Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

15Magnetisme en magnetische velden

Zeelieden voeren duizend jaar lang op gemagnetiseerde naalden voordat iemand wist waarom die naar het noorden wijzen. Het antwoord kwam in 1820, toen een stroom een kompas deed trillen: magnetisme wordt gemaakt door bewegende ladingen. Dit hoofdstuk brengt het magnetische veld in kaart — van magneten, van de Aarde, van stromen — en sluit dan de kring: het veld duwt terug op stromen, en zo draait elke elektromotor.

15.1 Magneten en het magnetische veld

Definitie 15.1 (Magneet en polen)

Een magneet trekt ijzer aan en draait, aan een draad opgehangen, met één uiteinde naar het noorden. Haar werking concentreert zich in twee magnetische polen, de noordpool (het uiteinde dat het geografische noorden opzoekt) en de zuidpool: gelijke polen stoten elkaar af, ongelijke trekken elkaar aan. Een magneet doormidden zagen levert twee volledige magneten op — geen enkele proef heeft ooit één pool geïsoleerd.

Definitie 15.2 (Magnetisch veld)

Een magneet verandert de ruimte om zich heen (Hoofdstuk 14): ze wekt overal een magnetisch veld $\vect B$ op. Een kompas leest de richting ervan af (de naald richt zich naar $\vect B$ , met de noordpool voorop); een hallsonde meet de grootte, in tesla ( $\mathrm{T}$ ).

Definitie 15.3 (Magnetische veldlijnen)

Magnetische veldlijnen zijn krommen die raken aan $\vect B$ en dichter opeen liggen waar het veld sterk is. Buiten een magneet lopen ze van de noordpool naar de zuidpool; anders dan elektrische veldlijnen hebben ze geen uiteinden: elke lijn sluit zich door het lichaam van de magneet heen.

Veldlijnen van een staafmagneet: uit N, naar Z, gesloten door het lichaam heen. Een kompas dat je ergens neerlegt, richt zich langs de lijn die er doorheen loopt.

15.2 De Aarde is een magneet

Definitie 15.4 (Het magnetische veld van de Aarde)

Stromen in de gesmolten ijzeren kern van de Aarde maken van de planeet een reusachtige magneet: aan het oppervlak is $B \approx 50\,\text{µ}\mathrm{T}$ , en een vrij draaiende naald richt zich naar de horizontale component van het veld — dat is het kompas. De geomagnetische polen zijn niet de geografische; de hoek tussen het kompasnoorden en het ware noorden is de declinatie, die op elke koers wordt gecorrigeerd.

Voorbeeld 15.5 (Een koers corrigeren)

Waar de declinatie $7{}^{\circ}$ west bedraagt, drijft een schip dat $5.0\,\mathrm{km}$ lang op “kompasnoord” vaart $5000 \times \sin7{}^{\circ} \approx 6.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ ten westen van zijn koerslijn af: om werkelijk pal noord te varen, stuur je $7{}^{\circ}$ oostelijker dan de naald.

15.3 Het magnetische veld van een stroom

Opmerking 15.6 (Oersted, 1820)

Tijdens een college in 1820 zag Hans Christian Oersted een kompasnaald uitslaan toen hij vlakbij een schakeling sloot: elektriciteit en magnetisme waren één onderwerp — stromen wekken magnetische velden op.

Propositie 15.7 (Veld van een rechte draad)

Een lange rechte draad met stroomsterkte $I$ wekt een veld op waarvan de lijnen cirkels zijn rond de draad, in vlakken loodrecht erop. Op afstand $d$ van de draad geldt

B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi d}, \qquad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} \approx 1.26 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Cirkelvormige veldlijnen rond een rechte draad, van voren gezien (: stroom uit het blad; : het blad in). Pak de draad met de rechterhand vast, duim langs de stroom: de vingers krullen mee met de draaizin van B. — Cirkelvormige veldlijnen rond een rechte draad, van voren gezien ( $\odot$ : stroom uit het blad; $\otimes$ : het blad in). Pak de draad met de rechterhand vast, duim langs de stroom: de vingers krullen mee met de draaizin van $\vect B$ .

Voorbeeld 15.8 (Een draad is een zwakke magneet)

Op $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ van een draad met $I = 15\,\mathrm{A}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 15 / 0.010 = 0.30\,\mathrm{mT}$ — zes aardvelden, uit een stroom die een huisinstallatie al zou uitschakelen. Sterke velden vragen om een betere meetkunde.

Definitie 15.9 (Spoel en solenoïde)

De draad opwinden concentreert haar veld. Een vlakke spoel ( $N$ windingen in een schijf) gedraagt zich als een dunne magneet, met de ene kant noord en de andere zuid; een solenoïde — een lange cilindrische wikkeling met $n$ windingen per meter — als een staafmagneet.

Propositie 15.10 (Veld in een solenoïde)

Binnen in een lange solenoïde, ver van de uiteinden, is het veld homogeen: evenwijdig aan de as en in elk inwendig punt hetzelfde, met grootte $B = \mu_0\, n\, I$ , onafhankelijk van de wijdte van de boring. Buiten de solenoïde is het veld zwak.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 15.11

Beide formules worden eerlijk afgeleid in het volume van bachelorjaar 1, uit de wet die de circulatie van een veld verbindt met de stroom die het omsluit. Let op wat telt: $n$ , windingen per meter — wikkel dichter, niet langer.

Methode 15.12 (De rechterhand, twee keer)

Draad: duim $=$ stroom; gekromde vingers $=$ draaizin van de lijnen.
Spoel, solenoïde: gekromde vingers $=$ stroom in de windingen; duim $= \vect B$ binnenin, wijzend naar de noordkant.

Een solenoïde in de lengte doorgesneden (/: de windingen die het blad doorkruisen): binnenin een homogene B = _0 n I langs de as; buiten een zwak, uitgewaaierd retourveld (gestippeld). — Een solenoïde in de lengte doorgesneden ( $\odot$ / $\otimes$ : de windingen die het blad doorkruisen): binnenin een homogene $B = \mu_0 n I$ langs de as; buiten een zwak, uitgewaaierd retourveld (gestippeld).

Voorbeeld 15.13 (Getallen bij een solenoïde)

Bij $10$ windingen per centimeter ( $n = 1000\,\mathrm{m}^{-1}$ ) en $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 1000 \times 5.0 \approx 6.3\,\mathrm{mT}$ — honderd aardvelden, met een knop instelbaar.

15.4 Elektromagneten

Definitie 15.14 (Elektromagneet)

Een elektromagneet is een solenoïde die om een kern van zacht ijzer is gewikkeld: het ijzer magnetiseert in het veld van de spoel en vermenigvuldigt het, doorgaans met $100$ tot $1000$ . Anders dan een permanente magneet schakelt hij met de stroom uit.

Opmerking 15.15 (Drie machines)

De kraan op het schrootterrein tilt een auto op met een elektromagneet en — dat is de hele bedoeling — laat hem vallen door een schakelaar te openen. De kleine elektromagneet van een relais trekt een contact dicht: een zwakke stroom schakelt een sterke (Hoofdstuk 12). Een mri-scanner houdt met een supergeleidende solenoïde een homogene $1.5\,\mathrm{T}$ rond de patiënt in stand.

Ordegrootten, van het melkwegstelsel tot een dode ster:

interstellaire ruimte	$\sim 10^{-10}\,\mathrm{T}$
het veld aan het aardoppervlak	$5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$
een koelkastmagneet	$\sim 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{T}$
een neodymiummagneet, aan zijn pool	$\sim 0.5\,\mathrm{T}$
een mri-solenoïde	$1.5\,\mathrm{T}$
het oppervlak van een neutronenster	$\sim 10^{8}\,\mathrm{T}$

15.5 De lorentzkracht op een stroomdraad

Propositie 15.16 (Lorentzkracht op een stroomdraad)

Een rechte draad met lengte $L$ die een stroom $I$ voert in een homogeen veld $\vect B$ loodrecht op de draad, voelt de lorentzkracht met grootte $F = I\,L\,B$ , loodrecht op zowel de draad als $\vect B$ : vlakke rechterhand, duim langs de stroom, gestrekte vingers langs $\vect B$ — de handpalm duwt langs $\vect F$ . Een draad evenwijdig aan het veld voelt geen kracht.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 15.17 (De springende staaf)

Het volume van bachelorjaar 1 leidt dit af uit de magnetische kracht op elke bewegende lading. In het practicum: een koperen staafje ligt over twee horizontale rails tussen de polen van een magneet (in de figuur wijst het veld het blad in); sluit de schakelaar en het staafje schiet langs de rails weg. Draai de stroom om, of de magneet: het schiet de andere kant op.

De railproef: stroom omlaag door het staafje, veld het blad in () — de lorentzkracht F = ILB drijft het staafje langs de rails. — De railproef: stroom omlaag door het staafje, veld het blad in ( $\otimes$ ) — de lorentzkracht $F = ILB$ drijft het staafje langs de rails.

Voorbeeld 15.18 (Getallen bij de lorentzkracht)

Een staafje met lengte $L = 5.0\,\mathrm{cm}$ dat $I = 8.0\,\mathrm{A}$ voert in $B = 0.50\,\mathrm{T}$ : $F = 8.0 \times 0.050 \times 0.50 = 0.20\,\mathrm{N}$ — het gewicht van $20\,\mathrm{g}$ , op een draad die een paar gram weegt.

Opmerking 15.19 (De gelijkstroommotor)

Buig de draad tot een lus in het veld: de twee zijden loodrecht op $\vect B$ voeren tegengestelde stromen, dus zijn hun lorentzkrachten tegengesteld — een koppel dat de lus laat draaien. Een halve slag later zou dat koppel haar terugdraaien, dus keert een draaiende schakelaar (de commutator) de stroom elke halve slag om. Elke ventilator en elke boormachine is deze lus, in het groot.

15.6 Oefeningen

Oefening 15.1 ★

Een staafmagneet wordt tussen zijn polen doormidden gezaagd. Welke polen draagt elk stuk? Trekken de pas gezaagde vlakken elkaar aan of stoten ze elkaar af als je ze weer bij elkaar brengt? Bestaat er een manier van zagen die de noordpool isoleert?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.1.

Elk stuk is een volledige magneet met een noord- en een zuidpool: op elk zaagvlak verschijnt een nieuwe pool. De verse vlakken zijn een N en een Z, dus trekken ze elkaar aan — de stukken proberen zich weer aaneen te voegen. Geen enkele manier isoleert een pool: elke zaagsnede maakt een paar.

Oefening 15.2 ★

Juist of onjuist, met telkens één reden: (a) twee magnetische veldlijnen snijden elkaar waar het veld sterk is; (b) buiten een magneet lopen de veldlijnen van de noordpool naar de zuidpool; (c) elke magnetische veldlijn is een gesloten lus; (d) een naald richt zich loodrecht op de lijn die er doorheen loopt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.2.

(a) Onjuist: het veld heeft in elk punt één richting. (b) Juist. (c) Juist: elke lijn sluit zich door het lichaam van de magneet. (d) Onjuist: de naald richt zich langs de lijn, rakend eraan.

Oefening 15.3 ★

Bereken het veld op $2.0\,\mathrm{cm}$ van een rechte draad met $10\,\mathrm{A}$ . Hoeveel keer de $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ van de Aarde is dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.3.

$B = 2 \times 10^{-7} \times 10 / 0.020 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ — twee keer het aardveld.

Oefening 15.4 ★

Een solenoïde met $800$ windingen over $40\,\mathrm{cm}$ voert $I = 1.5\,\mathrm{A}$ . Bereken $n$ en daarna $B$ binnenin; wat wordt $B$ als de stroom verdubbelt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.4.

$n = 800/0.40 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 1.5 \approx 3.8\,\mathrm{mT}$ . Omdat $B \propto I$ , geeft een verdubbelde stroom $7.5\,\mathrm{mT}$ .

Oefening 15.5 ★

Een draadstuk van $10\,\mathrm{cm}$ voert $5.0\,\mathrm{A}$ loodrecht op een veld van $0.20\,\mathrm{T}$ . Bereken de lorentzkracht; aan het gewicht van welke massa is die gelijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.5.

$F = ILB = 5.0 \times 0.10 \times 0.20 = 0.10\,\mathrm{N}$ — het gewicht van $m = F/g = 0.10/9.81 \approx 10\,\mathrm{g}$ .

Oefening 15.6 ★★

Waar een wandelaarster staat, is de declinatie $8{}^{\circ}$ west. Ze loopt $2.0\,\mathrm{km}$ “noord volgens kompas”: hoever, en naar welke kant van het ware noorden, drijft ze af? Welke koers zou haar pal noord hebben gebracht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.6.

1. Haar koers wijst $8{}^{\circ}$ ten westen van het ware noorden: $2000 \times \sin8{}^{\circ} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ naar het westen.

2. Stuur $8{}^{\circ}$ oostelijker dan het noorden van de naald.

Oefening 15.7 ★★

Op welke afstand van een rechte draad met $20\,\mathrm{A}$ is haar veld gelijk aan de $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ van de Aarde? Wat zegt dat over het vertrouwen in een kompas vlak bij kabels onder spanning?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.7.

$d = \mu_0 I / (2\pi B) = 2 \times 10^{-7} \times 20 / 5.0 \times 10^{-5} = 8.0\,\mathrm{cm}$ . Binnen een decimeter van zo’n kabel leest het kompas de draad af en niet de planeet — houd het weg bij leidingen onder spanning.

Oefening 15.8 ★★

Ontwerp een solenoïde die $B = 10\,\mathrm{mT}$ levert bij $I = 4.0\,\mathrm{A}$ : bereken de vereiste $n$ en daarna het aantal windingen voor een spoel van $25\,\mathrm{cm}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.8.

$n = B/(\mu_0 I) = 0.010 / (1.26 \times 10^{-6} \times 4.0) \approx 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; over $25\,\mathrm{cm}$ geeft dat $N = 1989 \times 0.25 \approx 500$ windingen.

Oefening 15.9 ★★

In de railproef voert het staafje (massa $20\,\mathrm{g}$ , lengte $L = 12\,\mathrm{cm}$ tussen de rails) $10\,\mathrm{A}$ in een loodrecht veld van $0.50\,\mathrm{T}$ . Bereken de lorentzkracht en daarna de beginversnelling van het staafje; vergelijk met $g$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.9.

$F = 10 \times 0.12 \times 0.50 = 0.60\,\mathrm{N}$ ; $a = F/m = 0.60/0.020 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — ongeveer $3g$ : het staafje springt werkelijk weg.

Oefening 15.10 ★★

Een horizontale draad met massa $5.0\,\mathrm{g}$ en lengte $20\,\mathrm{cm}$ ligt in een horizontaal veld $B = 0.10\,\mathrm{T}$ dat er loodrecht op staat. Bij welke stroom houdt de lorentzkracht het gewicht van de draad in evenwicht, zodat hij zweeft? Welke kant moet de kracht op wijzen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.10.

Evenwicht: $ILB = mg$ , dus $I = 5.0 \times 10^{-3} \times 9.81 / (0.20 \times 0.10) \approx 2.5\,\mathrm{A}$ . De kracht moet omhoog wijzen; met $\vect B$ horizontaal en loodrecht op de draad legt de vlakke rechterhand (handpalm omhoog) de vereiste stroomrichting vast.

Oefening 15.11 ★★

Geef de richting van de lorentzkracht (of zeg dat ze verdwijnt): (a) stroom naar rechts op het blad, $\vect B$ het blad in; (b) stroom naar de bovenkant van het blad, $\vect B$ uit het blad; (c) stroom evenwijdig aan $\vect B$ . Gebruik de vlakke rechterhand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.11.

Vlakke rechterhand: (a) naar de bovenkant van het blad; (b) naar rechts; (c) geen kracht — de draad staat evenwijdig aan het veld.

Oefening 15.12 ★★★

Een horizontale draad loopt geografisch noord–zuid, $3.0\,\mathrm{cm}$ boven een kompas; de horizontale component van het aardveld is daar $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ . De draad voert $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : bereken haar veld bij het kompas, geef de richting ervan, en daarna de uitslag van de naald (velden tellen op als vectoren).

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.12.

1. $B = 2 \times 10^{-7} \times 5.0 / 0.030 \approx 33\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; de lijnen cirkelen om de draad, dus is het veld recht eronder horizontaal en loodrecht op de draad: oost–west.

2. De naald volgt de vectorsom: $\tan\theta = 33/20 = 1.67$ , dus $\theta \approx 59{}^{\circ}$ weg van het noorden.

Oefening 15.13 ★★★

Een elektromagneet op een schrootterrein is een spoel van $400$ windingen over $20\,\mathrm{cm}$ , met weerstand $2.0\,\Omega$ , op een voeding van $12\,\mathrm{V}$ ; zijn ijzeren kern vermenigvuldigt het kale veld met $100$ . Bereken de stroom, het veld van de kale spoel, het veld met de kern, en het vermogen dat de spoel omzet (Hoofdstuk 12). Waarom valt het schroot op het moment dat de schakelaar opengaat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.13.

1. $I = U/R = 12/2.0 = 6.0\,\mathrm{A}$ ; $n = 400/0.20 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B_0 = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 6.0 \approx 15\,\mathrm{mT}$ ; met de kern $100 B_0 \approx 1.5\,\mathrm{T}$ .

2. $P = UI = 12 \times 6.0 = 72\,\mathrm{W}$ .

3. Geen stroom, geen veld — en zacht ijzer blijft niet gemagnetiseerd: de last komt ogenblikkelijk los, precies zoals bedoeld.

Oefening 15.14 ★★★

De rechthoekige lus van een motor heeft $N = 50$ windingen met $I = 2.0\,\mathrm{A}$ ; haar twee zijden van $5.0\,\mathrm{cm}$ staan loodrecht op een veld $B = 0.30\,\mathrm{T}$ . Bereken de kracht op elk van die zijden; waarom zijn de twee krachten tegengesteld, en wat doen ze met de lus? Waarom voelen de twee andere zijden soms geen kracht? Waarom moet de stroom elke halve slag worden omgekeerd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.14.

1. $F = NILB = 50 \times 2.0 \times 0.050 \times 0.30 = 1.5\,\mathrm{N}$ op elke zijde. De stroom loopt in de twee zijden tegengesteld, dus zijn de krachten tegengesteld: een koppel dat de lus laat draaien.

2. Evenwijdig aan $\vect B$ voelt een draad geen lorentzkracht.

3. Na een halve slag zou het koppel omkeren en de draaiing ongedaan maken; de commutator draait de stroom elke halve slag om, zodat de lus dezelfde kant op blijft draaien.

Oefening 15.15 ★★★

Hoe dicht bij een kabel met $100\,\mathrm{A}$ zou je moeten komen om haar veld $1\,\mathrm{T}$ te laten bereiken? Vergelijk met de straal van een millimeter van de kabel en besluit waarom velden van een tesla uit solenoïden worden opgebouwd en niet uit losse draden. En daarna: hoeveel machten van tien ligt het oppervlakteveld van $10^{8}\,\mathrm{T}$ van een neutronenster boven dat van de Aarde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 15.15.

1. $d = 2 \times 10^{-7} \times 100 / 1 = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ — diep binnen het koper van een millimeter dik. Geen enkel bereikbaar punt vlak bij één draad haalt $1\,\mathrm{T}$ : sterke velden stapelen duizenden windingen (een solenoïde), plus ijzer of supergeleiders.

2. $10^{8} / 5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{12}$ : ongeveer twaalf machten van tien.

15.7 Probleem: Het kompas, de kraan en de mri

Probleem 15.1

Weekendopgave — drie magneten aan het werk: een kompas dat een oceaan oversteekt, een elektromagneet die een auto optilt en een mri-solenoïde — één veld, over tien machten van tien, dat drie klussen klaart

Dezelfde vector $\vect B$ stuurt een zeilboot met $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ , tilt schroot op met $1\,\mathrm{T}$ en brengt een knie in beeld met $1.5\,\mathrm{T}$ — drie machines voor de drie formules van dit hoofdstuk.

Deel I — Het kompas. Op de positie van het schip heeft het aardveld een horizontale component van $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ en een verticale van $44\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; de declinatie is $6{}^{\circ}$ west.

Waarom wijst een kompasnaald überhaupt naar het (magnetische) noorden?
Bereken de grootte van het totale veld en zijn hoek met de horizontaal.
Als het schip $30\,\mathrm{km}$ lang op “kompasnoord” vaart, hoever ten westen van de ware noordkoers komt het dan uit?
Stalen lading doet de naald nog eens $4{}^{\circ}$ westwaarts uitslaan: dezelfde vraag.
Vlak bij de geomagnetische pool is een kompas onbruikbaar: welke component is daar de schuldige, en waarom?

Deel II — De kraan. De elektromagneet op het schrootterrein is een solenoïde van $600$ windingen over $30\,\mathrm{cm}$ , met weerstand $1.5\,\Omega$ , gevoed door een bron van $12\,\mathrm{V}$ ; zijn ijzeren kern vermenigvuldigt het kale veld met $50$ .

Bereken $n$ , de windingdichtheid.
Bereken de stroom in de spoel (Hoofdstuk 12).
Bereken het kale veld $\mu_0 n I$ van de spoel.
Bereken het veld met de kern; vergelijk met de $0.5\,\mathrm{T}$ van neodymium.
Bereken het vermogen dat de spoel omzet, en daarna de energie voor een hijsdienst van $10\,\mathrm{min}$ .
Een permanente magneet die zo sterk is, bestaat. Waarom dan toch een elektromagneet?

Deel III — De liermotor. De lier van de kraan is een gelijkstroommotor: een rechthoekige lus van $N = 100$ windingen, met zijden van $4.0\,\mathrm{cm}$ loodrecht op $B = 0.25\,\mathrm{T}$ , die $I = 3.0\,\mathrm{A}$ voert.

Bereken de lorentzkracht op elke bundel zijden die loodrecht op $\vect B$ staat.
De twee krachten zijn even groot en tegengesteld, en toch heffen hun gevolgen elkaar niet op. Wat brengen ze voort, en waarom moeten ze tegengesteld zijn?
Welke kracht werkt er op de twee andere zijden wanneer die evenwijdig aan $\vect B$ staan?
Na een halve slag zouden dezelfde krachten de draaiing weer ongedaan maken. Wat doet de commutator, en wanneer?
Geef drie afzonderlijke ontwerpwijzigingen die elk het krachtenpaar verdubbelen.

Deel IV — De mri. De solenoïde van de scanner houdt een homogene $1.5\,\mathrm{T}$ in stand met een stroom $I = 500\,\mathrm{A}$ .

Hoeveel keer het aardveld is $1.5\,\mathrm{T}$ ?
Bereken de windingdichtheid $n$ die daarvoor zonder ijzeren kern nodig is.
Als de wikkeling een weerstand van $0.20\,\Omega$ had, welk vermogen zou ze dan omzetten? Welke eigenschap van de echte wikkeling voorkomt dat, tegen de prijs van extreme kou?
De clou: plaats de velden van het schip, de kraan en de mri op de ladder van machten van tien, van de interstellaire ruimte ( $10^{-10}\,\mathrm{T}$ ) tot een neutronenster ( $10^{8}\,\mathrm{T}$ ); wat is er tussen de machines veranderd — de natuurkunde, of de ampères?

Oplossing

Oplossing van Probleem 15.1.

1. De naald is zelf een kleine magneet; het aardveld richt haar, met de noordpool langs de horizontale component van $\vect B$ , dus naar het magnetische noorden.

2. $B = \sqrt{20^2 + 44^2} = \sqrt{2336} \approx 48\,\text{µ}\mathrm{T}$ , onder $\tan^{-1}(44/20) \approx 66{}^{\circ}$ onder de horizontaal.

3. De koers loopt $6{}^{\circ}$ ten westen van het ware noorden: $30 \times \sin6{}^{\circ} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ naar het westen.

4. De fouten tellen op: $10{}^{\circ}$ , dus $30 \times \sin10{}^{\circ} \approx 5.2\,\mathrm{km}$ — vijf kilometer voor tien graden.

5. De horizontale component: vlak bij de pool staat het veld bijna verticaal, krimpt het horizontale deel naar nul, en houdt de naald niets meer over om zich naar te richten.

6. $n = 600/0.30 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ .

7. $I = U/R = 12/1.5 = 8.0\,\mathrm{A}$ .

8. $B_0 = \mu_0 n I = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 8.0 \approx 20\,\mathrm{mT}$ .

9. $50 \times 20\,\mathrm{mT} = 1.0\,\mathrm{T}$ — twee keer het veld aan een neodymiumpool, over een veel groter vlak.

10. $P = UI = 12 \times 8.0 = 96\,\mathrm{W}$ ; in $10\,\mathrm{min}$ : $E = 96 \times 600 \approx 58\,\mathrm{kJ}$ .

11. Omdat hij loslaat: schakelaar open, veld weg, en de auto valt precies waar je hem hebben wilt. Een permanente magneet houdt voor eeuwig vast.

12. $F = NILB = 100 \times 3.0 \times 0.040 \times 0.25 = 3.0\,\mathrm{N}$ .

13. Een koppel: aan weerszijden van de as aangrijpend draaien de twee tegengestelde krachten de lus dezelfde kant op. Even grote evenwijdige krachten zouden de lus alleen zijwaarts duwen en haar niet laten draaien.

14. Geen enkele: een draad evenwijdig aan het veld voelt geen lorentzkracht.

15. Hij keert de stroom in de lus bij elke halve slag om, net wanneer het koppel van teken zou wisselen — zodat het moment altijd dezelfde draaiing aandrijft.

16. Verdubbel $N$ , of verdubbel $I$ , of verdubbel $B$ : het krachtenpaar $F = NILB$ is met elk van drieën evenredig.

17. $1.5 / 5.0 \times 10^{-5} = 3.0 \times 10^{4}$ : dertigduizend aardvelden.

18. $n = B/(\mu_0 I) = 1.5 / (1.26 \times 10^{-6} \times 500) \approx 2.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ — en elk van die windingen voert $500\,\mathrm{A}$ .

19. $P = RI^2 = 0.20 \times 500^2 = 50\,\mathrm{kW}$ — genoeg om een hele wijk te verwarmen. De echte wikkeling is supergeleidend: geen weerstand, geen warmteontwikkeling, mits ze een paar graden boven het absolute nulpunt wordt gehouden.

20. Kompas $5 \times 10^{-5}$ , kraan $1$ , mri $1.5$ : het schip zit vijf sporten onder de twee machines, die één decade delen — tussen de $10^{-10}$ van de interstellaire ruimte en de $10^{8}$ van een neutronenster. Er is niets veranderd behalve de ampères (en de windingen, het ijzer en de supergeleider die ze vermenigvuldigen): één veld, drie klussen.