Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

26Vrije val en de worp

Elke straal uit een tuinslang tekent dezelfde kromme in de lucht. Een basketbal op weg naar de ring ook, en een verspringer, en een kanonskogel: elk lichaam dat aan zijn gewicht wordt overgelaten. Dit hoofdstuk verdient die kromme — een parabool — in twee regels rekenwerk uit de tweede wet van Newton, leest toppunt, vluchttijd en dracht van haar vergelijking af, en laat dan de lucht weer toe om te zien wat die bederft.

26.1 De vrije val

Definitie 26.1 (Vrije val)

Een lichaam is in vrije val wanneer de enige kracht die erop werkt zijn gewicht $\vect P = m\vect g$ is: geen steun, geen draad, verwaarloosbare luchtweerstand. Een losgelaten steen of een bal die de hand heeft verlaten is tot in goede benadering in vrije val — “vallen” sluit stijgen in.

Stelling 26.2 (Valwet van Galilei)

In vrije val delen alle lichamen dezelfde versnelling, wat hun massa ook is:

\vect a = \vect g, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},

recht omlaag gericht: de veldsterkte $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ van Hoofdstuk 4 in haar andere kostuum, $\mathrm{N}/\mathrm{kg} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Bewijs. De tweede wet van Newton (Hoofdstuk 25) met het gewicht als enige kracht: $m\vect a = m\vect g$ , en de massa valt weg. Hamer en veer verschillen alleen door de lucht. ∎

Propositie 26.3 (Verticale val uit rust)

Losgelaten uit rust, met de gevallen diepte $h$ omlaag geteld vanaf het loslaatpunt, voldoet een lichaam in vrije val aan

a = g, \qquad v = g t, \qquad h = \tfrac12\, g t^2 .

Bewijs. $v(t)$ is de primitieve van de constante $a = g$ die nul is in $t = 0$ (Hoofdstuk 24); $h(t)$ die van $v = gt$ , nul in $t = 0$ . ∎

Voorbeeld 26.4 (Ordegrootten)

Na $1$ , $2$ , $3$ seconden vrije val: $v = 9.8$ , $19.6$ , $29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $35$ , $71$ , $106\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) en $h = 4.9$ , $19.6$ , $44.1\,\mathrm{m}$ . Van een dak op $30\,\mathrm{m}$ : $t = \sqrt{2h/g} \approx 2.5\,\mathrm{s}$ , aankomst met $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $\approx 87\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . De tijden groeien als $\sqrt h$ — en na een paar seconden weigert de lucht nog langer verwaarloosbaar te blijven (laatste paragraaf).

Voorbeeld 26.5 (Verticale worp)

Recht omhoog gegooid met $v_0$ , as $Oy$ omhoog vanaf de hand: dezelfde twee primitieven geven $v = v_0 - gt$ en $y = v_0 t - \tfrac12 gt^2$ . Het toppunt, waar $v = 0$ , valt op $t = v_0/g$ , op hoogte $h = v_0^2/2g$ — het energieantwoord $v_0 = \sqrt{2gh}$ van Hoofdstuk 18 achterstevoren gelezen; naar beneden gegooid wisselt $v_0$ van teken. Voor $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : toppunt $11.5\,\mathrm{m}$ op $1.53\,\mathrm{s}$ , terug op $3.06\,\mathrm{s}$ , met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

26.2 De worp: één wet, twee primitieven

Definitie 26.6 (Projectiel)

Een projectiel is een lichaam dat met een snelheid $\vect v_0$ wordt weggeworpen en daarna in vrije val wordt gelaten. Assen in het werppunt: $Ox$ horizontaal in het verticale vlak van $\vect v_0$ , $Oy$ verticaal omhoog; de werphoek $\alpha$ van $\vect v_0$ boven de horizontaal legt haar coördinaten $(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha)$ vast.

Stelling 26.7 (Bewegingsvergelijkingen)

Een projectiel dat vanuit de oorsprong wordt weggeworpen met snelheid $v_0$ en hoek $\alpha$ heeft op elk ogenblik $\vect a = (0,\,-g)$ , dus

\vect v(t) = \bigl(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha - g t\bigr), \qquad \begin{cases} x(t) = v_0\cos\alpha\; t,\\[2pt] y(t) = v_0\sin\alpha\; t - \tfrac12\, g t^2 . \end{cases}

Bewijs. De tweede wet van Newton geeft $\vect a = \vect g = (0,-g)$ . Primitieven, as per as: $\vect v(t)$ uit $\vect a$ met beginwaarde $(v_0\cos\alpha,\, v_0\sin\alpha)$ , daarna de plaats uit $\vect v$ , vanaf $(0,0)$ . ∎

Propositie 26.8 (Onafhankelijkheid van de twee bewegingen)

De horizontale beweging is eenparig — $v_x$ verandert nooit — en de verticale beweging is precies de verticale worp van de vorige paragraaf: geen van beide vergelijkingen noemt de coördinaat van de andere. In het bijzonder blijven een horizontaal afgeschoten bal en een op hetzelfde ogenblik van dezelfde hoogte losgelaten bal op gelijke hoogte — ze landen samen.

Bewijs. In Stelling 26.7 bevat $x(t)$ alleen $v_0\cos\alpha$ en $y(t)$ alleen $v_0\sin\alpha$ en $g$ ; beide ballen hebben $v_y(0) = 0$ , dus voldoen beide aan $h = \tfrac12 gt^2$ . ∎

Eén bal losgelaten, één op hetzelfde ogenblik horizontaal afgeschoten: op elk tijdstip t_1, t_2, t_3 dezelfde hoogte — snelheid stelt niets uit. — Eén bal losgelaten, één op hetzelfde ogenblik horizontaal afgeschoten: op elk tijdstip $t_1$ , $t_2$ , $t_3$ dezelfde hoogte — snelheid stelt niets uit.

Opmerking 26.9 (De vallende aap)

Een verzorger richt een verdovingspijltje recht op een aap, die bij het schot zijn tak loslaat. Slechte zet: pijltje en aap zakken elk $\tfrac12 gt^2$ onder hun plaats zonder zwaartekracht — de vizierlijn, de tak — en dus ontmoeten ze elkaar precies, wat de snelheid van het pijltje ook is (Oefening 26.15).

26.3 De parabool, helemaal gelezen

Stelling 26.10 (Baan)

Als je $t$ tussen $x(t)$ en $y(t)$ elimineert: de baan van een projectiel ( $0 \leq \alpha < 90{}^{\circ}$ ) is de naar beneden geopende parabool

y = x\tan\alpha \;-\; \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\, x^2 .

Bewijs. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ , ingevuld in $y(t)$ van Stelling 26.7. ∎

De snelheid langs de vlucht: v_x verandert nooit; v_y krimpt, verdwijnt in het toppunt, keert om — de pijl kantelt, de parabool volgt. — De snelheid langs de vlucht: $\vect v_x$ verandert nooit; $\vect v_y$ krimpt, verdwijnt in het toppunt, keert om — de pijl kantelt, de parabool volgt.

Definitie 26.11 (Dracht)

Voor een projectiel boven vlakke grond is de dracht $R$ de horizontale afstand die het aflegt tot het weer op werphoogte komt; de vluchttijd $t_f$ is de duur van die reis.

Propositie 26.12 (Toppunt, vluchttijd, dracht)

Boven vlakke grond, met $0 < \alpha < 90{}^{\circ}$ :

t_f = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad h_{\text{top}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g} \ \ \text{bereikt op } t_f/2, \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.

De dracht is het grootst bij $\alpha = 45{}^{\circ}$ , met $R = v_0^2/g$ ; complementaire hoeken $\alpha$ en $90{}^{\circ} - \alpha$ geven dezelfde dracht.

Bewijs. $y = 0$ geeft $t\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 gt) = 0$ : de worp, en $t_f$ . Het toppunt, $v_y = 0$ , ligt op $t = v_0\sin\alpha/g = t_f/2$ ; vul dat in $y(t)$ in. Verder is $R = x(t_f) = 2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ . De sinus is maximaal bij $2\alpha = 90{}^{\circ}$ , en $\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$ . ∎

Dezelfde werpsnelheid v_0 = 10\, m/ s, vijf hoeken: 45 gooit het verst; de paren (15,75) en (30,60) landen samen — de ene vlak en snel, de andere hoog en traag. — Dezelfde werpsnelheid $v_0 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , vijf hoeken: $45{}^{\circ}$ gooit het verst; de paren ( $15{}^{\circ}$ , $75{}^{\circ}$ ) en ( $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ ) landen samen — de ene vlak en snel, de andere hoog en traag.

Voorbeeld 26.13 (Doeltrap)

Een doelman trapt met $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 45{}^{\circ}$ : $R = 25^2/9.81 \approx 64\,\mathrm{m}$ ; echte uittrappen landen eerder rond $55\,\mathrm{m}$ — het aandeel van de lucht.

Methode 26.14 (De boekhouding van een worp)

Assen in het werppunt, $Ox$ horizontaal, $Oy$ omhoog; coördinaten van $\vect v_0$ .
Ga de vrije val na (alleen het gewicht): dan is $\vect a = (0,-g)$ ; twee keer primitiveren, elke keer met de beginvoorwaarden.
Vraag naar een plaats: elimineer $t$ (de baan). Naar een ogenblik: houd $t$ .
Woordenboek: toppunt $\Leftrightarrow v_y = 0$ ; werphoogte $\Leftrightarrow y = 0$ ; muur op $d \Leftrightarrow x = d$ ; vloer $\ell$ lager $\Leftrightarrow y = -\ell$ .
Controle: de vlucht is symmetrisch om het toppunt; $R \leq v_0^2/g$ ; de lucht maakt het altijd alleen maar korter.

26.4 Wat de lucht verandert

Definitie 26.15 (Grenssnelheid)

De luchtweerstand werkt de snelheid tegen en groeit met de snelheid. Een vallend lichaam versnelt dus alleen tot de luchtweerstand het gewicht opheft; vanaf dan is $\vect a = \vect 0$ : het valt met een constante grenssnelheid.

Voorbeeld 26.16 (Grenssnelheden in ordegrootte)

Een parachutespringer, plat uitgespreid: ongeveer $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Een regendruppel: ongeveer $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — in vacuüm zou $2000\,\mathrm{m}$ val hem afleveren met $\sqrt{2gh} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een veer: ongeveer $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , binnen enkele centimeters bereikt — het geheim van haar traagheid: ze brengt haar hele val op de grenssnelheid door; de hamer komt nooit in de buurt van de zijne.

Opmerking 26.17 (Echte ballistiek)

De luchtweerstand duwt de hele vlucht lang tegen de snelheid in: de dracht wordt korter, het toppunt lager, en de symmetrie breekt — de daling steiler dan de klim, verre schoten zichtbaar korter dan de parabool. De eerlijke, kwantitatieve behandeling is een differentiaalvergelijking die in het volume van bachelorjaar 1 wordt opgelost; dit jaar is de parabool het juiste model voor dichte, matig snelle projectielen — een basketbal met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , niet een golfbal met $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Dezelfde worp, met en zonder lucht: de luchtweerstand snoeit dracht en toppunt en laat het projectiel steiler landen dan het vertrok — de symmetrie van de parabool is het eerste slachtoffer.

26.5 Oefeningen

Oefening 26.1 ★

Een steen die van een brug wordt losgelaten raakt $2.0\,\mathrm{s}$ later het water: hoe hoog ligt de brug, en met welke snelheid komt hij aan, in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.1.

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Oefening 26.2 ★

Op de Maan liet een astronaut een hamer en een veer samen los: ze landden samen. Waarom — en waarom verliest de veer op Aarde zo zwaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.2.

Geen lucht op de Maan: beide in vrije val, en $m\vect a = m\vect g$ geeft $\vect a = \vect g$ voor elke massa. Op Aarde is de luchtweerstand op de veer vergelijkbaar met haar minieme gewicht: ze zweeft op een grenssnelheid van ongeveer $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , terwijl de hamer de lucht amper merkt.

Oefening 26.3 ★

Bereken, zonder lucht, valtijd en aankomstsnelheid vanaf $1.0\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ en $100\,\mathrm{m}$ . Hoe groeien de tijden met de hoogte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.3.

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$ , $1.4$ , $4.5\,\mathrm{s}$ ; $v = gt = 4.4$ , $14$ , $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De tijden groeien als $\sqrt h$ : $\times 100$ in hoogte is maar $\times 10$ in tijd.

Oefening 26.4 ★

Een bal wordt recht omhoog gegooid met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : hoogte en tijdstip van het toppunt, totale tijd tot hij terug in de hand ligt, en terugkeersnelheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.4.

$h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ op $t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$ ; terug op $3.06\,\mathrm{s}$ , opnieuw met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (symmetrie).

Oefening 26.5 ★

Een knikker rolt met $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ van een tafel van $0.80\,\mathrm{m}$ hoog. Bereken de valtijd en de landingsafstand tot de rand. Hangt de valtijd van de snelheid van de knikker af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.5.

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$ . Nee: de valtijd hoort alleen bij de verticale beweging (onafhankelijkheid).

Oefening 26.6 ★★

Uit de figuur met de vijf hoeken uit de cursus: welke paren werphoeken delen hun dracht, en welke hoek wint? Voor een dracht onder de maximale: welke van de twee mogelijke hoeken vliegt langer? Onderbouw met $t_f$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.6.

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ en $(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ delen hun dracht; $45{}^{\circ}$ wint. De steilste van een complementair paar vliegt langer: $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ groeit met $\alpha$ .

Oefening 26.7 ★★

Van een balkon op $20\,\mathrm{m}$ wordt een bal recht naar beneden gegooid met $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bereken de tijd tot de grond en de aankomstsnelheid; controleer die laatste met een energiebalans (Hoofdstuk 18).

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.7.

$4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ geeft $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$ ; $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Met energie: $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — hetzelfde.

Oefening 26.8 ★★

Een projectiel verlaat de vlakke grond met $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 30{}^{\circ}$ : vluchttijd, hoogte van het toppunt en dracht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.8.

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ ; $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$ ; $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ .

Oefening 26.9 ★★

Modelleer een verspringer als een projectiel: afzet met $10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 20{}^{\circ}$ . Bereken de dracht; kampioenen springen bijna $9\,\mathrm{m}$ — noem twee ingrediënten die het puntmodel weglaat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.9.

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$ . Weggelaten: het massamiddelpunt vertrekt hoog (gestrekt lichaam) en landt laag en ver naar voren (benen vooruit gegooid), en de springer is geen punt — de ontbrekende $1.7\,\mathrm{m}$ zitten in die meetkunde, niet in de parabool.

Oefening 26.10 ★★

Op $1.2\,\mathrm{m}$ boven vlakke grond wordt één kogel losgelaten en een identieke horizontaal afgeschoten met $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Welke landt het eerst? Bereken de valtijd en de landingsafstand van de afgeschoten kogel. Welk beginsel wordt hier getoetst?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.10.

Samen: beide hebben $v_y(0) = 0$ , dus dezelfde $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$ ; de afgeschoten kogel landt op $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ . Het toetst de onafhankelijkheid van de horizontale en de verticale beweging.

Oefening 26.11 ★★

Toon algebraïsch aan dat $\alpha$ en $90{}^{\circ} - \alpha$ dezelfde dracht hebben, en bepaal daarna de twee hoeken die een projectiel van $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $50\,\mathrm{m}$ laten landen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.11.

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) = \sin(2\alpha)$ : dezelfde $R$ . Hier is $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 = 9.81 \times 50/625 = 0.785$ : $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ of $64.1{}^{\circ}$ .

Oefening 26.12 ★★★

Water verlaat een tuinslang met $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : grootste horizontale bereik? grootste hoogte? de twee standen van de spuitmond die een bloembed op $5.0\,\mathrm{m}$ water geven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.12.

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ (bij $45{}^{\circ}$ ); $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (recht omhoog). $\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$ : $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ of $65.0{}^{\circ}$ .

Oefening 26.13 ★★★

Een bal wordt vanaf de grond getrapt met $18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 35{}^{\circ}$ , naar een haag van $4.0\,\mathrm{m}$ op $15\,\mathrm{m}$ afstand. Beslis met de baanvergelijking of hij eroverheen gaat, en met hoeveel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.13.

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2} {2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$ : hij gaat met ongeveer $1.4\,\mathrm{m}$ over de haag van $4.0\,\mathrm{m}$ .

Oefening 26.14 ★★★

Een parachutespringer van $80\,\mathrm{kg}$ valt plat met de grenssnelheid $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Hoe groot is de luchtweerstand? (b) Schets de vorm van $v(t)$ vanaf de sprong. (c) Een regendruppel valt van $2.0\,\mathrm{km}$ : aankomstsnelheid in vacuüm tegenover haar echte $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.14.

(a) De luchtweerstand heft het gewicht op: $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ . (b) $v(t)$ stijgt met een steeds kleinere helling en vlakt af op $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) In vacuüm: $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , twintig keer de echte $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — regendruppels brengen bijna hun hele val op de grenssnelheid door.

Oefening 26.15 ★★★

De vallende aap, bewezen: een pijltje vertrekt uit de oorsprong, precies gericht op een aap op afstand $D$ en hoogte $H$ ( $\tan\alpha = H/D$ ), die op $t = 0$ loslaat. Toon aan dat het pijltje bij $x = D$ op de hoogte van de aap is — wat $v_0$ ook is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 26.15.

Op $t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ zit het pijltje op hoogte $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$ , precies de $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$ van de losgelaten aap. Beide hangen $\tfrac12 gt^2$ onder hun plaats zonder zwaartekracht — ze ontmoeten elkaar voor elke $v_0$ .

26.6 Probleem: De basketbal in de slotseconde

Probleem 26.1

Weekendopgave — de basketbal in de slotseconde: een vrije worp pijl voor pijl ontleed, vingertoppen met centimeters gemist, een worp over het hele veld afgewogen tegen wat een arm kan geven, een lob over het bord — en een oordeel over het meest theatrale schot in de sport

De ring van een basketbaldoel is een horizontale cirkel op $3.05\,\mathrm{m}$ boven de vloer; Nora laat elk schot los op $2.00\,\mathrm{m}$ , dus met assen in het loslaatpunt ( $Ox$ horizontaal naar het doel, $Oy$ omhoog) ligt het middelpunt van de ring $1.05\,\mathrm{m}$ boven de oorsprong. De lucht wordt verwaarloosd, behalve waar het uitdrukkelijk staat.

Deel I — De vrije worp. Nora schiet van $d = 4.20\,\mathrm{m}$ (horizontaal) met werphoek $\alpha = 50{}^{\circ}$ .

Welke krachten werken er zodra de bal los is? Geef $\vect a$ , met de wet die je gebruikt.
Leid de coördinaten van $\vect v(t)$ af.
Leid $x(t)$ en $y(t)$ af.
Elimineer $t$ om de baan $y(x)$ te krijgen.
De bal moet door het middelpunt van de ring, $y(d) = 1.05\,\mathrm{m}$ : los op naar $v_0$ , in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Deel II — Over de vingertoppen, in de ring.

Hoe lang doet de bal over de weg naar de ring?
Bepaal tijdstip en hoogte van het toppunt; ga na dat de bal bij de ring al daalt.
Een verdedigster $0.90\,\mathrm{m}$ voor Nora reikt met haar vingertoppen tot $2.60\,\mathrm{m}$ . Met hoeveel gaat de bal daaroverheen?
Bereken $v_x$ en $v_y$ bij de ring, de snelheid daar, en de hoek van de snelheidsvector onder de horizontaal.
Waarom moet een bal dalend aankomen — en waarom steil?

Deel III — De worp over het hele veld. De zoemer staat op klinken en Nora staat op $26.0\,\mathrm{m}$ van de verste ring.

De stijging van $1.05\,\mathrm{m}$ is klein tegenover $26.0\,\mathrm{m}$ : verantwoord een model met vlakke grond, en leid de vluchttijd af uit $y(t_f) = 0$ .
Leid daaruit $R = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ af en de hoek van de grootste dracht.
Bereken de $v_0$ die nodig is om $26.0\,\mathrm{m}$ te halen bij $\alpha = 45{}^{\circ}$ .
Een sterke speelster kan een basketbal met ongeveer $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ wegslingeren. Wat is haar maximale dracht — is het schot menselijk haalbaar?
Bepaal bij $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de twee hoeken die de bal op $26.0\,\mathrm{m}$ laten landen, en hun vluchttijden: met $2.0\,\mathrm{s}$ op de klok, welke van de twee haalt het vóór de zoemer?

Deel IV — De lob over het bord. Van achter de achterlijn lobt Nora: loslaten op $6.0\,\mathrm{m}$ van het middelpunt van de ring, $\alpha = 75{}^{\circ}$ ; het vlak van het bord kruist haar schot $0.45\,\mathrm{m}$ vóór het middelpunt van de ring, met de bovenrand op $3.95\,\mathrm{m}$ boven de vloer.

Bepaal de $v_0$ die de bal door het middelpunt van de ring laat zakken.
Bereken de hoogte van de bal in het vlak van het bord ( $x = 5.55\,\mathrm{m}$ ): gaat hij over de bovenrand, en met hoeveel?
Bepaal de hoogte van het toppunt en de vluchttijd — waarom is het publiek er dol op?
Wat verandert de luchtweerstand kwalitatief aan deze drie schoten, en welk schot bedreigt ze het meest?
Het oordeel over de slotworp, in twee zinnen: vergelijk de snelheid die de worp over het hele veld vraagt met wat een arm levert, geef de marge, en beslis — mogelijk of mythe?

Oplossing

Oplossing van Probleem 26.1.

1. Alleen het gewicht (de lucht wordt verwaarloosd); de tweede wet van Newton: $m\vect a = m\vect g$ , dus $\vect a = (0,\,-g)$ .

2. $v_x = v_0\cos\alpha$ , $v_y = v_0\sin\alpha - gt$ .

3. $x = v_0\cos\alpha\, t$ , $y = v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 gt^2$ .

4. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ : $y = x\tan\alpha - g x^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ .

5. $v_0^2 = \dfrac{g d^2}{2\cos^2\alpha\,(d\tan\alpha - 1.05)} = \dfrac{173.0}{0.826 \times 3.96} = 52.9$ : $v_0 = 7.28\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 26\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

6. $t = d/(v_0\cos\alpha) = 4.20/4.68 = 0.90\,\mathrm{s}$ .

7. Toppunt op $t = v_0\sin\alpha/g = 0.57\,\mathrm{s}$ , hoogte $2.00 + (v_0\sin\alpha)^2/2g = 2.00 + 1.58 = 3.58\,\mathrm{m}$ ; omdat $0.57 < 0.90$ daalt de bal al bij de ring.

8. $y(0.90) = 0.90\tan50{}^{\circ} - 0.182 = 0.89\,\mathrm{m}$ boven het loslaatpunt, dus $2.89\,\mathrm{m}$ boven de vloer: $0.29\,\mathrm{m}$ boven de vingertoppen.

9. $v_x = 4.68\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = 5.57 - 9.81 \times 0.90 = -3.24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v = 5.69\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , onder $\arctan(3.24/4.68) = 34.7{}^{\circ}$ met de horizontaal.

10. De ring is een horizontale cirkel: de bal moet haar vlak van boven kruisen. Hoe steiler hij binnenkomt, hoe groter de opening van de ring langs de snelheid lijkt — meer marge voor fouten.

11. $1.05/26.0 = 4\%$ : verwaarloosbaar. $y(t_f) = 0$ geeft $t_f\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 g t_f) = 0$ , dus $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ .

12. $R = v_0\cos\alpha\, t_f = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ ; maximaal bij $\alpha = 45{}^{\circ}$ .

13. $v_0 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 26.0} = 16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

14. $R_{\max} = 17.5^2/9.81 = 31.2\,\mathrm{m} > 26.0\,\mathrm{m}$ : haalbaar, met $5\,\mathrm{m}$ dracht over.

15. $\sin(2\alpha) = 255.1/306.3 = 0.833$ : $\alpha = 28.2{}^{\circ}$ of $61.8{}^{\circ}$ ; vluchttijden $2v_0\sin\alpha/g = 1.69\,\mathrm{s}$ en $3.14\,\mathrm{s}$ . Alleen het vlakke schot haalt de zoemer van $2.0\,\mathrm{s}$ .

16. $v_0^2 = \dfrac{9.81 \times 36}{2\cos^275{}^{\circ}\, (6.0\tan75{}^{\circ} - 1.05)} = \dfrac{353.2}{2.86} = 123.5$ : $v_0 = 11.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

17. $y(5.55) = 5.55\tan75{}^{\circ} - 18.26 = 2.45\,\mathrm{m}$ boven het loslaatpunt, dus $4.45\,\mathrm{m}$ boven de vloer: $0.50\,\mathrm{m}$ boven de bovenrand van het bord.

18. Toppunt $2.00 + (11.1\sin75{}^{\circ})^2/2g \approx 7.9\,\mathrm{m}$ ; vlucht $6.0/(11.1\cos75{}^{\circ}) = 2.1\,\mathrm{s}$ — twee volle seconden met de bal op $8\,\mathrm{m}$ hoogte.

19. De luchtweerstand verkort elk schot en maakt de daling steiler; het effect groeit met de snelheid, dus lijdt de worp over het hele veld met $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ het meest — haar echte dracht blijft een paar meter onder $31\,\mathrm{m}$ en knabbelt aan de marge.

20. Het oordeel over de slotworp: het schot van $26.0\,\mathrm{m}$ vraagt $16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en een arm levert ongeveer $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , een marge in dracht van $5\,\mathrm{m}$ ( $\approx 20\%$ ) die de luchtweerstand snoeit maar niet wegvaagt. Mogelijk — en precies daarom valt hij een paar keer per seizoen echt.