Physics · Boek 2 · Grades 10–12

Natuurkunde bovenbouw

Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

35Speciale relativiteit: tijddilatatie

Elke gps-satelliet draagt een atoomklok die tot op één seconde in drie miljoen jaar klopt — en vóór de lancering ontstemmen ingenieurs haar met opzet: eerlijk gelaten zou ze per dag 38 miljoenste van een seconde voorlopen, en morgenavond zou je telefoon je elf kilometer van je werkelijke plaats zetten. Het ligt niet aan de klok — de tijd zelf tikt anders voor wie beweegt en wie stilstaat: dit hoofdstuk volgt Einstein van één koppig feit naar die conclusie.

35.1 Eén snelheid weigert op te tellen

Snelheden hangen van het stelsel af en stellen zich samen door optelling (Hoofdstuk 5): een reiziger die met 4 km/h4\,\mathrm{km}/\mathrm{h} naar de kop van een trein van 300 km/h300\,\mathrm{km}/\mathrm{h} loopt, passeert de waarnemer langs het spoor met 304 km/h304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Definitie 35.1 (Traagheidsstelsel)

Een traagheidsstelsel is een referentiestelsel (Hoofdstuk 5) waarin een lichaam zonder kracht een constante snelheid houdt: de grond, bij benadering, en elk stelsel dat er eenparig rechtlijnig ten opzichte van beweegt.

Drijf de regel tot het uiterste: de bundel van de koplamp van de trein zou de waarnemer op de grond met c+300 km/hc + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h} moeten passeren. In 1887 vergeleken Michelson en Morley de lichtsnelheid langs en dwars op de vaart van 30 km/s30\,\mathrm{km}/\mathrm{s} waarmee de Aarde om de Zon snelt, op jacht naar zulke verschillen; tot in verfijnde nauwkeurigheid vonden ze er geen — dezelfde cc in elke richting, in elk seizoen. Einstein geloofde in 1905 het experiment en bouwde tijd en ruimte eromheen opnieuw op, op twee postulaten die naar hun gevolgen worden beoordeeld — en die nu een eeuw lang zonder één enkele mislukking zijn getoetst.

Stelling 35.2 (De postulaten van de speciale relativiteit)

  1. Relativiteitsbeginsel: de natuurwetten hebben in elk traagheidsstelsel dezelfde vorm; geen enkel stelsel is “echt in rust”.
  2. Onveranderlijkheid van cc: licht in vacuüm reist in elk traagheidsstelsel met c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, hoe de bron of de waarnemer ook beweegt.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

35.2 Afscheid van “hetzelfde ogenblik”

Propositie 35.3 (Relativiteit van de gelijktijdigheid)

Twee gebeurtenissen die in het ene traagheidsstelsel gelijktijdig zijn, zijn dat in het algemeen niet in een ander: “nu, overal” hangt van het stelsel af.

Bewijs. De trein van Einstein. Twee bliksemschichten slaan in op de twee uiteinden van een rijdende trein en schroeien het spoor. De waarnemer MM op het perron, midden tussen de schroeiplekken, ontvangt de twee flitsen samen; elk legde dezelfde afstand met dezelfde snelheid cc af, dus waren de inslagen gelijktijdig. De reiziger M′M', midden in de trein, rijdt naar de flits van de kop toe, die hem het eerst bereikt; maar ook in zijn stelsel legden beide flitsen gelijke afstanden af (een halve trein) met dezelfde snelheid cc — het tweede postulaat! — dus gebeurde de inslag aan de kop eerder. Elk oordeel is juist in zijn eigen stelsel; het meningsverschil, voor een trein enkele nanoseconden, is de reden dat niemand het had opgemerkt. ∎

De trein van Einstein: de flitsen van A en B bereiken M samen; M' rijdt de flits van B tegemoet, ontmoet die het eerst — en concludeert dat daar het eerst is ingeslagen.
De trein van Einstein: de flitsen van AA en BB bereiken MM samen; M′M' rijdt de flits van BB tegemoet, ontmoet die het eerst — en concludeert dat daar het eerst is ingeslagen.

35.3 De lichtklok en de factor γ\gamma

Definitie 35.4 (Gebeurtenis, eigentijd)

Een gebeurtenis is iets wat op één plaats en op één ogenblik gebeurt — een tik, een flits, een verval. Wanneer één en dezelfde klok bij twee gebeurtenissen aanwezig is, is het interval dat zij ertussen aanwijst de eigentijd Δt0\Delta t_0. Een stelsel waarin die klok beweegt, meet in het algemeen een ander interval Δt\Delta t.

Stelling 35.5 (Tijddilatatie)

Van een klok die met constante snelheid vv door een traagheidsstelsel beweegt, wordt daar gemeten dat ze achterloopt: tussen twee gebeurtenissen bij de klok geldt

Δt=γ Δt0,γ=11−v2/c2≥1.\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .

Bewijs. Bouw de eenvoudigst denkbare klok: twee spiegels op een afstand LL tegenover elkaar, met een foton dat ertussen kaatst; één heen-en-terugreis is één tik, en in rust duurt een tik Δt0=2L/c\Delta t_0 = 2L/c. Schroef de klok nu vast op een schip dat met snelheid vv voorbijvaart, met de spiegels loodrecht op de beweging, en klok één tik vanaf de grond: terwijl het foton klimt, glijden de spiegels opzij, dus vliegt het foton een schuine baan — twee bewegingen tegelijk, zoals bij het projectiel van Hoofdstuk 24. Duurt de tik Δt\Delta t, dan schuift elke halve tik v Δt/2v\,\Delta t/2 horizontaal op en LL verticaal; en — de cruciale stap — het tweede postulaat legt de snelheid van het foton ten opzichte van de grond vast op cc, dus meet de schuine halve baan c Δt/2c\,\Delta t/2. Pythagoras:

(c Δt2) ⁣2=L2+(v Δt2) ⁣2  ⟹  Δt=2L/c1−v2/c2=γ Δt0.\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} \;\Longrightarrow\; \Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .

En elke klok die ernaast meereist — polshorloge, hartslag, vervallende kern — moet in de pas blijven, anders zou de vergelijking de beweging van het schip verraden en het eerste postulaat schenden. ∎

De lichtklok. In rust klimt het foton over L; vanaf de grond vliegt het met dezelfde c over de schuine zijde — dus moet de tik langer duren. De lichtklok. In rust klimt het foton over L; vanaf de grond vliegt het met dezelfde c over de schuine zijde — dus moet de tik langer duren.
De lichtklok. In rust klimt het foton over LL; vanaf de grond vliegt het met dezelfde cc over de schuine zijde — dus moet de tik langer duren.

Voorbeeld 35.6 (Gamma in getallen)

v/cv/c0.010.10.50.80.90.990.999
γ\gamma1.000051.0051.1551.6672.2947.0922.4

Bladzijden lang gebeurt er niets, en dan alles: γ\gamma blijft tot een derde van de lichtsnelheid tegen 11 aan liggen, passeert 22 rond 0.9c0.9c en explodeert zodra v→cv \to c.

= 1/√1 - v2/c2: bij alledaagse snelheden niet van 1 te onderscheiden, en onbegrensd groeiend bij de asymptoot v = c — de snelheid die geen enkel lichaam met massa haalt.
γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}: bij alledaagse snelheden niet van 11 te onderscheiden, en onbegrensd groeiend bij de asymptoot v=cv = c — de snelheid die geen enkel lichaam met massa haalt.

Opmerking 35.7 (Waarom het dagelijks leven het nooit merkte)

Voor v≪cv \ll c schrijf je x=v2/c2x = v^2/c^2: omdat (1−x)(1+x)≈1(1-x)(1+x) \approx 1 en (1+x/2)2≈1+x(1 + x/2)^2 \approx 1 + x, krijg je γ≈1+v2/(2c2)\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2). Een auto op 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} heeft γ−1≈7×10−15\gamma - 1 \approx 7 \times 10^{-15} (één seconde verloren per vier miljoen jaar rijden); een straalvliegtuig haalt 3.5×10−133.5 \times 10^{-13}, één seconde per negentigduizend jaar in de lucht. Onze klokken waren eenvoudigweg te grof.

35.4 Het oordeel van het experiment

Voorbeeld 35.8 (Muonen halen de grond)

Kosmische straling die de hoge atmosfeer treft, maakt muonen — kortlevende deeltjes met eigenlevensduur Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} — op zo’n 15 km15\,\mathrm{km} hoogte, met bijna cc. Zonder relativiteit legt een muon per levensduur c Δt0≈660 mc\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m} af: de afdaling kost zo’n 2323 levensduren, en de overlevende fractie e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10} zou muonen op zeeniveau verwaarloosbaar zeldzaam moeten maken. En toch tellen detectoren er ongeveer één per vierkante centimeter per minuut. De tijddilatatie lost het op: aankomend met γ≈30\gamma \approx 30 leven de muonen op onze klokken 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s} — een dracht van ≈20 km\approx 20\,\mathrm{km}, de hele atmosfeer.

De reis van het muon: één klassieke levensduur dooft 660\, m onder de geboortehoogte uit; de opgerekte levensduur overspant de atmosfeer.
De reis van het muon: één klassieke levensduur dooft 660 m660\,\mathrm{m} onder de geboortehoogte uit; de opgerekte levensduur overspant de atmosfeer.

De bevestigingen stapelen zich op. In 1971 vlogen Hafele en Keating cesiumatoomklokken (Hoofdstuk 28) met lijnvliegtuigen de wereld rond; bij de landing weken ze precies de voorspelde fracties van een microseconde van de grondklokken af. Versnellers rekenen dagelijks op de dilatatie: hun deeltjes, opgejaagd tot γ\gamma in de duizenden, overleven rondes die ze klassiek nooit zouden kunnen voltooien. En gps is een lopend experiment met een prijskaartje.

Opmerking 35.9 (De relativiteitsrekening van gps)

Een gps-satelliet draait met ongeveer 3.9 km/s3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}, dus vertraagt de speciale relativiteit zijn klok met zo’n 7 µs7\,\text{µ}\mathrm{s} per dag. De zwaartekracht, zwakker op die hoogte, werkt de andere kant op en wint: de algemene relativiteit (de theorie van Einstein over de gravitatie, verteld in de universitaire volumes) versnelt haar met ongeveer 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} per dag; netto 38 µs38\,\text{µ}\mathrm{s} per dag voor. Plaatsbepaling rekent aflezingen van klokken met de snelheid cc naar afstanden om: een ongecorrigeerde dag zou de plaatsen over c×38 µs≈11 kmc \times 38\,\text{µ}\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{km} uitsmeren — vandaar de ontstemde klokken uit de openingsalinea.

Propositie 35.10 (Lengtecontractie)

Van een lichaam met lengte L0L_0 in zijn ruststelsel wordt in een stelsel waarin het met snelheid vv beweegt een kortere lengte gemeten, langs zijn bewegingsrichting: L=L0/γL = L_0/\gamma.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 35.11 (Het eigen verhaal van het muon)

De lengtecontractie is de keerzijde van de tijddilatatie (eerlijk afgeleid in de universitaire volumes): de klok van het muon tikt in zijn eigen stelsel gewoon, maar de atmosfeer die op hem af snelt, is samengetrokken tot 15 km/30=500 m15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}, ruim binnen 2.2 µs2.2\,\text{µ}\mathrm{s} doorkruist — beide stelsels zijn het erover eens dat het muon de grond haalt.

35.5 Massa, energie en de klassieke wereld terug

Stelling 35.12 (Equivalentie van massa en energie)

Een lichaam met massa mm bezit, alleen al door zijn massa, de energie

E=mc2.E = m c^2 .

Massa is een geconcentreerde vorm van energie; energie heeft omgekeerd massa.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 35.13 (Waar je haar bent tegengekomen)

Dit is het grootboek achter de kernenergie (Hoofdstuk 33): het massadefect van een reactie, maal c2c^2, is de vrijgekomen energie. Eén gram massa is 9.0×1013 J9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J} — een volle dag productie van een grote centrale. De eerlijke afleiding hoort thuis in de universitaire volumes; de reactoren en de sterren draaien er hoe dan ook op.

Opmerking 35.14 (Newton had geen ongelijk)

Neem v≪cv \ll c: γ→1\gamma \to 1, de tijden vallen samen, de lengten trekken niet meer samen, de gelijktijdigheid wordt absoluut — de mechanica van de afgelopen drie jaar komt ongeschonden terug, als de limiet bij lage snelheid. De relativiteit heeft Newton niet gesloopt; ze heeft de grens van zijn rijk getrokken. Zo groeit de natuurkunde: door theorieën te verfijnen, waarbij elke nieuwe de oude als grensgeval teruggeeft.

35.6 Oefeningen

Oefening 35.1 ★

Bereken γ\gamma, tot op drie significante cijfers, voor v=0.1cv = 0.1c, 0.6c0.6c, 0.8c0.8c en 0.995c0.995c.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.1.

γ=1/1−(v/c)2\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}: 1.011.01 (0.1c0.1c); 1.251.25 (0.6c0.6c); 1.671.67 (0.8c0.8c); 10.010.0 (0.995c0.995c).

Oefening 35.2 ★

Een schip vaart met 0.6c0.6c; zijn metronoom slaat volgens de scheepsklok elke 10.0 s10.0\,\mathrm{s}. Welk interval meet de grond? Welke van beide is de eigentijd, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.2.

γ=1.25\gamma = 1.25, dus meet de grond 1.25×10.0=12.5 s1.25 \times 10.0 = 12.5\,\mathrm{s}. De 10.0 s10.0\,\mathrm{s} van het schip is de eigentijd: de metronoom (één klok) is bij beide slagen aanwezig.

Oefening 35.3 ★

Bij welke snelheid (als fractie van cc) is γ=2\gamma = 2? En γ=10\gamma = 10?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.3.

v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}: γ=2\gamma = 2 geeft v=0.866cv = 0.866c; γ=10\gamma = 10 geeft v=0.995cv = 0.995c.

Oefening 35.4 ★

Een auto rijdt 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}. Bereken v/cv/c en daarna γ−1\gamma - 1 (Opmerking 35.7); hoe lang moet hij rijden voordat zijn klok 1 s1\,\mathrm{s} achterloopt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.4.

v=36.1 m/sv = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, v/c=1.2×10−7v/c = 1.2 \times 10^{-7}; γ−1≈(1.2×10−7)2/2≈7.2×10−15\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}. Eén seconde verloren na 1/7.2×10−15≈1.4×1014 s1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} — zo’n vier miljoen jaar rijden.

Oefening 35.5 ★

Leg in het treinexperiment van Einstein uit — met vermelding van het gebruikte postulaat — waarom de reiziger concludeert dat de inslag aan de kop het eerst kwam, en waarom geen van beide waarnemers zich vergist.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.5.

De reiziger rijdt de flits van de kop tegemoet, dus bereikt die hem het eerst; volgens het tweede postulaat leggen beide flitsen in zijn stelsel met dezelfde cc de gelijke halve treinlengten af, dus betekent een eerdere aankomst een eerdere inslag. Gelijktijdigheid hangt van het stelsel af: elk oordeel klopt in zijn eigen stelsel.

Oefening 35.6 ★★

Geladen pionen leven Δt0=2.6×10−8 s\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}. Een bundel verlaat een versneller met 0.99c0.99c. Bereken γ\gamma, de levensduur in het laboratorium, de klassieke dracht v Δt0v\,\Delta t_0 en de werkelijke gemiddelde dracht.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.6.

γ=1/1−0.992=7.09\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09; levensduur in het laboratorium 7.09×2.6×10−8=1.8×10−7 s7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}. Klassieke dracht 0.99×3.00×108×2.6×10−8≈7.7 m0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m}; werkelijk 7.09×7.7≈55 m7.09 \times 7.7 \approx 55\,\mathrm{m}.

Oefening 35.7 ★★

Lees uit de kromme van γ\gamma de snelheden af waarbij γ=1.5\gamma = 1.5 en γ=3\gamma = 3 (controleer door te rekenen). Wat zegt de verticale asymptoot bij v=cv = c over het versnellen van een lichaam met massa?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.7.

γ=1.5\gamma = 1.5 bij v=c1−1/2.25≈0.75cv = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c; γ=3\gamma = 3 bij ≈0.94c\approx 0.94c. De asymptoot: γ\gamma (en de energie die elke extra snelheid kost) groeit onbegrensd zodra v→cv \to c — geen eindige inspanning brengt een lichaam met massa tot de lichtsnelheid.

Oefening 35.8 ★★

Een lichtklok heeft spiegels op L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m} van elkaar. Bereken haar tik in rust, en daarna haar tik zoals die vanaf de grond wordt gemeten wanneer ze met 0.8c0.8c voorbijvaart.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.8.

Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}; bij 0.8c0.8c is γ=5/3\gamma = 5/3, dus Δt=1.7×10−8 s\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

Oefening 35.9 ★★

Wie meet de eigentijd tussen: (a) twee tikken van een polshorloge — de drager of een voorbijganger? (b) de geboorte en het verval van een muon — het muon of het laboratorium? (c) het vertrek van de Aarde en de aankomst op Mars — de piloot of de vluchtleiding?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.9.

De eigentijd hoort bij de klok die bij beide gebeurtenissen aanwezig is: (a) de drager; (b) het muon; (c) de piloot — alleen het schip is zowel bij het vertrek als bij de aankomst.

Oefening 35.10 ★★

Het ruimtestation draait met 7.7 km/s7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}. Bereken γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2, en daarna hoeveel de klok van een astronaut na zes maanden (1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) achterloopt op een grondklok.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.10.

γ−1≈77002/(2×9.0×1016)≈3.3×10−10\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 3.3 \times 10^{-10}; over 1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s} loopt de astronaut 3.3×10−10×1.58×107≈5.2×10−3 s3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx 5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} achter — ongeveer vijf milliseconden jonger.

Oefening 35.11 ★★

Bereken de energie-inhoud E=mc2E = mc^2 van 1.0 g1.0\,\mathrm{g} materie. Vergelijk ze met de dagproductie van een centrale van 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW}, en met de kinetische energie van 8.5×105 J8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J} van een auto op 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.11.

E=1.0×10−3×(3.00×108)2=9.0×1013 JE = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}. Een centrale van 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW} levert per dag 1.0×109×86400≈8.6×1013 J1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx 8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J} — één gram is één dag van haar productie, en 9.0×1013/8.5×105≈1089.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8}: honderd miljoen te hard rijdende auto’s.

Oefening 35.12 ★★★

Toon uit γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} aan dat v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}; leid daaruit de snelheid van de muonen met γ=30\gamma = 30 af, tot op vijf significante cijfers in eenheden van cc.

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.12.

Kwadrateren en omkeren: γ2(1−v2/c2)=1\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1, dus v2/c2=1−1/γ2v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2, en dus v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}. Voor γ=30\gamma = 30: v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

Oefening 35.13 ★★★

Vertel de reis van het muon opnieuw vanuit zijn eigen stelsel: hoe dik is de atmosfeer bij γ=30\gamma = 30, hoe lang schuift ze met 0.99944c0.99944c voorbij, en past dat binnen één eigenlevensduur?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.13.

Samengetrokken dikte L=15 km/30=500 mL = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}; passeertijd 500/(0.99944×3.00×108)≈1.7×10−6 s<2.2 µs500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} < 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}. Beide stelsels zijn het erover eens dat het muon de grond haalt — het ene wijst een opgerekte levensduur aan, het andere een gekrompen atmosfeer.

Oefening 35.14 ★★★

Een lineaire versneller duwt elektronen tot γ=1.0×105\gamma = 1.0 \times 10^{5} door een buis van 3.2 km3.2\,\mathrm{km}. Hoe lang duurt de reis in het laboratorium? Hoe lang in het stelsel van het elektron, en hoe “lang” is de buis daar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.14.

Laboratorium: 3200/3.00×108≈1.1×10−5 s3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} (snelheid ≈c\approx c). Stelsel van het elektron: de buis is samengetrokken tot 3200/1.0×105=3.2 cm3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm}, doorkruist in 1.1×10−5/1.0×105≈1.1×10−10 s1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}.

Oefening 35.15 ★★★

Proxima Centauri ligt 4.24.2 lichtjaar ver (een lichtjaar is de afstand die het licht in een jaar aflegt). Een sonde reist ernaartoe met 0.9c0.9c: hoe lang duurt de reis op de kalender van de Aarde, en op de klok van de sonde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 35.15.

Aarde: 4.2/0.9≈4.7 jaar4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{jaar}. Met γ=1/1−0.81=2.29\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29 noteert de klok van de sonde 4.7/2.29≈2.0 jaar4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{jaar}.

35.7 Probleem: Het muon en de tweelingzus

Probleem 35.1

Weekendopgave — de reis van het muon en de tweelingzus van de astronaute: een deeltje dat zijn eigen klok overleeft, een lichtklok opnieuw gebouwd, een reizigster die jonger is dan haar tweelingzus, en de boekhouding die gps eerlijk houdt

Gegevens: eigenlevensduur van het muon Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}; muonen geboren op zo’n 15 km15\,\mathrm{km} hoogte, met bijna cc; flux op zeeniveau ongeveer één muon per cm2\mathrm{cm}^{2} per minuut; c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Deel I — De onmogelijke aankomst van het muon.

  1. Hoe ver reist een muon zonder relativiteit in één levensduur?
  2. Hoeveel levensduren kost de afdaling van 15 km15\,\mathrm{km} dan?
  3. Na nn levensduren overleeft een fractie e−n\mathrm{e}^{-n}: schat die, stel ze tegenover de gemeten flux, en vel in één zin je oordeel over de klassieke natuurkunde.
  4. Deze muonen komen in werkelijkheid met γ≈30\gamma \approx 30 aan. Bereken hun levensduur zoals die vanaf de grond wordt gemeten, en de dracht die daaruit volgt.
  5. Bereken hun snelheid met v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}, tot op vijf significante cijfers in eenheden van cc.

Deel II — De lichtklok, opnieuw gebouwd. Een lichtklok (L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m}) reist mee op een schip met v=0.6cv = 0.6c.

  1. Bereken de tik Δt0\Delta t_0 die aan boord wordt afgelezen.
  2. Vanaf de grond gezien duurt een tik Δt\Delta t: geef de horizontale verschuiving per halve tik, de verticale klim van het foton en — met vermelding van het postulaat dat haar vastlegt — de lengte van de schuine halve baan.
  3. Pas Pythagoras toe op de driehoek van de halve tik en los op naar Δt\Delta t; toon zo aan dat Δt=γ Δt0\Delta t = \gamma\,\Delta t_0.
  4. Bereken γ\gamma en Δt\Delta t in getallen.
  5. Welke waarnemer meet de eigentijd tussen twee tikken? Onderbouw met de definitie.

Deel III — De reizigster en haar tweelingzus. Een astronaute verlaat haar tweelingzus op Aarde voor een heen-en-terugreis met 0.8c0.8c; de klokken op Aarde klokken de hele reis op 10.0 jaar10.0\,\mathrm{jaar}.

  1. Bereken γ\gamma bij 0.8c0.8c (eerst als exacte breuk, daarna als decimaal getal).
  2. Hoeveel tijd verstrijkt er op de klok van de astronaute?
  3. Hoe ver weg lag het keerpunt (in het stelsel van de Aarde, in lichtjaar)?
  4. Hoe groot is het leeftijdsverschil bij de hereniging, en wie van beiden is jonger?
  5. “Maar beweging is relatief — de astronaute zou kunnen beweren dat de Aarde de reis maakte!” Weerleg dat bezwaar in één zin.

Deel IV — De rekening van gps. Een gps-satelliet draait op straal r=2.66×107 mr = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}, met omlooptijd T=12 hT = 12\,\mathrm{h}.

  1. Bereken zijn baansnelheid v=2πr/Tv = 2\pi r/T.
  2. Bereken γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2.
  3. Leid daaruit in microseconden af hoeveel de klok van de satelliet per dag (86 400 s86\,400\,\mathrm{s}) op de grondklokken achterloopt.
  4. Als alleen deze afwijking ongecorrigeerd bleef, dwalen de plaatsen met c×c \times (afwijking): bereken de fout na één dag.
  5. De zwaartekracht, zwakker op die hoogte, laat de klok voorlopen met 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} per dag (algemene relativiteit): bereken de netto-afwijking en de plaatsfout per dag in kilometer — het getal dat ingenieurs dwingt elke gps-klok te ontstemmen.
Oplossing

Oplossing van Probleem 35.1.

1. c Δt0=3.00×108×2.2×10−6≈660 mc\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx 660\,\mathrm{m}.

2. 15 000/660≈2315\,000/660 \approx 23 levensduren.

3. e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}: er zou minder dan één muon op tien miljard moeten aankomen, en toch is de flux één per cm2\mathrm{cm}^{2} per minuut — de hemel spreekt de klassieke natuurkunde botweg tegen.

4. Levensduur vanaf de grond 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}; dracht ≈3.00×108×6.6×10−5≈20 km>15 km\approx 3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5} \approx 20\,\mathrm{km} > 15\,\mathrm{km}: de aankomst is verklaard.

5. v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

6. Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

7. Horizontaal v Δt/2v\,\Delta t/2; verticaal LL; de schuine halve baan meet c Δt/2c\,\Delta t/2, omdat het tweede postulaat de snelheid van het foton ook in het stelsel van de grond op cc vastlegt.

8. (c Δt/2)2=L2+(v Δt/2)2(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2 geeft Δt2(c2−v2)=4L2\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2, dus Δt=(2L/c)/1−v2/c2=γ Δt0\Delta t = (2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0.

9. γ=1/1−0.36=1.25\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25; Δt=1.25×10−8 s\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

10. Die van het schip: zijn ene klok is bij beide tikken aanwezig en leest dus de eigentijd af; de grond heeft twee gelijkgezette klokken nodig.

11. γ=1/1−0.64=1/0.6=5/3≈1.67\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67.

12. 10.0/(5/3)=6.0 jaar10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{jaar}.

13. Heenreis 5.0 jaar5.0\,\mathrm{jaar} met 0.8c0.8c: 4.04.0 lichtjaar.

14. 10.0−6.0=4.0 jaar10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{jaar}: de astronaute is vier jaar jonger dan haar tweelingzus.

15. De situatie is niet symmetrisch: alleen de astronaute keert om — zij versnelt en wisselt van traagheidsstelsel, terwijl de tweelingzus op Aarde in één stelsel blijft — dus noteert alleen haar klok de kortere tijd.

16. v=2π×2.66×107/43 200≈3.9×103 m/sv = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

17. γ−1≈(3.87×103)2/(2×9.0×1016)≈8.3×10−11\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 8.3 \times 10^{-11}.

18. 8.3×10−11×86 400≈7.2×10−6 s=7.2 µs8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} per dag achter.

19. c×7.2×10−6≈2.2 kmc \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km} plaatsfout per dag.

20. Netto-afwijking 45−7.2≈38 µs45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s} per dag voor; fout c×38×10−6≈11 kmc \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km} per dag — de relativiteitsrekening die elke gps-klok vooruit betaalt, op de grond ontstemd zodat ze in een omloopbaan juist tikt.

Hier eindigt de natuurkunde van de school — niet de natuurkunde. In de universitaire volumes keert de mechanica terug, gewapend met analyse; elektriciteit en magnetisme onthullen zich als één bouwwerk waarin het licht, en de relativiteit zelf, zich al die tijd verstopt hielden; de kwantumwereld, in het vorige hoofdstuk kort gezien, wordt een werkende theorie van de materie. Elke theorie zal, net als de relativiteit, verplicht zijn terug te geven wat je nu weet, als grensgeval. Neem het mee: het is het deel dat niet meer verandert.