Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

21Geluid en akoestiek

Tokkel de lage snaar van een gitaar: de kamer vult zich met een lage a, en toch is er niets naar je oor gereisd behalve samengeperste en uitgerekte lucht. Dit hoofdstuk volgt dat patroon — zijn snelheid, hoe frequentie toonhoogte wordt en vermogen luidheid, en waarom één noot op elk instrument anders klinkt.

21.1 Geluid is een drukgolf

Definitie 21.1 (Geluidsgolf)

Een geluidsgolf is een mechanische drukgolf (Hoofdstuk 20): een trillend oppervlak wekt reizende verdichtingen (lichte overdruk) en verdunningen (onderdruk) op. Luchtpakketjes trillen langs de looprichting (geluid is longitudinaal), en er is een tussenstof nodig: een bel onder een vacuümstolp verstomt (Hoofdstuk 8).

Een luidspreker drijft een longitudinale golf aan: pakketjes hopen zich op tot verdichtingen die één golflengte = v/f uit elkaar liggen. — Een luidspreker drijft een longitudinale golf aan: pakketjes hopen zich op tot verdichtingen die één golflengte $\lambda = v/f$ uit elkaar liggen.

Propositie 21.2 (Geluidssnelheid)

Geluid reist met ongeveer $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in lucht van $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , met $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in water en met $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in staal: hoe stijver het midden, hoe sneller.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 21.3 (Warme lucht is sneller)

Dit zijn gemeten waarden; ze voorspellen gebeurt in het volume van bachelorjaar 1. Geluid gaat sneller in warmere lucht ( $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bij $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) — en daarom raken blaasinstrumenten ontstemd naarmate de zaal opwarmt.

Voorbeeld 21.4 (De afmetingen van geluiden)

De betrekking $\lambda = v/f$ geeft elk geluid zijn maat: in lucht overspant een gerommel van $20\,\mathrm{Hz}$ $340/20 = 17\,\mathrm{m}$ — een gebouw — terwijl een gesis van $20\,\mathrm{kHz}$ in $1.7\,\mathrm{cm}$ past; de metergrote buigen makkelijk om deuren en hoeken heen.

21.2 Toonhoogte, luidheid en het oor

Definitie 21.5 (Toonhoogte en luidheid)

Toonhoogte is de waarneming van de frequentie: hoe hoger $f$ , hoe hoger de noot; de kamertoon a is $440\,\mathrm{Hz}$ , en $f$ verdubbelen tilt de noot een octaaf hoger. Luidheid is de waarneming van de amplitude: hoe sterker de drukwisseling, hoe luider; versterken verandert de luidheid, niet de toonhoogte.

Opmerking 21.6 (Het venster van het oor)

Het gehoor loopt van ongeveer $20\,\mathrm{Hz}$ tot $20\,\mathrm{kHz}$ (Hoofdstuk 8); daaronder ligt infrageluid, daarboven ultrageluid — vleermuizen op $50\,\mathrm{kHz}$ , medische sondes op megahertz. Een piano bestrijkt alleen het midden: $27.5\text{ to }4186\,\mathrm{Hz}$ .

21.3 Geluidsintensiteit en de decibelschaal

Definitie 21.7 (Geluidsintensiteit)

De geluidsintensiteit $I$ is het akoestische vermogen dat door één vierkante meter loodrecht op de golf gaat: $I = P/S$ , in $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Het zwakste hoorbare geluid is ongeveer $I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; de pijn begint rond $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

Propositie 21.8 (Verzwakking met het omgekeerde kwadraat)

Een kleine bron die een vermogen $P$ in alle richtingen even sterk uitstraalt, geeft op afstand $r$ de intensiteit $I = P/(4\pi r^2) \propto 1/r^2$ : de afstand verdubbelen deelt de intensiteit door vier.

Bewijs. Het hele vermogen $P$ gaat door de bol met oppervlakte $4\pi r^2$ ; deel. ∎

Definitie 21.9 (Geluidsniveau)

Het oor bestrijkt twaalf machten van tien, dus worden intensiteiten logaritmisch opgegeven. Het geluidsniveau van $I$ is

L = 10 \log_{10}(I/I_0), \qquad I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},

in decibel ( $\mathrm{dB}$ ): de gehoordrempel ligt op $0\,\mathrm{dB}$ , de pijngrens rond $120\,\mathrm{dB}$ .

Propositie 21.10 (Rekenen met decibel)

$I$ met $k$ vermenigvuldigen telt er $10\log_{10}k$ decibel bij. In het bijzonder voegt $\times 10$ er $10\,\mathrm{dB}$ aan toe, en $\times 2$ $10\log_{10}2 \approx 3.0\,\mathrm{dB}$ ; $N$ onafhankelijke gelijke bronnen tellen hun intensiteiten op, nooit hun niveaus, en geven $L_1 + 10\log_{10}N$ ; de afstand tot een kleine bron verdubbelen ( $I$ gedeeld door vier) haalt er ongeveer $6.0\,\mathrm{dB}$ af.

Bewijs. $10\log_{10}(kI/I_0) = 10\log_{10}(I/I_0) + 10\log_{10}k$ ; voor de afstand: Propositie 21.8 met $k = 1/4$ . ∎

Methode 21.11 (Werken met decibel)

$L = 10\log_{10}(I/I_0)$ ; terug: $I = I_0 \times 10^{L/10}$ .
Tel nooit niveaus op: zet om naar intensiteiten, tel op, en zet terug — of gebruik $+3\,\mathrm{dB}$ per verdubbeling en $+10\,\mathrm{dB}$ per vertienvoudiging.
Elke verdubbeling van de afstand tot een kleine bron kost $6\,\mathrm{dB}$ .

Een ladder van alledaagse niveaus: elke stap van 20\, dB is een honderdvoudige sprong in intensiteit; voorbij 85\, dB (rode zone) beschadigt blootstelling het gehoor. — Een ladder van alledaagse niveaus: elke stap van $20\,\mathrm{dB}$ is een honderdvoudige sprong in intensiteit; voorbij $85\,\mathrm{dB}$ (rode zone) beschadigt blootstelling het gehoor.

Opmerking 21.12 (Gehoorschade)

Gehoorverlies is een kwestie van dosis: $85\,\mathrm{dB}$ is acht uur lang veilig, en elke $3\,\mathrm{dB}$ meer — een verdubbeling van de intensiteit — halveert de veilige tijd; verloren haarcellen groeien niet terug.

21.4 Klankkleur en boventonen

Definitie 21.13 (Boventonen)

Een periodiek geluid met frequentie $f_1$ — de grondtoon — is in het algemeen een som van sinussen met de frequenties $f_n = n f_1$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ , zijn boventonen. Een geluid dat tot zijn grondtoon is teruggebracht, is een zuivere toon, zoals die van een stemvork.

Definitie 21.14 (Spectrum en klankkleur)

Het spectrum van een geluid is het staafdiagram van zijn boventonen: één staaf per $f_n$ , waarvan de hoogte de sterkte van die boventoon is. Het oor hoort $f_1$ als de toonhoogte en het mengsel van sterkten als de klankkleur — de kleur van het geluid: instrumenten die dezelfde noot spelen delen $f_1$ en verschillen alleen in hun spectra.

Dezelfde a (220\, Hz): golfvormen (boven), spectra (onder) — dezelfde grondtoon en dezelfde toonhoogte; de boventonenladder van de viool is haar klankkleur. — Dezelfde a ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): golfvormen (boven), spectra (onder) — dezelfde grondtoon en dezelfde toonhoogte; de boventonenladder van de viool is haar klankkleur.

Voorbeeld 21.15 (Waarom je de beller herkent)

De a van een fluit is bijna een zuivere toon; een viool die dezelfde $220\,\mathrm{Hz}$ strijkt voegt er sterke boventonen op $440\,\mathrm{Hz}\text{, }660\,\mathrm{Hz}\text{ and }880\,\mathrm{Hz}$ aan toe. Dezelfde toonhoogte en dezelfde luidheid, en toch verwart niemand de twee: ook een stem is een spectrum dat je uit je hoofd kent.

21.5 De trillende snaar

Definitie 21.16 (Staande golf)

Een golf die tussen de vaste uiteinden van een snaar opgesloten zit, kan zich vestigen als staande golf: een trilling ter plaatse, waarin roerloze punten — knopen — afwisselen met punten van maximale uitslag — buiken. Er reist niets meer; de snaar trilt in een vast patroon.

Propositie 21.17 (Trillingswijzen van een snaar)

Een snaar met lengte $L$ , aan beide uiteinden vastgezet, waarin golven met snelheid $v$ lopen, trilt alleen gestaag in patronen waarin een geheel aantal $n$ halve golflengten tussen de opgelegde knopen aan de uiteinden past:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = n\,\frac{v}{2L} = n f_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots

De laagste trillingswijze $f_1 = v/(2L)$ is de grondtoon; de andere zijn precies haar boventonen.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 21.18 (Waar het eerlijke bewijs staat)

Dat opgesloten golven precies deze trillingswijzen kiezen, volgt uit het superponeren van de golf met haar weerkaatsingen, een berekening die in het volume van bachelorjaar 1 wordt uitgevoerd. De meetkunde overtuigt: beide uiteinden moeten stil blijven, dus moet er een geheel aantal halve golflengten in passen.

De eerste drie trillingswijzen van een aan beide kanten vastgezette snaar: er passen n halve golflengten in L, dus _n = 2L/n en f_n = nf_1. — De eerste drie trillingswijzen van een aan beide kanten vastgezette snaar: er passen $n$ halve golflengten in $L$ , dus $\lambda_n = 2L/n$ en $f_n = nf_1$ .

Voorbeeld 21.19 (De a-snaar van een viool)

De a-snaar van een viool heeft $L = 32.8\,\mathrm{cm}$ en klinkt op $f_1 = 440\,\mathrm{Hz}$ : golven lopen er met $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.328 \times 440 \approx 289\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ overheen — bepaald door spanning en massa, gestemd met de stemschroef. Een vinger erop drukken verkort $L$ en tilt elke $f_n$ tegelijk op: het spectrum schuift omhoog.

Opmerking 21.20 (Waarom instrumenten verschillen)

Hoe de snaar wordt aangeslagen — getokkeld, gestreken, aangeslagen — bepaalt hoeveel er van elke trillingswijze aanwezig is, en de klankkast versterkt sommige boventonen meer dan andere; aanslag plus klankkast leggen het spectrum vast, zodat dezelfde $f_1$ een gitaar, een viool en een piano elk als zichzelf laat klinken.

21.6 Oefeningen

Oefening 21.1 ★

Bepaal in lucht ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) de golflengte van (a) een basnoot van $55\,\mathrm{Hz}$ ; (b) een piepje van $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; (c) een fluittoon van $15\,\mathrm{kHz}$ . Vergelijk de grootste met de kleinste.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.1.

$\lambda = v/f$ : (a) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$ ; (b) $0.34\,\mathrm{m}$ ; (c) $2.3\,\mathrm{cm}$ . Verhouding $15000/55 \approx 270$ .

Oefening 21.2 ★

Deel in bij infrageluid, hoorbaar geluid of ultrageluid: $8\,\mathrm{Hz}$ ; $100\,\mathrm{Hz}$ ; $15\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ ; $3\,\mathrm{MHz}$ . Welke van de hoorbare klinkt lager van toonhoogte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.2.

Infrageluid: $8\,\mathrm{Hz}$ . Hoorbaar: $100\,\mathrm{Hz}$ en $15\,\mathrm{kHz}$ . Ultrageluid: $40\,\mathrm{kHz}$ en $3\,\mathrm{MHz}$ . Lagere toonhoogte: $100\,\mathrm{Hz}$ (lagere frequentie).

Oefening 21.3 ★

Een werker slaat op een rail $1.0\,\mathrm{km}$ verderop. Bereken de looptijden door het staal en door de lucht. Wat hoort iemand die één oor tegen de rail houdt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.3.

Staal: $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$ ; lucht: $1000/340 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ . Twee tikken, $2.7\,\mathrm{s}$ uit elkaar — de rail het eerst.

Oefening 21.4 ★

(a) Wat is het geluidsniveau bij $I = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ? (b) Welke intensiteit hoort bij $60\,\mathrm{dB}$ ? (c) Noem bij elk niveau een alledaags geluid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.4.

(a) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$ . (b) $I = 10^{-12} \times 10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (c) $70\,\mathrm{dB}$ : een stofzuiger; $60\,\mathrm{dB}$ : een gesprek.

Oefening 21.5 ★

Een g-snaar van een viool klinkt op $f_1 = 196\,\mathrm{Hz}$ : geef haar volgende drie boventonen. Waarom bereikt een fluittoon van $12\,\mathrm{kHz}$ , hoe rijk ook bij de bron, het oor als een zuivere toon?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.5.

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$ . Haar hogere boventonen ( $n \ge 2$ ) beginnen bij $24\,\mathrm{kHz}$ , boven de bovengrens van het gehoor: alleen de grondtoon van $12\,\mathrm{kHz}$ wordt gehoord.

Oefening 21.6 ★★

Een sirene straalt $P = 0.50\,\mathrm{W}$ in alle richtingen even sterk uit. Bereken de intensiteit en het geluidsniveau op $5.0\,\mathrm{m}$ afstand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.6.

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$ .

Oefening 21.7 ★★

Eén viool geeft $68\,\mathrm{dB}$ op jouw plaats. Welk niveau geven er twee? En vier? Hoeveel violen zijn er nodig om $78\,\mathrm{dB}$ te halen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.7.

Twee: $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$ ; vier: $74\,\mathrm{dB}$ . $+10\,\mathrm{dB}$ vergt $\times 10$ in intensiteit: $10$ violen.

Oefening 21.8 ★★

Op $2.0\,\mathrm{m}$ van een kleine luidspreker is het niveau $95\,\mathrm{dB}$ . Voorspel het niveau op $8.0\,\mathrm{m}$ : onder de grens van $85\,\mathrm{dB}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.8.

$r \times 4$ : $I$ gedeeld door $16$ , dus $-12\,\mathrm{dB}$ : $83\,\mathrm{dB}$ . Ja — net onder de grens van $85\,\mathrm{dB}$ .

Oefening 21.9 ★★

Een noot van $440\,\mathrm{Hz}$ gaat van lucht over in water. Bereken haar golflengte in beide middens. De duiker hoort dezelfde toonhoogte: welke grootheid ligt door de bron vast, en welke past zich aan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.9.

Lucht: $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ ; water: $1500/440 \approx 3.4\,\mathrm{m}$ . De bron legt de frequentie vast; de golflengte $\lambda = v/f$ past zich aan het midden aan.

Oefening 21.10 ★★

Een spectrum toont pieken op $130\,\mathrm{Hz}\text{, }260\,\mathrm{Hz}\text{, }390\,\mathrm{Hz}\text{ and }520\,\mathrm{Hz}$ met afnemende hoogten: wat is de grondtoon? Een ander instrument speelt dezelfde noot even luid: wat is er hetzelfde aan zijn spectrum, en wat verschilt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.10.

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (de afstand tussen de pieken). Hetzelfde: de plaatsen $nf_1$ van de staven (dezelfde toonhoogte) en de totale intensiteit; anders: de hoogten van de staven — het mengsel dat de klankkleur maakt.

Oefening 21.11 ★★

Een gitaarsnaar van $65.0\,\mathrm{cm}$ klinkt op $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Bepaal de golfsnelheid, en daarna de trillende lengten die het octaaf ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) en de kwint ( $165\,\mathrm{Hz}$ ) opleveren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.11.

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Octaaf: $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ ; kwint: $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ .

Oefening 21.12 ★★★

Een medische sonde stuurt ultrageluid van $5.0\,\mathrm{MHz}$ in zacht weefsel ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): wat is de golflengte? Echo’s komen na $26\,\text{µ}\mathrm{s}$ en $58\,\text{µ}\mathrm{s}$ terug van de twee wanden van een orgaan: bepaal hun diepten en de dikte van het orgaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.12.

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$ . Diepte $= vt/2$ : $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ en $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$ ; dikte $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 21.13 ★★★

Een openluchtpodium levert $110\,\mathrm{dB}$ op $3.0\,\mathrm{m}$ . Op welke afstand zakt het niveau tot $85\,\mathrm{dB}$ als je het podium als kleine bron behandelt? Geef twee redenen waarom de werkelijke afstand anders is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.13.

$-25\,\mathrm{dB}$ betekent $I$ gedeeld door $10^{2.5} \approx 316$ , dus $r \times \sqrt{316} \approx 17.8$ : $r \approx 3.0 \times 17.8 \approx 53\,\mathrm{m}$ . Echte zalen wijken af: weerkaatsingen van grond en wanden voegen intensiteit toe, terwijl de lucht en het publiek haar absorberen (en het podium is geen isotrope puntbron).

Oefening 21.14 ★★★

Bepaal de verhouding van de pijngrens ( $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) tot $I_0$ . Neem het trommelvlies als $0.5\,\mathrm{cm}^{2}$ en bereken het ontvangen vermogen bij elke grens; becommentarieer het oor als detector.

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.14.

$1/10^{-12} = 10^{12}$ . Trommelvlies $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ : het ontvangen vermogen is $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ bij de gehoordrempel en $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ bij de pijngrens — het oor merkt tientallen attowatt op en werkt nog altijd bij een biljoen keer meer: een detector met een dynamisch bereik van twaalf decaden.

Oefening 21.15 ★★★

Elke identieke festivalluidspreker geeft in zijn eentje $80\,\mathrm{dB}$ bij de mengtafel. Welk niveau geven er $2$ ? En $10$ ? En $100$ ? Wat kost elke extra $10\,\mathrm{dB}$ — en wat zegt dat over wedstrijdjes in luidheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 21.15.

$2$ : $83\,\mathrm{dB}$ ; $10$ : $90\,\mathrm{dB}$ ; $100$ : $100\,\mathrm{dB}$ . Elke extra $10\,\mathrm{dB}$ kost tien keer zoveel luidsprekers: wedstrijdjes in luidheid zijn exponentieel duur (en gevaarlijk lang voordat ze gewonnen zijn).

21.7 Probleem: Het atelier van de vioolbouwer

Probleem 21.1

Weekendopgave — het atelier van de vioolbouwer: een gitaarsnaar fret voor fret uitgezet, haar boventonen tot een klankkleur gestemd, een recital onder de gevarengrens gehouden, en een jacht met ultrageluid op een fout in het hout

Een vioolbouwer maakt een gitaar af. De a-snaar heeft een trillende lengte $L = 65.0\,\mathrm{cm}$ en moet op $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ klinken. Neem $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor geluid in lucht, en neem $f_1 = v/(2L)$ aan (Propositie 21.17), met $v$ de golfsnelheid op de snaar.

Deel I — De toets uitzetten.

Bereken de golfsnelheid $v$ op de snaar.
Bereken de golflengte van de grondtoon op de snaar, en daarna de golflengte van het geluid van $110\,\mathrm{Hz}$ in de lucht. Waarom verschillen die bij dezelfde frequentie?
Het octaaf ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): welke trillende lengte levert dat op? Waar moet de twaalfde fret zitten, als deel van $L$ ?
De kwint ( $165\,\mathrm{Hz}$ ): welke trillende lengte levert die op?
Elke fret tilt de noot een halve toon op, een factor $2^{1/12}$ . Ga met logaritmen na hoeveel halve tonen er tussen $110\,\mathrm{Hz}$ en $220\,\mathrm{Hz}$ liggen; welke lengte hoort bij de eerste fret?

Deel II — Boventonen en klankkleur.

Noem de eerste vijf boventonen van de losse a-snaar.
De a van een violist klinkt op $440\,\mathrm{Hz}$ . Welke boventoon van de gitaarsnaar is dat, en welk muzikaal interval scheidt hem van de grondtoon? En $330\,\mathrm{Hz}$ ?
De bouwer tokkelt eerst bij de kam, daarna boven de toets: dezelfde toonhoogte, een andere kleur. Verklaar dat met spectra.
Een lichte aanraking in het midden tijdens het tokkelen dwingt daar een knoop af. Welke boventonen overleven, en welke toonhoogte hoor je?
Hoeveel boventonen van de losse snaar liggen in beginsel binnen het hoorbare gebied?

Deel III — Het recital. Bij het eerste concert van de gitaar straalt elk instrument een akoestisch vermogen $P = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}$ uit als kleine bron, in alle richtingen even sterk.

Bereken de intensiteit op $r = 3.0\,\mathrm{m}$ van één instrument.
Leid daaruit het geluidsniveau daar af.
Er speelt een kwartet: welk niveau geven vier zulke instrumenten op dezelfde plek? Waarom is het niet vier keer het niveau?
Er spelen twaalf instrumenten: welk niveau geldt op $3.0\,\mathrm{m}$ ?
Hoever moet een toehoorder achteruit gaan opdat het ensemble tot $85\,\mathrm{dB}$ zakt?
Veiligheidsregel: $85\,\mathrm{dB}$ is acht uur veilig, en elke $3\,\mathrm{dB}$ halveert de veilige tijd. Hoe lang mag de toehoorder van vraag 14 op de eerste rij veilig blijven zitten?

Deel IV — De fout in het hout. Vóór het vernissen tast de bouwer een halsblok van $45\,\mathrm{mm}$ dik af met een tester van $2.0\,\mathrm{MHz}$ ; neem in dit hout $v = 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Bereken de golflengte van het ultrageluid in het hout. Waarom moet een golf die fouten opspoort ultrasoon zijn en niet hoorbaar?
Bereken de echovertraging van het achtervlak van het blok.
Er komt een echo terug na $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : hoe diep zit de fout?
Schrijf de werkplaatskaart uit: golfsnelheid op de snaar, lengten bij de twaalfde en de eerste fret, veilige luisterafstand en diepte van de fout.

Oplossing

Oplossing van Probleem 21.1.

1. $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. Op de snaar is $\lambda_1 = 2L = 1.30\,\mathrm{m}$ ; in de lucht $\lambda = 340/110 \approx 3.1\,\mathrm{m}$ . Dezelfde $f$ , maar $\lambda = v/f$ en de golfsnelheden verschillen.

3. $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ : de twaalfde fret zit precies in het midden, op $L/2$ van de kam.

4. $L' = 143/(2 \times 165) \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ .

5. $\log(220/110)/\log 2^{1/12} = 12$ halve tonen — twaalf frets per octaaf. Eerste fret: $L_1 = L/2^{1/12} = 65.0/1.059 \approx 61.4\,\mathrm{cm}$ .

6. $110\,\mathrm{Hz}\text{, }220\,\mathrm{Hz}\text{, }330\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }550\,\mathrm{Hz}$ .

7. $440\,\mathrm{Hz} = 4f_1$ : de vierde boventoon, twee octaven hoger. $330\,\mathrm{Hz} = 3f_1$ : de derde boventoon, een octaaf plus een kwint.

8. De tokkelplaats bepaalt het mengsel van trillingswijzen: bij de kam zijn de hoge boventonen sterk (helder spectrum), boven de toets overheerst de grondtoon (zacht). Dezelfde $f_1$ , dus dezelfde toonhoogte — een ander spectrum, een andere klankkleur.

9. Alleen de boventonen met een knoop in het midden overleven: de even, $220\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }660\,\mathrm{Hz}$ , …De toonhoogte springt een octaaf omhoog, naar $220\,\mathrm{Hz}$ .

10. $nf_1 \le 20\,\mathrm{kHz}$ : $n \le 20000/110 = 181.8$ , dus $181$ boventonen.

11. $I = P/(4\pi r^2) = 6.0 \times 10^{-3}/(4\pi \times 9.0) \approx 5.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

12. $L = 10\log_{10}(5.3 \times 10^{7}) \approx 77\,\mathrm{dB}$ .

13. $I \times 4$ : $+6\,\mathrm{dB} \to 83\,\mathrm{dB}$ . Niveaus zijn logaritmen: intensiteiten tellen op, niveaus niet.

14. $+10\log_{10}12 \approx +10.8\,\mathrm{dB} \to 88\,\mathrm{dB}$ .

15. Doel: $I = I_0 \times 10^{8.5} \approx 3.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ met $12P = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}$ : $r = \sqrt{12P/(4\pi I)} \approx \sqrt{18.1} \approx 4.3\,\mathrm{m}$ .

16. $88\,\mathrm{dB}$ is $+3\,\mathrm{dB}$ boven de achtuursgrens: de veilige tijd halveert één keer — vier uur. Het recital past daarbinnen.

17. $\lambda = 5000/2.0 \times 10^{6} = 2.5\,\mathrm{mm}$ . Een golf weerkaatst alleen op fouten die minstens ongeveer een golflengte groot zijn: hoorbaar geluid heeft in hout een $\lambda$ van tientallen centimeters en buigt om elk klein gebrek heen.

18. $t = 2d/v = 2 \times 0.045/5000 = 18\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

19. $d = vt/2 = 5000 \times 7.2 \times 10^{-6}/2 = 18\,\mathrm{mm}$ .

20. De kaart: $v = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op de snaar; frets op $32.5\,\mathrm{cm}$ (twaalfde) en $61.4\,\mathrm{cm}$ (eerste); het ensemble is veilig voorbij $\approx 4.3\,\mathrm{m}$ ; de fout zit $18\,\mathrm{mm}$ diep — vier getallen, één hoofdstuk.