Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

22Licht als golf: buiging en interferentie

Kantel een zeepvlies naar het raam: er glijden kleuren overheen, terwijl er in zeep of water niets gekleurd is. Richt een laser op één haar: de muur erachter toont geen haardunne schaduw maar een heldere streep, doorsneden met donkere lijnen, duizenden keren breder dan de haar. Rechtlijnig marcherende stralen (Hoofdstuk 3) verklaren geen van beide taferelen. Dit hoofdstuk bevordert het licht tot een volwaardige golf — een halve micrometer van top tot top — en verzilvert dat idee daarna: een laser en een kale muur meten een haar, een golflengte en de sporen van een cd.

22.1 Licht is een golf

Definitie 22.1 (Lichtgolven)

Monochromatisch licht — één zuivere kleur, die geen enkel prisma verder kan splitsen (Hoofdstuk 2) — is een periodieke lichtgolf: ze doorkruist het vacuüm met $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en wordt gekenmerkt door haar frequentie $f$ of haar golflengte in vacuüm $\lambda = c/f$ , de afstand van top tot top uit Hoofdstuk 20. Het oog reageert van ongeveer $400\,\mathrm{nm}$ (violet) tot $800\,\mathrm{nm}$ (rood); wit licht mengt het hele gebied.

Voorbeeld 22.2 (Ordegrootten)

Een helium-neonlaser zendt rood licht uit met $\lambda = 633\,\mathrm{nm} = 6.33 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ , dus $f = c/\lambda \approx 4.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : geen enkele elektronica telt zo snel — elke golflengte in dit hoofdstuk wordt met meetkunde gemeten. Ter vergelijking: een haar (ongeveer $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) is honderd golflengten dik. Wat golft er? Niet de lucht: een elektrisch en een magnetisch veld, eerlijk beschreven in het volume van bachelorjaar 2; hieronder telt alleen de golflengte.

22.2 Buiging

Definitie 22.3 (Buiging)

Wanneer een golf een opening of een hindernis ontmoet met een afmeting $a$ die vergelijkbaar is met haar golflengte, spreidt ze zich uit in het gebied dat stralen donker zouden laten. Die spreiding heet buiging — verwaarloosbaar zolang $\lambda/a$ minuscuul is, overheersend zodra $a$ tot bij $\lambda$ krimpt.

Vlakke golffronten (één per top, uit elkaar) treffen een spleet met breedte a die vergelijkbaar is met : de golf waaiert uit — buiging. — Vlakke golffronten (één per top, $\lambda$ uit elkaar) treffen een spleet met breedte $a$ die vergelijkbaar is met $\lambda$ : de golf waaiert uit — buiging.

Propositie 22.4 (Halve hoekbreedte van de spreiding)

Een spleet met breedte $a$ , belicht met golflengte $\lambda < a$ , spreidt het licht rond de invalsrichting binnen de halve hoekbreedte $\theta$ (in radialen); een scherm op afstand $D$ toont een centrale heldere band met breedte $L$ , tweemaal $D \tan\theta \approx D\,\theta$ (kleine hoek):

\theta \approx \frac{\lambda}{a}, \qquad L = \frac{2\lambda D}{a}.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 22.5 (Lees de formule achterstevoren)

Hoe smaller de spleet, hoe breder de spreiding — het tegenovergestelde van wat stralen voorspellen. De eerlijke afleiding (het optellen van de golfjes die over de spleet opnieuw worden uitgezonden) staat in het volume van bachelorjaar 2; hier is de formule een meetinstrument.

Voorbeeld 22.6 (Een laser door een spleet)

Rode laser, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ; spleet $a = 0.10\,\mathrm{mm}$ ; scherm op $D = 2.00\,\mathrm{m}$ . Dan is $\theta = 6.33 \times 10^{-7} / 1.0 \times 10^{-4} = 6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ — een derde graad, maar de centrale band op de muur is $L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 2.00 / 1.0 \times 10^{-4} \approx 2.5\,\mathrm{cm}$ breed, geflankeerd door donkere lijnen en zwakkere zijbanden. Halveer de spleet en de band verdubbelt.

De proef met één spleet: een kegel met halve tophoek /a schildert een centrale band van L = 2 D/a breed. — De proef met één spleet: een kegel met halve tophoek $\theta \approx \lambda/a$ schildert een centrale band van $L = 2\lambda D/a$ breed.

Propositie 22.7 (Een hindernis buigt als een spleet)

Een dunne ondoorzichtige hindernis met breedte $d$ — een draad, een haar — brengt buiten de invallende bundel hetzelfde patroon voort als een spleet met breedte $d$ (het beginsel van Babinet, afgeleid in het volume van bachelorjaar 2).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Methode 22.8 (Een minieme breedte meten)

Span de haar dwars door de laserbundel; zet een scherm op een gemeten afstand $D$ (enkele meters).
Meet de breedte $L$ van de centrale band, van donkere lijn tot donkere lijn.
Omdat $L = 2\lambda D/d$ , geldt $d = 2\lambda D/L$ — fijnere haar, groter patroon.

Opmerking 22.9 (Buiging begrenst elk instrument)

Licht komt een fototoestel, een telescoop of een oog binnen door een opening met breedte $a$ , dus vervaagt zelfs een volmaakte lens een punt tot een vlekje met een hoekgrootte van ongeveer $\lambda/a$ : dichter bij elkaar liggende details vloeien samen. Een lichtmicroscoop onderscheidt daardoor vrijwel niets onder $\lambda \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ (bacteriën wel, virussen niet); telescoopspiegels worden om dezelfde reden breed gebouwd.

22.3 Interferentie

Definitie 22.10 (Coherente bronnen, weglengteverschil)

Twee golfbronnen zijn coherent wanneer ze dezelfde frequentie hebben en in de pas trillen — in de praktijk wanneer het twee kopieën van één golf zijn, verkregen door haar te splitsen. Voor een punt $M$ dat door beide wordt bereikt is het weglengteverschil $\delta = S_2M - S_1M$ .

Propositie 22.11 (Voorwaarden voor interferentie)

Waar twee coherente golven met golflengte $\lambda$ elkaar overlappen, tellen ze op — ze interfereren:

$\delta = k\lambda$ ( $k$ geheel): in de pas, versterkend — constructieve interferentie (helder);
$\delta = (k + \tfrac12)\lambda$ : top op dal, uitdovend — destructieve interferentie (donker).

Bewijs. Een periodieke golf over gehele golflengten verschuiven verandert niets: toppen stapelen op toppen. Een halve golflengte meer legt een top op een dal: gelijke golven doven elkaar uit. ∎

Voorbeeld 22.12 (De tweespletenproef van Young)

Prik twee fijne spleten $S_1$ en $S_2$ , een fractie van een millimeter uit elkaar, in een ondoorzichtige plaat en belicht ze allebei met één laser: twee coherente bronnen. Op een scherm een paar meter verderop is de overlap gestreept: in het midden is $\delta = 0$ en dus helder; hoger op het scherm groeit $\delta$ door $\lambda/2$ (donker), $\lambda$ (helder) … duisternis waar licht bij licht opgeteld uitdooft.

De spleten van Young: de wegen naar M verschillen = S_2M - S_1M; heldere strepen (grijze streepjes) liggen waar = k. — De spleten van Young: de wegen naar $M$ verschillen $\delta = S_2M - S_1M$ ; heldere strepen (grijze streepjes) liggen waar $\delta = k\lambda$ .

Definitie 22.13 (Strepen en strepenafstand)

De afwisselend heldere en donkere banden van het patroon zijn de interferentiestrepen; de afstand $i$ tussen de middens van twee opeenvolgende heldere strepen is de strepenafstand.

Propositie 22.14 (De strepenafstand)

Voor spleten op afstand $a$ en een scherm op afstand $D \gg a$ heeft het punt van het scherm op afstand $x$ van het midden $O$ het weglengteverschil $\delta \approx a\,x/D$ (aangenomen meetkunde); volgens Propositie 22.11 liggen de heldere strepen op $x_k = k\,\lambda D/a$ , gelijkmatig verdeeld met strepenafstand

i = \frac{\lambda D}{a}.

Met $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ en $D = 2.0\,\mathrm{m}$ : $i = 6.3\,\mathrm{mm}$ — de opstelling vergroot $\lambda$ met $D/a = 10^4$ . De meetkunde erachter wordt uitgewerkt in het volume van bachelorjaar 2.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

De intensiteit over het scherm bij de proef van Young: strepen op i = D/a uit elkaar, onder een schematische omhullende. — De intensiteit over het scherm bij de proef van Young: strepen op $i = \lambda D/a$ uit elkaar, onder een schematische omhullende.

Methode 22.15 (Een golflengte meten)

Stuur de onbekende laser door een dubbele spleet met bekende afstand $a$ ; zet het scherm op een gemeten afstand $D$ .
Meet de breedte van $10$ strepenafstanden en deel door $10$ : dat is de strepenafstand $i$ , met een tien keer kleinere meetfout.
Dan is $\lambda = i\,a/D$ .

Opmerking 22.16 (Waarom twee lampen nooit interfereren)

Twee bureaulampen die één muur beschijnen leveren geen strepen op: elke lamp zendt korte, ongecorreleerde golftreinen uit waarvan de onderlinge timing miljarden keren per seconde willekeurig verspringt, zodat de strepen even snel meeschuiven en het oog ze tot gelijkmatig licht uitmiddelt. Interferentie vraagt coherentie — één golf in tweeën gesplitst, zoals de spleten van Young doen; de laser is de moderne kortere weg: één zuivere lange golf.

22.4 Kleuren geschilderd door interferentie

Definitie 22.17 (Irisatie)

Kleuren die met de kijkhoek verschuiven — zeepbellen, olievlekken, pauwenveren, de achterkant van een cd — heten irisatie: geen pigment, maar interferentie in wit licht, die sommige golflengten versterkt en andere uitdooft.

Voorbeeld 22.18 (Zeepvliezen en olievlekken)

Licht dat op een zeepvlies valt, weerkaatst deels op het voorvlak en deels op het achtervlak: twee coherente kopieën waarvan het weglengteverschil door de dikte en de kijkhoek wordt bepaald. Elke dikte stuurt sommige golflengten versterkt terug en dooft andere uit: het vlies weerkaatst een kleur die verschuift terwijl het uitzakt en dunner wordt. Een olievlek op nat asfalt haalt dezelfde truc uit.

Opmerking 22.19 (Monochromatisch tegenover wit licht)

In wit licht tekent elke golflengte haar eigen strepen van Young met haar eigen $i = \lambda D/a$ : in het midden zijn alle kleuren helder (één witte streep); een paar strepen verderop lopen de patronen uiteen — irisatie langs de randen, en daarna vervaging. Monochromatisch licht geeft eindeloos scherpe strepen: vandaar de laser bij elke scherpe meting hier.

22.5 Oefeningen

Oefening 22.1 ★

Bereken de frequentie van rood licht ( $\lambda = 700\,\mathrm{nm}$ ) en van violet licht ( $400\,\mathrm{nm}$ ). Welke is hoger?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.1.

$f = c/\lambda$ : rood $3.00 \times 10^{8}/7.0 \times 10^{-7} \approx 4.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; violet $\approx 7.5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — violet is hoger (kortere golflengte, dezelfde snelheid $c$ ).

Oefening 22.2 ★

Een groene laser ( $\lambda = 532\,\mathrm{nm}$ ) gaat door een spleet met breedte $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ : bereken $\theta$ en daarna de breedte van de centrale band op een scherm op $1.5\,\mathrm{m}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.2.

$\theta = 5.32 \times 10^{-7}/2.0 \times 10^{-4} = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; $L = 2\theta D = 2 \times 2.66 \times 10^{-3} \times 1.5 \approx 8.0\,\mathrm{mm}$ .

Oefening 22.3 ★

Een deuropening is $0.80\,\mathrm{m}$ breed: bereken $\lambda/a$ voor een stem van $425\,\mathrm{Hz}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en voor licht van $550\,\mathrm{nm}$ . Waarom hoor je wel, maar zie je niet om de hoek?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.3.

Stem: $\lambda = 340/425 = 0.80\,\mathrm{m}$ , dus $\lambda/a = 1.0$ — maximale buiging, het geluid overspoelt de gang. Licht: $\lambda/a \approx 5.5 \times 10^{-7}/0.80 \approx 7 \times 10^{-7}$ — verwaarloosbare spreiding: het licht gaat rechtdoor, dus verbergt de hoek het.

Oefening 22.4 ★

Twee luidsprekers die door één generator worden aangedreven, zenden in de pas geluid met golflengte $2.0\,\mathrm{cm}$ uit. Het weglengteverschil is in $M$ $6.0\,\mathrm{cm}$ en in $N$ $5.0\,\mathrm{cm}$ . Is het daar luid of stil? Verantwoord.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.4.

In $M$ : $\delta = 6.0\,\mathrm{cm} = 3\lambda$ , constructief — luid. In $N$ : $\delta = 5.0\,\mathrm{cm} = (2 + \tfrac12)\lambda$ , destructief — (vrijwel) stil.

Oefening 22.5 ★

Spleten van Young: $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $a = 0.25\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.8\,\mathrm{m}$ . Bereken de strepenafstand. Hoeveel heldere strepen passen er in de centrale $2.0\,\mathrm{cm}$ van het scherm?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.5.

$i = \lambda D/a = 6.33 \times 10^{-7} \times 1.8/2.5 \times 10^{-4} \approx 4.6\,\mathrm{mm}$ . Binnen $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : $|k| \leq 10/4.6 = 2.2$ , dus $k = -2, \dots, 2$ : vijf heldere strepen.

Oefening 22.6 ★★

Een haar in een bundel met $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ , met het scherm op $1.6\,\mathrm{m}$ , geeft een centrale band van $2.8\,\mathrm{cm}$ breed. Bereken de diameter van de haar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.6.

$d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1.6/0.028 \approx 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Oefening 22.7 ★★

Een onbekende laser door spleten van Young ( $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.50\,\mathrm{m}$ ): tien strepenafstanden beslaan $4.7\,\mathrm{cm}$ . Bepaal $\lambda$ en de kleur. Waarom meet je er tien in plaats van één?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.7.

$i = 4.7\,\mathrm{mm}$ , dus $\lambda = i\,a/D = 4.7 \times 10^{-3} \times 2.0 \times 10^{-4}/1.5 \approx 6.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 630\,\mathrm{nm}$ : rood. Tien strepenafstanden meten deelt de afleesfout van het meetlint door tien.

Oefening 22.8 ★★

Twee identieke bureaulampen beschijnen dezelfde muur; de bundels overlappen, en toch verschijnen er nooit strepen. Welke voorwaarde voor coherentie (Definitie 22.10) faalt, en hoe herstelt de opstelling van Young haar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.8.

De lampen hebben (grofweg) overeenkomende frequenties maar lopen niet in de pas: elke lamp zendt korte golftreinen uit waarvan de fase willekeurig verspringt, dus zijn de bronnen incoherent en verschuiven de momentane strepen miljarden keren per seconde — het oog ziet het gemiddelde, gelijkmatig. Young belicht beide spleten vanuit één golf: de twee kopieën erven elke fasesprong samen en blijven in de pas.

Oefening 22.9 ★★

Op een tweespletenpatroon ( $a = 0.30\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.4\,\mathrm{m}$ ) liggen de middens van de eerste en de zevende heldere streep $18.0\,\mathrm{mm}$ uit elkaar: bepaal de strepenafstand en daarna $\lambda$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.9.

Van de eerste tot de zevende is $6i = 18.0\,\mathrm{mm}$ , dus $i = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; $\lambda = i\,a/D = 3.0 \times 10^{-3} \times 3.0 \times 10^{-4}/1.4 \approx 6.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 640\,\mathrm{nm}$ .

Oefening 22.10 ★★

De sporen van een cd vormen een tralie met afstand $d = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Neem $d \sin\theta = k\lambda$ ( $k$ geheel) aan en bepaal de bundelrichtingen voor $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ . Wat is de hoogste orde $k$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.10.

$\sin\theta = k\lambda/d = 0.396\,k$ : voor $k = 1$ is $\theta = 23^\circ$ ; voor $k = 2$ is $\sin\theta = 0.79$ , dus $\theta = 52^\circ$ ; $k = 3$ zou $\sin\theta = 1.19 > 1$ vergen: onmogelijk. Hoogste orde: $k = 2$ .

Oefening 22.11 ★★

Een telescoop met opening $a = 10\,\mathrm{cm}$ bij $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ : bereken haar buigingsvlek $\theta \approx \lambda/a$ . Kan ze twee koplampen op $1.5\,\mathrm{m}$ van elkaar op $100\,\mathrm{km}$ afstand scheiden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.11.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/0.10 = 5.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ . De koplampen spannen $1.5/1.0 \times 10^{5} = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ op, ongeveer drie keer de vlek: ze worden net gescheiden.

Oefening 22.12 ★★★

Een verticaal zeepvlies zakt uit, is onderaan dikker en vertoont horizontale gekleurde banden die omlaag kruipen. Verklaar: waarom kleuren, waarom banden, waarom bewegend. (Zonder rekenwerk.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.12.

De weerkaatsingen op het voor- en het achtervlak interfereren; in wit licht versterkt elke dikte sommige golflengten en dooft andere uit, en dus ontstaat er een kleur. De dikte van het vlies hangt alleen van de hoogte af, dus vormen punten met dezelfde kleur horizontale banden. Door het uitzakken wordt het vlies dunner, zodat de dikte die een bepaalde kleur schilderde steeds lager komt te liggen: de banden kruipen omlaag.

Oefening 22.13 ★★★

Spleten van Young in wit licht, $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ : bereken de strepenafstand voor violet ( $400\,\mathrm{nm}$ ) en rood ( $750\,\mathrm{nm}$ ), en leid daaruit af wat het scherm toont in het midden, een paar millimeter verderop, en ver weg.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.13.

$i = \lambda D/a$ : violet $4.0 \times 10^{-7} \times 1.5/2.0 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; rood $5.6\,\mathrm{mm}$ . In het midden: alle kleuren helder — één witte streep. Een paar millimeter verderop zijn de kleurpatronen uiteengeschoven: iriserende strepen. Nog verder overlappen de maxima van alle kleuren overal: een gelijkmatig witte waas.

Oefening 22.14 ★★★

Een spionagesatelliet draagt een spiegel van $2.4\,\mathrm{m}$ op $250\,\mathrm{km}$ . Bepaal met $\theta \approx \lambda/a$ bij $550\,\mathrm{nm}$ het kleinste detail op de grond dat ze onderscheidt; beoordeel de bewering dat ze “over je schouder de krant leest”.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.14.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/2.4 = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ; op $250\,\mathrm{km}$ is dat $2.3 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^{5} \approx 6\,\mathrm{cm}$ . Ze kan auto’s tellen en een persoon opmerken, maar krantendruk (letters van een millimeter) ligt twintig keer onder de buigingsgrens: de bewering is een mythe.

Oefening 22.15 ★★★

Een opstelling van Young geeft $i = 4.0\,\mathrm{mm}$ in lucht en wordt daarna in water ondergedompeld ( $n = 1.33$ ). Denk aan Hoofdstuk 3: verandert de frequentie? En de golflengte? Bereken de nieuwe strepenafstand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 22.15.

De frequentie ligt door de bron vast: onveranderd. De snelheid zakt tot $c/n$ , dus is $\lambda' = \lambda/n$ en $i' = i/n = 4.0/1.33 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ : de strepen kruipen dichter op elkaar.

22.6 Probleem: Meten met licht

Probleem 22.1

Weekendopgave — meten met licht: een laser, een meetlint en een kale muur worden een micrometerwerkplaats die een spleet, een mensenhaar, een onbekende golflengte en de sporen van twee zilveren schijfjes opmeet

Jouw uitrusting: een rode laser ( $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , volgens het etiket), een groene laser met onbekende golflengte, een geijkte spleet $a = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , een dubbele spleet met afstand $a' = 0.250\,\mathrm{mm}$ , een meetlint, twee haren, een cd en een dvd.

Deel I — IJken op de bekende spleet. Rode laser, spleet, muur op $D = 3.00\,\mathrm{m}$ .

Bereken de halve hoekbreedte $\theta$ van de gebogen bundel.
Toon aan dat de centrale band de breedte $L = 2\lambda D/a$ heeft en bereken die.
Je meet $L = 3.7\,\mathrm{cm}$ : bereken de relatieve afwijking. Is de methode daarmee bevestigd?
Een tweede spleet is half zo breed, $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : voorspel haar $L$ . Formuleer de regel die spleetbreedte en patroonbreedte verbindt.
Verantwoord de stap $\tan\theta \approx \theta$ uit vraag 2: vergelijk $\theta$ met $\tan\theta$ bij deze hoek.

Deel II — De haar. Dezelfde laser en muur; een gespannen haar vervangt de spleet.

Welk aangenomen resultaat laat je de spleetformule voor een haar behouden, en wat zegt het?
De centrale band is $L = 5.4\,\mathrm{cm}$ breed: bereken de diameter $d$ van de haar.
Je meetlint leest $L$ op $\pm0.2\,\mathrm{cm}$ nauwkeurig: geef het bijbehorende gebied voor $d$ , als $d \pm \Delta d$ .
De haar van je vriendin geeft $L = 7.6\,\mathrm{cm}$ : welke diameter? Wiens haar is fijner, en waarom betekent fijner breder?
Zou een bureaulamp de laser kunnen vervangen? Geef twee redenen.

Deel III — De golflengte van de groene laser. Groene laser, dubbele spleet, muur op $D = 2.00\,\mathrm{m}$ .

Waarom moeten beide spleten door dezelfde laser worden belicht?
Waarom is de middelste streep helder, wat de golflengte ook is?
Tien strepenafstanden beslaan $4.26\,\mathrm{cm}$ . Geef $i$ , en de reden om er tien tegelijk te meten.
Leid de golflengte van de groene laser af.
Op het etiket van de fabrikant staat $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$ : klopt dat? Welke kleur verwacht je?

Deel IV — Zilveren schijfjes lezen. De rode laser valt loodrecht op een cd; haar sporen werken als een reflectietralie die (aangenomen) voldoet aan $d \sin\theta = k\lambda$ . Op de muur op $D = 1.00\,\mathrm{m}$ maakt elke bundel van de eerste orde een vlek op afstand $x$ van de centrale.

Voor de cd is $x = 43\,\mathrm{cm}$ : bereken $\theta$ . Waarom is de kleinehoekbenadering uit deel I nu verboden?
Leid de spoorafstand $d$ van de cd af.
De dvd stuurt haar vlek van de eerste orde naar $x = 1.65\,\mathrm{m}$ : bereken haar $\theta$ en haar spoorafstand.
Vergelijk de twee spoorafstanden. Waarom slaat een dvd meer op dan een cd?
Sluit het schrift: noem de lengten die je dit weekend hebt gemeten, en zeg in één zin wat het licht tot maatlat voor alles maakte.

Oplossing

Oplossing van Probleem 22.1.

1. $\theta = \lambda/a = 6.33 \times 10^{-7}/1.00 \times 10^{-4} = 6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ .

2. De halve breedte is $D\tan\theta \approx D\theta = \lambda D/a$ , dus $L = 2\lambda D/a = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 3.00/1.00 \times 10^{-4} = 3.8\,\mathrm{cm}$ .

3. $(3.8 - 3.7)/3.8 \approx 3\%$ : binnen de nauwkeurigheid van een meetlint — bevestigd.

4. $L \propto 1/a$ : $a$ halveren verdubbelt $L$ , dus $L = 7.6\,\mathrm{cm}$ . Smallere hindernis of spleet, breder patroon.

5. $\tan(6.33 \times 10^{-3}) = 6.330\,08 \times 10^{-3}$ : ze komen tot op ongeveer $1 \times 10^{-5}$ relatief overeen — de benadering is veel beter dan elke meting hier.

6. Volgens Propositie 22.7: een hindernis met breedte $d$ buigt als een spleet met breedte $d$ , dus blijft $L = 2\lambda D/d$ gelden.

7. $d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 3.00/0.054 \approx 70\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

8. $L = 5.2\,\mathrm{cm} \to d = 73\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $L = 5.6\,\mathrm{cm} \to d = 68\,\text{µ}\mathrm{m}$ : dus $d = (70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

9. $d = 3.80 \times 10^{-6}/0.076 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : die van je vriendin is fijner — en omdat $L \propto 1/d$ , werpt de fijnere haar het bredere patroon.

10. Nee: een lamp is wit (elke golflengte schildert een ander patroon, en ze vervagen samen) en incoherent én breed (er is geen enkele zuivere bundel om te buigen). De laser is monochromatisch en gericht.

11. Alleen kopieën van één golf zijn coherent; twee onafhankelijke bronnen lopen uit de pas en de strepen spoelen weg (Opmerking 22.16).

12. In het midden is $\delta = 0 = 0 \times \lambda$ voor elke $\lambda$ : constructief, wat de golflengte ook is.

13. $i = 4.26/10 = 4.3\,\mathrm{mm}$ ; één spanwijdte van tien lees je met dezelfde meetfout af als één strepenafstand, dus wordt de fout op $i$ door tien gedeeld.

14. $\lambda = i\,a'/D = 4.26 \times 10^{-3} \times 2.50 \times 10^{-4}/2.00 = 5.33 \times 10^{-7} \approx 533\,\mathrm{nm}$ .

15. $533\,\mathrm{nm}$ ligt binnen $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$ : dat klopt; die golflengte is groen.

16. $\tan\theta = 0.43/1.00$ , dus $\theta = 23^\circ$ . Hier is $\tan\theta = 0.43$ terwijl $\sin\theta = 0.40$ : bij $23^\circ$ wijkt het gelijkstellen van $\sin$ , $\tan$ en $\theta$ bijna $10\%$ af — gebruik de exacte functies.

17. $d = \lambda/\sin\theta = 6.33 \times 10^{-7}/0.396 \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

18. $\tan\theta = 1.65$ , $\theta = 59^\circ$ , $\sin\theta = 0.855$ : $d = 6.33 \times 10^{-7}/0.855 \approx 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

19. $1.6/0.74 \approx 2.2$ : de sporen van een dvd liggen twee keer zo dicht, en haar putjes zijn navenant kleiner (gelezen met een laser met kortere golflengte) — meerdere keren zoveel gegevens op hetzelfde schijfje van $12\,\mathrm{cm}$ .

20. Haar $(70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; haar van je vriendin $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; groene laser $533\,\mathrm{nm}$ ; cd-sporen $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; dvd-sporen $0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ — een bekende golflengte maakt van de meetkunde van elk patroon een lengte, zodat licht van een halve micrometer een maatlat is met een schaalverdeling van een halve micrometer.