Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

29Arbeid en mechanische energie

Laat een knikker in een slakom vallen: hij duikt, schiet de bodem voorbij, klimt tot zijn beginhoogte, aarzelt, keert terug — en elke omkering laat zich voorspellen uit één kromme (het profiel van de kom) en één horizontale lijn (de energie van de knikker), zonder ook maar één bewegingsvergelijking op te lossen. Vorig jaar zetten we een prijs op krachten langs rechte lijnen (Hoofdstuk 17) en wogen we kinetische tegen potentiële energie (Hoofdstuk 18); dit jaar gaat de boekhouding overal mee naartoe: kromme wegen, veren, landschappen in één oogopslag.

29.1 Arbeid langs welke weg dan ook

Definitie 29.1 (Arbeid langs een weg)

Op een lichaam dat langs een willekeurige weg van $A$ naar $B$ beweegt, werkt een kracht $\vect F$ : knip de weg in verplaatsingen $\vect{\dd\ell}$ die zo kort zijn dat elke recht is en $\vect F$ er nauwelijks langs verandert. Elke stap levert de kleine arbeid $\scal{F}{\dd\ell} = F\,\dd\ell\cos\theta$ op (Hoofdstuk 17), en de arbeid langs de weg is hun som, $W_{AB}(\vect F) = \sum \scal{F}{\dd\ell}$ — wat op een rechte weg met een constante kracht inklapt tot de $F \times AB \times \cos\theta$ van vorig jaar.

Een kromme weg is een gebroken lijn van vele korte stappen: elke levert F\, op; de arbeid is de som. — Een kromme weg is een gebroken lijn van vele korte stappen: elke $\vect{\dd\ell}$ levert $F\,\dd\ell\cos\theta$ op; de arbeid is de som.

Propositie 29.2 (Arbeid van het gewicht, langs elke weg)

Langs elke weg van $A$ (hoogte $z_A$ ) naar $B$ (hoogte $z_B$ ) verricht het gewicht van een massa $m$ de arbeid $W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B)$ : de daling telt mee, de route nooit.

Bewijs. Elke korte stap draagt $mg \times (\text{kleine daling})$ bij (de berekening op rechte stukken van vorig jaar); de dalingen tellen telescopisch op tot $z_A - z_B$ . Het kromme geval, toen toegegeven, is hiermee geleverd. ∎

Definitie 29.3 (Conservatieve en niet-conservatieve krachten)

Een kracht heet een conservatieve kracht wanneer haar arbeid tussen twee punten langs elke weg dezelfde is (nul op elke rondreis), en anders een niet-conservatieve kracht. Het gewicht en de veerkracht (volgende paragraaf) zijn conservatief. Glijdende wrijving is dat niet: ze werkt de beweging tegen en verricht $W = -fL$ op een weg met lengte $L$ — tol per meter, nooit terugbetaald.

Voorbeeld 29.4 (Twee paden naar de hut)

Een wandelaar van $75\,\mathrm{kg}$ wint $300\,\mathrm{m}$ hoogte via een steil pad van $800\,\mathrm{m}$ of via $2.4\,\mathrm{km}$ haarspeldbochten. Het gewicht rekent op beide $-75 \times 9.81 \times 300 \approx -2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; een wrijvingskracht van $30\,\mathrm{N}$ rekent $-2.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ op het ene en $-7.2 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ op het andere. Het gewicht betaalt bij de afdaling terug; de rekening van de wrijving is als warmte weg, beide kanten op.

29.2 Potentiële energie

Definitie 29.5 (Potentiële energie)

Aan elke conservatieve kracht hangt een potentiële energie $E_p$ , een getal dat alleen van de plaats afhangt, vastgelegd door $W_{AB} = E_p(A) - E_p(B)$ : geleverde arbeid is uitgegeven potentiële energie. Door $E_p = 0$ in een gekozen referentiepunt vast te leggen, ligt ze overal vast; de keuze verschuift alle waarden met een constante die uit elk verschil wegvalt. Voor het gewicht geeft dat de $E_p = mgz$ van vorig jaar terug, nu langs elke weg geldig. Wrijving kan geen $E_p$ bezitten: een rekening die van de route afhangt is geen verschil van twee getallen aan de uiteinden — alleen conservatieve krachten slaan terughaalbaar op, precies wat de naam bewaart.

Propositie 29.6 (Elastische potentiële energie)

Een veer met veerconstante $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) die over $x$ is uitgerekt of ingedrukt, trekt terug met de kracht $F = kx$ (Hoofdstuk 28); de arbeid die ze levert als ze naar de rustlengte terugkeert — haar elastische potentiële energie — is $E_p = \tfrac12\, k x^2$ .

Bewijs. De terugdrijvende kracht werkt langs de beweging, dus is $\sum F\,\dd\ell$ de oppervlakte onder de $F$ – $x$ -grafiek: een driehoek met basis $x$ en hoogte $kx$ , met oppervlakte $\tfrac12 x \times kx$ . De kracht bij elke uitrekking is heen en terug dezelfde: de arbeid ligt vast door de uiteinden, de veerkracht is conservatief, en $E_p$ is goed gedefinieerd. ∎

De kracht van de veer groeit met de uitrekking; de opgeslagen energie is de oppervlakte onder de rechte: een driehoek, 1/2 × x × kx. — De kracht van de veer groeit met de uitrekking; de opgeslagen energie is de oppervlakte onder de rechte: een driehoek, $\tfrac12 \times x \times kx$ .

29.3 De twee energiestellingen

Stelling 29.7 (Kinetische-energiestelling)

Voor elke beweging van een lichaam met massa $m$ van $A$ naar $B$ — krom, in lussen, driedimensionaal — geldt

\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

waarbij de som over alle krachten op het lichaam loopt.

Bewijs. Omdat $v^2 = \scal{v}{v}$ , geeft de productregel uit de wiskunde van dit jaar de afgeleide van $v^2$ als $2\,\scal{a}{v}$ , dus is $\dd E_k/\dd t = m\,\scal{a}{v} = \scal{F_{\text{tot}}}{v}$ volgens de tweede wet van Newton (Hoofdstuk 25). In een korte $\dd t$ verplaatst het lichaam zich over $\vect{\dd\ell} = \vect v\,\dd t$ : $E_k$ wint de kleine arbeid van Definitie 29.1; de stappen optellen telt de arbeiden op — de vorig jaar toegegeven uitspraak, nu volledig verdiend. ∎

Propositie 29.8 (Ogenblikkelijk vermogen)

Op elk ogenblik levert een kracht $\vect F$ op een lichaam met snelheid $\vect v$ het vermogen $P = \scal{F}{v} = Fv\cos\theta$ , en is $\dd E_k/\dd t$ de som van de vermogens van alle krachten: de formule van vorig jaar bij constante snelheid, nu exact op elk ogenblik van elke beweging.

Bewijs. Lees het vorige bewijs af: elke kracht voert tijdens $\dd t$ de bijdrage $\scal{F}{\dd\ell} = \scal{F}{v}\,\dd t$ aan $E_k$ toe. ∎

Stelling 29.9 (Mechanische-energiestelling)

Zij $E_m = E_k + E_p$ , waarbij $E_p$ de potentiële energieën van alle conservatieve krachten die arbeid verrichten verzamelt. Dan geldt, langs elke weg,

\Delta E_m = W_{AB}(\text{niet-conservatieve krachten}),

en blijft $E_m$ behouden zodra de niet-conservatieve krachten geen arbeid verrichten.

Bewijs. Splits de kinetische-energiestelling: $\Delta E_k = W_{\text{cons}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$ ; breng $\Delta E_p$ naar de andere kant. ∎

Voorbeeld 29.10 (De slinger, dit keer eerlijk)

Een slingerlichaam aan een draad van lengte $L = 2.5\,\mathrm{m}$ wordt uit rust losgelaten op $45{}^{\circ}$ met de verticaal. De spankracht staat loodrecht op de beweging en is machteloos; het gewicht is conservatief: $E_m$ blijft behouden op de kromme boog, wat vorig jaar alleen gecontroleerd kon worden. Het lichaam begint $h = L(1 - \cos45{}^{\circ}) = 0.73\,\mathrm{m}$ hoger, dus is onderaan $v = \sqrt{2gh} \approx 3.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Methode 29.11 (Energieaudit van elke beweging)

Kies het systeem en noem de krachten erop.
Sorteer: loodrecht op de beweging $\to$ geen arbeid; conservatief $\to$ een $E_p$ in $E_m$ ; de rest $\to$ $W_{\text{nc}}$ (glijdende wrijving: $-fL$ , met $L$ de lengte van de weg).
Schrijf $\Delta E_m = W_{\text{nc}}$ tussen het gegeven punt en het gevraagde punt; los op. Energie antwoordt op “hoe snel, hoe hoog”; alleen tijd en versnelling vragen de wetten van Newton.

29.4 Energiediagrammen

Definitie 29.12 (Energiediagram, keerpunten)

Voor een beweging langs één as $x$ met behouden $E_m$ zet het energiediagram de kromme $E_p(x)$ en de horizontale lijn $E_m$ uit. Omdat $E_k = E_m - E_p \geq 0$ , blijft de beweging beperkt tot waar de kromme onder de lijn ligt; de kloof ertussen is $E_k$ , rechtstreeks af te lezen. In een keerpunt, waar kromme en lijn elkaar raken, is $v = 0$ en keert de beweging om.

Een energiediagram, af te lezen zonder iets op te lossen: met energie E_m trilt het lichaam tussen x_1 en x_2, het snelst waar de kloof het grootst is; met E_m' kruipt het over de heuvel en ontsnapt het. — Een energiediagram, af te lezen zonder iets op te lossen: met energie $E_m$ trilt het lichaam tussen $x_1$ en $x_2$ , het snelst waar de kloof het grootst is; met $E_m'$ kruipt het over de heuvel en ontsnapt het.

Propositie 29.13 (Kracht uit het landschap; evenwichten)

De conservatieve kracht langs $x$ is min de helling van $E_p$ : $F = -\,\dd E_p/\dd x$ — ze wijst op het diagram bergaf, en verdwijnt waar de raaklijn horizontaal is: een evenwicht. Een minimum van $E_p$ is een stabiel evenwicht — het uitgeweken lichaam wordt teruggeduwd, een bal in een dal; een maximum is een labiel evenwicht — het wordt weggeduwd, een bal op een heuveltop.

Bewijs. Op een kleine stap $\dd x$ verricht de kracht $F\,\dd x = E_p(x) - E_p(x + \dd x) = -\dd E_p$ ; deel door $\dd x$ . Aan beide zijden van een dal wijst bergaf naar binnen; rond een heuveltop naar buiten. ∎

Opmerking 29.14 (Trillingen en ontsnappen)

De kleine trillingen van Hoofdstuk 28 wonen op de bodem van de dalen van $E_p$ . En ver van de Aarde verzwakt de gravitatie: de kromme $E_p(r)$ klimt steeds trager naar een eindig plafond (de oppervlakte onder de krimpende krachtgrafiek is eindig). Een raket waarvan $E_m$ dat plafond haalt, komt nooit een keerpunt tegen: ze haalt de ontsnappingssnelheid — ongeveer $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ vanaf de grond (Oefening 29.13); daaronder blijft ze gebonden. Het plafond zelf wordt in het volume van bachelorjaar 1 berekend.

Voorbeeld 29.15 (De looping)

Een knikker die van hoogte $H$ wordt losgelaten, rolt een verticale lus met straal $R$ in. De dynamica van de cirkelbeweging (Hoofdstuk 25) eist bovenin $v_{\text{top}}^2 \geq gR$ — het gegeven dat het achtbaanprobleem van vorig jaar moest lenen en dat nu van ons is. Behoud van rust op $H$ tot de top (hoogte $2R$ ) geeft $v_{\text{top}}^2 = 2g(H - 2R)$ , dus $H \geq \tfrac52 R$ : een halve straal boven de top van de lus, wat de massa ook is — iets meer in de echte, schurende wereld.

De looping: het loslaatpunt ligt een halve straal boven de top, zodat de overgebleven E_k de knikker aangedrukt houdt (v_ top2 = gR). — De looping: het loslaatpunt ligt een halve straal boven de top, zodat de overgebleven $E_k$ de knikker aangedrukt houdt ( $v_{\text{top}}^2 = gR$ ).

29.5 Oefeningen

Oefening 29.1 ★

Een veer met veerconstante $k = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ wordt $5.0\,\mathrm{cm}$ uitgerekt. Bereken de opgeslagen energie; wat wordt ze als de uitrekking verdubbelt? Hoeveel kost de tweede $5.0\,\mathrm{cm}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.1.

$E_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}$ . Bij dubbele uitrekking: $\times 4$ , dus $1.0\,\mathrm{J}$ . De tweede $5.0\,\mathrm{cm}$ alleen kost $1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J}$ — daar is de kracht groter.

Oefening 29.2 ★

Een drone van $0.90\,\mathrm{kg}$ vliegt langs een grillige route van een terras op $z = 12\,\mathrm{m}$ naar een balkon op $z = 30\,\mathrm{m}$ . Hoe groot is de arbeid van zijn gewicht? En langs de rechte klim? En op de heen-en-terugvlucht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.2.

$W = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx -1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J}$ , wat de route ook is — dus hetzelfde langs de rechte klim. Heen en terug: $0\,\mathrm{J}$ (een conservatieve kracht).

Oefening 29.3 ★

Conservatief, niet-conservatief of arbeidsloos? Onderbouw met de wegen: (a) het gewicht; (b) de veerkracht; (c) glijdende wrijving; (d) de normaalkracht op een glijdende doos; (e) de luchtweerstand.

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.3.

(a), (b) conservatief: de arbeid ligt vast door de uiteinden (hoogteverschil; uitrekking). (c), (e) niet-conservatief: $-fL$ en de luchtweerstand rekenen per afgelegde meter. (d) arbeidsloos: altijd loodrecht op de beweging.

Oefening 29.4 ★

Een slinger van $2.0\,\mathrm{m}$ wordt uit rust losgelaten op $60{}^{\circ}$ met de verticaal. Bepaal zijn snelheid in het laagste punt. Waarom komt de spankracht van de draad nooit in de balans voor?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.4.

$h = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De spankracht staat op elk ogenblik loodrecht op de beweging: nul vermogen, nul arbeid.

Oefening 29.5 ★

Een wielrenster rijdt met $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op het vlakke en levert $250\,\mathrm{W}$ : tegen welke totale remmende kracht vecht ze? Klimmend met $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bij hetzelfde vermogen: welke kracht overwint ze dan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.5.

$F = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}$ . Bij $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N}$ (grotendeels de component van de zwaartekracht langs de helling).

Oefening 29.6 ★★

De veer van een speelgoedwerper ( $k = 450\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) wordt $8.0\,\mathrm{cm}$ ingedrukt achter een pijltje van $20\,\mathrm{g}$ . Bepaal de opgeslagen energie, de vertreksnelheid en de hoogte die het haalt als het recht omhoog wordt afgeschoten (zonder lucht).

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.6.

$E_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $h = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}$ .

Oefening 29.7 ★★

Bij het uitrekken van een elastiek meet een leerling $F = 0$ , $3.0$ , $7.0$ , $12.0$ , $18.0\,\mathrm{N}$ bij $x = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0$ , $8.0\,\mathrm{cm}$ . Schat de opgeslagen energie met trapeziumoppervlakken; vergelijk met $\tfrac12 kx^2$ , met $k = F/x$ aan het einde. Waarom verschillen ze?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.7.

Trapezia (stappen van $2.0\,\mathrm{cm}$ ): $(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) = 0.62\,\mathrm{J}$ . Model met een rechte: $k = 18.0/0.080 = 225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}$ . De gemeten kromme zakt bij kleine $x$ onder de rechte, dus is de ware oppervlakte kleiner.

Oefening 29.8 ★★

Een sleeër van $55\,\mathrm{kg}$ vertrekt uit rust, daalt $8.0\,\mathrm{m}$ over een kromme baan van $25\,\mathrm{m}$ en komt aan met $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Hoeveel mechanische energie is er verloren? Hoe groot is de gemiddelde wrijvingskracht? Waarom doet de precieze vorm van de baan niet ter zake?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.8.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times 8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}$ . Het gewicht is conservatief en de normaalkracht arbeidsloos: alleen de daling en de lengte van de weg tellen mee, niet de vorm.

Oefening 29.9 ★★

Een knikkerbaan heeft een lus met straal $20\,\mathrm{cm}$ . Bepaal de minimale loslaathoogte (uit rust, zonder wrijving). Losgelaten van $60\,\mathrm{cm}$ : wat is de snelheid in de top van de lus, en de verhouding $v_{\text{top}}^2/(gR)$ ? Waarom moet een echte baan van nog hoger starten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.9.

$H_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}$ . Van $60\,\mathrm{cm}$ : $v_{\text{top}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , en $v_{\text{top}}^2/(gR) = 2.0$ — het dubbele van het minimum. De wrijving schept onderweg energie af, dus hebben echte banen extra hoogte nodig.

Oefening 29.10 ★★

Een kraal van $100\,\mathrm{g}$ glijdt wrijvingsloos langs een as, met $E_p(x) = 8.0\,x^2$ (in joule, $x$ in meter) en $E_m = 2.0\,\mathrm{J}$ . Waar liggen de keerpunten? Hoe groot is de maximale snelheid? Wat voor beweging is dit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.10.

Keerpunten: $8.0\,x^2 = 2.0$ , dus $x = \pm0.50\,\mathrm{m}$ . Maximale snelheid in $x = 0$ : $v = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een heen en weer gaande trilling in een parabolische put — de $E_p$ van de veeroscillator heeft precies deze vorm.

Oefening 29.11 ★★

Een auto van $1200\,\mathrm{kg}$ met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ wordt tot stilstand gebracht door een bufferveer met veerconstante $k = 6.0 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Bepaal de maximale indrukking. Bij $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : waarom niet vier keer zoveel, terwijl de energie verviervoudigt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.11.

$\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2$ : $x = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}$ . Bij $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $18\,\mathrm{cm}$ — het dubbele, niet het viervoud: de energie verviervoudigt, maar $E_p$ groeit als $x^2$ , dus verdubbelt $x$ slechts.

Oefening 29.12 ★★★

Een karretje van $0.50\,\mathrm{kg}$ rolt over een baan waarvan $E_p(x)$ een heuveltop van $6.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 0$ ) en een dal van $2.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 1.5\,\mathrm{m}$ ) heeft. (a) Het komt van links aan met $E_m = 5.0\,\mathrm{J}$ : raakt het erover? En zo niet, wat dan? (b) Met $E_m = 7.0\,\mathrm{J}$ : wat zijn de snelheden op de heuveltop en in het dal? (c) Welke evenwichten zijn er?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.12.

(a) $E_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}$ : het raakt er niet over; het stopt op de flank waar $E_p = 5.0\,\mathrm{J}$ en rolt terug. (b) Heuveltop: $E_k = 1.0\,\mathrm{J}$ , $v = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dal: $E_k = 5.0\,\mathrm{J}$ , $v \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $x = 0$ : een labiel evenwicht (maximum); $x = 1.5\,\mathrm{m}$ : een stabiel evenwicht (minimum).

Oefening 29.13 ★★★

Neem aan dat een massa $m$ van de grond tot willekeurig ver slepen $mgR_E$ kost, met $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (de eindige oppervlakte onder de grafiek van de verzwakkende zwaartekracht), en bereken de ontsnappingssnelheid van de Aarde. Waarom dezelfde voor een sonde en een steentje? En bij een lancering net eronder?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.13.

$\tfrac12 mv^2 = mgR_E$ : $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Elke term is evenredig met $m$ : sonde en steentje gelijk. Net eronder klimt de lancering nog enorm ver, komt een keerpunt tegen en valt terug: gebonden.

Oefening 29.14 ★★★

Een wagentje van $250\,\mathrm{g}$ trilt op een veer ( $k = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) met amplitude $6.0\,\mathrm{cm}$ (Hoofdstuk 28). Hoe groot is de totale energie? De maximale snelheid? Op welke plaatsen geldt $E_k = E_p$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.14.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx 0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k = E_p$ waar $\tfrac12 kx^2 = E_m/2$ : $x = \pm A/\sqrt 2 \approx \pm4.2\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 29.15 ★★★

Een polsstokhoogspringer sprint met $9.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Schat de hoogte die zijn massamiddelpunt wint als de stok al zijn kinetische energie omzet, en de hoogte van de lat die hij haalt (met het massamiddelpunt $1.0\,\mathrm{m}$ hoog bij de start). Het record ligt rond $6.3\,\mathrm{m}$ : wat vangt de schatting, en wat laat ze weg?

Oplossing

Oplossing van Oefening 29.15.

$h = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}$ ; de lat op $\approx 4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}$ . Het record ligt hoger: springers voegen met armen en benen arbeid toe op de buigende stok. Maar de energieschatting zet de schaal — geen enkele sprint brengt een polsstokspringer op $10\,\mathrm{m}$ .

29.6 Probleem: De schans

Probleem 29.1

Weekendopgave — de schans: een aanloop doorgelicht met een snelheidsmeter, een vlucht in vrije val, de zachte meetkunde van een steile landing, en de toren die een ontwerper moet kopen zodra de wrijving haar rekening stuurt

Een olympische schansspringer ( $m = 70\,\mathrm{kg}$ , ski’s inbegrepen) vertrekt uit rust van een startpoort $H = 45\,\mathrm{m}$ boven de schanstafel, glijdt $L = 90\,\mathrm{m}$ kromme aanloop en verlaat de tafel horizontaal; een snelheidsmeter leest daar $v_0 = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Het landingspunt ligt $h = 40\,\mathrm{m}$ lager, op een helling van $35{}^{\circ}$ . De delen II en III verwaarlozen de luchtweerstand.

Deel I — De aanloop.

Voorspel de wrijvingsloze snelheid op de tafel; waarom doet de kromming van de aanloop niet ter zake?
Met het referentieniveau op de tafel: bereken $E_m$ in de startpoort en op de tafel.
Bereken $\Delta E_m$ ; welke stelling noemt de schuldigen, en wie zijn het?
Leid de gemiddelde remmende kracht (sneeuw plus lucht) over de aanloop af.
Welke fractie van $E_m$ gaat verloren? Waarom de ski’s waxen en ineengedoken zitten?

Deel II — De vlucht.

In de vlucht werkt alleen het gewicht: welke beweging uit Hoofdstuk 26 is dit? Wat zijn de componenten van de snelheid bij de landing?
Bereken de landingssnelheid twee keer: uit de componenten, en uit het behoud van $E_m$ . Hoeveel is dat in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Bereken de vluchttijd en de horizontale afstand die hij vliegt.
Echte springers berijden de lucht als een vleugel en vliegen veel verder: kan de lucht de landingssnelheid verhogen? Onderbouw met de mechanische-energiestelling.

Deel III — De landing.

Bereken de hoek van de landingssnelheid onder de horizontaal.
Ontbind haar in componenten evenwijdig aan en loodrecht op de helling.
De benen vangen alleen het loodrechte deel op: bereken die kinetische energie en vergelijk haar met het totaal.
Vlakke grond zou alles moeten opvangen: met welke verticale val komt elke landing overeen ( $h_{\text{eq}} = v_\perp^2/2g$ , respectievelijk $v^2/2g$ )?
In één zin: waarom zijn landingsheuvels steil en gekromd?

Deel IV — De toren van de ontwerper. Een kleinere schans vraagt een tafelsnelheid van maar $v_0' = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; haar rechte aanloop daalt onder $35{}^{\circ}$ , zodat een poorthoogte $H'$ een baanlengte $H'/\sin35{}^{\circ}$ betekent; dezelfde remmende kracht van $80\,\mathrm{N}$ .

Bereken de poorthoogte die een wrijvingsloze ontwerper zou bouwen.
Schrijf de mechanische-energiestelling van poort tot tafel op voor $H'$ .
Los op naar $H'$ .
Met welk percentage heeft de wrijving de toren verhoogd?
De massa valt nu niet meer weg: bereken $H'$ opnieuw voor een springer van $60\,\mathrm{kg}$ . Wie heeft de hoogste toren nodig, en waarom?
Slotzin: de aangekondigde toren, en het aandeel van de wrijving erin.

Oplossing

Oplossing van Probleem 29.1.

1. $v = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \approx 29.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : het gewicht is conservatief en de normaalkracht arbeidsloos — het profiel valt weg.

2. Poort: $E_m = mgH = 70 \times 9.81 \times 45 \approx 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Tafel: $E_m = \tfrac12 \times 70 \times 26^2 \approx 2.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ .

3. $\Delta E_m \approx -7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; de mechanische-energiestelling schrijft dat op het conto van de niet-conservatieve krachten: de wrijving met de sneeuw en de luchtweerstand.

4. $f = 7.2 \times 10^{3}/90 \approx 80\,\mathrm{N}$ .

5. $7.2 \times 10^{3}/3.09 \times 10^{4} \approx 23\%$ . Wax verlaagt $f$ , ineengedoken zitten verlaagt de luchtweerstand: beide verkleinen $fL$ , de enige onderhandelbare term.

6. Vrije val met een horizontale beginsnelheid — een worp. $v_x = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = \sqrt{2 \times 9.81 \times 40} \approx 28.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

7. $v = \sqrt{26^2 + 28.0^2} = \sqrt{1461} \approx 38.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; met energie: $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{676 + 785}$ — identiek. Ongeveer $138\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. $t = v_y/g = 28.0/9.81 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0 t \approx 74\,\mathrm{m}$ .

9. Nee. De liftkracht staat loodrecht op de snelheid (arbeidsloos) en de luchtweerstand werkt haar tegen (negatieve arbeid): $\Delta E_m \leq 0$ , dus kan de echte landingssnelheid alleen kleiner zijn — de lucht rekt de vlucht op, ze voedt haar niet.

10. $\alpha = \arctan(28.0/26) \approx 47{}^{\circ}$ onder de horizontaal.

11. Hoek met de helling: $47 - 35 = 12{}^{\circ}$ . $v_\parallel = 38.2\cos12{}^{\circ} \approx 37.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_\perp = 38.2\sin12{}^{\circ} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

12. Opgevangen: $\tfrac12 \times 70 \times 7.9^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ , tegenover $\tfrac12 \times 70 \times 38.2^2 \approx 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ in totaal: ongeveer $4\%$ .

13. $h_{\text{eq}} = 7.9^2/19.62 \approx 3.2\,\mathrm{m}$ — een stoutmoedige sprong van een muurtje. Vlak: $38.2^2/19.62 \approx 74\,\mathrm{m}$ — niet te overleven.

14. Een helling evenwijdig aan de vluchtbaan houdt $v_\perp$ klein, zodat de benen meters opvangen en niet de hele berg kinetische energie.

15. $H'_0 = v_0'^2/2g = 576/19.62 \approx 29.4\,\mathrm{m}$ .

16. $mgH' - f\,\dfrac{H'}{\sin35{}^{\circ}} = \tfrac12 m v_0'^2$ .

17. $H' = \dfrac{\tfrac12 \times 70 \times 576} {686.7 - 80/0.574} = \dfrac{20\,160}{547} \approx 37\,\mathrm{m}$ .

18. $36.8/29.4 \approx 1.25$ : een toeslag van $25\%$ .

19. Voor $60\,\mathrm{kg}$ : $H' = 17\,280/(588.6 - 139.5) \approx 38.5\,\mathrm{m}$ . De lichtere springer heeft de hoogste toren nodig: de wrijvingsrekening $fL$ is dezelfde, maar haar energiebudget $mgH'$ is kleiner.

20. Kondig een toren van $37\,\mathrm{m}$ aan voor $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op de tafel — en beken dat een kwart ervan, zo’n $7\,\mathrm{m}$ beton, de toeslag van de wrijving op de wrijvingsloze droom is.