Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

31Vrije elektrische trillingen: RLC

Draai aan de zware knop van een zolderradio en de zenders trekken langs de naald voorbij: een stem, violen, geruis, weer een stem. Achter het paneel zit geen motor en geen computer — een spoel, een condensator waarvan de knop de in elkaar geschoven platen draait, en een stuk antennedraad. Dit hoofdstuk verbindt de twee energietanks van het vorige hoofdstuk (Hoofdstuk 30) kop aan kop en vindt de snelste slinger die ooit is gebouwd: lading die heen en weer zwaait, tot miljoenen keren per seconde, in een tempo dat de knop kiest.

31.1 Een elektrische slinger: de LC-kring

Laad een condensator $C$ tot een spanning $U_0$ — zijn platen dragen dan $\pm Q_0$ met $Q_0 = C U_0$ — en schakel hem op $t = 0$ op een ideale spoel $L$ met weerstand nul. Nergens in de kring een bron: wat er nu ook gebeurt, de schakeling doet het zelf.

De LC-kring: een condensator geladen tot Q_0, een schakelaar, een ideale spoel. Door K te sluiten laat je de lading door de spoel wegstromen — en de spoel, die verandering haat, laat haar niet stoppen. — De LC-kring: een condensator geladen tot $Q_0$ , een schakelaar, een ideale spoel. Door $K$ te sluiten laat je de lading door de spoel wegstromen — en de spoel, die verandering haat, laat haar niet stoppen.

Propositie 31.1 (De LC-vergelijking)

In de ideale LC-kring voldoet de lading $q(t)$ van de bovenste plaat aan

L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0, \qquad\text{oftewel}\qquad \frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .

Bewijs. Rond de kring tellen de spanningen tot nul op (Propositie 12.4): $u_L + u_C = 0$ . De condensator geeft $u_C = q/C$ en de spoel $u_L = L\,di/dt$ (Definitie 30.10), met $i = dq/dt$ als de lading die op de bovenste plaat aankomt (Propositie 30.3); vul in. ∎

Stelling 31.2 (Vrije trillingen van de LC-kring)

Losgelaten op $t = 0$ met $q(0) = Q_0$ en $i(0) = 0$ trilt de kring:

q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{LC},

met piekstroom $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ .

Bewijs. Controleer door invullen. Afleiden geeft $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — de opgegeven $i(t)$ — en nog eens $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$ , wat gelijk is aan $-q/(LC)$ precies wanneer $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , oftewel $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . En $q(0) = Q_0$ , $i(0) = 0$ . Dat geen andere functie bij de vergelijking en de start past, wordt toegegeven, net als bij de veer (Opmerking 28.9). ∎

Definitie 31.3 (Eigenperiode en eigenfrequentie)

De eigenperiode van een LC-kring is $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ; haar eigenfrequentie is

f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .

Controle van de dimensies: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ en $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , dus draagt $LC$ de eenheid $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ is een tijd, zoals het hoort.

Voorbeeld 31.4 (Eerste getallen)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ met $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ : $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ , dus $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ en $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — een hoorbare toon. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ met $C = 100\,\mathrm{pF}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — een radiofrequentie. Alleen het product $LC$ legt het tempo vast.

Opmerking 31.5 (Een kwart periode uit de pas)

De stroom loopt een kwart periode uit fase met de lading: $i = 0$ wanneer $q = \pm Q_0$ (platen vol, stroming keert om) en $i = \pm I_0$ wanneer $q = 0$ (platen leeg, stroming op volle kracht) — precies de slinger, stilstaand in de uitersten en het snelst onderaan.

Lading en stroom van de vrije LC-kring: de stroom piekt telkens wanneer de lading door nul gaat, een kwart periode uit de pas.

31.2 De energiewals

Propositie 31.6 (Behoud van de opgeslagen energie)

In de ideale LC-kring is de totale opgeslagen energie (Propositie 30.15)

E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2 \;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2

constant: volledig in de condensator wanneer $q = \pm Q_0$ , volledig in de spoel wanneer $i = \pm I_0$ .

Bewijs. Leid af: $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ wegens Propositie 31.1. Haar waarde lees je af op $t = 0$ (alles in de condensator), en nogmaals op het ogenblik dat alles stroom is, $q = 0$ — waaruit $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$ en dus $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ volgt, met energie alleen. ∎

Eén periode van de wals: de energie klotst twee keer per periode van de platen naar de spoel en terug, met de som vastgepind op Q_02/2C — precies de figuur van de veeroscillator, met andere etiketten. — Eén periode van de wals: de energie klotst twee keer per periode van de platen naar de spoel en terug, met de som vastgepind op $Q_0^2/2C$ — precies de figuur van de veeroscillator, met andere etiketten.

Voorbeeld 31.7 (De wals, opgemeten)

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ geladen tot $U_0 = 10\,\mathrm{V}$ en geschakeld op $L = 10\,\mathrm{mH}$ : energie $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ , periode $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , en een piekstroom $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ die een kwart periode ( $0.16\,\mathrm{ms}$ ) na het sluiten van de schakelaar wordt gehaald.

31.3 Echte schakelingen: gedempte trillingen

Elke echte spoel is van draad met weerstand gewikkeld: de eerlijke kring is een serie-RLC-kring, en de weerstand belast de wals.

Definitie 31.8 (Pseudoperiodisch en aperiodisch regime)

In een serie-RLC-kring verstookt de weerstand energie door het joule-effect (Hoofdstuk 12): de vrije trillingen zijn gedempt. Twee regimes, af te lezen op een oscilloscoop:

pseudoperiodisch (kleine $R$ ): de kring trilt nog binnen een krimpende omhullende, met een herhaaltijd — de pseudoperiode — dicht bij $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ zolang de demping zwak is;
aperiodisch (grote $R$ ): de lading kruipt naar nul terug zonder er ooit voorbij te schieten — helemaal geen trilling.

Het exacte spiegelbeeld van de gedempte mechanische oscillator (Definitie 28.12).

De twee lotsbestemmingen van een echte RLC-kring: trillingen die binnen een exponentiële omhullende (gestippeld) sterven, of een kruiptocht naar nul zonder trilling. Bij zwakke demping blijft de pseudoperiode T_0. — De twee lotsbestemmingen van een echte RLC-kring: trillingen die binnen een exponentiële omhullende (gestippeld) sterven, of een kruiptocht naar nul zonder trilling. Bij zwakke demping blijft de pseudoperiode $\approx T_0$ .

Opmerking 31.9 (Trillingen onderhouden)

Om de amplitude in leven te houden, voer je de kring precies de energie toe die de weerstand verstookt, één keer per cyclus en in de pas met de zwaai: een versterker doet voor de RLC-kring wat het duwtje van het echappement voor de slinger doet (Hoofdstuk 28). Elk kwartshorloge en elke radiozender is zo’n onderhouden oscillator, draaiend op zijn eigenfrequentie $f_0$ .

31.4 De mechanische tweelingbroer

Propositie 31.10 (Het elektrisch–mechanische woordenboek)

De LC-vergelijking is woord voor woord de vergelijking van de veer met massa (Propositie 28.8):

LC-kring		wagentje aan een veer
[2pt] lading $q$	$\longleftrightarrow$	plaats $x$
stroom $i = dq/dt$	$\longleftrightarrow$	snelheid $v = dx/dt$
zelfinductie $L$	$\longleftrightarrow$	massa $m$
omgekeerde capaciteit $1/C$	$\longleftrightarrow$	veerconstante $k$
weerstand $R$	$\longleftrightarrow$	wrijving
$L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$	$\longleftrightarrow$	$m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$
[2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$	$\longleftrightarrow$	$T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$
[2pt] $E_C = q^2/2C$	$\longleftrightarrow$	$E_p = \tfrac12 kx^2$
$E_L = \tfrac12 Li^2$	$\longleftrightarrow$	$E_k = \tfrac12 mv^2$

Dezelfde vergelijking, dezelfde oplossingen: elk resultaat over de ene oscillator vertaalt zich ogenblikkelijk in de taal van de andere.

Bewijs. Vergelijk Propositie 31.1 met $m\,d^2x/dt^2 = -kx$ : de substitutie $q \to x$ , $L \to m$ , $1/C \to k$ maakt van de ene de andere, en $LC \to m/k$ maakt van $2\pi\sqrt{LC}$ de uitdrukking $2\pi\sqrt{m/k}$ . ∎

Voorbeeld 31.11 (Een radio afstemmen)

Een antenne voert een fluistering van elke zender in een LC-kring, maar alleen die welke rond $f_0$ uitzendt duwt in de pas en bouwt zich op — resonantie (Definitie 28.13). De afstemknop draait de platen van een variabele condensator: door $C$ te veranderen verschuift $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , en de naald reikt de oortelefoon één zender per keer aan. Aan de zendkant legt een onderhouden oscillator (Opmerking 31.9) de uitzendfrequentie vast; in een horloge speelt een kwartskristal — een mechanische tweelingbroer van adembenemende stijfheid — dezelfde rol.

31.5 Oefeningen

Oefening 31.1 ★

Bereken $T_0$ en $f_0$ voor (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{pF}$ . Met welke factor verschillen de frequenties?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.1.

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ . (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — een factor $\sqrt{10^5} \approx 316$ .

Oefening 31.2 ★

Toon met $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ en $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ eenheid voor eenheid aan dat $\sqrt{LC}$ een tijd is. Waarom verandert de $2\pi$ daar niets aan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.2.

$LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$ , dus staat $\sqrt{LC}$ in seconden. $2\pi$ is een zuiver getal — geen dimensie om iets aan te veranderen.

Oefening 31.3 ★

Een condensator van $470\,\mathrm{nF}$ wordt tot $6.0\,\mathrm{V}$ geladen. Bereken $Q_0$ en de opgeslagen energie; beschrijf zonder te rekenen wat er volgt wanneer hij op een ideale spoel wordt geschakeld.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.3.

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 = \tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$ . De lading trilt met $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , de stroom een kwart periode uit fase, en de energie klotst tussen platen en spoel, met een constant totaal.

Oefening 31.4 ★

Een LC-kring volgt $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ in microcoulomb, met $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$ . Lees $Q_0$ af; bereken $f_0$ , $q(T_0/2)$ , $i(0)$ en de piekstroom $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.4.

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$ ; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $i(0) = 0$ (de cosinus is vlak in $t=0$ ); $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$ .

Oefening 31.5 ★

Op welke ogenblikken van de cyclus zit de energie volledig in de condensator? En volledig in de spoel? Wat is voor een slinger de mechanische tegenhanger van elk van die momenten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.5.

Alles in de condensator wanneer $q = \pm Q_0$ en $i = 0$ ( $t = 0$ , $T_0/2$ , $T_0$ , …): de uitersten van de slinger. Alles in de spoel wanneer $q = 0$ en $i = \pm I_0$ ( $t = T_0/4$ , $3T_0/4$ , …): het laagste en snelste punt van de slinger.

Oefening 31.6 ★★

Ga door invullen na dat $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ aan $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ voldoet precies wanneer $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.6.

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$ , dus is $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ voor alle $t$ precies wanneer $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , oftewel $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Oefening 31.7 ★★

Een langegolfzender zendt uit op $198\,\mathrm{kHz}$ . Welke zelfinductie stemt daar met $C = 220\,\mathrm{pF}$ op af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.7.

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times (1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$ .

Oefening 31.8 ★★

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ geladen tot $10\,\mathrm{V}$ ontlaadt in $L = 10\,\mathrm{mH}$ . Bereken de opgeslagen energie, de piekstroom (met behulp van het behoud van energie) en het ogenblik waarop die voor het eerst wordt bereikt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.8.

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; uit $\tfrac12 LI_0^2 = E$ volgt $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$ , voor het eerst bereikt op $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx 0.16\,\mathrm{ms}$ .

Oefening 31.9 ★★

Leg uit waarom $E_C$ en $E_L$ met frequentie $2f_0$ trillen en niet met $f_0$ . Toon aan dat op $t = T_0/8$ (gestart vanaf $q = Q_0$ ) de energie precies in twee gelijke helften is verdeeld.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.9.

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$ , en $\cos^2$ herhaalt zich elke halve omwenteling: twee vullingen van de condensator per periode, dus $2f_0$ . Op $t = T_0/8$ is de fase $\pi/4$ : $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$ , dus $E_C = E_L = E/2$ .

Oefening 31.10 ★★

Op een oscillogram van een zwak gedempte RLC-kring lezen opeenvolgende maxima $4.0\,\mathrm{V}$ en daarna $3.0\,\mathrm{V}$ . Voorspel, aangenomen dat de verhouding constant blijft, het zesde maximum na dat van $4.0\,\mathrm{V}$ . Welke fractie van de energie overleeft elke pseudoperiode? Wat kun je over de pseudoperiode zelf zeggen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.10.

Verhouding $3.0/4.0 = 0.75$ per pseudoperiode: het zesde maximum is $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . De energie is evenredig met het kwadraat van de amplitude: $0.75^2 \approx 56\%$ overleeft elke periode. De pseudoperiode blijft $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : zwakke demping krimpt de amplitude, nauwelijks het tempo.

Oefening 31.11 ★★

Een LC-kring heeft $L = 0.50\,\mathrm{H}$ en $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Bereken $T_0$ ; bepaal daarna met het woordenboek (Propositie 31.10) de veerconstante $k$ die een wagentje van $0.50\,\mathrm{kg}$ dezelfde periode geeft, en controleer die.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.11.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$ . Woordenboek: $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; controle: $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — dezelfde $20\,\mathrm{ms}$ .

Oefening 31.12 ★★★

Een afstemkring gebruikt $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ en een variabele condensator die $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$ bestrijkt. Bereken de twee uiterste frequenties. Toon aan dat $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , zodat een factor tien in $C$ maar $\sqrt{10} \approx 3.2$ in frequentie oplevert.

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.12.

$C = 500\,\mathrm{pF}$ : $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ ; $C = 50\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$ . Bij vaste $L$ is $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ : een factor tien in $C$ geeft maar $\sqrt{10} \approx 3.2$ in $f_0$ — zoals gevonden.

Oefening 31.13 ★★★

Door een echte spoel verliest de kring per pseudoperiode $5.0\%$ van haar energie. Na hoeveel perioden is de energie gehalveerd? Hoe groot is de amplitude dan, als fractie van de start? Hoe lang duurt dat bij $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$ , in microseconden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.13.

$0.95^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$ , dus zo’n $14$ perioden. De amplitude is evenredig met $\sqrt{E}$ : terug tot $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ van de start. Bij $1.0\,\mathrm{MHz}$ is $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : ongeveer $14\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Oefening 31.14 ★★★

Een horloge-oscillator slaat $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ op en verliest daarvan $2.0\%$ per cyclus bij $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ . Welk gemiddeld vermogen moet de onderhoudsschakeling leveren? Waarom moet het duwtje in de pas met de trilling aankomen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.14.

Verlies per cyclus $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ , bij $32\,768$ cycli per seconde: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11} \approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — onder een microwatt, jaren op een knoopcel. In de pas, omdat alleen een duw op de juiste fase energie toevoegt (resonantie); uit de pas zou ze de zwaai afremmen.

Oefening 31.15 ★★★

Na elke flank van een blokvormig signaal “rinkelt” de bedrading van een experimentator op $25\,\mathrm{MHz}$ ; de parasitaire zelfinductie is ongeveer $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ . Schat de parasitaire capaciteit die daarvoor verantwoordelijk is. In welk regime zou een kleine weerstand in serie de kring moeten duwen, en waarom geneest dat het rinkelen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 31.15.

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times (2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$ . De weerstand moet de kring in het aperiodische regime duwen: de lading zakt dan zonder over te schieten — geen trilling, geen rinkeling.

31.6 Probleem: Een kristalontvanger bouwen

Probleem 31.1

Weekendopgave — een kristalontvanger bouwen: één spoel, één variabele condensator, een diode en een oortelefoon — geen batterij, geen versterker, en het avondnieuws komt binnen op de energie van de golf zelf

Een bouwpakket van zolder bij de grootouders: een spoel $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ gewikkeld op een kartonnen koker, een variabele condensator waarvan de platen van $20\,\mathrm{pF}$ tot $480\,\mathrm{pF}$ draaien, een kristaldiode, een oortelefoon en $20\,\mathrm{m}$ antennedraad. De zenders die je wilt vangen zenden uit tussen $530\,\mathrm{kHz}$ en $1700\,\mathrm{kHz}$ .

Deel I — De afstemkring.

De geladen condensator mag zich in de spoel ontladen: schrijf de kringwet op en maak er de differentiaalvergelijking voor $q(t)$ van.
Ga door invullen na dat $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ haar oplost, mits $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
Controleer met een dimensieanalyse dat $\sqrt{LC}$ een tijd is.
Knop op $C = 330\,\mathrm{pF}$ : bereken $T_0$ en $f_0$ . Is de kring binnen de band afgestemd?
Bepaal de capaciteit die precies op $1.00\,\mathrm{MHz}$ afstemt.

Deel II — De variabele condensator.

Bereken de capaciteit die nodig is voor $530\,\mathrm{kHz}$ .
Bereken de capaciteit die nodig is voor $1700\,\mathrm{kHz}$ .
Bereken de twee frequenties die de condensator van $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ uit het pakket werkelijk haalt. Bestrijkt hij de hele band?
Toon aan dat $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ bij vaste $L$ ; met welke factor moet $C$ veranderen om $f_0$ te verdubbelen?
De platen schuiven lineair open, dus daalt $C$ gestaag terwijl de knop draait. Leg uit waarom de zenders dan aan één kant van de schaal op elkaar gedrongen staan — en aan welke kant.

Deel III — Energie en demping. Afgestemd op $1.00\,\mathrm{MHz}$ ( $C = 127\,\mathrm{pF}$ ) laadt de antenne de condensator even tot $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$ .

Bereken de lading $Q_0$ en de opgeslagen energie $E$ .
Bereken de piekstroom $I_0$ met behulp van het behoud van energie.
De weerstand van de spoel verstookt per cyclus $4.0\%$ van de opgeslagen energie: na hoeveel cycli is de energie gehalveerd?
Hoe lang duurt dat in microseconden? Waarom kan dit “rinkelen” in zijn eentje het avondnieuws niet laten spelen?
Leg uit waarom de binnenkomende golf de kring alleen aan het zwaaien houdt als die op die zender is afgestemd — en wat de trilling bij de zender onderhoudt (Opmerking 31.9).

Deel IV — De mechanische tweelingbroer.

Bereken met het woordenboek (Propositie 31.10) en een wagentje met massa $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ de veerconstante $k$ van de veer die bij de afgestemde kring past.
Een stugge autoveer heeft $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Becommentarieer: kan een opstelling met een veer en een massa op tafel op megahertz trillen?
Houd in plaats daarvan een redelijke $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ aan: welke massa trilt op $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
Welk echt voorwerp is zo’n vederlichte, superstijve mechanische oscillator, en waar ben je het eerder dit jaar tegengekomen (Hoofdstuk 28)?
Specificatieblad, in één zin: de band die je radio bestrijkt, de capaciteit die $1.00\,\mathrm{MHz}$ uitkiest, hoe lang één losse rinkeling duurt, en wat het nieuws toch laat spelen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 31.1.

1. Kringwet: $u_L + u_C = 0$ , met $u_C = q/C$ , $u_L = L\,di/dt$ en $i = dq/dt$ : $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ .

2. $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$ , dus luidt de vergelijking $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ , waar voor alle $t$ precies wanneer $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

3. $LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ is een tijd.

4. $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7} \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — binnen $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$ .

5. $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times 1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$ .

6. Dezelfde formule op $530\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 451\,\mathrm{pF}$ .

7. Op $1700\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 44\,\mathrm{pF}$ .

8. $C = 480\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$ ; $C = 20\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — de hele band, met marge aan beide uiteinden.

9. $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ ; $f_0$ verdubbelen vraagt $C$ door $4$ te delen.

10. Omdat $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , verschuiven gelijke stappen in $C$ de $f_0$ traag bij grote $C$ en snel bij kleine $C$ : een gegeven afstand tussen zenders kost dan weinig knopverdraaiing — ze dringen samen aan het uiteinde met de hoge frequenties (lage $C$ ).

11. $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ .

12. $\tfrac12 LI_0^2 = E$ : $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$ .

13. $0.96^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert \approx 17$ cycli.

14. Bij $1.00\,\mathrm{MHz}$ is $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : de rinkeling halveert in ongeveer $17\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Eén losse rinkeling sterft in microseconden; muziek vraagt een kring die voortdurend wordt gevoed.

15. De golf duwt miljoenen keren per seconde; alleen wanneer haar frequentie met $f_0$ samenvalt, komen de duwen in de pas aan en bouwen ze de zwaai op — resonantie; zenders naast de afstemming duwen even vaak tegen als mee. Bij de zender geeft een versterker de verstookte energie elke cyclus terug: een onderhouden oscillator.

16. $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $k = m/(LC) = 0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

17. Ongeveer $10^8$ keer de autoveer: geen enkele opstelling met een veer en een massa op tafel haalt megahertz — alledaagse stijfheden en massa’s zijn hopeloos traag.

18. $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100} {(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — een paar nanogram, een stofje.

19. Een kwartskristal: een vederlicht, superstijf plaatje dat op zijn eigenfrequentie zingt — de tijdmeter van eerder dit jaar.

20. Met $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ en $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ bestrijkt de kring ongeveer $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$ en dus de hele band; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ pikt $1.00\,\mathrm{MHz}$ eruit; op zichzelf gelaten halveert de rinkeling in $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$ , maar de golf van de zender zelf, die in de pas resoneert, voedt de kring opnieuw — het nieuws speelt op de energie van de golf zelf.