Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

28Mechanische oscillatoren en het meten van de tijd

Een staande klok tikt: elke tik is een koperen slinger die de verticaal kruist, sinds nieuwjaar vijftien miljoen keer herhaald. Het kwartsplaatje in je horloge buigt $32\,768$ keer per seconde; een cesiumatoom zoemt negen miljard keer sneller. Alles wat slingert kan de tijd bijhouden: dit hoofdstuk volgt het slingeren, van Huygens tot de satellieten.

28.1 Vrije trillingen

Definitie 28.1 (Oscillator, periode, frequentie, amplitude)

Een mechanische oscillator is een systeem dat, uit een stabiele evenwichtsstand gebracht en losgelaten, daaromheen heen en weer slingert: dat zijn vrije trillingen. De beweging herhaalt zich na de periode $T_0$ ( $\mathrm{s}$ ); de frequentie is $f_0 = 1/T_0$ ( $\mathrm{Hz}$ , Hoofdstuk 20); de amplitude is de maximale uitwijking.

Voorbeeld 28.2 (Een dierentuin van oscillatoren)

Een schommel op het plein: $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$ . De A-snaar van een gitaar: $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Een kwartskristal: $32\,768\,\mathrm{Hz}$ . De cesiumtrilling die de seconde vastlegt: ongeveer $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ . Tien ordegrootten, één taak: tellen.

28.2 De mathematische slinger

Definitie 28.3 (Mathematische slinger)

Een mathematische slinger: een klein lichaam met massa $m$ aan een onrekbare draad met lengte $L$ en verwaarloosbare massa, slingerend in een verticaal vlak. Van de twee krachten op het lichaam (Hoofdstuk 25) staat de spankracht loodrecht op de beweging, terwijl de component van het gewicht langs de baan terugwijst naar het laagste punt: het gewicht is de terugdrijvende kracht, die de uitwijking tegenwerkt.

Krachten op het slingerlichaam: de spankracht T staat loodrecht op de beweging; het tangentiële deel P_t van het gewicht wijst altijd terug naar de verticaal — de terugdrijvende kracht. — Krachten op het slingerlichaam: de spankracht $\vect T$ staat loodrecht op de beweging; het tangentiële deel $\vect{P_t}$ van het gewicht wijst altijd terug naar de verticaal — de terugdrijvende kracht.

Propositie 28.4 (Periode van de mathematische slinger)

Voor kleine amplitudes (onder ongeveer $15^\circ$ ) is de periode

T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Ze hangt af van de massa van het slingerlichaam noch — zolang de hoek klein blijft — van de amplitude: kleine slingeringen zijn isochroon, ze duren allemaal even lang.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 28.5 (Dimensieanalyse, en waar de $2\pi$ woont)

De formule laat zich raden. Uit $m$ ( $\mathrm{kg}$ ), $L$ ( $\mathrm{m}$ ) en $g$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ) is $\sqrt{L/g}$ de enige combinatie met de eenheid van een tijd — en de massa kan er niet in zitten, want geen enkel ander gegeven draagt een kilogram om haar weg te delen. Dimensies kunnen het zuivere getal ervoor niet leveren: de $2\pi$ komt uit het oplossen van de bewegingsvergelijking, wat in het volume van bachelorjaar 1 gebeurt. En de voorwaarde van de kleine hoek is niet vrijblijvend: bij $30^\circ$ is de ware periode $2\%$ langer, en is het isochronisme weg.

Voorbeeld 28.6 (De secondeslinger)

Welke lengte slaat de seconde, $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ , één tik per kant? Oplossen geeft $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times 2.00^2/4\pi^2 \approx 0.994\,\mathrm{m}$ . Bijna een meter: slingerklokken zijn hoog omdat seconden lang zijn.

28.3 De veer met massa

Definitie 28.7 (Terugdrijvende kracht van een veer)

Een wagentje met massa $m$ glijdt wrijvingsloos over een horizontale rail en hangt aan een veer met veerconstante $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ). Zij $x$ zijn uitwijking uit het evenwicht. Uitgerekt of ingedrukt trekt of duwt de veer het wagentje terug met de kracht $F = -kx$ : evenredig met de uitwijking en er tegengesteld aan — opnieuw een terugdrijvende kracht, nu geleverd door de elasticiteit.

Propositie 28.8 (Bewegingsvergelijking en haar oplossing)

De tweede wet van Newton langs de rail (Hoofdstuk 25) geeft $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ , oftewel $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}\,x$ . Wat de constanten $A$ en $\varphi$ ook zijn,

x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},

voldoet aan die vergelijking: een trilling met periode $T_0$ , onafhankelijk van de amplitude.

Bewijs. Afleiden geeft $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi)$ ; nog eens: $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) = -(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$ , en dat is $-(k/m)\,x$ precies wanneer $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ . ∎

Opmerking 28.9 (Alle bewegingen die er zijn)

Dat elke beweging van het wagentje zo’n functie is, wordt hier toegegeven en in het volume van bachelorjaar 1 bewezen. En geen $g$ in $2\pi\sqrt{m/k}$ : stijver trilt sneller, zwaarder trager, en op de Maan precies hetzelfde.

Definitie 28.10 (Amplitude en fase)

In $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ is de positieve constante $A$ de amplitude — de uitersten zijn $x = \pm A$ — en is $2\pi t/T_0 + \varphi$ de fase, die per periode met $2\pi$ groeit; de beginfase $\varphi$ legt de start vast: uit rust losgelaten op $x = A$ is $\varphi = 0$ . Zo geeft $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ aan $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ de waarde $T_0 = 2\pi\sqrt{0.20/20} = 0.63\,\mathrm{s}$ ; tot $5.0\,\mathrm{cm}$ uitgetrokken en losgelaten wordt dat $x(t) = 5.0\cos(2\pi t/0.63)$ in centimeter.

28.4 Energie, demping, resonantie

Propositie 28.11 (Energie van de oscillator)

Een veer die over $x$ is uitgerekt slaat de elastische potentiële energie $E_p = \tfrac12 kx^2$ op (verantwoord in Hoofdstuk 29). Tijdens een wrijvingsloze trilling is de mechanische energie

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2

constant: volledig elastisch in de uitersten, volledig kinetisch in het evenwicht. De slinger speelt hetzelfde duet tussen $E_k$ en de gravitatie- $E_p$ (Hoofdstuk 18).

Bewijs. Met $v = \frac{dx}{dt}$ is de afgeleide van $E_m$ gelijk aan $mv\frac{dv}{dt} + kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ wegens de bewegingsvergelijking; de waarde $\tfrac12 kA^2$ lees je in een uiterste af. ∎

Eén periode, losgelaten vanaf x = A: de energie klotst twee keer van elastisch naar kinetisch en terug, met de som vastgepind op 1/2 kA2. — Eén periode, losgelaten vanaf $x = A$ : de energie klotst twee keer van elastisch naar kinetisch en terug, met de som vastgepind op $\tfrac12 kA^2$ .

Definitie 28.12 (Gedempte trillingen)

Wrijving tapt uit elke echte oscillator mechanische energie af: zijn vrije trillingen ondergaan demping. Bij zwakke demping trilt het systeem nog, met een stervende amplitude maar een nauwelijks veranderde herhaaltijd, de pseudoperiode, dicht bij $T_0$ ; bij sterke demping (honing) kruipt het naar het evenwicht terug zonder er ooit voorbij te schieten; de energie, evenredig met het kwadraat van de amplitude, vervalt tot warmte.

Trillingen zonder en met zwakke demping: vrijwel dezelfde periode (hier 2.0\, s), met de gedempte amplitude die binnen een krimpende exponentiële omhullende (gestippeld) sterft. — Trillingen zonder en met zwakke demping: vrijwel dezelfde periode (hier $2.0\,\mathrm{s}$ ), met de gedempte amplitude die binnen een krimpende exponentiële omhullende (gestippeld) sterft.

Definitie 28.13 (Gedwongen trillingen en resonantie)

Duw een oscillator periodiek aan — gedwongen trillingen — en na een korte inloop trilt hij met de aandrijvende frequentie $f$ , niet met de zijne. Zijn amplitude piekt wanneer $f$ de eigenfrequentie $f_0$ van de vrije oscillator nadert: dat is resonantie, waarbij elke duw in de pas met de beweging aankomt en elke cyclus energie toevoert; hoe zwakker de demping, hoe hoger en scherper de piek.

Resonantiekromme: de gedwongen amplitude tegen de aandrijvende frequentie. Bij f = f_0 torent het antwoord omhoog, hoger naarmate de demping zwakker is. — Resonantiekromme: de gedwongen amplitude tegen de aandrijvende frequentie. Bij $f = f_0$ torent het antwoord omhoog, hoger naarmate de demping zwakker is.

Voorbeeld 28.14 (Resonantie ten goede en ten kwade)

Een ouder die een schommel aanduwt, duwt op diens eigen frequentie — resonantie aan het werk. In $2000$ zwaaide de nieuwe Millennium Bridge in Londen verontrustend toen de passen van de menigte op een eigenfrequentie rond $1\,\mathrm{Hz}$ inhaakten; hij sloot twee jaar voor dempers. Elk kwartshorloge houdt zijn kristal aan het zingen door het op resonantie aan te drijven, $32\,768\,\mathrm{Hz}$ .

28.5 De tijd meten

Methode 28.15 (Een periode opmeten)

Meet nooit één enkele trilling: start de chronometer wanneer het slingerlichaam de verticaal kruist (daar is het het snelst en het best te beoordelen), tel $N = 50$ trillingen en deel door $N$ — een reactiefout van $0.2\,\mathrm{s}$ wordt zo $4\,\mathrm{ms}$ op $T_0$ . Herhaal, en vergelijk de metingen.

Voorbeeld 28.16 (Drie eeuwen tik)

Huygens bouwde in $1657$ de eerste slingerklok: het isochronisme bracht klokken van een kwartier afwijking per dag naar seconden, en gecompenseerde slingers naar fracties van een seconde per dag. Het kwartspolshorloge ( $1969$ ) verving de staaf door een kristal dat met $32\,768\,\mathrm{Hz}$ buigt: tienden van een seconde per maand. Sinds $1967$ wordt de seconde zelf gedefinieerd door een atomaire trilling: de duur van $9\,192\,631\,770$ perioden van de microgolfstraling van een inwendige overgang van cesium-133 (Hoofdstuk 34). De beste cesiumklokken lopen één seconde per honderd miljoen jaar uit de pas.

Opmerking 28.17 (Waarom de nanoseconde najagen)

Een gps-ontvanger bepaalt zijn plaats door radiosignalen van satellieten te klokken; licht legt $30\,\mathrm{cm}$ per nanoseconde af, dus zet een klokfout van één microseconde je $300\,\mathrm{m}$ verkeerd. Satellieten dragen daarom atoomklokken — en bij die nauwkeurigheid hangt het tempo van een klok af van hoe snel ze beweegt en hoe hoog ze zit, een effect dat we in Hoofdstuk 35 tegenkomen.

28.6 Oefeningen

Oefening 28.1 ★

(a) Bereken de periode en de frequentie van een mathematische slinger van $1.00\,\mathrm{m}$ . (b) De lengte wordt verviervoudigd: wat gebeurt er met de periode?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.1.

(a) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ . (b) $T_0 \propto \sqrt{L}$ : de periode verdubbelt.

Oefening 28.2 ★

Een hart in rust slaat $72$ keer per minuut; de vleugel van een libel met $30\,\mathrm{Hz}$ . Geef de frequentie en de periode van het hart en de periode van de vleugel; welk woord uit dit hoofdstuk benoemt de maximale rijzing van de borstkas per slag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.2.

Hart: $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.83\,\mathrm{s}$ . Vleugel: $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$ . De rijzing van de borstkas is de amplitude.

Oefening 28.3 ★

Een wagentje van $0.10\,\mathrm{kg}$ hangt aan een veer van $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : bereken $T_0$ en $f_0$ . Wat doet het verdubbelen van de massa met de periode?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.3.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$ , $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$ . De massa verdubbelen: $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$ .

Oefening 28.4 ★

Opeenvolgende maxima van een gedempte oscillator: $2.0$ , $1.5$ , $1.13$ , $0.85\,\mathrm{cm}$ op $t = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0\,\mathrm{s}$ . Lees de pseudoperiode af; toon aan dat de amplitude per periode met een vaste factor daalt; voorspel het volgende maximum.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.4.

Pseudoperiode $2.0\,\mathrm{s}$ . De verhoudingen $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13 = 0.75$ per periode; het volgende maximum is $0.85 \times 0.75 \approx 0.64\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 28.5 ★

Een astronaut neemt een slinger en een veeroscillator mee naar de Maan ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Met welke factor verandert elke periode? Verklaar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.5.

Slinger: $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ , dus $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ (trager). Veeroscillator: onveranderd — geen $g$ in $2\pi\sqrt{m/k}$ .

Oefening 28.6 ★★

(a) Ga na dat $\sqrt{L/g}$ de dimensie van een tijd heeft. (b) Waarom kan geen enkele formule voor $T_0$ die uit $m$ , $L$ en $g$ is opgebouwd de massa bevatten? (c) Zou dit argument ooit de $2\pi$ kunnen opleveren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.6.

(a) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$ ; de wortel daarvan is een tijd. (b) De kilogram komt alleen in $m$ voor: niets anders zou haar kunnen wegdelen, dus kan $m$ er niet in zitten. (c) Nooit: zuivere getallen als $2\pi$ zijn onzichtbaar voor dimensies.

Oefening 28.7 ★★

Ga door twee keer af te leiden na dat $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ aan $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ voldoet dan en slechts dan als $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.7.

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$ , dus $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$ . Gelijkheid met $-(k/m)x$ voor alle $t$ geldt precies wanneer $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ , oftewel $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Oefening 28.8 ★★

Een veer met veerconstante $40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ draagt een wagentje van $0.20\,\mathrm{kg}$ met amplitude $3.0\,\mathrm{cm}$ . Bereken de mechanische energie en de maximale snelheid. Waar is de snelheid maximaal? En nul?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.8.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 = 1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} = 0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — bij $x = 0$ ; nul in de uitersten $x = \pm A$ .

Oefening 28.9 ★★

(a) Bereken de lengte van de secondeslinger ( $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ ). (b) Haar lengte groeit met $1.0\%$ : bepaal met $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ de relatieve verandering van $T_0$ en de fout per dag.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.9.

(a) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$ . (b) $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$ : $86400 \times 0.005 \approx 4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — zeven minuten per dag achter.

Oefening 28.10 ★★

Een zwak gedempte oscillator verliest per periode $5.0\%$ van zijn energie. (a) Hoeveel daalt de amplitude per periode? (b) Na hoeveel perioden is de helft van de energie weg? (c) Ligt de pseudoperiode ver van $T_0$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.10.

(a) $A \propto \sqrt{E}$ : $\sqrt{0.95} \approx 0.975$ , een daling van $2.5\%$ . (b) $0.95^n = 0.5$ : $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ perioden. (c) Nee: bij zwakke demping blijft ze binnen een fractie van een procent van $T_0$ .

Oefening 28.11 ★★

Verklaar met de resonantiekromme: (a) waarom een schommel aanduwen alleen op haar eigen ritme werkt; (b) waarom soldaten op een loopbrug uit de pas gaan lopen; (c) waarom een wasmachine bij één toerental staat te schudden terwijl ze op gang komt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.11.

(a) Bij $f_0$ komt elke duw in de pas aan en voegt energie toe; naast de piek helpen en hinderen de duwen om beurten. (b) In de pas marcheren is een periodieke aandrijving; bij de $f_0$ van de brug zou ze de resonantiepiek op klimmen. (c) De trommel veegt tijdens het opstarten door de eigenfrequentie van het frame: even resonantie, en dan voorbij de piek.

Oefening 28.12 ★★★

Een slingerklok die op zeeniveau juist loopt, verhuist naar een sterrenwacht waar $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (a) Loopt ze voor of achter? Hoeveel seconden per dag? (b) Hoeveel korter moet haar slinger van $0.994\,\mathrm{m}$ worden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.12.

(a) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ : achter, met $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$ , oftewel $\approx 132\,\mathrm{s}$ per dag. (b) Bij vaste $T_0$ is $L \propto g$ : verkort met $0.994 \times 0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ .

Oefening 28.13 ★★★

Een wagentje van $0.20\,\mathrm{kg}$ voldoet aan $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$ , met $A = 4.0\,\mathrm{cm}$ en $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$ . Bereken de maximale snelheid, de maximale versnelling, de veerconstante $k$ en de mechanische energie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.13.

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $k = m(2\pi/T_0)^2 = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ .

Oefening 28.14 ★★★

Om $g$ te meten: een slinger met $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ maakt $20$ trillingen in $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$ . Bereken $g$ en de relatieve onzekerheid ervan (tel die van $L$ en die van $T_0^2$ op); is het resultaat in overeenstemming met $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.14.

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$ ; $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2 \times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Onzekerheid $\approx 0.2\% + 2 \times 0.5\% = 1.2\%$ , oftewel $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : het interval bevat $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — in overeenstemming.

Oefening 28.15 ★★★

Vergelijk tijdmeters via hun relatieve afwijking (de fout gedeeld door de verstreken tijd): een slingerklok die $10\,\mathrm{s}$ per dag verliest, een kwartshorloge $0.5\,\mathrm{s}$ per maand, een cesiumklok $1\,\mathrm{s}$ per honderd miljoen jaar: bereken de drie verhoudingen. Een gps-klok die er $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ naast zit: hoe groot is de plaatsfout? Welke familie heeft gps nodig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 28.15.

Slingerklok $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$ ; kwarts $0.5/2.6 \times 10^{6} \approx 1.9 \times 10^{-7}$ ; cesium $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ . Een fout van $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ is $1000 \times 30\,\mathrm{cm} = 300\,\mathrm{m}$ plaatsfout: gps heeft de atomaire familie nodig.

28.7 Probleem: De werkbank van de klokkenmaker

Probleem 28.1

Weekendopgave — de werkbank van de klokkenmaker: een wandklok weer op tijd gebracht — vijftig slingeringen geklokt, een koperen staaf die in de zomer uitzet, het gefluisterde duwtje van het echappement, een uitdager van kwarts — en het oordeel, uitgesproken in seconden per maand

Een slingerwandklok komt “verkeerd lopend” op de werkbank. Behandel haar koperen staaf en zware slingerlichaam als een mathematische slinger met effectieve lengte $L$ en massa $m = 1.2\,\mathrm{kg}$ ; het raderwerk telt elke volledige trilling als precies $2.000\,\mathrm{s}$ .

Deel I — De klok de pols voelen.

Waarom $50$ trillingen klokken en niet één? Schat de fout die op $T_0$ overblijft als je reactietijd $0.2\,\mathrm{s}$ is.
De chronometer wijst $99.4\,\mathrm{s}$ voor $50$ trillingen: hoe groot is de periode?
Leid daaruit de huidige effectieve lengte van de slinger af.
Welke lengte zou precies $2.000\,\mathrm{s}$ geven? Moet de stelmoer het slingerlichaam omhoog of omlaag brengen, en met hoeveel?
Loopt de klok, onbijgesteld, voor of achter, en met hoeveel seconden per dag?
Gevoeligheid voor $g$ : wat is de periode op de Maan ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )? En de fout per dag op een sterrenwacht waar $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

Deel II — De zomerse inzinking. Koper zet uit: een opwarming $\Delta\theta$ rekt de staaf tot $L' = L\,(1 + \lambda\, \Delta\theta)$ , met $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ per kelvin. De klok is bij $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ bijgesteld.

Bereken $\Delta L$ voor een zomerkamer op $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
Toon met $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ aan dat $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ .
Bereken $\Delta T_0/T_0$ en de zomerse fout per dag: voor of achter?
Dezelfde vragen voor een wintergang op $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
Oude precisieklokken gebruikten “roosterslingers” die koperen staven met stalen (die ongeveer half zoveel uitzetten) in tegengestelde richtingen combineerden. Leg uit hoe dat het tempo kan vasthouden.

Deel III — Het gefluisterde duwtje. Met het echappement ontkoppeld halveert de slingering, gestart met amplitude $\theta_m = 2.00^\circ$ , haar amplitude in $280\,\mathrm{s}$ ; in bedrijf houdt een klein duwtje van het echappement per periode $\theta_m$ constant.

Hoeveel perioden duurt die halvering?
In het uiterste is het slingerlichaam $h = L(1 - \cos\theta_m) \approx L\,\theta_m^2/2$ geklommen (in radiaal): leid $E_m = \tfrac12 m g L\,\theta_m^2$ af en bereken die (Hoofdstuk 18).
De energie is evenredig met het kwadraat van de amplitude: welke fractie van $E_m$ gaat er per periode verloren?
Leid de energie van elk duwtje af, en het gemiddelde vermogen dat nodig is.
Het aandrijfgewicht $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ zakt $h = 1.0\,\mathrm{m}$ per week: is dat genoeg energie, en bij welk rendement?

Deel IV — De uitdager van kwarts. Een kwartsuurwerk trilt met $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ en wijkt ongeveer $0.3\,\mathrm{s}$ per maand af; de herstelde slingerklok wijkt nog altijd $0.5\,\mathrm{s}$ per dag af.

Bereken de periode van het kwarts. Toon aan dat $32\,768 = 2^{15}$ : waarom is een macht van twee precies wat een horlogeschakeling wil?
Bereken de relatieve afwijkingen van het kwarts en van de herstelde slingerklok, en beide in seconden per maand. Wie wint, en met welke factor?
De cesiumstandaard — $9\,192\,631\,770$ perioden maken één seconde — wijkt $1\,\mathrm{s}$ per honderd miljoen jaar af: hoe groot is haar relatieve afwijking? Hoeveel ordegrootten onder het kwarts, en waarom eist gps haar?
Het oordeel, in één zin met getallen: wat verdient de herstelde klok aan de muur, en van wie is de seconde nu?

Oplossing

Oplossing van Probleem 28.1.

1. De reactiefout van $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ wordt door $50$ gedeeld: ongeveer $4\,\mathrm{ms}$ op $T_0$ .

2. $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$ .

3. $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx 0.982\,\mathrm{m}$ .

4. $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (de secondeslinger): het slingerlichaam omlaag brengen en zo met $\approx 1.2\,\mathrm{cm}$ verlengen.

5. Te kort, dus te snel: voor, met $(2.000 - 1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ minuten per dag.

6. Maan: $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — onbruikbaar. Sterrenwacht: $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 = 5.1 \times 10^{-4}$ : verliest $\approx 44\,\mathrm{s}$ per dag.

7. $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx 0.1\,\mathrm{mm}$ .

8. $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} = T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12 \lambda\Delta\theta)$ .

9. $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 = 4.8 \times 10^{-5}$ : $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx 4.1\,\mathrm{s}$ per dag, achter (langere staaf, langere periode).

10. $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$ : $\Delta T_0/T_0 = -9.5 \times 10^{-5}$ , wint $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ per dag.

11. Staal en koper zetten verschillend uit; in tegengestelde richtingen opgehangen laten de koperen staven het slingerlichaam zakken terwijl de stalen het optillen. Zo op maat gemaakt dat de twee verschuivingen elkaar opheffen, overleeft de effectieve lengte — en dus het tempo — de seizoenen.

12. $280/2.000 = 140$ perioden.

13. $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$ : $E_m = \tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2 \approx 7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$ .

14. Per periode krimpt de amplitude met $2^{-1/140} \approx 0.9951$ en de energie met $0.9951^2 \approx 0.990$ : ongeveer $1.0\%$ van $E_m$ per periode.

15. Duwtje $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} = 7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; vermogen $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — tientallen microwatt.

16. Een week is $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ perioden, goed voor $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5} \approx 21\,\mathrm{J}$ ; het gewicht levert $Mgh = 2.5 \times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$ : genoeg, bij een rendement van $21/24.5 \approx 88\%$ .

17. $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ . En $32\,768 = 2^{15}$ : vijftien deel-door-twee-trappen maken van het signaal van het kristal een exacte tik van $1\,\mathrm{Hz}$ .

18. Kwarts: $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$ . Slingerklok: $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$ , oftewel $\approx 15\,\mathrm{s}$ per maand. Het kwarts wint met een factor $\approx 50$ .

19. $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ : negen ordegrootten onder het kwarts. Gps klokt signalen op nanoseconden — elk goed voor $30\,\mathrm{cm}$ lichtweg — en dus voldoen alleen atoomklokken.

20. Hersteld houdt de wandklok $\pm15\,\mathrm{s}$ per maand tegenover de $\pm0.3\,\mathrm{s}$ van het kwarts: houd haar voor het slagwerk, vertrouw het kwarts voor de trein — en de seconde zelf is nu van het cesiumatoom.