotocel die de constante van Planck meet, een waterstoflamp lijn voor lijn gelezen — één weekend, één $h$

Jullie klas voorziet het zonnepaneel op het schooldak een weekend lang van meetapparatuur. Gegevens: zonne-instraling om twaalf uur $1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; gemiddelde golflengte van de zon $550\,\mathrm{nm}$ ; oppervlakte van het paneel $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ , rendement $20\%$ ; de dag levert het equivalent van $5.0\,\mathrm{h}$ volle zon.

Deel I — Fotonenboekhouding.

Bereken de energie van één gemiddeld zonnefoton, in joule en in elektronvolt.
Leid daaruit het aantal fotonen af dat om twaalf uur per seconde op het paneel valt.
Bereken het elektrische vermogen van het paneel om twaalf uur, en daarna de over de dag geproduceerde energie, in $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .
De stroom van het paneel oogt volmaakt glad. Leg met vraag 2 uit waarom de korrel-voor-korrelaankomst onzichtbaar is.
Zonlicht draagt meer infrarode dan ultraviolette energie, en toch verbrandt alleen het ultraviolet de huid (bindingen $\sim 3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ ). Leg dat in korrels uit.

Deel II — $h$ meten met de fotocel uit de doos. De fotocel uit de doos heeft een onbekende kathode. De filters geven:

$\lambda$ ( $\mathrm{nm}$ )	365	405	436	546
$U_s$ ( $\mathrm{V}$ )	1.50	1.16	0.94	0.37

Wat meet de remspanning? Leg het verband tussen $U_s$ , $\nu$ , $W_0$ en $h$ .
Reken de vier golflengten om naar frequenties (in $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ).
Waarom zou $eU_s$ tegen $\nu$ uitzetten een rechte moeten geven? Controleer dat de punten op één lijn liggen.
Bereken uit de uiterste punten de helling: jouw gemeten $h$ .
Leid de uittreearbeid van de kathode af (in $\mathrm{eV}$ ), en haar drempelfrequentie en drempelgolflengte.
Welk deel van het zonlicht zou elektronen uit deze kathode kunnen losslaan — en welke helft van het spectrum is er nutteloos voor?
Vergelijk jouw $h$ met $6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ : hoe groot is de relatieve fout in procent?

Deel III — De waterstoflamp als ijkbron. De golflengteschaal van de doos wordt aan een waterstoflamp getoetst, $E_n = -13.6/n^2$ $\mathrm{eV}$ .

Bereken $E_2$ , $E_3$ , $E_4$ en $E_5$ .
Bereken de fotonenergieën van de overgangen $3 \to 2$ , $4 \to 2$ en $5 \to 2$ .
Leid de drie golflengten af en geef de kleur van elke lijn.
Waarom zendt de lamp lijnen uit en geen doorlopende regenboog? Eén zin, met het kernidee erin.
Zou het waterstof van de lamp licht van $500\,\mathrm{nm}$ kunnen opnemen? Onderbouw met de ladder.

Deel IV — De cellen inspecteren: de elektronengolf. Microscheurtjes in een cel liggen ver onder het bereik van $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ van lichtmicroscopen; de rasterelektronenmicroscoop van het lab werkt op $10\,\mathrm{kV}$ .

Bereken de snelheid van de elektronen; ga na dat die onder $0.25\,c$ blijft (klassieke formule).
Bereken hun impuls en hun debroglie-golflengte.
Het oplossend vermogen schaalt met de golflengte: bereken de winst ten opzichte van groen licht ( $550\,\mathrm{nm}$ ); sluit af met de twee getallen van het weekend — jouw $h$ en deze winst.

Oplossing

Oplossing van Probleem 34.1.

1. $E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.50 \times 10^{-7} = 3.62 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.26\,\mathrm{eV}$ .

2. $N = 1.0 \times 10^{3}/3.62 \times 10^{-19} \approx 2.8 \times 10^{21}$ fotonen per seconde.

3. $P = 0.20 \times 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{W} = 200\,\mathrm{W}$ ; $E = 200 \times 5.0 = 1.0\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ( $3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ ).

4. Met $10^{21}$ korrels per seconde is het statistische flakkeren fantastisch klein: de korreligheid middelt uit tot een volmaakt gladde stroom, zoals snel gegoten zand als water stroomt.

5. Schade vraagt één korrel van $3\text{ to }4\,\mathrm{eV}$ : ultraviolette korrels voldoen, infrarode ( $\sim 0.1\,\mathrm{eV}$ ) nooit — aantallen kunnen de klap per korrel niet vervangen.

6. $U_s$ is de tegengestelde spanning die de snelste elektronen net tegenhoudt: $eU_s = E_{k,\max} = h\nu - W_0$ .

7. $\nu = c/\lambda$ : $8.22$ , $7.41$ , $6.88$ en $5.49$ $\times\,10^{14}\,\mathrm{Hz}$ .

8. $eU_s = h\nu - W_0$ is affien in $\nu$ , met helling $h$ . Opeenvolgende hellingen: $(0.94 - 0.37)/1.39 = 0.41$ en $(1.50 - 0.94)/1.34 = 0.42$ $\mathrm{eV}$ per $10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — de punten liggen op één lijn.

9. $h = e(U_{s,1}-U_{s,4})/(\nu_1-\nu_4) = 1.60 \times 10^{-19} \times 1.13/2.72 \times 10^{14} = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ .

10. Bij $546\,\mathrm{nm}$ : $W_0 = h\nu - eU_s = 3.64 \times 10^{-19} - 0.59 \times 10^{-19} = 3.05 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.90\,\mathrm{eV}$ ; $\nu_0 = W_0/h = 4.60 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda_0 \approx 653\,\mathrm{nm}$ .

11. Alleen $\lambda < 653\,\mathrm{nm}$ slaat elektronen los: het zichtbare van violet tot rood, en het ultraviolet. De hele infrarode kant — ruwweg de helft van de energie van de Zon — is nutteloos voor deze kathode.

12. $(6.64 - 6.63)/6.63 \approx 0.2\%$ — een meting van een universele constante op twee promille, in een schoollab.

13. $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ , $E_5 = -0.54\,\mathrm{eV}$ .

14. $3 \to 2$ : $1.89\,\mathrm{eV}$ ; $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ ; $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ .

15. $\lambda = 1240/E$ : $656\,\mathrm{nm}$ (rood), $486\,\mathrm{nm}$ (blauwgroen), $434\,\mathrm{nm}$ (violet).

16. De energieën van het atoom zijn gekwantiseerd, dus kan het alleen de discrete verschillen $E_p - E_n$ uitzenden: een ladder maakt lijnen, geen regenboog.

17. Nee: $500\,\mathrm{nm}$ betekent $2.48\,\mathrm{eV}$ , en dat komt met geen enkel niveauverschil overeen (vanaf $E_2$ omhoog geeft $1.89$ , $2.55$ , $2.86$ en $3.40\,\mathrm{eV}$ ; vanaf $E_1$ kost alles minstens $10.2\,\mathrm{eV}$ ) — het gas is daar doorzichtig.

18. $eU = \tfrac12 m_e v^2$ : $v = \sqrt{2 \times 1.60 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{4}/9.11 \times 10^{-31}} \approx 5.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.20\,c$ — een klassieke behandeling is aanvaardbaar.

19. $p = m_e v = 5.4 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = h/p = 1.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 12\,\mathrm{pm}$ .

20. Winst $= 5.50 \times 10^{-7}/1.23 \times 10^{-11} \approx 4.5 \times 10^{4}$ . De twee getallen van het weekend: $h = 6.64 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , met filters en een voltmeter tot op $0.2\%$ gemeten, en een microscoop die vijfenveertigduizend keer scherper is omdat elektronen golven.