Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

30RC- en RL-kringen

Druk de ontspanner van een fototoestel half in: een dun gejank klimt twee seconden lang op, een lampje wordt groen — en pas dan wil de flitser afgaan, om in een milliseconde te dumpen wat hij twee seconden lang heeft verzameld. Dit hoofdstuk maakt kennis met de twee onderdelen die een schakeling een geheugen en een klok geven — de condensator en de spoel — en met de eerste differentiaalvergelijkingen van de natuurkunde, te controleren met de afgeleiden van dit jaar.

30.1 De condensator

Definitie 30.1 (Condensator en capaciteit)

Een condensator is een paar metalen platen die tegenover elkaar staan, gescheiden door een dunne isolator. Aangesloten op een bron nemen de platen tegengestelde ladingen $+q$ en $-q$ aan — een elektrisch veld vult de spleet (Hoofdstuk 14) — en de spanning $u$ over de platen is evenredig met de opgeslagen lading:

q = C\,u .

De constante $C$ is de capaciteit, in farad ( $\mathrm{F}$ ): $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ .

Voorbeeld 30.2 (Ordegrootten)

Eén farad is enorm — één coulomb geparkeerd per volt. De keramische condensatoren van radioschakelingen: $\mathrm{pF}$ tot $\mathrm{nF}$ ; de elektrolytische van voedingen en flitsers: $\text{µ}\mathrm{F}$ tot $\mathrm{mF}$ ; supercondensatoren: duizenden farad.

Propositie 30.3 (Stroom naar een condensator)

De stroom die op een plaat van een condensator aankomt, is het tempo waarmee haar lading groeit:

i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,

waarbij kleine letters de grootheden aangeven die met de tijd variëren ( $U$ en $I$ blijven constant, Hoofdstuk 12).

Bewijs. Stroom is lading die per seconde wordt geleverd (Definitie 12.1): over een krimpend interval is $i$ de afgeleide van $q$ ; en $q = Cu$ met constante $C$ geeft $C\,du/dt$ . ∎

Opmerking 30.4 (Twee gevolgen)

Is $u$ constant, dan is $i = 0$ : een geladen condensator laat geen gelijkstroom door. En $u$ kan nooit springen — een sprong zou een oneindige stroom vragen: de spanning van de condensator is het geheugen van de schakeling.

30.2 Een condensator laden: de RC-kring

Eén kring — bron $\mathcal{E}$ (Definitie 12.18), schakelaar, weerstand, lege condensator: sluit $K$ op $t = 0$ .

De RC-laadkring: door K te sluiten laat je de bron lading door R naar de platen van C duwen. — De RC-laadkring: door $K$ te sluiten laat je de bron lading door $R$ naar de platen van $C$ duwen.

Stelling 30.5 (Laadwet van de RC-kring)

Nadat de schakelaar sluit, voldoet de spanning over de condensator aan de volgende vergelijking, en volgt uit $u(0) = 0$ :

RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E}, \qquad u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC .

Bewijs. De spanningen langs de kring tellen op (Propositie 12.4): $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ op elk ogenblik; vul $i = C\,du/dt$ in (Propositie 30.3). Controleer nu de kandidaat: $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ , dus is $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) = \mathcal{E}$ , waar voor alle $t$ ; en $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$ . Dat geen andere kromme bij de vergelijking en de start past, wordt bewezen in de wiskundecursus over differentiaalvergelijkingen van dit jaar. ∎

Definitie 30.6 (Tijdconstante)

De tijdconstante van een RC-kring is $\tau = RC$ . Eenheden: $\Omega \times \mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — het eigen tempo van de schakeling.

Methode 30.7 ( $\tau$ van de kromme aflezen)

Drie gelijkwaardige aflezingen, rechtstreeks van een grafiek:

raaklijn in de oorsprong: $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , dus bereikt de beginraaklijn de asymptoot op $t = \tau$ ;
63%: $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx 0.63\,\mathcal{E}$ ;
95%: $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — in de praktijk geladen ( $5\tau$ : $99\%$ ).

Propositie 30.8 (Ontlading)

Een condensator die tot $U_0$ is geladen en alleen op een weerstand $R$ wordt gesloten, voldoet aan $RC\,du/dt + u = 0$ en volgt

u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC

— nog $37\%$ over op $\tau$ , $5\%$ op $3\tau$ .

Bewijs. Dezelfde kringwet, zonder bron; opnieuw invullen: $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$ , met $u(0) = U_0$ . ∎

Laden (blauw, van u = 0 naar E) en ontladen (rood, van U_0 = E). Beide beginraaklijnen treffen hun asymptoot op t =; 63\% klaar op , 95\% op 3. — Laden (blauw, van $u = 0$ naar $\mathcal{E}$ ) en ontladen (rood, van $U_0 = \mathcal{E}$ ). Beide beginraaklijnen treffen hun asymptoot op $t = \tau$ ; $63\%$ klaar op $\tau$ , $95\%$ op $3\tau$ .

Voorbeeld 30.9 (De getallen van een flitser)

Een fotoflitser laadt $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ door $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ : $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ , dus wacht het lampje “gereed” — afgesteld om bij $95\%$ om te slaan — $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$ : het gejank van het wachten. Afgevuurd door de schamele $0.50\,\Omega$ van de flitsbuis loopt dezelfde condensator leeg met $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$ : er tweeduizend keer sneller uit dan erin.

30.3 De spoel: zelfinductie en de RL-kring

Definitie 30.10 (Spoel en zelfinductie)

Een spoel is een wikkeling draad: haar stroom rijgt haar eigen windingen aan een magnetisch veld (Hoofdstuk 15); zodra dat verandert, verschijnt er een spanning over de spoel:

u = L\,\frac{di}{dt} .

De constante $L$ is de zelfinductie, in henry ( $\mathrm{H}$ ): $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ .

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 30.11 (De spoel verzet zich tegen verandering)

Waarom een veranderende stroom een spanning maakt — inductie — wordt in de universitaire volumes afgeleid; hier nemen we de wet en haar karakter aan: de spoel verzet zich tegen veranderingen van haar stroom. Spiegelbeelden: de $u$ van een condensator kan niet springen, de $i$ van een spoel evenmin.

De RL-kring: nadat K sluit, laat de spoel de stroom alleen in haar eigen tempo = L/R klimmen. — De RL-kring: nadat $K$ sluit, laat de spoel de stroom alleen in haar eigen tempo $\tau = L/R$ klimmen.

Propositie 30.12 (Stroomopbouw in een RL-kring)

Door de schakelaar te sluiten op een bron $\mathcal{E}$ , een weerstand $R$ en een spoel $L$ in serie krijg je $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$ , oftewel

\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R}, \qquad\text{met als oplossing}\quad i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R} .

Bewijs. Opnieuw de kringwet; en het is dezelfde vergelijking als in Stelling 30.5 met $u \to i$ , $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$ en $RC \to L/R$ — dezelfde substitutie controleert de oplossing, en elke aflezing uit Methode 30.7 draagt over. ∎

Voorbeeld 30.13 (Een elektromagneet wordt wakker)

Een relaisspoel met $L = 0.30\,\mathrm{H}$ en $R = 6.0\,\Omega$ op een voeding van $12\,\mathrm{V}$ : eindstroom $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$ , in het tempo $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — wakker in $3\tau \approx 0.15\,\mathrm{s}$ .

Opmerking 30.14 (De vonk bij het openen)

Open een schakelaar op een spoel die stroom voert en $i$ moet in een fractie van een milliseconde naar nul storten: $di/dt$ is reusachtig en $u = L\,di/dt$ haalt honderden of duizenden volt — er springt een vonk over het contact. De bobine van een auto doet dat met opzet, duizenden keren per minuut.

30.4 Opgeslagen energie

Propositie 30.15 (Energie in een condensator, energie in een spoel)

Een condensator $C$ die tot spanning $u$ is geladen en een spoel $L$ die een stroom $i$ voert, slaan

E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C}, \qquad E_L = \tfrac12\,L i^2

op.

Bewijs. Een kleine lading $dq$ neerzetten op platen die al op spanning $u$ staan kost $u\,dq$ (Definitie 12.3); door de kosten te stapelen wordt het totaal de oppervlakte onder de rechte $u = q/C$ — de driehoek hieronder — dus $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$ . Dezelfde driehoek voor de spoel ( $i$ met $di$ verhogen kost $Li\,di$ ) geeft $E_L = \tfrac12 Li^2$ . ∎

Elke schijf dq kost u\,dq; de hele lading kost de oppervlakte van de driehoek, E_C = 1/2 q_0 u_0 — de eerste coulomb stapt in bij lage spanning. — Elke schijf $dq$ kost $u\,dq$ ; de hele lading kost de oppervlakte van de driehoek, $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — de eerste coulomb stapt in bij lage spanning.

Voorbeeld 30.16 (Ordegrootten van energie)

De flitscondensator van Voorbeeld 30.9: $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ . Een supercondensator van $3000\,\mathrm{F}$ op $2.7\,\mathrm{V}$ : $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — zoveel als een AA-batterij. Een spoel van $10\,\mathrm{mH}$ bij $10\,\mathrm{A}$ : $0.50\,\mathrm{J}$ . Minder dan batterijen bevatten — maar vrij te geven in een milliseconde.

Opmerking 30.17 (Waar de twee tijdmeters voor dienen)

Langzaam erin, snel eruit: dat drijft de cameraflitser en de defibrillator aan. De vertraging $\tau = RC$ laat tijdschakelingen lopen: intervalruitenwissers, knipperende bakens, trappenhuisverlichting. Een condensator over een voeding vlakt de spanning af ( $u$ kan niet springen); een spoel in serie vlakt de stroom af ( $i$ kan niet springen). En spoel plus condensator vormen samen een oscillator (Hoofdstuk 31).

30.5 Oefeningen

Oefening 30.1 ★

Een condensator van $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ wordt tot $12\,\mathrm{V}$ geladen: welke lading houdt hij vast? Welke spanning zou $2.0\,\mathrm{mC}$ op $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ zetten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.1.

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$ ; $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$ .

Oefening 30.2 ★

Verdeel $47\,\mathrm{pF}$ , $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ en $10\,\mathrm{F}$ over een afvlakcondensator van een voeding, een radio-afstemming en een supercondensator; bereken de energie van de laatste bij $2.7\,\mathrm{V}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.2.

$47\,\mathrm{pF}$ : de radio-afstemming; $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ : de afvlakcondensator; $10\,\mathrm{F}$ : de supercondensator. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$ .

Oefening 30.3 ★

De spanning over een condensator van $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ stijgt gestaag van $0$ naar $5.0\,\mathrm{V}$ in $10\,\mathrm{ms}$ : welke stroom loopt er binnen? En welke stroom zodra de spanning stilstaat, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.3.

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 = 0.11\,\mathrm{A}$ . Daarna is $i = C\,du/dt = 0$ : een geladen condensator is een onderbreking — geen gelijkstroom.

Oefening 30.4 ★

Bereken $\tau$ voor $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ en $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ , en daarna voor $L = 0.10\,\mathrm{H}$ en $R = 50\,\Omega$ . Ga eenheid voor eenheid na dat beide combinaties seconden opleveren.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.4.

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$ ; $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$ . En $\Omega\,\mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ ; $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$ .

Oefening 30.5 ★

Een condensator laadt naar $6.0\,\mathrm{V}$ toe en passeert $3.8\,\mathrm{V}$ op $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . Lees de tijdconstante af; wanneer is het laden voor $95\%$ klaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.5.

$3.8/6.0 = 0.63$ , dus $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$ ; $95\%$ op $3\tau = 6.0\,\mathrm{s}$ .

Oefening 30.6 ★★

Een RC-kring: $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ , $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Bereken $\tau$ , $u(\tau)$ , $u(3\tau)$ en de stroom op het ogenblik dat de schakelaar sluit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.6.

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$ ; $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$ ; $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ (bij een lege condensator staat heel $\mathcal{E}$ over $R$ ).

Oefening 30.7 ★★

Ga door invullen na dat $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ aan $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ voldoet; wat leggen haar waarde in $t = 0$ en haar limiet voor grote $t$ natuurkundig vast?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.7.

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ , dus $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ . $u(0) = 0$ : de condensator begint leeg; $u \to \mathcal{E}$ : volledig geladen, de stroom is gestopt.

Oefening 30.8 ★★

Een condensator van $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ die tot $12\,\mathrm{V}$ is geladen, ontlaadt over $47\,\mathrm{k}\Omega$ : bereken $\tau$ , $u(\tau)$ , en de tijd waarna $u$ onder $0.60\,\mathrm{V}$ zakt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.8.

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$ ; $0.60\,\mathrm{V}$ is $5\%$ , bereikt op $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$ .

Oefening 30.9 ★★

De stroom in een spoel van $0.50\,\mathrm{H}$ klimt gestaag van $0$ naar $2.0\,\mathrm{A}$ in $40\,\mathrm{ms}$ : welke spanning verschijnt eroverheen? Waarom vonkt met $u = L\,di/dt$ juist het openen van een schakelaar op een spoel, en niet het sluiten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.9.

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$ . Bij het sluiten klimt $i$ in het eigen tempo van de kring en blijft $di/dt$ bescheiden; het openen dwingt $i$ vrijwel ogenblikkelijk naar nul, $di/dt$ is reusachtig en $u$ haalt vonkwaarden.

Oefening 30.10 ★★

Het relais van Voorbeeld 30.13: ga door invullen na dat $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ aan $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$ voldoet, en bereken daarna $i(\tau)$ en $i(3\tau)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.10.

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$ , dus $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}$ . $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$ ; $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$ .

Oefening 30.11 ★★

Toon aan dat $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , en leid daaruit af dat de raaklijn in de oorsprong de asymptoot treft op $t = \tau$ . Op een opgenomen kromme geeft dat $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$ , met $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ : bepaal $C$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.11.

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ , dus $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ : de raaklijn $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ bereikt $\mathcal{E}$ op $t = \tau$ . En $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

Oefening 30.12 ★★★

Rangschik op opgeslagen energie, en bereken elk: een supercondensator van $3000\,\mathrm{F}$ op $2.7\,\mathrm{V}$ ; een flitscondensator van $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ op $300\,\mathrm{V}$ ; een spoel van $10\,\mathrm{mH}$ bij $10\,\mathrm{A}$ ; een AA-batterij ( $E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ). Wat bieden de eerste drie dat de batterij niet kan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.12.

Supercondensator $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; flitscondensator $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ ; spoel $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$ . Batterij ( $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ) $>$ supercondensator $\gg$ flitscondensator $\gg$ spoel — maar alle drie kunnen hun energie in milliseconden dumpen: vermogen, geen energie.

Oefening 30.13 ★★★

Een trappenhuisschakelaar laat het licht branden zolang $u < 0.63\,\mathcal{E}$ over zijn ladende condensator staat, en gaat uit op $t = \tau$ . Ontwerp het licht voor $5.0\,\mathrm{s}$ met $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ : welke $R$ ? Toon voor een drempel $0.50\,\mathcal{E}$ aan dat de vertraging $\tau \ln 2$ is en bereken haar.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.13.

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$ , dus $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$ . Uit $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ volgt $e^{-t/\tau} = 0.50$ , dus $t = \tau\ln 2 \approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$ .

Oefening 30.14 ★★★

Een condensator van $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ vlakt een voeding af: tussen twee oplaadmomenten voedt hij in zijn eentje een belasting die $0.50\,\mathrm{A}$ trekt gedurende $10\,\mathrm{ms}$ . Bereken uit $i = C\,du/dt$ de spanningsdip, en daarna de capaciteit die hem onder $0.50\,\mathrm{V}$ houdt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.14.

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx 2.3\,\mathrm{V}$ . Nodig is $C \geq i\,\Delta t/\Delta u = 5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$ .

Oefening 30.15 ★★★

Een bobine met $L = 0.80\,\mathrm{H}$ voert $2.0\,\mathrm{A}$ wanneer de onderbreker haar in ongeveer $1.0\,\mathrm{ms}$ afsnijdt. Schat de spanning over de spoel tijdens het afsnijden en de energie van de vonk; waarom geeft een trage onderbreking geen vonk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 30.15.

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} = 1.6\,\mathrm{kV}$ ; $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 = 1.6\,\mathrm{J}$ . Snijd je langzaam af, dan blijft $di/dt$ klein en blijft $u$ enkele volt: geen vonk.

30.6 Probleem: De cameraflitser

Probleem 30.1

Weekendopgave — de cameraflitser: twee seconden gejank, een milliseconde glorie, en de neef aan de muur die harten herstart — één exponentiële functie stuurt ze allemaal

Een compacte flitser slaat energie op in een condensator $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ , geladen door $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ vanuit een omvormer die als een ideale bron $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$ wordt gemodelleerd; het lampje “gereed” slaat om bij $95\%$ van de volle spanning. Bij het afvuren ziet de condensator alleen de flitsbuis, $R_f = 0.50\,\Omega$ . Gegevens: een AA-cel levert $1.5\,\mathrm{V}$ en $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ ; $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

Deel I — Het reservoir.

Bereken de lading op de condensator bij $300\,\mathrm{V}$ .
Hoeveel elementaire ladingen is dat?
Bereken de opgeslagen energie $E_C$ .
De AA-cel bevat $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ , dus ongeveer $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Hoeveel keer de energie van de condensator is dat?
Waarom dan toch de moeite van de condensator? Eén zin, met het woord “vermogen”.

Deel II — Het wachten op groen.

Schrijf de kringwet op en maak er de differentiaalvergelijking voor $u(t)$ van.
Ga door invullen na dat $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ haar oplost, startend vanaf $u(0) = 0$ .
Bereken de tijdconstante $\tau$ .
Na hoeveel tijd springt het lampje op groen, en bij welke spanning? Herken het gejank van twee seconden.
Bereken de beginlaadstroom; waarom sterft die daarna weg?

Deel III — De milliseconde glorie.

Schrijf de ontlaadwet $u(t)$ door de buis op en bereken de nieuwe tijdconstante $\tau'$ .
Bereken de piekstroom door de buis.
Bereken het piekvermogen; vergelijk het met een waterkoker van $2.2\,\mathrm{kW}$ .
Beschouw de flits als voorbij op $3\tau'$ en geef haar duur en haar gemiddelde vermogen.
Neem de verhouding van laadtijd tot flitstijd: dezelfde condensator, dezelfde lading — wat is er veranderd, en wat maakt dat van een condensator: een energietank of een vermogenshefboom?

Deel IV — De neef aan de muur. Een defibrillator moet $E_C = 200\,\mathrm{J}$ leveren bij $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$ ; borstkas en peddels bieden ongeveer $50\,\Omega$ .

Bereken de vereiste capaciteit.
Bereken de opgeslagen lading.
Bereken de tijdconstante en de duur ( $3\tau$ ) van de schok; vergelijk met de flitser.
Bereken de piekstroom en het piekvermogen in de patiënt.
De laadschakeling moet het toestel in $6.0\,\mathrm{s}$ gereed ( $95\%$ ) maken: bepaal de vereiste laadweerstand en de beginlaadstroom — de getallen die een ontwerper zou bestellen.

Oplossing

Oplossing van Probleem 30.1.

1. $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$ .

2. $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$ .

3. $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ .

4. $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ keer.

5. De cel slaat volop op maar levert traag; de condensator maakt van bescheiden energie een enorm vermogen.

6. $\mathcal{E} = Ri + u$ met $i = C\,du/dt$ : $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ .

7. $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ : $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ voor alle $t$ , en $u(0) = 0$ .

8. $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ .

9. Op $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$ is $u = 0.95 \times 300 = 285\,\mathrm{V}$ — het gejank van twee seconden.

10. $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$ ; naarmate $u$ klimt, krimpt de rest $\mathcal{E} - u$ over $R$ , dus sterft $i = (\mathcal{E}-u)/R$ weg.

11. $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ met $\tau' = R_f C = 0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$ .

12. $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$ .

13. $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — zo’n $80$ waterkokers tegelijk.

14. Duur $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$ ; gemiddeld vermogen $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$ .

15. $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$ . Alleen de weerstand veranderde ( $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ erin, $0.50\,\Omega$ eruit): een vermogenshefboom.

16. $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} = 180\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

17. $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx 0.27\,\mathrm{C}$ .

18. $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$ , duur $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — zo’n twintig keer de flits.

19. $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$ ; $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$ .

20. Uit $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ volgt $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$ , dus $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ en $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — gereed in zes seconden, op een tiende ampère.