Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

5Relatieve beweging

Een reiziger slentert met een kop koffie in de hand naar de voorkant van een hogesnelheidstrein, op een rustig wandeltempo. Een waarnemer langs het spoor klokt diezelfde reiziger op ruim $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Beide metingen kloppen. Geen van beide is “de” snelheid van de reiziger, want zoiets bestaat niet: beweging is geen eigenschap van een lichaam alleen, maar van een lichaam en het gezichtspunt dat je kiest om het te beschrijven. Dit hoofdstuk maakt dat gezichtspunt precies — en leert je er een goed uit te kiezen.

5.1 Beweging is relatief

Definitie 5.1 (Referentiestelsel)

Een referentiestelsel is een star lichaam — de grond, een treinwagon, de Aarde als geheel — ten opzichte waarvan posities worden vastgelegd, samen met een klok om ze te dateren. Een lichaam is in rust in een stelsel wanneer zijn positie in dat stelsel niet met de tijd verandert; anders is het in dat stelsel in beweging.

Definitie 5.2 (Baan)

De baan van een lichaam in een gegeven referentiestelsel is de kromme die door zijn opeenvolgende posities in dat stelsel wordt gevormd: een rechte lijn, een cirkel, een boog… De baan krijgt pas betekenis zodra het stelsel genoemd is.

Voorbeeld 5.3 (De wandelaar in de trein)

Een trein rijdt met $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ten opzichte van de grond, terwijl een reiziger met $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ten opzichte van de trein naar voren loopt.

In het stelsel van de trein: de reiziger beweegt met $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ door het gangpad; de stoelen zijn in rust; de bomen buiten schieten met $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ naar achteren.
In het stelsel van de grond: de stoelen bewegen met $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , de reiziger met $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , en de bomen zijn in rust.

Hetzelfde tafereel, twee stelsels, twee volstrekt verschillende beschrijvingen — en geen enkele proef in de trein kan een van beide tot “de echte” uitroepen.

Propositie 5.4 (Relativiteit van de beweging)

Of een lichaam in rust of in beweging is, welke baan het volgt en welke snelheid het heeft, hangt alle drie af van het referentiestelsel dat je kiest om ze te beschrijven.

Bewijs. Eén voorbeeld beslist elke bewering. De zittende reiziger uit Voorbeeld 5.3 is in rust in het treinstelsel en beweegt met $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ in het aardse referentiestelsel (rust en snelheid hangen van het stelsel af). Voor de baan: kijk naar het ventiel van een fietswiel. Een waarnemer op de fiets ziet het een cirkel om de naaf beschrijven, terwijl een waarnemer op de weg het een reeks bogen ziet beschrijven (een kromme die cycloïde heet) — zie de figuur hieronder. ∎

Hetzelfde ventiel, twee stelsels: een cirkel voor de fietser, een cycloïde — een aaneenschakeling van bogen — voor de waarnemer op de weg.

Opmerking 5.5

Merk op wat er in de twee plaatjes niet verandert: het ventiel, het wiel, de natuurkunde. Alleen de beschrijving verandert. Vragen “gaat het ventiel nu echt in een cirkel rond?” is als vragen of een berg “echt” links ligt: dat hangt af van waar je staat.

5.2 Gemiddelde snelheid

Definitie 5.6 (Gemiddelde snelheid)

De gemiddelde snelheid van een lichaam, in een gegeven referentiestelsel, is de afstand $d$ die het in dat stelsel aflegt, gedeeld door de reistijd $t$ :

v = \frac{d}{t} .

Met $d$ in meter en $t$ in seconde staat $v$ in meter per seconde ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); het dagelijks leven verkiest kilometer per uur ( $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

Methode 5.7 (Omrekenen tussen m/s en km/h)

Eén kilometer is $1000\,\mathrm{m}$ en één uur is $3600\,\mathrm{s}$ , dus $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ :

van $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : vermenigvuldig met $3.6$ ;
van $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ naar $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : deel door $3.6$ .

Controle: het getal in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ is altijd het grootste van de twee.

Voorbeeld 5.8 (Enkele snelheden om te onthouden)

Stevig doorstappen: $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 5.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Een auto in de stad met $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $54 / 3.6 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ongeveer $15\,\mathrm{m}$ per seconde, goed om te onthouden voordat je van de stoeprand stapt. Geluid in lucht: $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Voorbeeld 5.9 (Een wandeling met een pauze)

Een wandelaar legt $12\,\mathrm{km}$ af in $2\,\mathrm{h}$ lopen, rust dan $1\,\mathrm{h}$ uit en legt in de laatste $1.5\,\mathrm{h}$ nog $6\,\mathrm{km}$ af. Gemiddelde snelheid over de hele tocht:

v = \frac{d}{t} = \frac{12 + 6}{2 + 1 + 1.5} = \frac{18\,\mathrm{km}}{4.5\,\mathrm{h}} = 4.0\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Het gemiddelde telt alle verstreken tijd mee, pauzes inbegrepen — het is in het algemeen niet het gemiddelde van de snelheden van de afzonderlijke stukken.

5.3 Een stelsel kiezen: aards, geocentrisch, heliocentrisch

Omdat elk stelsel geoorloofd is, kiezen we dat waarin de beweging die ons interesseert er het eenvoudigst uitziet. Drie keuzes dekken vrijwel de hele natuurkunde van dit boek.

Definitie 5.10 (De drie standaardstelsels)

Het aardse referentiestelsel (of laboratoriumstelsel) is verbonden met het aardoppervlak waar de proef plaatsvindt. Het is het juiste stelsel voor alledaagse bewegingen: vallende voorwerpen, voertuigen, sport, practicumtafels.
Het geocentrische stelsel heeft de Aarde als middelpunt maar draait niet met haar mee (zijn richtingen wijzen naar verre sterren). Het is het juiste stelsel voor de Maan en voor kunstmanen, die om de Aarde als geheel draaien en zich van haar dagelijkse draaiing niets aantrekken.
Het heliocentrische stelsel heeft de Zon als middelpunt, met richtingen die opnieuw op verre sterren zijn vastgelegd. Het is het juiste stelsel voor de planeten: elke planeet volgt er een eenvoudige, vrijwel cirkelvormige omloopbaan.

Drie in elkaar geschoven stelsels: de grond draait met de Aarde mee, het geocentrische stelsel reist met de Aarde mee zonder te draaien, en het heliocentrische stelsel bekijkt de hele dans vanaf de Zon.

Methode 5.11 (Het stelsel kiezen)

Noem de lichamen waarvan je de beweging wilt beschrijven, en kies dan het stelsel waarin die beweging het eenvoudigst is:

beweging vlak bij het aardoppervlak, die minuten duurt — het aardse referentiestelsel;
omloopbanen om de Aarde (Maan, satellieten) — het geocentrische stelsel;
omloopbanen om de Zon (planeten, kometen) — het heliocentrische stelsel.

Noem je keuze altijd voordat je een beweging beschrijft: een baan of een snelheid zonder stelsel erbij betekent niets (Propositie 5.4).

Opmerking 5.12 (Wie heeft gelijk, Ptolemaeus of Copernicus?)

“De Zon komt in het oosten op” en “de Aarde draait naar het oosten” zijn dezelfde waarneming, gerapporteerd in twee stelsels — de eerste in het aardse stelsel, waarin de Zon over de hemel trekt, de tweede in het geocentrische stelsel, waarin de waarnemer om de aardas wordt meegevoerd. Eeuwenlang waren de stelsels zelf het slagveld: de beschrijving van Ptolemaeus, met de Aarde in het midden, volgde de hemel nauwkeurig maar had lus op lus nodig om de planeten bij te houden, terwijl de beschrijving met de Zon in het midden, in 1543 door Copernicus nieuw leven ingeblazen, van elke planeet een eenvoudige bijna-cirkel maakte en de vreemde achterwaartse lussen van Mars verklaarde als louter een stelseleffect — de Aarde die een tragere planeet inhaalt. Het moderne oordeel luidt niet dat het ene stelsel waar is en het andere onwaar, maar dat ze niet even handig zijn; een dieper argument om sommige stelsels te verkiezen (de traagheidsstelsels) komt met het traagheidsbeginsel in Hoofdstuk 6.

5.4 Bewegingen op één lijn samenstellen

Wat verbindt de $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ van de wandelaar (treinstelsel) met de $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ in het aardse stelsel? Op één lijn is het antwoord gewoon optellen.

Propositie 5.13 (Samenstellen van snelheden in één dimensie)

Stel dat een lichaam langs een lijn beweegt op een bewegende ondergrond (een rolpad, een trein, stromend water), terwijl die ondergrond zelf langs dezelfde lijn ten opzichte van de grond schuift. Kies een positieve richting op de lijn en tel de snelheden met een teken; dan geldt

v_{\text{lichaam/grond}} \;=\; v_{\text{lichaam/ondergrond}} \;+\; v_{\text{ondergrond/grond}} .

In woorden: snelheden in dezelfde richting tellen op, snelheden in tegengestelde richting trekken van elkaar af.

Bewijs. In één seconde voert de ondergrond het lichaam $v_{\text{ondergrond/grond}}$ meter langs de lijn mee, en schuift het lichaam $v_{\text{lichaam/ondergrond}}$ meter op langs de ondergrond. Beide verplaatsingen gebeuren langs dezelfde lijn, dus is de totale verplaatsing van het lichaam over de grond in die seconde hun algebraïsche som — en dat is zijn snelheid ten opzichte van de grond. ∎

Voorbeeld 5.14 (Het rolpad)

Een rolpad op een luchthaven loopt met $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een reiziger loopt erop met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de band, in de rijrichting: snelheid ten opzichte van de grond $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Verkeerd om lopen met hetzelfde tempo: $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dus nog steeds (langzaam) vooruit tegen de band in. Stilstaan op de band: $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de grond, $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de band — tegelijk in rust en in beweging, in twee verschillende stelsels.

Samenstellen in één dimensie: de pijlen zijn op schaal getekend, en de pijl in het aardse stelsel is de som van de twee andere.

Opmerking 5.15 (Twee richtingen tegelijk)

Wanneer de twee bewegingen niet op één lijn liggen — een boot die recht naar de overkant van een rivier stuurt terwijl de stroming hem meevoert — verloopt elke beweging onafhankelijk van de andere, en stellen de snelheden zich samen als pijlen kop aan staart, precies zoals de vectoren uit het wiskundevolume. De boot bereikt de overkant nog steeds in de tijd die alleen zijn oversteeksnelheid bepaalt, maar hij komt stroomafwaarts van zijn richtpunt aan, en zijn baan in het aardse stelsel is een schuine rechte lijn. De volledige vectorbehandeling volgt in een later hoofdstuk; hier lezen we alleen de tekening.

Een boot die recht de rivier oversteekt: in het stelsel van het water gaat hij recht naar de overkant; in het aardse stelsel volgt hij de schuine stippellijn en drijft hij onder het oversteken af.

5.5 Oefeningen

Oefening 5.1 ★

Een reiziger slaapt in een trein die met $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ rijdt. Zeg of de reiziger in rust of in beweging is, en met welke snelheid, ten opzichte van: de wagon; de grond; een boom langs het spoor; een tegemoetkomende trein die met $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de andere kant op rijdt. Beschrijf daarna de beweging van de boom in het stelsel van de trein van de reiziger.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.1.

Ten opzichte van de wagon: in rust. Ten opzichte van de grond en van de boom: in beweging met $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Ten opzichte van de tegemoetkomende trein tellen snelheden in tegengestelde richting op: $100 + 100 = 200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . In het stelsel van de trein van de reiziger beweegt de boom langs een rechte lijn naar achteren met $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Oefening 5.2 ★

Zet om: $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ naar $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Toets elk antwoord aan de controle van Methode 5.7.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.2.

$72 / 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $108 / 3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $25 \times 3.6 = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $340 \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . In elk paar is het getal in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ het grootste, zoals de controle eist.

Oefening 5.3 ★

Een fietser legt $36\,\mathrm{km}$ af in $1\,\mathrm{h}$ $30\,\mathrm{min}$ ; een sprinter legt $100\,\mathrm{m}$ af in $10.0\,\mathrm{s}$ . Bereken beide gemiddelde snelheden in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Wie is sneller, en verrast het antwoord je?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.3.

Fietser: $v = \frac{36\,\mathrm{km}}{1.5\,\mathrm{h}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 24/3.6 \approx 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Sprinter: $v = \frac{100\,\mathrm{m}}{10.0\,\mathrm{s}} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . De sprinter is anderhalf keer zo snel — maar slechts tien seconden lang, terwijl de fietser het tempo anderhalf uur volhoudt. Gemiddelde snelheden zijn alleen eerlijk te vergelijken over vergelijkbare tijdsduren.

Oefening 5.4 ★

Een rolpad loopt met $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een reiziger loopt met $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de band. Geef de snelheid van de reiziger ten opzichte van de grond bij lopen in de richting van de band, bij lopen ertegenin, en bij stilstaan op de band.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.4.

Dezelfde richting: $1.4 + 0.9 = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tegen de band in: $1.4 - 0.9 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Stilstaand op de band: de $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ van de band zelf.

Oefening 5.5 ★

Kies voor elke beweging het handigste stelsel uit aards, geocentrisch en heliocentrisch, en verantwoord dat in één zin: een pen die in een rijdende trein valt (extra: er is een nog beter stelsel beschikbaar); de omloopbaan van het internationale ruimtestation; één marsjaar; een sprint van $100\,\mathrm{m}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.5.

Vallende pen: het aardse stelsel werkt, maar het stelsel van de trein is nog beter — daarin valt de pen gewoon recht omlaag. Ruimtestation: het geocentrische stelsel (het draait om de Aarde als geheel en trekt zich van haar draaiing niets aan). Marsjaar: het heliocentrische stelsel (Mars beschrijft een bijna-cirkel om de Zon). Sprint: het aardse stelsel (startlijn, finishlijn en stopwatch liggen alle vast ten opzichte van de grond).

Oefening 5.6 ★★

Een trein rijdt met $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Een reiziger loopt met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de trein naar voren.

Zet de snelheid van de trein om naar $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en geef daarna de snelheid van de reiziger ten opzichte van de grond, bij lopen naar voren en naar achteren.
De wagon is $60\,\mathrm{m}$ lang. Hoe lang duurt de wandeling naar voren, en hoever komt de reiziger daarbij ten opzichte van de grond?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.6.

1. $108/3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Naar voren: $30 + 1.5 = 31.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; naar achteren: $30 - 1.5 = 28.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. Ten opzichte van de trein legt de reiziger $60\,\mathrm{m}$ af met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t = 60/1.5 = 40\,\mathrm{s}$ . Ten opzichte van de grond legt hij $31.5 \times 40 = 1260\,\mathrm{m}$ af — de $1200\,\mathrm{m}$ die de trein hem meevoert plus de $60\,\mathrm{m}$ die hij loopt, precies zoals de samenstellingsregel voorspelt.

Oefening 5.7 ★★

De snelheid van een boot in stilstaand water is $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; een rivier stroomt met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De boot vaart $420\,\mathrm{m}$ stroomafwaarts, keert en komt terug.

Bereken de snelheid van de boot ten opzichte van de oever op elk traject, en de duur van elk traject.
Bereken de gemiddelde snelheid over de heenreis en terugreis samen. Waarom is die kleiner dan $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , terwijl de stroming op het ene traject net zoveel helpt als ze op het andere tegenwerkt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.7.

1. Stroomafwaarts: $5.0 + 2.0 = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dus $t_1 = 420/7.0 = 60\,\mathrm{s}$ . Stroomopwaarts: $5.0 - 2.0 = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dus $t_2 = 420/3.0 = 140\,\mathrm{s}$ .

2. Gemiddelde snelheid: $v = \frac{840}{60 + 140} = \frac{840}{200} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De hulp en de tegenwerking van de stroming zijn even groot in snelheid maar niet in tijd: de boot wordt $140\,\mathrm{s}$ lang afgeremd en maar $60\,\mathrm{s}$ lang geholpen, dus beheerst het trage traject het gemiddelde.

Oefening 5.8 ★★

Twee treinen passeren elkaar op evenwijdige sporen: trein A ( $180\,\mathrm{m}$ lang) met $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , trein B ( $90\,\mathrm{m}$ lang) met $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ze rijden in tegengestelde richting. Wat is de snelheid van B in het stelsel van A, en hoe lang duurt het volledige passeren (van het ontmoeten van de neuzen tot het loskomen van de staarten)?
Dezelfde vragen als ze in dezelfde richting rijden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.8.

1. Tegengestelde richtingen: in het stelsel van A nadert B met $25 + 20 = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Het passeren is voltooid zodra B de gezamenlijke lengte $180 + 90 = 270\,\mathrm{m}$ is opgeschoven: $t = 270/45 = 6.0\,\mathrm{s}$ .

2. Dezelfde richting: relatieve snelheid $25 - 20 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , en $t = 270/5.0 = 54\,\mathrm{s}$ — negen keer zo lang, en daarom voelt het inhalen van een vrachtwagen eindeloos.

Oefening 5.9 ★★

Een fiets rolt over een rechte weg. Beschrijf de baan van het ventiel van de band in: het stelsel van de fietser; het aardse stelsel; en het stelsel van het ventiel zelf. Beschrijf ook de baan van de naaf van het wiel in het aardse stelsel. Niet rekenen — noem elke kromme.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.9.

Stelsel van de fietser: een cirkel (de cirkel van de velg, met de naaf als middelpunt). Aards stelsel: een cycloïde — een aaneenschakeling van bogen, één per omwenteling van het wiel. Stelsel van het ventiel zelf: het ventiel is in rust, één enkel punt. De naaf in het aardse stelsel: een horizontale rechte lijn op de hoogte van één wielstraal.

Oefening 5.10 ★★

De evenaar van de Aarde is ongeveer $40\,000\,\mathrm{km}$ lang, en de Aarde draait één keer rond in $24\,\mathrm{h}$ .

Bereken de snelheid van een punt op de evenaar in het geocentrische stelsel, in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
Leg telkens in één zin uit: waarom we die snelheid niet voelen, en waarom “de Zon komt op” en “de Aarde draait” dezelfde waarneming weergeven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.10.

1. $v = \frac{40\,000\,\mathrm{km}}{24\,\mathrm{h}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 1667/3.6 \approx 463\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — sneller dan het geluid.

2. We voelen die snelheid niet doordat alles om ons heen — grond, lucht, gebouwen — precies dezelfde beweging deelt, zodat er niets ten opzichte van ons beweegt (en het traagheidsbeginsel, Hoofdstuk 6, zal verklaren waarom een gedeelde eenparige beweging van binnenuit niet waarneembaar is). “De Zon komt op” is het verslag in het aardse stelsel en “de Aarde draait” het verslag in het geocentrische stelsel van een en dezelfde waarneming.

Oefening 5.11 ★★

Stilstaand op een bewegende roltrap duurt de rit omhoog $60\,\mathrm{s}$ . Dezelfde roltrap uitgeschakeld oplopen duurt $90\,\mathrm{s}$ . Hoe lang duurt het om de bewegende roltrap op te lopen? (Reken met de snelheden, niet met de tijden.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.11.

Zij $L$ de lengte van de roltrap. Snelheid van de roltrap: $L/60$ ; loopsnelheid: $L/90$ . Bij lopen op de bewegende roltrap tellen de snelheden op:

v = \frac{L}{60} + \frac{L}{90} = L\left(\frac{3 + 2}{180}\right) = \frac{L}{36},

dus duurt de rit $36\,\mathrm{s}$ . (Niet het gemiddelde van $60$ en $90$ : snelheden tellen op, tijden niet.)

Oefening 5.12 ★★★

Een bestuurder legt dezelfde afstand twee keer af: heen met $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , terug met $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Toon aan dat de gemiddelde snelheid over de hele rit $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ is — niet $75\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Leg uit waar het naïeve antwoord de mist in gaat, en zeg welk traject het gemiddelde beheerst.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.12.

1. Over een afstand $d$ per richting: $t = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} = d\,\frac{3 + 2}{180} = \frac{d}{36}$ , dus $v = \frac{2d}{d/36} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

2. De naïeve $75$ middelt de twee snelheden alsof de bestuurder even lang over elk traject deed; in werkelijkheid zijn de afstanden gelijk, dus duurt het tragere traject langer ( $\frac{d}{60} > \frac{d}{90}$ ) en trekt het het gemiddelde naar $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ toe. De gemiddelde snelheid is de totale afstand gedeeld door de totale tijd — en niets anders.

Oefening 5.13 ★★★

Twee fietsers vertrekken $35\,\mathrm{km}$ uit elkaar en rijden naar elkaar toe, de een met $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , de ander met $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Beschrijf de beweging van de tweede fietser in het stelsel van de eerste, en leid af wanneer ze elkaar ontmoeten.
Hoeveel heeft elk van beiden bij de ontmoeting gereden?
Als ze in plaats daarvan dezelfde richting op rijden (de snelste achteraan), hoe lang duurt de achtervolging dan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.13.

1. In het stelsel van de eerste fietser nadert de tweede langs een rechte lijn met $15 + 20 = 35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ vanaf $35\,\mathrm{km}$ afstand: ze ontmoeten elkaar na precies $1.0\,\mathrm{h}$ .

2. De eerste heeft $15 \times 1 = 15\,\mathrm{km}$ gereden, de tweede $20 \times 1 = 20\,\mathrm{km}$ — samen $35\,\mathrm{km}$ , zoals het hoort.

3. Dezelfde richting: naderingssnelheid $20 - 15 = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , dus duurt de achtervolging $35/5 = 7\,\mathrm{h}$ .

Oefening 5.14 ★★★

Een zwemmer steekt een rivier van $60\,\mathrm{m}$ breed over en houdt recht op de overkant aan met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van het water; de stroming loopt met $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Leg uit waarom de oversteektijd alleen door de oversteeksnelheid van de zwemmer wordt bepaald, en bereken die tijd.
Hoever stroomafwaarts komt de zwemmer aan?
Bepaal met een rechthoekige driehoek de snelheid van de zwemmer in het aardse stelsel en de lengte van de weg die hij over de grond werkelijk aflegt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.14.

1. De stroming duwt de zwemmer langs de rivier, niet erover heen: de twee bewegingen stellen zich onafhankelijk samen, en de voortgang naar de overkant verloopt met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , hoe groot de afdrijving ook is. Oversteektijd: $t = 60/1.2 = 50\,\mathrm{s}$ .

2. Afdrijving: $0.9 \times 50 = 45\,\mathrm{m}$ stroomafwaarts.

3. De snelheid in het aardse stelsel is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $1.2$ en $0.9$ : $v = \sqrt{1.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{2.25} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (een $3$ – $4$ – $5$ -driehoek, geschaald met $0.3$ ). Weglengte: $1.5 \times 50 = 75\,\mathrm{m}$ — of rechtstreeks $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\,\mathrm{m}$ .

Oefening 5.15 ★★★

De Aarde draait in één jaar ( $3.16 \times 10^{7}$ seconde) om de Zon langs een bijna-cirkel met straal $1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ .

Bereken de snelheid van de Aarde in het heliocentrische stelsel, in $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
Vergelijk die met de draaisnelheid van de evenaar uit Oefening 5.10.
Vanaf de Aarde gezien lijkt Mars af en toe stil te staan en een paar weken lang achteruit tussen de sterren te drijven. Leg in twee zinnen, met de woordenschat van dit hoofdstuk, uit waarom het heliocentrische stelsel het raadsel oplost.

Oplossing

Oplossing van Oefening 5.15.

1. $v = \frac{2\pi \times 1.50 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} = \frac{9.42 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

2. $30 / 0.46 \approx 65$ : de Aarde voert ons ongeveer vijfenzestig keer sneller om de Zon dan ze ons om haar eigen as draait.

3. In het geocentrische stelsel is de schijnbare weg van Mars een combinatie van zijn eigen baanbeweging en die van de Aarde, en wanneer de snellere Aarde Mars inhaalt loopt die combinatie een paar weken lang achteruit. In het heliocentrische stelsel draaien beide planeten eenvoudig met een gelijkmatig tempo om de Zon — de “achterwaartse lus” is geen beweging van Mars maar een artefact van het stelsel.

5.6 Probleem: Het rolpad, de rivier en de satelliet

Probleem 5.1

Weekendopgave — het rolpad, de rivier en de satelliet: wie beweegt, ten opzichte waarvan, en het uiteindelijke snelheidsrapport van de reiziger in zijn luie stoel

Een luchthaven, een veerpont en een helder stipje dat door de schemerhemel schuift: drie alledaagse taferelen, één vraag die drie keer wordt gesteld — wie beweegt, ten opzichte waarvan? Elk deel kiest zijn stelsel, rekent, en ziet het antwoord met het gezichtspunt meeveranderen; het slot telt op hoe snel jij op dit moment beweegt, terwijl je volmaakt stilzit.

Deel I — De wedloop op het rolpad. Een rolpad op een luchthaven is $90\,\mathrm{m}$ lang en loopt met $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Een reiziger loopt met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (ten opzichte van wat er onder zijn voeten ligt).

Hoe lang doet het rolpad erover om een stilstaande reiziger van het ene uiteinde naar het andere te brengen?
Hoe lang doet de reiziger erover als hij op de bewegende band meeloopt, in de richting ervan?
Hoe lang als hij naast het rolpad loopt, op de vaste vloer?
Een grappenmaker loopt verkeerd om over de band, met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte daarvan. Wat is zijn snelheid ten opzichte van de grond, en hoe lang doet hij erover om van het verre uiteinde terug bij de ingang te komen?
Een kind rent verkeerd om met precies $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de band. Beschrijf de beweging van het kind in het aardse stelsel, en noem het sportapparaat dat hier opnieuw wordt uitgevonden.
Vat de vragen 1–5 samen in een tabel met twee kolommen: de snelheid van elke bewegende persoon in het stelsel van de band en in het aardse stelsel. Welke kolom voelen de benen van de reizigers?

Deel II — De rivier. Een veerpont steekt een rivier van $120\,\mathrm{m}$ breed over. Haar snelheid ten opzichte van het water is $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; de stroming loopt met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De schipper houdt eerst recht op de overkant aan.

Hoe lang duurt de oversteek?
Hoever stroomafwaarts komt de pont aan?
Bereken met een rechthoekige driehoek de snelheid van de pont in het aardse stelsel en de lengte van haar baan in dat stelsel. (Er duikt een bekend drietal getallen op.)
Beschrijf de baan van de pont in het stelsel van het water en in het aardse stelsel. Wat is er hetzelfde aan, en wat verschilt?
Een zwemmer met een snelheid van $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van het water vertrekt van dezelfde oever en houdt, net als de pont, recht op de overkant aan. Hoe lang duurt de oversteek, en hoever stroomafwaarts komt de zwemmer aan? Bereken zijn snelheid in het aardse stelsel (opnieuw met een rechthoekige driehoek). Waarom drijft de tragere zwemmer verder af dan de pont?
Een boomstam drijft langs de pont. Geef zijn snelheid in het aardse stelsel en in het stelsel van het water. In welk stelsel “beweegt” de stam? Becommentarieer.

Deel III — De passage van de satelliet. In de schemering trekt het internationale ruimtestation in een paar minuten over de hemel. Het draait op een hoogte van $400\,\mathrm{km}$ ; de straal van de Aarde is $6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , en één omloop duurt $5.56 \times 10^{3}\,\mathrm{s}$ (ongeveer $93\,\mathrm{min}$ ).

In welk standaardstelsel is de beweging van het station het eenvoudigst? Bereken zijn snelheid in dat stelsel, in $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
Leg in twee zinnen uit waarom het aardse stelsel het station onhandig beschrijft — wat gebeurt er tussen de ene omloop en de volgende met zijn spoor over de grond?
Vergelijk de baansnelheid van het station met de draaisnelheid van de evenaar ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ): met welke factor is het station sneller?
Een geostationaire satelliet draait op een straal van $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ in precies één dag ( $8.64 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ ). Bereken zijn snelheid in het geocentrische stelsel en beschrijf daarna zijn beweging in het aardse stelsel. Verzoen de twee antwoorden in één zin.
In het geocentrische stelsel beschrijft de Maan in ongeveer $27$ dagen een bijna-cirkel om de Aarde. Schets in woorden haar baan in het heliocentrische stelsel over een paar maanden.

Deel IV — Wie beweegt?

“De Zon komt op in het oosten.” “De Aarde draait naar het oosten.” Noem het stelsel waarin elke zin de waarneming beschrijft, en leg uit waarom geen van beide fout is.
In één nuchtere alinea: wat deed het stelsel van Ptolemaeus goed, wat vereenvoudigde het stelsel van Copernicus (noem de achterwaartse lussen van Mars), en waarom gaat het moderne oordeel over handigheid en niet over de vraag welk stelsel waar is?
Het snelheidsrapport van de reiziger in zijn luie stoel. Je zit stil in een luie stoel dicht bij de evenaar. Geef je snelheid in het aardse stelsel, in het geocentrische stelsel ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) en in het heliocentrische stelsel ( $\approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). Bereken daarna de afstand die je in het heliocentrische stelsel aflegt tijdens een film van $90\,\mathrm{min}$ , en besluit de opgave met de moraal van dit hoofdstuk in één zin.

Oplossing

Oplossing van Probleem 5.1.

1. $t = 90/1.0 = 90\,\mathrm{s}$ .

2. Snelheid over de grond $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t = 90/2.5 = 36\,\mathrm{s}$ .

3. $t = 90/1.5 = 60\,\mathrm{s}$ .

4. $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de grond, tegen de richting van de band in: $t = 90/0.5 = 180\,\mathrm{s}$ — drie volle minuten stevig doorstappen.

5. Snelheid over de grond $1.0 - 1.0 = 0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : het kind rent zich in het zweet en komt nergens, in rust in het aardse stelsel terwijl het in het stelsel van de band sprint. Dat is een loopband.

6. Stelsel van de band / aards stelsel: stilstaande reiziger $0$ / $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; wandelaar met de band mee $1.5$ / $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; wandelaar op de vloer $0.5$ (in het stelsel van de band schuift de vloer naar achteren) / $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; grappenmaker $1.5$ / $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; kind $1.0$ / $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De benen van elke bewegende persoon voelen de kolom van het stelsel van wat er onder de voeten ligt — de kolom van de band voor wie op de band staat, de aardse kolom voor de wandelaar op de vloer: de inspanning is de loopsnelheid ten opzichte van de ondergrond.

7. De voortgang naar de overkant verloopt met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , wat de stroming ook doet: $t = 120/2.0 = 60\,\mathrm{s}$ .

8. Afdrijving: $1.5 \times 60 = 90\,\mathrm{m}$ stroomafwaarts.

9. Snelheid over de grond: schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $2.0$ en $1.5$ : $v = \sqrt{2.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Baanlengte: $2.5 \times 60 = 150\,\mathrm{m}$ — opnieuw het drietal $3$ – $4$ – $5$ , geschaald tot $90$ – $120$ – $150$ .

10. Stelsel van het water: een rechte lijn van $120\,\mathrm{m}$ , loodrecht op de oevers. Aards stelsel: ook een rechte lijn, maar schuin en $150\,\mathrm{m}$ lang. Dezelfde vorm (recht), een andere richting en een andere lengte: de baan hoort bij het stelsel, niet bij de pont.

11. De voortgang naar de overkant verloopt met $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dus $t = 120/1.0 = 120\,\mathrm{s}$ . Afdrijving: $1.5 \times 120 = 180\,\mathrm{m}$ — het dubbele van de $90\,\mathrm{m}$ van de pont. Snelheid over de grond: schuine zijde met rechthoekszijden $1.0$ en $1.5$ : $v = \sqrt{1.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{3.25} \approx 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De tragere zwemmer doet twee keer zo lang over de oversteek, dus krijgt dezelfde stroming twee keer zoveel tijd om hem mee te voeren.

12. Aards stelsel: de stam drijft mee met de $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ van de stroming. Stelsel van het water: hij is in rust en drijft met het water om hem heen mee. Of de stam “beweegt” heeft geen antwoord zonder stelsel — en dat is precies waar dit hoofdstuk over gaat.

13. Het geocentrische stelsel. Straal van de omloopbaan: $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , dus

v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \times 6.77 \times 10^{6}}{5.56 \times 10^{3}} \approx 7.65 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

14. Terwijl het station één omloop voltooit, draait de Aarde er ongeveer $23^\circ$ onderdoor, zodat het spoor over de grond bij elke passage naar het westen opschuift. In het aardse stelsel is de weg van het station een ingewikkelde golvende kromme die zich nooit precies herhaalt; in het geocentrische stelsel is het één vaste bijna-cirkel.

15. $7.65 / 0.46 \approx 17$ : het station gaat ruwweg zeventien keer sneller dan de draaiende evenaar, en daarom steekt het de hele hemel in enkele minuten over.

16. $v = \frac{2\pi \times 4.22 \times 10^{7}}{8.64 \times 10^{4}} \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ in het geocentrische stelsel. In het aardse stelsel is hij in rust, hangend boven één vast punt van de evenaar — hij draait in precies dezelfde tijd om de aardas als de grond zelf, zodat de twee bewegingen elkaar in het aardse stelsel opheffen. In rust én met $3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : allebei waar, elk in zijn eigen stelsel.

17. In het heliocentrische stelsel volgt de Maan in wezen de omloopbaan van de Aarde — een reusachtige bijna-cirkel om de Zon — met daar overheen een zachte slingering met de cyclus van $27\,\mathrm{dagen}$ . De invloed van de Zon overheerst zo sterk dat de weg altijd naar de Zon toe kromt; hij loopt nooit achterwaarts in een lus.

18. “De Zon komt op” is het verslag in het aardse stelsel, waarin de waarnemer in rust is en de Zon over de hemel trekt. “De Aarde draait” is het verslag in het geocentrische stelsel, waarin de richting naar de Zon vast ligt en de waarnemer naar het oosten om de as wordt meegevoerd. Ze beschrijven dezelfde waarneming; elk is juist in zijn eigen stelsel, en Propositie 5.4 zegt dat geen waarneming van de beweging alleen erover kan beslissen.

19. Het stelsel van Ptolemaeus, met de Aarde in het midden, gaf de dagelijkse beweging van de hemel vanzelf goed weer en voorspelde de standen van de planeten bruikbaar, maar alleen ten koste van lus op lus (epicykels) om de omzwervingen van elke planeet na te bootsen. Het stelsel van Copernicus, met de Zon in het midden, maakte van elke planeet een gelijkmatige bijna-cirkel en veranderde de achterwaartse lussen van Mars in een stelseleffect — de Aarde die een tragere loper aan de binnenbaan inhaalt. Het moderne oordeel is niet dat de Zon “echt” stilstaat (ook zij beweegt, om het middelpunt van de melkweg), maar dat stelsels gereedschap zijn: het heliocentrische maakt de beweging van de planeten onvergelijkbaar eenvoudiger, en eenvoud, niet waarheid, is waarvoor een stelsel dient.

20. Aards stelsel: $0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — in rust in de luie stoel. Geocentrisch stelsel: ongeveer $0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , meegevoerd om de aardas. Heliocentrisch stelsel: ongeveer $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , meegevoerd om de Zon. Tijdens een film van $90\,\mathrm{min}$ : $d = 3.0 \times 10^{4} \times 5400 \approx 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 160\,000\,\mathrm{km}$ — bijna de halve weg naar de Maan zonder de stoel te verlaten. Moraal: beweging is geen eigenschap van een lichaam maar van een lichaam plus een stelsel; kies het stelsel dat het verhaal eenvoudig maakt, en zeg altijd welk stelsel je gekozen hebt.