Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

7Druk: van sport tot duiken

Een skiër glijdt over sneeuw waarin een wandelaar wegzakt; een duw van $5\,\mathrm{N}$ drijft een naald door leer waar een vuist geen deuk in maakt. Dezelfde krachten, wild uiteenlopende gevolgen: de ontbrekende grootheid is de druk, de kracht gedeeld door het oppervlak dat haar ontvangt. Dit hoofdstuk definieert die grootheid, volgt haar naar de bodem van een zwembad, omhoog in een barometer, een samengeknepen injectiespuit in — en eindigt veertig meter onder zee, waar ze van levensbelang wordt.

7.1 Druk: kracht verdeeld over een oppervlak

Definitie 7.1 (Druk)

Wanneer een kracht met grootte $F$ (in $\mathrm{N}$ ) loodrecht op een oppervlak met grootte $S$ (in $\mathrm{m}^{2}$ ) drukt, is de druk op dat oppervlak

P = \frac{F}{S}.

Haar eenheid, de $\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ , heet de pascal ( $\mathrm{Pa}$ ) — een minieme eenheid, het gewicht van een appel uitgesmeerd over een vierkante meter, zodat $\mathrm{kPa}$ en $\mathrm{MPa}$ de werkeenheden zijn.

Voorbeeld 7.2 (Naaldhak tegen sneeuwschoen)

Een persoon van $60\,\mathrm{kg}$ weegt $F = 60 \times 9.81 \approx 590\,\mathrm{N}$ . Op één naaldhak van $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ = $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = 590/1.0 \times 10^{-4} \approx 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 5.9\,\mathrm{MPa}$ . Op twee sneeuwschoenen van elk $0.20\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = 590/0.40 \approx 1.5\,\mathrm{kPa}$ . Hetzelfde gewicht drukt onder de hak $4000$ keer harder: hakken laten putjes na in houten vloeren, sneeuwschoenen drijven op poedersneeuw.

Dezelfde kracht op twee oppervlakken: de druk, niet de kracht, beslist of het oppervlak bezwijkt.

Opmerking 7.3 (Bundelen of spreiden)

Een naainaald die met $5\,\mathrm{N}$ op een punt van $0.01\,\mathrm{mm}^{2}$ = $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ wordt geduwd, oefent $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ uit — genoeg om leervezels te scheiden. Doorborend gereedschap bundelt de kracht; dragende constructies (ski’s, rupsbanden, funderingen) spreiden haar. Sport is toegepast drukbeheer: schaatsen bijten in het ijs, ski’s glijden over sneeuw.

7.2 Druk in een vloeistof in rust

Waarom drukt water dieper harder? Zonder in gedachten een verticale waterkolom af met dwarsdoorsnede $S$ , van het oppervlak tot diepte $h$ : volume $Sh$ , massa $\rho S h$ ( $\rho$ de dichtheid van de vloeistof, in $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), gewicht $\rho S h g$ . De onderkant van de kolom draagt dat gewicht plus de duw $P_0 S$ van de atmosfeer op de bovenkant. Deel de totale kracht door $S$ : de druk op diepte $h$ zou $P_0 + \rho g h$ moeten zijn — en dat is ze, overal in de vloeistof.

Stelling 7.4 (Druk op diepte)

In een vloeistof met dichtheid $\rho$ die in rust is en aan de lucht grenst, is de druk op diepte $h$ onder het oppervlak

P = P_0 + \rho g h,

waarin $P_0$ de atmosferische druk aan het oppervlak is. De druk hangt alleen van de diepte af, niet van de vorm van het vat, en in een gegeven punt drukt de vloeistof even hard in alle richtingen.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 7.5

Het kolomargument maakt de wet alleen aannemelijk; de eerlijke afleiding (elke vorm, alle richtingen) staat in het volume van bachelorjaar 1. De eigen term $\rho g h$ van het water is de overdruk — wat de drukmeter van een duiker aanwijst.

Voorbeeld 7.6 (Tien meter water)

In zoet water ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), op $h = 10\,\mathrm{m}$ : $\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 10 \approx 98\,\mathrm{kPa}$ , dus $P = 101 + 98 \approx 199\,\mathrm{kPa}$ . Tien meter water voegt bijna precies één atmosfeer toe: de vuistregel van de duiker, één atmosfeer extra per tien meter.

Zoet water in rust: de druk groeit lineair met de diepte, één atmosfeer extra per tien meter.

7.3 De oceaan van lucht

Definitie 7.7 (Atmosferische druk)

We leven op de bodem van een oceaan van lucht, waarvan het gewicht de atmosferische druk veroorzaakt, op zeeniveau

P_0 \approx 101\,\mathrm{kPa} = 1.01 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}.

Op elke vierkante centimeter is dat $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1 \times 10^{-4} \approx 10\,\mathrm{N}$ : het gewicht van één kilogram op elke $\mathrm{cm}^{2}$ van je huid, je bureau, alles.

Voorbeeld 7.8 (De onzichtbare last)

Een A4-blad ( $21.0\,\mathrm{cm}$ $\times$ $29.7\,\mathrm{cm}$ , dus $S \approx 0.0624\,\mathrm{m}^{2}$ ) ontvangt van de lucht erboven $F = 1.01 \times 10^{5} \times 0.0624 \approx 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — het gewicht van een kleine auto. Er scheurt niets: de lucht eronder duwt precies zo hard omhoog. We merken de atmosfeer pas op wanneer één kant haar kwijtraakt — een zuignap, een rietje, een vliegtuigcabine.

Opmerking 7.9 (De barometer van Torricelli)

In 1643 keerde Torricelli een aan één kant gesloten buis kwik om boven een kwikbad. De kolom zakte tot de hoogte waarop $\rho g h = P_0$ : $h = 1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$ , met erboven het eerste vacuüm dat ooit gemaakt is. De hoogte volgt het weer en krimpt met de hoogte boven zeeniveau: een barometer weegt de lucht boven je (met water zou er $10.3\,\mathrm{m}$ nodig zijn: Oefening 7.9).

7.4 Gassen: bombardement en de wet van Boyle

Ook een gas drukt op zijn vat: het is een zwerm moleculen in onophoudelijk willekeurige beweging, elke botsing geeft de wand een minuscule duw naar buiten, en miljarden miljarden inslagen per seconde vervagen tot de gestage kracht die we als gasdruk meten. Pers het gas in het halve volume: de moleculen slaan twee keer zo vaak toe, dus zou de druk moeten verdubbelen. En dat doet ze.

Propositie 7.10 (Wet van Boyle)

Voor een vaste hoeveelheid gas op constante temperatuur zijn druk en volume omgekeerd evenredig:

P \, V = \text{constant}, \qquad\text{dus}\qquad P_1 V_1 = P_2 V_2 .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 7.11

Op dit niveau een experimenteel feit — het volume van bachelorjaar 1 leidt de wet af uit het botsingsbeeld. De proef (een afgesloten injectiespuit met lucht, een druksensor, $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ):

$V$ ( $\mathrm{mL}$ )	60	50	40	30	20
$P$ ( $\mathrm{kPa}$ )	100	120	150	200	300
$P \times V$ ( $\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ )	6000	6000	6000	6000	6000

De meetpunten van de injectiespuit liggen op de hyperbool P = 6000/V: halveer het volume en de druk verdubbelt. — De meetpunten van de injectiespuit liggen op de hyperbool $P = 6000/V$ : halveer het volume en de druk verdubbelt.

Voorbeeld 7.12 (Een samengeknepen injectiespuit)

Lucht neemt $4.0\,\mathrm{L}$ in bij $100\,\mathrm{kPa}$ ; langzaam samengeperst (zodat de temperatuur constant blijft) tot $250\,\mathrm{kPa}$ neemt ze $V_2 = P_1 V_1 / P_2 = 400/250 = 1.6\,\mathrm{L}$ in.

7.5 Duiken: druk aan het werk

Methode 7.13 (Absolute druk op diepte)

Voor een duiker op diepte $h$ in zee ( $\rho \approx 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , dus $\rho g h \approx 101\,\mathrm{kPa}$ per $10\,\mathrm{m}$ ) bereken je $P = P_0 + \rho g h$ — en gebruik in de wet van Boyle altijd deze absolute druk, nooit de overdruk alleen. Een duiker zit onder $2$ atmosfeer op $10\,\mathrm{m}$ , $3$ op $20\,\mathrm{m}$ en $5$ op $40\,\mathrm{m}$ .

Absolute druk in zee: één atmosfeer aan het oppervlak, plus één extra per tien meter.

Opmerking 7.14 (Nooit je adem inhouden)

Een ademautomaat levert lucht op de omgevingsdruk: de longen vullen zich op elke diepte normaal. Maar vul $6.0\,\mathrm{L}$ op $20\,\mathrm{m}$ ( $302\,\mathrm{kPa}$ ), houd die adem in en kom boven: Boyle eist $6.0 \times 302/101 \approx 18\,\mathrm{L}$ — drie keer wat een borstkas bevat, en longen scheuren ruim daarvoor al, zelfs bij een stijging van enkele meters. Vandaar de eerste regel van het persluchtduiken: houd bij het stijgen nooit je adem in — blijf ademen en de uitzettende lucht stroomt gewoon naar buiten. Een vrijduiker loopt geen gevaar: haar lucht is aan het oppervlak ingenomen, dus zet die op de weg omhoog alleen weer uit tot haar oorspronkelijke volume.

Opmerking 7.15 (Decompressie)

Lucht onder hoge druk inademen lost bovendien extra stikstof op in het bloed, zoals gas in een gesloten fles frisdrank; kom je te snel boven, dan bruist die stikstof tot bellen in het lichaam — decompressieziekte. Vandaar het trage stijgen (ongeveer $10\,\mathrm{m}$ per minuut) en de ondiepe stops, die het gas rustig via de longen laten ontsnappen. De theorie wacht op het volume van bachelorjaar 1; de gedragsregel hoort bij elke duiker.

7.6 Oefeningen

Oefening 7.1 ★

Een krat met een gewicht van $600\,\mathrm{N}$ staat eerst op een vlak van $0.50\,\mathrm{m} \times 0.30\,\mathrm{m}$ en daarna op een vlak van $0.30\,\mathrm{m} \times 0.20\,\mathrm{m}$ . Bereken beide drukken op de grond. Welke stand is de beste op zacht zand?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.1.

Groot vlak: $S = 0.15\,\mathrm{m}^{2}$ , $P = 600/0.15 = 4.0\,\mathrm{kPa}$ . Klein vlak: $S = 0.060\,\mathrm{m}^{2}$ , $P = 10\,\mathrm{kPa}$ . Op zand het grote vlak: lagere druk, minder wegzakken.

Oefening 7.2 ★

Druk $0.25\,\mathrm{MPa}$ uit in $\mathrm{kPa}$ en in $\mathrm{Pa}$ . Wat drukt harder: $3.0\,\mathrm{N}$ op $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ , of $60\,\mathrm{N}$ op $500\,\mathrm{cm}^{2}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.2.

$0.25\,\mathrm{MPa} = 250\,\mathrm{kPa} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . $3.0/2.0 \times 10^{-4} = 15\,\mathrm{kPa}$ verslaat $60/0.050 = 1.2\,\mathrm{kPa}$ : de kleine kracht drukt harder.

Oefening 7.3 ★

Bereken de overdruk $\rho g h$ en de absolute druk op de bodem van een zwembad van $3.0\,\mathrm{m}$ diep ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.3.

$\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 3.0 \approx 29\,\mathrm{kPa}$ ; de absolute druk is $P = 101 + 29 = 130\,\mathrm{kPa}$ .

Oefening 7.4 ★

Lucht neemt $4.0\,\mathrm{L}$ in bij $100\,\mathrm{kPa}$ , bij constante temperatuur. Welk volume neemt ze in bij $250\,\mathrm{kPa}$ ? En bij $50\,\mathrm{kPa}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.4.

$V_2 = 100 \times 4.0 / 250 = 1.6\,\mathrm{L}$ ; bij $50\,\mathrm{kPa}$ is $V_2 = 400/50 = 8.0\,\mathrm{L}$ .

Oefening 7.5 ★

Een schaatser van $65\,\mathrm{kg}$ glijdt op één ijzer met een contactoppervlak van $12\,\mathrm{cm}^{2}$ , en gaat daarna op zolen van in totaal $360\,\mathrm{cm}^{2}$ staan. Bereken beide drukken en hun verhouding.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.5.

$F = 65 \times 9.81 \approx 638\,\mathrm{N}$ . IJzer: $638/1.2 \times 10^{-3} \approx 5.3 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 530\,\mathrm{kPa}$ . Zolen: $638/0.036 \approx 18\,\mathrm{kPa}$ . Verhouding $\approx 30$ : het ijzer bijt in het ijs, de zolen niet.

Oefening 7.6 ★★

Een duim duwt met $20\,\mathrm{N}$ op een punaise. De kop heeft een oppervlakte van $1.2\,\mathrm{cm}^{2}$ , de punt $0.010\,\mathrm{mm}^{2}$ . Bereken de drukken op de duim en op de muur; waarom wordt alleen de muur doorboord?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.6.

Duim: $20/1.2 \times 10^{-4} \approx 1.7 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 170\,\mathrm{kPa}$ . Muur: $20/1.0 \times 10^{-8} = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$ . Dezelfde $20\,\mathrm{N}$ werkt bij de punt op een $12\,000$ keer kleiner oppervlak, dus alleen daar overtreft de druk wat het materiaal kan verdragen.

Oefening 7.7 ★★

Een luik van een onderzeeër met een oppervlakte van $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ zit op $30\,\mathrm{m}$ diepte in zeewater ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); binnenin staat de lucht op atmosferische druk. Bereken de resulterende kracht die het luik dicht houdt, en de massa waarvan het gewicht daaraan gelijk is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.7.

$\Delta P = \rho g h = 1025 \times 9.81 \times 30 \approx 3.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , dus $F = 3.0 \times 10^{5} \times 0.50 \approx 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ — het gewicht van $F/g \approx 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ , vijftien ton. Geen bemanning krijgt dat naar buiten open tegen de zee in.

Oefening 7.8 ★★

Een sensor op $5.00\,\mathrm{m}$ diepte in een onbekende vloeistof wijst een overdruk van $66.2\,\mathrm{kPa}$ aan. Bepaal de dichtheid. Is het zoet water?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.8.

$\rho = \dfrac{P}{g h} = \dfrac{66.2 \times 10^{3}}{9.81 \times 5.00} \approx 1350\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ . Geen zoet water ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): een duidelijk dichtere vloeistof, bijvoorbeeld een geconcentreerde pekel.

Oefening 7.9 ★★

Hoe hoog zou de barometer van Torricelli zijn met water ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) in plaats van kwik ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ )? Haal beide hoogten uit $\rho g h = P_0$ ; waarom heeft kwik het gewonnen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.9.

$h = P_0/(\rho g)$ : water $1.01 \times 10^{5}/9810 \approx 10.3\,\mathrm{m}$ ; kwik $1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$ . Een buis van $76\,\mathrm{cm}$ past op een bureau; een waterbarometer van $10\,\mathrm{m}$ vraagt om een trappenhuis — de dichtheid van kwik heeft gewonnen.

Oefening 7.10 ★★

Voorspel met de meetgegevens van de injectiespuit uit Propositie 7.10 ( $PV = 6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ ) het volume bij $240\,\mathrm{kPa}$ en de druk bij $75\,\mathrm{mL}$ . Welke kromme is $P$ tegen $V$ ? En $P$ tegen $1/V$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.10.

$V = 6000/240 = 25\,\mathrm{mL}$ ; $P = 6000/75 = 80\,\mathrm{kPa}$ . $P$ tegen $V$ is een hyperbool; $P$ tegen $1/V$ is een rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt $6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ .

Oefening 7.11 ★★

Een duiker laat op $20\,\mathrm{m}$ een luchtbel met een volume van $0.50\,\mathrm{cm}^{3}$ los. Welk volume heeft die bel net onder het oppervlak? (Constante temperatuur; zeewater voegt $101\,\mathrm{kPa}$ per $10\,\mathrm{m}$ toe.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.11.

Op $20\,\mathrm{m}$ : $P = 101 + 2 \times 101 = 303\,\mathrm{kPa}$ , drie atmosfeer. Aan het oppervlak is $V = 0.50 \times 303/101 = 1.5\,\mathrm{cm}^{3}$ : de bel verdrievoudigt.

Oefening 7.12 ★★★

Een zuignap met een oppervlakte van $12\,\mathrm{cm}^{2}$ wordt plat tegen een plafond gedrukt.

Bij een volmaakt vacuüm binnenin: welke kracht oefent de atmosfeer op de zuignap uit, en welke hangende massa kan hij dragen?
Een echte zuignap houdt $20\,\mathrm{kPa}$ lucht binnenin. Welke massa nu?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.12.

1. $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 121\,\mathrm{N}$ , goed voor $m = 121/9.81 \approx 12\,\mathrm{kg}$ .

2. $\Delta P = 101 - 20 = 81\,\mathrm{kPa}$ : $F = 8.1 \times 10^{4} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 97\,\mathrm{N}$ , ongeveer $9.9\,\mathrm{kg}$ .

Oefening 7.13 ★★★

Een duikfles bevat $12\,\mathrm{L}$ lucht bij $200\,\mathrm{bar}$ ( $1\,\mathrm{bar}$ = $100\,\mathrm{kPa}$ $\approx 1$ atmosfeer); $50\,\mathrm{bar}$ moet als reserve overblijven. Een duiker ademt $15\,\mathrm{L}$ per minuut op de omgevingsdruk. Hoeveel liter lucht op oppervlaktedruk is bruikbaar? Hoe lang gaat de fles mee op $30\,\mathrm{m}$ (absolute druk $\approx 4\,\mathrm{bar}$ )? En op $10\,\mathrm{m}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.13.

Volgens Boyle is $12 \times (200 - 50) = 1800\,\mathrm{L}$ lucht op oppervlaktedruk bruikbaar. Op $30\,\mathrm{m}$ wordt elke ademteug op $4\,\mathrm{bar}$ genomen, dus kost $15\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ op omgevingsdruk $15 \times 4 = 60\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ aan lucht op oppervlaktedruk: $1800/60 = 30\,\mathrm{min}$ . Op $10\,\mathrm{m}$ ( $2\,\mathrm{bar}$ ): $30\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ , dus $60\,\mathrm{min}$ . Diepte wordt in lucht betaald.

Oefening 7.14 ★★★

De longen van een vrijduiker bevatten $6.0\,\mathrm{L}$ aan het oppervlak en kunnen niet krimpen onder het residuvolume van $1.5\,\mathrm{L}$ . Op welke diepte in zee ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) wordt die grens bereikt? (Ooit tot grens van het vrijduiken uitgeroepen; de records gaan inmiddels voorbij $100\,\mathrm{m}$ , doordat bloed naar de borstkas schuift en het ontbrekende volume opvult.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.14.

$P = P_0 \dfrac{V_0}{V} = 101 \times \dfrac{6.0}{1.5} = 404\,\mathrm{kPa}$ . Met $\rho g \approx 10.1\,\mathrm{kPa}/\mathrm{m}$ geeft dat $h = (404 - 101)/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ .

Oefening 7.15 ★★★

In een hydraulische lift geeft een vloeistof de druk onveranderd door van een kleine zuiger ( $s = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ) aan een grote ( $S = 400\,\mathrm{cm}^{2}$ ) die een auto van $1200\,\mathrm{kg}$ draagt.

Welke kracht op de kleine zuiger houdt de auto omhoog? Welke druk draagt de vloeistof?
Hoever moet de kleine zuiger bewegen om de auto $2.0\,\mathrm{cm}$ op te tillen? Vergelijk de arbeid aan elke zuiger.

Oplossing

Oplossing van Oefening 7.15.

1. Gewicht $F = 1200 \times 9.81 \approx 1.18 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ ; druk $P = F/S = 1.18 \times 10^{4}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; kleine zuiger: $f = P s = 2.9 \times 10^{5} \times 2.0 \times 10^{-4} \approx 59\,\mathrm{N}$ — de kracht wordt door $S/s = 200$ gedeeld.

2. Het vloeistofvolume blijft behouden: $400 \times 2.0 = 800\,\mathrm{cm}^{3}$ moet uit de kleine cilinder komen, die dus $800/2.0 = 400\,\mathrm{cm} = 4.0\,\mathrm{m}$ aflegt. Arbeid: $59 \times 4.0 \approx 235\,\mathrm{J}$ aan de ene kant, $1.18 \times 10^{4} \times 0.020 \approx 235\,\mathrm{J}$ aan de andere — de lift ruilt afstand tegen kracht, nooit arbeid.

7.7 Probleem: Eén adem omlaag, één adem omhoog

Probleem 7.1

Weekendopgave — één adem omlaag, één adem omhoog: de natuurkunde van een vrijduik en van een stijging met perslucht, van maskerknijp tot de regel dat de laatste tien meter de gevaarlijkste zijn

Lena vrijduikt: één ademteug aan het oppervlak, naar $30\,\mathrm{m}$ en terug. Marco duikt naast haar met perslucht uit een fles. Dezelfde zee ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ , $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$ ), dezelfde longen van $6.0\,\mathrm{L}$ , tegengestelde gevaren — alles geregeerd door $P = P_0 + \rho g h$ en $PV$ = constant (de temperatuur blijft overal constant).

Deel I — Het gewicht van water.

Bereken $\rho g$ voor zeewater in $\mathrm{kPa}$ per meter, en toets de vuistregel: één atmosfeer per $10\,\mathrm{m}$ .
Bereken de absolute druk op $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}$ en $40\,\mathrm{m}$ .
Druk elke waarde uit als veelvoud van de druk aan het oppervlak.
Het masker van Lena bedekt $150\,\mathrm{cm}^{2}$ . Welke resulterende kracht zou het water op $30\,\mathrm{m}$ uitoefenen als de lucht erbinnen nog op oppervlaktedruk stond? (Duikers blazen door hun neus lucht in het masker om die maskerknijp te voorkomen.)
Een trommelvlies heeft een oppervlakte van ongeveer $0.60\,\mathrm{cm}^{2}$ . Bereken de resulterende kracht erop op $3.0\,\mathrm{m}$ als het middenoor op oppervlaktedruk blijft; waarom doen oren al in een gewoon zwembad pijn, en wat moet “klaren” bereiken?

Deel II — Eén adem omlaag. Lena verlaat het oppervlak met $6.0\,\mathrm{L}$ lucht in haar longen.

Bereken met de wet van Boyle en absolute drukken haar longvolume op $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ en $30\,\mathrm{m}$ .
Op welke diepte is haar longvolume gehalveerd?
Is het longvolume evenredig met de diepte? Beschrijf de kromme van $V$ tegen de absolute druk $P$ .
Haar residuvolume is $1.5\,\mathrm{L}$ : verder kunnen de longen niet krimpen. Toon aan dat die grens rond $30\,\mathrm{m}$ wordt bereikt.
Toch gaan de records vrijduiken voorbij $100\,\mathrm{m}$ : wat vult het ontbrekende volume op? (Wat kan er verder nog naar de borstkas stromen?)

Deel III — Eén adem omhoog. Op $30\,\mathrm{m}$ vult de ademautomaat de longen van Marco met $6.0\,\mathrm{L}$ .

Op welke druk levert de automaat die lucht? Hoeveel keer dichter is ze dan lucht aan het oppervlak?
Marco raakt in paniek, houdt zijn adem in en stijgt naar $10\,\mathrm{m}$ : welk volume eist zijn opgesloten lucht daar op?
Welk volume aan het oppervlak — hoeveel keer zijn longinhoud?
Formuleer de eerste regel van de persluchtduiker, en waarom normaal doorademen het gevaar wegneemt.
Ook Lena houdt haar adem in van $30\,\mathrm{m}$ tot het oppervlak, en toch lopen haar longen geen gevaar. Verklaar die asymmetrie.

Deel IV — Bellen, en de laatste tien meter.

Marco laat op $40\,\mathrm{m}$ een bel van $1.0\,\mathrm{cm}^{3}$ los. Bereken haar volume op $30\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ en net onder het oppervlak.
Bereken voor elk traject van $10\,\mathrm{m}$ de factor waarmee de bel groeit. Waar groeit ze het snelst?
Duikers stijgen hoogstens $10\,\mathrm{m}$ per minuut: hoe lang duurt het vanaf $40\,\mathrm{m}$ , en in welke minuut zet opgesloten of opgelost gas het sterkst uit?
Op diepte lost het bloed van Marco extra stikstof op, zoals gas in een gesloten fles frisdrank. Wat richt een te snelle stijging aan, en hoe voorkomen het trage stijgen en een veiligheidsstop op $5\,\mathrm{m}$ dat?
De clou: geef in telkens één zin het oordeel over de vrijduiker, het oordeel over de persluchtduiker, en de becijferde reden waarom de laatste tien meter van elke stijging het meeste respect verdienen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 7.1.

1. $\rho g = 1025 \times 9.81 \approx 10.1\,\mathrm{kPa}$ per meter, dus voegt $10\,\mathrm{m}$ zeewater $\approx 101\,\mathrm{kPa}$ toe: één atmosfeer per tien meter, vrijwel precies.

2. $P = 101 + 10.1\,h$ : $202\,\mathrm{kPa}$ op $10\,\mathrm{m}$ , $302\,\mathrm{kPa}$ op $20\,\mathrm{m}$ , $403\,\mathrm{kPa}$ op $30\,\mathrm{m}$ , $503\,\mathrm{kPa}$ op $40\,\mathrm{m}$ .

3. $2.0$ , $3.0$ , $4.0$ en $5.0$ maal $P_0$ .

4. $\Delta P = 403 - 101 = 302\,\mathrm{kPa}$ over $0.015\,\mathrm{m}^{2}$ : $F = 3.02 \times 10^{5} \times 0.015 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — het gewicht van bijna een halve ton op het gezicht.

5. $\Delta P = 10.1 \times 3.0 \approx 30\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 3.0 \times 10^{4} \times 6.0 \times 10^{-5} \approx 1.8\,\mathrm{N}$ — een vinger op het trommelvlies, al op zwembaddiepte. Klaren duwt lucht het middenoor in tot de druk binnen die van het water evenaart.

6. $V = 6.0 \, P_0/P$ : $6.0 \times 101/202 = 3.0\,\mathrm{L}$ ; $606/302 = 2.0\,\mathrm{L}$ ; $606/403 = 1.5\,\mathrm{L}$ .

7. Gehalveerd zodra $P = 2P_0$ , dus op $10\,\mathrm{m}$ — al in het allereerste stuk van de duik.

8. Nee: $V = 606/P$ is een hyperbool in de absolute druk (en het is $P$ , niet $h$ , die de wet van Boyle ziet); elke volgende $10\,\mathrm{m}$ neemt minder volume weg dan de vorige.

9. $V = 1.5\,\mathrm{L}$ vergt $P = 101 \times 6.0/1.5 = 404\,\mathrm{kPa}$ , dus $h = 303/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ (Oefening 7.14).

10. Bloed: plasma verschuift naar de vaten in de borstkas, is onsamendrukbaar, en neemt het volume in dat de lucht niet meer vult.

11. Op de omgevingsdruk, $403\,\mathrm{kPa}$ . Volgens Boyle zou dezelfde lucht bij $101\,\mathrm{kPa}$ $4$ keer zoveel volume innemen: ze is $4.0$ keer dichter dan lucht aan het oppervlak.

12. $V = 6.0 \times 403/202 \approx 12\,\mathrm{L}$ — het dubbele, na een stijging van amper $20\,\mathrm{m}$ .

13. $V = 6.0 \times 403/101 \approx 24\,\mathrm{L}$ : vier keer zijn longinhoud.

14. Houd bij het stijgen nooit je adem in. Met open luchtweg stroomt de uitzettende lucht via de automaat naar buiten, en komt het longvolume nooit boven $6.0\,\mathrm{L}$ .

15. De $1.5\,\mathrm{L}$ van Lena op $30\,\mathrm{m}$ is haar samengeperste $6.0\,\mathrm{L}$ van het oppervlak: op de weg omhoog zet die weer uit tot precies $6.0\,\mathrm{L}$ , nooit verder. De $6.0\,\mathrm{L}$ van Marco zijn ingenomen bij $403\,\mathrm{kPa}$ : daar zit $24\,\mathrm{L}$ lucht op oppervlaktedruk in.

16. $V = 1.0 \times 503/P$ : $1.25\,\mathrm{cm}^{3}$ op $30\,\mathrm{m}$ , $1.67\,\mathrm{cm}^{3}$ op $20\,\mathrm{m}$ , $2.49\,\mathrm{cm}^{3}$ op $10\,\mathrm{m}$ en $4.98\,\mathrm{cm}^{3}$ net onder het oppervlak.

17. Factoren per traject: $503/403 = 1.25$ , daarna $1.33$ , $1.49$ , en $202/101 = 2.0$ voor de laatste tien meter — de groei versnelt naarmate het oppervlak nadert.

18. $40/10 = 4.0\,\mathrm{min}$ . De laatste minuut: van $10\,\mathrm{m}$ tot het oppervlak halveert de absolute druk, de grootste relatieve daling van de hele stijging.

19. Bij een te snelle stijging bruist de opgeloste stikstof tot bellen in bloed en gewrichten (decompressieziekte); langzaam stijgen en even pauzeren rond $5\,\mathrm{m}$ houden het gas lang genoeg opgelost om rustig via de longen te verdwijnen.

20. Vrijduiker: haar lucht keert alleen terug naar haar oorspronkelijke volume — Boyle beschermt haar. Persluchtduiker: lucht die op diepte is ingenomen vermenigvuldigt zich op de weg omhoog — ademen, nooit inhouden. En de laatste tien meter verdubbelen elk opgesloten volume ( $\times 2.0$ , tegen $\times 1.25$ beneden op $40\,\mathrm{m}$ ): hoe dichter bij het oppervlak, hoe langzamer je het moet naderen.