Physics · Boek 2 · Grades 10–12

Natuurkunde bovenbouw

Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

1Ordegrootten: het heelal opmeten

Natuurkunde begint waar de mening ophoudt: bij een meting. Maar wat de natuurkunde meet, beslaat een absurd bereik — een atoomkern meet ongeveer 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}, het waarneembare heelal ongeveer 1027 m10^{27}\,\mathrm{m}: een factor 104210^{42}, veel meer dan een voorstellingsvermogen aankan. Dit hoofdstuk zet het gereedschap klaar dat dat bereik temt — eenheden, machten van tien, significante cijfers — en twee gewoonten die op elke volgende bladzijde terugkeren: schrijf de eenheid op, en controleer de ordegrootte.

1.1 Eenheden: de grammatica van het meten

Definitie 1.1 (Natuurkundige grootheden en SI-eenheden)

Een natuurkundige grootheid is een eigenschap van de wereld die je kunt meten: een lengte, een duur, een massa. Meten is tellen hoe vaak een referentiegrootheid — de eenheid — erin past. Het Internationaal Stelsel van Eenheden (SI) legt zeven basiseenheden vast; drie ervan lopen door dit hele boek heen: de meter (m\mathrm{m}) voor lengte, de kilogram (kg\mathrm{kg}) voor massa en de seconde (s\mathrm{s}) voor tijd. (De vier andere — ampère, kelvin, mol, candela — komen erbij zodra elektriciteit, warmte en stofhoeveelheid in het verhaal stappen.)

Opmerking 1.2 (Een getal zonder eenheid is geen resultaat)

“De afstand is 384384” zegt niets: 384 mm384\,\mathrm{mm}, 384 km384\,\mathrm{km} en 384 Mm384\,\mathrm{Mm} zijn drie verschillende werelden (de laatste is toevallig de afstand tot de Maan). In 1999 verloor NASA de Mars Climate Orbiter van 327 miljoen dollar doordat het ene programma stuwkrachten in pound-force berekende en het andere ze als newton las. Huisregel, vanaf deze regel tot het einde van het boek: elk gemeten of berekend getal draagt zijn eenheid, op elke regel van de berekening.

Definitie 1.3 (SI-voorvoegsels)

Een voorvoegsel vóór een eenheid vermenigvuldigt die eenheid met een vaste macht van tien:

femtof10−1510^{-15}centic10−210^{-2}
picop10−1210^{-12}kilok10310^{3}
nanon10−910^{-9}megaM10610^{6}
microμ\mu10−610^{-6}gigaG10910^{9}
millim10−310^{-3}teraT101210^{12}

Zo is 1 nm=10−9 m1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m} en 1 km=103 m1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}.

Voorbeeld 1.4 (Voorvoegsels lezen)

Groen licht heeft een golflengte van ongeveer 500 nm=5.00×10−7 m500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}; een mensenhaar is ongeveer 70 µm=7.0×10−5 m70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} dik; de Maan draait op 384 Mm=3.84×108 m384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} om de Aarde. Een regendruppel heeft een massa van ongeveer 30 mg=3.0×10−5 kg30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg} — merk op dat de basiseenheid van massa als enige van de zeven zelf al een voorvoegsel draagt.

1.2 Wetenschappelijke notatie en significante cijfers

Definitie 1.5 (Wetenschappelijke notatie)

Een getal staat in wetenschappelijke notatie wanneer het geschreven is als

a×10n,1≤a<10,n geheel.a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ geheel.}

De factor aa heet de mantisse, het gehele getal nn de exponent. Zo is 149 600 000=1.496×108149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8} en 0.000 52=5.2×10−40.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}.

Propositie 1.6 (Rekenen met machten van tien)

Voor alle gehele getallen mm en nn:

10m×10n=10m+n,110n=10−n,(10m)n=10mn.10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad \frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad \left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.

Gedeeltelijk bewijs. Voor positieve exponenten volstaat het de factoren te tellen: 10m×10n10^{m} \times 10^{n} is een product van m+nm + n tientallen, en (10m)n(10^m)^n rijgt nn groepen van mm tientallen aaneen. Dat we 10−n10^{-n} schrijven voor 1/10n1/10^{n} is precies de afspraak die de eerste regel voor alle gehele getallen waar houdt: ze dwingt 10n×10−n=100=110^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1 af. Het bijbehorende wiskundevolume behandelt de rekenregels voor exponenten volledig. ∎

Voorbeeld 1.7 (Vermenigvuldigen in wetenschappelijke notatie)

Hoeveel Aardes passen er, naar massa, in de Zon? Met mZon=1.99×1030 kgm_{\text{Zon}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} en mAarde=5.97×1024 kgm_{\text{Aarde}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}:

1.99×10305.97×1024=1.995.97×1030−24=0.333×106=3.33×105.\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} = \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24} = 0.333 \times 10^{6} = 3.33 \times 10^{5}.

Mantisses en exponenten worden apart behandeld; het eindantwoord wordt opnieuw genormeerd zodat de mantisse weer in [1,10)[1, 10) terechtkomt.

Definitie 1.8 (Significante cijfers)

De significante cijfers van een gemeten getal zijn de cijfers waarvoor de meting werkelijk instaat: alle opgeschreven cijfers behalve de nullen vooraan. Nullen achteraan tellen wel mee — 5.20×10−3 s5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} (drie significante cijfers) belooft meer dan 5.2×10−3 s5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} (twee). De wetenschappelijke notatie laat het aantal in één oogopslag zien: de mantisse draagt precies de significante cijfers.

Methode 1.9 (Hoeveel cijfers je overhoudt)

Een berekend resultaat kan niet nauwkeuriger zijn dan zijn ingrediënten.

  1. Houd bij een product of quotiënt evenveel significante cijfers over als de minst nauwkeurige factor er heeft.
  2. Rond alleen het eindantwoord af, nooit de tussenstappen.
  3. Bij twijfel: drie significante cijfers is de werkprecisie van dit boek.

Voorbeeld 1.10 (De omtrek van de Aarde)

De diameter van de Aarde is d=1.27×107 md = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} (drie significante cijfers), dus haar omtrek is πd=3.141 59×1.27×107 m=3.99×107 m\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m} — drie cijfers, niet de acht die de rekenmachine toont. Wie 39 898 227 m39\,898\,227\,\mathrm{m} opschrijft, beweert de planeet op de meter nauwkeurig te kennen.

Een liniaal waarop elke even grote stap vermenigvuldigt met tien. De kleine streepjes zijn 200, 300, …, 900: een hele decade verdringt zich in elk segment. Op deze liniaal leunt 300 naar 102 en 7000 naar 104 — hun ordegrootten.
Een liniaal waarop elke even grote stap vermenigvuldigt met tien. De kleine streepjes zijn 200,300,…,900200, 300, \dots, 900: een hele decade verdringt zich in elk segment. Op deze liniaal leunt 300300 naar 10210^{2} en 70007000 naar 10410^{4} — hun ordegrootten.

1.3 De ladder van het heelal

Definitie 1.11 (Ordegrootte)

De ordegrootte van een grootheid is de macht van tien die er het dichtst bij ligt: schrijf de grootheid als a×10na \times 10^{n} met 1≤a<101 \leq a < 10 en neem 10n10^{n} als a<5a < 5, en 10n+110^{n+1} als a≥5a \geq 5. (De precieze grensafspraak doet er nooit toe: een uitspraak over ordegrootte geldt sowieso maar op een factor tien na.)

Voorbeeld 1.12 (Ordegrootten)

Een mensenleven duurt ongeveer 8080 jaar, dus 80×3.16×107 s≈2.5×109 s80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}: ordegrootte 109 s10^{9}\,\mathrm{s} — een paar miljard seconden, besteed ze goed. Een mens is 1.7 m1.7\,\mathrm{m} lang: orde 100 m10^{0}\,\mathrm{m}. De Mount Everest, 8848 m8848\,\mathrm{m}: orde 104 m10^{4}\,\mathrm{m}, want 8.848≥58.848 \geq 5.

Zulke schattingen op exponent gestapeld leveren het hoofdbeeld van dit hoofdstuk op: een ladder waarvan elke sport een wereld is die tien keer wijder is dan de sport eronder.

De ladder van het heelal, in meters: 42 machten van tien scheiden de atoomkern van het waarneembare heelal, en een mens staat tien sporten boven het atoom maar zevenentwintig onder de top.
De ladder van het heelal, in meters: 4242 machten van tien scheiden de atoomkern van het waarneembare heelal, en een mens staat tien sporten boven het atoom maar zevenentwintig onder de top.

Boven de sport van de Aarde houden meters op handig te zijn; de sterrenkunde houdt er eigen eenheden op na, allebei vanuit de ladder zelf gedefinieerd.

Definitie 1.13 (Astronomische eenheid en lichtjaar)

De astronomische eenheid (1 au=1.496×1011 m1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}) is de gemiddelde afstand Aarde–Zon. Het lichtjaar (ly\mathrm{ly}) is de afstand die het licht in één jaar aflegt. Licht beweegt in vacuüm met

c=3.00×108 m/s,c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},

de grootste snelheid die de natuur toelaat — het lichtjaar is dus een afstand, geen tijd.

Afstanden vanaf de Aarde op de vermenigvuldigende liniaal, met er in rood onder de reistijd van het licht: de Maan ligt lichtseconden ver, de planeten lichturen, de sterren lichtjaren.
Afstanden vanaf de Aarde op de vermenigvuldigende liniaal, met er in rood onder de reistijd van het licht: de Maan ligt lichtseconden ver, de planeten lichturen, de sterren lichtjaren.

Voorbeeld 1.14 (Het lichtjaar in meters)

Een jaar telt 365.25×24×3600=3.156×107 s365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} (prettig dicht bij π×107 s\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}). Dus

1 ly=c×3.156×107 s=3.00×108 m/s×3.156×107 s=9.47×1015 m.1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.

Proxima Centauri, de dichtstbijzijnde ster na de Zon, staat op 4.2 ly≈4.0×1016 m4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}: licht dat de afstand Aarde–Zon in acht minuten oversteekt, heeft van daar ruim vier jaar nodig.

Methode 1.15 (Controle op ordegrootte)

Voordat je een berekend resultaat vertrouwt:

  1. rond elk gegeven af op zijn ordegrootte;
  2. doe de berekening opnieuw met alleen machten van tien, met Propositie 1.6 — dat kost seconden;
  3. vergelijk: het nauwkeurige antwoord moet tot op ongeveer een factor tien met de schatting kloppen, en de eenheid moet de juiste zijn. Faalt een van beide controles, spoor dan eerst de fout op voordat je verdergaat.

Opmerking 1.16 (Waarom die moeite)

Een rekenmachine meldt zonder blozen dat een appel een massa van 4×108 kg4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg} heeft — ze kan niet beter weten. Geen enkele formule signaleert het absurde; de gewoonte doet dat wel. Natuurkundigen schatten eerst en rekenen daarna: de schatting vangt verschoven decimale punten, verwisselde eenheden en omgekeerde breuken op, de drie fouten achter de meeste verkeerde antwoorden, op elk niveau.

1.4 Meten en onzekerheid

Geen enkel instrument leest de ware waarde af. Een meting is pas eerlijk als ze er ook bij vermeldt hoever ze ernaast kan zitten.

Definitie 1.17 (Absolute en relatieve onzekerheid)

Een meting van een grootheid xx wordt genoteerd als

x=xm±Δx,x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,

waarbij xmx_{\text{m}} de gemeten waarde is en de absolute onzekerheid Δx>0\Delta x > 0, in dezelfde eenheid, de aannemelijke fout begrenst: de ware waarde ligt naar verluidt tussen xm−Δxx_{\text{m}} - \Delta x en xm+Δxx_{\text{m}} + \Delta x. De relatieve onzekerheid is de verhouding Δx/xm\Delta x / x_{\text{m}}, meestal in procent gegeven; zij is wat het woord “nauwkeurig” meet.

Methode 1.18 (Een schaalverdeling aflezen)

Voor een liniaal, een maatcilinder, een wijzerplaat:

  1. lees de streep af die het dichtst bij het merkteken ligt, met het oog loodrecht op de schaal (een scheve blik verschuift de aflezing);
  2. neem minstens de helft van de kleinste schaaldeling als absolute onzekerheid — meer als de rand van het voorwerp of het vloeistofoppervlak vaag is;
  3. schrijf het resultaat als xm±Δxx_{\text{m}} \pm \Delta x met zijn eenheid, en houd geen cijfer over voorbij het onzekere cijfer.
Aflezen op een millimeterliniaal: het uiteinde van het staafje valt het dichtst bij de streep van 127\, mm, en de gearceerde band van een halve schaaldeling aan elke kant is de eerlijke bewering.
Aflezen op een millimeterliniaal: het uiteinde van het staafje valt het dichtst bij de streep van 127 mm127\,\mathrm{mm}, en de gearceerde band van een halve schaaldeling aan elke kant is de eerlijke bewering.

Voorbeeld 1.19 (Relatieve nauwkeurigheid)

De aflezing hierboven heeft relatieve onzekerheid 0.5127≈0.4%\frac{0.5}{127} \approx 0.4\%. Dezelfde liniaal geeft bij een bout van 12 mm12\,\mathrm{mm} juist 0.512≈4%\frac{0.5}{12} \approx 4\%: hetzelfde instrument is tien keer minder nauwkeurig op het kleine voorwerp. Nauwkeurigheid is een eigenschap van de meting, niet van het gereedschap.

Opmerking 1.20 (Klein absoluut, enorm relatief — en omgekeerd)

Laserstations meten de afstand Aarde–Maan, 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, tot op ongeveer ±3 cm\pm3\,\mathrm{cm}: een relatieve onzekerheid van 10−1010^{-10}, een van de scherpste metingen ooit gedaan — met een absolute fout waar geen liniaal over zou opscheppen. Vraag je altijd af: relatief ten opzichte waarvan? Het paar (Δx, Δx/xm)(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}}) vertelt het hele verhaal, en elk van beide getallen alleen kan misleiden.

1.5 Oefeningen

Oefening 1.1 ★

Zet om naar meters, in wetenschappelijke notatie:

  1. 750 nm750\,\mathrm{nm} (golflengte van rood licht);
  2. 2.5 km2.5\,\mathrm{km};
  3. 3.2 µm3.2\,\text{µ}\mathrm{m} (een bodembacterie);
  4. 0.15 Tm0.15\,\mathrm{Tm} (de afstand Aarde–Zon, in een ongebruikelijke vermomming).
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.1.

1. 750 nm=750×10−9 m=7.50×10−7 m750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}. 2. 2.5 km=2.5×103 m2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}. 3. 3.2 µm=3.2×10−6 m3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}. 4. 0.15 Tm=0.15×1012 m=1.5×1011 m0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m} — één astronomische eenheid.

Oefening 1.2 ★

Schrijf in wetenschappelijke notatie en geef het aantal significante cijfers:

  1. de afstand Aarde–Zon, 149 600 000 km149\,600\,000\,\mathrm{km}, in meters;
  2. de diameter van een waterstofatoom, 0.000 000 000 106 m0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m};
  3. de wereldbevolking, ongeveer 8 100 000 0008\,100\,000\,000;
  4. een duur van 0.005 20 s0.005\,20\,\mathrm{s}.
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.2.

1. 149 600 000 km=1.496×1011 m149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}: 44 significante cijfers. 2. 1.06×10−10 m1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}: 33 significante cijfers (nullen vooraan tellen nooit mee). 3. 8.1×1098.1 \times 10^{9}: 22 significante cijfers. 4. 5.20×10−3 s5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}: 33 significante cijfers (de nul achteraan is een belofte).

Oefening 1.3 ★

Bereken zonder rekenmachine en geef elk resultaat in wetenschappelijke notatie:

(3×108)×(2×10−5),8×1044×10−3,(5×106)2,(4×10−3)×(3×10−9)6×10−7.(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad \frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad (5\times10^{6})^{2}, \qquad \frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.3.

Mantisses en exponenten apart (Propositie 1.6):

3×2×108−5=6×103,84×104−(−3)=2×107,3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad \tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},
52×1012=2.5×1013,4×36×10−3−9+7=2×10−5.5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad \tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .

Oefening 1.4 ★

Geef de ordegrootte, met eenheid, van: een lichaamslengte van 1.7 m1.7\,\mathrm{m}; de Mount Everest, 8848 m8848\,\mathrm{m}; een bacterie E. coli, 2×10−6 m2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}; de massa van de Aarde, 5.97×1024 kg5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.4.

Mens: 1.7<51.7 < 5, orde 100 m10^{0}\,\mathrm{m}. Everest: 8848 m=8.848×103 m8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m} en 8.848≥58.848 \geq 5: orde 104 m10^{4}\,\mathrm{m}. Bacterie: orde 10−6 m10^{-6}\,\mathrm{m}. Aarde: 5.97≥55.97 \geq 5, orde 1025 kg10^{25}\,\mathrm{kg}.

Oefening 1.5 ★

Een liniaal is in millimeters verdeeld. Je meet een potlood op 127 mm127\,\mathrm{mm}.

  1. Geef het resultaat met zijn absolute onzekerheid.
  2. Bereken de relatieve onzekerheid.
  3. Dezelfde liniaal meet een gum van 12 mm12\,\mathrm{mm}. Welke van de twee metingen is de nauwkeurigste, en met welke factor?
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.5.

1. Een halve schaaldeling: L=(127.0±0.5) mmL = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}. 2. ΔL/L=0.5/127≈0.4%\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\%. 3. Gum: 0.5/12≈4%0.5/12 \approx 4\%. De meting van het potlood is ongeveer tien keer nauwkeuriger — dezelfde liniaal, dezelfde absolute onzekerheid, een tien keer langer voorwerp.

Oefening 1.6 ★★

Gebruik c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} en 1 ly=9.47×1015 m1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}:

  1. Druk de afstanden tot Proxima Centauri (4.24 ly4.24\,\mathrm{ly}) en tot Sirius (8.6 ly8.6\,\mathrm{ly}) uit in meters.
  2. De sonde Voyager 1 staat op ongeveer 2.4×1013 m2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} van de Aarde. Hoe lang doet haar radiosignaal, dat met cc reist, erover om ons te bereiken? Geef het antwoord in uren.
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.6.

1. Proxima: 4.24×9.47×1015 m=4.01×1016 m4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}. Sirius: 8.6×9.47×1015 m=8.1×1016 m8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m} (twee significante cijfers, net als het gegeven). 2. t=d/c=2.4×1013 m/3.00×108 m/s=8.0×104 st = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}, dus 8.0×104/3600≈22 h8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}: bijna een volle dag voor elk bericht van de sonde.

Oefening 1.7 ★★

Hoe lang doet licht erover om de Aarde te bereiken vanaf de Maan (3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}), vanaf de Zon (1.496×1011 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}) en vanaf Neptunus (4.50×1012 m4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m})? Geef elk antwoord in een zinvolle eenheid en vul de zin aan: “Wie naar Neptunus kijkt, ziet hem zoals hij was…”

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.7.

Telkens t=d/ct = d/c. Maan: 3.84×108 m/3.00×108 m/s=1.28 s3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}. Zon: 1.496×1011 m/3.00×108 m/s=499 s≈8.3 min1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}. Neptunus: 4.50×1012 m/3.00×108 m/s=1.50×104 s≈4.2 h4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 4.2\,\mathrm{h}. Wie naar Neptunus kijkt, ziet hem zoals hij ongeveer vier uur geleden was — elke telescoop is een milde tijdmachine.

Oefening 1.8 ★★

Een pak van 500500 vellen papier is, gemeten met een millimeterliniaal, 52.0 mm52.0\,\mathrm{mm} dik, met onzekerheid ±0.5 mm\pm0.5\,\mathrm{mm}.

  1. Leid de dikte van één vel af, met zijn absolute onzekerheid.
  2. Hoe groot is de relatieve onzekerheid van die dikte?
  3. Waarom is het pak meten enorm veel beter dan één vel rechtstreeks meten met dezelfde liniaal? Kwantificeer.
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.8.

1. Eén vel: 52.0 mm/500=0.104 mm=1.04×10−4 m52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm} = 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}. De onzekerheid wordt mee gedeeld: 0.5 mm/500=0.001 mm0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}, dus t=(104±1) µmt = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}. 2. 1/104≈1%1/104 \approx 1\%. 3. Eén vel rechtstreeks meten zou (0.1±0.5) mm(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm} opleveren: een relatieve onzekerheid van ongeveer 500%500\% — de liniaal kan niet eens bewijzen dat het vel bestaat. Een stapel van 500500 vellen vermenigvuldigt de gemeten lengte met 500500 terwijl de absolute onzekerheid van de liniaal onveranderd blijft: de relatieve onzekerheid krimpt met diezelfde factor 500500.

Oefening 1.9 ★★

Neem 2×10−10 m2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} als diameter van een atoom. Hoeveel atomen liggen er, zij aan zij, over: een bacterie van 2.0 µm2.0\,\text{µ}\mathrm{m}; een haar van 70 µm70\,\text{µ}\mathrm{m}; een mens van 1.7 m1.7\,\mathrm{m}? Geef het laatste antwoord ook als ordegrootte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.9.

Deel elke lengte door 2×10−10 m2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}. Bacterie: 2.0×10−6 m/2×10−10 m=1.0×1042.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4} atomen. Haar: 7.0×10−5 m/2×10−10 m=3.5×1057.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}. Mens: 1.7/2×10−10=8.5×1091.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}, ordegrootte 101010^{10}: tien miljard atomen van kruin tot teen.

Oefening 1.10 ★★

Een schaalmodel stelt de Zon (diameter 1.39×109 m1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}) voor door een voetbal met diameter 22 cm22\,\mathrm{cm}.

  1. Bereken de schaalfactor van het model.
  2. Bepaal de modeldiameter van de Aarde (1.27×107 m1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}) en haar modelafstand tot de voetbal (werkelijke afstand 1.496×1011 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}).
  3. Hoe ver van de modelaarde staat de modelmaan (werkelijke afstand 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m})? En hoe ver weg staat de modelneptunus (werkelijke afstand 4.50×1012 m4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m})?
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.10.

1. s=0.22 m/1.39×109 m=1.58×10−10s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}. 2. Aarde: 1.27×107 m×1.58×10−10=2.0×10−3 m=2.0 mm1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} = 2.0\,\mathrm{mm} — een peperkorrel — die op 1.496×1011 m×1.58×10−10=23.7 m≈24 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx 24\,\mathrm{m} van de voetbal draait. 3. Maan: 3.84×108 m×1.58×10−10=6.1 cm3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm} van de peperkorrel. Neptunus: 4.50×1012 m×1.58×10−10≈710 m4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}: het model past niet op het schoolplein.

Oefening 1.11 ★★

Significante cijfers aan het werk.

  1. Een A4-blad meet 21.0 cm21.0\,\mathrm{cm} bij 29.7 cm29.7\,\mathrm{cm}. Geef de oppervlakte met het juiste aantal significante cijfers.
  2. Een sprinter legt 100.0 m100.0\,\mathrm{m} af in 12.3 s12.3\,\mathrm{s}. Geef de gemiddelde snelheid correct afgerond.
  3. Leg in één zin uit wat er oneerlijk zou zijn aan het aankondigen van de oppervlakte als 623.70 cm2623.70\,\mathrm{cm}^{2}.
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.11.

1. 21.0×29.7=623.7 cm221.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}, afgerond op de drie significante cijfers van de gegevens: 624 cm2624\,\mathrm{cm}^{2}. 2. v=100.0 m/12.3 s=8.13 m/sv = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s} (drie cijfers, opgelegd door de tijd). 3. Vijf significante cijfers zouden de oppervlakte op 0.01 cm20.01\,\mathrm{cm}^{2} nauwkeurig claimen, een precisie die de gegevens op millimeterniveau nooit geleverd hebben — een vervalste decimaal blijft een vervalsing.

Oefening 1.12 ★★★

Een oliedruppel met een volume van 1.0 mm31.0\,\mathrm{mm}^{3} wordt op stil water gelegd en vloeit uit tot een cirkelvormig laagje met diameter 1.1 m1.1\,\mathrm{m} — een laagje dat, zoals latere hoofdstukken laten zien, één molecuul dik is.

  1. Bereken de oppervlakte van het laagje en daarna zijn dikte.
  2. Leid een ordegrootte af voor de afmeting van een molecuul, en toets die aan de sport “atoom” van de ladder.

(Dit achterkant-van-een-envelop-experiment, voor het eerst gedaan door Benjamin Franklin op een Londense vijver, was een van de eerste eerlijke metingen die de mens aan de moleculaire wereld heeft verricht.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.12.

1. Straal r=0.55 mr = 0.55\,\mathrm{m}, oppervlakte A=πr2=π×0.552≈0.95 m2A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}. Het volume is V=1.0 mm3=1.0×10−9 m3V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}, en een laagje is (oppervlakte) ×\times (dikte), dus

e=VA=1.0×10−9 m30.95 m2=1.1×10−9 m.e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}} = 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .

2. Een molecuul is van de orde 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m} — één sport boven de 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} van het atoom, wat klopt met een molecuul als klein groepje atomen. Franklins theelepel olie kalmeerde een halve hectare vijver en mat, zonder dat hij het wist, de nanometer.

Oefening 1.13 ★★★

Schat het aantal hartslagen in een mensenleven. Vermeld je aannames (hartslag in rust, levensduur), houd het rekenwerk bij machten van tien en één cijfer mantisse, en geef het eindantwoord alleen als ordegrootte. Waarom zou het zinloos zijn dat antwoord in vier significante cijfers te geven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 1.13.

Aannames: ongeveer 7070 slagen per minuut in rust, een leven van 8080 jaar. Per dag: 70×60×24≈1×10570 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5} slagen. Per jaar: 1×105×365≈4×1071 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}. Per leven: 4×107×80≈3×1094 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9} — ordegrootte 10910^{9}, een paar miljard hartslagen. Vier significante cijfers zouden doen alsof je een hartslag minuut voor minuut kent, tachtig jaar lang: de gegevens zijn schattingen op ordegrootte, en geen uitkomst overtreft haar gegevens (Methode 1.9).

Oefening 1.14 ★★★

Een vel papier is 0.10 mm0.10\,\mathrm{mm} dik, en elke vouw verdubbelt de dikte van de stapel. Gebruik 210≈1032^{10} \approx 10^{3}:

  1. Na hoeveel vouwen zou de stapel de Mount Everest (8848 m8848\,\mathrm{m}) overtreffen?
  2. Na hoeveel vouwen zou hij de Maan (3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}) bereiken?
  3. In de praktijk laat een vel zich niet vaker dan ongeveer zeven keer vouwen. Ontkracht dat het rekenwerk, of alleen het experiment?
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.14.

Na nn vouwen is de dikte 2n×1.0×10−4 m2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}. 1. Nodig is 2n≥8848/1.0×10−4=8.8×1072^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}. Omdat 226≈6.7×1072^{26} \approx 6.7 \times 10^{7} te kort schiet en 227≈1.3×1082^{27} \approx 1.3 \times 10^{8} volstaat: 2727 vouwen (stapel ≈13 km\approx 13\,\mathrm{km}). 2. Nodig is 2n≥3.84×10122^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}: 241≈2.2×10122^{41} \approx 2.2 \times 10^{12} schiet tekort, 242≈4.4×10122^{42} \approx 4.4 \times 10^{12} haalt het — 4242 vouwen, stapel 4.4×108 m4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, ruim voorbij de Maan. 3. Alleen het experiment: elke vouw halveert de oppervlakte, en na zeven vouwen is de stapel dikker dan breed. Aan het rekenwerk van het verdubbelen verandert niets — exponentiële groei loopt eenvoudig harder dan papier (en intuïtie) kan volgen.

Oefening 1.15 ★★★

Laserafstandsmeting geeft de afstand Aarde–Maan als 3.84×108 m±3 cm3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}; een goede liniaal geeft een tafel als 1.000 m±1 mm1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}.

  1. Bereken beide relatieve onzekerheden. Welke meting is de nauwkeurigste, en met welke factor?
  2. Met welke absolute onzekerheid zou je de tafel moeten meten om de relatieve nauwkeurigheid van de maanmeting te evenaren? Vergelijk die lengte met de afmeting van een atoom en trek met gepast ontzag je conclusie.
Oplossing

Oplossing van Oefening 1.15.

1. Maan: 0.03 m/3.84×108 m=7.8×10−110.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}. Tafel: 0.001 m/1.000 m=1.0×10−30.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}. De maanmeting is nauwkeuriger met een factor 1.0×10−3/7.8×10−11≈1.3×1071.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7} — ruim tien miljoen. 2. 7.8×10−117.8 \times 10^{-11} evenaren op een tafel van één meter betekent Δx=7.8×10−11 m\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}, kleiner dan één atoom (≈10−10 m\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}): zo scherp is de rand van de tafel niet eens gedefinieerd. Relatief gezien is de lasermeting van de afstand Aarde–Maan een van de fijnste metingen die onze soort bezit.

1.6 Probleem: Van het atoom tot Andromeda

Probleem 1.1

Weekendopgave — één zandkorrel bepaalt de maat van het atoom, het zonnestelsel, de melkweg en het waarneembare heelal, en plaatst jou op de ladder daartussen

Een zandkorrel is het nederigste voorwerp uit de natuurkunde, en dit weekend maakt hij overuren: eerst tellen we zijn atomen, dan krimpen we de Zon tot zijn afmeting en stappen we de kosmos af, dan laten we het licht het landmeten doen, en ten slotte tellen we de atomen in jou. Gegevens, overal te gebruiken: korreldiameter 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm}; atoomdiameter 2.5×10−10 m2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}; dichtheid van zand 2500 kg/m32500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}; diameters: Zon 1.39×109 m1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}, Aarde 1.27×107 m1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}, Melkweg 9.5×1020 m9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}, waarneembaar heelal 8.8×1026 m8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}; afstanden vanaf ons: Maan 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}, Zon 1.496×1011 m1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}, Neptunus 4.5×1012 m4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}, Proxima Centauri 4.0×1016 m4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}, Andromedastelsel 2.4×1022 m2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}; c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}; een watermolecuul heeft massa 3.0×10−26 kg3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} en bevat drie atomen.

Deel I — Anatomie van de korrel.

  1. Schrijf de korreldiameter en de atoomdiameter in meters, in wetenschappelijke notatie, en noem het SI-voorvoegsel waar elk het dichtst bij ligt.
  2. Hoeveel atomen liggen er zij aan zij over één korreldiameter?
  3. Modelleer de korrel als een kubus met ribbe 0.5 mm0.5\,\mathrm{mm}, volgepakt met atomen. Schat het aantal atomen in de korrel, als ordegrootte.
  4. Bereken het volume van die kubus en daarna de massa van de korrel. Druk de massa in milligram uit.
  5. Toets het model: deel de massa van de korrel door het aantal atomen en vergelijk met de bekende ordegrootte van atoommassa’s (een paar 10−26 kg10^{-26}\,\mathrm{kg}). Oordeel?

Deel II — De Zon als zandkorrel. We bouwen een schaalmodel van de kosmos waarin de Zon de korrel is: elke modelafmeting is de werkelijke afmeting maal een factor ss.

  1. Bereken de schaalfactor ss.
  2. Bepaal in het model de diameter van de Aarde en haar afstand tot de korrelzon. Welk voorwerp uit de wereld van deel I heeft ongeveer de afmeting van de modelaarde?
  3. Op welke afstand van de korrel draait de modelneptunus? Welk meubelstuk zou het hele planetenstelsel herbergen?
  4. Hoe ver weg staat de modelster Proxima Centauri?
  5. Twee zandkorrels, 14 km14\,\mathrm{km} uit elkaar, en er bijna niets tussenin: zeg in een of twee zinnen wat het model onthult over hoe leeg de melkweg is.

Deel III — Het licht doet het landmeten.

  1. Hoe lang doet licht erover om de echte zandkorrel over te steken?
  2. Hoe lang doet licht erover om ons te bereiken vanaf de Maan, en vanaf de Zon?
  3. Bereken het lichtjaar opnieuw in meters uit cc en de lengte van het jaar, en ga na dat de afstand tot Proxima uit de gegevens overeenkomt met ongeveer 4.2 ly4.2\,\mathrm{ly}.
  4. Zet de afstand tot Andromeda om in lichtjaren. Wanneer vertrok, ruwweg, het licht dat nu je oog binnenkomt uit Andromeda, en wat liep er in die tijd op Aarde rond?
  5. Hoe ver reist licht in één nanoseconde? Een processor met een klok van 3 GHz3\,\mathrm{GHz} start elke derde nanoseconde een bewerking: leg in één zin uit waarom een snelle computer een kleine computer moet zijn.

Deel IV — Jij, tussen atoom en Andromeda.

  1. Een mens is ruwweg 70 kg70\,\mathrm{kg} water. Schat met de gegevens de gemiddelde massa van één atoom in water, en daarna het aantal atomen in een mens.
  2. Vergelijk dat aantal met de atomen in de korrel (vraag 3) en met de ruwweg 2×10232\times10^{23} sterren van het waarneembare heelal. Geef beide factoren.
  3. Sta je op de ladder dichter bij het atoom of bij het waarneembare heelal? Vergelijk de verhoudingen (jij)/(atoom)\text{(jij)}/\text{(atoom)} en (heelal)/(jij)\text{(heelal)}/\text{(jij)}, met 1.7 m1.7\,\mathrm{m} voor jou.
  4. Bepaal de afmeting xx die precies halverwege de ladder ligt tussen de atoomkern (10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}) en het waarneembare heelal: xx moet voldoen aan x/10−15=1026.9/xx / 10^{-15} = 10^{26.9} / x (met 8.8×1026 m≈1026.9 m8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}). Welk voorwerp uit het zonnestelsel heeft toevallig precies die afmeting?
  5. De clou. Krimp het waarneembare heelal met de factor ss uit deel II, zodat de Zon een zandkorrel wordt. Geef de diameter van het modelheelal in meters en daarna in astronomische eenheden, en besluit in één zin: zelfs met elke ster tot zandkorrel gekrompen loopt het heelal over elke menselijke schaal heen — alleen machten van tien houden het bijeen.
Oplossing

Oplossing van Probleem 1.1.

1. Korrel: 0.5 mm=5×10−4 m0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}, op de milli-schaal; atoom: 2.5×10−10 m=0.25 nm2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}, op de nano-schaal.

2. 5×10−4 m/2.5×10−10 m=2.0×1065 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}: twee miljoen atomen breed.

3. Een kubus met 2×1062 \times 10^{6} atomen per ribbe bevat (2×106)3=8×1018(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18} atomen: ordegrootte 101910^{19}.

4. V=(5×10−4 m)3=1.25×10−10 m3V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}, dus m=ρV=2500 kg/m3×1.25×10−10 m3=3.1×10−7 kg=0.31 mgm = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3} = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}.

5. Massa per atoom: 3.1×10−7 kg/(8×1018)=3.9×10−26 kg3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} — precies in het gebied “een paar 10−26 kg10^{-26}\,\mathrm{kg}”. De naïeve kubus van atomen levert echte atoommassa’s op: het model doorstaat de controle (Methode 1.15) met glans.

6. s=5×10−4 m/1.39×109 m=3.6×10−13s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}.

7. Modelaarde: diameter 1.27×107 m×3.6×10−13=4.6×10−6 m1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} — de afmeting van een bacterie — op een afstand 1.496×1011 m×3.6×10−13=5.4 cm1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm} van de korrel: de Aarde is een microbe op vijf centimeter van een zandkorrel.

8. 4.5×1012 m×3.6×10−13=1.6 m4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}: het hele planetenstelsel draait binnen een eettafel.

9. 4.0×1016 m×3.6×10−13=1.4×104 m=14 km4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 14\,\mathrm{km}.

10. De dichtstbijzijnde ster bij ons zonnestelsel op tafel is een tweede zandkorrel, veertien kilometer verderop, met vrijwel niets ertussen: de melkweg is overweldigend leeg, en daarom zijn botsingen tussen sterren vrijwel ongehoord.

11. t=5×10−4 m/3.00×108 m/s=1.7×10−12 st = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s} — geen twee picoseconden.

12. Maan: 3.84×108 m/3.00×108 m/s=1.28 s3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}. Zon: 1.496×1011 m/3.00×108 m/s=499 s≈8.3 min1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}: zonlicht is altijd acht minuten oud.

13. Eén jaar is 365.25×86400=3.156×107 s365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}, dus 1 ly=3.00×108 m/s×3.156×107 s=9.47×1015 m1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}; vervolgens 4.0×1016 m/9.47×1015 m=4.24.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2: de afstand uit de gegevens komt inderdaad neer op ongeveer 4.2 ly4.2\,\mathrm{ly}.

14. 2.4×1022 m/9.47×1015 m=2.5×1062.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}: twee en een half miljoen lichtjaar. Dat licht verliet Andromeda ongeveer 2.52.5 miljoen jaar geleden, toen de eerste leden van het geslacht Homo leerden vuistbijlen te slaan — en er nog nergens een Homo sapiens bestond.

15. 3.00×108 m/s×1×10−9 s=0.30 m3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}. In een derde nanoseconde legt een signaal hooguit ongeveer 10 cm10\,\mathrm{cm} af, dus twee onderdelen van de machine die binnen één kloktik met elkaar moeten praten, mogen niet verder dan tien centimeter uit elkaar zitten: de snelheid begrenst de afmeting.

16. Gemiddeld atoom in water: 3.0×10−26 kg/3=1.0×10−26 kg3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}. Aantal atomen: 70 kg/1.0×10−26 kg=7×102770\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}.

17. Tegenover de korrel: 7×1027/8×1018≈1097 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9} — je bevat evenveel atomen als een miljard korrels. Tegenover de sterren: 7×1027/2×1023=3.5×1047 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4} — je atomen overtreffen alle sterren van het waarneembare heelal met vijfendertigduizend tegen één.

18. (jij)/(atoom)=1.7 m/2.5×10−10 m≈7×109≈1010\text{(jij)}/\text{(atoom)} = 1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}, terwijl (heelal)/(jij)=8.8×1026 m/1.7 m≈5×1026\text{(heelal)}/\text{(jij)} = 8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}. Op de ladder sta je ongeveer tien sporten boven het atoom en bijna zevenentwintig onder het heelal: multiplicatief gezien leeft de mens heel dicht bij zijn atomen.

19. De voorwaarde geeft x2=10−15×1026.9=1011.9x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}, dus x=105.95≈9×105 m≈900 kmx = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km} — vrijwel precies de diameter van Ceres, de grootste planetoïde (≈940 km\approx 940\,\mathrm{km}). Halverwege de ladder tussen een atoomkern en de kosmos ligt een bescheiden dwergplaneet.

20. 8.8×1026 m×3.6×10−13=3.2×1014 m8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}, oftewel 3.2×1014 m/1.496×1011 m≈2.1×1033.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3} astronomische eenheden. De clou: krimp de kosmos tot de Zon een zandkorrel is, en het waarneembare heelal beslaat nog altijd tweeduizend keer de werkelijke afstand Aarde–Zon — geen enkel schaalmodel brengt het heelal terug tot menselijke maat; alleen machten van tien dragen het.