Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

6Krachten en het traagheidsbeginsel

Stop met trappen en de fiets rolt uit tot stilstand; stop met trekken en de slee blijft staan. De ervaring fluistert dat beweging met inspanning gevoed moet worden — en tweeduizend jaar lang gaf de natuurkunde haar gelijk. Dit hoofdstuk bouwt de kracht op, een pijl gemeten in newton, en formuleert de eerste grote wet van de mechanica: werkelijk met rust gelaten houdt een bewegend lichaam zijn beweging, recht en gelijkmatig, voor altijd.

6.1 Een werking als kracht modelleren

Definitie 6.1 (Kracht)

Een kracht modelleert een mechanische werking (een duw, een trek, een aantrekking) die op een lichaam wordt uitgeoefend. Ze wordt gekenmerkt door:

haar aangrijpingspunt;
haar richting — de lijn waarlangs ze werkt en de zin op die lijn;
haar grootte, gemeten in newton (symbool $\mathrm{N}$ ).

Een kracht wordt getekend als een pijl $\vect F$ (een vector, zoals in het wiskundevolume) vanuit haar aangrijpingspunt, met een lengte die bij een aangegeven schaal evenredig is met de grootte.

Voorbeeld 6.2 (Het gewicht van een schooltas)

Een schooltas met massa $m = 4.0\,\mathrm{kg}$ wordt door de Aarde omlaag getrokken met haar gewicht (Hoofdstuk 4): $P = mg = 4.0 \times 9.81 \approx 39\,\mathrm{N}$ — één newton is ongeveer het gewicht van een appel. Op schaal $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 10\,\mathrm{N}$ : een verticale pijl van $3.9\,\mathrm{cm}$ , aangrijpend in het zwaartepunt van de tas, omlaag gericht.

6.2 Een inventaris van krachten

Definitie 6.3 (Contactkrachten en krachten op afstand)

Een contactkracht wordt uitgeoefend op de punten waar twee lichamen elkaar raken. Een kracht op afstand heeft geen contact nodig: het gewicht — de gravitatietrek uit Hoofdstuk 4 — is de enige die in dit hoofdstuk voorkomt.

Definitie 6.4 (De gebruikelijke contactkrachten)

Vier contactkrachten dekken de meeste alledaagse situaties:

de normaalkracht $\vect R$ van een steunvlak, loodrecht op dat vlak en ervan af gericht;
de spankracht $\vect T$ van een draad, touw of ketting, gericht langs het touw en er naartoe trekkend;
de wrijving $\vect f$ van een oppervlak, de lucht of het water, die het schuiven of de beweging tegenwerkt;
de stuwkracht van een motor, een straalpijp of een hand, die in de richting van de inspanning duwt.

Het boek op de tafel: gewicht P en normaalkracht R — dezelfde lijn, gelijke lengte, tegengestelde zin. — Het boek op de tafel: gewicht $\vect P$ en normaalkracht $\vect R$ — dezelfde lijn, gelijke lengte, tegengestelde zin.

Voorbeeld 6.5 (Inventaris bij een getrokken slee)

Een slee die over de sneeuw wordt getrokken: gewicht $\vect P$ (op afstand), normaalkracht $\vect R$ van de sneeuw, spankracht $\vect T$ van het touw, wrijving $\vect f$ die het schuiven tegenwerkt. Niets anders raakt de slee: de inventaris is compleet — altijd eerst het gewicht, daarna één contactkracht per aanrakend voorwerp.

6.3 Het traagheidsbeginsel

Definitie 6.6 (Eenparige rechtlijnige beweging)

Een lichaam voert in een stelsel een eenparige rechtlijnige beweging uit wanneer zijn baan een rechte lijn is die met constante snelheid wordt afgelegd: zijn snelheidsvector $\vect v$ is op elk ogenblik dezelfde. Rust is het bijzondere geval $\vect v = \vect 0$ .

Definitie 6.7 (Krachten in evenwicht)

De krachten op een lichaam zijn in evenwicht wanneer hun gezamenlijke werking nul is: kop aan staart gelegd keren hun pijlen naar het beginpunt terug. Twee krachten zijn precies dan in evenwicht wanneer ze dezelfde werklijn hebben, even groot zijn en tegengesteld gericht.

Stelling 6.8 (Traagheidsbeginsel)

In het aardse referentiestelsel blijft een lichaam waarop geen kracht werkt, of waarop de krachten in evenwicht zijn, in rust of houdt het een eenparige rechtlijnige beweging aan; omgekeerd werken op een lichaam dat in rust is of een eenparige rechtlijnige beweging uitvoert, krachten in evenwicht (of helemaal geen).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 6.9

Geen enkele proef kan een lichaam volledig isoleren, dus het beginsel is een postulaat — vermoed door Galilei, geformuleerd door Newton. Een later hoofdstuk maakt er een wet van die krachten verbindt met veranderingen van de snelheid; het volume van bachelorjaar 1 vraagt in welke stelsels het beginsel werkelijk geldt.

Propositie 6.10 (Beweging uit krachten lezen, en omgekeerd)

In het aardse referentiestelsel geldt:

verandert de snelheid van een lichaam — in grootte of in richting — dan zijn de krachten erop niet in evenwicht;
is een lichaam in rust of in eenparige rechtlijnige beweging, dan moeten de geïnventariseerde krachten elkaar opheffen — en dat legt onbekenden vast.

Bewijs. De eerste uitspraak is de contrapositie van Stelling 6.8, de tweede het omgekeerde deel ervan, toegepast op een volledige inventaris. ∎

Een ijshockeypuck na het loslaten: posities op gelijke tijdsafstanden, telkens één identieke snelheidspijl — een eenparige rechtlijnige beweging.

Voorbeeld 6.11 (De ijshockeypuck)

Losgelaten door de stick legt een puck $30\,\mathrm{m}$ glad ijs af in $2.5\,\mathrm{s}$ , rechtdoor met de constante snelheid $v = 30/2.5 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Inventaris: gewicht en normaalkracht (de wrijving is verwaarloosbaar). Ze zijn in evenwicht, en het beginsel voorspelt precies de waargenomen beweging: niets duwt de puck vooruit — en dat hoeft ook niet.

Opmerking 6.12 (Galilei tegen Aristoteles)

Aristoteles leerde dat elke beweging een beweger nodig heeft, en het dagelijks leven — wrijving bij elk contact — lijkt hem gelijk te geven. Galilei dacht de wrijving weg: hoe gladder het oppervlak, hoe minder duw er nodig is om de beweging te onderhouden. Volhouden, niet stilstaan, is de natuurlijke toestand.

Opmerking 6.13 (De struikelende passagier)

Wanneer een bus hard remt, schieten staande passagiers naar voren. Geen enkele kracht werpt hen vooruit: door hun traagheid houden hun lichamen hun snelheid terwijl de bus de zijne verliest. De veiligheidsgordel levert de achterwaartse kracht die in de inventaris ontbreekt.

Een curlingsteen op gelijke tijdsafstanden. Links: P en R zijn in evenwicht — gelijke stappen. Rechts: er blijft een niet-opgeheven wrijving f over — de stappen krimpen, de snelheid verandert. — Een curlingsteen op gelijke tijdsafstanden. Links: $\vect P$ en $\vect R$ zijn in evenwicht — gelijke stappen. Rechts: er blijft een niet-opgeheven wrijving $\vect f$ over — de stappen krimpen, de snelheid verandert.

6.4 Krachten in evenwicht: statica van een tekening

Definitie 6.14 (Krachtenschema)

Het krachtenschema van een lichaam toont het lichaam alleen, met elke kracht die op het lichaam werkt, op schaal getekend vanuit haar aangrijpingspunt; krachten die door het lichaam worden uitgeoefend komen er nooit in voor.

Methode 6.15 (Een statische situatie ontleden)

Kies het lichaam dat je bestudeert; werk in het aardse referentiestelsel.
Inventariseer: altijd het gewicht, en één contactkracht per contact.
Teken het krachtenschema.
Het lichaam is in rust, dus zijn de krachten in evenwicht (Stelling 6.8): lees de onbekende groottes af van de tekening (gelijke lengten in één dimensie, componenten in twee).

Voorbeeld 6.16 (Het boek op de tafel)

Een boek met massa $0.50\,\mathrm{kg}$ ligt op een tafel: gewicht $P = 0.50 \times 9.81 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ en normaalkracht $\vect R$ . Omdat het in rust is, houdt $\vect R$ het gewicht $\vect P$ in evenwicht: verticaal, omhoog, $R = 4.9\,\mathrm{N}$ . Leg er een tweede boek op en $R$ past zich aan — een steunvlak duwt precies zo hard als nodig is.

De hangende lamp: de horizontale delen van de twee spankrachten heffen elkaar op door de symmetrie; hun verticale delen dragen samen het gewicht.

Voorbeeld 6.17 (De lamp aan twee draden)

Een lamp met massa $3.0\,\mathrm{kg}$ ( $P \approx 29.4\,\mathrm{N}$ ) hangt aan twee draden, elk onder $45^\circ$ met de verticaal. Door de symmetrie zijn de spankrachten gelijk ( $T_1 = T_2 = T$ ) en heffen hun horizontale componenten elkaar op; de verticale componenten, elk $T \cos 45^\circ$ , dragen het gewicht:

2\,T \cos 45^\circ = P \qquad\text{dus}\qquad T = \frac{29.4}{2 \times 0.707} \approx 21\,\mathrm{N}

— meer dan de helft van het gewicht per draad: onder een hoek trekken kost spankracht.

6.5 Oefeningen

Oefening 6.1 ★

Inventariseer de krachten en zeg of het contactkrachten of krachten op afstand zijn, voor: (a) een boek dat op een tafel ligt; (b) een lamp die aan haar draad hangt; (c) een puck die over glad ijs glijdt; (d) een vallende appel (luchtweerstand verwaarloosbaar).

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.1.

(a) Gewicht (op afstand), normaalkracht van de tafel (contact). (b) Gewicht (op afstand), spankracht van de draad (contact). (c) Gewicht (op afstand), normaalkracht van het ijs (contact); de wrijving is verwaarloosbaar. (d) Alleen het gewicht — niets raakt de appel aan.

Oefening 6.2 ★

Bereken het gewicht van een boek van $250\,\mathrm{g}$ en van een persoon van $60\,\mathrm{kg}$ . Hoe lang is bij schaal $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 1\,\mathrm{N}$ de pijl van het boek, en waarom is die schaal hopeloos voor de persoon?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.2.

Boek: $P = 0.250 \times 9.81 \approx 2.45\,\mathrm{N}$ , een pijl van ongeveer $2.5\,\mathrm{cm}$ . Persoon: $P = 60 \times 9.81 \approx 589\,\mathrm{N}$ — een pijl van $5.89\,\mathrm{m}$ . Kies een schaal waarop de grootste kracht op de bladzijde past.

Oefening 6.3 ★

Op een tekening met schaal $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 2\,\mathrm{N}$ is een kracht een horizontale pijl van $3.5\,\mathrm{cm}$ die naar links wijst en in een punt $A$ aangrijpt. Geef haar drie kenmerken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.3.

Aangrijpingspunt $A$ ; richting horizontaal, naar links wijzend; grootte $3.5 \times 2 = 7.0\,\mathrm{N}$ .

Oefening 6.4 ★

Een woordenboek met massa $1.2\,\mathrm{kg}$ ligt op een plank. Teken het krachtenschema en geef van elke kracht de grootte en de richting.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.4.

Gewicht $\vect P$ : verticaal, omlaag, $P = 1.2 \times 9.81 \approx 11.8\,\mathrm{N}$ . Normaalkracht $\vect R$ van de plank: dezelfde lijn, omhoog, $R = 11.8\,\mathrm{N}$ (het woordenboek is in rust, dus zijn de twee in evenwicht).

Oefening 6.5 ★

Juist of onjuist — verbeter de onjuiste: (a) een lichaam komt altijd uiteindelijk tot stilstand tenzij een kracht blijft duwen; (b) een eenparige rechtlijnige beweging vergt geen enkele niet-opgeheven kracht; (c) op een lichaam in rust werkt geen enkele kracht; (d) verandert de snelheid van een lichaam, dan zijn de krachten erop niet in evenwicht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.5.

(a) Onjuist: het is de wrijving die dingen stopt; zonder enige kracht houdt een lichaam zijn eenparige rechtlijnige beweging. (b) Juist (het traagheidsbeginsel). (c) Onjuist: er werken krachten die in evenwicht zijn (bijvoorbeeld gewicht en normaalkracht). (d) Juist — de contrapositie van het beginsel.

Oefening 6.6 ★★

Na het loslaten legt een puck $24\,\mathrm{m}$ ijs af in $3.0\,\mathrm{s}$ , rechtdoor met constante snelheid. Bereken die snelheid; zijn de krachten erop in evenwicht? Op beton komt dezelfde puck binnen enkele meters tot stilstand: wat is er in de inventaris veranderd, en wat besluit Propositie 6.10?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.6.

1. $v = 24/3.0 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Krachten: gewicht en normaalkracht; ze zijn in evenwicht (eenparige rechtlijnige beweging, verwaarloosbare wrijving). 2. De wrijving van het beton is niet langer verwaarloosbaar: de inventaris krijgt er een niet-opgeheven achterwaartse kracht bij, en inderdaad verandert de snelheid — de puck vertraagt en stopt.

Oefening 6.7 ★★

Een passagier van $70\,\mathrm{kg}$ staat in een lift die met de constante snelheid $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ omhooggaat. Noem de krachten op de passagier; zijn ze in evenwicht? Geef de grootte van de kracht van de vloer. Zou er iets veranderen als de lift stilstond?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.7.

Gewicht $P = 70 \times 9.81 \approx 687\,\mathrm{N}$ omlaag; kracht van de vloer omhoog. Eenparige rechtlijnige beweging, dus zijn ze in evenwicht: de vloer duwt met $687\,\mathrm{N}$ . Bij stilstand verandert er niets — rust en eenparige beweging geven hetzelfde krachtenschema.

Oefening 6.8 ★★

Een lamp met massa $1.8\,\mathrm{kg}$ hangt in rust aan één enkele verticale draad. Bereken de spankracht in de draad. De draad wordt vervangen door twee verticale draden die de last gelijk verdelen: hoe groot is dan de spankracht in elk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.8.

1. In rust houdt de spankracht het gewicht in evenwicht: $T = 1.8 \times 9.81 \approx 17.7\,\mathrm{N}$ . 2. Elke verticale draad draagt de helft: $T = 8.8\,\mathrm{N}$ .

Oefening 6.9 ★★

Een bus remt hard en een staande passagier schiet naar voren; in een bocht met constante snelheid helt diezelfde passagier naar buiten. Leg beide uit zonder een kracht “naar voren” of “naar buiten” te verzinnen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.9.

Bij het remmen houdt het lichaam van de passagier zijn snelheid (traagheid) terwijl de bus de zijne verliest, dus beweegt de passagier naar voren ten opzichte van de bus. In de bocht neigt het lichaam ernaar rechtdoor te gaan terwijl de bus eronder wegdraait, zodat het naar de buitenkant van de bocht schuift. In beide gevallen is de “kracht” verzonnen; wat ontbreekt is een echte kracht (grip, handgreep) om de snelheid van de passagier met die van de bus mee te veranderen.

Oefening 6.10 ★★

Een parachutist met een totale massa van $85\,\mathrm{kg}$ daalt verticaal met de constante snelheid $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Teken het krachtenschema en bereken de luchtweerstand op het scherm.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.10.

Eenparige rechtlijnige beweging, dus zijn gewicht en luchtweerstand in evenwicht: de weerstand is $P = 85 \times 9.81 \approx 834\,\mathrm{N}$ , verticaal en omhoog gericht.

Oefening 6.11 ★★

Een waterskiër wordt rechtdoor met constante snelheid getrokken; het horizontale touw trekt met $300\,\mathrm{N}$ . Hoe groot is de horizontale weerstand van het water op de ski’s (verantwoord dat)? Welke twee verticale krachten houden elkaar in evenwicht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.11.

1. Eenparige rechtlijnige beweging: de horizontale krachten zijn in evenwicht, dus is de weerstand $300\,\mathrm{N}$ , tegengesteld aan het touw. 2. Het gewicht van de skiër en de opwaartse duw van het water op de ski’s.

Oefening 6.12 ★★★

Een lamp met massa $2.4\,\mathrm{kg}$ hangt aan twee draden onder $40^\circ$ met de verticaal ( $\cos 40^\circ \approx 0.766$ ). Bereken elke spankracht. Waarom groeit de spankracht naarmate de draden de horizontaal naderen, en waarom zouden twee precies horizontale draden de lamp nooit kunnen dragen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.12.

1. $P = 2.4 \times 9.81 \approx 23.5\,\mathrm{N}$ ; de verticale componenten dragen het gewicht: $2T\cos 40^\circ = P$ , dus $T = 23.5/(2 \times 0.766) \approx 15.4\,\mathrm{N}$ . 2. $T = P/(2\cos\theta)$ groeit onbegrensd wanneer $\theta \to 90^\circ$ , want $\cos\theta \to 0$ ; precies horizontale draden hebben helemaal geen verticale component, dus zou niets het gewicht dragen.

Oefening 6.13 ★★★

Een curlingsteen wordt geduwd, losgelaten, glijdt terwijl hij heel geleidelijk vertraagt, en komt tot stilstand. Teken voor elke fase (duw, glijden, rust) het krachtenschema en zeg of de krachten in evenwicht zijn, met een verwijzing naar Stelling 6.8 of Propositie 6.10.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.13.

Duw: gewicht, normaalkracht, stuwkracht van de hand, kleine wrijving; de snelheid neemt toe, dus zijn de krachten niet in evenwicht (Propositie 6.10). Glijden: gewicht, normaalkracht, kleine wrijving; de steen vertraagt, dus opnieuw geen evenwicht — de wrijving is wat overblijft (op ideaal ijs zou hij eeuwig doorglijden). Rust: alleen gewicht en normaalkracht, in evenwicht (Stelling 6.8).

Oefening 6.14 ★★★

De sonde Voyager 1 zweeft met $17\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ door de interstellaire ruimte, met uitgeschakelde motoren. Waarom heeft ze geen brandstof nodig om die snelheid te houden, en wat zou Aristoteles voorspellen? Hoever komt ze in een jaar, in $\mathrm{km}$ en daarna in astronomische eenheden ( $1\,\mathrm{au} \approx 1.496 \times 10^{8}\,\mathrm{km}$ )? Waarom moet ze een stuwmotor gebruiken, zelfs om alleen van richting te veranderen zonder van snelheid te veranderen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.14.

1. Volgens het traagheidsbeginsel vergt het behouden van een constante snelheid helemaal geen kracht — en in de interstellaire ruimte werkt er vrijwel geen. Aristoteles zou voorspellen dat de sonde stopt zodra de “beweger” ermee ophoudt. 2. Eén jaar is $\approx 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , dus $d = 17 \times 3.156 \times 10^{7} \approx 5.4 \times 10^{8}\,\mathrm{km} \approx 3.6\,\mathrm{au}$ . 3. Snelheid is een vector: haar richting veranderen verandert de snelheid, en dat vergt een niet-opgeheven kracht.

Oefening 6.15 ★★★

Drie touwen trekken aan een ring die in rust is. Op een rooster waarvan één vakje $1\,\mathrm{N}$ voorstelt, leest men twee krachten af: $\vect F_1\,(3, 2)$ en $\vect F_2\,(-1, 2)$ . Bepaal de componenten, de grootte en de richting van de derde kracht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 6.15.

In rust zijn de drie krachten in evenwicht: $\vect F_3 = -(\vect F_1 + \vect F_2)$ , dus $\vect F_3\,(-2, -4)$ , met grootte $\sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.5\,\mathrm{N}$ , gericht tegengesteld aan de resultante van de eerste twee (linksonder op het rooster).

6.6 Probleem: Traagheid in drie bedrijven

Probleem 6.1

Weekendopgave — het rolpad, de ijsbaan en de parachute: constante snelheid als handtekening van krachten in evenwicht, en waarom een parachute niet de weerstand maar de snelheid verlaagt

Drie taferelen — een koffer op een rolpad, een puck op een ijsbaan, een parachutist in de avondlucht — en één wet die in alle drie het woord voert.

Deel I — Het rolpad op de luchthaven. Een koffer van $23\,\mathrm{kg}$ staat op een rolpad dat met de constante snelheid $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ loopt.

Welke beweging maakt de koffer in het aardse stelsel? Inventariseer de krachten erop.
Zijn die krachten in evenwicht? Verantwoord dat; bereken beide groottes.
Vergelijk het krachtenschema met dat van dezelfde koffer op de vloer. Welke diepe uitspraak illustreert die vergelijking?
Het rolpad komt met een schok tot stilstand. Beschrijf wat de koffer doet, zonder een kracht naar voren te verzinnen.
De eigenares loopt met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van het rolpad. Wat is haar snelheid in het aardse stelsel? Zijn de krachten op haar in evenwicht?

Deel II — De ijsbaan.

Een puck van $160\,\mathrm{g}$ glijdt rechtdoor met de constante snelheid $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Teken het krachtenschema met de groottes erbij.
Aristoteles beweert dat de puck een beweger nodig heeft. Wat antwoordt de ijsbaan, en waarom lijken alledaagse oppervlakken hem gelijk te geven?
De puck komt over een ruwe plek en vertraagt. Welke conclusie volgt over de krachten daar? Welke kracht is de schuldige?
Een schaatsster maakt bij constante snelheid een vloeiende bocht. Zijn de krachten op haar in evenwicht? Pas op: wat voor soort grootheid is snelheid?
Koppel schema aan beweging: (a) krachten in evenwicht; (b) een extra kracht tegengesteld aan $\vect v$ ; (c) een extra kracht loodrecht op $\vect v$ — (i) rechtdoor en vertragend; (ii) draaiend bij constante snelheid; (iii) eenparige rechtlijnige beweging.

Deel III — De parachute. De totale massa van een springer, uitrusting inbegrepen, is $80\,\mathrm{kg}$ .

Bij het verlaten van het vliegtuig zijn de verticale snelheid en de luchtweerstand nog nul. Bereken de krachten; zijn ze in evenwicht? Wat moet er nu gebeuren?
De luchtweerstand groeit met de snelheid. Beschrijf de val zolang de weerstand kleiner is dan het gewicht.
Voordat het scherm opengaat, bereikt de springer een constante $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (“eindsnelheid”). Bereken de luchtweerstand. Wat voor beweging is dit, en waarom is het “traagheid in vermomming”?
Het scherm gaat open: de weerstand overtreft nu het gewicht ruimschoots. Wat gebeurt er met de snelheid? (De springer beweegt de hele tijd omlaag.)
Er wordt een nieuwe constante $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bereikt. Bereken de luchtweerstand en vergelijk met vraag 13.
De clou: wat heeft de parachute veranderd — de uiteindelijke weerstand, of de snelheid waarbij de weerstand het gewicht bereikt?

Deel IV — Vonnissen.

Vul aan en verantwoord: “in rust of in eenparige rechtlijnige beweging $\iff$ …”. Waarom verdient rust geen aparte wet?
In welk bedrijf zou “beweging heeft een beweger nodig” van Aristoteles het zichtbaarst hebben gefaald, en waar zou Galilei naar wijzen?
Een proefwerk beweert: “de parachutist valt met constante snelheid, dus werkt er geen kracht op hem”. Verbeter dat in één regel.
Slot: noem voor elk bedrijf het paar krachten dat in evenwicht is, en noem de ene wet die in deze opgave twintig keer is gebruikt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 6.1.

1. Een eenparige rechtlijnige beweging met $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Krachten: het gewicht en de normaalkracht van de band (er is geen wrijving nodig: de koffer schuift niet over de band). 2. Ja — eenparige rechtlijnige beweging (Stelling 6.8). $P = 23 \times 9.81 \approx 226\,\mathrm{N}$ , dus $R = 226\,\mathrm{N}$ . 3. De schema’s zijn identiek. Rust en eenparige rechtlijnige beweging zijn een en dezelfde mechanische toestand: de traagheid maakt er geen onderscheid tussen. 4. De koffer houdt zijn $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terwijl de band stopt: hij schuift door of kantelt naar voren tot de wrijving zijn beweging opslokt. Niets heeft hem geduwd — hij hield alleen de snelheid die hij had. 5. Snelheden in dezelfde richting tellen op: $0.75 + 1.2 = 1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Haar snelheid is constant, dus zijn de krachten op haar in evenwicht. 6. $P = 0.160 \times 9.81 \approx 1.57\,\mathrm{N}$ omlaag, $R = 1.57\,\mathrm{N}$ omhoog, en geen horizontale kracht. 7. De puck houdt $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ aan zonder ook maar één beweger. Alledaagse oppervlakken verbergen wrijving — een niet-opgeheven achterwaartse kracht — zodat beweging vanzelf lijkt te sterven. 8. Haar snelheid verandert, dus zijn de krachten niet langer in evenwicht (Propositie 6.10); de schuldige is de wrijving van het ruwe ijs. 9. Nee: snelheid is een vector, en haar richting verandert, dus zijn de krachten niet in evenwicht — het ijs duwt zijwaarts tegen haar schaatsen. 10. (a)–(iii), (b)–(i), (c)–(ii). 11. Gewicht $P = 80 \times 9.81 \approx 785\,\mathrm{N}$ , luchtweerstand nul: niets houdt het gewicht in evenwicht, dus moet de snelheid veranderen — de springer versnelt omlaag. 12. Zolang de weerstand kleiner is dan het gewicht, zijn de krachten nog steeds niet in evenwicht: de snelheid blijft groeien, en de weerstand groeit mee. 13. Constante snelheid: gewicht en weerstand zijn in evenwicht, dus is de weerstand $785\,\mathrm{N}$ . De beweging is recht en eenparig — een vallend lichaam in precies dezelfde mechanische toestand als de koffer op het rolpad: traagheid in vermomming. 14. De weerstand overtreft nu het gewicht: de krachten zijn niet in evenwicht, dus verandert de snelheid — de springer daalt nog steeds, maar vertraagt; naarmate de snelheid zakt, krimpt de weerstand terug naar het gewicht. 15. Opnieuw constant: weerstand $= P = 785\,\mathrm{N}$ — exact dezelfde waarde als bij $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . 16. De uiteindelijke weerstand is altijd gelijk aan het gewicht, met of zonder scherm. De parachute verandert de snelheid waarbij de weerstand $785\,\mathrm{N}$ bereikt: $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in plaats van $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . 17. “…de krachten op het lichaam zijn in evenwicht (of er werkt er geen enkele)” — de twee lezingen van Stelling 6.8. Rust is gewoon $\vect v = \vect 0$ , een eenparige rechtlijnige beweging als alle andere. 18. De ijsbaan: de puck glijdt door zonder beweger in zicht. Galilei wijst naar het steeds gladdere oppervlak — de wrijving, niet de natuur, is wat de dingen stopt. 19. Er werken wél krachten — een gewicht van $785\,\mathrm{N}$ omlaag en een weerstand van $785\,\mathrm{N}$ omhoog; ze zijn in evenwicht, en juist daarom is de snelheid constant. 20. Rolpad: gewicht en normaalkracht. IJsbaan: gewicht en normaalkracht. Parachute: gewicht en luchtweerstand. De ene wet: het traagheidsbeginsel, in zijn directe en zijn omgekeerde lezing.