Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

23Het dopplereffect

Een ambulance nadert met loeiende sirene en scheert voorbij — en op dat ogenblik glijdt de toon hoorbaar omlaag, terwijl de bestuurder nergens aan heeft gezeten. De sirene is eerlijk; de golf niet: beweging perst haar vooruit samen en rekt haar achteruit uit. Dit hoofdstuk meet die samenpersing en rijdt daarna met hetzelfde idee van sirenes naar snelheidsradars, naar bloed in een slagader, en tot ver daarbuiten naar een planeet die door een wiebeling in sterrenlicht wordt verraden.

23.1 Het effect

Definitie 23.1 (Dopplereffect)

Het dopplereffect is de verandering van de ontvangen frequentie van een golf wanneer bron en ontvanger ten opzichte van elkaar bewegen: de ontvangen frequentie $f'$ is hoger dan de uitgezonden frequentie $f$ terwijl ze elkaar naderen, lager terwijl ze zich verwijderen, en alleen gelijk aan $f$ zolang hun afstand op dat ogenblik niet verandert.

Opmerking 23.2 (Toonhoogte, niet luidheid)

Er veranderen twee dingen wanneer de ambulance passeert. De luidheid zwelt aan en sterft weg doordat de golf zich met de afstand uitspreidt (Hoofdstuk 21); de toonhoogte verschuift door de snelheid van naderen of verwijderen en zakt bij het passeren abrupt. De luidheid zegt “hoe ver”; de toonhoogte zegt “hoe snel”.

23.2 Een bewegende bron: opeengepakte golffronten

Het kernbeeld: zodra een top de bron verlaat, is hij eigendom van het midden. Elke top dijt uit als een cirkel met de golfsnelheid $v$ (Hoofdstuk 20), met als middelpunt het punt waar hij is uitgezonden — het midden weet niet en kan het niets schelen dat de bron intussen verder is gereden.

Propositie 23.3 (Bewegende bron)

Een bron zendt toppen uit met periode $T$ (frequentie $f = 1/T$ ) terwijl ze rechtlijnig met snelheid $v_s < v$ door een midden beweegt waarin de golf met snelheid $v$ reist. Een waarnemer die in het midden in rust is, ontvangt

\lambda' = (v \mp v_s)\,T, \qquad f' = f\,\frac{v}{v \mp v_s},

met de bovenste tekens voor een naderende bron en de onderste voor een zich verwijderende.

Bewijs. Tussen twee toppen legt de eerste $vT$ af terwijl de bron $v_s T$ opschuift. Vooruit wordt de tweede top dus $v_s T$ dichter bij de eerste uitgezonden: $\lambda' = (v - v_s)T$ ; achteruit komt diezelfde $v_s T$ erbij. De toppen scheren daarna met de snelheid $v$ van het midden langs een rustende waarnemer, één om de $\lambda'/v$ seconden, dus $f' = v/\lambda' = f v/(v \mp v_s)$ . ∎

Golffronten van een bron die naar rechts beweegt: elke cirkel heeft als middelpunt het punt waar hij is uitgezonden (grijze stippen), zodat de toppen zich vooruit opeenhopen, ' = (v - v_s)T, en achteruit uitrekken, ' = (v + v_s)T. — Golffronten van een bron die naar rechts beweegt: elke cirkel heeft als middelpunt het punt waar hij is uitgezonden (grijze stippen), zodat de toppen zich vooruit opeenhopen, $\lambda' = (v - v_s)T$ , en achteruit uitrekken, $\lambda' = (v + v_s)T$ .

Voorbeeld 23.4 (De ambulance, in getallen)

Een sirene op $f = 700\,\mathrm{Hz}$ nadert met $v_s = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; neem $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in lucht (Hoofdstuk 21). Naderend: $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ ; zich verwijderend: $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . Het passeren laat de toonhoogte met $104\,\mathrm{Hz}$ zakken — een verhouding $\approx 1.16$ , ongeveer tweeënhalve halve toon, onmiskenbaar voor elk oor.

Opmerking 23.5 (Wat beweging niet verandert)

De golf reist nog altijd met $v$ : alleen het midden legt de snelheid vast (Hoofdstuk 20). Beweging van de bron perst golflengten samen, nooit snelheden. En die samenpersing kent een grens: als $v_s \to v$ stapelen de toppen vooruit op elkaar en gaat $f' \to \infty$ — de file van golffronten die een supersonisch vliegtuig als schokgolf achter zich aan sleept.

23.3 Een bewegende waarnemer, en de kortere weg bij trage beweging

Propositie 23.6 (Bewegende waarnemer)

Een waarnemer beweegt met snelheid $v_o$ recht naar (of recht weg van) een bron die in het midden in rust is. De ontvangen frequentie is

f' = f\left(1 \pm \frac{v_o}{v}\right) \quad (+\ \text{naderend},\ -\ \text{verwijderend}).

Bewijs. Het golfpatroon zelf blijft ongestoord: toppen op afstand $\lambda = vT$ reizen met $v$ . Een waarnemer die erop af rent, ontmoet de toppen met de relatieve snelheid $v + v_o$ , één om de $\lambda/(v + v_o)$ seconden: $f' = (v + v_o)/\lambda = f(1 + v_o/v)$ . Wie wegrent, krijgt $v - v_o$ . ∎

Definitie 23.7 (Radiale snelheid)

De radiale snelheid $v_r$ van een bron ten opzichte van een waarnemer is de component van hun relatieve snelheid langs de verbindingslijn — het tempo waarin de afstand krimpt of groeit. Alleen die component verschuift de frequentie; beweging dwars op de zichtlijn geeft in deze orde geen verschuiving.

Propositie 23.8 (Trage beweging: één formule voor iedereen)

Wanneer de radiale snelheid klein is, $v_r \ll v$ , maakt het niet langer uit wie er beweegt:

\frac{\Delta f}{f} = \frac{f' - f}{f} \approx +\frac{v_r}{v} \ \text{(naderen)}, \qquad \frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{v_r}{v} \ \text{(verwijderen)}.

Bewijs. De formules voor de waarnemer zijn al precies $1 \pm v_o/v$ . Schrijf voor de bron $x = v_s/v$ : de identiteit $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$ laat zien dat $f'/f$ van $1 + x$ afwijkt met een term van de orde $x^2$ — voor $x = 0.1$ een correctie van $1\%$ op een verschuiving van $10\%$ . Tot op de eerste orde vallen alle vier de formules samen tot $1 \pm v_r/v$ . ∎

De gehoorde frequentie terwijl een sirene van 440\, Hz met 15\, m/ s passeert, op 8\, m van de microfoon: plateaus op fv/(v v_s), en de ware f (gestippeld) wordt in wezen bij de kortste afstand gekruist, waar de beweging zuiver dwars is. — De gehoorde frequentie terwijl een sirene van $440\,\mathrm{Hz}$ met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ passeert, op $8\,\mathrm{m}$ van de microfoon: plateaus op $fv/(v \mp v_s)$ , en de ware $f$ (gestippeld) wordt in wezen bij de kortste afstand gekruist, waar de beweging zuiver dwars is.

Methode 23.9 (Een passage aflezen)

Een opname van een passerende bron toont twee plateaus: $f_1$ (naderen) en $f_2$ (verwijderen). Dan geldt

f = \frac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}, \qquad v_s = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}.

Immers $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - v_s^2}$ en $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,v_s}{v^2 - v_s^2}$ : deel om $v_s$ te krijgen, en bereken $2f_1 f_2/(f_1 + f_2)$ voor $f$ . Twee frequentieaflezingen leveren zowel de ware toonhoogte als de snelheid op — zonder stopwatch en zonder meetlint.

23.4 Echo’s die snelheid meten

Kaats een golf terug van een bewegend doel en het dopplereffect slaat twee keer toe.

Propositie 23.10 (Terugkaatsing verdubbelt de verschuiving)

Een golf met frequentie $f$ wordt op een reflector gestuurd die frontaal nadert met snelheid $u \ll v$ . De echo komt terug met

f' = f\,\frac{v + u}{v - u}, \qquad \text{dus} \qquad \Delta f \approx \frac{2u}{v}\,f .

Bewijs. Twee verschuivingen achter elkaar. Als bewegende waarnemer ontvangt de reflector $f(1 + u/v)$ ; door uit te zenden wat hij ontvangt, is hij nu een bewegende bron, dus komt de echo aan met $f' = f(1 + u/v)/(1 - u/v) \approx f(1 + 2u/v)$ voor $u \ll v$ . ∎

Voorbeeld 23.11 (De snelheidsradar)

Een verkeersradar zendt microgolven uit op $f = 24.15\,\mathrm{GHz}$ ( $v = c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en legt de echo over de uitgaande golf; de zweving (Hoofdstuk 21) laat rechtstreeks $\Delta f = 2uf/c \approx 161\,\mathrm{Hz}$ per $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ autosnelheid klinken — een moeiteloos meetbare hoorbare frequentie, uitgesneden uit een draaggolf van $24\,\mathrm{GHz}$ . De factor $2$ is niet optioneel: wie hem vergeet, vleit elke bestuurder met de helft.

Voorbeeld 23.12 (Doppler-echografie)

Een medische sonde stuurt ultrageluid van $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ in een slagader ( $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in weefsel); rode bloedcellen kaatsen het terug. Bloed met $u = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ levert $\Delta f = 2 \times 0.50 \times 5.0 \times 10^{6}/1540 \approx 3.2\,\mathrm{kHz}$ op — een hoorbare zweving: de cardioloog hoort het bloed bij elke hartslag letterlijk versnellen, en meet daarna $u$ uit $\Delta f$ .

23.5 Doppler in sterrenlicht

Licht is een golf (Hoofdstuk 22) en zijn spectrum is gestreept met scherpe lijnen op golflengten die door elk scheikundig element worden vastgelegd (Hoofdstuk 2) — een in het laboratorium geijkte maatlat, afgedrukt op elke ster.

Definitie 23.13 (Roodverschuiving en blauwverschuiving)

Wanneer de spectraallijnen van een bron op langere golflengten verschijnen dan in het laboratorium, is het spectrum roodverschoven; verschijnen ze op kortere, dan is het blauwverschoven — verschoven naar het rode of het blauwe uiteinde van het zichtbare spectrum.

Propositie 23.14 (Dopplerverschuiving van licht)

Voor een bron die zich met radiale snelheid $v_r \ll c$ verwijdert, wordt elke golflengte waargenomen als uitgerekt met

\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_r}{c} \quad \text{(roodverschuiving)},

en met evenveel samengeperst, $\Delta\lambda/\lambda \approx -v_r/c$ , voor een naderende bron (blauwverschuiving).

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 23.15 (Waar de eerlijke formule staat)

Licht heeft geen tussenstof nodig, dus valt de afleiding voor geluid niet te kopiëren — er bestaat geen “in rust in het midden”. De exacte formule komt uit de speciale relativiteitstheorie, later dit jaar (Hoofdstuk 35); de correcties zijn van de orde $(v_r/c)^2$ en verwaarloosbaar voor vliegtuigen, sterren en nabije melkwegstelsels. Hieronder gebruiken we de formule voor trage beweging met een gerust hart.

Dezelfde waterstoflijn in drie spectra: op 656.30\, nm in het laboratorium, blauwverschoven bij een naderende ster, roodverschoven bij een wijkende. De verschuiving, afgelezen tegen de gestippelde referentie, geeft de radiale snelheid. — Dezelfde waterstoflijn in drie spectra: op $656.30\,\mathrm{nm}$ in het laboratorium, blauwverschoven bij een naderende ster, roodverschoven bij een wijkende. De verschuiving, afgelezen tegen de gestippelde referentie, geeft de radiale snelheid.

Voorbeeld 23.16 (De vlucht van een ster wegen)

In het spectrum van de heldere ster Wega wordt de waterstoflijn met laboratoriumgolflengte $656.30\,\mathrm{nm}$ gemeten op $656.27\,\mathrm{nm}$ : $\Delta\lambda = -0.03\,\mathrm{nm}$ , dus een blauwverschuiving, en Wega nadert met $v_r = c\,|\Delta\lambda|/\lambda \approx 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — $14\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , afgelezen uit een verschuiving van één deel op twintigduizend.

Voorbeeld 23.17 (Wiebelende sterren: dubbelsterren en exoplaneten)

Wanneer twee sterren om elkaar heen draaien, zwaaien hun lijnen periodiek naar blauw en naar rood — een spectroscopische dubbelster, waarvan de banen worden gemeten zonder het paar ooit los te zien. Een planeet doet hetzelfde met haar ster, maar veel zwakker: beide draaien om hun gemeenschappelijke massamiddelpunt, zodat de radiale snelheid van de ster met enkele tientallen $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ slingert — een verschuiving $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-7}$ . Die opsporen is de manier waarop de eerste planeet rond een zonachtige ster is gevonden; de weekendopgave doet die ontdekking over, met getallen en al.

Opmerking 23.18 (Roodverschuiving van melkwegstelsels)

De spectra van verre melkwegstelsels zijn alle roodverschoven, en hoe verder weg, hoe sterker: de afstanden in het heelal rekken uit. Voor nabije stelsels leest $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ de vluchtsnelheid af; voor de verste groeien de verschuivingen boven wat de formule voor trage beweging eerlijk aankan, en wordt de boekhouding hervat vanaf Hoofdstuk 35 en in de universitaire volumes.

23.6 Oefeningen

Oefening 23.1 ★

De sirene van een brandweerwagen zendt uit op $700\,\mathrm{Hz}$ en de wagen rijdt $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). Bereken de frequentie die een voetganger hoort (a) ervoor; (b) erachter. (c) Wat hoort de bestuurder?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.1.

(a) $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ . (b) $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ . (c) $700\,\mathrm{Hz}$ : bestuurder en sirene bewegen samen, hun afstand verandert nooit.

Oefening 23.2 ★

Een vriend beweert: “de toonhoogte zakt terwijl de ambulance wegrijdt doordat het geluid met de afstand zwakker wordt.” Ontwar de twee effecten die hier worden verward, en zeg waarvan elk afhangt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.2.

De luidheid zakt doordat de golf zich uitspreidt — die hangt van de afstand af. De toonhoogte daalt bij de overgang van naderen naar verwijderen — het dopplereffect, dat afhangt van hoe snel de afstand verandert. Twee onafhankelijke effecten.

Oefening 23.3 ★

Een fietser rijdt met $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ recht op een stilstaande sirene af die op $700\,\mathrm{Hz}$ uitzendt. Welke frequentie hoort hij? En als hij er recht vandaan rijdt? Welke formule geldt, en waarom niet die voor een bewegende bron?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.3.

Bewegende waarnemer: $f' = 700\,(1 + 6.0/340) \approx 712\,\mathrm{Hz}$ ; wegrijdend $700\,(1 - 6.0/340) \approx 688\,\mathrm{Hz}$ . De sirene is in rust in de lucht, dus blijft het golfpatroon ongestoord; alleen de waarnemer rent erdoorheen.

Oefening 23.4 ★

Een treinhoorn zendt uit op $400\,\mathrm{Hz}$ terwijl de trein $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rijdt. Bereken de golflengte vóór de trein, erachter en in rust. Welke waarnemer ontvangt welke?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.4.

Vooruit: $\lambda' = 310/400 = 0.775\,\mathrm{m}$ ; achteruit: $370/400 = 0.925\,\mathrm{m}$ ; in rust: $340/400 = 0.85\,\mathrm{m}$ . De korte golflengte bereikt degene naar wie de trein toe rijdt, de lange degene die hij verlaat.

Oefening 23.5 ★

Een telefoon die een toon van $440\,\mathrm{Hz}$ speelt, wordt door een hardloper met $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ meegedragen. Schat met de formule voor trage beweging de verschuiving die iemand hoort naar wie de hardloper toe rent. Vergelijk met een halve toon (ongeveer $6\%$ in frequentie): zou een musicus het merken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.5.

$\Delta f/f \approx 5.0/340 \approx 1.5\%$ : $\Delta f \approx 6.5\,\mathrm{Hz}$ , dus ongeveer $446\,\mathrm{Hz}$ — een kwart halve toon. Een musicus zou het net merken.

Oefening 23.6 ★★

Een vleermuis vliegt met $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ recht op een muur af en zendt uit op $50.0\,\mathrm{kHz}$ . Toon aan dat de echo die ze hoort terugkomt met $f' = f(v + v_b)/(v - v_b)$ , en bereken daarna $f'$ en de verschuiving. Waarom is dit de formule van de snelheidsradar in vermomming?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.6.

De muur ontvangt $f\,v/(v - v_b)$ (bewegende bron); de vleermuis, een bewegende waarnemer die de echo tegemoet vliegt, hoort daar $(1 + v_b/v)$ keer zoveel: $f' = f(v + v_b)/(v - v_b) = 50.0 \times 346/334 \approx 51.8\,\mathrm{kHz}$ , een verschuiving van $+1.8\,\mathrm{kHz}$ . Het is de dubbele verschuiving van de snelheidsradar met de rollen van zender en reflector verwisseld: alleen de naderingssnelheid telt.

Oefening 23.7 ★★

Een snelheidsradar op $24.15\,\mathrm{GHz}$ meet een zweving van $4.0\,\mathrm{kHz}$ van een naderende auto. Bepaal de snelheid van de auto in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Welke zweving zou een auto van precies $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ geven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.7.

$u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 4000/(2 \times 24.15 \times 10^{9}) \approx 24.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Bij $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $\Delta f = 2 \times 13.9 \times 24.15 \times 10^{9}/3.00 \times 10^{8} \approx 2.2\,\mathrm{kHz}$ .

Oefening 23.8 ★★

Een dopplersonde van $5.0\,\mathrm{MHz}$ die langs een slagader is gericht ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in weefsel) hoort een zweving van $2.6\,\mathrm{kHz}$ . Bepaal de bloedsnelheid. Waarom moet de sonde langs de stroming worden gericht en niet loodrecht erop?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.8.

$u = v\,\Delta f/(2f) = 1540 \times 2600/1.0 \times 10^{7} \approx 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een loodrechte stroming heeft radiale snelheid nul en dus helemaal geen verschuiving.

Oefening 23.9 ★★

Neem $f = 1000\,\mathrm{Hz}$ , $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en een naderingssnelheid van $34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bereken $f'$ exact wanneer (a) de bron beweegt en (b) de waarnemer beweegt. Vergelijk beide met de voorspelling voor trage beweging $f(1 + v_r/v)$ en verklaar de grootte van het verschil.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.9.

(a) Bron: $f' = 1000 \times 340/306 \approx 1111\,\mathrm{Hz}$ . (b) Waarnemer: $f' = 1000 \times 1.1 = 1100\,\mathrm{Hz}$ . De trage beweging voorspelt $1100\,\mathrm{Hz}$ : exact voor de waarnemer, $11\,\mathrm{Hz}$ te laag voor de bron — de correctie van de orde $x^2$ , $1\%$ van $f$ voor $x = 0.1$ .

Oefening 23.10 ★★

De opname van een scooter die een microfoon passeert, toont plateaus op $465\,\mathrm{Hz}$ en $415\,\mathrm{Hz}$ . Bepaal met Methode 23.9 de ware frequentie van de claxon en de snelheid van de scooter in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Waarom is de ware frequentie niet hun gemiddelde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.10.

$f = 2 \times 465 \times 415/880 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ ; $v_s = 340 \times 50/880 \approx 19.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . De ware $f$ is het harmonische gemiddelde: naderen tilt de frequentie sterker op dan verwijderen haar omlaag haalt, dus ligt $f$ onder het rekenkundige gemiddelde ( $440\,\mathrm{Hz}$ ).

Oefening 23.11 ★★

In het spectrum van een ster wordt de waterstoflijn met laboratoriumgolflengte $656.3\,\mathrm{nm}$ waargenomen op $656.5\,\mathrm{nm}$ . Roodverschuiving of blauwverschuiving? Bereken de radiale snelheid van de ster en haar richting.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.11.

Langere golflengte: roodverschuiving, de ster verwijdert zich. $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda = 3.00 \times 10^{8} \times 0.2/656.3 \approx 9.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Oefening 23.12 ★★★

Een ster wiebelt met $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ door een onzichtbare planeet. Bereken de amplitude van de golflengteslingering van een lijn op $500\,\mathrm{nm}$ , als lengte en als deel van $\lambda$ . Ordegrootte: waarom moest de jacht op planeten wachten op spectrografen die tot op één deel in $10^{7}$ stabiel zijn?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.12.

$\Delta\lambda = \lambda K/c = 500 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 9.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ ; $\Delta\lambda/\lambda = 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.8 \times 10^{-7}$ . Het hele signaal is twee delen op tien miljoen: een spectrograaf die meer dan $10^{-7}$ verloopt, begraaft het.

Oefening 23.13 ★★★

Elke lijn in het spectrum van een melkwegstelsel blijkt met $2.4\%$ uitgerekt. Bereken zijn vluchtsnelheid. Sterrenkundigen vinden dat zulke snelheden evenredig met de afstand groeien, in elke richting van de hemel: welk beeld suggereert dat? Is de formule voor trage beweging hier nog betrouwbaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.13.

$v_r = 0.024\,c \approx 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Snelheden evenredig met de afstand, in elke richting hetzelfde: alle afstanden rekken gelijkmatig uit — een uitdijend heelal zonder bevoorrecht middelpunt. Bij $2.4\%$ zijn de correcties van de orde $(v_r/c)^2 \approx 6 \times 10^{-4}$ : nog steeds betrouwbaar.

Oefening 23.14 ★★★

De Zon draait: de ene rand van haar schijf nadert ons met ongeveer $2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ terwijl de andere zich even snel verwijdert. Wat doet dat met de lijn op $656.3\,\mathrm{nm}$ in het licht van de hele schijf — verschuiven of verbreden? Bereken het effect in $\mathrm{nm}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.14.

De twee randen verschuiven de andere kant op, dus wordt de over de schijf gemiddelde lijn verbreed en niet verschoven: de volle breedte is $2\lambda v/c = 2 \times 656.3 \times 2.0 \times 10^{3}/3.00 \times 10^{8} \approx 8.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ (ongeveer $\pm4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ ).

Oefening 23.15 ★★★

Een politieauto met $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en een sirene op $700\,\mathrm{Hz}$ achtervolgt een vrachtwagen die met $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in dezelfde richting rijdt. (a) Verantwoord $f' = f(v - v_o)/(v - v_s)$ voor de vrachtwagenchauffeur. (b) Bereken $f'$ . (c) Toon aan dat de verschuiving zou verdwijnen als de vrachtwagen de snelheid van de auto zou aanhouden, en zeg waarom dat ook zo hoort.

Oplossing

Oplossing van Oefening 23.15.

(a) Vóór de auto liggen de toppen op $(v - v_s)T$ ; de vrachtwagen vlucht met $v_o$ en ontmoet ze met de relatieve snelheid $v - v_o$ : $f' = (v - v_o)/\bigl((v - v_s)T\bigr) = f(v - v_o)/(v - v_s)$ . (b) $f' = 700 \times 310/300 \approx 723\,\mathrm{Hz}$ . (c) $v_o = v_s$ geeft $f' = f$ : de tussenafstand blijft constant, en geen verandering van afstand betekent per definitie geen dopplerverschuiving.

23.7 Probleem: De jacht op een exoplaneet

Probleem 23.1

Weekendopgave — de jacht op een exoplaneet: een treinhoorn ijkt het oor, een snelheidsradar oefent de dubbele verschuiving, en zondagnacht heeft het spectrum van een ster, wiebelend met één deel op vijf miljoen, een planeet gewogen die nog nooit iemand heeft gezien

Een sterrenkundige vereniging besteedt een weekend aan één idee — de dopplerverschuiving — eerst op Aarde geoefend en daarna op een zonachtige ster gericht. Gegevens: $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor geluid in lucht, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; de ster heeft massa $M = 2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ . Aangenomen, uit de mechanica van cirkelvormige omloopbanen (Hoofdstuk 27): een planeet met massa $m$ op een cirkelvormige baan met straal $r$ heeft periode en snelheid gegeven door $r^3 = \frac{G M P^2}{4\pi^2}$ en $V = \frac{2\pi r}{P}$ , en de ster, die om het gemeenschappelijke massamiddelpunt draait, wiebelt met snelheid $K = \frac{m}{M}\,V$ .

Deel I — Vrijdag: de spoorwegovergang. Een trein passeert met constante snelheid en de hoorn aan; een telefoon neemt $f_1 = 471\,\mathrm{Hz}$ op terwijl hij nadert en $f_2 = 411\,\mathrm{Hz}$ nadat hij voorbij is.

Verklaar met het beeld van de opeengepakte golffronten waarom $f_1 > f_2$ , ook al verandert de hoorn nooit.
Schrijf de twee vergelijkingen op die $f_1$ en $f_2$ verbinden met de ware frequentie $f$ en de treinsnelheid $u$ .
Toon aan dat $u = v\,\dfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$ en bereken die in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Toon aan dat $f = \dfrac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}$ en bereken die. Waarom ligt $f$ net onder het gemiddelde van $f_1$ en $f_2$ ?
Bereken de golflengten vóór en achter de trein, en de golflengte in rust.

Deel II — Zaterdag: de snelheidsradar. Een verkeerspatrouille demonstreert haar radar: $f = 24.125\,\mathrm{GHz}$ , en het toestel leest de zweving tussen de uitgaande golf en de echo af.

Leg uit waarom de echo van een rijdende auto twee keer wordt verschoven — benoem de rol die de auto in elke verschuiving speelt.
Toon aan dat de zweving voor een auto met snelheid $u \ll c$ gelijk is aan $\Delta f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .
Een auto levert $\Delta f = 3.55\,\mathrm{kHz}$ op: bereken $u$ .
Zet dat om naar $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en vergelijk met de limiet van $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ die daar geldt.
Hoeveel hertz zweving komt overeen met $1\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ? Becommentarieer: waarom is zo’n minieme relatieve verschuiving van een golf van $24\,\mathrm{GHz}$ toch makkelijk te meten?

Deel III — Zondag: de ster die wiebelt. De vereniging haalt de gemeten radiale snelheid van een zonachtige ster op, nacht na nacht, hieronder uitgezet.

De radiale snelheid van de ster over twaalf nachten: een zuivere sinus — de handtekening van een lichaam op een cirkelvormige baan, van opzij gezien.

Wat wordt er nacht na nacht werkelijk gemeten in het spectrum van de ster? Noem de betrekking waarmee dat in $v_r$ wordt omgezet.
Lees de amplitude $K$ en de periode $P$ van de wiebeling van de kromme af.
Bereken de bijbehorende slingering $\Delta\lambda$ van een lijn op $550\,\mathrm{nm}$ , en $\Delta\lambda/\lambda$ . Vergelijk met deel I: hoeveel moeilijker is deze meting dan die aan de trein?
Waarom laat een onzichtbare planeet de ster überhaupt wiebelen? Wat geeft de sinusvorm aan over de baan?
Waarom meet deze methode alleen het radiale deel van de beweging van de ster, en wat zou je zien als de baan ons frontaal toegekeerd was?

Deel IV — Zondagnacht: het onzichtbare wegen. Neem de baan cirkelvormig en van opzij gezien, zodat $K$ de volledige baansnelheid van de ster is.

Bereken uit $P$ en de aangenomen betrekking $r^3 = G M P^2/(4\pi^2)$ de baanstraal $r$ van de planeet. Vergelijk die met de afstand Aarde–Zon, $1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ .
Bereken de baansnelheid $V = 2\pi r/P$ van de planeet.
Bereken uit $K = (m/M)\,V$ de massa $m$ van de planeet.
Vergelijk $m$ met Jupiter ( $1.9 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ ) en met de Aarde ( $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ), en $r$ met de afstand Zon–Mercurius ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). Wat voor wereld is dit?
Zou de ware massa groter of kleiner zijn dan jouw waarde als de baan gekanteld was in plaats van van opzij gezien? Besluit in één zin: wat heeft een periodieke verschuiving van één deel op vijf miljoen zojuist opgeleverd?

Oplossing

Oplossing van Probleem 23.1.

1. Elke top dijt uit vanaf het punt waar hij is uitgezonden: de toppen hopen zich vóór de rijdende hoorn op en rekken erachter uit, zodat de naderende telefoon ze sneller ontmoet ( $f_1$ ) dan de wegrijdende ( $f_2$ ).

2. $f_1 = f\,\dfrac{v}{v - u}$ , $f_2 = f\,\dfrac{v}{v + u}$ .

3. $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,u}{v^2 - u^2}$ en $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - u^2}$ ; delen geeft $u = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2} = 340 \times 60/882 \approx 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

4. $\dfrac{2f_1 f_2}{f_1 + f_2} = f$ (de gemeenschappelijke factor valt weg): $f = 2 \times 471 \times 411/882 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ — het harmonische gemiddelde, onder het gemiddelde van $441\,\mathrm{Hz}$ doordat naderen $f$ sterker opdrijft dan verwijderen haar terugsnijdt.

5. Vooruit: $(v - u)/f = 316.9/439 \approx 0.72\,\mathrm{m}$ ; achteruit: $363.1/439 \approx 0.83\,\mathrm{m}$ ; in rust: $340/439 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ .

6. Eén keer als bewegende waarnemer die de golf ontvangt, en één keer als bewegende bron die uitzendt wat ze heeft ontvangen.

7. $f' = f\,(1 + u/c)/(1 - u/c) \approx f(1 + 2u/c)$ , dus $\Delta f = f' - f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .

8. $u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 3550/(2 \times 24.125 \times 10^{9}) \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

9. $22.1 \times 3.6 \approx 79\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : net onder de limiet van $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

10. $\Delta f = 2f/(3.6\,c) \approx 45\,\mathrm{Hz}$ per $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . De echo tegen de uitgezonden golf laten zweven laat alleen het verschil over: een hoorbare frequentie, moeiteloos te tellen, ook al is het een fractie $10^{-7}$ van de draaggolf.

11. De golflengten van bekende spectraallijnen, nacht na nacht; daarna $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ .

12. $K = 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 4.2\,\mathrm{dagen}$ .

13. $\Delta\lambda = 550 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda/\lambda \approx 1.8 \times 10^{-7}$ — één deel op vijf miljoen, zo’n $4 \times 10^{5}$ keer kleiner dan de verschuiving van $7\%$ bij de trein.

14. Ster en planeet trekken elkaar even hard aan, dus draaien ze beide om hun gemeenschappelijke massamiddelpunt: de ster kan niet stilstaan. Een sinusvormige $v_r$ is een eenparige cirkelbeweging van opzij gezien — een cirkelvormige baan.

15. Alleen de component langs de zichtlijn verandert de afstand tussen ster en Aarde, en dus de golflengte. Frontaal gezien is $v_r = 0$ op elk ogenblik: helemaal geen signaal.

16. $P = 3.63 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times (3.63 \times 10^{5})^2/(4\pi^2) \approx 4.4 \times 10^{29}$ , dus $r \approx 7.6 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ — ongeveer $1/20$ van de afstand Aarde–Zon.

17. $V = 2\pi r/P = 2\pi \times 7.6 \times 10^{9}/3.63 \times 10^{5} \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

18. $m = M K/V = 2.0 \times 10^{30} \times 55/1.3 \times 10^{5} \approx 8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ .

19. Ongeveer $0.4$ jupitermassa’s ( $\approx 140$ aardmassa’s), in een baan $8$ keer dichter dan Mercurius: een gasreus die tegen zijn ster staat te braden — een “hete Jupiter”.

20. Een kanteling verbergt een deel van de beweging: de gemeten $K$ is alleen het radiale aandeel, dus is de ware massa groter — $8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ is een ondergrens. Een periodieke verschuiving van één deel op vijf miljoen heeft zojuist de baan, de snelheid en de minimale massa van een planeet opgeleverd die nog nooit iemand heeft gezien.