Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

2Lichtspectra en de boodschap van het licht

Een bundel sterrenlicht is het enige monster van een ster dat we ooit in handen zullen krijgen, en het blijkt een royaal monster te zijn. Spreid de bundel uit tot zijn spectrum — een glazen prisma doet het, een gordijn van regendruppels doet het — en het licht wordt een boodschap: een doorlopende regenboog als achtergrond verraadt de temperatuur van de ster, en een streepjescode van fijne lijnen spelt, element voor element, waaruit de ster bestaat. Dit hoofdstuk leert beide delen van die boodschap lezen — eerst op laboratoriumlampen, daarna op de Zon.

2.1 Wit licht en zijn spectrum

Definitie 2.1 (Ontleding van wit licht)

Wanneer een smalle bundel zonlicht een glazen prisma doorkruist, komt hij er uitgespreid uit als een doorlopende band van kleuren, van rood tot violet. Die band is het spectrum van het licht. Licht dat alle zichtbare kleuren bevat, zoals zonlicht of het licht van een gewone gloeilamp, heet wit licht. Licht van één zuivere kleur, dat geen enkel prisma nog verder kan splitsen, is monochromatisch (een laserbundel bijvoorbeeld); een mengsel van meerdere kleuren is polychromatisch. Een instrument dat de ontleding uitvoert en de samenstelling van een licht afleest, is een spectroscoop.

Een prisma waaiert een bundel wit licht uit tot zijn spectrum; op een scherm schildert die waaier een doorlopende regenboogband.

Opmerking 2.2 (Prisma’s en regendruppels)

Het prisma werkt doordat glas violet licht iets sterker afbuigt dan rood licht — waarom het dat doet, hoort bij de studie van de breking, in Hoofdstuk 3; hier gebruiken we alleen het effect. Water doet hetzelfde werk: elke regendruppel van een voorbijtrekkende bui gedraagt zich als een piepklein prisma, dat wit zonlicht ontvangt en het op kleur gesorteerd teruggeeft. Een regenboog is het spectrum van de Zon, uitgetekend over de hemel.

Definitie 2.3 (Golflengte, de identiteitskaart van een straling)

Elke monochromatische straling wordt gekenmerkt door één getal, haar golflengte $\lambda$ , gemeten in nanometer ( $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ ). De golflengte is de identiteitskaart van de straling: geef $\lambda$ en je hebt alles gezegd wat er over de zuivere kleur te zeggen valt. Het oog reageert op golflengten tussen ongeveer $400\,\mathrm{nm}$ (violet) en $800\,\mathrm{nm}$ (rood) — het zichtbare spectrum. Voorbij beide uiteinden loopt de straling door, voor ons onzichtbaar: ultraviolet onder $400\,\mathrm{nm}$ , infrarood boven $800\,\mathrm{nm}$ . Wat de golflengte eigenlijk meet — de lengte van één rimpeling van een lichtgolf — komt aan bod in Hoofdstuk 8; in dit hoofdstuk telt het getal zelf.

Voorbeeld 2.4 (Golflengten lezen)

Een groene laserpen zendt uit op $532\,\mathrm{nm}$ : binnen het zichtbare gebied, in het groen. Een kiemdodende kwiklamp zendt uit op $254\,\mathrm{nm}$ : ultraviolet, onzichtbaar (en juist doordat het onzichtbaar is, gevaarlijk voor het oog). De diode van een televisieafstandsbediening zendt uit op $940\,\mathrm{nm}$ : infrarood — richt hem op een telefooncamera, waarvan de sensor iets voorbij $800\,\mathrm{nm}$ ziet, en de onzichtbare flitsen verschijnen op het scherm.

2.2 Continue spectra en temperatuur

Definitie 2.5 (Continu spectrum)

Dichte, hete materie — de gloeidraad van een lamp, gesmolten staal, het oppervlak van een ster — gloeit, en haar licht bevat elke golflengte over een breed gebied: een ononderbroken kleurenband waarin niets ontbreekt. Zo’n spectrum is een continu spectrum. Het draagt geen enkel spoor van de scheikundige aard van het lichaam: een witgloeiende ijzeren staaf en een witgloeiende koperen staaf gloeien gelijk. Wat het wél codeert — en volledig — is de temperatuur.

Definitie 2.6 (Absolute temperatuur)

Voor stralingswetten wordt de absolute temperatuur niet geteld vanaf het vriespunt van water maar vanaf de koudst mogelijke toestand, $-273{}^{\circ}\mathrm{C}$ . De eenheid is de kelvin (symbool $\mathrm{K}$ ), met dezelfde graadgrootte:

T \text{ (in } \mathrm{K}) = \theta \text{ (in } {}^{\circ}\mathrm{C}) + 273 .

Een kamer op $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ is dus op $293\,\mathrm{K}$ , en het oppervlak van de Zon, rond $5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ , zit rond $5800\,\mathrm{K}$ .

Propositie 2.7 (Heter betekent feller en blauwer (wet van Wien))

Wanneer de temperatuur van een dicht gloeiend lichaam stijgt, dan

straalt het bij elke golflengte meer uit: het hele spectrum wordt feller;
schuift de golflengte $\lambda_{\max}$ waarbij het het sterkst straalt naar de kant van de korte golflengten (blauw), volgens

$\lambda_{\max} \times T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K},$

waarin $T$ de absolute temperatuur in kelvin is.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 2.8 (Waar deze wet vandaan komt)

De wet van Wien vat zorgvuldige metingen samen aan ovens en gloeidraden uit het einde van de negentiende eeuw. Haar afleiding vergt de kwantumtheorie van de straling — dit spectrum is namelijk precies wat de klassieke natuurkunde niet kon verklaren, en het raadsel dat Planck dwong het kwantum te bedenken. De eerlijke afleiding wordt uitgevoerd in het volume van bachelorjaar 3.

De zichtbare band van een continu spectrum bij drie temperaturen: hoe koeler de bron, hoe zwakker de band — en het blauwe uiteinde dooft het eerst.

Voorbeeld 2.9 (De temperatuur van de Zon opmeten)

Het continue spectrum van de Zon is het felst rond $\lambda_{\max} = 500\,\mathrm{nm}$ . De wet van Wien geeft haar oppervlaktetemperatuur:

T = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5800\,\mathrm{K},

ongeveer $5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ — gemeten van $150$ miljoen kilometer afstand, met een prisma en een deling.

Intensiteit tegen golflengte voor twee sterren: de hetere straalt bij elke golflengte meer uit, en haar piek _ (gestippeld) ligt bij een kortere golflengte. — Intensiteit tegen golflengte voor twee sterren: de hetere straalt bij elke golflengte meer uit, en haar piek $\lambda_{\max}$ (gestippeld) ligt bij een kortere golflengte.

2.3 Lijnenspectra van aangeslagen gassen

Definitie 2.10 (Emissielijnenspectrum)

Een gas onder lage druk, aangeslagen door een elektrische ontlading (zoals in een neonbuis of een natriumstraatlantaarn), gloeit ook — maar door een spectroscoop bekeken lijkt zijn licht in niets op een regenboog. Slechts enkele losse golflengten zijn aanwezig: dunne heldere lijnen op een zwarte achtergrond, spectraallijnen genaamd. Zo’n spectrum is een emissielijnenspectrum.

Voorbeeld 2.11 (Waterstof en natrium)

Aangeslagen waterstof zendt in het zichtbare precies vier lijnen uit: een rode lijn op $656\,\mathrm{nm}$ , een blauwgroene op $486\,\mathrm{nm}$ en twee violette op $434\,\mathrm{nm}$ en $410\,\mathrm{nm}$ . Aangeslagen natrium zendt in wezen één sterke geeloranje lijn uit op $589\,\mathrm{nm}$ — en daarom baden oudere straatlantaarns hele wijken in die ene kleur: hun licht bevat vrijwel niets anders.

Propositie 2.12 (De vingerafdruk van de elementen)

Elk scheikundig element zendt zijn eigen vaste catalogus van spectraallijnen uit, in elk laboratorium en in elk tijdperk dezelfde, en geen twee elementen delen dezelfde catalogus. Een lijnenspectrum identificeert dus het uitzendende element, zoals een vingerafdruk een persoon identificeert.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 2.13 (Waarom lijnen?)

Waarom een atoom alleen bepaalde golflengten uitzendt — en waarom die golflengten het element verraden — verklaart de kwantumtheorie van het atoom, in het laatste jaar van dit boek: elk element bezit een ladder van energieniveaus, en elke lijn markeert één sprong tussen twee sporten. Voorlopig gebruiken we de vingerafdruk zoals rechercheurs dat doen: zonder de vingers te vragen hoe ze gegroeid zijn.

2.4 Absorptiespectra

Definitie 2.14 (Absorptiespectrum)

Stuur wit licht door een koud gas onder lage druk en ontleed wat eruit komt: de doorlopende regenboog verschijnt weer, maar doorkrast met dunne donkere lijnen. Het gas heeft bepaalde golflengten uit het passerende licht weggenomen. Zo’n spectrum — een continue achtergrond min een verzameling lijnen — is een absorptiespectrum.

Propositie 2.15 (Emissie- en absorptielijnen vallen samen)

Een gas absorbeert precies de golflengten die het zelf kan uitzenden: de donkere lijnen van het absorptiespectrum van een element liggen op dezelfde golflengten als de heldere lijnen van zijn emissiespectrum. De vingerafdruk van Propositie 2.12 laat zich dus in het donker net zo goed lezen als in het licht.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 2.16 (Eén mechanisme, twee tekens)

Dat samenvallen is geen toeval: absorberen bij $\lambda$ beklimt dezelfde energiesport die uitzenden bij $\lambda$ afdaalt — de kwantumhoofdstukken aan het einde van dit boek maken dat precies. Kirchhoff en Bunsen stelden het in 1859 vast, en het is de sleutel die de hele volgende paragraaf opent.

De twee spectra van waterstof: heldere emissielijnen (boven) en donkere absorptielijnen (onder) op precies dezelfde golflengten: 410, 434, 486 en 656\, nm. — De twee spectra van waterstof: heldere emissielijnen (boven) en donkere absorptielijnen (onder) op precies dezelfde golflengten: $410$ , $434$ , $486$ en $656\,\mathrm{nm}$ .

Voorbeeld 2.17 (Een kolf met natriumdamp)

Wit licht doorkruist een kolf met koude natriumdamp. Het doorgelaten spectrum is een volledige regenboog met één donkere lijn op $589\,\mathrm{nm}$ — precies waar een natriumlamp het felst schijnt. Kijk je in een donkere kamer van opzij naar de kolf, dan zie je het gestolen licht weer uitgezonden worden: een zwakke geeloranje glans bij diezelfde golflengte.

2.5 Spectraalanalyse: een ster lezen

Definitie 2.18 (Spectraalanalyse)

Spectraalanalyse is het vaststellen van de scheikundige elementen in een bron (een vlam, een lamp, een ster) door de lijnen van haar spectrum te vergelijken met de laboratoriumcatalogi van de elementen.

Methode 2.19 (Een sterspectrum lezen)

Een ster is een bol dichte hete materie (het oppervlak) gehuld in een ijlere, koelere atmosfeer. Haar licht komt dus aan als een continu spectrum doorkrast met absorptielijnen — en elk deel wordt apart gelezen:

Zoek de piek $\lambda_{\max}$ van de continue achtergrond; de wet van Wien (Propositie 2.7) geeft de oppervlaktetemperatuur $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / \lambda_{\max}$ .
Noteer de golflengten van de donkere lijnen.
Vergelijk ze met de catalogi: een element mag pas aanwezig worden verklaard als al zijn sterke lijnen opduiken.
Besluit: de absorptie gebeurt in de atmosfeer van de ster, dus de gevonden elementen zijn die van de atmosfeer.

Voorbeeld 2.20 (Het recept van de Zon)

Het zonnespectrum draagt duizenden donkere lijnen, in 1814 door Fraunhofer in kaart gebracht. Tot de sterkste behoren $410$ , $434$ , $486$ en $656\,\mathrm{nm}$ — de volledige vingerafdruk van waterstof — samen met de natriumlijn op $589\,\mathrm{nm}$ en een calciumpaar op $393$ en $397\,\mathrm{nm}$ . De atmosfeer van de Zon bevat vooral waterstof, plus sporen van elementen die we uit het aardse gesteente kennen. Moderne metingen scherpen de kop aan: de Zon bestaat naar massa voor ruwweg driekwart uit waterstof.

Opmerking 2.21 (Het element dat eerst in de hemel werd gevonden)

Tijdens de zonsverduistering van 1868 verscheen in het spectrum van de zonneatmosfeer een heldere lijn op $587.6\,\mathrm{nm}$ — passend bij geen enkel bekend element. Volgens Propositie 2.12 betekent een onbekende vingerafdruk een onbekend element, dus werd er een aangekondigd, genoemd naar de Griekse zon, helios: helium. Het werd pas in 1895 op Aarde geïsoleerd — het enige scheikundige element dat in de ruimte werd ontdekt voordat het thuis werd gevonden.

2.6 Oefeningen

Oefening 2.1 ★

Zeg voor elke straling of ze ultraviolet, zichtbaar of infrarood is, en geef haar kleur als ze zichtbaar is: $254\,\mathrm{nm}$ (kwiklamp), $480\,\mathrm{nm}$ , $589\,\mathrm{nm}$ , $656\,\mathrm{nm}$ , $1064\,\mathrm{nm}$ (snijlaser).

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.1.

$254\,\mathrm{nm} < 400\,\mathrm{nm}$ : ultraviolet. $480\,\mathrm{nm}$ : zichtbaar, blauw. $589\,\mathrm{nm}$ : zichtbaar, geeloranje. $656\,\mathrm{nm}$ : zichtbaar, rood. $1064\,\mathrm{nm} > 800\,\mathrm{nm}$ : infrarood — en juist dat maakt een snijlaser dubbel gevaarlijk: krachtig én onzichtbaar.

Oefening 2.2 ★

Een smalle bundel zonlicht valt op een glazen prisma.

Beschrijf wat er verschijnt op een scherm achter het prisma.
Welk uiteinde van de band is het sterkst afgebogen?
Het zonlicht wordt vervangen door de bundel van een groene laserpen. Wat verschijnt er nu op het scherm, en wat leert dat over laserlicht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.2.

1. Een doorlopende kleurenband, van rood tot violet: het spectrum van zonlicht.

2. Het violette uiteinde — het prisma buigt korte golflengten het sterkst af.

3. Eén groene vlek: wel afgebogen, maar niet uitgespreid tot een band. Laserlicht is monochromatisch — één enkele golflengte, dus valt er niets te sorteren.

Oefening 2.3 ★

Koppel elke bron aan het soort spectrum dat ze voortbrengt (continu, lijnenemissie of absorptie): (a) de gloeidraad van een gloeilamp; (b) een neonreclamebuis; (c) gesmolten ijzer in een gieterij; (d) een natriumstraatlantaarn; (e) zonlicht dat op Aarde aankomt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.3.

(a) Continu (dichte hete gloeidraad). (b) Lijnenemissie (aangeslagen gas onder lage druk). (c) Continu (dicht gesmolten metaal). (d) Lijnenemissie (in wezen de ene lijn op $589\,\mathrm{nm}$ ). (e) Absorptie: het continue spectrum van het hete oppervlak, doorkrast met de donkere lijnen van de koelere zonneatmosfeer.

Oefening 2.4 ★

Over regenbogen:

Wat speelt de rol van het prisma?
Een regenboog is alleen te zien met de Zon achter de waarnemer en regen ervoor. Wat levert elk ingrediënt?
Leg uit waarom een regenboog bewijst dat zonlicht wit licht is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.4.

1. De regendruppels: elke druppel ontvangt wit zonlicht, ontleedt het en stuurt het op kleur gesorteerd terug.

2. De Zon levert het witte licht; de regen levert miljoenen piepkleine prisma’s; de meetkunde klopt alleen voor licht dat de druppels naar de waarnemer terugsturen, en daarom moet de Zon in de rug van de waarnemer staan en de regen ervoor.

3. De druppels voegen geen eigen licht toe — ze sorteren alleen wat ze ontvangen. Als gesorteerd zonlicht elke kleur laat zien, dan zat elke kleur al in het zonlicht: zonlicht is wit licht.

Oefening 2.5 ★

Een smid verhit een ijzeren spijker: die gloeit eerst dofrood, dan feloranje, dan bijna wit.

Rangschik de drie stadia naar temperatuur.
Welke twee effecten uit Propositie 2.7 illustreert die reeks?
Verantwoord de uitdrukking “witgloeiend is heter dan roodgloeiend”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.5.

1. Dofrood $<$ feloranje $<$ bijna wit.

2. Allebei: de gloed wordt feller (effect 1) en de kleur schuift van rood naar de blauwe kant (effect 2, de krimpende piek $\lambda_{\max}$ ), zodat een steeds groter deel van de zichtbare band sterk verlicht raakt — en een volle band leest als wit.

3. Een wit gloeiend lichaam straalt sterk over de hele zichtbare band; een rood gloeiend lichaam haalt alleen het uiteinde met lange golflengten. Volgens de wet van Wien is het eerste het hetere.

Oefening 2.6 ★★

Het continue spectrum van de Zon piekt bij $\lambda_{\max} = 500\,\mathrm{nm}$ .

Bereken de oppervlaktetemperatuur van de Zon in kelvin.
Zet die om naar graden Celsius.
Ga na dat de piek binnen het zichtbare gebied ligt, en geef zijn kleur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.6.

T = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5800\,\mathrm{K}.

2. $\theta = 5800 - 273 = 5527{}^{\circ}\mathrm{C} \approx 5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

3. $400\,\mathrm{nm} < 500\,\mathrm{nm} < 800\,\mathrm{nm}$ : de piek is zichtbaar, in het groen.

Oefening 2.7 ★★

Een kaarsvlam gloeit bij ongeveer $1800\,\mathrm{K}$ ; een elektrische kookplaat op de laagste stand zit rond $500\,\mathrm{K}$ .

Bereken $\lambda_{\max}$ voor elke bron en geef het gebied.
De kookplaat is duidelijk heet — een hand erboven voelt de straling — en toch ziet ze er zwart uit. Leg uit.
Ook de piek van de kaars ligt buiten het zichtbare gebied. Waarom zien we de vlam dan toch?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.7.

1. Kaars: $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 1800\,\mathrm{K} = 1.61 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , in het infrarood. Kookplaat: $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 500\,\mathrm{K} = 5.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 5.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ , ver infrarood.

2. Bij $500\,\mathrm{K}$ is vrijwel alle straling infrarood: de huid absorbeert die en voelt warmte, maar het oog ontvangt niets — heet en toch zwart.

3. Een continu spectrum is breed: zelfs met een piek op $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ houdt het spectrum van de kaars een zichtbare staart aan de rood-gele kant — zwak, maar genoeg voor het aan het donker gewende oog.

Oefening 2.8 ★★

Laboratoriumcatalogi geven, in het zichtbare: waterstof $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; natrium $\{589\}\,\mathrm{nm}$ ; helium $\{447, 502, 588, 668\}\,\mathrm{nm}$ . Twee ontladingslampen worden onderzocht. Lamp A vertoont lijnen op $434$ , $486$ en $656\,\mathrm{nm}$ , plus een zwakke violette lijn aan de rand van het zichtbare; lamp B vertoont één sterke lijn op $589\,\mathrm{nm}$ . Identificeer het gas in elke lamp, en verantwoord zorgvuldig waarom lamp B geen helium bevat.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.8.

Lamp A: de lijnen $434$ , $486$ en $656\,\mathrm{nm}$ passen bij waterstof, en de zwakke violette lijn maakt de catalogus compleet op $410\,\mathrm{nm}$ : waterstof.

Lamp B: de lijn ligt op $589\,\mathrm{nm}$ , de enige sterke zichtbare lijn van natrium. Helium wordt niet uitgesloten door die lijn zelf (helium bezit inderdaad een lijn op het nabije $588\,\mathrm{nm}$ ) maar door de ontbrekende lijnen: helium zou ook $447$ , $502$ en $668\,\mathrm{nm}$ tonen, en geen ervan verschijnt. Een element wordt geïdentificeerd door zijn volledige catalogus: lamp B bevat natrium.

Oefening 2.9 ★★

Wit licht wordt door een kolf met koude natriumdamp gestuurd.

Beschrijf het spectrum van het doorgelaten licht.
Op welke golflengte ligt de donkere lijn, en waarom precies daar?
De lamp gaat uit, de kamer wordt verduisterd, en de damp wordt nu door een ontlading aangeslagen. Beschrijf het nieuwe spectrum.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.9.

1. Een doorlopende regenboog met één dunne donkere lijn erin: het absorptiespectrum van natrium.

2. Op $589\,\mathrm{nm}$ : een gas absorbeert precies de golflengten die het kan uitzenden (Propositie 2.15), en de sterke zichtbare lijn van natrium ligt op $589\,\mathrm{nm}$ .

3. Het emissiespectrum van natrium: één heldere geeloranje lijn op $589\,\mathrm{nm}$ op een zwarte achtergrond — dezelfde golflengte, met licht en donker verwisseld tussen de twee spectra.

Oefening 2.10 ★★

Een spectrum van de Zon met hoge resolutie toont donkere lijnen op $410$ , $434$ , $486$ , $517$ , $518$ en $656\,\mathrm{nm}$ . Catalogi: waterstof $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; magnesium $\{517, 518\}\,\mathrm{nm}$ .

Welke elementen onthullen deze lijnen?
In welk deel van de Zon ontstaan de lijnen, en waarom zijn ze donker en niet helder?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.10.

1. $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ : de volledige catalogus van waterstof. $517$ en $518\,\mathrm{nm}$ : het magnesiumpaar. Beide elementen zijn aanwezig.

2. In de atmosfeer van de Zon, het koelere en ijlere gas boven het gloeiende oppervlak. Het oppervlak stuurt een continu spectrum omhoog; de atmosfeer haalt haar eigen golflengten uit het passerende licht, zodat de lijnen als ontbrekend licht verschijnen — donker tegen de heldere achtergrond.

Oefening 2.11 ★★

Je lichaam heeft een oppervlaktetemperatuur van ongeveer $37{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Zet die om naar kelvin en bereken de $\lambda_{\max}$ van je eigen warmtestraling.
In welk gebied valt die?
Leid daaruit af waarom niemand zichtbaar gloeit in een donkere kamer, en hoe een warmtebeeldcamera mensen tóch vindt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.11.

1. $T = 37 + 273 = 310\,\mathrm{K}$ , dus

\lambda_{\max} = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{310\,\mathrm{K}} = 9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 9.4\,\text{µ}\mathrm{m}.

2. Ver infrarood — meer dan tien keer de golflengte van rood licht.

3. Bij $310\,\mathrm{K}$ is het zichtbare deel van de straling volstrekt verwaarloosbaar: geen zichtbare gloed, hoe donker de kamer ook is. Een warmtebeeldcamera draagt een sensor die is afgestemd op de straling die werkelijk wordt uitgezonden, rond $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ , en ziet warme lichamen oplichten tegen koelere omgeving.

Oefening 2.12 ★★★

De wolfraamgloeidraad van een gloeilamp werkt op $2700\,\mathrm{K}$ .

Bereken $\lambda_{\max}$ en geef het gebied.
Leg uit waarom zulke lampen slechte lichtbronnen maar uitstekende kacheltjes zijn.
Welke gloeidraadtemperatuur zou $\lambda_{\max}$ op $550\,\mathrm{nm}$ leggen, midden in het zichtbare? Wolfraam smelt bij $3700\,\mathrm{K}$ ; besluit waarom geen enkele gloeilamp daglicht kan nabootsen, en waarom de verlichting op andere technieken is overgestapt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.12.

1. $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2700\,\mathrm{K} = 1.07 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : nabij infrarood.

2. Het spectrum piekt voorbij het zichtbare: het grootste deel van het elektrisch vermogen keert terug als onzichtbaar infrarood — dus als warmte — en slechts een kleine zichtbare staart verlicht de kamer. Als lamp verspilt de gloeilamp het meeste van haar vermogen; als kacheltje is ze bijna volmaakt.

3. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 5.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 5300\,\mathrm{K}$ — ver boven het smeltpunt van wolfraam, $3700\,\mathrm{K}$ . Geen enkele vaste gloeidraad laat zich tot daglichttemperaturen opdrijven, dus moesten daglichtachtige lampen het gloeien helemaal opgeven (tl-buizen, leds) en zichtbaar licht maken zonder een lichaam tot $5300\,\mathrm{K}$ te verhitten.

Oefening 2.13 ★★★

Het spectrum van een ster toont een continue achtergrond met een piek op $420\,\mathrm{nm}$ , doorkrast met donkere lijnen op $393$ , $397$ , $410$ , $434$ , $486$ en $656\,\mathrm{nm}$ . Catalogi: waterstof $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; calcium $\{393, 397\}\,\mathrm{nm}$ ; natrium $\{589\}\,\mathrm{nm}$ .

Bereken de oppervlaktetemperatuur van de ster. Is ze heter of koeler dan de Zon?
Welke elementen bevat haar atmosfeer met zekerheid?
Is natrium overvloedig in die atmosfeer? Verantwoord.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.13.

1. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 4.20 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 6900\,\mathrm{K}$ : heter dan de $5800\,\mathrm{K}$ van de Zon.

2. Waterstof (de volledige reeks $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ is aanwezig) en calcium (beide lijnen, $393$ en $397\,\mathrm{nm}$ ).

3. Nee. De natriumlijn op $589\,\mathrm{nm}$ ontbreekt, terwijl overvloedig natrium in de atmosfeer die lijn noodzakelijk op de continue achtergrond zou afdrukken. Als er al natrium is, dan alleen in sporen die te zwak zijn om te meten.

Oefening 2.14 ★★★

Een ontladingslamp bevat een mengsel van twee gassen. Haar spectrum toont lijnen op $410$ , $434$ , $447$ , $486$ , $502$ , $588$ , $656$ en $668\,\mathrm{nm}$ . Gebruik de catalogi van Oefening 2.8:

Identificeer de twee gassen.
Een klasgenoot beweert dat de lijn op $588\,\mathrm{nm}$ bewijst dat de lamp ook natrium bevat (lijn op $589\,\mathrm{nm}$ ), omdat een goedkope spectroscoop golflengten die $1\,\mathrm{nm}$ uit elkaar liggen niet kan scheiden. Waarom is helium, zonder beter instrument, een afdoende verklaring van die lijn — en welke meting zou de vraag naar natrium definitief beslechten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.14.

1. Waterstof verklaart $410$ , $434$ , $486$ en $656\,\mathrm{nm}$ ; helium verklaart $447$ , $502$ , $588$ en $668\,\mathrm{nm}$ . Elke waargenomen lijn is verantwoord: het mengsel is waterstof en helium.

2. Helium is een afdoende verklaring omdat zijn drie andere lijnen ( $447$ , $502$ , $668\,\mathrm{nm}$ ) alle aanwezig zijn — de lijn op $588\,\mathrm{nm}$ is dan uit helium alleen al te verwachten, en niets in het spectrum vereist natrium. Om de kwestie te beslechten is geen discussie nodig maar oplossend vermogen: een fijnere spectroscoop scheidt de enkele heliumlijn op $587.6\,\mathrm{nm}$ van die van natrium, dat er in werkelijkheid een dicht paar heeft op $589.0$ en $589.6\,\mathrm{nm}$ . Zie je daar één lijn, dan gaat natrium vrijuit; zie je er drie, dan is het veroordeeld.

Oefening 2.15 ★★★

In het sterrenbeeld Orion gloeit Betelgeuze zichtbaar rood en Rigel blauwwit. Hun continue spectra pieken op respectievelijk ongeveer $850\,\mathrm{nm}$ en $240\,\mathrm{nm}$ .

Bereken beide oppervlaktetemperaturen.
Haal de verhouding van de twee temperaturen rechtstreeks uit de twee golflengten, zonder een van beide temperaturen opnieuw te berekenen.
Verklaar de twee kleuren, gegeven dat geen van beide pieken in het zichtbare gebied ligt.
Beide sterren zijn helder met het blote oog. Waarom maakt een piek buiten het zichtbare gebied een ster niet onzichtbaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.15.

1. Betelgeuze: $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 8.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 3400\,\mathrm{K}$ . Rigel: $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 12\,000\,\mathrm{K}$ .

2. Omdat $\lambda_{\max} \times T$ voor allebei dezelfde constante is, geldt $\dfrac{T_{\text{Rigel}}}{T_{\text{Betelgeuze}}} = \dfrac{850\,\mathrm{nm}}{240\,\mathrm{nm}} \approx 3.5$ .

3. Betelgeuze piekt in het infrarood: binnen de zichtbare band is haar spectrum het sterkst aan de rode kant, dus de ster oogt rood. Rigel piekt in het ultraviolet: haar zichtbare band is het sterkst aan de blauwe kant, vandaar blauwwit.

4. Een continu spectrum bestrijkt een reusachtig golflengtegebied. Zelfs met haar piek buiten de zichtbare band giet een ster volop licht in die band — de piek bepaalt de tint, niet de zichtbaarheid.

2.7 Probleem: Sterrenlicht lezen

Probleem 2.1

Weekendopgave — sterrenlicht lezen: de filosoof die “nooit” zei, en hoe een prisma de temperatuur van een ster opneemt en haar scheikundig recept afleest

In 1835 zocht de filosoof Auguste Comte een voorbeeld van kennis die voor altijd buiten menselijk bereik zou blijven, en hij koos zorgvuldig: de scheikundige samenstelling van de sterren. Niemand zou ooit een ster in een fles vangen. In 1859 legden Kirchhoff en Bunsen de donkere lijnen van de Zon naast de heldere lijnen van laboratoriumvlammen, en de onbereikbare kennis kwam per kerende lichtstraal binnen. Deze opgave loopt de hele weg opnieuw af: vingerafdrukken in het laboratorium, gloeiende lichamen, de donkere lijnen van de Zon — en ten slotte een ster waarvan je temperatuur en samenstelling vanaf je bureau bepaalt.

Deel I — Vingerafdrukken in het archief.

Geef het zichtbare golflengtegebied in nanometer en de kleur aan elk uiteinde. Waar ligt $550\,\mathrm{nm}$ ?
Een waterstofontladingslamp toont lijnen op $410$ , $434$ , $486$ en $656\,\mathrm{nm}$ . Geef de kleur van elke lijn.
Een natriumlamp zendt in wezen één lijn uit op $589\,\mathrm{nm}$ . Hoe ziet die lamp er voor het oog uit, en waarom is het hopeloos om onder zo’n straatlantaarn de kleur van een geparkeerde auto te beoordelen?
Leg uit waarom een stel spectraallijnen een element identificeert — en waarom alle sterke lijnen van een element gevonden moeten zijn voordat je het aanwezig verklaart.
Voorspel het spectrum dat je ziet (a) wanneer wit licht een kolf met koude natriumdamp doorkruist, en (b) wanneer dezelfde damp, alleen in een donkere kamer, door een ontlading wordt aangeslagen.

Deel II — Hete lichamen en hun kleuren.

Noem de twee gevolgen die een hogere temperatuur van een dicht gloeiend lichaam heeft voor zijn continue spectrum.
Een halogeengloeidraad werkt op $3400\,\mathrm{K}$ . Bereken $\lambda_{\max}$ en geef het gebied.
Het continue spectrum van de Zon piekt op $500\,\mathrm{nm}$ . Bereken haar oppervlaktetemperatuur.
Die piek ligt in het groen — en toch ziet de Zon er niet groen uit. Leg uit.
Een pook die in de smidse blijft liggen, wordt eerst op afstand gevoeld zonder dat er iets gloeit, gloeit dan dofrood, dan oranjewit. Verklaar de hele reeks met vraag 6.

Deel III — De donkere lijnen van de Zon.

Het zonnespectrum is een continue band, doorkruist door duizenden fijne donkere lijnen. Welk deel van de Zon brengt de continue achtergrond voort, en welk deel de lijnen?
Sterke zonnelijnen liggen op $393$ , $397$ , $410$ , $434$ , $486$ , $589$ en $656\,\mathrm{nm}$ . Catalogi: waterstof $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; natrium $\{589\}\,\mathrm{nm}$ ; calcium $\{393, 397\}\,\mathrm{nm}$ . Welke elementen zijn aanwezig in de atmosfeer van de Zon?
De waterstoflijnen zijn veruit de sterkste. Wat suggereert dat over de samenstelling van de Zon — en wat zeggen moderne metingen?
In 1868 paste een lijn op $587.6\,\mathrm{nm}$ , waargenomen in de zonneatmosfeer, bij geen enkele catalogus. Reconstrueer de redenering die het aankondigen van een nieuw element rechtvaardigde, en vertel hoe het verhaal afliep.
Waarom zijn de zonnelijnen donker, terwijl dezelfde atomen in een laboratoriumontlading heldere lijnen geven? Tijdens een totale zonsverduistering blijft een paar seconden lang alleen de ijle atmosfeer van de Zon zichtbaar tegen een donkere hemel — en dan lichten dezelfde lijnen helder op. Leg uit.

Deel IV — Een ster op je bureau. Het spectrum van de heldere ster Wega ligt voor je: een continue achtergrond met een piek op $290\,\mathrm{nm}$ , doorkrast met sterke donkere lijnen op $410$ , $434$ , $486$ en $656\,\mathrm{nm}$ .

Bereken de oppervlaktetemperatuur van Wega.
De piek ligt in het ultraviolet. Voorspel de schijnbare kleur van de ster, en verzoen “piek buiten het zichtbare” met “heldere ster”.
Identificeer het element dat de atmosfeer van Wega beheerst.
Vergelijk Wega met de Zon: temperatuurverhouding, kleur en felheid per eenheid gloeiend oppervlak.
Slot — vul het identiteitsformulier in dat Comte onmogelijk verklaarde: temperatuur, overheersend element en schijnbare kleur van Wega, alles afgelezen uit één bundel licht. Hoeveel jaar heeft “nooit” geduurd?

Oplossing

Oplossing van Probleem 2.1.

1. Van ongeveer $400\,\mathrm{nm}$ (violette uiteinde) tot ongeveer $800\,\mathrm{nm}$ (rode uiteinde); $550\,\mathrm{nm}$ ligt ongeveer in het midden, in het groen.

2. $410\,\mathrm{nm}$ : violet; $434\,\mathrm{nm}$ : violetblauw; $486\,\mathrm{nm}$ : blauwgroen; $656\,\mathrm{nm}$ : rood.

3. Een monochromatische geeloranje gloed. De kleur van een auto is het mengsel van golflengten dat haar lak weerkaatst; onder een lamp die alleen $589\,\mathrm{nm}$ aanbiedt, kan elke lak niet anders dan meer of minder van die ene golflengte terugkaatsen — alle auto’s verschijnen in tinten oranje en grijs.

4. Elk element zendt een vaste catalogus lijnen uit, en geen twee elementen delen dezelfde catalogus (Propositie 2.12): een volledige reeks lijnen identificeert het element dus als een vingerafdruk. Maar een gedeeltelijke overeenkomst bewijst weinig — verschillende elementen kunnen bijna samenvallende losse lijnen bezitten (helium op $588\,\mathrm{nm}$ , natrium op $589\,\mathrm{nm}$ ) — en daarom vraagt de bewering “aanwezig” om alle sterke lijnen van de catalogus.

5. (a) Een doorlopende regenboog met een donkere lijn op $589\,\mathrm{nm}$ : het absorptiespectrum. (b) Eén heldere lijn op $589\,\mathrm{nm}$ op zwart: het emissiespectrum — dezelfde golflengte, met helder en donker verwisseld (Propositie 2.15).

6. Het spectrum wordt bij elke golflengte feller, en zijn piek $\lambda_{\max}$ schuift naar kortere golflengten, volgens $\lambda_{\max} \times T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (Propositie 2.7).

7. $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 3400\,\mathrm{K} = 8.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 850\,\mathrm{nm}$ : nabij infrarood, net voorbij de rode rand — en daarom oogt halogeenlicht warmer van toon dan daglicht.

8. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 5800\,\mathrm{K}$ .

9. De piek is flauw, geen naald: de Zon zendt de hele zichtbare band met vergelijkbare sterkte uit. Een volle band kleuren door elkaar leest als wit — de Zon oogt wit (geelachtig door onze atmosfeer heen), nooit groen.

10. Koude pook: piek diep in het infrarood, geen zichtbare staart — de straling wordt gevoeld, er is niets te zien. Heter: het feller wordende spectrum duwt een eerste zichtbare staart voorbij $800\,\mathrm{nm}$ — alleen de rode kant licht op: dofrood. Nog heter: de hele zichtbare band vult zich terwijl alles feller wordt: oranje, en dan richting wit.

11. De continue achtergrond komt van het dichte, hete gloeiende oppervlak; de donkere lijnen worden erop afgedrukt door de koelere, ijlere atmosfeer erboven, die haar eigen golflengten uit het passerende licht wegneemt.

12. Waterstof ( $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ : volledig), natrium ( $589\,\mathrm{nm}$ ) en calcium ( $393$ en $397\,\mathrm{nm}$ : allebei) — alle drie zijn aanwezig in de atmosfeer van de Zon.

13. Dat de atmosfeer door waterstof wordt beheerst. Moderne metingen bevestigen dat en zetten er een getal op: de Zon bestaat naar massa voor ruwweg driekwart uit waterstof, en de rest is grotendeels helium.

14. De lijn paste bij geen enkel bekend element; omdat de catalogus van elk element vast en uniek is, moet een lijn die bij geen enkele catalogus hoort, bij een element horen dat nog nooit in een laboratorium is gezien. Er werd een nieuw element aangekondigd, helium genoemd naar helios, de Zon. Het werd in 1895 op Aarde geïsoleerd — de voorspelling bevestigd, zevenentwintig jaar later.

15. Tegen de schitterende continue achtergrond haalt de atmosfeer licht weg bij haar eigen golflengten: donkere lijnen. Tijdens de verduistering blokkeert de Maan de achtergrond; de ijle atmosfeer staat dan alleen tegen een donkere hemel en het licht dat zij weer uitzendt is alles wat er te zien valt: dezelfde golflengten, nu helder. Eén gas, één catalogus — het teken hangt af van wat erachter staat.

16. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2.90 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 10\,000\,\mathrm{K}$ .

17. Blauwwit: binnen de zichtbare band is het spectrum het sterkst aan de blauwe kant. En van onzichtbaarheid is geen sprake: het continue spectrum overspoelt de hele zichtbare band op weg naar de ultraviolette piek — de piek legt de tint vast, niet de helderheid.

18. De donkere lijnen $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ vormen de volledige vingerafdruk van waterstof: waterstof beheerst de atmosfeer van Wega.

19. $T_{\text{Wega}} / T_{\text{Zon}} = 10000 / 5800 \approx 1.7$ : Wega is heter, dus blauwer (piek op $290\,\mathrm{nm}$ tegen $500\,\mathrm{nm}$ ) en, volgens het eerste deel van Propositie 2.7, bij elke golflengte feller per eenheid gloeiend oppervlak.

20. Identiteitsformulier van Wega — oppervlaktetemperatuur: ongeveer $10\,000\,\mathrm{K}$ ; overheersend element van de atmosfeer: waterstof; schijnbare kleur: blauwwit. Alles afgelezen uit één bundel licht, met een prisma, een catalogus van laboratoriumlijnen en één deling. Comtes “nooit” werd in 1835 uitgesproken en verliep in 1859: het heeft vierentwintig jaar geduurd.