Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

4Algemene gravitatie en gewicht

Laat een appel los: hij valt. De Maan, zestig aardstralen hoger, lijkt dat nooit te doen. Newtons grote inzicht is dat de Maan wel degelijk valt — ongeveer 1.4 millimeter per seconde, precies zoveel als een aantrekking die afneemt met het kwadraat van de afstand voorspelt. Eén formule, met één universele constante, regeert de appel, de Maan, de getijden en de planeten. Het onderbouwvolume beschreef de gravitatie met woorden; dit hoofdstuk meet haar.

4.1 De wet van de algemene gravitatie

Definitie 4.1 (Gravitatiekracht)

Elke twee lichamen trekken elkaar aan, waaruit ze ook bestaan en hoe ver ze ook uit elkaar liggen. Die aantrekking is de gravitatiekracht, en het verschijnsel heet gravitatie. Ze heeft geen contact, geen touw en geen tussenstof nodig, en ze is wederzijds: elk lichaam trekt aan het andere.

Stelling 4.2 (Wet van de algemene gravitatie)

Twee lichamen met massa’s $m_1$ en $m_2$ (in $\mathrm{kg}$ ), waarvan de middelpunten een afstand $d$ uit elkaar liggen (in $\mathrm{m}$ ), trekken elkaar aan met twee krachten langs de verbindingslijn van de middelpunten, elk gericht naar het andere lichaam, met dezelfde grootte

F = G\,\frac{m_1 m_2}{d^2} \qquad \text{(in $\mathrm{N}$)},

waarin $G$ voor elk paar lichamen in het heelal dezelfde constante is.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 4.3 (Waar de wet vandaan komt)

Newton destilleerde deze wet uit de waargenomen beweging van de planeten (de wetten van Kepler); de eerlijke afleiding staat in het volume van bachelorjaar 1. Hoofdstuk 27 zet de wet al aan het werk op satellieten en planeten.

Definitie 4.4 (De gravitatieconstante)

De constante

G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}

heet de gravitatieconstante. Haar minuscule waarde verklaart waarom de zwaartekracht tussen alledaagse voorwerpen onmerkbaar is: alleen wanneer minstens één massa astronomisch is, stelt $G m_1 m_2 / d^2$ iets voor.

De twee krachten van een gravitatiepaar: langs de verbindingslijn van de middelpunten, naar het andere lichaam toe, met dezelfde grootte F = G m_1 m_2 / d2, ook als de massa’s volstrekt ongelijk zijn. — De twee krachten van een gravitatiepaar: langs de verbindingslijn van de middelpunten, naar het andere lichaam toe, met *dezelfde* grootte $F = G m_1 m_2 / d^2$ , ook als de massa’s volstrekt ongelijk zijn.

Opmerking 4.5 (De formule lezen)

Vier eigenschappen verdienen aandacht.

Wederzijds en even groot. De Aarde trekt aan jou met jouw gewicht — en jij trekt aan de Aarde met precies dezelfde kracht. (De Aarde reageert er alleen minder op: ze is ongeveer $10^{23}$ keer zwaarder.)
Omgekeerd kwadratisch. $d$ verdubbelen deelt de kracht door $4$ ; tien keer verder gaan deelt haar door $100$ .
Afstand tussen de middelpunten. Voor bolvormige lichamen — sterren, planeten, kanonskogels — meet je $d$ van middelpunt tot middelpunt, niet van oppervlak tot oppervlak.
Beide massa’s tellen. Een van beide massa’s verdubbelen verdubbelt de kracht; de formule is symmetrisch in $m_1$ en $m_2$ .

Voorbeeld 4.6 (Twee vrienden)

Twee vrienden van $70\,\mathrm{kg}$ staan met hun middelpunten $1.0\,\mathrm{m}$ uit elkaar:

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{70 \times 70}{1.0^2} \approx 3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}.

Het gewicht van elke vriend is ongeveer $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — twee miljard keer groter. Hun onderlinge aantrekking is echt, maar hopeloos om te voelen.

Voorbeeld 4.7 (De Aarde houdt de Maan vast)

Met $m_1 = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ (Aarde), $m_2 = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ (Maan) en $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ :

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

En de Maan trekt met dezelfde $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ aan de Aarde terug — een trek waarop de oceanen twee keer per dag antwoorden, als de getijden.

Methode 4.8 (Een gravitatiekracht berekenen)

Zet de massa’s om naar kilogram en de afstand tussen de middelpunten naar meter.
Pas $F = G m_1 m_2 / d^2$ toe.
Controleer de macht van tien los van de cijfers, zoals in Hoofdstuk 1: gravitatiekrachten lopen van $10^{-7}$ newton (twee mensen op een meter afstand) tot $10^{22}$ newton (Zon op Aarde), dus een verschoven exponent valt makkelijk op.

4.2 Gewicht en de sterkte van de zwaartekracht

Definitie 4.9 (Gewicht)

Het gewicht $\vect P$ van een voorwerp aan het oppervlak van een hemellichaam (een planeet, een maan, …) is de gravitatiekracht die dat hemellichaam erop uitoefent. Het wijst naar het middelpunt van het hemellichaam — de richting die we verticaal noemen — en wordt in newton gemeten.

Propositie 4.10 (Gewicht aan het oppervlak van een hemellichaam)

Aan het oppervlak van een bolvormig hemellichaam met massa $M$ en straal $R$ heeft een voorwerp met massa $m$ het gewicht

P = m\,g, \qquad\text{waarin}\qquad g = \frac{G M}{R^2}

alleen van het hemellichaam afhangt, niet van het voorwerp.

Bewijs. Het middelpunt van het voorwerp en dat van het hemellichaam liggen een afstand $R$ uit elkaar, dus geeft de wet van de algemene gravitatie (Stelling 4.2) $P = G M m / R^2 = m \times \left(G M / R^2\right)$ . De uitdrukking tussen haakjes is voor elk voorwerp aan het oppervlak dezelfde: noem haar $g$ . ∎

Definitie 4.11 (Gravitatieveldsterkte)

De grootheid $g = G M / R^2$ , in newton per kilogram, is de gravitatieveldsterkte aan het oppervlak van het hemellichaam: het trekt aan elke kilogram met $g$ newton. Op Aarde is $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Voorbeeld 4.12 ( $g$ berekenen)

Voor de Aarde ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ):

g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^{6})^2} = \frac{3.98 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

Voor de Maan ( $M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ , $R = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) geeft dezelfde berekening $g_{\text{Maan}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — zes keer minder: de Maan is veel lichter, en kleiner zijn maakt dat niet goed. Voor Mars is $g_{\text{Mars}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Gravitatieveldsterkte aan het oppervlak van vier werelden: dezelfde zak suiker van 1\, kg weegt 1.6\, N op de Maan en 25\, N op Jupiter. — Gravitatieveldsterkte aan het oppervlak van vier werelden: dezelfde zak suiker van $1\,\mathrm{kg}$ weegt $1.6\,\mathrm{N}$ op de Maan en $25\,\mathrm{N}$ op Jupiter.

“Omlaag” is een plaatselijk begrip: in elk punt van de aardbol wijst de gewichtsvector naar het middelpunt O. Twee wandelaars op tegenovergestelde plekken staan allebei rechtop — met de voeten naar elkaar toe. — “Omlaag” is een plaatselijk begrip: in elk punt van de aardbol wijst de gewichtsvector naar het middelpunt $O$ . Twee wandelaars op tegenovergestelde plekken staan allebei rechtop — met de voeten naar elkaar toe.

Opmerking 4.13 (Waarom astronauten stuiteren)

Een astronaut met een massa van $120\,\mathrm{kg}$ (lichaam plus pak) weegt op Aarde $120 \times 9.81 \approx 1180\,\mathrm{N}$ , maar op de Maan slechts $120 \times 1.62 \approx 194\,\mathrm{N}$ . Spieren die onder $1180\,\mathrm{N}$ zijn getraind, dragen plots een zesde van de last: vandaar de beroemde trage, huppelende maangang. De massa — en daarmee de moeite die het kost om te stoppen of te draaien — verandert niet, en daarom vielen de maanwandelaars zo vaak om.

4.3 Massa of gewicht? De balans en de veerunster

In het dagelijks taalgebruik “weegt” een zak meel drie kilo. De natuurkunde splitst die zin in tweeën.

Opmerking 4.14 (Massa is geen gewicht)

De massa $m$ meet de hoeveelheid materie, in kilogram. Ze is een eigenschap van het voorwerp alleen: dezelfde op Aarde, op de Maan of ergens in de diepe ruimte.
Het gewicht $P = mg$ is een kracht, in newton, die door een hemellichaam op het voorwerp wordt uitgeoefend. Het verandert van hemellichaam tot hemellichaam met $g$ — en het verdwijnt ver van elk hemellichaam.

De twee verwarren is op de markt onschuldig en in een natuurkundige opgave fataal: de kilogram is geen eenheid van kracht.

Methode 4.15 (De balans en de veerunster)

Een balans vergelijkt het voorwerp met standaardmassa’s: de gewichten in beide schalen worden met dezelfde $g$ geschaald, dus meet de vergelijking de massa — op elk hemellichaam hetzelfde oordeel.
Een veerunster meet de kracht die haar veer uitrekt: ze leest het gewicht af, in newton, en haar aanwijzing verandert van hemellichaam tot hemellichaam. Om de massa terug te vinden, deel je door de plaatselijke veldsterkte: $m = P/g$ .

Voorbeeld 4.16 (Meel op de Maan)

Een zak meel van $3.0\,\mathrm{kg}$ houdt $3.0\,\mathrm{kg}$ standaardmassa’s in evenwicht op Aarde en op de Maan. Een veerunster wijst echter $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ aan op Aarde en $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ op de Maan. Een handelaar die op de Maan “per newton” verkoopt, zou zes keer zoveel meel meegeven — de handel draait, net als de wetenschap, op massa.

4.4 Om de Aarde heen vallen: het kanon van Newton

Gooi een steen horizontaal weg: de zwaartekracht buigt zijn baan tot een boog en hij landt een paar meter verderop. Gooi harder: hij landt verder. Newtons gedachte-experiment drijft dat idee tot het uiterste. De Aarde is rond, en haar oppervlak zakt ongeveer $5\,\mathrm{m}$ onder de horizontaal per $8\,\mathrm{km}$ afgelegde weg; een vrij vallend lichaam valt in zijn eerste seconde $4.9\,\mathrm{m}$ (Hoofdstuk 26 zal dat vaststellen). Een projectiel dat met $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ langs de Aarde scheert, valt dus precies even snel als de grond wegkromt: het valt eeuwig zonder ooit te landen.

Definitie 4.17 (Satelliet en omloopbaan)

Een satelliet van een hemellichaam is een lichaam dat om dat hemellichaam heen valt zonder het oppervlak ooit te bereiken; de weg die het steeds herhaalt, is zijn omloopbaan.

Het kanon van Newton: steeds sneller afgevuurd vanaf een bergtop, landt de kogel steeds verder — tot bij ongeveer 7.9\, km/ s de grond even snel wegkromt als de kogel valt, en de kogel in een omloopbaan komt. — Het kanon van Newton: steeds sneller afgevuurd vanaf een bergtop, landt de kogel steeds verder — tot bij ongeveer $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ de grond even snel wegkromt als de kogel valt, en de kogel in een omloopbaan komt.

Opmerking 4.18 (De Maan is een vallende steen)

De Maan is de natuurlijke satelliet van de Aarde: ze valt elke seconde ongeveer $1.4\,\mathrm{mm}$ naar ons toe, en haar zijwaartse beweging voert haar om ons heen voordat ze dichterbij kan komen (in Oefening 4.15 doe je Newtons eigen controle van dat getal over). De astronauten van een ruimtestation in een omloopbaan zitten in dezelfde vrije val als hun schip — daarom zweven ze, en niet doordat de zwaartekracht zou ontbreken. De gravitatie vormt elke baan, van de boog van de steen tot de ellips van de planeet; het kwantitatieve verhaal van de omloopbanen staat in Hoofdstuk 27.

Notatie 4.19 (Gegevenskaart)

Neem, tenzij een oefening iets anders zegt, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ en:

	massa ( $\mathrm{kg}$ )	straal ( $\mathrm{m}$ )	$g$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ )
Aarde	$5.97 \times 10^{24}$	$6.37 \times 10^{6}$	9.81
Maan	$7.35 \times 10^{22}$	$1.74 \times 10^{6}$	1.62
Mars	$6.42 \times 10^{23}$	$3.39 \times 10^{6}$	3.73
Zon	$1.99 \times 10^{30}$	—	—

Afstand Aarde–Maan: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ; afstand Aarde–Zon: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (van middelpunt tot middelpunt).

4.5 Oefeningen

Oefening 4.1 ★

Twee danspartners van $60\,\mathrm{kg}$ houden elkaar vast met hun middelpunten $0.80\,\mathrm{m}$ uit elkaar.

Bereken hun onderlinge gravitatieaantrekking.
Vergelijk die met het gewicht van een mug van $2.5\,\mathrm{mg}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 60}{0.80^2} = \dfrac{2.40 \times 10^{-7}}{0.64} \approx 3.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .

2. Het gewicht van de mug is $P = 2.5 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ — ongeveer $65$ keer groter dan de onderlinge aantrekking van de dansers. De zwaartekracht tussen mensen is zwakker dan het gewicht van een mug.

Oefening 4.2 ★

Een leerlinge heeft een massa van $55\,\mathrm{kg}$ .

Bereken haar gewicht op Aarde.
Ze reist naar de Maan. Wat zijn daar haar massa en haar gewicht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.2.

1. $P = mg = 55 \times 9.81 \approx 5.4 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ .

2. Haar massa verandert niet: $55\,\mathrm{kg}$ (dezelfde hoeveelheid materie). Haar gewicht wordt $P = 55 \times 1.62 \approx 89\,\mathrm{N}$ — zes keer minder.

Oefening 4.3 ★

Bereken uit de gegevenskaart de gravitatieveldsterkte aan het oppervlak van Mars opnieuw.
Er wordt een wagentje van $900\,\mathrm{kg}$ heen gestuurd. Bereken zijn gewicht op Mars en zijn gewicht op Aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.3.

1. $g_{\text{Mars}} = \dfrac{G M}{R^2} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.28 \times 10^{13}}{1.15 \times 10^{13}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

2. Op Mars: $P = 900 \times 3.73 \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . Op Aarde: $P = 900 \times 9.81 \approx 8.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — het wagentje weegt op Mars ongeveer $2.6$ keer minder, bij dezelfde massa.

Oefening 4.4 ★

Bereken met de gegevenskaart de kracht die de Aarde op de Maan uitoefent. Welke kracht oefent de Maan op de Aarde uit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.4.

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} = \frac{2.93 \times 10^{37}}{1.47 \times 10^{17}} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

De Maan oefent op de Aarde een kracht van dezelfde grootte uit, $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ , in de tegengestelde richting: gravitatie is wederzijds.

Oefening 4.5 ★

Twee lichamen trekken elkaar aan met een kracht $F_0$ . Wat wordt de kracht als:

de afstand tussen de middelpunten verdubbelt;
de afstand halveert;
beide massa’s verdubbelen (bij dezelfde afstand);
één massa verdrievoudigt én de afstand verdrievoudigt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.5.

1. Afstand verdubbeld: $d^2$ wordt met $4$ vermenigvuldigd, dus $F = F_0/4$ .

2. Afstand gehalveerd: $F = 4F_0$ .

3. Beide massa’s verdubbeld: $m_1 m_2$ wordt met $4$ vermenigvuldigd, dus $F = 4F_0$ .

4. Teller $\times 3$ , noemer $\times 9$ : $F = F_0/3$ .

Oefening 4.6 ★★

Twee geladen supertankers van elk $5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ liggen afgemeerd met hun middelpunten $100\,\mathrm{m}$ uit elkaar.

Bereken hun onderlinge gravitatieaantrekking.
Welke massa heeft op Aarde een gewicht dat gelijk is aan die kracht?
De kracht is verrassend groot — en toch vertonen de tankers geen neiging naar elkaar toe te drijven. Bereken de versnelling $a = F/m$ die ze aan één tanker geeft, en becommentarieer.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.6.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{(5.0 \times 10^{8})^2}{100^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2.5 \times 10^{17}}{1.0 \times 10^{4}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

2. $m = F/g = 1667/9.81 \approx 1.7 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$ : de twee schepen trekken elkaar aan met het gewicht van een zware motorfiets.

3. $a = F/m = 1.7 \times 10^{3}/5.0 \times 10^{8} \approx 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Zelfs zonder tegenwerking zouden de tankers er ongeveer vijf dagen over doen om wandeltempo te bereiken; in de praktijk overstemmen de waterweerstand en de meertrossen de aantrekking volkomen.

Oefening 4.7 ★★

Een winkel op de Maan verkoopt een zak rijst van $3.0\,\mathrm{kg}$ .

Wat wijzen een balans en een veerunster voor deze zak aan op Aarde? En op de Maan?
Een klant betaalt voor “ $3.0\,\mathrm{kg}$ ”. Welk instrument waarborgt een eerlijke koop op elke wereld, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.7.

1. De balans wijst op beide werelden $3.0\,\mathrm{kg}$ aan: het gewicht van de zak en dat van de standaardmassa’s worden door dezelfde factor gedeeld, dus verandert de vergelijking niet. De veerunster leest het gewicht af: $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ op Aarde, $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ op de Maan.

2. De balans: die meet de massa, en dat is wat de klant koopt. Een veerunster die op Aarde in “kilogram” is geijkt, zou voor dezelfde zak op de Maan $4.9/9.81 \approx 0.50\,\mathrm{kg}$ aanwijzen — de winkelier zou zes zakken weggeven voor de prijs van één.

Oefening 4.8 ★★

Het internationale ruimtestation vliegt op een hoogte van $400\,\mathrm{km}$ .

Bereken de gravitatieveldsterkte van de Aarde op die hoogte. (Let op: wat is de afstand tot het middelpunt van de Aarde?)
Druk die uit als percentage van de waarde aan het oppervlak.
De astronauten aan boord zweven. Verzoen dat met je antwoord.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.8.

1. Afstand tot het middelpunt: $d = R + h = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Dan is $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^{6})^2} = \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.69\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

2. $8.69/9.81 \approx 89\%$ van de waarde aan het oppervlak.

3. De zwaartekracht is daarboven nog vrijwel op volle sterkte: de astronauten zweven doordat het station en alles erin samen om de Aarde heen vallen (vrije val), niet doordat de zwaartekracht verdwenen zou zijn.

Oefening 4.9 ★★

Aan het oppervlak van Venus is $g = 8.87\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ , en de straal van de planeet is $6.05 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Leid de massa van Venus af en vergelijk die met die van de Aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.9.

Uit $g = GM/R^2$ volgt

M = \frac{g R^2}{G} = \frac{8.87 \times (6.05 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}} = \frac{3.25 \times 10^{14}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 4.87 \times 10^{24}\,\mathrm{kg},

ongeveer $0.8$ maal de massa van de Aarde — Venus is qua omvang en massa bijna de tweelingzus van de Aarde.

Oefening 4.10 ★★

Bereken de kracht die de Zon op $1.0\,\mathrm{kg}$ zeewater uitoefent, en daarna de kracht die de Maan op dezelfde kilogram uitoefent.
De Zon trekt harder — met welke factor?
En toch beheerst de Maan de getijden. Het getij wordt niet gedreven door de trek zelf maar door het verschil tussen de trekkracht aan de dichtstbijzijnde en aan de verste kant van de Aarde. Leg zonder te rekenen uit waarom de nabije Maan het op dat punt van de verre Zon kan winnen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.10.

1. Zon: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(1.496 \times 10^{11})^2} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ . Maan: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ .

2. De Zon trekt ongeveer $5.9 \times 10^{-3}/3.3 \times 10^{-5} \approx 180$ keer harder.

3. De diameter van de Aarde is een veel groter deel van de afstand Aarde–Maan ( $\approx 3\%$ ) dan van de afstand Aarde–Zon ( $\approx 0.01\%$ ), dus verandert de trek van de Maan veel sterker van de nabije naar de verre kant van de aardbol. De getijden leven van dat verschil — en daar wint de Maan.

Oefening 4.11 ★★

Een planeet heeft tweemaal de massa van de Aarde en tweemaal haar straal. Druk haar veldsterkte aan het oppervlak uit in de $g$ van de Aarde, en daarna in $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .
Welke straal zou een planeet met de massa van de Aarde nodig hebben opdat haar veldsterkte aan het oppervlak $2g$ is?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.11.

1. $g' = \dfrac{G (2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4}\,\dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{g}{2} \approx 4.9\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : de verdubbelde straal wint het van de verdubbelde massa.

2. We hebben $\dfrac{GM}{R'^2} = 2\,\dfrac{GM}{R^2}$ nodig, dus $R'^2 = R^2/2$ en $R' = R/\sqrt{2} \approx 4.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — ongeveer $4500\,\mathrm{km}$ .

Oefening 4.12 ★★★

Ergens op de lijn Aarde–Maan heffen de twee trekkrachten op een ruimtesonde elkaar op. Zij $x$ de afstand van het middelpunt van de Aarde tot dat punt en $D$ de afstand Aarde–Maan.

Toon aan dat in dat punt $\left(\dfrac{x}{D - x}\right)^{2} = \dfrac{M_{\text{Aarde}}}{M_{\text{Maan}}}$ .
Leid $x$ af. Welk deel van de reis naar de Maan is dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.12.

1. Gelijke trek per kilogram: $\dfrac{G M_{\text{Aarde}}}{x^2} = \dfrac{G M_{\text{Maan}}}{(D-x)^2}$ . Kruiselings vermenigvuldigen en door $G$ delen geeft $\left(\dfrac{x}{D-x}\right)^2 = \dfrac{M_{\text{Aarde}}}{M_{\text{Maan}}}$ .

2. $\dfrac{x}{D-x} = \sqrt{\dfrac{5.97 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}} = \sqrt{81.2} \approx 9.0$ , dus $x = 9.0\,(D - x)$ , oftewel $x = \dfrac{9.0}{10.0}\,D \approx 0.90 \times 3.84 \times 10^{8} \approx 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . Het evenwichtspunt ligt op $90\%$ van de weg naar de Maan: de trek van de Aarde overheerst bijna de hele reis.

Oefening 4.13 ★★★

Het kanon van Newton, met getallen. Een projectiel scheert horizontaal met snelheid $v$ langs de Aarde.

Na $x = 8.0\,\mathrm{km}$ horizontale weg is de bolvormige Aarde “weggezakt” over een hoogte $h$ die voldoet aan $(R + h)^2 = R^2 + x^2$ . Toon met $(R + h)^2 \approx R^2 + 2Rh$ voor kleine $h$ aan dat $h \approx x^2 / (2R)$ , en bereken $h$ .
Een vrij vallend lichaam valt in zijn eerste seconde $4.9\,\mathrm{m}$ . Vergelijk met $h$ en leid de snelheid af waarbij het projectiel nooit landt.
Bereken de duur van één volledige omloop bij die snelheid, vlak langs het oppervlak.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.13.

1. Uitwerken geeft $R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + x^2$ ; omdat $h$ minuscuul is vergeleken met $R$ , laten we $h^2$ vallen: $2Rh \approx x^2$ , dus $h \approx \dfrac{x^2}{2R} = \dfrac{(8.0 \times 10^{3})^2}{2 \times 6.37 \times 10^{6}} = \dfrac{6.4 \times 10^{7}}{1.27 \times 10^{7}} \approx 5.0\,\mathrm{m}$ .

2. In één seconde valt het projectiel $4.9\,\mathrm{m}$ — bijna precies de $5.0\,\mathrm{m}$ die de grond over $8.0\,\mathrm{km}$ wegzakt. Bij $v \approx 8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ haalt de val de grond dus nooit in: het projectiel komt in een omloopbaan.

3. $T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi \times 6.37 \times 10^{6}}{8.0 \times 10^{3}} \approx 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{min}$ — dicht bij de ruwweg $90\,\mathrm{min}$ van echte satellieten in een lage omloopbaan, die iets hoger vliegen.

Oefening 4.14 ★★★

Een neutronenster propt $M = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ (1.4 maal de massa van de Zon) in een straal van $12\,\mathrm{km}$ .

Bereken de gravitatieveldsterkte aan haar oppervlak.
Wat zou een mens van $70\,\mathrm{kg}$ daar wegen? Vergelijk met zijn gewicht op Aarde.
Wat is daar het gewicht van een zandkorrel van $1.0\,\mathrm{mg}$ ? Welke massa heeft dat gewicht op Aarde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.14.

1. $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30}} {(1.2 \times 10^{4})^2} = \dfrac{1.87 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^{8}} \approx 1.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.$

2. $P = 70 \times 1.3 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{13}\,\mathrm{N}$ , tegenover $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ op Aarde: ongeveer $1.3 \times 10^{11}$ keer meer. Geen enkel bouwsel van atomen overleeft het daar te staan.

3. $P = 1.0 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{12} \approx 1.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ . Op Aarde is dat het gewicht van $m = 1.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ — een zandkorrel die zoveel weegt als een locomotief van honderd ton.

Oefening 4.15 ★★★

Newtons maantoets (1666). De straal van de maanbaan is ongeveer $60$ aardstralen.

Met welke factor is de trek van de Aarde per kilogram zwakker bij de Maan dan aan het aardoppervlak, als de zwaartekracht het omgekeerd kwadratische verband volgt?
Vlak bij het oppervlak valt een lichaam in zijn eerste seconde $4.9\,\mathrm{m}$ . Hoever zou de Maan elke seconde naar de Aarde toe moeten vallen?
Toets dat aan de omloopbaan: de Maan doorloopt haar cirkel met straal $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ in $T = 27.3$ dagen. Bereken haar snelheid $v$ , de afstand $x$ die ze in één seconde aflegt, en daarna de val $h \approx x^2/(2d)$ (zoals in Oefening 4.13).
Vergelijk de antwoorden van vraag 2 en 3, en zeg wat Newton eruit concludeerde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 4.15.

1. De afstand is $60$ keer groter, dus is de trek per kilogram $60^2 = 3600$ keer zwakker.

2. De val in één seconde schaalt op dezelfde manier: $4.9/3600 \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ — ongeveer $1.4\,\mathrm{mm}$ .

3. $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ , dus $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , en $x = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ in één seconde. De val is $h \approx \dfrac{x^2}{2d} = \dfrac{(1.02 \times 10^{3})^2}{2 \times 3.84 \times 10^{8}} \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ .

4. De twee getallen komen overeen: de Maan valt elke seconde precies zoveel naar de Aarde toe als een omgekeerd kwadratische zwaartekracht, geijkt op een vallende appel, voorspelt. Newton concludeerde dat de kracht die de Maan vasthoudt dezelfde is als die de appel laat vallen — de zwaartekracht is algemeen.

4.6 Probleem: De Aarde wegen

Probleem 4.1

Weekendopgave — van twee loden bollen in een schuurtje naar de massa van de Aarde en daarna van de Zon: wat één kleine constante, eenmaal gemeten, waard is

In 1798 hing Henry Cavendish een lichte staaf met twee kleine loden bollen aan een dunne draad, bracht twee grote loden bollen dichtbij en mat de bijna onbestaande verdraaiing van de draad. De kranten schreven dat hij de Aarde had gewogen — en ze hadden gelijk: zodra $G$ bekend is, geven de $g$ en de straal van de Aarde haar massa prijs, en geeft de jaarlijkse omloopbaan van de Aarde die van de Zon prijs. Deze opgave loopt de hele keten na. Gebruik overal de gegevenskaart.

Deel I — De zwakste kracht.

Het ijzer van de Eiffeltoren heeft een massa van ongeveer $7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ . Een toerist van $55\,\mathrm{kg}$ staat $100\,\mathrm{m}$ van het massamiddelpunt ervan. Bereken de trek van de toren op de toerist.
Vergelijk die met het gewicht van een zandkorrel van $1.0\,\mathrm{mg}$ .
Oefening in evenredigheid: wat gebeurt er met een gravitatiekracht als (a) de afstand met $10$ wordt vermenigvuldigd; (b) beide massa’s met $1000$ worden vermenigvuldigd; (c) beide massa’s en de afstand met $1000$ worden vermenigvuldigd?
Bereken uit $M$ , $R$ en $G$ de trek van de Aarde op een voorwerp van $1.00\,\mathrm{kg}$ aan haar oppervlak. Welke alledaagse naam en welk symbool draagt dit getal?
De zwaartekracht is veruit de zwakste wisselwerking die je bent tegengekomen — en toch regeert ze het heelal. Leg in een of twee zinnen uit waarom de trek van de Aarde op jou die van je buurman overheerst.

Deel II — De balans van Cavendish. In de torsiebalans trekt een grote bol met massa $m_1 = 158\,\mathrm{kg}$ aan een kleine met massa $m_2 = 0.73\,\mathrm{kg}$ ; hun middelpunten liggen $d = 0.23\,\mathrm{m}$ uit elkaar.

Bereken met de moderne waarde van $G$ de kracht tussen de twee bollen.
Bereken het gewicht van de kleine bol en de verhouding van de twee krachten. Waarom had Cavendish een torsiedraad nodig en niet een gewone weegschaal?
De verdraaiing die Cavendish mat, komt (in moderne eenheden) overeen met $F = 1.47 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ . Leid zijn waarde van $G$ af en vergelijk die met de huidige.
Leid met $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ en $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ de massa van de Aarde af. (Dit is de stap die de kranten vierden.)
Leid de gemiddelde dichtheid $\rho = M / V$ van de Aarde af, met $V = \frac43 \pi R^3$ . Gesteente aan het oppervlak heeft dichtheden rond $2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : wat onthult de vergelijking over het diepe binnenste?

Deel III — Andere werelden.

Bereken uit de gegevenskaart de veldsterkte aan het oppervlak van de Maan opnieuw.
Op Aarde tilt een goede afzet je massamiddelpunt $0.50\,\mathrm{m}$ omhoog. Bij dezelfde afzet is de bereikte hoogte omgekeerd evenredig met $g$ (zoals het energiehoofdstuk, Hoofdstuk 9, zal verantwoorden). Hoe hoog brengt dezelfde sprong je op de Maan?
Mercurius: $M = 3.30 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 2.44 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Bereken zijn veldsterkte aan het oppervlak en vergelijk die met die van Mars. Mercurius is veel kleiner dan Mars — hoe kunnen de twee waarden dan zo dicht bij elkaar liggen?
Op welke hoogte boven het aardoppervlak is de veldsterkte tot de helft van de waarde aan het oppervlak gezakt?
Op welke afstand van het middelpunt van de Aarde daalt de trek van de Aarde per kilogram tot de waarde aan het maanoppervlak, $1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ? Druk die uit in aardstralen.

Deel IV — De Zon wegen. De Aarde doorloopt in één jaar, $T = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ , een vrijwel cirkelvormige omloopbaan met straal $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ . Neem als gegeven (het wordt bewezen in Hoofdstuk 27) dat een lichaam op een cirkelvormige baan met straal $d$ en snelheid $v$ een trek van $v^2/d$ newton per kilogram naar het middelpunt nodig heeft.

Bereken de baansnelheid $v$ van de Aarde.
Leid daaruit de trek per kilogram af die de Zon op de Aarde uitoefent.
Die trek is ook $G M_{\text{Zon}} / d^2$ . Leid de massa van de Zon af.
Hoeveel Aardes is dat? Vergelijk $M_{\text{Zon}}$ met $M_{\text{Aarde}}$ .
Slot. De bollen van Cavendish, de Aarde, de Zon: één constante $G$ volstond voor alle drie. Zeg in één zin wat het woord algemene in “algemene gravitatie” ons in deze opgave heeft opgeleverd.

Oplossing

Oplossing van Probleem 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{7.3 \times 10^{6} \times 55}{100^2} \approx 2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ .

2. De zandkorrel weegt $1.0 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 9.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ : de hele Eiffeltoren trekt ongeveer $3.7$ keer minder aan de toerist dan het gewicht van één zandkorrel.

3. (a) Afstand $\times 10$ : kracht gedeeld door $100$ . (b) Beide massa’s $\times 1000$ : kracht vermenigvuldigd met $10^6$ . (c) Massa’s $\times 1000$ en afstand $\times 1000$ : $10^6 / 10^6$ — de kracht verandert niet.

4. $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 1.00}{(6.37 \times 10^{6})^2} \approx 9.81\,\mathrm{N}$ : het gewicht van één kilogram — en dit is precies de veldsterkte $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

5. De zwaartekracht is zwak per kilogram, maar ze trekt alleen maar aan, zodat de trek van alle $5.97 \times 10^{24}$ kilogram van de Aarde in dezelfde richting optelt — en een astronomische massa verslaat een burenmassa met tweeëntwintig machten van tien.

6. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{158 \times 0.73}{0.23^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{115.3}{0.0529} \approx 1.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .

7. De kleine bol weegt $0.73 \times 9.81 \approx 7.2\,\mathrm{N}$ — ongeveer $5 \times 10^{7}$ keer de aantrekking die opgespoord moet worden. Geen enkele weegschaal onderscheidt één deel op vijftig miljoen; een fijne torsiedraad, die zichtbaar verdraait onder momenten van de orde van een nanonewton, wel.

8. $G = \dfrac{F d^2}{m_1 m_2} = \dfrac{1.47 \times 10^{-7} \times 0.0529}{115.3} \approx 6.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ — op ongeveer $1\%$ na de moderne $6.67 \times 10^{-11}$ , vanuit een houten schuurtje in 1798.

9. Uit $g = G M / R^2$ :

M = \frac{g R^2}{G} = \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.

Zes miljoen miljard miljard kilogram: de Aarde, gewogen.

10. $V = \frac43 \pi R^3 = \frac43 \pi (6.37 \times 10^{6})^3 \approx 1.08 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$ , dus $\rho = 5.97 \times 10^{24}/1.08 \times 10^{21} \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — twee keer de dichtheid van gesteente aan het oppervlak. Het binnenste moet iets veel dichters dan graniet verbergen: de Aarde heeft een zware kern van ijzer.

11. $g_{\text{Maan}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(1.74 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.90 \times 10^{12}} {3.03 \times 10^{12}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

12. De hoogte is evenredig met $1/g$ : $h = 0.50 \times \dfrac{9.81}{1.62} \approx 3.0\,\mathrm{m}$ — vanuit stand over een basketbalring springen, in slow motion.

13. $g_{\text{Mercurius}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 3.30 \times 10^{23}}{(2.44 \times 10^{6})^2} = \dfrac{2.20 \times 10^{13}} {5.95 \times 10^{12}} \approx 3.70\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — vrijwel exact de $3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ van Mars. Mercurius heeft minder massa, maar zijn kleinere straal (een kleinere $R^2$ in de noemer) maakt dat goed: het is een veel dichtere wereld.

14. De halve veldsterkte vergt $(R + h)^2 = 2 R^2$ , dus $R + h = R\sqrt{2}$ en $h = (\sqrt{2} - 1) R \approx 0.414 \times 6.37 \times 10^{6} \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — ongeveer $2600\,\mathrm{km}$ hoog.

15. $\dfrac{G M_{\text{Aarde}}}{d^2} = 1.62$ geeft $d = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{1.62}} = \sqrt{2.46 \times 10^{14}} \approx 1.57 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 2.5$ aardstralen. Al op anderhalve straal boven de grond trekt de Aarde niet harder dan het maanoppervlak doet.

16. $v = \dfrac{2\pi d}{T} = \dfrac{2\pi \times 1.496 \times 10^{11}}{3.156 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — dertig kilometer per seconde.

17. $\dfrac{v^2}{d} = \dfrac{(2.98 \times 10^{4})^2}{1.496 \times 10^{11}} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : de Zon trekt aan elke kilogram van de Aarde met ongeveer zes millinewton.

18. $\dfrac{G M_{\text{Zon}}}{d^2} = \dfrac{v^2}{d}$ geeft

M_{\text{Zon}} = \frac{v^2 d}{G} = \frac{8.87 \times 10^{8} \times 1.496 \times 10^{11}}{6.67 \times 10^{-11}} \approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}.

19. $\dfrac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} \approx 3.3 \times 10^{5}$ : de Zon is een derde miljoen Aardes.

20. Omdat dezelfde $G$ elk paar massa’s regeert, konden we door haar één keer tussen twee loden bollen in een schuurtje te meten eerst de planeet onder onze voeten op de weegschaal leggen en daarna de ster waar we omheen draaien — dat is wat algemeen waard is.