Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

17Arbeid van een kracht

Duw een kast door de kamer en je hebt arbeid verricht; duw een hele middag tegen een muur en de natuurkunde telt, wat je spieren ook melden, nul. Arbeid is wat een kracht langs een beweging levert — energie onderweg (Hoofdstuk 9), betaald in joule. Dit hoofdstuk zet een prijs op de krachten van Hoofdstuk 16 — trekken onder een hoek, gewicht, wrijving — en klokt het betaaltempo: het vermogen.

17.1 Arbeid van een constante kracht

Definitie 17.1 (Arbeid van een constante kracht)

Een constante kracht $\vect F$ die aangrijpt op een voorwerp dat langs een recht stuk van $A$ naar $B$ beweegt, verricht de arbeid

W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta ,

waarin $F$ de grootte van de kracht is (in $\mathrm{N}$ ), $AB$ de lengte van de verplaatsing (in $\mathrm{m}$ ) en $\theta$ de hoek tussen $\vect F$ en $\vect{AB}$ . Arbeid wordt gemeten in joule ( $\mathrm{J}$ ): één joule is de arbeid van een kracht van één newton over één meter in haar eigen richting.

Opmerking 17.2

$F \times AB \times \cos\theta$ is precies het inwendig product $\vect F \cdot \vect{AB}$ uit het wiskundevolume van dit jaar. Alleen de component $F\cos\theta$ langs de beweging levert iets op.

Alleen de projectie F van de kracht op de verplaatsing verricht arbeid: W_AB( F) = F × AB ×. — Alleen de projectie $F\cos\theta$ van de kracht op de verplaatsing verricht arbeid: $W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta$ .

Voorbeeld 17.3 (Koffer aan een riem)

Een reiziger sleept een koffer $300\,\mathrm{m}$ door een vertrekhal, met de riem onder $\theta = 50{}^{\circ}$ met de vloer getrokken met $F = 40\,\mathrm{N}$ : $W = 40 \times 300 \times \cos50{}^{\circ} \approx 7.7\,\mathrm{kJ}$ . Vlak getrokken ( $\theta = 0$ ) zou dezelfde kracht $12\,\mathrm{kJ}$ leveren: een derde van de trek tilt niets op.

Definitie 17.4 (Drijvende, remmende en nul-arbeid)

Het teken van $\cos\theta$ deelt elke kracht in drie regimes in:

$\theta < 90{}^{\circ}$ : $W > 0$ , de arbeid is drijvend — de kracht voert energie aan de beweging toe;
$\theta = 90{}^{\circ}$ : $W = 0$ , de kracht verricht in het geheel geen arbeid, hoe groot ze ook is;
$\theta > 90{}^{\circ}$ : $W < 0$ , de arbeid is remmend — de kracht tapt energie af. Het zuivere geval is een rem bij $180{}^{\circ}$ : $800\,\mathrm{N}$ over $45\,\mathrm{m}$ haalt $800 \times 45 \times (-1) = -36\,\mathrm{kJ}$ uit een auto, en stopt die in hete remschijven.

De drie regimes — drijvend, nul, remmend — naar de hoek tussen kracht en verplaatsing (rode pijl).

17.2 De arbeid van het gewicht

Propositie 17.5 (Arbeid van het gewicht)

Wanneer een voorwerp met massa $m$ van $A$ (hoogte $z_A$ ) naar $B$ (hoogte $z_B$ ) beweegt langs welke weg van rechte stukken dan ook, verricht zijn gewicht $\vect P$ de arbeid

W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) = \pm\, mgh ,

waarin $h = \abs{z_A - z_B}$ het hoogteverschil is: $+mgh$ omlaag, $-mgh$ omhoog — alleen de daling telt, niet de route.

Bewijs. Op één recht stuk $AB$ maakt het gewicht (grootte $mg$ , recht omlaag) een hoek $\theta$ met $\vect{AB}$ , en $AB\cos\theta$ is precies de projectie van de verplaatsing op de neerwaartse verticaal: $z_A - z_B$ . Dus $W = mg \times AB\cos\theta = mg\,(z_A - z_B)$ . Langs een keten van stukken tellen de arbeiden op en vallen de dalingen tegen elkaar weg: $mg(z_A - z_C) + mg(z_C - z_B) = mg(z_A - z_B)$ . ∎

Propositie 17.6 (Elke weg)

Dezelfde formule geldt langs elke gekromde weg van $A$ naar $B$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 17.7

Aannemelijk — een kromme ligt zo dicht als we willen bij een gebroken lijn van vele korte stukken — maar dat “zo dicht als we willen” eerlijk maken is analyse, en die volgt in Hoofdstuk 29.

Recht (blauw) of kronkelend (groen), elke weg van A naar B daalt dezelfde h: het gewicht verricht op beide +mgh. — Recht (blauw) of kronkelend (groen), elke weg van $A$ naar $B$ daalt dezelfde $h$ : het gewicht verricht op beide $+mgh$ .

Voorbeeld 17.8 (Wandelaar)

Een wandelaar van $78\,\mathrm{kg}$ (rugzak inbegrepen) klimt $450\,\mathrm{m}$ , langs welk pad ook: $W(\vect P) = -78 \times 9.81 \times 450 \approx -344\,\mathrm{kJ}$ , en precies $+344\,\mathrm{kJ}$ op de terugweg omlaag, hoeveel omwegen hij ook maakt.

17.3 De arbeid van de wrijving

Propositie 17.9 (Arbeid van glijdende wrijving)

Een wrijvingskracht met constante grootte $f$ , op elk ogenblik tegengesteld aan de beweging, verricht over een weg met totale lengte $L$ de arbeid $W = -fL$ : altijd remmend, en evenredig met de lengte van de afgelegde weg — niet met de verplaatsing.

Bewijs. Op elk kort recht stukje staat de kracht onder $180{}^{\circ}$ met de beweging en levert ze $-f \times (\text{de lengte ervan})$ ; de stukjes tellen op tot $-fL$ . Een gekromde weg wordt op dezelfde manier in korte stukjes gehakt, met de limiet aangenomen zoals bij het gewicht (Opmerking 17.7). ∎

Opmerking 17.10 (Wrijving tegen gewicht: de grote scheidslijn)

De arbeid van het gewicht vergeet de weg; die van de wrijving is tol per meter. Op een rondreis levert het gewicht netto nul op — wat het bergopwaarts vraagt, geeft het bergafwaarts terug — terwijl de wrijving op elk stuk $-fL$ int en niets teruggeeft: de arbeid van het gewicht laat zich opslaan en terugwinnen (potentiële energie, Hoofdstuk 18), die van de wrijving gaat als warmte verloren.

Voorbeeld 17.11 (Heen en terug)

Een krat schuift $5.0\,\mathrm{m}$ over een vloer en $5.0\,\mathrm{m}$ terug, tegen $f = 60\,\mathrm{N}$ in: de wrijving verricht $-60 \times 10 = -600\,\mathrm{J}$ , ook al eindigt het krat waar het begon. Gewicht en normaalkracht staan loodrecht op de beweging: overal nul.

Opmerking 17.12 (En een veer?)

Een veer trekt harder naarmate ze verder is uitgerekt: haar kracht is niet constant en Definitie 17.1 is niet van toepassing. Haar arbeid betekent de uitrekking in oneindig kleine stapjes opdelen en optellen — analyse, die in Hoofdstuk 29 wordt geleverd.

17.4 Vermogen

Definitie 17.13 (Vermogen)

Het vermogen van een kracht is het tempo waarin ze arbeid verricht, $P = W/\Delta t$ , in watt ( $\mathrm{W} = \mathrm{J}/\mathrm{s}$ ) — dezelfde watt als in Hoofdstuk 12. Op motorplaatjes leeft een eenheid van vóór het SI voort: de paardenkracht, $1\,\mathrm{hp} = 736\,\mathrm{W}$ .

Propositie 17.14 (Vermogen bij constante snelheid)

Beweegt het voorwerp met constante snelheid $v$ , dan levert een constante kracht $\vect F$ onder een hoek $\theta$ met de beweging het vermogen $P = F v \cos\theta$ — en in het bijzonder $P = Fv$ voor een kracht langs de beweging.

Bewijs. In een tijd $\Delta t$ legt het voorwerp $d = v\,\Delta t$ af, dus $W = F \times v\,\Delta t \times \cos\theta$ ; deel door $\Delta t$ . ∎

Voorbeeld 17.15 (Hijskraan)

Een kraan hijst een pallet van $600\,\mathrm{kg}$ met een constante $0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : de kracht in de kabel is gelijk aan het gewicht, $mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ , dus $P = Fv = 5890 \times 0.90 \approx 5.3\,\mathrm{kW} \approx 7.2\,\mathrm{hp}$ — zeven paarden in een stalen kast.

Methode 17.16 (Klimmen met minder kracht: de zigzag)

Om een last met een beperkte kracht een hoogte $h$ op te tillen:

De rekening ligt vast: volgens Propositie 17.5 kost elke route naar boven de arbeid $mgh$ .
Rek de weg op: op een helling met lengte $L$ is de benodigde kracht (bij constante snelheid, wrijving daargelaten) $F = mgh/L$ — verdubbel de lengte en de kracht halveert.
Betaal de toeslag: de wrijving rekent per meter (Propositie 17.9) en voegt $fL$ toe.

Bergwegen zigzaggen om stap 2: dezelfde hoogte, minder kracht, dezelfde arbeid.

1200\, kg over h = 300\, m omhoog slepen: het product F × L = mgh = 3.53\, MJ ligt vast, dus ruilt de weg lengte tegen kracht (zie ). — $1200\,\mathrm{kg}$ over $h = 300\,\mathrm{m}$ omhoog slepen: het product $F \times L = mgh = 3.53\,\mathrm{MJ}$ ligt vast, dus ruilt de weg lengte tegen kracht (zie Oefening 17.12).

17.5 Oefeningen

Oefening 17.1 ★

Een constante kracht $F = 40\,\mathrm{N}$ werkt over een rechte verplaatsing van $50\,\mathrm{m}$ : bereken haar arbeid voor $\theta = 0{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ , $90{}^{\circ}$ en $120{}^{\circ}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.1.

$W = 40 \times 50 \times \cos\theta$ : $+2000\,\mathrm{J}$ ; $+1000\,\mathrm{J}$ ; $0$ ; $-1000\,\mathrm{J}$ .

Oefening 17.2 ★

Een gereedschapskist van $12\,\mathrm{kg}$ wordt $2.5\,\mathrm{m}$ uit een bestelwagen omlaag gelaten en later weer omhoog getild. Welke arbeid verricht haar gewicht in beide gevallen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.2.

$mgh = 12 \times 9.81 \times 2.5 = 294\,\mathrm{J}$ : omlaag gelaten $+294\,\mathrm{J}$ (het gewicht werkt met de daling mee); omhoog getild $-294\,\mathrm{J}$ .

Oefening 17.3 ★

Drijvend, remmend of nul? (a) het gewicht van een vallende appel; (b) het gewicht van een stijgende bal; (c) de normaalkracht op een schuivende doos; (d) de wrijving op een remmende fiets; (e) de spankracht van het touw op een slingerende slingerbol.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.3.

(a) drijvend; (b) remmend; (c) nul (loodrecht); (d) remmend; (e) nul — de spankracht van het touw blijft loodrecht op de beweging van de bol.

Oefening 17.4 ★

Een kraan tilt $600\,\mathrm{kg}$ $25\,\mathrm{m}$ omhoog met constante snelheid. Welke arbeid verrichten de hijskracht en het gewicht? Wat is hun som, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.4.

Constante snelheid: de hijskracht is $mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ , dus $W_{\text{hijs}} = 5886 \times 25 \approx +147\,\mathrm{kJ}$ en $W(\vect P) = -147\,\mathrm{kJ}$ . De som is nul: bij constante snelheid zijn de krachten in evenwicht (Hoofdstuk 16), dus heffen hun arbeiden elkaar op.

Oefening 17.5 ★

De motor van een roltrap verricht elke minuut $90\,\mathrm{kJ}$ arbeid. Wat is zijn vermogen in watt? En in paardenkracht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.5.

$P = 9.0 \times 10^{4}/60 = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; $1500/736 \approx 2.0\,\mathrm{hp}$ .

Oefening 17.6 ★★

Een slee wordt $200\,\mathrm{m}$ voortgetrokken door een touw met spankracht $120\,\mathrm{N}$ onder $30{}^{\circ}$ boven de sneeuw; de wrijving is $45\,\mathrm{N}$ . Welke arbeid verricht elk van de vier krachten (touw, wrijving, gewicht, normaalkracht), en hoeveel is het totaal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.6.

Touw: $120 \times 200 \times \cos30{}^{\circ} \approx +20.8\,\mathrm{kJ}$ ; wrijving: $-45 \times 200 = -9.0\,\mathrm{kJ}$ ; gewicht en normaalkracht staan loodrecht: $0$ . Totaal $+11.8\,\mathrm{kJ}$ : de slee wint snelheid.

Oefening 17.7 ★★

Een fietser rijdt met een constante $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ tegen een totale weerstand van $18\,\mathrm{N}$ in. Welk vermogen levert hij? Welke arbeid verricht hij in een uur?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.7.

$v = 25/3.6 = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $P = Fv = 18 \times 6.94 \approx 125\,\mathrm{W}$ . In een uur: $W = P\,\Delta t = 125 \times 3600 = 450\,\mathrm{kJ}$ (of, wat hetzelfde is, $18 \times 25\,000\,\mathrm{m}$ ).

Oefening 17.8 ★★

Een skiër van $65\,\mathrm{kg}$ daalt $120\,\mathrm{m}$ in hoogte, via een steile piste van $800\,\mathrm{m}$ of via een flauw tracé van $1500\,\mathrm{m}$ ; de wrijving op de ski’s is in beide gevallen $30\,\mathrm{N}$ . Welke arbeid verrichten het gewicht en de wrijving op elke route? Welke arbeid trekt zich iets van de route aan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.8.

Gewicht, op beide routes: $+65 \times 9.81 \times 120 \approx +76.5\,\mathrm{kJ}$ (alleen de daling telt). Wrijving: $-30 \times 800 = -24\,\mathrm{kJ}$ op de piste en $-30 \times 1500 = -45\,\mathrm{kJ}$ op het tracé. Alleen de wrijving trekt zich iets van de route aan.

Oefening 17.9 ★★

Een doos van $20\,\mathrm{kg}$ wordt $4.0\,\mathrm{m}$ tegen een helling van $25{}^{\circ}$ op geduwd met constante snelheid, tegen $30\,\mathrm{N}$ wrijving in. Bereken de arbeid van het gewicht en van de wrijving, en daarna (uit de constante snelheid) de arbeid en de grootte van de duw evenwijdig aan de helling.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.9.

Stijging $h = 4.0\sin25{}^{\circ} = 1.69\,\mathrm{m}$ : $W(\vect P) = -20 \times 9.81 \times 1.69 \approx -332\,\mathrm{J}$ ; $W_f = -30 \times 4.0 = -120\,\mathrm{J}$ . Bij constante snelheid is de totale arbeid nul, dus $W_{\text{duw}} = +452\,\mathrm{J}$ en $F = 452/4.0 \approx 113\,\mathrm{N}$ .

Oefening 17.10 ★★

Een auto rijdt met $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ terwijl zijn motor $50\,\mathrm{kW}$ aan de wielen levert. Tegen welke totale remmende kracht vecht hij?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.10.

$v = 130/3.6 = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; bij constante snelheid is $F = P/v = 5.0 \times 10^{4}/36.1 \approx 1.4\,\mathrm{kN}$ .

Oefening 17.11 ★★

Een trekpaard sleept een schuit met $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ langs een kanaal, waarbij het touw met spankracht $800\,\mathrm{N}$ een hoek van $20{}^{\circ}$ met het jaagpad maakt. Bereken het vermogen van het paard, in watt en in paardenkracht. Becommentarieer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.11.

$P = Fv\cos\theta = 800 \times 1.0 \times \cos20{}^{\circ} \approx 752\,\mathrm{W}$ ; in paardenkracht $752/736 \approx 1.02$ — vrijwel precies wat een sterk paard volhoudt, de vergelijking waarop Watt zijn eenheid heeft gebouwd.

Oefening 17.12 ★★★

Een auto van $1200\,\mathrm{kg}$ klimt $h = 300\,\mathrm{m}$ naar een bergpas, via een rechte weg met $20\%$ stijging of via een zigzagweg met $6\%$ stijging (stijging $= \sin\alpha$ ). Bereken, met verwaarloosbare wrijving en bij constante snelheid, voor elke route de lengte, de benodigde kracht langs de helling, en de arbeid daarvan. Besluit in één zin.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.12.

Lengten $L = h/\text{stijging}$ : $1500\,\mathrm{m}$ en $5000\,\mathrm{m}$ . Krachten $F = mg \times \text{stijging}$ : $1200 \times 9.81 \times 0.20 \approx 2.35\,\mathrm{kN}$ en $0.71\,\mathrm{kN}$ . Arbeiden $FL$ : $2354 \times 1500 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ en $706 \times 5000 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ — beide gelijk aan $mgh$ : de weg ruilt kracht tegen lengte, nooit arbeid.

Oefening 17.13 ★★★

Een lier hijst $250\,\mathrm{kg}$ dakpannen $15\,\mathrm{m}$ langs een steiger omhoog met een constante $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bereken de arbeid van de kracht in de kabel, de duur, het mechanische vermogen (twee keer: als $W/\Delta t$ en als $Fv$ ), en het elektrische vermogen dat bij een motorrendement van $70\%$ wordt opgenomen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.13.

$F = mg = 2.45 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ ; $W = 2453 \times 15 \approx 36.8\,\mathrm{kJ}$ ; $\Delta t = 15/0.40 = 37.5\,\mathrm{s}$ ; $P = 36800/37.5 \approx 981\,\mathrm{W} = 2453 \times 0.40$ ( $Fv$ klopt ermee); elektrisch: $981/0.70 \approx 1.4\,\mathrm{kW}$ .

Oefening 17.14 ★★★

Een kast wordt tegen $f = 140\,\mathrm{N}$ wrijving in van de ene hoek van een kamer naar de andere geschoven: recht over de diagonaal van $6.0\,\mathrm{m}$ , of $3.6\,\mathrm{m}$ en daarna $4.8\,\mathrm{m}$ langs de wanden. Welke arbeid verricht de wrijving op elke route, en welke op een heen-en-terugreis over de diagonaal? Wat doet het gewicht op die rondreis, en welk diep verschil tussen de twee krachten legt dat bloot?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.14.

Diagonaal: $-140 \times 6.0 = -840\,\mathrm{J}$ ; langs de wanden: $-140 \times 8.4 \approx -1.18\,\mathrm{kJ}$ ; heen en terug: $-140 \times 12 = -1.68\,\mathrm{kJ}$ . Het gewicht verricht op de rondreis nul (geen netto daling). De arbeid van de wrijving hangt van de weg af en wordt nooit teruggegeven; die van het gewicht hangt alleen van de eindpunten af (Opmerking 17.10).

Oefening 17.15 ★★★

Een fietser ( $80\,\mathrm{kg}$ met fiets) beklimt een bergpas: $600\,\mathrm{m}$ hoogte over $12\,\mathrm{km}$ weg, met een constante $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , tegen $14\,\mathrm{N}$ lucht- en rolweerstand in. Bereken de arbeid tegen de zwaartekracht, tegen de wrijving, en in totaal; de duur van de klim; en het gemiddelde vermogen, in watt en in paardenkracht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.15.

Zwaartekracht: $80 \times 9.81 \times 600 \approx 471\,\mathrm{kJ}$ ; wrijving: $14 \times 12000 = 168\,\mathrm{kJ}$ ; totaal $639\,\mathrm{kJ}$ . $v = 4.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dus $\Delta t = 12000/4.17 = 2880\,\mathrm{s} = 48\,\mathrm{min}$ en $P = 6.39 \times 10^{5}/2880 \approx 222\,\mathrm{W} \approx 0.30\,\mathrm{hp}$ — een sterke amateur, een derde paard.

17.6 Probleem: De dag van de verhuizer

Probleem 17.1

Weekendopgave — de natuurkunde betaalt per joule: een dag van schuiven, hijsen en haarspeldbochten, met als slot de ontnuchterende ontdekking van wat een waterkoker van eerlijke arbeid vindt

Een verhuisploeg leegt een loods, sleept de lading naar een woning op de derde verdieping en rijdt de wagen daarna naar een dorp op een heuvel. Elke klus wordt in joule geprijsd; de waterkoker in de keuken controleert de dag. Dozen: $30\,\mathrm{kg}$ .

Deel I — Over de vloer van de loods. Een doos wordt met een horizontale kracht $F = 110\,\mathrm{N}$ over $d = 8.0\,\mathrm{m}$ geduwd; de glijdende wrijving is $f = 95\,\mathrm{N}$ .

Bereken de arbeid van de duw.
Bereken de arbeid van de wrijving, van het gewicht en van de normaalkracht (verantwoord de nullen).
Hoe groot is de totale arbeid op de doos, en wat betekent het teken ervan (de doos begon in rust)? Welke duw houdt de snelheid constant (Hoofdstuk 16)?
De verste hoek is bereikbaar over de diagonaal van $10.0\,\mathrm{m}$ of langs twee wanden ( $6.0\,\mathrm{m}$ en daarna $8.0\,\mathrm{m}$ ). Hoeveel arbeid verricht de wrijving op elke route?
Bereken op een heen-en-terugreis over de diagonaal de arbeid van de wrijving en die van het gewicht. Welke kracht geeft terug?

Deel II — Naar de derde verdieping ( $h = 9.0\,\mathrm{m}$ ).

Bereken de arbeid van het gewicht op een doos die naar de woning wordt getild. Welke arbeid moet de ploeg minstens leveren?
Draagt een verhuizer van $70\,\mathrm{kg}$ de doos de trap op, dan rekent de zwaartekracht voor verhuizer en doos: hoeveel arbeid tegen de zwaartekracht in totaal, en welk deel gaat er werkelijk naar de doos?
Een steekwagenhelling is $30\,\mathrm{m}$ lang voor dezelfde $9.0\,\mathrm{m}$ stijging, met $40\,\mathrm{N}$ rolwrijving. Bereken bij constante snelheid de benodigde duw langs de helling en de arbeid daarvan.
Vergelijk de helling met recht verticaal hijsen: benodigde kracht en verrichte arbeid. Wat levert de helling op, en tegen welke prijs?
Een takel met touw en katrol tilt de doos met $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ omhoog. Hoe lang duurt dat, en hoe groot is het mechanische vermogen?
Vind dat vermogen terug als $P = Fv$ . De motor van de takel heeft een rendement van $60\%$ : welk elektrisch vermogen wordt opgenomen?

Deel III — De zigzagweg. De beladen wagen ( $3500\,\mathrm{kg}$ ) moet een dorp bereiken dat $240\,\mathrm{m}$ boven het dal ligt: over een rechte weg van $1.0\,\mathrm{km}$ met $24\%$ stijging, of over een verharde weg van $8.0\,\mathrm{km}$ met $3.0\%$ stijging (stijging $= \sin\alpha$ ).

Ga na dat beide routes dezelfde $240\,\mathrm{m}$ klimmen.
Bereken bij constante snelheid en met verwaarloosbare wrijving de benodigde aandrijfkracht op elke route.
Hoeveel arbeid verricht de aandrijfkracht op elke route? Vergelijk met $mgh$ .
De rolweerstand is op beide routes $400\,\mathrm{N}$ : bereken de extra arbeid op elke route. Wat kost het gemak van de zigzag?
Bereken bij $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ het motorvermogen dat op elke route nodig is (in $\mathrm{kW}$ en $\mathrm{hp}$ ). Waarom zigzaggen wegen?

Deel IV — Het grootboek van de dag.

De ploeg schuift $60$ dozen over de vloer (met de duw uit vraag 1) en hijst alle $60$ over de $9.0\,\mathrm{m}$ omhoog (vraag 6). Hoeveel mechanische arbeid is er in totaal aan de dozen geleverd?
Tel het eigen lichaam van de trapdrager erbij: $20$ keer omhoog met $70\,\mathrm{kg}$ (de teruggave bergafwaarts komt in hete knieën terecht en niet in het grootboek). Wat is het dagtotaal?
De ploeg werkte $8.0$ uur: hoe groot is het gemiddelde mechanische vermogen? Hoe lang zou de waterkoker van $2.0\,\mathrm{kW}$ erover doen om dezelfde energie uit te geven?
Slot: zeg in twee zinnen waarvoor de joule betaalt — en waarvoor niet (de muur waar je een middag lang tegen duwde, de doos die je roerloos vasthield) — en waarom verhuizers eerder lieren, hellingen en zigzagwegen bezitten dan grotere spieren.

Oplossing

Oplossing van Probleem 17.1.

1. $W = 110 \times 8.0 = +880\,\mathrm{J}$ .

2. Wrijving: $-95 \times 8.0 = -760\,\mathrm{J}$ . Gewicht en normaalkracht staan loodrecht op de beweging: elk nul.

3. Totaal $+120\,\mathrm{J}$ : netto drijvende arbeid, de doos wint snelheid. Een duw van $95\,\mathrm{N}$ houdt de wrijving in evenwicht — geen resulterende kracht, constante snelheid, totale arbeid nul.

4. Diagonaal: $-95 \times 10.0 = -950\,\mathrm{J}$ ; langs de wanden: $-95 \times 14.0 = -1.33\,\mathrm{kJ}$ : de wrijving rekent per meter.

5. Wrijving: $-95 \times 20.0 = -1.9\,\mathrm{kJ}$ ; gewicht: $0$ (geen netto daling). Alleen het gewicht geeft terug.

6. $W(\vect P) = -30 \times 9.81 \times 9.0 = -2.65\,\mathrm{kJ}$ ; de ploeg moet minstens $+2.65\,\mathrm{kJ}$ leveren.

7. $(70 + 30) \times 9.81 \times 9.0 = 8.83\,\mathrm{kJ}$ ; het aandeel van de doos is $2.65/8.83 \approx 30\%$ — dragen is vooral jezelf vervoeren.

8. $\sin\alpha = 9.0/30 = 0.30$ : $F = mg\sin\alpha + f = 88.3 + 40 = 128\,\mathrm{N}$ ; $W = 128 \times 30 = 3.85\,\mathrm{kJ}$ ( $= 2.65 + 1.2$ ).

9. Verticaal hijsen: $F = mg = 294\,\mathrm{N}$ , $W = 2.65\,\mathrm{kJ}$ . De helling levert een kleinere kracht op ( $128$ tegen $294\,\mathrm{N}$ ) tegen de prijs van meer arbeid: de tol van $1.2\,\mathrm{kJ}$ aan wrijving.

10. $\Delta t = 9.0/0.50 = 18\,\mathrm{s}$ ; $P = 2649/18 \approx 147\,\mathrm{W}$ .

11. $P = Fv = 294 \times 0.50 = 147\,\mathrm{W}$ — hetzelfde. Elektrisch: $147/0.60 \approx 245\,\mathrm{W}$ .

12. $1000 \times 0.24 = 240\,\mathrm{m}$ en $8000 \times 0.030 = 240\,\mathrm{m}$ : dezelfde top.

13. $F = mg \times \text{stijging}$ : rechte weg $3500 \times 9.81 \times 0.24 \approx 8.2\,\mathrm{kN}$ ; verharde weg $\approx 1.0\,\mathrm{kN}$ .

14. $8240 \times 1000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ en $1030 \times 8000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ — beide gelijk aan $mgh = 3500 \times 9.81 \times 240$ .

15. Rolweerstand: $400 \times 1000 = 0.40\,\mathrm{MJ}$ tegenover $400 \times 8000 = 3.2\,\mathrm{MJ}$ : het gemak van de flauwe weg kost $2.8\,\mathrm{MJ}$ extra wrijving.

16. $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Verharde weg: $(1030 + 400) \times 10 = 14.3\,\mathrm{kW} \approx 19\,\mathrm{hp}$ ; rechte weg: $(8240 + 400) \times 10 = 86.4\,\mathrm{kW} \approx 117\,\mathrm{hp}$ — te veel voor een beladen bestelwagen. Wegen zigzaggen zodat bescheiden motoren (en banden) kunnen klimmen: dezelfde arbeid, dun uitgesmeerd.

17. Per doos: $880 + 2649 = 3.53\,\mathrm{kJ}$ ; voor $60$ dozen $60 \times 3529 \approx 212\,\mathrm{kJ}$ .

18. Trap: $20 \times 70 \times 9.81 \times 9.0 \approx 124\,\mathrm{kJ}$ . Dagtotaal $\approx 336\,\mathrm{kJ} = 0.34\,\mathrm{MJ}$ .

19. $P = 3.36 \times 10^{5}/28800 \approx 12\,\mathrm{W}$ . De waterkoker: $3.36 \times 10^{5}/2000 = 168\,\mathrm{s}$ — geen drie minuten voor het zwoegen van een hele dag.

20. De joule betaalt voor kracht die langs een beweging wordt geleverd — en niets voor de muur waar je tegenaan duwde of de doos die je vasthield, hoe uitputtend ook (spieren verbranden chemische energie ook bij nul mechanische arbeid). Omdat een mens maar een paar tientallen watt levert, laten verhuizers machines de kracht hervormen — lier, helling, zigzag — terwijl de rekening $mgh$ nooit verandert.