Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

19De atoomkern en radioactiviteit

Op dit ogenblik ontploffen er elke seconde zo’n achtduizend atoomkernen in je lichaam. Niets valt ze aan: sommige kernen worden onstabiel geboren, en elk daarvan zet zich vroeg of laat om en slingert een brokstuk weg met een flink deel van de lichtsnelheid. Dit hoofdstuk keert terug naar de verdieping van $10^{-15}$ meter uit Hoofdstuk 13 om te zien welke kernen breekbaar zijn, hoe ze bezwijken, en hoe hun regelmatige ongeduld grotten dateert en plafonds bewaakt.

19.1 Kernen, nucleonen en isotopen

Definitie 19.1 (Kernnotatie)

Een kern bevat $Z$ protonen (elk met lading $+e$ ) en $N$ neutronen (zonder lading), in totaal $A = Z + N$ nucleonen; ze wordt geschreven als ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$ , waarin $\mathrm X$ het scheikundige symbool is, $Z$ het atoomnummer en $A$ het massagetal. Een soort die door $A$ en $Z$ is vastgelegd, heet een nuclide; nucliden met dezelfde $Z$ maar verschillende $A$ zijn isotopen van hetzelfde element: dezelfde scheikunde (de elektronenwolk ziet alleen $Ze$ ), verschillende kernen en verschillende stabiliteit.

Voorbeeld 19.2 (Waterstof en koolstof)

Waterstof heeft drie isotopen: ${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (een enkel proton), ${}^{2}_{1}\mathrm{H}$ (deuterium: één proton, één neutron) en het onstabiele ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ (tritium: twee neutronen). Natuurlijke koolstof: vooral ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ ( $6$ protonen, $6$ neutronen), $1.1\%$ ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ , en één atoom op $10^{12}$ van het onstabiele ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ ( $8$ neutronen), de held van Voorbeeld 19.17.

19.2 Stabiele en onstabiele kernen

Propositie 19.3 (Het dal van de stabiliteit)

Stabiele nucliden bezetten een smalle band in het $(Z, N)$ -vlak: $N \approx Z$ voor lichte kernen, daarna een groeiend neutronenoverschot tot $N \approx 1.5\,Z$ . Elke nuclide buiten die band — te veel neutronen, te veel protonen, of te groot (voorbij lood, $Z = 82$ , is geen enkele nuclide werkelijk stabiel) — zet zich vroeg of laat om.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 19.4

De band precies lokaliseren is kwantummechanica — werk voor de universitaire volumes. Het patroon is de boekhouding van Hoofdstuk 13: de sterke lijm bindt alleen buren, de coulombafstoting overspant de hele kern, dus hebben zware kernen extra neutronenlijm nodig; maar een overschot aan neutronen is óók onstabiel (daar zorgt de zwakke wisselwerking voor).

Stabiele nucliden volgen eerst N = Z en schuiven daarna naar een neutronenoverschot; boven de band vervalt een kern -, eronder +, voorbij bismut . — Stabiele nucliden volgen eerst $N = Z$ en schuiven daarna naar een neutronenoverschot; boven de band vervalt een kern $\beta^-$ , eronder $\beta^+$ , voorbij bismut $\alpha$ .

Definitie 19.5 (Radioactiviteit)

Radioactiviteit is de spontane omzetting van een onstabiele kern in een andere nuclide, met uitzending van straling. Ze is willekeurig: niets kondigt aan welke kern het eerst vervalt, en geen druk, temperatuur of scheikunde kan haar versnellen of vertragen; alleen grote aantallen laten zich voorspellen (Definitie 19.14).

Opmerking 19.6 (Becquerel en de Curies)

In 1896 ontdekte Henri Becquerel dat uraniumzouten een fotografische plaat beslaan door zwart papier heen, in een gesloten lade, zonder dat er energie wordt toegevoerd. Marie en Pierre Curie toonden aan dat het effect atomair is, maten het, en isoleerden polonium en radium, een miljoen keer actiever. Het woord radioactiviteit is van Marie Curie; net als twee Nobelprijzen.

19.3 Alfa, bèta, gamma

Definitie 19.7 (De drie historische stralingen)

Drie stralingen, benoemd voordat iemand wist wat ze waren:

alfa ( $\alpha$ ): een heliumkern ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ die in haar geheel wordt uitgestoten — zwaar, dubbel geladen, tegengehouden door een vel papier of enkele centimeters lucht;
bèta ( $\beta^-$ ): een elektron ${}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ dat in de kern ontstaat en wordt uitgestoten — licht, snel, tegengehouden door enkele millimeters aluminium;
gamma ( $\gamma$ ): elektromagnetische straling, veel energierijker dan licht — nooit helemaal tegengehouden, alleen verzwakt: een centimeter lood absorbeert de helft.

sterft in papier, - in millimeters aluminium; wordt alleen dunner, zelfs door lood. — $\alpha$ sterft in papier, $\beta^-$ in millimeters aluminium; $\gamma$ wordt alleen dunner, zelfs door lood.

Propositie 19.8 (Behoudswetten in kernvergelijkingen)

Bij elke kernomzetting zijn het totale massagetal $A$ en de totale lading — de som van de onderste indices, met $-1$ voor een uitgezonden elektron — vóór en na de omzetting dezelfde.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 19.9

Het behoud van lading gold al in Hoofdstuk 13; het behoud van $A$ zegt dat nucleonen alleen worden omgezet, nooit geschapen of vernietigd — eerlijke boekhouding, uit te werken in de universitaire volumes.

Methode 19.10 (Een vervalvergelijking kloppend maken)

Schrijf elke speler met beide labels: $\alpha = {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ , $\beta^- = {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ , $\beta^+ = {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ ; een $\gamma$ draagt $A = Z = 0$ .
Stel de sommen van de $A$ ’s gelijk, en daarna die van de $Z$ ’s (Propositie 19.8); los op en lees het dochterelement af aan zijn $Z$ in het periodiek systeem.

Voorbeeld 19.11 (Een alfaverval)

Radium-226, het radium van de Curies, is een $\alpha$ -straler: uit ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ volgt $A = 226 - 4 = 222$ en $Z = 88 - 2 = 86$ ; element $86$ is radon, dus ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — het radioactieve gas van slecht geventileerde kelders.

Voorbeeld 19.12 (Een bèta-minverval)

Koolstof-14 ligt boven de band ( $8$ neutronen tegen $6$ protonen): ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ . Controle: $14 = 14 + 0$ en $6 = 7 - 1$ ; een neutron is een proton geworden plus het uitgestoten elektron — de zwakke wisselwerking aan het werk.

Opmerking 19.13 (Bèta-plus en gamma)

Onder de band maakt het spiegelverval $\beta^+$ van een proton een neutron plus een positron ${}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ , het antideeltje van het elektron: ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ , het werkpaard van de pet-scanner. En na de meeste vervallen komt de dochter, die trillend geboren wordt, tot rust door er nog een $\gamma$ bovenop uit te zenden.

De eerste stappen van de uranium-238-keten; nog elf vervallen ( en -) eindigen bij het stabiele 206_82 Pb. — De eerste stappen van de uranium-238-keten; nog elf vervallen ( $\alpha$ en $\beta^-$ ) eindigen bij het stabiele ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ .

19.4 Halveringstijd en activiteit

Definitie 19.14 (Halveringstijd)

De halveringstijd $T_{1/2}$ van een nuclide is de tijd waarna de helft van elk groot monster is vervallen. Elke volgende halveringstijd halveert wat er over is: van $N_0$ kernen zijn er $N_0/2$ over na $T_{1/2}$ , $N_0/4$ na $2\,T_{1/2}$ , $N_0/8$ na $3\,T_{1/2}$ , en $N_0/2^{\,n}$ na $n$ halveringstijden.

Opmerking 19.15

Willekeur voor één kern, uurwerk voor $10^{23}$ : een reusachtige menigte muntgooiers, stuk voor stuk onvoorspelbaar, waarvan elke ronde de helft afvalt. Interpoleren tussen hele halveringstijden vergt de exponentiële functie — volgend jaar, met het wiskundevolume.

Voorbeeld 19.16 (Twintig machten van tien)

polonium-214	$\alpha$	$1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$	schakel in de radiumketen
technetium-99m	$\gamma$	$6.0$ uur	medische beeldvorming
americium-241	$\alpha$	$432$ jaar	rookmelders
koolstof-14	$\beta^-$	$5700$ jaar	archeologie
kalium-40	$\beta$	$1.25 \times 10^{9}$ jaar	in elke banaan
uranium-238	$\alpha$	$4.5 \times 10^{9}$ jaar	inwendige warmte van de Aarde

Voorbeeld 19.17 (Dateren met koolstof-14)

Levende materie wisselt koolstof uit met de atmosfeer en bevat dus het atmosferische aandeel koolstof-14; bij de dood stopt de aanvoer en halveert dat aandeel elke $5700$ jaar. Houtskool uit een beschilderde grot vertoont een kwart van het levende aandeel: een kwart is de helft van de helft, dus brandde het vuur twee halveringstijden, $2 \times 5700 = 11\,400$ jaar, geleden.

Definitie 19.18 (Activiteit)

De activiteit $\mathcal A$ van een monster is het aantal vervallen per seconde, gemeten in becquerel: $1\,\mathrm{Bq} = 1$ verval per seconde. Minder overgebleven kernen betekent minder vervallen, dus halveert ook de activiteit bij elke halveringstijd.

De halveringstrap: na n halveringstijden is de activiteit A_0/2\,n — een achtste na drie, een duizendste na tien. — De halveringstrap: na $n$ halveringstijden is de activiteit $\mathcal A_0/2^{\,n}$ — een achtste na drie, een duizendste na tien.

Voorbeeld 19.19 (Ordegrootten)

Alles is een beetje radioactief. Een banaan: ongeveer $15\,\mathrm{Bq}$ (kalium-40). Een menselijk lichaam: ongeveer $8000\,\mathrm{Bq}$ — de aanhef van dit hoofdstuk, zo’n vijfhonderd bananen waard. Een kubieke meter graniet: rond $3 \times 10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (uranium en zijn keten, vandaar het radon in kelders). Eén injectie technetium: ongeveer $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ , binnen enkele dagen verdwenen.

19.5 Dienaren en gevaren

Voorbeeld 19.20 (Drie loopbanen van een onstabiele kern)

Geneeskunde: technetium-99m, een zuivere $\gamma$ -straler met $T_{1/2} = 6$ uur, wordt vastgemaakt aan een molecuul dat het doelorgaan opneemt; een camera filmt de $\gamma$ ’s van buitenaf, en de volgende dag is de tracer grotendeels verdwenen — terwijl de bestraling de logica omkeert en bundels bundelt om een tumor te vernietigen. Dateren: koolstof-14 voor hout, bot en textiel tot zo’n $50\,000$ jaar terug; uranium-238 voor gesteenten — en voor de Aarde, op $4.5 \times 10^{9}$ jaar. Rookmelders: een spikkeltje americium-241 ioniseert de lucht in een klein kamertje, waardoor er een minieme stroom kan lopen; rook smoort die stroom en het alarm gaat af — de $\alpha$ ’s sterven in enkele centimeters lucht.

Opmerking 19.21 (Dosis en de sievert)

Straling rukt elektronen van moleculen af en kan het DNA beschadigen. De biologische schade wordt bijgehouden met de dosis, in sievert ( $\mathrm{Sv}$ ), die de per kilogram weefsel afgezette energie weegt naar de schadelijkheid van elke stralingssoort. Drie regels: afstand, afscherming ( $\alpha$ : de huid volstaat — tenzij de straler wordt ingeademd, de misdaad van radon; $\beta$ : aluminium; $\gamma$ : lood) en tijd. De dosimetrie zelf is stof voor de universiteit.

19.6 Oefeningen

Oefening 19.1 ★

Geef het aantal protonen en neutronen in ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ , ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$ , ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ , ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ en ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.1.

${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ : $8$ p, $8$ n; ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$ : $13$ p, $14$ n; ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ : $27$ p, $33$ n; ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ : $92$ p, $143$ n; ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ : $1$ p, $2$ n. (Telkens $N = A - Z$ .)

Oefening 19.2 ★

Welke van ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ , ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ en ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ zijn isotopen van elkaar? Waarom zijn ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ en ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ geen isotopen, ondanks hun gelijke massagetal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.2.

De drie koolstofsoorten ( $Z = 6$ ) zijn isotopen van elkaar. ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ en ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ delen $A = 14$ maar niet $Z$ : het zijn verschillende elementen (met verschillende elektronenwolken), dus geen isotopen.

Oefening 19.3 ★

Polonium-210, ${}^{210}_{84}\mathrm{Po}$ , is een $\alpha$ -straler. Schrijf de vervalvergelijking op en noem de dochter ( $Z = 81$ : thallium, $82$ : lood, $83$ : bismut).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.3.

$A = 210 - 4 = 206$ , $Z = 84 - 2 = 82$ : ${}^{210}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — de dochter is lood-206.

Oefening 19.4 ★

Schrijf de $\beta^-$ -vervalvergelijkingen op van kobalt-60 ( ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ ) en van jodium-131 ( ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ ); dochters: $Z = 28$ nikkel, $Z = 54$ xenon.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.4.

${}^{60}_{27}\mathrm{Co} \to {}^{60}_{28}\mathrm{Ni} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ en ${}^{131}_{53}\mathrm{I} \to {}^{131}_{54}\mathrm{Xe} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : $A$ blijft gelijk, $Z$ gaat één omhoog.

Oefening 19.5 ★

Een bron van jodium-131 ( $T_{1/2} = 8.0$ dagen) heeft vandaag een activiteit van $800\,\mathrm{MBq}$ . Hoe groot is de activiteit na $16$ dagen? En na $32$ dagen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.5.

$16$ dagen $= 2\,T_{1/2}$ : $800/4 = 200\,\mathrm{MBq}$ . $32$ dagen $= 4\,T_{1/2}$ : $800/16 = 50\,\mathrm{MBq}$ .

Oefening 19.6 ★★

Vier stralingen doorkruisen een sterk magnetisch veld en daarna schermen. Benoem elk: (a) tegengehouden door papier, nauwelijks afgebogen door het veld; (b) gaat door papier, tegengehouden door $4\,\mathrm{mm}$ aluminium, sterk afgebogen; (c) gaat door beide heen, wordt door lood alleen verzwakt, niet afgebogen; (d) als (b), maar de andere kant op afgebogen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.6.

(a) $\alpha$ (zwaar, dus nauwelijks afgebogen); (b) $\beta^-$ ; (c) $\gamma$ (neutraal, doordringend); (d) $\beta^+$ (een positron: even licht als (b), met tegengestelde lading).

Oefening 19.7 ★★

Radon-222 ( ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$ ) opent een snelle keten: een $\alpha$ -verval, dan nog een $\alpha$ , dan een $\beta^-$ . Schrijf de drie vergelijkingen op ( $Z = 82$ : lood, $83$ : bismut, $84$ : polonium).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.7.

${}^{222}_{86}\mathrm{Rn} \to {}^{218}_{84}\mathrm{Po} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{218}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{214}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{214}_{82}\mathrm{Pb} \to {}^{214}_{83}\mathrm{Bi} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ .

Oefening 19.8 ★★

Fluor-18, ${}^{18}_{9}\mathrm{F}$ , is de tracer van de pet-scanner; het stabiele fluor is ${}^{19}_{9}\mathrm{F}$ . Aan welke kant van de stabiliteitsband ligt het? Voorspel de vervalwijze en schrijf de vergelijking op ( $Z = 8$ : zuurstof).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.8.

Fluor-18 heeft $9$ neutronen waar het stabiele fluor-19 er $10$ heeft: neutronenarm, onder de band, dus $\beta^+$ : ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ .

Oefening 19.9 ★★

Een patiënt krijgt om 08:00 uur $500\,\mathrm{MBq}$ technetium-99m ( $T_{1/2} = 6.0$ uur) toegediend. Hoe groot is de activiteit de volgende ochtend om 08:00 uur? Na hoeveel uur zakt ze voor het eerst onder $1\,\mathrm{MBq}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.9.

$24$ uur $= 4\,T_{1/2}$ : $500/16 \approx 31\,\mathrm{MBq}$ . Omdat $2^9 = 512$ , brengen negen halveringstijden $500/512 < 1\,\mathrm{MBq}$ : na $9 \times 6 = 54\,\mathrm{h}$ .

Oefening 19.10 ★★

Een bot uit een veenmoeras vertoont een achtste van het aandeel koolstof-14 van een levend bot ( $T_{1/2} = 5700$ jaar). Hoe oud is het bot? En waarom is koolstof-14 onbruikbaar om dinosaurusbotten te dateren (ouderdom ongeveer $10^{8}$ jaar)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.10.

$\frac18 = \frac1{2^3}$ : drie halveringstijden, dus $3 \times 5700 = 17\,100$ jaar. Een dinosaurusbot is ongeveer $17\,500$ halveringstijden oud: er blijft een deel $1/2^{17500}$ over — geen enkel atoom koolstof-14 (een gram koolstof bevat maar zo’n $5 \times 10^{22}$ atomen).

Oefening 19.11 ★★

Voorspel met het dal van de stabiliteit de vervalwijze ( $\alpha$ , $\beta^-$ of $\beta^+$ ) van ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ en ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ , met telkens één regel verantwoording (stabiele koolstof: ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.11.

${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $8$ neutronen tegen $6$ – $7$ in stabiele koolstof, dus boven de band: $\beta^-$ . ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ : $5$ neutronen, neutronenarm: $\beta^+$ . ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ : $Z = 92 > 83$ , te zwaar: $\alpha$ .

Oefening 19.12 ★★★

De keten van uranium-238 eindigt vele stappen later bij het stabiele ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ ; elke stap is een $\alpha$ of een $\beta^-$ . Bepaal met alleen het behoud van $A$ het aantal $\alpha$ -stappen, en daarna met het behoud van $Z$ het aantal $\beta^-$ -stappen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.12.

Alleen $\alpha$ verandert $A$ : $238 - 206 = 32 = 4x$ , dus $x = 8$ alfastappen. Die halen $16$ van $Z$ af: uit $92 - 16 + y = 82$ volgt $y = 6$ bèta-minvervallen.

Oefening 19.13 ★★★

Een kobalt-60-bron van een ziekenhuis ( $T_{1/2} = 5.3$ jaar) heeft een activiteit van $6.4\,\mathrm{TBq}$ ; de regels staan afvoer toe onder $0.1\,\mathrm{TBq}$ . Na hoeveel jaar mag de bron worden afgevoerd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.13.

$6.4/0.1 = 64 = 2^{6}$ : zes halveringstijden, dus $6 \times 5.3 = 31.8 \approx 32$ jaar in afgeschermde opslag.

Oefening 19.14 ★★★

De activiteit van je lichaam is ongeveer $8000\,\mathrm{Bq}$ . Hoeveel van je kernen vervallen er per dag? En over een leven van $80$ jaar? Een banaan voegt er ongeveer $15\,\mathrm{Bq}$ aan toe zolang je hem verteert: becommentarieer in één zin de krantenkoppen die elke becquerel vrezen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.14.

Per dag: $8000 \times 86400 \approx 6.9 \times 10^{8}$ vervallen. Over $80$ jaar: $6.9 \times 10^{8} \times 365 \times 80 \approx 2 \times 10^{13}$ . Het leven draait al altijd op deze achtergrond — één becquerel is één atoom per seconde van de $\sim 10^{27}$ in het lichaam; de eenheid is minuscuul, en een angstaanjagend klinkend aantal becquerel kan de waarde van een paar bananen zijn.

Oefening 19.15 ★★★

Een rookmelder bevat $0.2\,\text{µ}\mathrm{g}$ americium-241 ( $T_{1/2} = 432$ jaar), met een activiteit van ongeveer $25\,\mathrm{kBq}$ . Hoeveel vervallen per dag zijn dat? Is er na tien jaar dienst veel minder dan de helft, ongeveer de helft of veel meer dan de helft van het americium vervallen — en is uitputting van de bron de reden dat melders worden vervangen? Waarom is deze $\alpha$ -bron ten slotte ongevaarlijk aan het plafond, en toch gevaarlijk als het capsuletje wordt fijngemalen en het stof wordt ingeademd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 19.15.

$25\,000 \times 86400 \approx 2.2 \times 10^{9}$ vervallen per dag. Tien jaar is $10/432 \approx 2\%$ van een halveringstijd: er is veel minder dan de helft vervallen, dus is niet de bron maar zijn de elektronica en het stof de reden voor vervanging. Aan het plafond sterven de $\alpha$ ’s in de lucht van het kamertje en in de behuizing; ingeademd stof parkeert de straler in de longen, waar elke $\alpha$ zijn energie in levend weefsel dumpt — een grote dosis (in sievert) uit een bescheiden activiteit.

19.7 Probleem: De mummie, de reactor en de rookmelder

Probleem 19.1

Weekendopgave — drie loopbanen van een onstabiele kern: een mummie gedateerd met halveringen, de stamboom van uranium kloppend gemaakt, een rookmelder doorgelicht, en waarom de sterren wel sterfelijk moesten zijn

Drie onstabiele kernen, drie taken: koolstof-14 zet een tijdstempel op elke dode plant en elk dood dier, uranium-238 verwarmt een planeet van binnenuit en americium-241 houdt plafonds in de gaten. Gegevens: $T_{1/2} = 5700$ jaar (C-14), $4.5 \times 10^{9}$ jaar (U-238) en $432$ jaar (Am-241); levende koolstof vertoont $13.6$ vervallen per minuut per gram; atoomnummers: N $7$ , O $8$ , Pb $82$ , Bi $83$ , Po $84$ , Rn $86$ , Ra $88$ , Th $90$ , Pa $91$ , U $92$ , Np $93$ , Am $95$ .

Deel I — De mummie.

Geef de samenstelling (protonen, neutronen) van ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ en ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ . Waarom gedragen ze zich in een lichaam scheikundig identiek?
Waarom is het aandeel koolstof-14 in een levend lichaam constant, en waarom begint het bij de dood te dalen?
Schrijf de vervalvergelijking van koolstof-14 op. Zou haar straling door het linnen van de mummie naar buiten komen?
Een gram koolstof uit het linnen vertoont $6.8$ vervallen per minuut. Welk deel van het levende tempo is dat? Dateer de mummie.
Een tweede “mummie”, het pronkstuk van een privéverzameling, vertoont $13.2$ vervallen per minuut per gram. Oordeel?
Schat het tempo van een monster van tien halveringstijden oud, en leg uit waarom koolstofdatering voorbij ruwweg $57\,000$ jaar wegvalt.

Deel II — De reactor onder de weide.

Geef de samenstelling van ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ . Waarom hebben zware kernen zo’n neutronenoverschot nodig?
Schrijf haar $\alpha$ -vervalvergelijking op.
De dochter vervalt daarna $\beta^-$ , en de kleindochter opnieuw $\beta^-$ . Schrijf beide vergelijkingen op. Welk element duikt weer op?
De keten eindigt bij ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ . Tel haar $\alpha$ -stappen en daarna haar $\beta^-$ -stappen.
De Aarde ontstond $4.5 \times 10^{9}$ jaar geleden. Welk deel van haar oorspronkelijke uranium-238 is er vandaag nog over? En over nog eens $5$ miljard jaar?
In één zin: wat drijft deze begraven vervalwarmte aan het oppervlak aan? (Denk aan vulkanen en drijvende continenten.)

Deel III — De rookmelder.

Schrijf de $\alpha$ -vervalvergelijking van ${}^{241}_{95}\mathrm{Am}$ op.
Haar activiteit is $33\,\mathrm{kBq}$ : hoeveel vervallen per seconde is dat? En per dag?
Leg de melder uit: wat doen de $\alpha$ -deeltjes met de lucht in het kamertje, en wat verandert de rook daaraan?
Waarom is een $\alpha$ -straler hier de juiste keuze — en een $\gamma$ -straler met dezelfde activiteit de slechtst denkbare?
Na één halveringstijd ( $432$ jaar!) zou de activiteit $16.5\,\mathrm{kBq}$ zijn; de handleiding vraagt om vervanging na tien jaar. Is de bron de zwakke schakel?

Deel IV — Waarom de sterren sterfelijk moesten zijn.

Stervende sterren smeedden en verstrooiden elk element zwaarder dan helium. Welk deel van het uranium-238 dat $9 \times 10^{9}$ jaar geleden werd gesmeed, is er vandaag nog? Waarom maakt de overgebleven hoeveelheid op Aarde de planeet veel jonger dan de oudste sterren?
De radioactieve inwendige warmte van de Aarde drijft het vulkanisme en de platentektoniek aan, en houdt de kern in beweging die het magnetische schild van Hoofdstuk 15 opwekt. Hoe zou een planeet van uitsluitend stabiele atomen eruit zien?
In één regel, als poëzie en als boekhouding: waar zijn je atomen gesmeed, en wat verwarmt nog altijd de grond onder je voeten?

Oplossing

Oplossing van Probleem 19.1.

1. ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $6$ n; ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $8$ n. De scheikunde ziet alleen de elektronenwolk, vastgelegd door $Z = 6$ : identiek gedrag.

2. Eten en ademen vernieuwen de koolstof van een levend lichaam voortdurend op het atmosferische aandeel; bij de dood stopt de aanvoer en loopt het verval ongehinderd door.

3. ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ ( $\beta^-$ ). Die $\beta$ ’s zijn zacht: meters gewikkeld linnen houden ze tegen, dus ontsnapt er weinig uit de mummie — en daarom meet men een klein koolstofmonster dat uit het voorwerp zelf is genomen.

4. $6.8/13.6 = \frac12$ : één halveringstijd. De mummie is ongeveer $5700$ jaar oud.

5. $13.2/13.6 \approx 0.97$ : het linnen is in wezen modern — hoogstens een paar eeuwen oud. Een vervalsing.

6. $13.6/2^{10} = 13.6/1024 \approx 0.013$ vervallen per minuut — één telling per $75$ minuten per gram, verdronken in de natuurlijke achtergrond. Tien halveringstijden, ongeveer $57\,000$ jaar, is de praktische horizon.

7. $92$ protonen, $146$ neutronen. De coulombafstoting werkt tussen alle protonenparen door de hele kern heen, terwijl de sterke lijm alleen buren bindt: zware kernen overleven alleen met overtollige neutronen, lijm zonder afstoting.

8. ${}^{238}_{92}\mathrm{U} \to {}^{234}_{90}\mathrm{Th} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ .

9. ${}^{234}_{90}\mathrm{Th} \to {}^{234}_{91}\mathrm{Pa} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ , en daarna ${}^{234}_{91}\mathrm{Pa} \to {}^{234}_{92}\mathrm{U} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : uranium duikt weer op, als uranium-234.

10. Uit $A$ : $238 - 206 = 32$ , dus $8$ $\alpha$ -stappen; uit $Z$ : $92 - 16 + y = 82$ , dus $6$ $\beta^-$ -stappen.

11. $4.5 \times 10^{9}$ jaar is één halveringstijd: de helft is over. Nog vijf miljard jaar $\approx$ nog één halveringstijd: ongeveer een kwart.

12. Ze drijft vulkanen, platentektoniek (drijvende continenten, aardbevingen) en aardwarmte aan: de oppervlaktegeologie van een planeet die van binnenuit wordt verwarmd.

13. ${}^{241}_{95}\mathrm{Am} \to {}^{237}_{93}\mathrm{Np} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ .

14. $3.3 \times 10^{4}$ vervallen per seconde; $33\,000 \times 86400 \approx 2.9 \times 10^{9}$ per dag.

15. Elke $\alpha$ ioniseert de lucht die hij doorkruist; de ionen dragen een minieme stroom tussen de elektroden van het kamertje. Rookdeeltjes vangen de ionen weg, de stroom zakt, en het alarm gaat af.

16. De $\alpha$ ’s besteden al hun energie binnen in het kamertje en er ontsnapt niets uit de behuizing: maximale ionisatie, nul lekkage. Een $\gamma$ -bron met dezelfde activiteit zou de lucht in het kamertje nauwelijks ioniseren en in plaats daarvan de hele kamer bestralen.

17. Tien jaar is $10/432 \approx 2\%$ van een halveringstijd: de activiteit is vrijwel onveranderd. De zwakke schakels zijn stof, insecten en elektronica — de kern overleeft het apparaat.

18. $9 \times 10^{9}$ jaar $= 2$ halveringstijden: een kwart is over. Het uranium van de Aarde is nog volop aanwezig, dus is het hoogstens een paar halveringstijden geleden gesmeed — de planeet is uit verse sterrenas gecondenseerd, miljarden jaren na de eerste sterren.

19. Geologisch dood: een koud binnenste, geen vulkanisme of platentektoniek om lucht en gesteente te vernieuwen, en geen kolkende kern — en dus geen magnetisch schild tegen de zonnewind.

20. Elk atoom in jou zwaarder dan helium is in een stervende ster gesmeed, en de onstabiele restanten van die smidse verwarmen nog altijd de grond waarop je staat: sterrenstof, in leven gehouden door zijn eigen halveringstijd.