Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

24Kinematica in twee dimensies

Kijk naar een auto die met een constante $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ een rotonde neemt: de naald beweegt niet, en toch voelt elke passagier zich zijwaarts getrokken — de beweging verandert, en het is niet de snelheid. Eén getal per ogenblik volstaat niet meer: beweging in het vlak vraagt om pijlen. Dit hoofdstuk rust een bewegend punt uit met drie ervan — plaats, snelheid, versnelling — aaneengeregen door de afgeleide, en leest hele families van bewegingen af aan hun meetkunde.

24.1 De plaatsvector

Beweging bestaat alleen ten opzichte van een genoemd referentiestelsel — een star lichaam plus een klok (Hoofdstuk 5). Nieuw dit jaar is de precisie: hang aan het stelsel een oorsprong $O$ en twee loodrechte, geijkte assen $Ox$ en $Oy$ , en leg op elk ogenblik vast waar het punt zich bevindt, als een paar functies.

Definitie 24.1 (Plaatsvector)

In een stelsel met een oorsprong $O$ en assen $Ox$ en $Oy$ is de plaatsvector van een bewegend punt $M$ op tijdstip $t$ de vector $\vect{OM}(t)$ , met coördinaten $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$ : twee functies van de tijd, één per as. De kromme die $M$ beschrijft terwijl $t$ verloopt, is zijn baan.

24.2 De snelheidsvector

Definitie 24.2 (Snelheidsvector)

Over een kort interval verplaatst het punt zich over $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$ ; deel door $\Delta t$ en laat het interval krimpen: dat is de afgeleide uit je wiskundelessen, toegepast op elke coördinaat. De snelheidsvector van $M$ is de afgeleide van zijn plaatsvector, $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$ , in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Haar norm $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ is de snelheid — het ene getal dat de snelheidsmeter toont.

Voorbeeld 24.3 (Een drone in horizontale vlucht)

Een drone vliegt met $x(t) = 4.0\,t$ en $y(t) = 3.0\,t$ (meter, seconde): de baan is de rechte $y = \tfrac34 x$ , de snelheidsvector is $\vect v = (4.0, 3.0)$ op elk ogenblik, en de snelheid $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ is constant.

Propositie 24.4 (Raaklijn aan de baan)

Op elk ogenblik raakt $\vect v(t)$ aan de baan in de huidige plaats van $M$ , en wijst hij in de bewegingsrichting.

Bewijs. De verplaatsing is een koorde van de baan; naarmate $\Delta t$ krimpt, wordt de richting van de koorde die van de raaklijn. ∎

24.3 De versnellingsvector

Definitie 24.5 (Versnellingsvector)

De versnellingsvector van $M$ is de afgeleide van zijn snelheidsvector, $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) = \bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$ , in $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : hoe snel, en in welke richting, de snelheidsvector op dit ogenblik verandert.

Opmerking 24.6 (Versnellen zonder sneller te gaan)

$\vect a \neq \vect 0$ zodra de snelheidsvector verandert — in lengte of in richting: een remmende auto versnelt (achterwaarts); een auto die bij constante snelheid draait versnelt (zijwaarts). Dit is de grootheid die krachten besturen (Hoofdstukken 16 en 25).

Methode 24.7 (Een chronofotografie lezen)

Een chronofotografie legt de posities $M_0, M_1, M_2, \dots$ van een bewegend punt vast op gelijke tijdsafstanden $\Delta t$ .

De afstand tussen de stippen verraadt de snelheid: gelijke afstanden, constante snelheid; groter wordend, versnellend; kleiner wordend, vertragend.
De snelheid in $M_i$ is de symmetrische koorde, $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ , getekend in $M_i$ , rakend aan het gestippelde spoor.
Voor de versnelling in $M_i$ : kopieer $\vect v_{i-1}$ en $\vect v_{i+1}$ naar $M_i$ en teken $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ van punt tot punt; dan is $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

Chronofotografie van een geworpen bal: v_2 en v_4, uit koorden opgebouwd, worden naar M_3 gekopieerd; hun verschil v levert a op — verticaal, omlaag. — Chronofotografie van een geworpen bal: $\vect v_2$ en $\vect v_4$ , uit koorden opgebouwd, worden naar $M_3$ gekopieerd; hun verschil $\Delta\vect v$ levert $\vect a$ op — verticaal, omlaag.

24.4 Rechtlijnige bewegingen

Langs een rechte lijn volstaat één as: $x(t)$ , $v(t) = x'(t)$ en $a(t) = v'(t)$ , alle drie getallen met een teken.

Definitie 24.8 (Eenparige rechtlijnige beweging)

Een beweging is eenparig rechtlijnig wanneer $\vect v$ een constante vector is: een rechte baan, een constante snelheid, $\vect a = \vect 0$ . Dan is $x(t) = v\,t + x_0$ .

Propositie 24.9 (Eenparig versnelde rechtlijnige beweging)

Beweegt een punt langs $Ox$ met een constante versnelling $a$ , en vertrekt het op $t = 0$ vanuit de plaats $x_0$ met snelheid $v_0$ , dan geldt

v(t) = a\,t + v_0, \qquad x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .

Bewijs. $v$ is een primitieve van de constante $a$ : $v(t) = a t + C$ , en $t = 0$ legt $C = v_0$ vast. Op haar beurt is $x$ een primitieve van $a t + v_0$ : $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$ , met $C' = x_0$ . ∎

Eenparig versnelde beweging (a = 2.0\, m/ s2, v_0 = 1.0\, m/ s, x_0 = 0): elke grafiek is de afgeleide van die erboven — een parabool, haar helling, en de helling van die helling. — Eenparig versnelde beweging ( $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $x_0 = 0$ ): elke grafiek is de afgeleide van die erboven — een parabool, haar helling, en de helling van die helling.

Voorbeeld 24.10 (Remweg)

Een auto met snelheid $v_0$ remt met een constante vertraging $a$ (versnelling $-a$ ). Hij staat stil zodra $v(t) = -a t + v_0 = 0$ , op $t_s = v_0/a$ , en heeft dan $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$ afgelegd. Het kwadraat is de krantenkop van de verkeersveiligheid: de snelheid verdubbelen verviervoudigt de remweg — met $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ is dat $16\,\mathrm{m}$ vanaf $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $64\,\mathrm{m}$ vanaf $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

24.5 Eenparige cirkelbeweging en het frenetstelsel

Definitie 24.11 (Eenparige cirkelbeweging)

Een beweging is eenparig cirkelvormig wanneer de baan een cirkel met straal $R$ is en de snelheid $v$ constant is. De omlooptijd $T$ is de duur van één ronde, en de omloopfrequentie $f = 1/T$ (in $\mathrm{Hz}$ ) het aantal ronden per seconde: $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$ .

Constante snelheid — en toch draait de snelheidsvector: er is een versnelling. Welke kant op, en hoe groot?

Stelling 24.12 (Middelpuntzoekende versnelling)

Bij een eenparige cirkelbeweging met straal $R$ en snelheid $v$ wijst de versnelling — middelpuntzoekend genoemd — van het bewegende punt naar het middelpunt van de cirkel, met de constante norm

a = \frac{v^2}{R}.

Bewijs. Leg de assen in het middelpunt van de cirkel en stel $\omega = v/R$ , zodat de boog $v t$ de hoek $\omega t$ onderspant: de plaats is $x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ . Afleiden geeft $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$ , met constante norm $R\omega = v$ ; nogmaals afleiden geeft $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$ : tegengesteld aan de plaatsvector — dus naar het middelpunt — met norm $\omega^2 R = v^2/R$ . ∎

Eenparige cirkelbeweging: v raakt aan de cirkel en heeft een vaste lengte; a wijst naar het middelpunt en heeft de vaste lengte v2/R — ze draait de snelheid eeuwig rond zonder haar ooit uit te rekken. — Eenparige cirkelbeweging: $\vect v$ raakt aan de cirkel en heeft een vaste lengte; $\vect a$ wijst naar het middelpunt en heeft de vaste lengte $v^2/R$ — ze draait de snelheid eeuwig rond zonder haar ooit uit te rekken.

Definitie 24.13 (Frenetstelsel)

Het frenetstelsel in de huidige plaats van een punt op een gekromde baan is het paar loodrechte eenheidsvectoren $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$ : $\vect{u_t}$ raakt aan de baan, in de bewegingsrichting; $\vect{u_n}$ staat er loodrecht op en wijst naar het middelpunt van de cirkel met straal $R$ die de kromme daar het best benadert.

Propositie 24.14 (Versnelling in het frenetstelsel)

Langs elke vlakke baan met plaatselijke straal $R$ , doorlopen met snelheid $v(t)$ , geldt

\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n}, \qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}:

de tangentiële versnelling $a_t$ verandert de snelheid; de normale versnelling $a_n$ draait haar.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 24.15 (Waar het bewijs staat)

We hebben de uitersten bewezen: zuivere $a_t$ op een rechte (Propositie 24.9) en zuivere $a_n$ op een cirkel (Stelling 24.12); de algemene ontbinding wordt afgeleid in het volume van bachelorjaar 1.

Voorbeeld 24.16 (Remmen in een bocht)

Een auto rijdt een bocht met straal $R = 50\,\mathrm{m}$ binnen met $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terwijl hij remt met $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dus $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , achterwaarts gericht én de bocht in. De banden moeten beide tegelijk leveren — en daarom remmen coureurs vóór de bocht.

24.6 Oefeningen

Oefening 24.1 ★

Geef voor $x(t) = 3.0\,t$ en $y(t) = 4.0\,t$ (meter, seconde) de vector $\vect v$ , de snelheid, de baan en de soort beweging.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.1.

$\vect v = (3.0, 4.0)$ , constant; snelheid $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Baan: de rechte $y = \tfrac43 x$ . Constante snelheidsvector: een eenparige rechtlijnige beweging.

Oefening 24.2 ★

Op een chronofotografie die om de $0.10\,\mathrm{s}$ is genomen, liggen de stippen op een rechte, gelijkmatig $0.35\,\mathrm{m}$ uit elkaar. Benoem de beweging en bereken de snelheid. Wat zouden groter wordende afstanden aangeven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.2.

Rechte lijn, gelijke afstanden: eenparig rechtlijnig; $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Groter wordende afstanden zouden betekenen dat de snelheid toeneemt.

Oefening 24.3 ★

Bepaal voor $x(t) = 2.0\,t^2$ langs $Ox$ (meter, seconde) de functies $v(t)$ en $a(t)$ , benoem de soort beweging en bereken de snelheid op $t = 3.0\,\mathrm{s}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.3.

$v(t) = 4.0\,t$ , $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : constante versnelling, dus eenparig versneld rechtlijnig. $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 24.4 ★

Een paard van een draaimolen doorloopt een cirkel met straal $4.5\,\mathrm{m}$ , één ronde om de $8.0\,\mathrm{s}$ : bereken de omloopfrequentie, de snelheid en de versnelling (norm en richting).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.4.

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$ ; $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , gericht naar de as van de draaimolen.

Oefening 24.5 ★

Een grafiek van $v(t)$ klimt rechtlijnig van $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $t = 0$ naar $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $t = 4.0\,\mathrm{s}$ . Lees de versnelling af, en daarna de afgelegde weg (de oppervlakte onder de grafiek).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.5.

Helling: $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Oppervlakte (trapezium): $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$ .

Oefening 24.6 ★★

Een hogesnelheidstrein neemt een bocht met straal $6.0\,\mathrm{km}$ bij $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Bereken $a_n$ en vergelijk die met $g$ ; waarom moeten hogesnelheidslijnen krappe bochten vermijden, zelfs perfect verkante?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.6.

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.13\,g$ . Omdat $a_n = v^2/R$ , vergt een hoge $v$ een reusachtige $R$ om de zijwaartse versnelling (en de kracht op spoor en reizigers) aanvaardbaar te houden — verkanten verandert wie haar levert, niet hoe groot ze is.

Oefening 24.7 ★★

Een wagentje op een rechte rail heeft $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ (meter, seconde). Bepaal $v(t)$ en $a$ , het tijdstip en de plaats waar het omkeert, en beschrijf de beweging ervoor en erna.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.7.

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$ ; $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , constant. Omkeren bij $v = 0$ : $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ , op $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$ . Daarvoor: vooruit en vertragend; daarna: achteruit en versnellend — de hele tijd eenparig versneld.

Oefening 24.8 ★★

Een chronofotografie langs een rechte, om de $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$ , geeft $x = 0$ , $0.10$ , $0.28$ , $0.54$ en $0.88\,\mathrm{m}$ . Schat de snelheid in de drie binnenste stippen (Methode 24.7), en daarna de versnelling; trek je conclusie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.8.

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De snelheid wint elke $0.20\,\mathrm{s}$ $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , constant — een eenparig versnelde rechtlijnige beweging.

Oefening 24.9 ★★

De Maan draait om de Aarde langs een bijna-cirkel met straal $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ in $27.3\,\mathrm{d}$ . Bereken haar snelheid en haar middelpuntzoekende versnelling; vergelijk die laatste met $g$ , wetend dat de Maan ongeveer $60$ aardstralen ver staat (Hoofdstuk 4).

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.9.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Verhouding: $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — de zwaartekracht, verdund volgens het omgekeerde kwadraat van de afstand (Hoofdstuk 4), verantwoordt precies het draaien van de Maan.

Oefening 24.10 ★★

De trommel van een wasmachine met straal $25\,\mathrm{cm}$ draait $1200$ omwentelingen per minuut. Bereken $f$ , $T$ , de snelheid aan de rand en de versnelling aan de rand in veelvouden van $g$ . Waarom blijft de was tegen de wand geplakt terwijl het water vertrekt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.10.

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.050\,\mathrm{s}$ ; $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$ . De trommelwand levert de $a_n$ van de was; door de gaatjes duwt niets het water naar binnen, dus vliegt het langs de raaklijn weg.

Oefening 24.11 ★★

Een auto met $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ remt met een constante $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : bereken de remtijd en de remweg, en schets $v(t)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.11.

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$ . Grafiek: een recht stuk van $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ omlaag naar $0$ op $t_s$ .

Oefening 24.12 ★★★

Bereken voor $x(t) = R\cos(\omega t)$ en $y(t) = R\sin(\omega t)$ de vector $\vect v$ ; ga na dat de snelheid de constante $R\omega$ is en dat $\vect v \perp \vect{OM}$ ; bereken $\vect a$ , toon aan dat die $-\omega^2\,\vect{OM}$ is, en vind $a = v^2/R$ terug.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.12.

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$ , met constante norm $R\omega$ ; haar inwendig product met $\vect{OM}$ is nul, dus staat ze loodrecht op de straal en raakt ze dus aan de cirkel. Nogmaals afleiden geeft $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$ : naar $O$ gericht, met norm $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$ .

Oefening 24.13 ★★★

Een motorrijder rijdt een bocht met straal $80\,\mathrm{m}$ binnen met $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en remt daarbij met $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Bereken $a_t$ , $a_n$ , de norm van $\vect a$ en de hoek daarvan met de bewegingsrichting. De banden houden in totaal tot $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : blijft de rijder binnen de grens?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.13.

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (achterwaarts), $a_n = 20^2/80 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; hoek met de bewegingsrichting: $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (dus $63^\circ$ vanaf recht achterwaarts). Omdat $5.6 < 7.0$ blijft hij binnen de grip, met weinig speling.

Oefening 24.14 ★★★

Een metro versnelt vanuit rust met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ tot $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , rijdt $40\,\mathrm{s}$ door en remt daarna met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ tot stilstand. Bereken de duur en de lengte van elke fase, de totale afstand en de gemiddelde snelheid. Schets $v(t)$ en controleer de afstand als oppervlakte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.14.

Optrekken: $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$ , $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$ . Doorrijden: $40\,\mathrm{s}$ , $800\,\mathrm{m}$ . Remmen: $t_3 = 20/1.5 \approx 13\,\mathrm{s}$ , $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$ . Totaal: $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ in $70\,\mathrm{s}$ ; gemiddeld $1100/70 \approx 16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). $v(t)$ is een trapezium waarvan de oppervlakte, $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$ , het totaal bevestigt.

Oefening 24.15 ★★★

Een geostationaire satelliet cirkelt op een straal van $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ van het middelpunt van de Aarde met omlooptijd $86\,164\,\mathrm{s}$ . Bereken haar snelheid en haar middelpuntzoekende versnelling. Wat levert die, en waarom hangt de satelliet boven één vast punt op de evenaar (Hoofdstuk 27)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 24.15.

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . De zwaartekracht van de Aarde levert die op die afstand; de omlooptijd is gelijk aan de omwentelingstijd van de Aarde, dus draaien satelliet en grond samen en hangt ze boven één punt op de evenaar (Hoofdstuk 27).

24.7 Probleem: Het ongevalsrapport

Probleem 24.1

Weekendopgave — het ongevalsrapport: een dashcamfilm beeldje voor beeldje gelezen, een remwet uit remsporen gereconstrueerd, een rotonde die over grip getuigt, en een vonnis in kilometer per uur

Een auto ramt een bestelwagen die vanuit een zijstraat kwam; er raakt niemand gewond, maar de verzekeraars zijn het oneens. De onderzoeker heeft camerabeelden van bovenaf (één beeldje om de $0.50\,\mathrm{s}$ ), opgemeten remsporen en de dashcam van de auto. De maximumsnelheid is $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Deel I — De film lezen. De beeldjes vóór elke reactie geven, langs de rechte weg:

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.00	0.50	1.00	1.50	2.00
$x$ ( $\mathrm{m}$ )	0.0	9.0	18.0	27.0	36.0

Waarom moet het rapport eerst een stelsel en assen noemen? Welke worden hier gebruikt?
Bereken de gemiddelde snelheid op elk van de vier intervallen.
Wat voor soort beweging is dit? Verantwoord dat uit de tabel.
Geef de snelheid $v_0$ van de auto in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Hoe groot is de versnelling gedurende deze twee seconden?

Deel II — De remsporen. Bandproeven op dit droge asfalt geven een constante remvertraging $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; de remsporen zijn $d_b = 27\,\mathrm{m}$ lang. Neem $t = 0$ en $x = 0$ bij het begin van het remmen, met onbekende snelheid $v_B$ .

Schrijf met primitieven $v(t)$ en $x(t)$ tijdens het remmen op.
Druk de remtijd $t_s$ uit; toon aan dat $d_b = v_B^2/(2a)$ .
Leid $v_B$ af uit de remsporen. Klopt dat met deel I?
De reactietijd is $1.0\,\mathrm{s}$ : bereken de reactieafstand en de totale stopafstand.
Leg vanuit vraag 7 uit waarom de snelheid verdubbelen de remweg verviervoudigt; bereken $d_b$ bij precies $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Deel III — De rotonde getuigt. Eerder toont de dashcam dat de auto met constante snelheid een rotondebaan met straal $R = 12.5\,\mathrm{m}$ neemt, een kwartslag in $2.5\,\mathrm{s}$ . De weg kan hoogstens $a_n = \mu g$ leveren, met $\mu = 0.70$ .

De snelheid is daar constant — is de snelheidsvector dat ook? Versnelt de auto? Verklaar.
Bereken de snelheid van de auto op de rotonde.
Bereken haar middelpuntzoekende versnelling (norm en richting).
Bereken de hoogste snelheid zonder slippen. Bleef de auto eronder?
Geef de omlooptijd en de omloopfrequentie van een volledige ronde bij die snelheid.

Deel IV — Het vonnis. De bestelwagen dook $D = 41\,\mathrm{m}$ vóór de auto op, op het ogenblik dat de bestuurder begon te reageren.

Met hoeveel, in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en in procent, lag de snelheid vóór het remmen boven de limiet?
Bereken de snelheid van de auto op het ogenblik van de botsing.
Doe de stopberekening over bij precies $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (dezelfde reactie, hetzelfde remmen): staat de auto stil, en met welke marge?
Geef de algemene formule voor de stopafstand $d(v)$ ; waarom komt de snelheid er twee keer in voor — één keer lineair en één keer gekwadrateerd?
Het vonnis, in één zin met de getallen erbij: welke snelheid reed de bestuurder, en zou het ongeval bij de limiet zijn gebeurd?

Oplossing

Oplossing van Probleem 24.1.

1. Beweging is relatief (Hoofdstuk 5): elke plaats en elke snelheid moet haar stelsel noemen. Hier: het aardse stelsel (de weg), met $x$ langs de weg vanaf de plaats op het eerste beeldje.

2. Op elk interval: $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — vier gelijke waarden.

3. Rechte weg, gelijke verplaatsingen in gelijke tijden: een eenparige rechtlijnige beweging.

4. $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

5. $\vect a = \vect 0$ .

6. $v(t) = -a\,t + v_B$ ; $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$ .

7. $v(t_s) = 0$ geeft $t_s = v_B/a$ ; dan is $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$ .

8. $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} = \sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — precies de gefilmde snelheid: de bestuurder heeft vóór het remmen niet vertraagd.

9. Reactie: $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$ ; totaal $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$ .

10. $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$ : $v_B$ verdubbelen vermenigvuldigt $d_b$ met $4$ . Bij $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$ .

11. De snelheid is constant maar de richting van de snelheidsvector draait: $\vect v$ is niet constant, dus versnelt de auto.

12. Kwartslag: $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

13. $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , naar het middelpunt van de rotonde.

14. $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{6.87 \times 12.5} \approx 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Omdat $7.9 < 9.3$ bleef hij binnen de grip — wat klopt met de nette baan zonder slipsporen.

15. $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s}$ ; $f = 0.10\,\mathrm{Hz}$ .

16. $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ te hard — ongeveer $30\%$ boven de limiet.

17. Het remmen werkt over $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$ : $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$ , dus $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ bij de botsing.

18. Bij $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 = 13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} < 41\,\mathrm{m}$ — de auto staat $11\,\mathrm{m}$ vóór de bestelwagen stil.

19. $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$ : één keer lineair (tijdens de reactie wordt $v t_r$ afgelegd voordat de remmen aangrijpen) en één keer gekwadrateerd (het kinetische deel $v^2/(2a)$ ) — en daarom kosten bescheiden overschrijdingen onevenredig veel.

20. De dashcam en de remsporen zijn het eens: $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ in een zone van $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; bij de wettelijke limiet had de auto $11\,\mathrm{m}$ vóór de bestelwagen stilgestaan — het ongeval is de extra $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .