Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

10Lenzen, beelden en het oog

Elk scherp beeld — op een telefoonsensor, een bioscoopdoek of achter in je eigen oog — ontstaat door dezelfde truc: een gekromd doorzichtig midden breekt stralen (Hoofdstuk 3) zodat alle stralen die uit één punt vertrekken elkaar in een ander punt weer ontmoeten. Dit hoofdstuk temt die truc: één lens, drie stralen, één formule — en richt hem daarna op fototoestellen, brillen en de levende lens die deze zin leest.

10.1 Convergerende en divergerende lenzen

Definitie 10.1 (Dunne lens)

Een lens is een doorzichtig midden dat door twee oppervlakken wordt begrensd, waarvan er minstens één gekromd is. Is de lens in het midden dikker dan aan de rand, dan is ze convergerend: evenwijdige stralen worden naar elkaar toe gebogen; is ze aan de rand dikker, dan is ze divergerend en lopen ze uiteen. Een dunne lens heeft een verwaarloosbare dikte: we tekenen haar als een lijnstuk met pijlpunten naar buiten (convergerend) of naar binnen (divergerend). Haar middelpunt $O$ is het optische middelpunt; de lijn door $O$ loodrecht op de lens is de hoofdas.

Definitie 10.2 (Brandpunten en brandpuntsafstand)

Stralen die evenwijdig aan de hoofdas op een convergerende lens vallen, snijden de as alle in één punt erachter: het beeldbrandpunt $F'$ ; omgekeerd verlaten stralen die uit het voorwerpsbrandpunt $F$ vertrekken (ervoor, met $OF = OF'$ ) de lens evenwijdig aan de as. De brandpuntsafstand $f' = \overline{OF'}$ is positief voor een convergerende lens; door een divergerende lens verlaten evenwijdige stralen de lens alsof ze uit een punt $F'$ vóór de lens komen: $f' < 0$ .

Definitie 10.3 (Lenssterkte)

De lenssterkte van een lens met brandpuntsafstand $f'$ (in meter) is $C = 1/f'$ , gemeten in dioptrie (symbool D): $1~\text{D} = 1\,\mathrm{m}^{-1}$ ; divergerende lenzen hebben $C < 0$ . Opticiens schrijven in dioptrie voor: de sterkten van dunne lenzen die elkaar raken tellen gewoon op (hier aangenomen; afgeleid in het volume van bachelorjaar 1).

Voorbeeld 10.4 (Een recept lezen)

Een lens met $f' = 0.50\,\mathrm{m}$ heeft $C = 1/0.50 = +2.0$ D: convergerend. Een voorschrift van $-4.0$ D betekent $f' = -0.25\,\mathrm{m}$ : divergerend, met brandpuntsafstand $25\,\mathrm{cm}$ .

10.2 Het beeld construeren

Methode 10.5 (De drie constructiestralen)

Zij $AB$ een voorwerp dat in $A$ loodrecht op de as staat. Van alle stralen die uit de top $B$ vertrekken, zijn er drie waarvan de weg bekend is:

de straal door het optische middelpunt $O$ gaat rechtdoor;
de straal evenwijdig aan de as gaat na de lens door $F'$ ;
de straal door $F$ verlaat de lens evenwijdig aan de as.

Twee ervan volstaan: hun snijpunt is het beeldpunt $B'$ , en het beeld $A'B'$ staat in $A'$ loodrecht op de as. Lopen de uittredende stralen uiteen, dan snijden hun achterwaartse verlengden (gestippeld) elkaar in een virtueel beeldpunt.

De drie constructiestralen: voorwerp AB voorbij F, beeld A'B' reëel en omgekeerd (hier is OA = -2f': even groot, = -1). — De drie constructiestralen: voorwerp $AB$ voorbij $F$ , beeld $A'B'$ reëel en omgekeerd (hier is $\overline{OA} = -2f'$ : even groot, $\gamma = -1$ ).

Definitie 10.6 (Reële en virtuele beelden)

Een beeld is reëel wanneer de uittredende stralen er werkelijk doorheen gaan: een scherm dat je daar plaatst vangt het op; het is virtueel wanneer alleen hun achterwaartse verlengden elkaar snijden: geen scherm vangt het op, maar een oog dat in de lens kijkt ziet het uitstekend. Een convergerende lens geeft van elk voorwerp voorbij $F$ een reëel, omgekeerd beeld; schuif het voorwerp binnen de brandpuntsafstand en het beeld wordt virtueel, rechtop en vergroot.

Voorwerp binnen de brandpuntsafstand (de loepstand): de achterwaartse verlengden bouwen een virtueel, rechtopstaand, vergroot beeld A'B' op. — Voorwerp binnen de brandpuntsafstand (de loepstand): de achterwaartse verlengden bouwen een virtueel, rechtopstaand, vergroot beeld $A'B'$ op.

10.3 Eén formule: de lenzenformule

Constructies laten zien waar het beeld ligt; een formule berekent het. Kies de as in de richting van het licht en gebruik algebraïsche maten: $\overline{OA}$ is de coördinaat van $A$ ten opzichte van $O$ (negatief voor een reëel voorwerp ervoor); hoogten $\overline{AB}$ tellen positief naar boven.

Stelling 10.7 (Lenzenformule voor dunne lenzen)

Door een dunne lens met brandpuntsafstand $f'$ wordt een voorwerpspunt $A$ op de as afgebeeld op het punt $A'$ met

\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 10.8

De betrekking volgt uit de wet van Snellius, toegepast op stralen dicht bij de as; de afleiding — en de grenzen van het model van de dunne lens — worden eerlijk gemaakt in het volume van bachelorjaar 1.

Definitie 10.9 (Vergroting)

De vergroting van het beeld is

\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .

$\abs{\gamma}$ vergelijkt de afmetingen, het teken de standen ( $\gamma < 0$ : omgekeerd); het teken van $\overline{OA'}$ verraadt de aard (positief: reëel, achter de lens; negatief: virtueel, ervoor).

Voorbeeld 10.10 (De formule aan het werk)

Een voorwerp staat $30\,\mathrm{cm}$ voor een convergerende lens met $f' = 10\,\mathrm{cm}$ : $\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}$ , dus

\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15}, \qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm}, \qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :

een reëel beeld $15\,\mathrm{cm}$ achter de lens, omgekeerd en half zo groot — precies wat de drie stralen tekenen.

10.4 Het oog

Definitie 10.11 (Het oog als optisch systeem)

Optisch gezien is het oog een convergerende lens tegenover een scherm: het hoornvlies en de ooglens werken samen als één convergerende lens met instelbare brandpuntsafstand; het netvlies, ongeveer $17\,\mathrm{mm}$ erachter, is het vaste scherm. Scherpstellen gebeurt door de lens samen te knijpen, niet door haar te verschuiven zoals in een fototoestel: accommodatie is de verandering van $f'$ die de kringspieren teweegbrengen. Het dichtstbijzijnde punt dat bij volledige accommodatie scherp wordt gezien is het nabijpunt — ongeveer $25\,\mathrm{cm}$ voor het normale oog — en het verste, in rust, het vertepunt (oneindig voor het normale oog).

Accommodatie: om een nabij voorwerp op hetzelfde netvlies scherp te krijgen, bolt de ooglens op — haar lenssterkte neemt toe.

Voorbeeld 10.12 (De sterkte van je oog)

Het netvlies zit op $\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m}$ . Ver voorwerp ( $1/\overline{OA} \approx 0$ ): $C = 1/0.017 \approx 59$ D. Nabijpunt ( $\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}$ ): $C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. Lezen kost ongeveer $4$ D: het oog is een lens van $59$ D met een ingebouwde fijnregeling van $+4$ D.

10.5 Afwijkingen, correcties en de loep

Definitie 10.13 (Bijziendheid en verziendheid)

Een bijziend oog is te sterk convergerend voor zijn lengte: evenwijdige stralen komen vóór het netvlies samen, verre voorwerpen worden wazig en het vertepunt ligt op eindige afstand; een divergerend brillenglas verhelpt dat. Een verziend oog convergeert niet genoeg: nabije voorwerpen zouden achter het netvlies scherp komen en het nabijpunt schuift weg; een convergerende lens verhelpt dat. Met de jaren verstijft de ooglens (ouderdomsverziendheid) en krimpt de accommodatie — met hetzelfde geneesmiddel: een leesbril.

Voorbeeld 10.14 (Een voorschrift voor een bijziend oog)

Een bijziend oog heeft zijn vertepunt op $50\,\mathrm{cm}$ : het corrigerende glas moet verre voorwerpen op het vertepunt laten zien — voorwerp op oneindig, beeld op $\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m}$ (virtueel, ervoor). Dan geldt $1/f' = 1/\overline{OA'}$ : $f' = -0.50\,\mathrm{m}$ , $C = -2.0$ D; het ontspannen oog kijkt naar dat virtuele beeld en ziet het scherp.

Een bijziend oog stelt evenwijdige stralen vóór het netvlies scherp (rode punt); een divergerende lens legt het brandpunt op het netvlies.

Definitie 10.15 (De loep)

Een loep is een convergerende lens met een korte brandpuntsafstand, gebruikt met het voorwerp binnen die brandpuntsafstand: het beeld is virtueel, rechtop en vergroot (Definitie 10.6), en het oog bekijkt het op een comfortabele afstand.

Voorbeeld 10.16 (Een juweliersloep)

Loep met $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$ , steen op $4.0\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$ , dus $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$ en $\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0$ : een virtueel, rechtopstaand beeld, vijf keer zo groot, op een comfortabele $20\,\mathrm{cm}$ van de lens.

10.6 Oefeningen

Oefening 10.1 ★

Bereken de lenssterkten voor $f' = 50\,\mathrm{cm}$ , $-20\,\mathrm{cm}$ en $4.0\,\mathrm{mm}$ , en daarna de brandpuntsafstand van een lens van $+8.0$ D.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.1.

$C = 1/0.50 = +2.0$ D; $1/(-0.20) = -5.0$ D; $1/0.0040 = +250$ D. Een lens van $+8.0$ D: $f' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 10.2 ★

Een lens is aan de randen dikker dan in het midden. Convergerend of divergerend? Kan ze als loep dienen? Wat zie je als je haar boven een bedrukte bladzijde houdt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.2.

Divergerend ( $f' < 0$ ). Nee: voor elke voorwerpsafstand $d$ ligt $\gamma = f'/(f' - d)$ (aangetoond in Oefening 10.15) tussen $0$ en $1$ — het beeld is altijd virtueel, rechtop en verkleind. De druk verschijnt rechtop en gekrompen, nooit vergroot.

Oefening 10.3 ★

Een convergerende lens heeft $f' = 10\,\mathrm{cm}$ ; een voorwerp staat $20\,\mathrm{cm}$ ervoor. Construeer het beeld met twee van de drie stralen en toets daarna plaats en grootte met de lenzenformule.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.3.

Het voorwerp staat op $2f'$ ; de centrale straal en de evenwijdige straal snijden elkaar $20\,\mathrm{cm}$ achter de lens. Controle: $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20$ , dus $\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm}$ en $\gamma = 20/(-20) = -1$ : reëel, omgekeerd, even groot — zoals getekend.

Oefening 10.4 ★

Een voorwerp staat $24\,\mathrm{cm}$ voor een convergerende lens met $f' = 8.0\,\mathrm{cm}$ . Bereken $\overline{OA'}$ en $\gamma$ , en beschrijf het beeld (aard, stand, grootte).

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.4.

$1/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12$ : $\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = 12/(-24) = -0.50$ . Een reëel beeld $12\,\mathrm{cm}$ achter de lens, omgekeerd en half zo groot.

Oefening 10.5 ★

In het oog: wat vormt de convergerende lens? Wat speelt het scherm? Wat verandert er bij accommodatie — en wat kan er niet veranderen? Definieer het nabijpunt van het normale oog.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.5.

Hoornvlies en ooglens vormen samen de convergerende lens; het netvlies is het scherm. De accommodatie verandert de brandpuntsafstand (de lenssterkte) van de ooglens; de afstand tussen lens en netvlies kan niet veranderen. Nabijpunt: het dichtstbijzijnde punt dat bij volledige accommodatie scherp wordt gezien — $25\,\mathrm{cm}$ voor het normale oog.

Oefening 10.6 ★★

Een objectief heeft $f' = 50\,\mathrm{mm}$ . Waar zit de sensor bij scherpstellen op een ver landschap? Bereken de afstand lens–sensor voor een onderwerp op $3.0\,\mathrm{m}$ , en de verplaatsing tussen beide instellingen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.6.

Landschap: de sensor in het brandvlak, $50\,\mathrm{mm}$ van de lens. Op $3.0\,\mathrm{m}$ : $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000$ , dus $\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}$ . Verplaatsing: ongeveer $0.8\,\mathrm{mm}$ .

Oefening 10.7 ★★

Een loep heeft $f' = 6.0\,\mathrm{cm}$ ; een postzegel ligt $5.0\,\mathrm{cm}$ eronder. Plaats, aard, stand en vergroting van het beeld?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.7.

$1/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30$ : $\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm}$ — virtueel, rechtop, met $\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0$ : zes keer de postzegel, $30\,\mathrm{cm}$ boven de lens.

Oefening 10.8 ★★

Een voorwerp en een scherm staan tegenover elkaar; een convergerende lens ertussen geeft een scherp beeld wanneer beide $40\,\mathrm{cm}$ van de lens staan. Bereken $f'$ en $\gamma$ . Waarom moet dit symmetrische beeld precies even groot zijn als het voorwerp?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.8.

$1/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20$ : $f' = 20\,\mathrm{cm}$ ; $\gamma = 40/(-40) = -1$ . De symmetrie dwingt $\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}}$ af, en dus $\abs{\gamma} = 1$ ; het beeld is reëel en omgekeerd, dus $\gamma = -1$ : precies even groot.

Oefening 10.9 ★★

Een voorwerp staat $50\,\mathrm{cm}$ voor een divergerende lens met $f' = -25\,\mathrm{cm}$ . Bereken $\overline{OA'}$ en $\gamma$ ; beschrijf het beeld. Waarom lijken de ogen van een bijziende iets kleiner door zijn bril?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.9.

$1/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50$ : $\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33$ : virtueel, rechtop en een derde van de grootte. De bril van een bijziende is divergerend: alles wat je erdoor ziet — ook, van buitenaf, de ogen van de drager — is verkleind.

Oefening 10.10 ★★

Een bijziend oog heeft zijn vertepunt op $40\,\mathrm{cm}$ . Welke lenssterkte moet het corrigerende glas hebben, en waar legt het het beeld van een verre berg? Waarom wordt die berg dan moeiteloos gezien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.10.

Het beeld van oneindig moet op het vertepunt liggen: $f' = -0.40\,\mathrm{m}$ , dus $C = -2.5$ D. Het beeld van de berg ligt $40\,\mathrm{cm}$ voor het glas — precies op het vertepunt, dat het ontspannen oog scherp ziet met nul accommodatie.

Oefening 10.11 ★★

Een lezer met ouderdomsverziendheid heeft zijn nabijpunt op $80\,\mathrm{cm}$ maar wil op $25\,\mathrm{cm}$ lezen: de bril moet de bladzijde op $25\,\mathrm{cm}$ afbeelden op een virtuele bladzijde op $80\,\mathrm{cm}$ . Bereken de vereiste lenssterkte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.11.

$C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25) = -1.25 + 4.00 = +2.75$ D.

Oefening 10.12 ★★★

Een projector moet een dia met vergroting $\gamma = -50$ op een scherm werpen dat $5.1\,\mathrm{m}$ van de dia staat.

Bepaal $\overline{OA}$ en $\overline{OA'}$ , gegeven dat $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ .
Leid de brandpuntsafstand van het projectieobjectief af.
Hoe groot is het beeld van een dia van $24\,\mathrm{mm}$ hoog?

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.12.

1. $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50$ geeft $\overline{OA'} = -50\,\overline{OA}$ ; met $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ volgt $-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ : $\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m}$ en $\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}$ .

2. $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2$ : $f' \approx 9.8\,\mathrm{cm}$ .

3. $50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}$ , omgekeerd — en daarom gaan dia’s ondersteboven in het toestel.

Oefening 10.13 ★★★

Het netvlies zit $17\,\mathrm{mm}$ achter de lens van het oog.

Bereken de lenssterkte van het oog bij scherpstellen op oneindig en daarna op het nabijpunt van het normale oog ( $25\,\mathrm{cm}$ ). Leid de amplitude van de accommodatie van het normale oog af.
Een ouder oog heeft zijn nabijpunt op $1.0\,\mathrm{m}$ . Bereken zijn amplitude en welk deel van de normale amplitude er overblijft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.13.

1. $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. Amplitude: $1/0.25 = 4.0$ D.

2. Amplitude $= 1/1.0 = 1.0$ D: een kwart ( $25\%$ ) van de $4.0$ D van het normale oog blijft over.

Oefening 10.14 ★★★

Een loep die als “ $\times 3$ ” wordt verkocht, heeft een brandpuntsafstand die voldoet aan $3 = 0.25/f'$ ( $f'$ in meter).

Bereken $f'$ .
Waar moet een voorwerp liggen opdat zijn virtuele beeld $25\,\mathrm{cm}$ voor de lens ligt? Bereken $\gamma$ en vergelijk met de aangeprezen $\times 3$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.14.

1. $f' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}$ .

2. $\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25$ , dus $\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm}$ en $\gamma = (-25)/(-6.25) = +4.0$ — beter dan de aangeprezen $\times 3$ , die het beeld op oneindig veronderstelt; het naar het nabijpunt halen levert één eenheid winst op.

Oefening 10.15 ★★★

Een reëel voorwerp staat op afstand $d > 0$ voor een convergerende lens ( $\overline{OA} = -d$ , $f' > 0$ ). Toon aan dat $\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'}$ en $\gamma = \frac{f'}{f' - d}$ . Leid daaruit af: reëel en omgekeerd wanneer $d > f'$ ; virtueel, rechtop en vergroot ( $\gamma > 1$ ) wanneer $0 < d < f'$ — elke convergerende lens is een loep, mits dicht genoeg gebruikt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 10.15.

$1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd)$ , dus $\overline{OA'} = f'd/(d - f')$ en $\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d)$ . Als $d > f'$ : dan is $\overline{OA'} > 0$ (reëel) en $\gamma < 0$ (omgekeerd). Als $0 < d < f'$ : dan is $\overline{OA'} < 0$ (virtueel) en $\gamma = f'/(f' - d) > 1$ : rechtop en vergroot — de loepstand.

10.7 Probleem: Eén formule, drie instrumenten

Probleem 10.1

Weekendopgave — dezelfde lenzenformule stelt een fototoestel scherp, schrijft een leesbril voor, ontwerpt een loep en meet de zoom die in je eigen oog is ingebouwd

Een fotograaf draait aan een objectief van $50\,\mathrm{mm}$ , een grootmoeder houdt de krant op armlengte, een juwelier buigt zich over een diamant: één regel algebra, $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ (Stelling 10.7), bedient alle drie de ambachten — en daarna het oog zelf.

Deel I — Eén formule. Een convergerende lens heeft $f' = 20\,\mathrm{cm}$ .

Een voorwerp op $60\,\mathrm{cm}$ : bereken $\overline{OA'}$ en $\gamma$ ; beschrijf het beeld.
Zet het voorwerp op $30\,\mathrm{cm}$ en reken opnieuw. Wat is er met vraag 1 verwisseld? (Lichtwegen zijn omkeerbaar.)
Zet het op $10\,\mathrm{cm}$ , binnen $f'$ : reken opnieuw en beschrijf.
Vat samen: hoe beweegt het beeld en hoe verandert zijn aard terwijl het voorwerp van heel ver naar $F$ schuift en daarna voorbij $F$ ?
Toon aan dat een heel ver voorwerp ( $1/\overline{OA} \approx 0$ ) altijd in het brandvlak wordt afgebeeld: $\overline{OA'} = f'$ .

Deel II — De fotograaf. Een objectief heeft $f' = 50\,\mathrm{mm}$ ; de sensor, $24\,\mathrm{mm}$ hoog, kan ten opzichte van de lens worden verschoven.

Waar zit de sensor bij scherpstellen op een ver landschap?
Nu een gezicht op $1.0\,\mathrm{m}$ : bereken de nieuwe afstand lens–sensor en de verplaatsing vanaf de landschapsstand.
Het mechanisme laat hoogstens $55\,\mathrm{mm}$ afstand tussen lens en sensor toe. Bereken de kleinste scherpstelafstand.
Bereken $\gamma$ bij die kortste scherpstelling. Past het beeld van een gezicht van $20\,\mathrm{cm}$ op de sensor?
“Macro” op ware grootte betekent $\gamma = -1$ : waar moeten voorwerp en sensor dan staan, en waarom vraagt dat om een speciaal objectief?

Deel III — De grootmoeder. Met de jaren schuift het nabijpunt weg: dat van grootmoeder ligt op $1.0\,\mathrm{m}$ .

Verklaar de krant op armlengte.
Om op $25\,\mathrm{cm}$ te lezen moet haar bril een bladzijde op $25\,\mathrm{cm}$ omzetten in een virtueel beeld op $1.0\,\mathrm{m}$ : bereken de vereiste lenssterkte.
Bereken $\gamma$ . Het beeld is vier keer groter en oogt toch niet groter: verklaar dat, met een vergelijking van de afmetingen en de afstanden.
Toon aan dat de druk alleen tussen $25\,\mathrm{cm}$ en $f' \approx 33\,\mathrm{cm}$ scherp is. En wat gebeurt er met een ver voorwerp dat door de bril wordt bekeken?
Leid in één zin af waarom er bifocale glazen bestaan.

Deel IV — De juwelier, en de zoom van het oog zelf. De loep van de juwelier heeft $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$ ; zijn nabijpunt ligt op $25\,\mathrm{cm}$ ; zijn netvlies zit $17\,\mathrm{mm}$ achter de lens van zijn oog.

Een steen $4.0\,\mathrm{cm}$ onder de loep: plaats, aard, vergroting?
Waar moet de steen liggen opdat zijn beeld op zijn nabijpunt valt, en hoe groot is $\gamma$ dan?
Waarom leggen ervaren juweliers de steen liever precies in $F$ (beeld op oneindig)?
Nu het oog alleen: bereken zijn lenssterkte bij een ver voorwerp en daarna bij een voorwerp op $25\,\mathrm{cm}$ : hoeveel dioptrie accommodatie is dat?
Zet beide sterkten om in brandpuntsafstanden: met hoeveel millimeter en hoeveel procent verandert het oog zijn eigen brandpuntsafstand — de zoom die het fototoestel met verplaatsing en grootmoeder met $+3$ D deed?

Oplossing

Oplossing van Probleem 10.1.

1. $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30$ : $\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = -0.50$ — reëel, omgekeerd, half zo groot.

2. $\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = -2$ : de standen $30\,\mathrm{cm}$ en $60\,\mathrm{cm}$ hebben van rol gewisseld en de vergrotingen zijn elkaars omgekeerde — omgekeerd licht volgt dezelfde weg.

3. $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20$ : $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$ , $\gamma = +2$ — virtueel, rechtop, verdubbeld.

4. Vanaf oneindig begint het beeld in het brandvlak; naarmate het voorwerp $F$ nadert, wijkt het reële, omgekeerde beeld naar oneindig en groeit het; binnen $f'$ wordt het virtueel, rechtop en vergroot, vóór de lens.

5. $1/\overline{OA} \approx 0$ laat $1/\overline{OA'} = 1/f'$ over: $\overline{OA'} = f'$ , het brandvlak.

6. In het brandvlak, $50\,\mathrm{mm}$ achter de lens.

7. $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000$ : $\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm}$ ; verplaatsing $\approx 2.6\,\mathrm{mm}$ .

8. $1/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550$ : de kleinste scherpstelafstand is $550\,\mathrm{mm}$ = $55\,\mathrm{cm}$ .

9. $\gamma = 55/(-550) = -0.10$ : het gezicht wordt afgebeeld op $20\,\mathrm{mm}$ , net binnen de sensor van $24\,\mathrm{mm}$ .

10. $\gamma = -1$ dwingt $\overline{OA'} = -\overline{OA}$ af, dus $2/\overline{OA'} = 1/f'$ : het voorwerp $100\,\mathrm{mm}$ ( $= 2f'$ ) ervoor, de sensor $100\,\mathrm{mm}$ erachter — het dubbele van de landschapsstand, ver voorbij het mechanisme van $55\,\mathrm{mm}$ ; macro-objectieven leveren die extra verplaatsing.

11. Alles wat dichterbij ligt dan haar nabijpunt ( $1.0\,\mathrm{m}$ ) is wazig: gestrekte armen brengen de bladzijde zo dicht mogelijk bij $1.0\,\mathrm{m}$ — scherp, zij het klein.

12. $C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0$ D.

13. $\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0$ : vier keer groter, maar ook vier keer verder — dezelfde hoekgrootte; de winst zit niet in de grootte maar in de scherpte, want het beeld ligt nu op haar nabijpunt.

14. Scherp vraagt om een beeld voorbij $1.0\,\mathrm{m}$ : van de bladzijde op $25\,\mathrm{cm}$ (beeld op $1.0\,\mathrm{m}$ ) tot de bladzijde op $f' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m}$ (beeld op oneindig). Een ver voorwerp wordt $33\,\mathrm{cm}$ achter de bril afgebeeld — een reëel beeld waar het oog niets mee kan: de verte wordt wazig.

15. Vandaar bifocale glazen: leessterkte in de onderste helft van het glas, geen (of de vertecorrectie) in de bovenste helft.

16. $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$ : $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$ , virtueel, rechtop, $\gamma = +5.0$ .

17. $1/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25$ : $\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm}$ ; $\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0$ .

18. Steen in $F$ : beeld op oneindig, bekeken met nul accommodatie — urenlang keuren zonder vermoeide ogen.

19. $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D: ongeveer $4$ D accommodatie.

20. $f' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm}$ tegenover $1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm}$ : ongeveer $1.1\,\mathrm{mm}$ , zo’n $6\%$ — de ingebouwde zoom die het fototoestel met $2.6\,\mathrm{mm}$ verplaatsing nabootste en die grootmoeder met $+3$ D oplapte.