Physics · Boek 2 · Grades 10–12

Natuurkunde bovenbouw

Natuurkunde bovenbouw · Grades 10–12

33Kernenergie: splijting, fusie, E=mc2

Eén brandstoftablet ter grootte van een gummetje dekt de elektriciteit van een huishouden voor een jaar; dezelfde dienst met steenkool kost drie ton. Boven ons hoofd betaalt de Zon het daglicht door te verdwijnen — vier miljoen ton van zichzelf per seconde. Dit hoofdstuk opent het rekeningenboek achter beide koopjes: massa is zelf energie, en in de kernen (Hoofdstuk 19) wordt ze verzilverd.

33.1 Massa is energie

Stelling 33.1 (Equivalentie van massa en energie)

Een lichaam met massa mm bevat, alleen al door te bestaan, de energie

E=mc2,c=3.00×108 m/s.E = m c^2, \qquad c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Telkens wanneer een systeem massa Δm\Delta m verliest, geeft het de energie Δm c2\Delta m\, c^2 vrij — wat het mechanisme ook is.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 33.2 (Einstein, 1905)

Dit is de betrekking van Einstein, hier toegegeven; waar ze vandaan komt is de zaak van het hoofdstuk over de speciale relativiteit dat dit jaar afsluit (Hoofdstuk 35). Let op de koers: c2=9.00×1016 J/kgc^2 = 9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — een afrondingsfout aan massa is een fortuin aan energie.

Definitie 33.3 (Elektronvolt en atomaire massa-eenheid)

Twee eenheden op maat van de kern. De elektronvolt, de energie die een elektron wint door 1 V1\,\mathrm{V} te doorlopen (Hoofdstuk 12): 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}, 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J} — chemische bindingen verhandelen enkele eV\mathrm{eV}, kernreacties mega-elektronvolt. En de atomaire massa-eenheid, een twaalfde van de massa van een koolstof-12-atoom: 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, met energie-equivalent 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} — 1 u=931.5 MeV/c21\,\mathrm{u} = 931.5\,\mathrm{MeV}/c^2.

Voorbeeld 33.4 (Het slapende fortuin)

Eén kilogram van om het even wat is, volledig omgezet, 9.00×1016 J9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J} — drie jaar productie van een grote centrale (1 GW1\,\mathrm{GW}). Niemand merkte het vóór 1905, omdat de gewone natuurkunde massa nauwelijks aanraakt: een kilogram steenkool verbranden (3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}) maakt hem een derde microgram lichter. Kernen, zullen we zien, verschuiven één deel op duizend: nog altijd klein, maar een miljoen keer de chemie.

33.2 Het massadefect

Definitie 33.5 (Massadefect en bindingsenergie)

Weeg een kern ZAX{}^{A}_{Z}\mathrm{X} (massa mm), en weeg daarna haar ZZ protonen en A−ZA - Z neutronen apart: de delen zijn zwaarder dan het geheel. Het verschil

Δm=Z mp+(A−Z) mn−m>0,mp=1.007 28 u,  mn=1.008 66 u,\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m > 0, \qquad m_p = 1.007\,28\,\mathrm{u},\; m_n = 1.008\,66\,\mathrm{u},

is het massadefect; de bindingsenergie Eb=Δm c2E_b = \Delta m\,c^2 is de energie die nodig is om de kern uit elkaar te trekken tot vrije nucleonen — en evengoed de energie die vrijkomt wanneer ze wordt samengesteld. Een gebonden kern ligt onder haar delen.

Een energieladder: de gebonden kern ligt E_b onder haar gescheiden nucleonen — haar samenstellen geeft E_b vrij, haar ontmantelen kost het.
Een energieladder: de gebonden kern ligt EbE_b onder haar gescheiden nucleonen — haar samenstellen geeft EbE_b vrij, haar ontmantelen kost het.

Voorbeeld 33.6 (Helium-4)

De kern 24He{}^{4}_{2}\mathrm{He} heeft m=4.001 51 um = 4.001\,51\,\mathrm{u}; haar delen: 2×1.00728+2×1.00866=4.031 88 u2 \times 1.00728 + 2 \times 1.00866 = 4.031\,88\,\mathrm{u}. Dus Δm=0.030 37 u\Delta m = 0.030\,37\,\mathrm{u} en Eb=0.03037×931.5≈28.3 MeVE_b = 0.03037 \times 931.5 \approx 28.3\,\mathrm{MeV}: de kern weegt 0.75%0.75\% minder dan haar delen — het “één deel op duizend” van Voorbeeld 33.4.

Methode 33.7 (Energiebalans van een kernreactie)

  1. Laat de vergelijking kloppen: AA en ZZ blijven in totaal behouden (Hoofdstuk 19).
  2. Tel de massa’s ervóór op, daarna die erna, in u\mathrm{u} — houd alle vijf de decimalen aan.
  3. Δm=mervoor−merna\Delta m = m_{\text{ervoor}} - m_{\text{erna}}, en daarna E=Δm (in u)×931.5 MeVE = \Delta m\,(\text{in u}) \times 931.5\,\mathrm{MeV}, die als kinetische energie van de producten wordt meegevoerd; negatief betekent dat de reactie betaald moet worden.

33.3 De kromme die het heelal bestuurt

Definitie 33.8 (Bindingsenergie per nucleon)

Samenhang vergelijk je eerlijk met de bindingsenergie per nucleon, Eb/AE_b/A, de gemiddelde prijs om één nucleon los te maken: 28.3/4≈7.1 MeV28.3/4 \approx 7.1\,\mathrm{MeV} voor helium-4.

Propositie 33.9 (De ijzerpiek, en twee wegen omlaag)

Uitgezet tegen AA klimt de bindingsenergie per nucleon steil door de lichte kernen, piekt ze bij ijzer, 2656Fe{}^{56}_{26}\mathrm{Fe}, op ongeveer 8.8 MeV8.8\,\mathrm{MeV} per nucleon, en glijdt ze daarna zacht omlaag naar zo’n 7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} bij uranium: ijzer is de sterkst gebonden kern in de natuur. Een reactie geeft precies dan energie vrij wanneer haar producten hoger op de kromme liggen; twee tegengestelde strategieën lonen dus allebei, en allebei lopen ze naar ijzer toe — de zwaarste kernen splijten, en de lichtste samensmelten.

Bewijs. Op dit niveau zonder bewijs aangenomen. ∎

Opmerking 33.10 (Waarom een piek)

Het touwtrekken van Hoofdstuk 13: de sterke lijm bindt alleen buren die elkaar raken, terwijl de coulombafstoting de hele kern overspant — kleine kernen zijn vooral oppervlak, grote vooral afstoting, en ijzer is het compromis. De eerlijke boekhouding woont in de universitaire volumes.

Bindingsenergie per nucleon: steile klim, ijzerpiek, lange glijbaan — kernfusie klimt van links, kernsplijting van rechts, en allebei geven ze energie vrij.
Bindingsenergie per nucleon: steile klim, ijzerpiek, lange glijbaan — kernfusie klimt van links, kernsplijting van rechts, en allebei geven ze energie vrij.

33.4 Splijting en de kettingreactie

Definitie 33.11 (Kernsplijting)

Kernsplijting is het uiteenvallen van een zware kern in twee middelgrote brokstukken. Uranium-235 is splijtbaar: een traag neutron dat wordt opgenomen, laat de kern zo opgewonden achter dat ze in tweeën scheurt en daarbij twee of drie verse neutronen uitspuwt — 01n+92235U→twee brokstukken+2–3  01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to \text{twee brokstukken} + 2\text{--}3\;{}^{1}_{0}\mathrm{n}, met een paar dat van splijting tot splijting wisselt.

Voorbeeld 33.12 (Eén splijting, gewogen)

Eén veelvoorkomende route, volgens Methode 33.7:

01n+92235U⟶3894Sr+54140Xe+2 01n.{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \longrightarrow {}^{94}_{38}\mathrm{Sr} + {}^{140}_{54}\mathrm{Xe} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Ervóór: 1.00866+234.99350=236.002 16 u1.00866 + 234.99350 = 236.002\,16\,\mathrm{u}. Erna: 93.89450+139.89200+2×1.00866=235.803 82 u93.89450 + 139.89200 + 2 \times 1.00866 = 235.803\,82\,\mathrm{u}. Dus is Δm=0.198 34 u\Delta m = 0.198\,34\,\mathrm{u} en E≈185 MeVE \approx 185\,\mathrm{MeV}; tel je de latere vervallen van de radioactieve brokstukken mee (Hoofdstuk 32), dan is elke kernsplijting ongeveer 200 MeV200\,\mathrm{MeV} waard — terwijl één atoom steenkool voor enkele eV\mathrm{eV} te koop is.

Definitie 33.13 (Kettingreactie en kritische massa)

Elke kernsplijting wordt door één neutron ontstoken en bevrijdt er twee of drie: in een klomp die groot genoeg is, treffen die andere kernen en voedt de reactie zichzelf — een kettingreactie. In een kleine klomp ontsnappen de meeste neutronen eerst door het oppervlak; de kleinste hoeveelheid die de ketting in stand houdt, is de kritische massa — daaronder dooft de ketting, daarboven vermenigvuldigt elke generatie zich: het beginsel van de bom.

Een kettingreactie: één neutron splijt één kern, en de drie bevrijde neutronen splijten er drie — een reactor laat er precies één doorgaan.
Een kettingreactie: één neutron splijt één kern, en de drie bevrijde neutronen splijten er drie — een reactor laat er precies één doorgaan.

Definitie 33.14 (De getemde reactor)

Een energiereactor houdt de ketting op precies één neutron per kernsplijting. De brandstof: uraniumtabletten die bescheiden in uranium-235 zijn verrijkt. De moderator (meestal gewoon water) vertraagt de snelle splijtingsneutronen door botsingen — trage neutronen zijn veel beter in het ontsteken van de volgende splijting; de regelstaven (boor, cadmium) verslinden neutronen — ingeschoven dooft de ketting, uitgetrokken versnelt ze. De opwinding van de brokstukken wordt warmte, daarna stoom, daarna elektriciteit (Hoofdstuk 9).

Voorbeeld 33.15 (Een peperkorrel tegen een vrachtwagen)

Eén gram uranium-235 bevat N=1.0×10−3/(235×1.660 54×10−27)≈2.56×1021N = 1.0 \times 10^{-3} / (235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27}) \approx 2.56 \times 10^{21} kernen; bij 200 MeV=3.2×10−11 J200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J} elk levert ze allemaal splijten ongeveer 8.2×1010 J8.2 \times 10^{10}\,\mathrm{J} op — de chemische energie van 8.2×1010/3.0×107≈2.7×103 kg8.2 \times 10^{10} / 3.0 \times 10^{7} \approx 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} steenkool: een peperkorrel tegen drie ton.

33.5 Fusie: het eigen vuur van de Zon

Definitie 33.16 (Kernfusie)

Kernfusie is het samensmelten van twee lichte kernen tot een zwaardere, steviger gebonden kern. De best bereikbare reactie huwt deuterium en tritium, de zware isotopen van waterstof (Hoofdstuk 19):

12H+13H⟶24He+01n.{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{3}_{1}\mathrm{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Voorbeeld 33.17 (D–T, gewogen)

Ervóór: 2.01355+3.01550=5.029 05 u2.01355 + 3.01550 = 5.029\,05\,\mathrm{u}; erna: 4.00151+1.00866=5.010 17 u4.00151 + 1.00866 = 5.010\,17\,\mathrm{u}; dus Δm=0.018 88 u\Delta m = 0.018\,88\,\mathrm{u} en E≈17.6 MeVE \approx 17.6\,\mathrm{MeV}, waarvan vier vijfde op het neutron — minder dan een kernsplijting, maar uit vijf nucleonen in plaats van 236236: ongeveer 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J} per kilogram brandstof, vier keer de splijting. Helium-4 (Voorbeeld 33.6) is opnieuw de as.

Definitie 33.18 (De coulombbarrière)

Twee kernen zijn allebei positief: om elkaar te raken moeten ze eerst de heuvel van hun elektrische afstoting op (Hoofdstuk 14) — de coulombbarrière. Pas rond 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} dragen de botsingen de energie om eroverheen te komen; de brandstof is dan een plasma van kale kernen en elektronen. Kernsplijting betaalt zo’n tol niet: haar ontsteker, het neutron, is neutraal en werkt koud.

Voorbeeld 33.19 (De Zon draait erop)

De kern van de Zon, op 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}, smelt gewone waterstof stap voor stap samen — de proton-protonketen, met als netto-effect 4 11H→24He+2 +10e+straling4\,{}^{1}_{1}\mathrm{H} \to {}^{4}_{2}\mathrm{He} + 2\,{}^{0}_{+1}\mathrm{e} + \text{straling}, ongeveer 26 MeV26\,\mathrm{MeV} per helium: 0.7%0.7\% van de massa van de waterstof vertrekt als energie. Het zonlicht waarvan we het spectrum in Hoofdstuk 2 lezen, is die massa, acht minuten te laat aangekomen; elke ster schijnt door de kromme naar ijzer af te lopen.

Opmerking 33.20 (ITER: een ster op fles)

Geen enkele vaste stof houdt een plasma van 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K} vast; een tokamak kooit het in een magnetisch veld (Hoofdstuk 15), een donut van veldlijnen waarlangs de geladen deeltjes spiralen zonder de wand te raken; ITER, gebouwd om tien keer zijn verwarmingsvermogen vrij te geven, is de huidige stap. Breek de opsluiting en het plasma koelt af en stopt binnen seconden: geen kettingreactie, geen kritische massa — het moeilijke is niet het vuur doven maar het aan houden.

Voorbeeld 33.21 (De energieladder, per kilogram)

Energie per kilogram brandstof: steenkool, 3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}; uranium-235 door kernsplijting, 8.2×1013 J8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J}; deuterium–tritium door kernfusie, 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}; volledige omzetting (E=mc2E = mc^2), 9.0×1016 J9.0 \times 10^{16}\,\mathrm{J}. Zes ordegrootten scheiden de chemie van de kern — de reden dat een reactor per vrachtwagen wordt bevoorraad en een kolencentrale per goederentrein.

33.6 Oefeningen

Oefening 33.1 ★

Reken om: (a) 1 eV1\,\mathrm{eV} en 1 MeV1\,\mathrm{MeV} naar joule; (b) de 200 MeV200\,\mathrm{MeV} van één kernsplijting naar joule; (c) ga uit 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} na dat haar energie-equivalent dicht bij 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} ligt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.1.

(a) 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}; 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}. (b) 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}. (c) E=1.660 54×10−27×9.00×1016=1.49×10−10 J=1.49×10−10/1.60×10−13≈9.3×102 MeVE = 1.660\,54 \times 10^{-27} \times 9.00 \times 10^{16} = 1.49 \times 10^{-10}\,\mathrm{J} = 1.49 \times 10^{-10}/1.60 \times 10^{-13} \approx 9.3 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — de 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} uit de cursus, op onze afgeronde cc na.

Oefening 33.2 ★

Een suikerklontje heeft een massa van 6.0 g6.0\,\mathrm{g}: bereken zijn volle waarde E=mc2E = mc^2. Een huishouden verbruikt 10 kW h=3.6×107 J10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{J} per dag — hoeveel jaar zou het klontje, volledig omgezet, het van stroom kunnen voorzien?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.2.

E=6.0×10−3×9.00×1016=5.4×1014 JE = 6.0 \times 10^{-3} \times 9.00 \times 10^{16} = 5.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}; 5.4×1014/3.6×107=1.5×1075.4 \times 10^{14}/3.6 \times 10^{7} = 1.5 \times 10^{7} dagen ≈4.1×104\approx 4.1 \times 10^{4} jaar — veertig millennia op één suikerklontje.

Oefening 33.3 ★

De koolstof-12-kern heeft massa 11.996 71 u11.996\,71\,\mathrm{u}: bereken haar massadefect, haar bindingsenergie in MeV\mathrm{MeV} en haar bindingsenergie per nucleon (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}, mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}).

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.3.

Δm=6×1.00728+6×1.00866−11.99671=0.098 93 u\Delta m = 6 \times 1.00728 + 6 \times 1.00866 - 11.99671 = 0.098\,93\,\mathrm{u}; Eb=0.09893×931.5≈92.2 MeVE_b = 0.09893 \times 931.5 \approx 92.2\,\mathrm{MeV}; Eb/A≈7.68 MeVE_b/A \approx 7.68\,\mathrm{MeV} per nucleon.

Oefening 33.4 ★

Vul elke kernsplijting aan met AA, ZZ en het element (Z=36Z = 36: krypton, Z=52Z = 52: telluur): (a) 01n+92235U→56144Ba+ZAX+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{A}_{Z}\mathrm{X} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}; (b) 01n+92235U→4097Zr+ZAY+2 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{97}_{40}\mathrm{Zr} + {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.4.

(a) A=236−144−3=89A = 236 - 144 - 3 = 89, Z=92−56=36Z = 92 - 56 = 36: 3689Kr{}^{89}_{36}\mathrm{Kr}, krypton. (b) A=236−97−2=137A = 236 - 97 - 2 = 137, Z=92−40=52Z = 92 - 40 = 52: 52137Te{}^{137}_{52}\mathrm{Te}, telluur.

Oefening 33.5 ★

Lees de kromme van Propositie 33.9: schat Eb/AE_b/A voor helium-4, koolstof-12, ijzer-56 en uranium-235. Welke is het sterkst gebonden? Welke zou energie kunnen vrijgeven door kernsplijting, en welke door kernfusie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.5.

Ongeveer 7.17.1, 7.77.7, 8.88.8 en 7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} per nucleon; ijzer-56 is het sterkst gebonden. Uranium kan energie vrijgeven door kernsplijting, helium-4 en koolstof-12 door kernfusie — beide zetten klimmen naar ijzer toe; ijzer zelf kan nergens meer heen.

Oefening 33.6 ★★

Het deuteron 12H{}^{2}_{1}\mathrm{H} heeft massa 2.013 55 u2.013\,55\,\mathrm{u}: bereken zijn bindingsenergie in MeV\mathrm{MeV}. Een chemische binding houdt enkele eV\mathrm{eV} vast — met welke factor verslaat de “kernbinding” haar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.6.

Δm=1.00728+1.00866−2.01355=0.002 39 u\Delta m = 1.00728 + 1.00866 - 2.01355 = 0.002\,39\,\mathrm{u}, dus Eb≈2.23 MeVE_b \approx 2.23\,\mathrm{MeV} — ongeveer een miljoen keer de paar eV\mathrm{eV} van een chemische binding.

Oefening 33.7 ★★

Weeg de kernsplijting 01n+92235U→56144Ba+3689Kr+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{89}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}: massa’s 234.993 50 u234.993\,50\,\mathrm{u} (U), 143.892 20 u143.892\,20\,\mathrm{u} (Ba), 88.897 90 u88.897\,90\,\mathrm{u} (Kr), 1.008 66 u1.008\,66\,\mathrm{u} (n). Hoeveel energie komt er vrij, in MeV\mathrm{MeV} en in joule?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.7.

Ervóór: 236.002 16 u236.002\,16\,\mathrm{u}; erna: 143.89220+88.89790+3×1.00866=235.816 08 u143.89220 + 88.89790 + 3 \times 1.00866 = 235.816\,08\,\mathrm{u}; Δm=0.186 08 u\Delta m = 0.186\,08\,\mathrm{u}, dus E≈173 MeV=173×1.60×10−13≈2.8×10−11 JE \approx 173\,\mathrm{MeV} = 173 \times 1.60 \times 10^{-13} \approx 2.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

Oefening 33.8 ★★

Nog een kernfusie: 12H+12H→23He+01n{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{2}_{1}\mathrm{H} \to {}^{3}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}, met m(23He)=3.014 93 um({}^{3}_{2}\mathrm{He}) = 3.014\,93\,\mathrm{u}. Bereken de vrijgekomen energie. Waarom zoveel minder dan D–T? (Kijk waar elk product op de kromme ligt.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.8.

Δm=2×2.01355−3.01493−1.00866=0.003 51 u\Delta m = 2 \times 2.01355 - 3.01493 - 1.00866 = 0.003\,51\,\mathrm{u}: E≈3.27 MeVE \approx 3.27\,\mathrm{MeV}. D–T maakt helium-4, dat uitzonderlijk sterk gebonden is (7.1 MeV7.1\,\mathrm{MeV} per nucleon); helium-3 ligt veel lager op de kromme, dus geeft die stap veel minder vrij.

Oefening 33.9 ★★

Leg uit, telkens in een paar regels: (a) waarom kernsplijting geen verwarming nodig heeft terwijl kernfusie zo’n 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} vraagt; (b) hoe de Zon het met “maar” 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K} redt (denk aan de omvang van de menigte en aan haar snelste leden); (c) waarom een fusiecentrale niet zoals een kettingreactie op hol kan slaan.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.9.

(a) Het neutron is neutraal: geen coulombbarrière, dus vuurt kernsplijting koud. Kernen die samensmelten zijn allebei positief en moeten de barrière op, zodat alleen een opwinding van ∼1×108 K\sim 1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} botsingen geeft die heftig genoeg zijn. (b) De kern van de Zon bevat een astronomisch aantal protonen; de zeldzame snelste leden van de menigte doen het smeltwerk, en de Zon heeft miljarden jaren de tijd — een traag vuur is precies wat een ster wil. (c) Er is geen neutronenlawine: elke fusie wordt door haar eigen botsing betaald, en elk verlies aan opsluiting koelt het plasma af en dooft het vuur.

Oefening 33.10 ★★

De nettoreactie van de Zon maakt van vier protonen (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}) één helium-4-kern (4.001 51 u4.001\,51\,\mathrm{u}): bereken de energie per gemaakt helium, in MeV\mathrm{MeV}, en de fractie van de beginmassa die wordt omgezet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.10.

Δm=4×1.00728−4.00151=0.027 61 u\Delta m = 4 \times 1.00728 - 4.00151 = 0.027\,61\,\mathrm{u}, dus E≈25.7 MeVE \approx 25.7\,\mathrm{MeV}; de fractie is 0.02761/4.02912≈0.7%0.02761/4.02912 \approx 0.7\% van de massa.

Oefening 33.11 ★★

In een reactor met water als moderator: (a) wat doet de moderator, en waarom heeft de ketting hem nodig? (b) en de regelstaven? (c) het koelwater is de moderator: waarom neigt het verlies ervan de ketting eerder te smoren dan te versnellen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.11.

(a) Hij vertraagt de splijtingsneutronen door botsingen; trage neutronen splijten uranium-235 veel waarschijnlijker, dus heeft de ketting ze nodig. (b) Ze slurpen neutronen op en houden de ketting op één neutron per splijting — ingeschoven dooft ze. (c) Geen water, geen moderatie: de neutronen blijven snel, missen, en de ketting smoort — het ontwerp faalt naar “uit”.

Oefening 33.12 ★★★

Een ongecontroleerde ketting verdubbelt bij elke generatie. Hoeveel generaties duurt het vanaf één kernsplijting ongeveer tot de 2.56×10212.56 \times 10^{21} kernen van één gram uranium-235 zijn gespleten (210≈1032^{10} \approx 10^{3})? Hoe lang is dat bij ruwweg 10 ns10\,\mathrm{ns} per generatie — en waarom wordt kriticiteit dan zo zorgvuldig bewaakt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.12.

Het aantal splijtingen verdubbelt per generatie, dus zijn er na nn generaties ongeveer 2n2^n gespleten; 2n=2.56×1021≈2×(103)7≈2712^{n} = 2.56 \times 10^{21} \approx 2 \times (10^{3})^{7} \approx 2^{71} geeft n≈71n \approx 71. Tijd: 71×10 ns≈0.7 µs71 \times 10\,\mathrm{ns} \approx 0.7\,\text{µ}\mathrm{s} — een gram brandstof, goed voor drie ton steenkool, in minder dan een microseconde: kriticiteit is een klif, geen helling.

Oefening 33.13 ★★★

Zouden we energie kunnen winnen door ijzer te splijten? Weeg 2656Fe→2 1428Si{}^{56}_{26}\mathrm{Fe} \to 2\,{}^{28}_{14}\mathrm{Si}, met m(Fe)=55.920 66 um(\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u} en m(Si)=27.969 24 um(\mathrm{Si}) = 27.969\,24\,\mathrm{u}. Bereken Δm\Delta m en concludeer, met de kromme in de hand, waarom ijzer kernas is: brandstof voor niets.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.13.

Δm=55.92066−2×27.96924=−0.017 82 u\Delta m = 55.92066 - 2 \times 27.96924 = -0.017\,82\,\mathrm{u}: E≈−16.6 MeVE \approx -16.6\,\mathrm{MeV} — het splijten slurpt energie op. IJzer ligt op de piek: het splijten of het samensmelten gaat allebei bergaf in binding en kost allebei energie. Het is de as van elk kernvuur.

Oefening 33.14 ★★★

Bereken uit m(2656Fe)=55.920 66 um({}^{56}_{26}\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u} en m(92235U)=234.993 50 um({}^{235}_{92}\mathrm{U}) = 234.993\,50\,\mathrm{u} de Eb/AE_b/A van beide (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}, mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}). Splijtingsbrokstukken liggen rond 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} per nucleon: schat uit de twee niveaus de energie van één kernsplijting, en vergelijk met Voorbeeld 33.12.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.14.

Fe: Δm=26×1.00728+30×1.00866−55.92066=0.528 42 u\Delta m = 26 \times 1.00728 + 30 \times 1.00866 - 55.92066 = 0.528\,42\,\mathrm{u}, Eb≈492 MeVE_b \approx 492\,\mathrm{MeV}, Eb/A≈8.79 MeVE_b/A \approx 8.79\,\mathrm{MeV}. U: Δm=92×1.00728+143×1.00866−234.99350=1.914 64 u\Delta m = 92 \times 1.00728 + 143 \times 1.00866 - 234.99350 = 1.914\,64\,\mathrm{u}, Eb≈1784 MeVE_b \approx 1784\,\mathrm{MeV}, Eb/A≈7.59 MeVE_b/A \approx 7.59\,\mathrm{MeV}. 235235 nucleonen opnieuw inpakken op 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} in plaats van 7.59 MeV7.59\,\mathrm{MeV} levert 235×0.9≈2×102 MeV235 \times 0.9 \approx 2 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — de 185185 tot 200200 van het uitgewerkte voorbeeld.

Oefening 33.15 ★★★

ITER mikt op 500 MW500\,\mathrm{MW} fusievermogen. Bepaal bij 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} per D–T-reactie (5.029 u5.029\,\mathrm{u} verbruikte brandstof) het aantal reacties per seconde, en daarna de verbrande brandstof per dag. Een kolenoven van 500 MW500\,\mathrm{MW} verstookt ongeveer 1.4×106 kg1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kg} per dag: vergelijk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 33.15.

5.0×108/2.82×10−12≈1.8×10205.0 \times 10^{8}/2.82 \times 10^{-12} \approx 1.8 \times 10^{20} reacties per seconde; massatempo 1.8×1020×5.029×1.660 54×10−27≈1.5×10−6 kg/s1.8 \times 10^{20} \times 5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} \approx 1.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}, oftewel ongeveer 0.13 kg0.13\,\mathrm{kg} per dag — tegenover 1.4×1061.4 \times 10^{6} kilogram steenkool: tien miljoen tegen één.

33.7 Probleem: Een stad van stroom voorzien

Probleem 33.1

Weekendopgave — een stad van stroom voorzien: één gestage gigawatt voor een half miljoen mensen, op vier manieren gekocht — uraniumtabletten, treinladingen steenkool, een zwembad zeewater, de eigen substantie van de Zon — met onder alle vier dezelfde verdwenen kilogram massa

Een stad van 500 000500\,000 inwoners trekt een gestaag elektrisch vermogen P=1.0 GWP = 1.0\,\mathrm{GW}; haar centrales zetten warmte, wat de brandstof ook is, met een rendement van 33%33\% in elektriciteit om (Hoofdstuk 9). Gegevens: één kernsplijting van uranium-235, 200 MeV200\,\mathrm{MeV} in totaal; steenkool, 3.0×107 J/kg3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}; één D–T-fusie, 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} uit 5.029 u5.029\,\mathrm{u} brandstof; 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}; 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}; één jaar =3.16×107 s= 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s}; de Zon: 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}, 2.0×1030 kg2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}; een kubieke meter zeewater bevat ongeveer 33 g33\,\mathrm{g} deuterium.

Deel I — De splijtingscentrale.

  1. Welk thermisch vermogen moet de reactor leveren?
  2. Druk de energie van één kernsplijting in joule uit.
  3. Hoeveel kernsplijtingen per seconde houden de stad draaiende?
  4. Wat is de massa van één uranium-235-kern (A=235A = 235), en hoeveel uranium-235 wordt er per seconde verbruikt?
  5. Leid daaruit het verbruik van uranium-235 in één jaar af, in kilogram.
  6. De brandstof is tot 4.0%4.0\% uranium-235 verrijkt: welke massa vraagt een jaar, en past die op één vrachtwagen?

Deel II — Het kolengrootboek.

  1. Bereken de thermische energie die de stad in één jaar verbruikt.
  2. Welke massa steenkool levert die?
  3. Bereken de verhouding (massa steenkool)/(massa uranium-235) voor één jaar, en toets die aan de ladder van Voorbeeld 33.21.
  4. Een goederentrein sleept 3.0×106 kg3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}: hoeveel treinen per jaar, en per dag? Beschrijf in één zin de twee bevoorradingslijnen.

Deel III — De fusiedroom.

  1. Druk de energie van één D–T-fusie in joule uit.
  2. Bereken de vrijgekomen energie per kilogram D–T-brandstof; vergelijk met de ladder.
  3. Welke massa D–T-brandstof dekt het jaar van de stad? En welke massa daarvan is deuterium (2.0142.014 van de 5.029 u5.029\,\mathrm{u})?
  4. Welk volume zeewater bevat dat deuterium? Vergelijk met een olympisch zwembad, ongeveer 2.5×103 m32.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3}. (Tritium wordt uit lithium gekweekt.)
  5. Waarom draagt deze centrale geen kritische massa en geen kettingreactie om bang voor te zijn? Wat is dan het moeilijke?

Deel IV — De ster die in massa betaalt.

  1. Welke massa zet de Zon volgens E=mc2E = mc^2 per seconde om?
  2. Welke massa per seconde, en per jaar, moet elke thermische bron van 3.0 GW3.0\,\mathrm{GW} omzetten? Ga na dat alle drie de brandstoffen diezelfde massa afstaan.
  3. Welke totale massa heeft de Zon in haar 4.5×1094.5 \times 10^{9} jaar weggestraald, en welke fractie van de Zon is dat?
  4. Kernfusie kan ongeveer 0.07%0.07\% van de massa van de Zon aanspreken (het brandbare deel van haar kern): schat haar totale levensduur als ster, en wat daarvan overblijft.
  5. Sluit de audit in drie zinnen af: één jaar van de stad in tonnen steenkool, kilogram uranium-235 en kilogram D–T-brandstof — en de kilogram massa die in elk scenario het licht van de stad is geworden.
Oplossing

Oplossing van Probleem 33.1.

1. Pth=1.0×109/0.33≈3.0 GWP_{\text{th}} = 1.0 \times 10^{9}/0.33 \approx 3.0\,\mathrm{GW}.

2. 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

3. 3.0×109/3.2×10−11≈9.4×10193.0 \times 10^{9}/3.2 \times 10^{-11} \approx 9.4 \times 10^{19} kernsplijtingen per seconde.

4. mU=235×1.660 54×10−27=3.90×10−25 kgm_{\mathrm U} = 235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 3.90 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}; 9.4×1019×3.90×10−25≈3.7×10−5 kg/s9.4 \times 10^{19} \times 3.90 \times 10^{-25} \approx 3.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s} — een veertigtal microgram per seconde.

5. 3.7×10−5×3.16×107≈1.2×103 kg3.7 \times 10^{-5} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}: ongeveer 1.21.2 ton uranium-235 per jaar.

6. 1.2×103/0.040≈2.9×104 kg1.2 \times 10^{3}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{kg} — zo’n 2929 ton brandstof: één zware vrachtwagen, één keer per jaar.

7. 3.0×109×3.16×107≈9.5×1016 J3.0 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}.

8. 9.5×1016/3.0×107≈3.2×109 kg9.5 \times 10^{16}/3.0 \times 10^{7} \approx 3.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}: 3.23.2 miljoen ton steenkool.

9. 3.2×109/1.2×103≈2.7×1063.2 \times 10^{9}/1.2 \times 10^{3} \approx 2.7 \times 10^{6} — de 8.2×1013/3.0×1078.2 \times 10^{13}/3.0 \times 10^{7} van de ladder, zoals het hoort.

10. 3.2×109/3.0×106≈10603.2 \times 10^{9}/3.0 \times 10^{6} \approx 1060 treinen per jaar, ruwweg drie per dag: een kolentrein bij dageraad, om twaalf uur en bij zonsondergang, voor altijd, tegenover één vrachtwagen elke lente.

11. 17.6×1.60×10−13=2.82×10−12 J17.6 \times 1.60 \times 10^{-13} = 2.82 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}.

12. Eén paar weegt 5.029×1.660 54×10−27=8.35×10−27 kg5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 8.35 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}: 2.82×10−12/8.35×10−27≈3.4×1014 J/kg2.82 \times 10^{-12}/8.35 \times 10^{-27} \approx 3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — de fusiesport van de ladder.

13. 9.5×1016/3.4×1014≈2.8×102 kg9.5 \times 10^{16}/3.4 \times 10^{14} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{kg} D–T; het aandeel deuterium is 280×2.014/5.029≈1.1×102 kg280 \times 2.014/5.029 \approx 1.1 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}.

14. 1.1×102/3.3×10−2≈3.4×103 m31.1 \times 10^{2}/3.3 \times 10^{-2} \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3} zeewater — ongeveer anderhalf zwembad voor het hele jaar van de stad.

15. Niets vermenigvuldigt zich: geen neutron ontsteekt de volgende fusie, en het verlies van de opsluiting koelt het plasma af en stopt haar binnen seconden. Het moeilijke is precies het omgekeerde — 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K} lang genoeg bijeenhouden om te branden.

16. 3.9×1026/9.00×1016≈4.3×109 kg/s3.9 \times 10^{26}/9.00 \times 10^{16} \approx 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}: vier miljoen ton per seconde.

17. 3.0×109/9.00×1016≈3.3×10−8 kg/s3.0 \times 10^{9}/9.00 \times 10^{16} \approx 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}, oftewel 3.3×10−8×3.16×107≈1.0 kg3.3 \times 10^{-8} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.0\,\mathrm{kg} per jaar — en ja: 1.2×103 kg×0.00085≈11.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} \times 0.00085 \approx 1, 3.2×109×3.3×10−10≈13.2 \times 10^{9} \times 3.3 \times 10^{-10} \approx 1, 280×0.00375≈1280 \times 0.00375 \approx 1. Elke brandstof staat dezelfde kilogram af; ze verschillen alleen in hoeveel vracht die moet dragen.

18. 4.3×109×3.16×107×4.5×109≈6.1×1026 kg4.3 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \times 4.5 \times 10^{9} \approx 6.1 \times 10^{26}\,\mathrm{kg} — slechts 6.1×1026/2.0×1030≈3×10−46.1 \times 10^{26}/2.0 \times 10^{30} \approx 3 \times 10^{-4}, drie delen op tienduizend.

19. Omzetbare massa 0.0007×2.0×1030=1.4×1027 kg0.0007 \times 2.0 \times 10^{30} = 1.4 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}, goed voor 1.4×1027×9.00×1016≈1.3×1044 J1.4 \times 10^{27} \times 9.00 \times 10^{16} \approx 1.3 \times 10^{44}\,\mathrm{J}; bij 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W} houdt dat 1.3×1044/3.9×1026≈3.2×1017 s≈1.0×10101.3 \times 10^{44}/ 3.9 \times 10^{26} \approx 3.2 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 1.0 \times 10^{10} jaar vol — tien miljard, waarvan er zo’n vijf miljard resten.

20. Eén jaar van de stad: 3.23.2 miljoen ton steenkool, of 1.2×1031.2 \times 10^{3} kilogram uranium-235, of 2.8×1022.8 \times 10^{2} kilogram D–T uit anderhalf zwembad zeewater. Onder elk grootboek dezelfde post: één kilogram massa, verdwenen. Het kan E=mc2E = mc^2 niet schelen welke brandstof haar draagt — alleen hoe groot de vrachtwagen moet zijn.