Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

18Mechanische energie en het behoud ervan

Een achtbaan heeft voorbij de eerste heuvel geen motor meer: elke lus, elke uitbarsting van snelheid daarna wordt betaald uit de rekening die op de weg omhoog is geopend. Dit hoofdstuk brengt die boekhouding terug tot twee getallen — kinetische en potentiële energie — en één regel: zolang alleen het gewicht arbeid verricht, verandert hun som niet. De wrijving is de kostenpost; we leren die uit de boeken af te lezen.

18.1 Kinetische energie

Definitie 18.1 (Kinetische energie)

Een lichaam met massa $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) dat met snelheid $v$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) beweegt, draagt de kinetische energie

E_k = \tfrac12\, m v^2 .

Controle van de eenheden: $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} = \mathrm{J}$ — joule, zoals elke energie (Hoofdstuk 9).

Voorbeeld 18.2 (Ordegrootten)

een voetganger, $70\,\mathrm{kg}$ met $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 1.4^2 \approx 69\,\mathrm{J}$ ;
een auto, $1300\,\mathrm{kg}$ met $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ;
een hogesnelheidstrein, $m = 3.85 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ , met $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ;
een geweerkogel, $8.0\,\mathrm{g}$ met $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 2.6\,\mathrm{kJ}$ .

Zeven ordegrootten scheiden de wandeling van de trein. En $E_k$ groeit met het kwadraat van de snelheid: bij $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ draagt de auto $4$ keer de energie die hij bij $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ heeft — vier keer zoveel als zijn remmen moeten wegnemen.

18.2 De kinetische-energiestelling

Stelling 18.3 (Kinetische-energiestelling)

Voor een lichaam met massa $m$ dat langs een rechte lijn van $A$ naar $B$ beweegt, is de verandering van de kinetische energie gelijk aan de totale ontvangen arbeid (Hoofdstuk 17):

\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

waarbij de som over alle krachten op het lichaam loopt. De stelling strekt zich uit tot bewegingen langs elke weg, wat we hier eveneens aannemen.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Voorbeeld 18.4 (Vrije val, beeldje voor beeldje getoetst)

Een bal van $0.200\,\mathrm{kg}$ wordt losgelaten en gefilmd; de beeldjes geven:

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.10	0.20	0.30	0.40
gevallen hoogte $h$ ( $\mathrm{m}$ )	0.049	0.196	0.441	0.785
snelheid $v$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )	0.98	1.96	2.94	3.92
$E_k = \tfrac12 mv^2$ ( $\mathrm{J}$ )	0.096	0.384	0.864	1.54
$W = mgh$ ( $\mathrm{J}$ )	0.096	0.385	0.865	1.54

Vanaf $E_k = 0$ komt $E_k$ bij elk beeldje overeen met de arbeid $mgh$ van het gewicht: $\Delta E_k = W(\vect P)$ , dus $v^2 = 2gh$ — de stelling, geverifieerd tot op de nauwkeurigheid van de aflezingen.

Opmerking 18.5 (Waar het bewijs staat)

De algemene uitspraak — geldig langs elke weg, niet alleen een rechte lijn — volgt uit de tweede wet van Newton en een beetje analyse, allebei verderop in dit boek (Hoofdstukken 25 en 29); tot dan is de toets aan de vrije val ons onderpand, en nemen we de versie voor gekromde wegen aan en gebruiken we haar vrijelijk.

18.3 Potentiële energie in het zwaarteveld

Definitie 18.6 (Potentiële energie in het zwaarteveld)

Een lichaam met massa $m$ op hoogte $z$ , naar boven gemeten vanaf een gekozen referentieniveau waar $z = 0$ , slaat de potentiële energie

E_p = m g z, \qquad g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}

op.

Opmerking 18.7 (Alleen verschillen tellen)

Van $A$ naar $B$ gaan verandert $E_p$ met $mg(z_B - z_A) = -W_{AB}(\vect P)$ : het tegengestelde van de arbeid van het gewicht (Hoofdstuk 17). Het referentieniveau kies je vrij — vloer, zeeniveau, tafelblad — en het verschuift $E_p$ overal met dezelfde constante, die uit elk verschil wegvalt. Leg het waar de getallen het eenvoudigst zijn, en verplaats het niet halverwege een opgave.

Voorbeeld 18.8 (Een boek op een plank)

Een boek van $1.2\,\mathrm{kg}$ ligt $1.8\,\mathrm{m}$ boven de vloer, die zelf $9.0\,\mathrm{m}$ boven de straat ligt. Met de vloer als referentie: $E_p = 1.2 \times 9.81 \times 1.8 \approx 21\,\mathrm{J}$ ; met de straat als referentie: $E_p \approx 127\,\mathrm{J}$ . Op de vloer vallen maakt in beide boekhoudingen $21\,\mathrm{J}$ vrij.

18.4 Mechanische energie en het behoud ervan

Definitie 18.9 (Mechanische energie)

De mechanische energie van een lichaam is

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + m g z .

Stelling 18.10 (Behoud van mechanische energie)

Verricht alleen het gewicht arbeid op een lichaam (geen wrijving; andere krachten, zoals de reactie van een wrijvingsloze baan, loodrecht op de beweging), dan blijft $E_m$ behouden: voor elke twee punten $A$ en $B$ van de beweging geldt

\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B .

Bewijs. Volgens de kinetische-energiestelling is $E_k(B) - E_k(A) = W_{AB}(\vect P) = mg(z_A - z_B) = E_p(A) - E_p(B)$ : wat $E_k$ wint, verliest $E_p$ . ∎

Voorbeeld 18.11 (Waterglijbaan)

Een kind vertrekt uit rust boven aan een wrijvingsloze glijbaan met hoogte $h = 3.2\,\mathrm{m}$ . Met de referentie onderaan geldt $mgh = \tfrac12 mv^2$ , dus $v = \sqrt{2gh} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $29\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) — wat de massa ook is en welke vorm de baan ook heeft: recht, gebogen of spiraalvormig, alleen de daling telt mee.

Voorbeeld 18.12 (Slinger)

Een slingerbol wordt opzij getrokken tot hij $h = 12\,\mathrm{cm}$ boven zijn laagste punt staat, en dan losgelaten. In de uiterste standen is $v = 0$ ; onderaan is de hele $mgh$ kinetisch, $v = \sqrt{2gh} \approx 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; aan de andere kant klimt de bol weer tot precies $12\,\mathrm{cm}$ .

De slinger ruilt E_p tegen E_k en terug: in de uiterste standen alles potentieel, onderaan alles kinetisch, en twee keer dezelfde stijging h. — De slinger ruilt $E_p$ tegen $E_k$ en terug: in de uiterste standen alles potentieel, onderaan alles kinetisch, en twee keer dezelfde stijging $h$ .

Staafdiagram van de energie van een wrijvingsloze achtbaan: in elke stand stapelen de staven E_p en E_k tot hetzelfde totaal E_m (gestippelde lijn). — Staafdiagram van de energie van een wrijvingsloze achtbaan: in elke stand stapelen de staven $E_p$ en $E_k$ tot hetzelfde totaal $E_m$ (gestippelde lijn).

Voorbeeld 18.13 (Landingssnelheid bij het schansspringen)

Een schansspringer verlaat de schans met $v_A = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en landt $\Delta z = 40\,\mathrm{m}$ lager. Zonder luchtweerstand geldt $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g\,\Delta z} = \sqrt{625 + 785} \approx 38\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — zonder dat je iets van de vluchtbaan hoeft te weten.

Schansspringen: welke kromme er ook van A naar B wordt gevlogen, alleen de daling z komt in de energiebalans voor. — Schansspringen: welke kromme er ook van $A$ naar $B$ wordt gevlogen, alleen de daling $\Delta z$ komt in de energiebalans voor.

18.5 Dissipatie door wrijving

Definitie 18.14 (Dissipatie)

Energie die de mechanische rekening verlaat, heet gedissipeerd: ze duikt weer op als thermische energie in de wrijvende oppervlakken en in de lucht. De totale energie blijft behouden (Hoofdstuk 9); de mechanische energie alleen niet.

Propositie 18.15 (Het tekort meet de wrijving)

Verricht ook een wrijvingskracht $\vect f$ arbeid langs de beweging, dan geldt

\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vect f) < 0:

het verlies aan mechanische energie is gelijk aan de arbeid van de wrijving.

Bewijs. De kinetische-energiestelling luidt nu $\Delta E_k = W_{AB}(\vect P) + W_{AB}(\vect f) = -\Delta E_p + W_{AB}(\vect f)$ ; breng $\Delta E_p$ naar de andere kant. De wrijving werkt de beweging tegen, dus is haar arbeid negatief. ∎

Voorbeeld 18.16 (Doorlichting van een slee)

Een kind met slee ( $m = 40\,\mathrm{kg}$ ) vertrekt uit rust, daalt $h = 5.0\,\mathrm{m}$ over $12\,\mathrm{m}$ sneeuw, en komt aan met $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in plaats van de wrijvingsloze $\sqrt{2gh} \approx 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Met de referentie onderaan: $\Delta E_m = \tfrac12 \times 40 \times 7.0^2 - 40 \times 9.81 \times 5.0 = 980 - 1962 = -982\,\mathrm{J}$ . Dus is $W(\vect f) = -982\,\mathrm{J}$ over $12\,\mathrm{m}$ : een gemiddelde wrijvingskracht $f = 982/12 \approx 82\,\mathrm{N}$ , en $982\,\mathrm{J}$ aan warmte in de glijders en de sneeuw.

E_m tijdens een beweging: vlak zonder wrijving, dalend met wrijving — de daling op elk ogenblik is de tot dan toe geproduceerde warmte. — $E_m$ tijdens een beweging: vlak zonder wrijving, dalend met wrijving — de daling op elk ogenblik is de tot dan toe geproduceerde warmte.

Methode 18.17 (Energieboekhouding)

Kies een referentieniveau en houd het aan; benoem $A$ (gegevens) en $B$ (vraag).
Schrijf $E_m = \tfrac12 mv^2 + mgz$ op in $A$ en in $B$ .
Geen wrijving: $E_m(A) = E_m(B)$ ; los op — doorgaans $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g(z_A - z_B)}$ .
Wel wrijving: $E_m(B) - E_m(A) = -f\ell$ ( $\ell$ = weglengte); los de onbekende op.
Controleer: de staven $E_k$ en $E_p$ stapelen tot $E_m$ , dat vlak blijft tenzij er wrijving is.

18.6 Oefeningen

Oefening 18.1 ★

Bereken de kinetische energie van (a) een scooter met berijder van $90\,\mathrm{kg}$ bij $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (b) een auto van $1200\,\mathrm{kg}$ bij $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) Met welke factor verandert $E_k$ als de snelheid verdubbelt? En als ze verdrievoudigt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.1.

(a) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ . (b) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . (c) $\times 4$ ; $\times 9$ — het kwadraat.

Oefening 18.2 ★

Een klimster van $75\,\mathrm{kg}$ wint $850\,\mathrm{m}$ hoogte. Bereken de winst aan potentiële energie. Hangt die van het referentieniveau af? En van de route?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.2.

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Nee: de referentie verschuift beide waarden evenveel. En nee: alleen het hoogteverschil telt.

Oefening 18.3 ★

Een bloempot valt $20\,\mathrm{m}$ van een balkon. Bepaal, met verwaarloosbare luchtweerstand, zijn snelheid bij de grond in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Waar is de massa gebleven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.3.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Uit $mgh = \tfrac12 mv^2$ valt de massa weg.

Oefening 18.4 ★

Een auto van $1200\,\mathrm{kg}$ remt in $50\,\mathrm{m}$ van $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tot stilstand. Bepaal met de kinetische-energiestelling de arbeid van de remmen, en daarna de gemiddelde remkracht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.4.

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 = -3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

Oefening 18.5 ★

Een slingerbol wordt $8.0\,\mathrm{cm}$ boven zijn laagste punt losgelaten. Bepaal zijn snelheid onderaan en de hoogte die hij aan de andere kant bereikt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.5.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hij stijgt weer tot $8.0\,\mathrm{cm}$ (behoud van energie).

Oefening 18.6 ★★

Met Voorbeeld 18.2: met welke factor overtreft de kinetische energie van de trein die van de kogel? Tot welke hoogte zou zijn eigen $E_k$ de trein kunnen tillen ( $h = v^2/2g$ )?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.6.

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$ : ongeveer zeshonderdduizend kogels. $h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — zijn eigen snelheid zou de trein $400$ meter kunnen optillen.

Oefening 18.7 ★★

Twee wrijvingsloze glijbanen dalen van hetzelfde platform van $3.0\,\mathrm{m}$ , de ene recht en steil, de andere lang en kronkelend. Vergelijk de aankomstsnelheden (bereken ze) en de aankomsttijden (zonder rekenwerk).

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.7.

Dezelfde snelheid $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (alleen de daling telt). De steile glijbaan wint op tijd: ze bereikt eerder een hoge snelheid en haar weg is korter.

Oefening 18.8 ★★

Een bal wordt recht omhoog gegooid met $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bepaal de maximale hoogte, en daarna de snelheid op $4.0\,\mathrm{m}$ — op de weg omhoog en op de weg omlaag.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.8.

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$ . Op $4.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — in beide richtingen dezelfde: $E_m$ hangt van de hoogte af, niet van de bewegingsrichting.

Oefening 18.9 ★★

Een schansspringer verlaat de schans met $23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en landt $35\,\mathrm{m}$ lager. Voorspel de landingssnelheid zonder luchtweerstand; is de werkelijke waarde groter of kleiner, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.9.

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . In werkelijkheid kleiner: de luchtweerstand dissipeert een deel van $E_m$ .

Oefening 18.10 ★★

Een slee van $45\,\mathrm{kg}$ vertrekt uit rust, daalt $6.0\,\mathrm{m}$ over $15\,\mathrm{m}$ helling en komt aan met $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bepaal de verloren mechanische energie en daarna de gemiddelde wrijvingskracht. Waar is de energie gebleven?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.10.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times 6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$ . Als warmte, in de glijders en de sneeuw.

Oefening 18.11 ★★

De pen van Galilei: een slinger die $15\,\mathrm{cm}$ boven zijn laagste punt wordt losgelaten, treft in de verticale stand een pen die de bovenste helft van het touw blokkeert. Bepaal de snelheid onderaan en de stijging voorbij de pen; wat verandert de pen, en wat niet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.11.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; hij stijgt weer tot $15\,\mathrm{cm}$ . De pen verandert de baan (een nauwere cirkel), niet de energie: hoogten en snelheden blijven onaangetast.

Oefening 18.12 ★★★

Een skateboarder laat zich van $2.5\,\mathrm{m}$ in een halfpipe zakken; elke oversteek (van kant tot kant) dissipeert $10\%$ van de mechanische energie. Bepaal de snelheid onderaan de eerste afdaling, en daarna — door de opeenvolgende stijghoogten te berekenen — de eerste oversteek die onder $1.0\,\mathrm{m}$ eindigt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.12.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De stijghoogten schalen met $E_m$ , dus met $\times 0.9$ per oversteek: $2.25$ , $2.03$ , $1.82$ , $1.64$ , $1.48$ , $1.33$ , $1.20$ , $1.08$ , $0.97$ — voor het eerst onder $1.0\,\mathrm{m}$ bij de $9$ e oversteek.

Oefening 18.13 ★★★

Vanaf de rand van een klif van $45\,\mathrm{m}$ wordt een steen met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ weggegooid — omhoog, horizontaal of onder welke hoek dan ook. Toon aan dat de landingssnelheid in alle gevallen dezelfde is en bereken haar. Wat hangt er wel van de hoek af?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.13.

De begin- $E_m$ is $\tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ , wat de hoek ook is, dus is de snelheid bij de grond $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx 33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De hoek legt de richting van de landingssnelheid vast, de vluchttijd en de worpafstand — niet de landingssnelheid.

Oefening 18.14 ★★★

Een afdalingsskiër van $80\,\mathrm{kg}$ vertrekt uit rust en daalt $120\,\mathrm{m}$ over een piste van $800\,\mathrm{m}$ , tegen een constante wrijvingskracht van $65\,\mathrm{N}$ in. Bepaal de aankomstsnelheid en het deel van $E_m$ dat gedissipeerd is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.14.

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times 800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ , dus $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Gedissipeerd deel: $52000/94176 \approx 55\%$ .

Oefening 18.15 ★★★

Een pompaccumulatiecentrale tilt $V = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ water ( $1000\,\mathrm{kg}$ per $\mathrm{m}^{3}$ ) $300\,\mathrm{m}$ omhoog. Bereken de opgeslagen energie in joule en in $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; als die met een rendement van $85\%$ weer wordt afgeturbineerd (Hoofdstuk 9), hoeveel huishoudens die $10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ per dag gebruiken, voedt ze dan één dag lang?

Oplossing

Oplossing van Oefening 18.15.

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ : $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ . Teruggewonnen: $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — ongeveer $1.4 \times 10^{5}$ huishoudens voor één dag.

18.7 Probleem: De looping ontwerpen

Probleem 18.1

Weekendopgave — een energiedoorlichting van een achtbaan: de starthoogte die een looping voorschrijft, de snelheden die ze belooft, de wrijving die twee sensoren opbiechten, en de remmen die de rekening sluiten — de hele rit hangend aan één getal

Een trein met massa $m = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ wordt uit rust losgelaten van een startheuvel met hoogte $H$ en rolt, zonder motor, door een verticale cirkelvormige looping met straal $R = 8.0\,\mathrm{m}$ waarvan de top op hoogte $2R$ ligt. De analyse van de cirkelbeweging (volgend jaar) levert het ene gegeven dat we lenen: bovenin de looping drukt de trein alleen op de rails als $v_{\text{top}}^2 \geq gR$ . Deel I en II verwaarlozen de wrijving.

Deel I — De heuvel die de looping voorschrijft.

Bereken de minimaal veilige snelheid boven in de looping.
Met de grond als referentieniveau: bereken de mechanische energie van de trein boven in de looping bij die minimale snelheid.
Leid $H_{\min}$ af en toon aan dat $H_{\min} = 5R/2$ — zonder massa en zonder $g$ .
Het team kiest $H = 24\,\mathrm{m}$ : bereken de werkelijke snelheid boven in de looping en de verhouding $v_{\text{top}}^2/(gR)$ .
Waar is $m$ gebleven? Waarom past het ontwerp even goed bij volle als bij lege treinen?

Deel II — Wat de hoogte belooft ( $H = 24\,\mathrm{m}$ ).

Wat is de snelheid onder in de looping ( $z = 0$ ), in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Wat is de snelheid halverwege de looping ( $z = R$ )?
Bereken $E_p$ en $E_k$ bij de start, onderaan, halverwege en boven in de looping; ga na dat elk paar tot $mgH$ optelt.
Na de looping volgt een bult van $12\,\mathrm{m}$ : wat is de snelheid op de top ervan?
Geef de algemene formule voor $v(z)$ ; waar is de rit het snelst, en waar het traagst?

Deel III — De doorlichting van de wrijving. Twee sensoren op dezelfde hoogte $z = 2.0\,\mathrm{m}$ , met $60\,\mathrm{m}$ rails ertussen, meten $v_1 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en daarna $v_2 = 19.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Bereken de verandering van de mechanische energie tussen de sensoren. Wat maakte de opstelling op gelijke hoogte zo slim?
Leid de arbeid van de wrijving en de gemiddelde wrijvingskracht af.
Waar is de ontbrekende energie gebleven? Noem de vorm en de plaatsen.
Welk deel van de $E_m$ van de trein gaat er per $60\,\mathrm{m}$ verloren? Waarom zou de kale $H_{\min}$ in de echte, wrijvende wereld onveilig zijn?
Tussen start en looptop ligt ongeveer $90\,\mathrm{m}$ rails: schat $E_m$ daar; redt de marge uit vraag 4 de looping nog?

Deel IV — De rekening sluiten. De laatste sensor, bij de ingang van het rechte horizontale remtraject ( $z = 0$ ), leest $18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Bereken de kinetische energie van de trein daar.
De remmen moeten hem in $d = 45\,\mathrm{m}$ tot stilstand brengen: bereken de vereiste (constante) remkracht.
Comfortcontrole: bereken de vertraging $a = F/m$ en vergelijk met $g$ .
Hoeveel energie heeft de wrijving met de rails over de hele rit gedissipeerd? Ga na dat wrijving $+$ remmen $= mgH$ , tot op de joule.
De clou, in één zin: welk enkel getal legde de veiligheid van de looping, elke snelheid, de wrijvingsrekening en de remkracht vast — en wat was de prijs van het negeren van de wrijving?

Oplossing

Oplossing van Probleem 18.1.

1. $v_{\text{top}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 8.0} \approx 8.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $E_m = mg\,(2R) + \tfrac12 m gR = 3.14 \times 10^{5} + 7.8 \times 10^{4} \approx 3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ .

3. $mgH_{\min} = E_m$ geeft $H_{\min} = 20\,\mathrm{m}$ ; algebraïsch $H_{\min} = 2R + \frac{gR}{2g} = \frac{5R}{2}$ .

4. $v_{\text{top}} = \sqrt{2g(H - 2R)} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_{\text{top}}^2/(gR) = 2.0$ — twee keer het minimum.

5. Elke energie is evenredig met $m$ , dus valt $m$ weg: dezelfde snelheden en dezelfde veiligheid, vol of leeg.

6. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 24} \approx 21.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 78\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

7. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 8.0)} \approx 17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

8. $mgH = 4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . $(E_p, E_k)$ : start $(4.71 \times 10^{5}, 0)$ ; onderaan $(0, 4.71 \times 10^{5})$ ; halverwege $(1.57 \times 10^{5}, 3.14 \times 10^{5})$ ; bovenaan $(3.14 \times 10^{5}, 1.57 \times 10^{5})$ — elk paar telt op tot $4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ .

9. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 12)} \approx 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

10. $v(z) = \sqrt{2g(H - z)}$ : het snelst in het laagste punt van de baan, het traagst boven in de looping.

11. Dezelfde hoogte, dus $\Delta E_p = 0$ en $\Delta E_m = \Delta E_k = \tfrac12 \times 2000 \times (19.2^2 - 20.4^2) \approx -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : door de opstelling is het tekort zuiver kinetisch, af te lezen van twee snelheidsmeters.

12. $W(\vect f) = -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; $f = 4.75 \times 10^{4}/60 \approx 7.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ .

13. Als thermische energie, in de wielen, de rails en de lucht.

14. $E_m$ bij de eerste sensor: $4.16 \times 10^{5} + 3.9 \times 10^{4} = 4.55 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; verlies $4.75 \times 10^{4}/4.55 \times 10^{5} \approx 10\%$ per $60\,\mathrm{m}$ . Bij $H_{\min}$ wordt de top van de looping precies met $\sqrt{gR}$ bereikt; elk verlies drukt de snelheid onder de veiligheidsgrens.

15. Bij een verlies van $\approx 10\%$ per $60\,\mathrm{m}$ is ongeveer $15\%$ van $mgH$ ( $\approx 7.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ) verdwenen: $E_m \approx 4.00 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ , nog altijd boven de vereiste $3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — veilig, met maar $2\%$ speling. De marge was geen luxe.

16. $E_k = \tfrac12 \times 2000 \times 18.0^2 = 3.24 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ .

17. $F = 3.24 \times 10^{5}/45 = 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

18. $a = 7200/2000 = 3.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.37\,g$ : stevig maar comfortabel.

19. Wrijving met de rails: $mgH - 3.24 \times 10^{5} = 470\,880 - 324\,000 = 1.47 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Controle: $1.47 \times 10^{5} + 3.24 \times 10^{5} = 4.71 \times 10^{5} = mgH$ — elke joule verantwoord.

20. De starthoogte $H = 24\,\mathrm{m}$ legde de veiligheid van de looping vast, elke snelheid $\sqrt{2g(H - z)}$ , de wrijvingsrekening en de remkracht; de prijs van het negeren van de wrijving is de marge — de $4\,\mathrm{m}$ heuvel die de wrijvende wereld stilletjes opeet.