Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

8Signalen en golven

Elke boodschap die je ooit hebt ontvangen kwam binnen als een signaal: een stem die op je trommelvlies drukte, deze bladzijde die je als een flikkering radiogolf bereikte. Achter al die verscheidenheid zit één idee — een natuurkundige grootheid die met de tijd verandert — en één gereedschapskist: periode, frequentie, amplitude en de kunst van het klokken van een vertraging. Daarmee meet een boot de zeebodem en telt een arts hartslagen.

8.1 Signalen dragen informatie

Definitie 8.1 (Signaal)

Een signaal is een natuurkundige grootheid die met de tijd verandert om informatie te dragen: de luchtdruk op je trommelvlies, de spanning op de klemmen van een microfoon, de helderheid van het licht in een glasvezel. Om een signaal te bestuderen neem je het op als functie van de tijd en lees je de informatie van de kromme af.

In een telefoongesprek wisselt dezelfde informatie herhaaldelijk van drager: druk in de lucht, dan spanning in de microfoon, dan radiogolven bij de antenne — en aan de andere kant weer terug. Eén woordenschat bedient ze allemaal; dit hoofdstuk bouwt die op.

8.2 Periodieke signalen

Definitie 8.2 (Periodiek signaal, periode)

Een signaal is periodiek wanneer het zich op regelmatige tijdsafstanden identiek herhaalt. De periode $T$ is de duur van één volledige cyclus, in seconde.

Definitie 8.3 (Frequentie)

De frequentie van een periodiek signaal is het aantal cycli per seconde:

f = \frac{1}{T} .

De eenheid, één cyclus per seconde, is de hertz ( $\mathrm{Hz}$ ), met de gebruikelijke veelvouden $\mathrm{kHz}$ , $\mathrm{MHz}$ en $\mathrm{GHz}$ .

Definitie 8.4 (Amplitude)

De amplitude van een periodiek signaal is de maximale afwijking van de rustwaarde. Voor een spanning die symmetrisch om nul slingert, is de amplitude de topwaarde; van top tot dal meet je tweemaal de amplitude (de top-tot-topwaarde).

Voorbeeld 8.5 (Netspanning en kamertoon)

De netspanning slingert met $f = 50\,\mathrm{Hz}$ : haar periode is $T = 1/f = 0.020\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$ . De kamertoon a van een orkest is een druksignaal van $440\,\mathrm{Hz}$ : één cyclus duurt $T = 1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ . Hogere frequentie, kortere cyclus: $f$ en $T$ zijn elkaars omgekeerde.

Een periodiek signaal: het patroon herhaalt zich om de T seconden, en de amplitude is de maximale afwijking van de rustwaarde. — Een periodiek signaal: het patroon herhaalt zich om de $T$ seconden, en de amplitude is de maximale afwijking van de rustwaarde.

8.3 Een oscillogram lezen

Definitie 8.6 (Oscilloscoop)

Een oscilloscoop zet een spanning uit tegen de tijd; de kromme op het geruite scherm is een oscillogram. Twee instellingen zetten hokjes op het scherm om in natuurkundige waarden: de tijdbasis (seconden per horizontaal hokje) en de verticale gevoeligheid (volt per verticaal hokje).

Methode 8.7 (Van scherm naar getallen)

Tel de horizontale hokjes die één volledige cyclus beslaat (van top tot top is het veiligst); vermenigvuldig met de tijdbasis om $T$ te krijgen, en daarna $f = 1/T$ .
Tel de verticale hokjes van de middellijn tot een top en vermenigvuldig met de gevoeligheid om de amplitude te krijgen (van top tot dal krijg je de top-tot-topwaarde: halveer die).

Voorbeeld 8.8 (Een volledige aflezing)

Op het oscillogram hieronder staat de tijdbasis op $5\,\mathrm{ms}$ per hokje en de gevoeligheid op $2\,\mathrm{V}$ per hokje. Eén cyclus beslaat $4.0$ hokjes: $T = 4.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 20\,\mathrm{ms}$ en $f = 1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ — opnieuw het lichtnet. Een top ligt $3.0$ hokjes boven de as: de amplitude is $3.0 \times 2\,\mathrm{V} = 6.0\,\mathrm{V}$ .

Een oscillogram, tijdbasis 5\, ms/hokje en gevoeligheid 2\, V/hokje: één cyclus beslaat 4.0 hokjes (T = 20\, ms, f = 50\, Hz) en de top ligt 3.0 hokjes hoger (amplitude 6.0\, V). — Een oscillogram, tijdbasis $5\,\mathrm{ms}$ /hokje en gevoeligheid $2\,\mathrm{V}$ /hokje: één cyclus beslaat $4.0$ hokjes ( $T = 20\,\mathrm{ms}$ , $f = 50\,\mathrm{Hz}$ ) en de top ligt $3.0$ hokjes hoger (amplitude $6.0\,\mathrm{V}$ ).

8.4 Geluid en elektromagnetische signalen

Definitie 8.9 (Geluid)

Geluid is een druksignaal: een trillend voorwerp — een snaar, een vlies, stembanden — duwt ritmisch tegen de lucht, en de verdichtingen reizen naar buiten met ongeveer $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een microfoon zet de aankomende druk om in een spanning; het trommelvlies zet haar om in zenuwprikkels. Geluid heeft een tussenstof nodig: een bel die onder een vacuümstolp wordt geluid, verstomt naarmate de lucht wordt weggepompt.

Definitie 8.10 (Golf)

Een reizende verstoring — het verdichtingspatroon van geluid, de rimpeling op een vijver, een radiopuls — is een golf. De tussenstof, als die er is, blijft ter plaatse: elk plekje water dobbert op zijn plaats terwijl de rimpeling de vijver oversteekt. De meetkunde van golven — golflengte, interferentie, buiging — komt in een later hoofdstuk aan bod; dit hoofdstuk heeft alleen hun snelheden nodig.

Definitie 8.11 (Ultrageluid en infrageluid)

Het menselijk oor hoort geluid tussen ongeveer $20\,\mathrm{Hz}$ en $20\,\mathrm{kHz}$ (de bovengrens zakt met de jaren). Geluid boven $20\,\mathrm{kHz}$ heet ultrageluid — vleermuizen jagen op $50\,\mathrm{kHz}$ , medische scanners brengen het lichaam in beeld op enkele megahertz. Geluid onder $20\,\mathrm{Hz}$ heet infrageluid, gevoeld door olifanten en seismometers.

Propositie 8.12 (Elektromagnetische signalen)

Radio, wifi en licht zijn elektromagnetische signalen: één familie, die alle door vacuüm reizen — er is geen tussenstof nodig — en alle met één snelheid, de lichtsnelheid uit Hoofdstuk 3,

c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \quad \text{(in lucht vrijwel dezelfde).}

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 8.13

Hier is dat een experimenteel feit — zonlicht doorkruist $150$ miljoen kilometer lege ruimte; het volume van bachelorjaar 2 leidt het eerlijk af uit de wetten van elektriciteit en magnetisme. Houd het contrast vast: geluid is een trilling van de tussenstof en sterft zonder haar; een elektromagnetisch signaal draagt zijn eigen veld door het vacuüm, een miljoen keer sneller.

Geluidsfrequenties op een logaritmische schaal (elke stap × 10). Het oor hoort van 20\, Hz tot 20\, kHz; daaronder ligt infrageluid, daarboven ultrageluid. — Geluidsfrequenties op een logaritmische schaal (elke stap $\times 10$ ). Het oor hoort van $20\,\mathrm{Hz}$ tot $20\,\mathrm{kHz}$ ; daaronder ligt infrageluid, daarboven ultrageluid.

8.5 Echo’s: afstanden uit vertragingen

Een signaal dat met snelheid $v$ beweegt, legt in een tijd $t$ een afstand $d = v\,t$ af: elke vertraging is een vermomde afstand. Beter nog: stuur een korte puls naar een obstakel en klok zijn echo — de heen-en-terugweg beslaat $2d$ .

Methode 8.14 (Afstandsmeting met een echo)

Stuur een korte puls; meet de heen-en-terugtijd $t$ van de echo.
Neem de snelheid $v$ van het signaal in de doorkruiste tussenstof.
De puls legde $2d = v\,t$ af, dus $d = \dfrac{v\,t}{2}$ .

Geluidspulsen in water maken sonar ( $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); radiopulsen in lucht maken radar ( $v = c$ ); pulsen ultrageluid in het lichaam maken de medische scanner ( $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in zacht weefsel).

Voorbeeld 8.15 (Sonar)

De sonar van een schip zendt een ping uit en de echo van de zeebodem komt terug na $t = 0.80\,\mathrm{s}$ : de diepte is $d = \frac{1500 \times 0.80}{2} = 600\,\mathrm{m}$ . Wie de factor $2$ vergeet, verdubbelt de oceaan.

Een sonarping reist omlaag en terug: de gemeten vertraging t beslaat 2d, dus is de diepte d = v\,t/2 met v 1500\, m/ s in zeewater. — Een sonarping reist omlaag en terug: de gemeten vertraging $t$ beslaat $2d$ , dus is de diepte $d = v\,t/2$ met $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in zeewater.

Voorbeeld 8.16 (Radar)

Een luchthavenradar ontvangt de echo van een vliegtuig $0.30\,\mathrm{ms}$ na de puls: $d = \frac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}}{2} = 45\,\mathrm{km}$ . Omdat $c$ zo groot is, leeft radar op klokken van microseconden: licht klokken is precisiewerk.

Voorbeeld 8.17 (Het hart als signaal)

Elke hartslag stuurt een kleine spanningspuls door de borstkas; elektroden nemen die op als het elektrocardiogram (ecg), een vrijwel periodiek signaal. Liggen de hoge pieken $T = 0.75\,\mathrm{s}$ uit elkaar, dan klopt het hart met $f = 1/0.75 = 1.33\,\mathrm{Hz}$ , dus $1.33 \times 60 = 80$ slagen per minuut: $T$ van een strook aflezen is hoe een cardioloog je pols opneemt.

8.6 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Bereken de frequentie van het periodieke signaal met periode (a) $T = 20\,\mathrm{ms}$ ; (b) $T = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; (c) $T = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

$f = 1/T$ : (a) $1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; (b) $1/4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} = 250\,\mathrm{Hz}$ ; (c) $1/5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{kHz}$ .

Oefening 8.2 ★

Bereken de periode van (a) het lichtnet van $50\,\mathrm{Hz}$ ; (b) een kamertoon a van $440\,\mathrm{Hz}$ ; (c) een wifisignaal van $2.4\,\mathrm{GHz}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

$T = 1/f$ : (a) $20\,\mathrm{ms}$ ; (b) $1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ ; (c) $1/2.4 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} = 0.42\,\mathrm{ns}$ .

Oefening 8.3 ★

Deel in bij infrageluid, hoorbaar geluid of ultrageluid: $12\,\mathrm{Hz}$ ; $440\,\mathrm{Hz}$ ; $18\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ (een parkeersensor van een auto); $5\,\mathrm{MHz}$ (een medische sonde).

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

$12\,\mathrm{Hz}$ : infrageluid. $440\,\mathrm{Hz}$ en $18\,\mathrm{kHz}$ : hoorbaar (de laatste alleen voor jonge oren). $40\,\mathrm{kHz}$ en $5\,\mathrm{MHz}$ : ultrageluid.

Oefening 8.4 ★

Op een oscilloscoop met $2\,\mathrm{ms}$ per hokje en $0.5\,\mathrm{V}$ per hokje beslaat één cyclus $5.0$ hokjes en ligt een top $4.0$ hokjes boven de as. Bepaal $T$ , $f$ en de amplitude.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

$T = 5.0 \times 2\,\mathrm{ms} = 10\,\mathrm{ms}$ , dus $f = 100\,\mathrm{Hz}$ ; amplitude $4.0 \times 0.5\,\mathrm{V} = 2.0\,\mathrm{V}$ .

Oefening 8.5 ★

Je ziet de bliksem en hoort $6.0\,\mathrm{s}$ later de donder. Hoever weg sloeg hij in ( $v_{\text{geluid}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )? Waarom mag je de reistijd van het licht verwaarlozen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

$d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m} \approx 2.0\,\mathrm{km}$ . Licht legt dat af in $2040/(3.00\times10^{8}) \approx 7\,\text{µ}\mathrm{s}$ , een miljoen keer minder dan $6.0\,\mathrm{s}$ : de flits markeert het ogenblik van de inslag.

Oefening 8.6 ★★

Een sonarecho komt na $0.60\,\mathrm{s}$ terug van de zeebodem ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in zeewater). Waarom moet het product $v\,t$ gehalveerd worden? Bereken de diepte. Hoe lang zou de echo erover doen boven een trog van $1200\,\mathrm{m}$ diep?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

Het geluid gaat omlaag en terug en legt dus $2d$ af: $d = \frac{1500 \times 0.60}{2} = 450\,\mathrm{m}$ . Boven de trog: $t = 2d/v = 2 \times 1200/1500 = 1.6\,\mathrm{s}$ .

Oefening 8.7 ★★

Een luchthavenradar ontvangt de echo van een vliegtuig na $0.24\,\mathrm{ms}$ en, precies $1.0\,\mathrm{s}$ later, een tweede echo na $0.238\,\mathrm{ms}$ . Bereken de twee afstanden en daarna de snelheid van het vliegtuig. Komt het dichterbij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

$d_1 = \frac{3.00\times10^{8} \times 2.4\times10^{-4}}{2} = 36.0\,\mathrm{km}$ en $d_2 = 35.7\,\mathrm{km}$ : het vliegtuig legde $300\,\mathrm{m}$ af in $1.0\,\mathrm{s}$ , dus $v = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , naderend.

Oefening 8.8 ★★

Een ecg wordt afgedrukt op $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; de hoge pieken liggen $20\,\mathrm{mm}$ uit elkaar. Bepaal de periode en de hartslag in slagen per minuut. Tachycardie betekent meer dan $100$ slagen per minuut: onder welke piekafstand is dat op dit papier te zien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

$T = 20\,\mathrm{mm}/25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} = 0.80\,\mathrm{s}$ , dus $f = 1.25\,\mathrm{Hz}$ : $75$ slagen per minuut. Voor $100$ slagen per minuut is $T = 0.60\,\mathrm{s}$ , dus $25 \times 0.60 = 15\,\mathrm{mm}$ : tachycardie is zichtbaar onder $15\,\mathrm{mm}$ .

Oefening 8.9 ★★

Je moet een signaal van $200\,\mathrm{Hz}$ met amplitude $3.0\,\mathrm{V}$ tonen op een scherm van $10$ horizontale en $8$ verticale hokjes ( $4$ boven de middellijn). Kies een tijdbasis die ongeveer twee volledige cycli laat zien, en een gevoeligheid die het grootste deel van het scherm gebruikt zonder af te knippen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

$T = 1/200 = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; twee cycli duren $10\,\mathrm{ms}$ , verdeeld over $10$ hokjes: tijdbasis $1\,\mathrm{ms}$ per hokje. De top moet binnen $4$ hokjes passen: gevoeligheid minstens $3.0/4 = 0.75\,\mathrm{V}$ per hokje — neem $1\,\mathrm{V}$ per hokje (top $3.0$ hokjes hoog).

Oefening 8.10 ★★

Een medische sonde stuurt een puls ultrageluid de buik in ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in zacht weefsel) en hoort echo’s na $40\,\text{µ}\mathrm{s}$ (voorwand van een orgaan) en $60\,\text{µ}\mathrm{s}$ (achterwand). Bepaal de diepte van elke wand en de dikte van het orgaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

$d = v\,t/2$ : voorwand $\frac{1540 \times 4.0\times10^{-5}}{2} = 3.1\,\mathrm{cm}$ ; achterwand $\frac{1540 \times 6.0\times10^{-5}}{2} = 4.6\,\mathrm{cm}$ ; de dikte is ongeveer $1.5\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 8.11 ★★

Een concert wordt rechtstreeks uitgezonden. Wie hoort een trommelslag het eerst: een toehoorder op $30\,\mathrm{m}$ van het podium, of een radioluisteraar op $3000\,\mathrm{km}$ ? Hoeveel eerder?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

Geluid: $30/340 = 0.088\,\mathrm{s}$ . Radio: $3.0\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 0.010\,\mathrm{s}$ . De verre radioluisteraar hoort de trom het eerst, ongeveer $78\,\mathrm{ms}$ eerder.

Oefening 8.12 ★★★

Een vleermuis zendt pulsen ultrageluid uit van $3.0\,\mathrm{ms}$ en kan geen echo horen terwijl ze nog uitzendt. Binnen welke afstand is een mot onvindbaar? Wat is de echovertraging voor een mot op $1.7\,\mathrm{m}$ ? Waarom moet de vleermuis haar pulsen inkorten bij de eindaanval?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

Terwijl ze $3.0\,\mathrm{ms}$ lang uitzendt, is de vleermuis doof voor echo’s, dus voor alles binnen $d = \frac{340 \times 3.0\times10^{-3}}{2} = 0.51\,\mathrm{m}$ . Mot op $1.7\,\mathrm{m}$ : $t = 2 \times 1.7/340 = 10\,\mathrm{ms}$ . Naarmate ze nadert komt de echo steeds sneller terug; de puls moet afgelopen zijn voordat die aankomt, dus moet hij korter worden.

Oefening 8.13 ★★★

Je klapt in je handen tegenover een rotswand en hoort $1.5\,\mathrm{s}$ later de echo. Hoever staat de wand? Je loopt $100\,\mathrm{m}$ recht naar hem toe: welke vertraging nu? Het oor scheidt klap en echo niet meer onder ongeveer $0.1\,\mathrm{s}$ : binnen welke afstand verdwijnt de echo in de klap?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.13.

$d = \frac{340 \times 1.5}{2} = 255\,\mathrm{m}$ . Op $155\,\mathrm{m}$ : $t = 2 \times 155/340 = 0.91\,\mathrm{s}$ . Echo en klap vloeien samen zodra $t < 0.1\,\mathrm{s}$ , dus binnen $d < \frac{340 \times 0.1}{2} = 17\,\mathrm{m}$ .

Oefening 8.14 ★★★

Bij $5\,\mathrm{ms}$ per hokje beslaat één cyclus van een signaal $3.0$ hokjes van een scherm met $10$ hokjes.

Bepaal $T$ en $f$ .
De tijdbasis wordt op $2\,\mathrm{ms}$ per hokje gezet: hoeveel hokjes beslaat één cyclus dan?
Hoeveel volledige cycli passen er bij elke instelling op het scherm?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.14.

1. $T = 3.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 15\,\mathrm{ms}$ , $f = 1/0.015 \approx 67\,\mathrm{Hz}$ . 2. $15\,\mathrm{ms}/2\,\mathrm{ms} = 7.5$ hokjes. 3. Het scherm toont $50\,\mathrm{ms}$ en daarna $20\,\mathrm{ms}$ : $3$ volledige cycli ( $50/15 = 3.3$ ), en daarna $1$ ( $20/15 = 1.3$ ).

Oefening 8.15 ★★★

Een “ping” meet de heen-en-terugtijd van een internetpakket naar een server op $1200\,\mathrm{km}$ . Wat is de kleinst denkbare heen-en-terugtijd (signalen met $c$ )? In een glasvezel reist licht met ongeveer $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : bereken opnieuw. De gemeten ping is $40\,\mathrm{ms}$ : geef twee redenen waarom die je antwoorden overtreft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.15.

1. $t = 2 \times 1.2\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 8.0\,\mathrm{ms}$ . 2. $2 \times 1.2\times10^{6}/(2.0\times10^{8}) = 12\,\mathrm{ms}$ . 3. De vezel loopt niet kaarsrecht tussen de twee machines, en elke router en server onderweg voegt verwerkingstijd toe.

8.7 Probleem: De sonar, de storm en het cardiogram

Probleem 8.1

Weekendopgave — de signalen van de wereld lezen: één wet, $d = v\,t$ , meet een storm, brengt een zeebodem in kaart, telt een hartslag en ontrafelt hoe gps werkt

Een vissersboot werkt een stormachtige nacht door: bliksem aan de horizon, de sonar die de bodem aftast, het hart van de schipper op de papierstrook van de dokter, een gps-ontvanger die naar satellieten luistert. Vier instrumenten, één wet. Neem $v_{\text{geluid}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in lucht, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in zeewater, en $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Deel I — De storm.

Een flits; $9.0\,\mathrm{s}$ later volgt de donder. Hoever weg is hij?
Bereken de reistijd van het licht over die afstand, en verantwoord dat je de flits als ogenblikkelijk behandelt.
Zeelieden tellen de seconden tussen flits en donder en delen door drie om kilometers te krijgen. Verantwoord die regel.
Vijf minuten later geeft een flits $6.0\,\mathrm{s}$ . Hoever nu? Bepaal de gemiddelde naderingssnelheid van de storm in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
De donder rommelt in plaats van te knallen: het bliksemkanaal is kilometers lang, dus liggen de delen ervan op verschillende afstanden. Als het kanaal zich van $2.0\,\mathrm{km}$ tot $5.0\,\mathrm{km}$ van de boot uitstrekt, hoe lang duurt het gerommel dan?

Deel II — De sonar.

De sonar zendt een ping uit; de zeebodem antwoordt in $0.90\,\mathrm{s}$ . Diepte?
Boven het plat verkort de echo tot $0.20\,\mathrm{s}$ . Diepte?
Eén ping levert twee echo’s op, na $0.16\,\mathrm{s}$ en $0.20\,\mathrm{s}$ . Verklaar ze; hoe hoog boven de bodem zwemt de vissenschool?
De sonar zendt om de $0.50\,\mathrm{s}$ een ping uit. Wat is de grootste diepte die hij zonder verwarring kan meten, en wat gaat er daarvoorbij mis?
Welke afstand zou dezelfde vertraging van $0.60\,\mathrm{s}$ in lucht betekenen? Moraal: wat moet je weten voordat je een vertraging in een afstand omzet?

Deel III — Het cardiogram.

De ecg-pieken van de schipper liggen $0.86\,\mathrm{s}$ uit elkaar. Frequentie? Slagen per minuut?
De strook loopt met $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ . Welke piekafstand heeft de dokter gemeten?
Na het binnenhalen van de netten is de afstand $15\,\mathrm{mm}$ . Nieuwe hartslag?
De jonge dekknecht, een getrainde roeier, heeft in rust $50$ slagen per minuut. Periode? Afstand op de strook?
Is een ecg strikt periodiek? Wat leest de dokter dan van de strook af?

Deel IV — Huiswaarts met het licht.

De boot roept de haven op, $50\,\mathrm{km}$ verderop. Hoe lang doet het bericht erover? Hoe lang zou geluid erover doen?
Een gps-satelliet draait ongeveer $20\,200\,\mathrm{km}$ boven ons. Hoe lang doet haar signaal erover om de boot te bereiken?
Gps zet tijd om in positie. Welke afstandsfout veroorzaakt een klokfout van $1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ ? Welke tijdnauwkeurigheid vergt een plaatsbepaling op $3.0\,\mathrm{m}$ ?
Waarom kan er, zelfs in beginsel, geen gps op geluid bestaan?
Slot: noem de drie snelheden die vannacht zijn gebruikt en de ene wet achter alle vier de instrumenten, en formuleer daarna in één zin de gewoonte van het afstandmeten.

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. $d = 340 \times 9.0 = 3060\,\mathrm{m} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ .

2. $3060/(3.00\times10^{8}) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{s}$ , een miljoen keer korter dan $9.0\,\mathrm{s}$ : de flits markeert het ogenblik van de inslag.

3. In $3\,\mathrm{s}$ legt geluid $340 \times 3 = 1020\,\mathrm{m} \approx 1\,\mathrm{km}$ af: de seconden gedeeld door drie geven kilometers.

4. $d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m}$ . De storm kwam $1020\,\mathrm{m}$ dichterbij in $300\,\mathrm{s}$ : $v = 3.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , op weg naar de boot.

5. Het nabije uiteinde wordt gehoord na $2000/340 = 5.9\,\mathrm{s}$ , het verre na $5000/340 = 14.7\,\mathrm{s}$ : het gerommel duurt ongeveer $8.8\,\mathrm{s}$ .

6. $d = 1500 \times 0.90/2 = 675\,\mathrm{m}$ .

7. $d = 1500 \times 0.20/2 = 150\,\mathrm{m}$ .

8. Twee obstakels: een vissenschool op $1500 \times 0.16/2 = 120\,\mathrm{m}$ en de zeebodem op $150\,\mathrm{m}$ . De school zwemt $30\,\mathrm{m}$ boven de bodem.

9. De echo moet terug zijn voordat de volgende ping vertrekt: $d_{\max} = 1500 \times 0.50/2 = 375\,\mathrm{m}$ . Uit dieper water komt de echo na de volgende ping aan en wordt aan die ping toegeschreven: het scherm toont een valse, veel te ondiepe bodem.

10. In lucht: $340 \times 0.60/2 = 102\,\mathrm{m}$ in plaats van $450\,\mathrm{m}$ . Een vertraging wordt pas een afstand zodra je de drager kent en zijn snelheid in de doorkruiste tussenstof.

11. $f = 1/0.86 = 1.16\,\mathrm{Hz}$ , dus $1.16 \times 60 \approx 70$ slagen per minuut.

12. $25 \times 0.86 = 21.5\,\mathrm{mm}$ .

13. $T = 15/25 = 0.60\,\mathrm{s}$ : $100$ slagen per minuut.

14. $T = 60/50 = 1.2\,\mathrm{s}$ ; afstand $25 \times 1.2 = 30\,\mathrm{mm}$ .

15. Nee: de periode schuift van slag tot slag met de inspanning, de ademhaling en de spanning. De dokter leest de periode (de hartslag), de regelmaat ervan en de vorm van elke cyclus — de diagnose zit in het signaal.

16. Radio: $5.0\times10^{4}/(3.00\times10^{8}) = 0.17\,\mathrm{ms}$ — voor menselijke zintuigen ogenblikkelijk. Geluid: $50\,000/340 \approx 147\,\mathrm{s}$ , tweeënhalve minuut.

17. $t = 2.02\times10^{7}/(3.00\times10^{8}) = 67\,\mathrm{ms}$ .

18. $c \times 1.0\,\text{µ}\mathrm{s} = 300\,\mathrm{m}$ . Voor een plaatsbepaling op $3.0\,\mathrm{m}$ : $3.0/(3.00\times10^{8}) = 10\,\mathrm{ns}$ — en daarom dragen gps-satellieten atoomklokken.

19. Satellieten zitten in vacuüm, en geluid heeft een tussenstof nodig: er zou helemaal geen signaal van de satelliet vertrekken. (En zelfs met lucht over de hele weg is $20\,200\,\mathrm{km}$ bij $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ruim $16\,\mathrm{h}$ — een plaatsbepaling die uren achterloopt.)

20. $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (geluid in lucht), $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (geluid in zeewater) en $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (radio en licht); de wet is $d = v\,t$ , gehalveerd bij een echo. De gewoonte: ken je drager, ken zijn snelheid in de tussenstof, klok de vertraging — een vertraging is een vermomde afstand.