Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

25De wetten van Newton

Smokkel een personenweegschaal een lift in. Terwijl de cabine optrekt wijst de naald drie kilogram te zwaar; vlak bij de bovenste verdieping wijst ze te licht; daartussen de nuchtere waarheid — er is aan boord niets veranderd behalve de beweging. Dit hoofdstuk formuleert de drie wetten achter die naald en smeedt ze om tot de methode waarop de hele mechanica draait: kies een systeem, teken de krachten, projecteer $\sum \vect F = m\vect a$ .

25.1 Impuls, en de eerste wet exact gemaakt

Definitie 25.1 (Impuls)

De impuls van een lichaam met massa $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) dat met snelheid $\vect v$ beweegt, is de vector

\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):

de snelheid, gewogen met de massa; voor een systeem de vectorsom over de delen.

Definitie 25.2 (Traagheidsstelsel)

Een traagheidsstelsel is een stelsel waarin elk geïsoleerd lichaam — zonder krachten, of met krachten in evenwicht — rechtlijnig met constante snelheid beweegt (Hoofdstuk 6). De grond is er tot in hoge nauwkeurigheid een, en zo ook elke cabine die er eenparig rechtlijnig overheen beweegt; een remmende trein of een draaiende draaimolen niet: daarin versnelt losse bagage zonder dat iemand duwt.

Stelling 25.3 (Eerste wet van Newton)

In een traagheidsstelsel verandert de impuls van een geïsoleerd systeem niet: $\vect p$ is constant, dus $d\vect p/dt = \vect 0$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 25.4 (Traagheid, twee keer aangescherpt)

Het traagheidsbeginsel van Hoofdstuk 6, twee keer aangescherpt: het zegt waar het geldt — het definieert de traagheidsstelsels als die waarin het geldt — en het bewaakt een vector, $m\vect v$ , waarvan de boekhouding aan het einde van dit hoofdstuk haar vruchten afwerpt.

25.2 De tweede wet van Newton

Stelling 25.5 (Tweede wet van Newton)

In een traagheidsstelsel is de resulterende kracht op een lichaam gelijk aan de verandering per tijdseenheid van zijn impuls; bij constante massa geldt, omdat $\vect p = m\vect v$ ,

\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 25.6 (Een natuurwet, en haar eenheid)

Er is geen bewijs: dit is een natuurwet, drie eeuwen lang aan het experiment getoetst. Vorig jaar (Hoofdstuk 16) gaf haar schaduw, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$ ; de afgeleide (Hoofdstuk 24) maakt haar op elk ogenblik exact — de kleine lettertjes wachten in het volume van bachelorjaar 1. De kracht krijgt een eenheid, $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; en een lichaam waarop alleen zijn gewicht werkt, voldoet aan $m\vect a = m\vect g$ : elke massa valt met $\vect a = \vect g$ , en $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — de twee aflezingen zijn één.

Voorbeeld 25.7 (Gemiddelde kracht, zonder details)

Een auto van $1300\,\mathrm{kg}$ gaat van stilstand naar $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) in $8.0\,\mathrm{s}$ : wat er van ogenblik tot ogenblik ook gebeurt, de gemiddelde resulterende kracht is $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — de impuls maakt van een krachtenvraag een boekhouding van vóór en na.

25.3 De derde wet van Newton

Stelling 25.8 (Derde wet van Newton)

Oefent een lichaam $A$ een kracht $\vect F_{A \to B}$ uit op een lichaam $B$ , dan oefent $B$ op $A$ de kracht $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$ uit: dezelfde werklijn, dezelfde grootte, tegengestelde richtingen — op elk ogenblik, bij elke beweging, bij contact of bij werking op afstand.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 25.9 (Het boek, de tafel en de Aarde)

Een boek ligt op een tafel: twee wisselwerkingen, twee paren. De gravitatie: de Aarde trekt het boek omlaag ( $\vect P$ ), het boek trekt de Aarde omhoog. Het contact: de tafel duwt het boek omhoog ( $\vect N$ ), het boek drukt op de tafel. Lopen is dezelfde afspraak: duw de grond naar achteren; haar reactie is de enige kracht die je vooruit drijft.

Eén boek, twee wisselwerkingen, vier pijlen: het gravitatiepaar (de Aarde trekt aan het boek, het boek trekt aan de Aarde) en het contactpaar (de tafel duwt het boek, het boek drukt op de tafel). P en N zijn geen partners: ze werken op hetzelfde boek — en heffen elkaar alleen op omdat de versnelling ervan nul is. — Eén boek, twee wisselwerkingen, vier pijlen: het gravitatiepaar (de Aarde trekt aan het boek, het boek trekt aan de Aarde) en het contactpaar (de tafel duwt het boek, het boek drukt op de tafel). $\vect P$ en $\vect N$ zijn *geen* partners: ze werken op hetzelfde boek — en heffen elkaar alleen op omdat de versnelling ervan nul is.

25.4 De methode: kiezen, tekenen, projecteren

Methode 25.10 (Een dynamicaprobleem oplossen)

Systeem: benoem het lichaam (of de verzameling lichamen) die je bestudeert.
Stelsel: kies een traagheidsstelsel en assen die bij de beweging passen — assen langs de helling, of het frenetstelsel voor een kromme (Hoofdstuk 24).
Inventaris: noem elke kracht — het gewicht, daarna één kracht per contact, verder niets — en teken het krachtenschema: één punt, één pijl per kracht.
Projecteren: schrijf $\sum \vect F = m\vect a$ en projecteer die op elke as.
Oplossen en controleren: eenheden, tekens, grensgevallen ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …).

Definitie 25.11 (Normaalkracht en wrijving)

Een oppervlak werkt op een lichaam via twee componenten: de normaalkracht $\vect N$ , loodrecht op het oppervlak, en de wrijving $\vect f$ , ernaartoe gericht langs het oppervlak. Het experiment geeft de wrijvingswetten: zolang het lichaam niet glijdt, stelt de statische wrijving zich in tot een plafond, $f_s \leq \mu_s N$ ; zodra het glijdt, is de kinetische wrijving $f_k = \mu_k N$ , tegen het glijden in. De wrijvingscoëfficiënten $\mu_s$ en $\mu_k$ ( $\mu_k \leq \mu_s$ ) hangen alleen van de twee materialen af.

Voorbeeld 25.12 (De helling, twee keer)

Een blok glijdt een helling met hoek $\alpha$ af; assen: $x$ de helling af, $y$ loodrecht erop. Op $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . Op $x$ , wrijvingsloos: $ma = mg\sin\alpha$ , dus $a = g\sin\alpha$ — zonder massa; bij $\alpha = 30^\circ$ is $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Met kinetische wrijving: $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$ ; voor $\mu_k = 0.20$ geeft dat $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . En het blok bleef om te beginnen alleen liggen zolang de benodigde statische wrijving onder haar plafond paste: $\tan\alpha \leq \mu_s$ .

Krachtenschema op de helling: gewicht P, normaalkracht N en wrijving f de helling op voor een blok dat naar beneden glijdt. Assen langs en loodrecht op de helling splitsen P in mg en mg (gestippeld). — Krachtenschema op de helling: gewicht $\vect P$ , normaalkracht $\vect N$ en wrijving $\vect f$ de helling op voor een blok dat naar beneden glijdt. Assen langs en loodrecht op de helling splitsen $\vect P$ in $mg\sin\alpha$ en $mg\cos\alpha$ (gestippeld).

Definitie 25.13 (Schijnbaar gewicht)

Het schijnbare gewicht van een lichaam is de normaalkracht tussen het lichaam en zijn steunvlak — wat een weegschaal eronder aanwijst.

Voorbeeld 25.14 (De lift)

Een passagier van $70\,\mathrm{kg}$ staat op een weegschaal in een lift met verticale versnelling $a_z$ (omhoog positief): $N - mg = ma_z$ , dus $N = m(g + a_z)$ . Bij optrekken met $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $792\,\mathrm{N}$ , zwaar; bij afremmen vlak onder de bovenste verdieping: $582\,\mathrm{N}$ , licht; bij eenparig rijden: $mg = 687\,\mathrm{N}$ — de eerste wet; bij vrije val, $a_z = -g$ : $N = 0$ , gewichtloosheid op een weegschaal.

Voorbeeld 25.15 (Twee blokken en een katrol)

Een blok $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ op een wrijvingsloze tafel is met een licht touw over een ideale katrol verbonden met een hangend blok $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . Het touw draagt aan beide uiteinden dezelfde spankracht $T$ over; de blokken delen één grootte van de versnelling $a$ . Eén tweede wet per blok, langs elke beweging: $m_1 a = T$ en $m_2 a = m_2 g - T$ , dus $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — kleiner dan $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$ , zoals nodig is om $m_2$ omlaag te laten versnellen.

Twee blokken, één licht touw, één ideale katrol: dezelfde spankracht T trekt aan beide uiteinden en de blokken delen één grootte van de versnelling — één tweede wet per blok, twee vergelijkingen, twee onbekenden. — Twee blokken, één licht touw, één ideale katrol: dezelfde spankracht $T$ trekt aan beide uiteinden en de blokken delen één grootte van de versnelling — één tweede wet per blok, twee vergelijkingen, twee onbekenden.

Voorbeeld 25.16 (De vlakke bocht)

Een auto met massa $m$ neemt met constante snelheid $v$ een vlakke bocht met straal $R$ . In het frenetstelsel (Hoofdstuk 24) is de versnelling zuiver normaal, $a_N = v^2/R$ , naar het middelpunt gericht. Verticaal geldt $N = mg$ ; horizontaal is de enige middelpuntzoekende kracht die beschikbaar is de statische wrijving van de weg op de banden: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$ , dus $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$ , wat de massa ook is. Voor $R = 90\,\mathrm{m}$ en droog wegdek ( $\mu_s = 0.70$ ): $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); op ijs stort het plafond in — Oefening 25.13 verkant de weg, Oefening 25.10 laat dezelfde projectie aan een draad slingeren.

Een auto in een vlakke bocht bij constante snelheid: van bovenaf (links) raakt de snelheid aan de baan en wijst de resulterende kracht naar het middelpunt; van achteren (rechts) houdt N het gewicht P in evenwicht, en is de zijwaartse statische wrijving van de weg de volledige middelpuntzoekende kracht. — Een auto in een vlakke bocht bij constante snelheid: van bovenaf (links) raakt de snelheid aan de baan en wijst de resulterende kracht naar het middelpunt; van achteren (rechts) houdt $\vect N$ het gewicht $\vect P$ in evenwicht, en is de zijwaartse statische wrijving van de weg de volledige middelpuntzoekende kracht.

25.5 Geïsoleerde systemen: de impuls blijft behouden

Propositie 25.17 (Behoud van impuls)

Voor twee lichamen waarop de uitwendige krachten verdwijnen of elkaar opheffen, is de totale impuls $\vect p_1 + \vect p_2$ constant, welke krachten ze ook op elkaar uitoefenen.

Bewijs. Tel de twee tweede wetten op: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} + \vect F_{\text{uitw}}$ : het inwendige paar valt weg door de derde wet, en $\vect F_{\text{uitw}} = \vect 0$ volgens de veronderstelling. ∎

Voorbeeld 25.18 (Terugstoot)

Een schaatsster van $60\,\mathrm{kg}$ staat stil op glad ijs en gooit een medicijnbal van $4.0\,\mathrm{kg}$ horizontaal weg met $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Ervoor: $\vect p = \vect 0$ ; erna: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$ , dus $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ze drijft achteruit. Niets van buitenaf duwde haar: de bal deed het (derde wet), en de boeken blijven op nul.

Opmerking 25.19 (Hoe een raket op niets duwt)

Een raket is een machine om massa weg te gooien. Elke seconde slingeren haar motoren een portie gas naar achteren; het gas voert achterwaartse impuls mee, dus wint de raket dezelfde hoeveelheid vooruit — een gestage stuwkracht, ruwweg de per seconde uitgestoten massa maal de uitstootsnelheid. De raket duwt op haar eigen uitlaatgassen en niet op de lucht: ze werkt het best in de lege ruimte.

25.6 Oefeningen

Oefening 25.1 ★

Bereken de impuls van (a) een sprinter van $70\,\mathrm{kg}$ met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (b) een auto van $1300\,\mathrm{kg}$ met $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (c) een kogel van $8.0\,\mathrm{g}$ met $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Rangschik ze. Waarom komt de snelste als laatste?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.1.

(a) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Auto $>$ sprinter $>$ kogel: vijf ordegrootten massa zijn meer dan snelheid kan kopen.

Oefening 25.2 ★

Een passagier van $70\,\mathrm{kg}$ staat op een weegschaal in een lift. Wat wijst die aan wanneer de cabine (a) omhoog versnelt met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; (b) met een constante $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ klimt; (c) omlaag versnelt met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ? Welke wet beslist (b)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.2.

$N = m(g + a_z)$ : (a) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$ ; (b) $a_z = 0$ , dus $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — de eerste wet: constante snelheid, krachten in evenwicht; (c) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$ .

Oefening 25.3 ★

Een blok wordt losgelaten op een wrijvingsloze helling met hoek $30^\circ$ . Bereken zijn versnelling, en daarna zijn snelheid na $3.0\,\mathrm{m}$ glijden. Waar is de massa gebleven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.3.

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De massa valt weg tussen $ma$ en $mg\sin\alpha$ .

Oefening 25.4 ★

Een tennisbal van $58\,\mathrm{g}$ komt aan met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en wordt langs dezelfde lijn teruggeslagen met $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; het contact duurt $5.0\,\mathrm{ms}$ . Bereken de impulsverandering en de gemiddelde kracht van de snaren; vergelijk die kracht met het gewicht van de bal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.4.

Omkering: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — ongeveer $800$ keer het gewicht van $0.57\,\mathrm{N}$ , en daarom wordt de zwaartekracht tijdens het contact genegeerd.

Oefening 25.5 ★

Een boek ligt op een tafel. Noem de twee krachten op het boek en, voor elk, de partner uit het actie–reactiepaar (welk lichaam? welke richting?). Waarom zijn het gewicht van het boek en de duw van de tafel geen partners van elkaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.5.

Gewicht (Aarde op boek, omlaag): partner $=$ het boek trekt de Aarde omhoog. Normaalkracht (tafel op boek, omhoog): partner $=$ het boek drukt op de tafel, omlaag. Gewicht en normaalkracht werken op hetzelfde lichaam en horen bij twee verschillende wisselwerkingen — hier alleen even groot omdat $\vect a = \vect 0$ .

Oefening 25.6 ★★

Een krat van $50\,\mathrm{kg}$ staat op een horizontale vloer, $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ . (a) Welke horizontale duw brengt het net in beweging? (b) Als die duw wordt volgehouden, wat is dan zijn versnelling? (c) Welke duw houdt het bij constante snelheid in beweging?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.6.

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$ . (a) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$ . (b) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$ .

Oefening 25.7 ★★

Hetzelfde krat wordt op een verstelbare helling gezet ( $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ ). (a) Bij welke hoek begint het te glijden? (b) Bereken bij $30^\circ$ zijn versnelling. (c) Blijft het versnellen zodra het bij de hoek uit (a) op gang komt? Waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.7.

(a) Het glijdt zodra $\tan\alpha > \mu_s$ : $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$ . (b) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Ja: zodra het glijdt, zakt de wrijving naar $\mu_k < \mu_s$ , dus $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$ .

Oefening 25.8 ★★

Een blok van $3.0\,\mathrm{kg}$ op een wrijvingsloze tafel is over een ideale katrol verbonden met een hangend blok van $2.0\,\mathrm{kg}$ . Bereken de versnelling en de spankracht. Waarom moest de spankracht kleiner uitvallen dan het hangende gewicht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.8.

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$ . Het hangende blok versnelt omlaag, dus wijst de resulterende kracht erop omlaag: $T$ moet onder $m_2 g$ blijven.

Oefening 25.9 ★★

Een bocht met straal $50\,\mathrm{m}$ is vlak. Bereken de hoogste snelheid van een auto voor $\mu_s = 0.70$ (droog) en $0.40$ (nat), in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Waarom geldt het antwoord even goed voor een scooter als voor een vrachtwagen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.9.

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$ : droog $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; nat $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Zowel $mv^2/R$ als $\mu_s mg$ draagt $m$ : die valt weg.

Oefening 25.10 ★★

Een bol van $0.30\,\mathrm{kg}$ aan een draad van $1.2\,\mathrm{m}$ beschrijft een horizontale cirkel terwijl de draad een constante hoek van $25^\circ$ met de verticaal maakt (een kegelslinger). Projecteer de tweede wet verticaal en daarna langs de straal: bereken de spankracht en de snelheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.10.

Verticaal: $T\cos\theta = mg$ , dus $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$ . Straal $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$ ; radiaal: $T\sin\theta = mv^2/R$ , dus $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 25.11 ★★

Een pakket van $5.0\,\mathrm{kg}$ staat op een weegschaal in een goederenlift; de aflezingen:

fase	$0\text{ to }2\,\mathrm{s}$	$2\text{ to }8\,\mathrm{s}$	$8\text{ to }10\,\mathrm{s}$
weegschaal ( $\mathrm{N}$ )	54.0	49.0	44.1

Bereken de versnelling in elke fase en beschrijf een mogelijke rit. Kan de lift de hele tijd omlaag hebben bewogen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.11.

$a_z = (N - mg)/m$ met $mg = 49.05\,\mathrm{N}$ : $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $0$ , $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Bijvoorbeeld een rit omhoog: optrekken, doorrijden, afremmen. En ja: als de lift al daalde, betekenen dezelfde aflezingen afremmen, doorrijden en weer versnellen omlaag — de weegschaal leest de versnelling af, niet de snelheid.

Oefening 25.12 ★★★

Een schaatsster van $60\,\mathrm{kg}$ staat stil op glad ijs en gooit een bal van $4.0\,\mathrm{kg}$ horizontaal weg. (a) De bal vertrekt met $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de grond: hoe groot is haar terugstootsnelheid? (b) De $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ is nu ten opzichte van haar gemeten: bereken beide snelheden opnieuw. (c) Welke kracht duwde haar achteruit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.12.

(a) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$ : $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) De bal gaat met $8.0 + V$ ten opzichte van de grond: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$ , dus $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en de bal vliegt met $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) De duw van de bal op haar handen — de partner uit de derde wet van haar worp.

Oefening 25.13 ★★★

Een snelwegbocht met straal $80\,\mathrm{m}$ is ontworpen voor $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ zonder hulp van de wrijving. Toon aan dat het wegdek verkant moet zijn onder de hoek $\theta$ met $\tan\theta = v^2/(gR)$ en bereken die. Wat moet de wrijving doen bij een auto die de bocht trager neemt — of sneller?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.13.

Wrijvingsloos: $N\cos\theta = mg$ (verticaal) en $N\sin\theta = mv^2/R$ (radiaal); delen geeft $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$ , dus $\theta \approx 27^\circ$ . Trager: de auto neigt de verkanting af te glijden en moet de wrijving de helling op wijzen; sneller: omgekeerd.

Oefening 25.14 ★★★

De motoren van een raket stoten $250\,\mathrm{kg}$ gas per seconde uit met $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Hoeveel impuls vertrekt er per seconde — welke stuwkracht geven de gassen terug? (b) De raket weegt bij de ontsteking $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ : hoe groot is haar gewicht? En haar versnelling bij het opstijgen? (c) Waarom werkt de motor in de lege ruimte net zo goed?

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.14.

(a) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per seconde: een stuwkracht van $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ . (b) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ ; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Ze duwt op haar eigen uitlaatgassen (derde wet) en niet op de lucht.

Oefening 25.15 ★★★

Een blok van $4.0\,\mathrm{kg}$ op een tafel ( $\mu_s = 0.35$ , $\mu_k = 0.25$ ) is over een ideale katrol verbonden met een hangende massa $m_2$ . (a) Welke minimale $m_2$ brengt de beweging op gang? (b) Bereken voor $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$ de versnelling en de spankracht. (c) Ga na dat $\mu_k = 0$ de wrijvingsloze formule van Oefening 25.8 teruggeeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 25.15.

(a) $m_2 g > \mu_s m_1 g$ : $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$ . (b) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$ . (c) $\mu_k = 0$ geeft $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$ : de formule van Oefening 25.8.

25.7 Probleem: De kabelbaan

Probleem 25.1

Weekendopgave — de kabelbaan keuren: de spankracht die de helling in rust vraagt, de toeslag van het optrekken, de opluchting boven de mast, de prijs van een noodstop — en het ene getal dat het bordje in de cabine mag beloven

Een kabelbaan in de bergen — cabine plus loopwerk, lege massa $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — rolt over een draagkabel die onder $\alpha = 30^\circ$ helt, getrokken door een trekkabel evenwijdig aan de helling met spankracht $\vect T$ . De rolwrijving is verwaarloosbaar; de vloer van de cabine blijft de hele tijd horizontaal. De cabine biedt plaats aan $25$ passagiers met een gemiddelde massa van $80\,\mathrm{kg}$ ; jij bent de keuringsingenieur. Tenzij anders vermeld is de cabine vol: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ .

Deel I — In rust op de helling.

Kies het systeem; zeg waarom het stelsel van de berg als traagheidsstelsel volstaat; inventariseer de drie krachten, met hun richtingen.
Welke wet regeert het wachten? Projecteer die langs en loodrecht op de helling om $T$ en de normaalkracht $N$ van de draagkabel uit te drukken.
Bereken $T$ en $N$ .
Bereken $T$ opnieuw voor de lege cabine. Waarom is $T$ evenredig met de totale massa?
De trekkabel knapt en de remmen staan af: toon aan dat de versnelling van de wegrollende cabine $g \sin\alpha$ is, beladen of leeg, en bereken haar.

Deel II — Optrekken. De lier versnelt de volle cabine met $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ de helling op tot ze met $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ doorrijdt.

Druk de spankracht $T'$ tijdens deze fase uit en bereken haar.
Met welk deel tilt het optrekken de spankracht boven haar waarde in rust?
Hoe lang duurt de fase, en over welke afstand?
Een passagier van $80\,\mathrm{kg}$ staat op de horizontale vloer. Projecteer de tweede wet verticaal om haar schijnbare gewicht uit te drukken en te berekenen; vergelijk met $mg$ .
Welke kracht versnelt haar horizontaal, en hoe groot is die? Waarom leunen passagiers?

Deel III — Over de mast. Bij een constante $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ buigt de draagkabel over een steunmast langs een verticale cirkelboog met straal $R = 40\,\mathrm{m}$ ; op het hoogste punt is de snelheid horizontaal.

Geef in het frenetstelsel op het hoogste punt (Hoofdstuk 24) beide componenten van de versnelling, met hun waarden.
Projecteer de tweede wet langs de normaal om de normaalkracht $N'$ van de kabel op het loopwerk uit te drukken en te berekenen.
Dezelfde vraag voor het schijnbare gewicht van de passagier op het hoogste punt: met welk deel is ze lichter?
Bij welke snelheid zou $N'$ verdwijnen? Vergelijk met de rijsnelheid en becommentarieer.
Welke kracht oefent het loopwerk boven de mast op de kabel uit — welke wet zegt dat, met welke grootte en richting?

Deel IV — Remmen, een sprong, en het bordje.

Op het horizontale aankomsttraject brengt een noodstop de volle cabine in $1.5\,\mathrm{s}$ van $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tot stilstand: lees $\sum \vect F = d\vect p/dt$ als een gemiddelde over de stop om de remkracht te berekenen.
Welke horizontale kracht moet een passagier van $80\,\mathrm{kg}$ tot stilstand brengen, en kan de statische wrijving tussen schoen en vloer ( $\mu_s = 0.40$ ) die leveren? Trek je conclusie.
Op het perron, met de remmen af, hangt de lege cabine vrij en stil; de laatste passagier ( $80\,\mathrm{kg}$ ) springt er horizontaal uit met $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de cabine. Bereken de terugstootsnelheid van de cabine en de snelheid van de passagier ten opzichte van de grond.
In één zin: welk voortstuwingsapparaat leeft van dit terugstootbeginsel, en wat legt zijn stuwkracht vast?
Keuring. De trekkabel breekt bij $100\,\mathrm{kN}$ ; de voorschriften beperken de werkspankracht tot een vijfde daarvan. Toon aan dat het zwaarste geval hierboven het optrekken is, leid de maximale totale massa af, en druk het bordje af: hoeveel passagiers van $80\,\mathrm{kg}$ mogen mee? Controleer de veiligheidsfactor.

Oplossing

Oplossing van Probleem 25.1.

1. Systeem: cabine $+$ loopwerk ( $+$ passagiers). De berg ligt vast aan de grond en is tot in hoge nauwkeurigheid een traagheidsstelsel. Krachten: het gewicht $M\vect g$ (omlaag), de normaalkracht $\vect N$ van de draagkabel (loodrecht erop) en de trekspankracht $\vect T$ (de helling op).

2. In rust geldt de eerste wet: $\sum \vect F = \vect 0$ . Langs de helling: $T = Mg\sin\alpha$ ; loodrecht erop: $N = Mg\cos\alpha$ .

3. $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$ ; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$ .

4. Leeg: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$ . Elke kracht in het evenwicht is evenredig met $M$ , dus $T$ ook.

5. Langs de helling geldt $Ma = Mg\sin\alpha$ : $M$ valt weg, dus $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , de helling af.

6. $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 = 22.0\,\mathrm{kN}$ .

7. $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$ .

8. $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$ ; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$ .

9. Verticale component van $\vect a$ : $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dus $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ tegenover $mg = 785\,\mathrm{N}$ : $3\%$ zwaarder.

10. De statische wrijving van de vloer, horizontaal: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$ . Door te leunen laat ze de gecombineerde duw van de vloer door haar massamiddelpunt gaan, zodat die haar niet omkiept.

11. $a_T = dv/dt = 0$ (constante snelheid); $a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , naar het middelpunt gericht — op het hoogste punt dus recht omlaag.

12. Normale as (omlaag positief): $Mg - N' = Mv^2/R$ , dus $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$ .

13. $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$ : lichter met $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$ .

14. $N' = 0$ bij $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — meer dan drie keer de rijsnelheid: het loopwerk volgt de kabel met een ruime marge.

15. De derde wet van Newton: $35.6\,\mathrm{kN}$ , omlaag drukkend op de kabel (en dus op de mast) — net iets minder dan het gewicht in rust, verlicht door de gekromde vlucht.

16. $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 = 16\,\mathrm{kN}$ , tegengesteld aan de beweging ( $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

17. $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$ ; het plafond is $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$ : op de voeten alleen glijd je weg — houd je aan de leuning vast.

18. $0 = M_0 V + m(v_{\text{rel}} + V)$ : $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; de passagier beweegt met $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de grond.

19. De raket: haar stuwkracht ligt vast door de per seconde uitgestoten massa maal de uitstootsnelheid ten opzichte van haar.

20. De grootste spankracht die hierboven voorkomt is die bij het optrekken, $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (in rust geeft dat $Mg\sin\alpha$ , boven de mast nog minder). Grens: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$ , dus $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ : een nuttige last van $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , oftewel $20$ passagiers van $80\,\mathrm{kg}$ (niet $25$ ). Op het bordje: 20 personen; dan is $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$ en de veiligheidsfactor $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$ .