Física do ensino médio · Grades 10–12

22A luz como onda: difração e interferência

Incline uma película de sabão em direção a uma janela: cores deslizam por ela, embora nada no sabão ou na água seja colorido. Aponte um laser para um único fio de cabelo: a parede atrás não mostra uma sombra fina como o fio, e sim um risco luminoso, barrado por linhas escuras, milhares de vezes mais largo do que o cabelo. Raios que marcham em linha reta (Capítulo 3) não explicam nenhuma das duas visões. Este capítulo promove a luz a onda plena — meio micrômetro de crista a crista — e depois converte a ideia em dinheiro: um laser e uma parede nua vão medir um fio de cabelo, um comprimento de onda e os sulcos de um CD.

22.1 A luz é uma onda

Definição 22.1 (Ondas luminosas)

A luz monocromática — uma cor pura, que prisma nenhum consegue separar mais (Capítulo 2) — é uma onda luminosa periódica: ela atravessa o vácuo a $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e é caracterizada pela sua frequência $f$ ou pelo seu comprimento de onda no vácuo $\lambda = c/f$ , a distância de crista a crista do Capítulo 20. O olho responde de cerca de $400\,\mathrm{nm}$ (violeta) a $800\,\mathrm{nm}$ (vermelho); a luz branca mistura a faixa inteira.

Exemplo 22.2 (Ordens de grandeza)

Um laser de hélio-neônio emite luz vermelha de $\lambda = 633\,\mathrm{nm} = 6.33 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ , de modo que $f = c/\lambda \approx 4.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : eletrônica alguma conta tão depressa — todo comprimento de onda deste capítulo será medido por geometria. Para dar escala, um fio de cabelo (cerca de $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) tem cem comprimentos de onda de diâmetro. O que ondula? Não é o ar: são um campo elétrico e um campo magnético, honestamente descritos no volume do segundo ano de graduação; abaixo, só o comprimento de onda importa.

22.2 Difração

Definição 22.3 (Difração)

Quando uma onda encontra uma abertura ou um obstáculo de tamanho $a$ comparável ao seu comprimento de onda, ela se espalha para dentro da região que os raios deixariam escura. Esse espalhamento é a difração — desprezível enquanto $\lambda/a$ for minúsculo, dominante à medida que $a$ encolhe rumo a $\lambda$ .

Frentes de onda planas (uma por crista, separadas por ) encontram uma fenda de largura a comparável a : a onda se abre em leque — é a difração. — Frentes de onda planas (uma por crista, separadas por $\lambda$ ) encontram uma fenda de largura $a$ comparável a $\lambda$ : a onda se abre em leque — é a difração.

Proposição 22.4 (Semiabertura angular do espalhamento)

Uma fenda de largura $a$ , iluminada com comprimento de onda $\lambda < a$ , espalha a luz em torno da direção incidente dentro da semiabertura angular $\theta$ (em radianos); um anteparo à distância $D$ mostra uma faixa central luminosa de largura $L$ , igual ao dobro de $D \tan\theta \approx D\,\theta$ (ângulo pequeno):

\theta \approx \frac{\lambda}{a}, \qquad L = \frac{2\lambda D}{a}.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 22.5 (Leia a fórmula ao contrário)

Quanto mais estreita a fenda, mais largo o espalhamento — o oposto da previsão dos raios. A dedução honesta (somar as ondinhas reemitidas ao longo da fenda) mora no volume do segundo ano de graduação; aqui a fórmula é um instrumento de medida.

Exemplo 22.6 (Um laser através de uma fenda)

Laser vermelho, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ; fenda $a = 0.10\,\mathrm{mm}$ ; anteparo a $D = 2.00\,\mathrm{m}$ . Então $\theta = 6.33 \times 10^{-7} / 1.0 \times 10^{-4} = 6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ — um terço de grau, mas a faixa central na parede tem $L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 2.00 / 1.0 \times 10^{-4} \approx 2.5\,\mathrm{cm}$ de largura, ladeada por linhas escuras e por faixas laterais mais fracas. Reduza a fenda à metade e a faixa dobra.

A experiência da fenda simples: um cone de semiângulo /a pinta uma faixa central de largura L = 2 D/a. — A experiência da fenda simples: um cone de semiângulo $\theta \approx \lambda/a$ pinta uma faixa central de largura $L = 2\lambda D/a$ .

Proposição 22.7 (Um obstáculo difrata como uma fenda)

Um obstáculo opaco fino de largura $d$ — um fio, um cabelo — produz, fora do feixe incidente, o mesmo padrão de uma fenda de largura $d$ (princípio de Babinet, deduzido no volume do segundo ano de graduação).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Método 22.8 (Medir uma largura minúscula)

Estique o fio de cabelo através do feixe de laser; coloque um anteparo a uma distância medida $D$ (alguns metros).
Meça a largura $L$ da faixa central, de linha escura a linha escura.
Como $L = 2\lambda D/d$ : $d = 2\lambda D/L$ — cabelo mais fino, padrão maior.

Observação 22.9 (A difração limita todo instrumento)

A luz entra numa câmera, num telescópio ou num olho por uma abertura de largura $a$ , de modo que mesmo uma lente perfeita borra um ponto num borrão de tamanho angular da ordem de $\lambda/a$ : detalhes mais próximos se fundem. Um microscópio de luz visível, portanto, não resolve nada muito abaixo de $\lambda \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ (bactérias sim, vírus não); os espelhos dos telescópios são construídos largos pela mesma razão.

22.3 Interferência

Definição 22.10 (Fontes coerentes, diferença de caminho)

Duas fontes de onda são coerentes quando têm a mesma frequência e vibram em sincronia — na prática, quando são duas cópias de uma mesma onda, obtidas por divisão. Para um ponto $M$ alcançado pelas duas, a diferença de caminho é $\delta = S_2M - S_1M$ .

Proposição 22.11 (Condições de interferência)

Onde duas ondas coerentes de comprimento de onda $\lambda$ se superpõem elas se somam — elas interferem:

$\delta = k\lambda$ ( $k$ inteiro): em sincronia, reforçando-se — interferência construtiva (claro);
$\delta = (k + \tfrac12)\lambda$ : crista sobre vale, cancelando-se — interferência destrutiva (escuro).

Demonstração. Deslocar uma onda periódica por comprimentos de onda inteiros não muda nada: as cristas se empilham sobre cristas. Meio comprimento de onda a mais põe crista sobre vale: ondas iguais se cancelam. ∎

Exemplo 22.12 (A experiência das duas fendas de Young)

Perfure duas fendas finas $S_1$ e $S_2$ , separadas por uma fração de milímetro, numa placa opaca, e ilumine as duas com um único laser: duas fontes coerentes. Num anteparo a uns dois metros, a superposição fica listrada: no centro $\delta = 0$ , claro; subindo pelo anteparo, $\delta$ cresce passando por $\lambda/2$ (escuro), $\lambda$ (claro) … escuridão onde luz somada a luz se cancela.

As fendas de Young: os caminhos até M diferem por = S_2M - S_1M; as franjas claras (os traços cinzas) ficam onde = k. — As fendas de Young: os caminhos até $M$ diferem por $\delta = S_2M - S_1M$ ; as franjas claras (os traços cinzas) ficam onde $\delta = k\lambda$ .

Definição 22.13 (Franjas e interfranja)

As faixas claras e escuras que se alternam no padrão são as suas franjas de interferência; a distância $i$ entre centros claros consecutivos é a interfranja.

Proposição 22.14 (A interfranja)

Para fendas separadas por uma distância $a$ e um anteparo à distância $D \gg a$ , o ponto do anteparo à distância $x$ do centro $O$ tem diferença de caminho $\delta \approx a\,x/D$ (geometria admitida); pela Proposição 22.11, as franjas claras ficam em $x_k = k\,\lambda D/a$ , igualmente espaçadas, com interfranja

i = \frac{\lambda D}{a}.

Com $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ e $D = 2.0\,\mathrm{m}$ : $i = 6.3\,\mathrm{mm}$ — a montagem amplia $\lambda$ por $D/a = 10^4$ . A geometria por trás disso é trabalhada no volume do segundo ano de graduação.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Intensidade ao longo do anteparo na experiência de Young: franjas separadas por i = D/a, sob uma envoltória geral esquemática. — Intensidade ao longo do anteparo na experiência de Young: franjas separadas por $i = \lambda D/a$ , sob uma envoltória geral esquemática.

Método 22.15 (Medir um comprimento de onda)

Envie o laser desconhecido por uma fenda dupla de espaçamento $a$ conhecido; coloque o anteparo a uma distância medida $D$ .
Meça a extensão de $10$ interfranjas; divida por $10$ : obtém-se a interfranja $i$ , com o erro da régua reduzido dez vezes.
Então $\lambda = i\,a/D$ .

Observação 22.16 (Por que duas lâmpadas nunca interferem)

Duas luminárias de mesa iluminando uma mesma parede não produzem franja alguma: cada uma emite trens de onda curtos e não correlacionados, cuja sincronia relativa salta ao acaso um bilhão de vezes por segundo, de modo que as franjas se deslocam na mesma velocidade e o olho as promedia numa luz uniforme. A interferência exige coerência — uma onda dividida em duas, como fazem as fendas de Young; o laser é o atalho moderno, uma única onda limpa e longa.

22.4 Cores pintadas por interferência

Definição 22.17 (Iridescência)

Cores que mudam com o ângulo de observação — bolhas de sabão, manchas de óleo, penas de pavão, o verso de um CD — são iridescência: não há pigmento algum, e sim interferência em luz branca, reforçando alguns comprimentos de onda e cancelando outros.

Exemplo 22.18 (Películas de sabão e manchas de óleo)

A luz que atinge uma película de sabão reflete em parte na face da frente e em parte na de trás: duas cópias coerentes cuja diferença de caminho é fixada pela espessura e pelo ângulo de observação. Cada espessura devolve alguns comprimentos de onda reforçados e outros cancelados: a película reflete uma cor que desliza à medida que ela escorre e afina. Uma mancha de óleo no asfalto molhado faz o mesmo truque.

Observação 22.19 (Luz monocromática contra luz branca)

Em luz branca cada comprimento de onda desenha as suas próprias franjas de Young com o seu próprio $i = \lambda D/a$ : no centro todas as cores ficam claras (uma franja branca); poucas franjas adiante os padrões se descolam — bordas iridescentes e depois borrão. A luz monocromática dá franjas nítidas sem fim: daí o laser em toda medida precisa aqui.

22.5 Exercícios

Exercício 22.1 ★

Calcule a frequência da luz vermelha ( $\lambda = 700\,\mathrm{nm}$ ) e da luz violeta ( $400\,\mathrm{nm}$ ). Qual é maior?

Solução

Solução de Exercício 22.1.

$f = c/\lambda$ : vermelho, $3.00 \times 10^{8}/7.0 \times 10^{-7} \approx 4.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; violeta, $\approx 7.5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — o violeta é maior (comprimento de onda menor, mesma velocidade $c$ ).

Exercício 22.2 ★

Um laser verde ( $\lambda = 532\,\mathrm{nm}$ ) atravessa uma fenda de largura $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ : calcule $\theta$ e depois a largura da faixa central num anteparo a $1.5\,\mathrm{m}$ .

Solução

Solução de Exercício 22.2.

$\theta = 5.32 \times 10^{-7}/2.0 \times 10^{-4} = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; $L = 2\theta D = 2 \times 2.66 \times 10^{-3} \times 1.5 \approx 8.0\,\mathrm{mm}$ .

Exercício 22.3 ★

Uma porta tem $0.80\,\mathrm{m}$ de largura: calcule $\lambda/a$ para uma voz de $425\,\mathrm{Hz}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) e para luz de $550\,\mathrm{nm}$ . Por que você escuta, mas não enxerga, quem está virando a esquina?

Solução

Solução de Exercício 22.3.

Voz: $\lambda = 340/425 = 0.80\,\mathrm{m}$ , logo $\lambda/a = 1.0$ — difração máxima, e o som inunda o corredor. Luz: $\lambda/a \approx 5.5 \times 10^{-7}/0.80 \approx 7 \times 10^{-7}$ — espalhamento desprezível: a luz segue reta e a esquina a esconde.

Exercício 22.4 ★

Dois alto-falantes acionados por um mesmo gerador emitem, em sincronia, som de comprimento de onda $2.0\,\mathrm{cm}$ . Diferença de caminho em $M$ : $6.0\,\mathrm{cm}$ ; em $N$ : $5.0\,\mathrm{cm}$ . Som forte ou silêncio em cada um? Justifique.

Solução

Solução de Exercício 22.4.

Em $M$ : $\delta = 6.0\,\mathrm{cm} = 3\lambda$ , construtiva — som forte. Em $N$ : $\delta = 5.0\,\mathrm{cm} = (2 + \tfrac12)\lambda$ , destrutiva — silêncio (ou quase).

Exercício 22.5 ★

Fendas de Young: $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $a = 0.25\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.8\,\mathrm{m}$ . Calcule a interfranja. Quantas franjas claras cabem nos $2.0\,\mathrm{cm}$ centrais do anteparo?

Solução

Solução de Exercício 22.5.

$i = \lambda D/a = 6.33 \times 10^{-7} \times 1.8/2.5 \times 10^{-4} \approx 4.6\,\mathrm{mm}$ . Dentro de $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : $|k| \leq 10/4.6 = 2.2$ , logo $k = -2, \dots, 2$ : cinco franjas claras.

Exercício 22.6 ★★

Um fio de cabelo num feixe de $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ , com anteparo a $1.6\,\mathrm{m}$ , dá uma faixa central de $2.8\,\mathrm{cm}$ de largura. Calcule o diâmetro do cabelo.

Solução

Solução de Exercício 22.6.

$d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1.6/0.028 \approx 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercício 22.7 ★★

Um laser desconhecido atravessa fendas de Young ( $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.50\,\mathrm{m}$ ): dez interfranjas ocupam $4.7\,\mathrm{cm}$ . Encontre $\lambda$ e a cor. Por que medir dez em vez de uma?

Solução

Solução de Exercício 22.7.

$i = 4.7\,\mathrm{mm}$ , logo $\lambda = i\,a/D = 4.7 \times 10^{-3} \times 2.0 \times 10^{-4}/1.5 \approx 6.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 630\,\mathrm{nm}$ : vermelho. Medir dez interfranjas divide por dez o erro de leitura da régua.

Exercício 22.8 ★★

Duas luminárias de mesa idênticas iluminam a mesma parede; os feixes se superpõem e, ainda assim, franja alguma aparece, nunca. Que condição de coerência (Definição 22.10) falha, e como o arranjo de Young a repara?

Solução

Solução de Exercício 22.8.

As luminárias têm frequências (grosso modo) compatíveis, mas não estão em sincronia: cada uma emite trens de onda curtos com fase que salta ao acaso, de modo que as fontes são incoerentes e as franjas instantâneas se deslocam bilhões de vezes por segundo — e o olho vê a média, uniforme. Young ilumina as duas fendas com uma única onda: as duas cópias herdam juntas cada salto de fase e permanecem em sincronia.

Exercício 22.9 ★★

Num padrão de duas fendas ( $a = 0.30\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.4\,\mathrm{m}$ ), os centros da primeira e da sétima franjas claras estão a $18.0\,\mathrm{mm}$ um do outro: encontre a interfranja e depois $\lambda$ .

Solução

Solução de Exercício 22.9.

Da primeira à sétima: $6i = 18.0\,\mathrm{mm}$ , logo $i = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; $\lambda = i\,a/D = 3.0 \times 10^{-3} \times 3.0 \times 10^{-4}/1.4 \approx 6.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 640\,\mathrm{nm}$ .

Exercício 22.10 ★★

As trilhas de um CD formam uma rede de espaçamento $d = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Admitindo $d \sin\theta = k\lambda$ ( $k$ inteiro), encontre as direções dos feixes para $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ . Qual é a maior ordem $k$ ?

Solução

Solução de Exercício 22.10.

$\sin\theta = k\lambda/d = 0.396\,k$ : para $k = 1$ , $\theta = 23^\circ$ ; para $k = 2$ , $\sin\theta = 0.79$ , $\theta = 52^\circ$ ; $k = 3$ exigiria $\sin\theta = 1.19 > 1$ : impossível. Maior ordem: $k = 2$ .

Exercício 22.11 ★★

Um telescópio de abertura $a = 10\,\mathrm{cm}$ em $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ : calcule o borrão de difração dele, $\theta \approx \lambda/a$ . Ele consegue separar dois faróis a $1.5\,\mathrm{m}$ um do outro, a $100\,\mathrm{km}$ de distância?

Solução

Solução de Exercício 22.11.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/0.10 = 5.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ . Os faróis subentendem $1.5/1.0 \times 10^{5} = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , cerca de três vezes o borrão: separados, por pouco.

Exercício 22.12 ★★★

Uma película de sabão vertical escorre, ficando mais grossa embaixo, e mostra faixas coloridas horizontais que descem devagar. Explique: por que cores, por que faixas, por que em movimento. (Sem contas.)

Solução

Solução de Exercício 22.12.

As reflexões das faces da frente e de trás interferem; em luz branca cada espessura reforça alguns comprimentos de onda e cancela outros, daí uma cor. A espessura da película depende só da altura, de modo que os pontos de mesma cor formam faixas horizontais. O escorrimento afina a película, e por isso a espessura que pintava uma dada cor fica cada vez mais embaixo: as faixas descem devagar.

Exercício 22.13 ★★★

Fendas de Young em luz branca, $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ : calcule a interfranja para o violeta ( $400\,\mathrm{nm}$ ) e para o vermelho ( $750\,\mathrm{nm}$ ), e deduza o que o anteparo mostra no centro, a poucos milímetros dali e bem longe.

Solução

Solução de Exercício 22.13.

$i = \lambda D/a$ : violeta, $4.0 \times 10^{-7} \times 1.5/2.0 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; vermelho, $5.6\,\mathrm{mm}$ . No centro: todas as cores claras — uma franja branca. A poucos milímetros dali os padrões de cores já se descolaram: franjas iridescentes. Mais longe, os máximos de todas as cores se superpõem em toda parte: um borrão branco uniforme.

Exercício 22.14 ★★★

Um satélite de vigilância carrega um espelho de $2.4\,\mathrm{m}$ a $250\,\mathrm{km}$ . Usando $\theta \approx \lambda/a$ em $550\,\mathrm{nm}$ , encontre o menor detalhe no solo que ele resolve; julgue a afirmação de que ele “lê jornais por cima do seu ombro”.

Solução

Solução de Exercício 22.14.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/2.4 = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ; a $250\,\mathrm{km}$ isso dá $2.3 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^{5} \approx 6\,\mathrm{cm}$ . Ele consegue contar carros e localizar uma pessoa, mas letra de jornal (com milímetros) fica vinte vezes abaixo do limite de difração: a afirmação é lenda.

Exercício 22.15 ★★★

Uma montagem de Young mostra $i = 4.0\,\mathrm{mm}$ no ar e depois é imersa em água ( $n = 1.33$ ). Lembrando o Capítulo 3: a frequência muda? E o comprimento de onda? Calcule a nova interfranja.

Solução

Solução de Exercício 22.15.

A frequência é fixada pela fonte: não muda. A velocidade cai para $c/n$ , de modo que $\lambda' = \lambda/n$ e $i' = i/n = 4.0/1.33 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ : as franjas se apertam.

22.6 Problema: medir com luz

Problema 22.1

Problema de fim de semana — medir com luz: um laser, uma régua e uma parede nua viram uma oficina de micrômetros que afere uma fenda, um fio de cabelo humano, um comprimento de onda desconhecido e os sulcos de dois discos prateados

O seu kit: um laser vermelho ( $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , pelo rótulo), um laser verde de comprimento de onda desconhecido, uma fenda calibrada de $a = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , uma fenda dupla de espaçamento $a' = 0.250\,\mathrm{mm}$ , uma trena, dois fios de cabelo, um CD e um DVD.

Parte I — Calibrar na fenda conhecida. Laser vermelho, fenda, parede a $D = 3.00\,\mathrm{m}$ .

Calcule a semiabertura angular $\theta$ do feixe difratado.
Mostre que a faixa central tem largura $L = 2\lambda D/a$ ; calcule-a.
Você mede $L = 3.7\,\mathrm{cm}$ : calcule o desvio relativo. O método está validado?
Uma segunda fenda tem metade da largura, $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : preveja o $L$ dela. Enuncie a regra que liga a largura da fenda à largura do padrão.
Justifique o passo $\tan\theta \approx \theta$ da questão 2: compare $\theta$ e $\tan\theta$ nesse ângulo.

Parte II — O fio de cabelo. Mesmo laser e mesma parede; um fio de cabelo esticado substitui a fenda.

Que resultado admitido permite manter a fórmula da fenda para um fio de cabelo, e o que ele diz?
A faixa central tem $L = 5.4\,\mathrm{cm}$ de largura: calcule o diâmetro $d$ do cabelo.
A sua régua lê $L$ com $\pm0.2\,\mathrm{cm}$ : dê o intervalo resultante para $d$ , na forma $d \pm \Delta d$ .
O cabelo de um amigo dá $L = 7.6\,\mathrm{cm}$ : qual é o diâmetro dele? Qual dos dois cabelos é mais fino, e por que mais fino significa mais largo?
Uma luminária de mesa poderia substituir o laser? Dê duas razões.

Parte III — O comprimento de onda do laser verde. Laser verde, fenda dupla, parede a $D = 2.00\,\mathrm{m}$ .

Por que as duas fendas precisam ser iluminadas pelo mesmo laser?
Por que a franja central é clara qualquer que seja o comprimento de onda?
Dez interfranjas ocupam $4.26\,\mathrm{cm}$ . Dê $i$ e a razão de medir dez de uma vez.
Deduza o comprimento de onda do laser verde.
O rótulo do fabricante diz $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$ : é coerente? Que cor você espera?

Parte IV — Ler discos prateados. O laser vermelho atinge um CD sob incidência normal; as trilhas dele agem como uma rede de reflexão que obedece (admitido) a $d \sin\theta = k\lambda$ . Na parede a $D = 1.00\,\mathrm{m}$ , cada feixe de primeira ordem faz um ponto a $x$ do ponto central.

Para o CD, $x = 43\,\mathrm{cm}$ : calcule $\theta$ . Por que o atalho de ângulo pequeno da Parte I agora é proibido?
Deduza o espaçamento $d$ das trilhas do CD.
O DVD manda o ponto de primeira ordem para $x = 1.65\,\mathrm{m}$ : calcule o $\theta$ dele e o espaçamento das trilhas.
Compare os dois espaçamentos. Por que um DVD armazena mais do que um CD?
Feche o caderno: liste os comprimentos medidos neste fim de semana e diga em uma frase o que fez da luz uma régua para todos eles.

Solução

Solução de Problema 22.1.

1. $\theta = \lambda/a = 6.33 \times 10^{-7}/1.00 \times 10^{-4} = 6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ .

2. Semilargura $D\tan\theta \approx D\theta = \lambda D/a$ , logo $L = 2\lambda D/a = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 3.00/1.00 \times 10^{-4} = 3.8\,\mathrm{cm}$ .

3. $(3.8 - 3.7)/3.8 \approx 3\%$ : dentro da precisão de uma régua — validado.

4. $L \propto 1/a$ : reduzir $a$ à metade dobra $L$ , logo $L = 7.6\,\mathrm{cm}$ . Obstáculo (ou fenda) mais estreito, padrão mais largo.

5. $\tan(6.33 \times 10^{-3}) = 6.330\,08 \times 10^{-3}$ : eles concordam a cerca de $1 \times 10^{-5}$ em termos relativos — a aproximação é muito melhor do que qualquer medida feita aqui.

6. Pela Proposição 22.7: um obstáculo de largura $d$ difrata como uma fenda de largura $d$ , de modo que $L = 2\lambda D/d$ continua valendo.

7. $d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 3.00/0.054 \approx 70\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

8. $L = 5.2\,\mathrm{cm} \to d = 73\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $L = 5.6\,\mathrm{cm} \to d = 68\,\text{µ}\mathrm{m}$ : logo, $d = (70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

9. $d = 3.80 \times 10^{-6}/0.076 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : o do amigo é mais fino — e, como $L \propto 1/d$ , o cabelo mais fino lança o padrão mais largo.

10. Não: uma luminária é branca (cada comprimento de onda pinta um padrão diferente, e todos se borram) e incoerente e larga (não há um feixe único e limpo para difratar). O laser é monocromático e direcional.

11. Só cópias de uma mesma onda são coerentes; duas fontes independentes saem de sincronia e as franjas se apagam (Observação 22.16).

12. No centro, $\delta = 0 = 0 \times \lambda$ para todo $\lambda$ : construtiva, qualquer que seja o comprimento de onda.

13. $i = 4.26/10 = 4.3\,\mathrm{mm}$ ; uma extensão de dez é lida com o mesmo erro de régua de uma única interfranja, de modo que o erro sobre $i$ fica dividido por dez.

14. $\lambda = i\,a'/D = 4.26 \times 10^{-3} \times 2.50 \times 10^{-4}/2.00 = 5.33 \times 10^{-7} \approx 533\,\mathrm{nm}$ .

15. $533\,\mathrm{nm}$ está dentro de $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$ : coerente; e esse comprimento de onda é verde.

16. $\tan\theta = 0.43/1.00$ , logo $\theta = 23^\circ$ . Aqui $\tan\theta = 0.43$ enquanto $\sin\theta = 0.40$ : a $23^\circ$ a identificação de ângulo pequeno entre $\sin$ , $\tan$ e $\theta$ erra por quase $10\%$ — use as funções exatas.

17. $d = \lambda/\sin\theta = 6.33 \times 10^{-7}/0.396 \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

18. $\tan\theta = 1.65$ , $\theta = 59^\circ$ , $\sin\theta = 0.855$ : $d = 6.33 \times 10^{-7}/0.855 \approx 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

19. $1.6/0.74 \approx 2.2$ : as trilhas do DVD são duas vezes mais densas, e os poços dele são correspondentemente menores (lidos com um laser de comprimento de onda mais curto) — várias vezes mais dados no mesmo disco de $12\,\mathrm{cm}$ .

20. Cabelo $(70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; cabelo do amigo $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; laser verde $533\,\mathrm{nm}$ ; trilhas do CD $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; trilhas do DVD $0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ — um comprimento de onda conhecido transforma a geometria de cada padrão num comprimento, de modo que uma luz de meio micrômetro é uma régua graduada em meio micrômetro.