Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

3Breking van licht

Steek een rietje in een glas water: het lijkt geknakt bij de waterspiegel. Zwembaden zijn altijd dieper dan ze eruitzien, diamanten schieten gekleurd vuur uit een kleurloze steen, en de zin die je nu leest is waarschijnlijk een oceaan overgestoken binnen in een glazen draad dunner dan een haar. Eén wet verklaart alle vier — een gelijkheid tussen twee sinussen, in 1621 gevonden door Snellius, nadat natuurkundigen vijftien eeuwen lang naar tabellen met hoeken hadden gestaard zonder het patroon te zien.

3.1 Terugkaatsing: een herinnering

In een homogeen doorzichtig midden plant licht zich rechtlijnig voort — de stralen van Hoofdstuk 2. Op de grens tussen twee middens kaatst een deel van het licht terug (terugkaatsing) en gaat een deel over (breking). Beide gehoorzamen aan exacte meetkundige wetten, met één afspraak: hoeken worden gemeten vanaf de normaal, nooit vanaf het oppervlak.

Definitie 3.1 (Normaal en invalshoek)

Op het punt waar een straal een oppervlak raakt, is de normaal de lijn die daar loodrecht op het oppervlak staat. De invalshoek $i_1$ is de hoek tussen de invallende straal en de normaal; de terugkaatsingshoek en de brekingshoek worden op dezelfde manier vanaf de normaal gemeten.

Propositie 3.2 (Wet van de terugkaatsing)

De teruggekaatste straal ligt in het vlak door de invallende straal en de normaal, aan de andere kant van de normaal, en de terugkaatsingshoek is gelijk aan de invalshoek:

i_1' = i_1 .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 3.3 (Hoeken juist aflezen)

Een laserbundel treft een spiegel “onder $35^\circ$ ” — gemeten vanaf het spiegeloppervlak, zoals bundels vaak worden beschreven. De invalshoek is dan $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ , dus de teruggekaatste straal vertrekt ook onder $55^\circ$ met de normaal, en de bundel draait over $180^\circ - 2 \times 55^\circ = 70^\circ$ . De afspraak over de normaal vergeten is de meest gemaakte fout van dit hoofdstuk; ze kost elke keer $90^\circ$ .

3.2 Breking en de brekingsindex

Houd een potlood in een halfvol glas: het lijkt gebroken aan het oppervlak. Licht uit het deel onder water verandert van richting bij het verlaten van het water, en dus reconstrueert het oog — dat rechte stralen veronderstelt — de punt op een plaats waar die niet is.

Definitie 3.4 (Breking)

Breking is de richtingsverandering van licht bij het oversteken van de grens tussen twee doorzichtige middens. De straal in het tweede midden is de gebroken straal, en haar hoek met de normaal is de brekingshoek $i_2$ .

Breking treedt op doordat licht in verschillende middens verschillende snelheden heeft; elk materiaal wordt gekenmerkt door hoeveel het het licht afremt.

Definitie 3.5 (Brekingsindex)

De brekingsindex van een doorzichtig midden is de verhouding

n = \frac{c}{v},

waarin $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de lichtsnelheid in vacuüm is en $v$ de lichtsnelheid in het midden. Omdat $v \leq c$ , geldt $n \geq 1$ ; de index heeft geen eenheid. Enkele bruikbare waarden:

midden	lucht	water	plexiglas	glas	diamant
$n$	$1.0003$	$1.33$	$1.49$	$1.50$	$2.42$

Voorbeeld 3.6 (Lichtsnelheid in water)

In water is $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.33} = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . In diamant kruipt het licht met $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — minder dan de helft van zijn vacuümsnelheid. Voor lucht verandert $n = 1.0003$ de snelheid met $0.03\%$ : in dit hoofdstuk behandelen we lucht als vacuüm en nemen we $n_{\text{lucht}} = 1.00$ .

Stelling 3.7 (Brekingswet van Snellius)

De gebroken straal ligt in het vlak van de invallende straal en de normaal, aan de andere kant van de normaal, en de invalshoek en de brekingshoek voldoen aan

n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 ,

waarin $n_1$ en $n_2$ de brekingsindices van de twee middens zijn. De weg is omkeerbaar: licht dat de gebroken straal terugloopt, verlaat het oppervlak langs de invallende straal.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 3.8

De wetten van terugkaatsing en breking staan hier als experimentele feiten. Ze worden eerlijk afgeleid in het volume van bachelorjaar 1, waar licht als golf wordt behandeld: beide wetten — en de formule $n = c/v$ zelf — volgen dan uit het afremmen van de golf in het dichtere midden.

Invallende (blauw), teruggekaatste (grijs) en gebroken (rood) straal. Alle hoeken worden vanaf de normaal (gestippeld) gemeten; bij het binnengaan van het dichtere midden (n_2 > n_1) buigt de straal naar de normaal toe. — Invallende (blauw), teruggekaatste (grijs) en gebroken (rood) straal. Alle hoeken worden vanaf de normaal (gestippeld) gemeten; bij het binnengaan van het dichtere midden ( $n_2 > n_1$ ) buigt de straal *naar* de normaal toe.

Voorbeeld 3.9 (Van lucht naar water)

Een straal treft een rustige vijver onder $i_1 = 30^\circ$ . Met $n_1 = 1.00$ en $n_2 = 1.33$ :

\sin i_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{n_2} = \frac{\sin 30^\circ}{1.33} = \frac{0.500}{1.33} = 0.376, \qquad i_2 = 22.1^\circ .

De straal buigt naar de normaal toe, zoals altijd bij het binnengaan van een trager midden ( $n_2 > n_1$ ). Bij het verlaten van het water loopt dezelfde berekening achterstevoren en buigt de straal juist van de normaal af.

Methode 3.10 (Een brekingsopgave oplossen)

Teken het oppervlak, de normaal en de straal; bepaal $n_1$ (het midden van de invallende straal) en $n_2$ .
Ga na dat de gegeven hoeken vanaf de normaal gemeten zijn; zet ze om als ze vanaf het oppervlak gemeten zijn.
Schrijf $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ en zonder de onbekende sinus af; haal de hoek eruit met de inverse sinus op de rekenmachine, zoals in het wiskundevolume.
Controleer: de straal buigt naar de normaal toe als $n_2 > n_1$ , ervan af als $n_2 < n_1$ , en $\sin i_2$ moet tussen $0$ en $1$ uitkomen.

Het experiment achter de wet past op een tafel: een halve schijf plexiglas, een gradenboog, een laser. Ruwe hoekparen $(i_1, i_2)$ ogen grillig — Ptolemaeus zette ze rond het jaar 150 in een tabel en concludeerde ten onrechte dat $i_2$ evenredig was met $i_1$ . Zet in plaats daarvan sinus tegen sinus uit, en de meetpunten strekken zich tot een rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt $n_1/n_2$ : die rechte is de wet van Snellius.

Metingen van lucht naar water voor i_1 = 10 tot 70: sinus tegen sinus uitgezet liggen de punten op een rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt 1/1.33. — Metingen van lucht naar water voor $i_1 = 10^\circ$ tot $70^\circ$ : sinus tegen sinus uitgezet liggen de punten op een rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt $1/1.33$ .

Propositie 3.11 (Schijnbare diepte)

Een voorwerp op diepte $d$ onder water, van boven bekeken onder kleine hoeken, lijkt op de schijnbare diepte

d' = \frac{d}{n}

te liggen, waarin $n$ de index van water is. Een bad van $1.20\,\mathrm{m}$ diep lijkt maar $1.20/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ diep — een klassieke oorzaak van onvoorzichtige duiksprongen.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 3.12

De formule volgt uit de wet van Snellius toegepast op de bijna verticale stralen die het oog bereiken; die afleiding staat in het volume van bachelorjaar 1. De richting van het effect heeft geen formule nodig: stralen die het water verlaten buigen van de normaal af, dus verlengt het oog ze terug naar een punt hoger dan het voorwerp.

3.3 Dispersie: één wet per kleur

Een prisma maakt van wit zonlicht een regenboog, zoals de spectra van Hoofdstuk 2 lieten zien. De breking verklaart waarom: de brekingsindex van een midden is niet helemaal dezelfde voor elke kleur.

Definitie 3.13 (Dispersie)

Een midden is dispersief wanneer zijn brekingsindex van de golflengte van het licht afhangt. In glas en water is $n$ iets groter voor blauw licht (korte golflengte) dan voor rood licht (lange golflengte) — en dus buigt blauw sterker af.

Voorbeeld 3.14 (Twee kleuren, één oppervlak)

Een bundel wit licht treft kroonglas onder $i_1 = 60^\circ$ . Voor dit glas is $n_{\text{rood}} = 1.51$ en $n_{\text{blauw}} = 1.53$ . De wet van Snellius, één keer per kleur:

\sin i_{\text{rood}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.51} = 0.574, \quad i_{\text{rood}} = 35.0^\circ ; \qquad \sin i_{\text{blauw}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.53} = 0.566, \quad i_{\text{blauw}} = 34.5^\circ .

Eén oppervlak splitst wit licht over een halve graad — onzichtbaar op een ruit, maar een prisma breekt twee keer in dezelfde draaizin, verbreedt de waaier, en een paar meter verderop liggen de kleuren centimeters uit elkaar.

Opmerking 3.15

De regenboog is dezelfde berekening, uitgevoerd binnen in een regendruppel: zonlicht breekt bij het binnengaan van de druppel, kaatst terug tegen de achterwand en breekt bij het naar buiten gaan opnieuw. De index van water loopt van $1.331$ (rood) tot $1.343$ (blauw), dus verlaat elke kleur de druppel onder haar eigen hoek — en geen twee waarnemers zien dezelfde regenboog.

3.4 Totale terugkaatsing

De wet van Snellius bevat een valstrik. Van water naar lucht buigt de gebroken straal van de normaal af: $\sin i_2 = 1.33 \sin i_1 > \sin i_1$ . Vergroot $i_1$ , en de formule eist al snel $\sin i_2 > 1$ , wat geen enkele hoek kan leveren. Dan houdt de breking eenvoudigweg op te bestaan.

Definitie 3.16 (Grenshoek en totale terugkaatsing)

Licht plant zich voort in een midden met index $n_1$ en valt op een midden met kleinere index $n_2 < n_1$ . De grenshoek $i_c$ is de invalshoek waarvoor de gebroken straal langs het oppervlak scheert ( $i_2 = 90^\circ$ ). Voor $i_1 > i_c$ bestaat er geen gebroken straal: het oppervlak kaatst al het licht terug het eerste midden in, volgens de wet van de terugkaatsing. Dit is totale terugkaatsing.

Propositie 3.17 (Formule voor de grenshoek)

Voor $n_1 > n_2$ geldt

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

Bewijs. Stel $i_2 = 90^\circ$ in de wet van Snellius: $n_1 \sin i_c = n_2 \sin 90^\circ = n_2$ . Voor $i_1 > i_c$ zou de wet van Snellius $\sin i_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin i_1 > 1$ vergen: er bestaat geen gebroken richting. (Dat het licht dan volledig wordt teruggekaatst — en niet geabsorbeerd — is een experimenteel feit, bevestigd door de golftheorie uit het volume van bachelorjaar 1.) ∎

Van water naar lucht, bij toenemende inval: breking van de normaal af, dan een gebroken straal die bij de grenshoek langs het oppervlak scheert, dan totale terugkaatsing — het oppervlak is een volmaakte spiegel geworden.

Voorbeeld 3.18 (Drie grenshoeken)

Naar lucht toe: voor water is $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , dus $i_c = 48.8^\circ$ ; voor glas is $\sin i_c = 1/1.50$ , dus $i_c = 41.8^\circ$ ; voor diamant is $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , dus $i_c = 24.4^\circ$ . Hoe hoger de index, hoe smaller de ontsnappingskegel: in diamant zit elke straal die meer dan $24.4^\circ$ van de normaal van een facet afwijkt gevangen — het geheim van de schittering, ontleed in Probleem 3.1.

3.5 Glasvezels

Totale terugkaatsing maakt van een glazen draad een buis voor licht: een straal die bijna evenwijdig aan de as binnenkomt, treft de wand ver voorbij de grenshoek, kaatst zonder verlies terug, en doet dat miljoenen keren per kilometer zonder te lekken.

Definitie 3.19 (Glasvezel)

Een glasvezel is een dunne glazen draad die bestaat uit een kern met index $n_1$ , gehuld in een mantel met een iets kleinere index $n_2 < n_1$ . Licht dat aan het ene uiteinde wordt ingebracht, reist door de kern door herhaalde totale terugkaatsing op de grens tussen kern en mantel.

Licht geleid langs de kern van een vezel door totale terugkaatsing (de kaatshoeken zijn sterk overdreven: echte stralen scheren onder meer dan 80 met de normaal langs de wand). — Licht geleid langs de kern van een vezel door totale terugkaatsing (de kaatshoeken zijn sterk overdreven: echte stralen scheren onder meer dan $80^\circ$ met de normaal langs de wand).

Voorbeeld 3.20 (Een vezel in getallen)

Met $n_1 = 1.48$ en $n_2 = 1.46$ :

\sin i_c = \frac{1.46}{1.48} = 0.986, \qquad i_c = 80.6^\circ :

alleen stralen die minder dan ongeveer $9^\circ$ van de as afwijken worden geleid — wat prima is, want precies zo wordt laserlicht ingebracht. Binnen de kern reist het licht met $v = c/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : een puls doorkruist een vezel van $100\,\mathrm{km}$ in ongeveer een halve milliseconde.

Opmerking 3.21 (Ordegrootte van dataverbindingen)

Zeekabels — bundels van een paar dozijn vezels op de oceaanbodem — dragen vrijwel al het intercontinentale verkeer. Eén moderne vezel vervoert in de orde van $10^{13}$ bits per seconde door vele golflengten tegelijk te versturen; een hele kabel haalt $10^{14}$ bits per seconde, met om de $80\,\mathrm{km}$ een versterker. Satellieten verwerken ter vergelijking een fractie van een procent van het verkeer.

3.6 Oefeningen

Oefening 3.1 ★

Een laserbundel treft een vlakke spiegel onder $25^\circ$ met het spiegeloppervlak. Geef de invalshoek, de terugkaatsingshoek en de hoek tussen de invallende en de teruggekaatste bundel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.1.

Hoeken worden vanaf de normaal gemeten: de invalshoek is $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ , dus de terugkaatsingshoek is ook $65^\circ$ . De invallende en de teruggekaatste bundel maken onderling een hoek van $2 \times 65^\circ = 130^\circ$ .

Oefening 3.2 ★

Bereken de lichtsnelheid in water ( $n = 1.33$ ) en in diamant ( $n = 2.42$ ).
In een bepaalde vaste stof reist licht met $1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bereken de brekingsindex en benoem het materiaal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.2.

1. $v = c/n$ : in water $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; in diamant $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} {1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 1.52$ : glas.

Oefening 3.3 ★

Een straal in lucht treft een glazen blok ( $n = 1.50$ ) onder $i_1 = 40^\circ$ . Bereken de brekingshoek. Onder welke hoek zou een straal binnen in het glas het oppervlak moeten treffen om onder $40^\circ$ de lucht in te gaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.3.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 40^\circ}{1.50} = \dfrac{0.643}{1.50} = 0.429$ , dus $i_2 = 25.4^\circ$ . Door de omkeerbaarheid van lichtwegen verlaat een straal die binnen in het glas het oppervlak onder $25.4^\circ$ treft, het glas onder precies $40^\circ$ .

Oefening 3.4 ★

Zonlicht bereikt het oppervlak van een meer onder $55^\circ$ met de verticaal. Bereken de hoek van de gebroken straal en zeg of de straal naar de normaal toe of ervan af buigt — met de reden in één woord.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.4.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 55^\circ}{1.33} = \dfrac{0.819}{1.33} = 0.616$ , dus $i_2 = 38.0^\circ$ . De straal buigt naar de normaal toe, want water is het tragere midden ( $n_2 > n_1$ ).

Oefening 3.5 ★

Om een heldere vloeistof te herkennen wordt een straal onder $i_1 = 45^\circ$ op haar oppervlak gestuurd; de gebroken straal wordt gemeten op $i_2 = 32^\circ$ . Bereken de brekingsindex en herken de vloeistof aan de tabel van Definitie 3.5.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.5.

$n = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 32^\circ} = \dfrac{0.707}{0.530} = 1.33$ : de vloeistof is water.

Oefening 3.6 ★★

Een halve schijf van een doorzichtige kunststof levert de volgende metingen:

$i_1$	$20^\circ$	$30^\circ$	$40^\circ$	$50^\circ$	$60^\circ$
$i_2$	$13.5^\circ$	$19.5^\circ$	$25.5^\circ$	$31.0^\circ$	$35.5^\circ$

Bereken $\dfrac{\sin i_1}{\sin i_2}$ voor elk paar. Wat valt je op?
Leid de brekingsindex van de kunststof af en benoem haar.
Waarom is $\sin i_2$ tegen $\sin i_1$ uitzetten een betere toets van de wet van Snellius dan $i_2$ tegen $i_1$ uitzetten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.6.

1. De vijf verhoudingen zijn

\frac{0.342}{0.233} = 1.47,\quad \frac{0.500}{0.334} = 1.50,\quad \frac{0.643}{0.431} = 1.49,\quad \frac{0.766}{0.515} = 1.49,\quad \frac{0.866}{0.581} = 1.49 :

constant binnen de meetfout — de wet van Snellius.

2. $n \approx 1.49$ : plexiglas.

3. De wet van Snellius voorspelt $\sin i_2 = \sin i_1 / n$ : sinus tegen sinus moeten de punten op een rechte door de oorsprong liggen, en dat controleer je met een liniaal in één oogopslag. Zet je hoek tegen hoek uit, dan liggen de punten op een kromme; bij kleine hoeken lijkt die kromme bedrieglijk veel op een rechte, en precies dat heeft Ptolemaeus om de tuin geleid.

Oefening 3.7 ★★

Bereken de grenshoek naar lucht toe voor water, glas ( $n = 1.50$ ) en diamant. Leg daarna met de wet van Snellius uit waarom er geen grenshoek bestaat voor licht dat vanuit lucht in water gaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.7.

$\sin i_c = n_2/n_1$ met $n_2 = 1.00$ : water $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , $i_c = 48.8^\circ$ ; glas $\sin i_c = 1/1.50 = 0.667$ , $i_c = 41.8^\circ$ ; diamant $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , $i_c = 24.4^\circ$ .

Van lucht naar water is $\sin i_2 = \sin i_1/1.33 \leq 1/1.33 < 1$ bij elke inval: er bestaat altijd een brekingshoek, dus gebeurt er nooit iets bijzonders — totale terugkaatsing vergt $n_1 > n_2$ .

Oefening 3.8 ★★

Een zwembad is $2.0\,\mathrm{m}$ diep. Welke diepte neemt een zwemmer aan de rand waar?
Een reiger loert op een vis die $40\,\mathrm{cm}$ onder het oppervlak zwemt. Op welke diepte lijkt de vis te zitten, en moet de reiger boven, op of onder het beeld toeslaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.8.

1. $d' = \dfrac{d}{n} = \dfrac{2.0\,\mathrm{m}}{1.33} = 1.5\,\mathrm{m}$ .

2. De vis lijkt op $40\,\mathrm{cm}/1.33 = 30\,\mathrm{cm}$ te zitten: het beeld ligt boven de vis, dus moet de reiger onder het beeld toeslaan. Reigers, niet gehinderd door de wet van Snellius, leren dat met vallen en opstaan.

Oefening 3.9 ★★

Een straal treft een ruit ( $n = 1.50$ , evenwijdige zijden) onder $50^\circ$ .

Bereken de brekingshoek aan het eerste vlak.
De gebroken straal treft het tweede vlak van binnenuit, onder dezelfde hoek. Bereken de uittredehoek en vergelijk die met $50^\circ$ .
Wat doet een dikke ruit dus met de richting en met de plaats van een straal die haar doorkruist?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.9.

1. $\sin r = \dfrac{\sin 50^\circ}{1.50} = \dfrac{0.766}{1.50} = 0.511$ , dus $r = 30.7^\circ$ .

2. Van glas naar lucht onder $30.7^\circ$ : $\sin i_2 = 1.50 \times 0.511 = 0.766$ , dus $i_2 = 50^\circ$ — de uittredehoek is gelijk aan de intredehoek.

3. De twee brekingen heffen elkaar op: de straal vertrekt evenwijdig aan haar oorspronkelijke richting, alleen zijwaarts verschoven. Daarom vervormt een ruit het tafereel niet, maar verschuift ze het slechts (onmerkbaar).

Oefening 3.10 ★★

Wit licht treft een blok flintglas onder $55^\circ$ . Voor dit glas is $n_{\text{rood}} = 1.61$ en $n_{\text{blauw}} = 1.66$ . Bereken de brekingshoeken van de rode en de blauwe straal en de hoek daartussen. Welke kleur komt het dichtst bij de normaal terecht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.10.

$\sin 55^\circ = 0.819$ . Rood: $\sin i_2 = 0.819/1.61 = 0.509$ , $i_2 = 30.6^\circ$ . Blauw: $\sin i_2 = 0.819/1.66 = 0.493$ , $i_2 = 29.6^\circ$ . De twee kleuren liggen $1.0^\circ$ uit elkaar; blauw, met de grotere index, buigt sterker af en komt het dichtst bij de normaal terecht.

Oefening 3.11 ★★

Een glasvezel heeft een kern met index $1.48$ en een mantel met index $1.46$ .

Bereken de grenshoek op de grens tussen kern en mantel.
Een geleide straal kaatst precies onder de grenshoek. Toon aan dat hij over $1.0\,\mathrm{km}$ rechte vezel ongeveer $14\,\mathrm{m}$ meer aflegt dan een straal die recht langs de as loopt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.11.

1. $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$ , dus $i_c = 80.6^\circ$ .

2. Een straal onder $i_c$ met de normaal maakt $90^\circ - i_c$ met de as, dus is zijn weg over een aslengte $L$ gelijk aan $\dfrac{L}{\sin i_c}$ :

1000\,\mathrm{m} \times \frac{1.48}{1.46} = 1013.7\,\mathrm{m},

ongeveer $14\,\mathrm{m}$ meer dan de axiale straal.

Oefening 3.12 ★★★

Het oog van een duiker zit $2.0\,\mathrm{m}$ onder een volmaakt rustig oppervlak. Door de breking ziet de duiker de hele hemel samengeperst tot een heldere schijf recht boven zich — het venster van Snellius.

Leg uit waarom licht van de horizon het oog van de duiker onder de grenshoek van water, $48.8^\circ$ met de verticaal, bereikt.
Bereken de straal van de heldere schijf aan het oppervlak, met de tangens in de rechthoekige driehoek oog–verticaal–schijfrand.
Wat ziet de duiker aan het oppervlak buiten de schijf?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.12.

1. Licht dat scherend van de horizon komt, arriveert onder een $i_1$ dicht bij $90^\circ$ ; het breekt naar $\sin i_2 = \sin 90^\circ / 1.33 = 0.752$ , dus $i_2 = 48.8^\circ$ — de grenshoek, zoals de omkeerbaarheid eist. Stralen uit de hele hemel bereiken het oog dus binnen een kegel met halve tophoek $48.8^\circ$ .

2. De rand van de schijf ligt daar waar die kegel het oppervlak snijdt:

r = d \tan i_c = 2.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ = 2.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 2.3\,\mathrm{m}.

3. Buiten de schijf treft licht van onderaf het oppervlak voorbij de grenshoek en wordt het volledig teruggekaatst: de duiker ziet een zilverachtige spiegel waarin de bodem van het bad verschijnt.

Oefening 3.13 ★★★

Een prisma heeft hoeken van $30^\circ$ , $60^\circ$ en $90^\circ$ . Een dunne bundel wit licht komt loodrecht binnen door een van de zijden naast de rechte hoek, gaat onafgebogen door en treft het lange vlak van binnenuit onder $i_1 = 30^\circ$ . Voor dit glas is $n_{\text{rood}} = 1.51$ en $n_{\text{blauw}} = 1.53$ .

Bereken de uittredehoeken van de rode en de blauwe straal en de hoekbreedte van de waaier daartussen.
Het prisma wordt vervangen door een prisma met hoeken $45^\circ$ – $45^\circ$ – $90^\circ$ , zodat de inwendige invalshoek $45^\circ$ wordt. Toon aan dat er helemaal geen licht door het lange vlak naar buiten komt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.13.

1. Rood: $\sin i_2 = 1.51 \times \sin 30^\circ = 0.755$ , dus $i_2 = 49.0^\circ$ . Blauw: $\sin i_2 = 1.53 \times 0.500 = 0.765$ , dus $i_2 = 49.9^\circ$ . De witte bundel waaiert uit over $49.9^\circ - 49.0^\circ = 0.9^\circ$ — een prismaspectrum uit één enkele breking.

2. Onder $45^\circ$ : $\sin i_2 = 1.51 \times 0.707 = 1.07 > 1$ (en $1.53 \times 0.707 = 1.08$ voor blauw). Voor geen van beide kleuren bestaat er een brekingshoek: de grenshoek is $\arcsin(1/1.51) = 41.5^\circ < 45^\circ$ , dus kaatst het lange vlak de hele bundel volledig terug.

Oefening 3.14 ★★★

Periscopen vouwen licht met glazen prisma’s van $45^\circ$ – $45^\circ$ – $90^\circ$ ( $n = 1.50$ ): de bundel komt loodrecht door een korte zijde binnen en treft het lange vlak van binnenuit onder $45^\circ$ .

Toon aan dat het lange vlak als een volmaakte spiegel werkt. Waarom is dat beter dan een metalen spiegel, die bij elke terugkaatsing een paar procent absorbeert?
De periscoop loopt vol en het lange vlak raakt nu water. Bereken de nieuwe grenshoek van de grens glas–water en toon aan dat de spiegel het begeeft.
Onder welke hoek verlaat het licht van vraag 2 het prisma en gaat het het water in?

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.14.

1. Grenshoek glas–lucht: $\sin i_c = 1/1.50$ , dus $i_c = 41.8^\circ < 45^\circ$ : de bundel wordt volledig teruggekaatst — $100\%$ van het licht, zonder laag die kan aanslaan. Een metalen spiegel verliest bij elke kaats een paar procent, en een periscoop heeft er twee nodig.

2. Glas–water: $\sin i_c = \dfrac{1.33}{1.50} = 0.887$ , dus $i_c = 62.5^\circ$ . Nu geldt $45^\circ < i_c$ : de inval blijft onder de grenshoek, het meeste licht breekt het water in, en de spiegel — en dus het beeld — begeeft het.

3. $\sin i_2 = \dfrac{1.50}{1.33} \times \sin 45^\circ = 1.128 \times 0.707 = 0.798$ , dus $i_2 = 52.9^\circ$ het water in.

Oefening 3.15 ★★★

Een transatlantische kabel loopt over $6200\,\mathrm{km}$ vezel (index van de kern $1.47$ ) tussen Londen en New York.

Bereken de lichtsnelheid in de kern en de reistijd van een puls in één richting.
Een radiogolf reist met $c$ . Hoe lang zou die over dezelfde afstand doen, en hoeveel heen-en-weertijd kost het glas van de vezel vergeleken met radio?
Sommige financiële bedrijven betalen fortuinen om milliseconden van deze verbinding af te snoepen. Stel twee verschillende natuurkundige manieren voor om het licht eerder te laten aankomen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 3.15.

1. $v = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.47} = 2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dus

t = \frac{6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 30.4\,\mathrm{ms} \approx 30\,\mathrm{ms}.

2. Radio: $t = 6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 20.7\,\mathrm{ms}$ . Het glas kost $30.4 - 20.7 = 9.7\,\mathrm{ms}$ per richting, ongeveer $19\,\mathrm{ms}$ heen en terug.

3. De index verlagen — vezels met een holle kern geleiden licht door lucht ( $n \approx 1.00$ ), en straalverbindingen door de atmosfeer doen hetzelfde — of de weg verkorten: een kabel die dichter bij de grootcirkelroute tussen de twee steden ligt. Beide worden werkelijk verkocht, tegen prijzen per milliseconde.

3.7 Probleem: De diamant, het zwembad en de vezel

Probleem 3.1

Weekendopgave — drie levens van de wet van Snellius: een zwembad dat over zijn diepte liegt, een steen die zo geslepen is dat licht er niet uit kan, en de oceaan van zestig milliseconden onder het internet

Eén gelijkheid tussen twee sinussen, drie loopbanen. In een zwembad bedriegt ze je ogen over de diepte en perst ze de hele hemel in een cirkel. In een diamant, tot het uiterste gedreven, weigert ze het licht naar buiten te laten — en juweliers slijpen hun stenen al eeuwen rond die weigering. Onder de Atlantische Oceaan leidt ze laserpulsen binnen in een sliert glas, en legt ze de maximumsnelheid van het wereldwijde internet vast. Deze opgave werkt de drie levens op volgorde af, met telkens dezelfde wet.

Deel I — Opwarmen.

Bereken de lichtsnelheid in water ( $n = 1.33$ ) en in diamant ( $n = 2.42$ ). Met welke factor remt diamant het licht af?
Een straal in lucht treft een vijver onder $i_1 = 40^\circ$ . Bereken de brekingshoek.
Een straal in het water treft het oppervlak van onderaf onder $28.9^\circ$ . Onder welke hoek gaat hij de lucht in? Noem het principe dat dit illustreert.
Bereken de grenshoek van de grens water–lucht, en beschrijf wat er gebeurt met een straal onder water die het oppervlak onder $60^\circ$ treft.
De index van lucht is $1.0003$ . Bereken de lichtsnelheid in lucht en verantwoord de benadering $n_{\text{lucht}} = 1.00$ die overal wordt gebruikt.

Deel II — Het zwembad.

Een zwembad is $3.0\,\mathrm{m}$ diep. Bereken met de formule voor de schijnbare diepte (Propositie 3.11) welke diepte iemand die erboven staat waarneemt.
Leg met een schets van twee stralen (in woorden beschreven) uit waarom een muntstuk op de bodem omhoog lijkt te komen: wat doen stralen die het water verlaten, en waar plaatst het oog hun snijpunt?
Het oog van een duiker zit op $3.0\,\mathrm{m}$ . Bereken de straal van het venster van Snellius — de heldere schijf waardoor de duiker de hele hemel ziet (Oefening 3.12).
Een lamp op de bodem stuurt stralen omhoog onder $30^\circ$ , $45^\circ$ en $50^\circ$ met de verticaal. Zeg voor elke straal of hij ontsnapt en onder welke hoek, of wat er anders gebeurt.
Een harpoenvisser op de oever mikt op een vis. Moet hij boven, op of onder het beeld van de vis mikken — en ziet de vis, die terugkijkt, de visser ook verplaatst?

Deel III — De diamant.

Bereken de grenshoek van diamant ( $n = 2.42$ ) naar lucht toe, en vergelijk die met die van glas ( $n = 1.52$ ), namelijk $41.1^\circ$ .
Een straal binnen in de steen treft een facet onder $30^\circ$ met de normaal ervan. Wat gebeurt er in de diamant? En in de glazen imitatie? Leg in één zin uit waarom de slijpvorm van een diamant, samen met haar kleine grenshoek, de schittering oplevert.
Diamant is ook sterk dispersief: $n_{\text{rood}} = 2.41$ , $n_{\text{blauw}} = 2.45$ . Wit licht komt onder $45^\circ$ een facet binnen; bereken de brekingshoek voor elke kleur en de hoeksplitsing.
Verderop bereiken de rode en de blauwe straal allebei van binnenuit een uittredefacet onder $17.0^\circ$ . Bereken de twee uittredehoeken en de splitsing van de uittredende waaier. Vergelijk met de splitsing bij binnenkomst: wat gebeurt er met de dispersie in de buurt van de grenshoek?
Een druppel water ( $n = 1.33$ ) bedekt een facet. Bereken de nieuwe grenshoek van de grens diamant–water, bepaal het lot van de straal van $30^\circ$ uit vraag 12, en leg uit waarom juweliers hun diamanten angstvallig schoon houden.

Deel IV — De vezel.

Een vezel heeft een kern met index $1.48$ en een mantel met index $1.46$ . Bereken de grenshoek op de grens tussen kern en mantel.
Een kale glasdraad in lucht zou een grenshoek van $42.5^\circ$ hebben — ogenschijnlijk veel beter. Geef twee redenen waarom de mantel er toch is. (Denk aan stof, krassen en aan wat aanraken van het oppervlak met de totale terugkaatsing zou doen.)
Bereken de lichtsnelheid in de kern, en daarna de reistijd van een puls in één richting over $6000\,\mathrm{km}$ vezel.
Een straal die precies onder de grenshoek kaatst, legt $1/\sin i_c$ keer de lengte van de as af. Bereken de extra afstand over de $6000\,\mathrm{km}$ en de extra tijd die dat kost.
De clou. Eén modern vezelpaar draagt ongeveer $10^{13}$ bits per seconde, en dit boek is ongeveer $2.4 \times 10^8$ bits. Bereken de heen-en-weertijd (“ping”) over de oceaan en het aantal exemplaren van dit boek dat de vezel per seconde verplaatst — en zeg dan in één zin wat de wet van Snellius voor het internet doet.

Oplossing

Oplossing van Probleem 3.1.

1. $v_{\text{water}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_{\text{diamant}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — diamant remt het licht af met de factor $n = 2.42$ .

2. $\sin i_2 = \sin 40^\circ / 1.33 = 0.643/1.33 = 0.483$ , dus $i_2 = 28.9^\circ$ .

3. $\sin i_2 = 1.33 \times \sin 28.9^\circ = 1.33 \times 0.483 = 0.643$ , dus $i_2 = 40^\circ$ : het licht loopt zijn weg terug — de omkeerbaarheid van lichtstralen.

4. $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , dus $i_c = 48.8^\circ$ . Onder $60^\circ > i_c$ zou de wet van Snellius $\sin i_2 = 1.33 \sin 60^\circ = 1.15 > 1$ vergen: er is geen gebroken straal; het oppervlak kaatst het licht volledig terug naar beneden.

5. $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.0003 = 2.999 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : licht is in lucht $0.03\%$ trager dan in vacuüm, ver onder de nauwkeurigheid van onze hoekmetingen, dus is $n_{\text{lucht}} = 1.00$ onschadelijk.

6. $d' = 3.0\,\mathrm{m}/1.33 = 2.3\,\mathrm{m}$ : het bad verbergt $70\,\mathrm{cm}$ van zichzelf.

7. Twee stralen die het muntstuk verlaten, breken aan het oppervlak en buigen van de normaal af, zodat ze boven het water sterker uiteenlopen dan eronder. Het oog verlengt de twee uittredende stralen rechtlijnig naar achteren; die snijden elkaar boven het muntstuk, en op dat snijpunt plaatst het oog het beeld.

8. $r = d \tan i_c = 3.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ = 3.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 3.4\,\mathrm{m}$ : een schijf van ongeveer $6.9\,\mathrm{m}$ breed bevat de hele hemel.

9. Onder $30^\circ$ : $\sin i_2 = 1.33 \times 0.500 = 0.665$ , de straal treedt uit onder $41.7^\circ$ . Onder $45^\circ$ : $\sin i_2 = 1.33 \times 0.707 = 0.940$ , hij treedt uit onder $70.1^\circ$ , bijna scherend. Onder $50^\circ$ : $1.33 \times 0.766 = 1.02 > 1$ — totale terugkaatsing, de straal duikt het bad weer in.

10. Het beeld ligt boven de echte vis (Propositie 3.11), dus moet hij eronder mikken. En inderdaad: de vis ziet de visser ook verplaatst, samengeperst naar de verticaal binnen het venster van Snellius — elk ziet de ander waar de ander niet is.

11. Diamant: $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , dus $i_c = 24.4^\circ$ , tegenover $41.1^\circ$ voor glas: de ontsnappingskegel van diamant is nog geen half zo wijd.

12. In diamant geldt $30^\circ > 24.4^\circ$ : totale terugkaatsing, de straal blijft in de steen. In glas geldt $30^\circ < 41.1^\circ$ : de straal lekt er aan de achterkant uit. De facetten van een briljantslijpsel staan zo, dat binnenkomend licht ze vrijwel altijd voorbij $24.4^\circ$ treft en blijft kaatsen tot het naar boven, naar het oog, ontsnapt — een glazen imitatie, met haar wijde ontsnappingskegel, laat het licht er gewoon doorheen vallen.

13. $\sin 45^\circ = 0.707$ . Rood: $0.707/2.41 = 0.293$ , dus $i_2 = 17.1^\circ$ . Blauw: $0.707/2.45 = 0.289$ , dus $i_2 = 16.8^\circ$ . Splitsing bij binnenkomst: ongeveer $0.3^\circ$ .

14. $\sin 17.0^\circ = 0.292$ . Rood: $\sin i_2 = 2.41 \times 0.292 = 0.705$ , dus $i_2 = 44.8^\circ$ . Blauw: $\sin i_2 = 2.45 \times 0.292 = 0.716$ , dus $i_2 = 45.8^\circ$ . De waaier is nu $1.0^\circ$ breed: de uittredende breking, die vlak bij de grenshoek werkt, heeft de splitsing van $0.3^\circ$ bij binnenkomst verdrievoudigd. Die uitgerekte kleurenspreiding is het vuur van de diamant.

15. Diamant–water: $\sin i_c = 1.33/2.42 = 0.550$ , dus $i_c = 33.3^\circ$ . De straal van $30^\circ$ , gevangen toen het facet aan lucht grensde, ontsnapt nu ( $30^\circ < 33.3^\circ$ ) in het waterlaagje: elke druppel, vingerafdruk of vetlaag verhoogt de index buiten de steen, verwijdt de ontsnappingskegel en laat de schittering weglopen — vandaar de doek van de juwelier.

16. $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$ , dus $i_c = 80.6^\circ$ .

17. Totale terugkaatsing gebeurt aan het oppervlak, dus moet dat oppervlak volmaakt blijven: op een kale draad verhoogt elk stofje, elke kras, elke waterdruppel en elke vinger die het aanraakt plaatselijk de index buiten het glas en laat er licht uit weglopen. De mantel begraaft de spiegel binnen in schoon glas, waar niets erbij kan — en beschermt bovendien de haardunne kern mechanisch.

18. $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dus

t = \frac{6.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 29.6\,\mathrm{ms} \approx 30\,\mathrm{ms}.

19. Wegfactor $1/\sin i_c = 1.48/1.46 = 1.0137$ : in het ergste geval $6000\,\mathrm{km} \times 0.0137 \approx 82\,\mathrm{km}$ extra glas, wat $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m} / 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.4\,\mathrm{ms}$ kost — de zigzag is bijna gratis.

20. Ping: $2 \times (29.6 + 0.4) \approx 60\,\mathrm{ms}$ . Doorvoer: $\dfrac{10^{13}}{2.4 \times 10^8} \approx 40\,000$ exemplaren van dit boek per seconde. In één zin: door licht met totale terugkaatsing binnen in glas gevangen te houden, draagt de wet van Snellius elke seconde een bibliotheek over de oceaan, zestig milliseconden heen en terug.